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PROBABILIDAD

1) CONTENIDOS

1. Experimentos aleatorios. Espacio muestral. 2. Sucesos.

3. Operaciones con sucesos. 4. Probabilidad.

5. Regla de Laplace. 6. Experimentos compuestos. Diagramas de árbol.

7. Sucesos dependientes e independientes.

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2) SECUENCIA DE ACTIVIDADES

Sea el experimento aleatorio “lanzar un dado”. El espacio muestral E es el conjunto de cada uno de los posibles resultados obtenidos. E = {1, 2, 3, 4, 5, 6}

Un suceso es cada uno de los subconjuntos del espacio muestral E. OPERACIONES CON SUCESOS. En este apartado se desarrollan los conceptos básicos asociados a los sucesos y sus operaciones, que son las operaciones de la teoría de conjuntos:

o Inclusión e igualdad de sucesos o Unión

o Intersección o Sucesos contrarios

Ejemplo. En el experimento aleatorio “lanzar un dado” sean los sucesos: § “salir un número impar”, lo llamaremos A = {1, 3, 5}

§ “salir un número menor que 5”, lo llamaremos B = {1, 2, 3, 4} La unión de los sucesos A y B es el suceso “salir un número impar o un número menor que 5”:

𝐴 ∪ 𝐵 = {1, 2, 3, 4, 5} La intersección de los sucesos A y B es el suceso “salir un número impar y menor que 5”:

𝐴 ∩ 𝐵 = {1, 3} El suceso contrario de A es el suceso que ocurre cuando no ocurre A. Se representa por A . En este caso, el suceso contrario de A es “salir un número par”:

A = {2, 4, 6} El espacio de sucesos S con las operaciones unión, intersección y complementación (contrario) se llama álgebra de Boole de los sucesos aleatorios. En este álgebra de Boole se verifican las siguientes propiedades, llamadas leyes de Morgan:

1) 𝐴 ∪ 𝐵 = 𝐴 ∩ 𝐵

2) 𝐴 ∩ 𝐵 = 𝐴 ∪ 𝐵 Estas leyes se pueden comprobar fácilmente con la ayuda de los diagramas de Venn. A través de gráficos se representan el espacio muestral, los sucesos y las operaciones con sucesos. El espacio muestral se representa como un rectángulo y los sucesos como círculos.

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PROBABILIDAD. Podemos calcular la probabilidad de un suceso utilizando la regla de Laplace:

P (A) = !ú!"#$ !" !"#$# !"#$%"&'() !" !"#$!%!ú!"#$ !" !"#$# !"#$%&'#

Esta regla es válida cuando todos los sucesos del espacio muestral son equiprobables.

En nuestro ejemplo, la probabilidad de que salga un número impar al lanzar el dado es:

𝑃 𝐴 = 36 =

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La probabilidad de que salga un número menor que 5 es:

𝑃 𝐵 = 46 =

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La probabilidad de que salga un número impar y menor que 5 es:

𝑃 𝐴 ∩ 𝐵 = 26 =

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Después de comprender lo que significa la probabilidad en una situación real, adoptaremos la definición axiomática de la probabilidad, apoyándonos en la teoría de conjuntos. Esto le da el rigor necesario a la definición de probabilidad. Se llama probabilidad a toda aplicación P definida entre los conjuntos S (álgebra de Boole de los sucesos aleatorios) y ℝ (conjunto de los números reales)

P: 𝑆 → ℝ

𝐴 → 𝑃(𝐴) que verifica los axiomas:

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Axioma 1. P (E) = 1

Axioma 2. P (A) ≥ 0

Axioma 3. Si A y B son sucesos incompatibles, 𝐴 ∩ 𝐵 = ∅, entonces:

𝑃 𝐴⋃𝐵 = 𝑃 𝐴 + 𝑃(𝐵) De la definición axiomática de la probabilidad de un suceso, se enuncian y demuestran varias propiedades de gran utilidad:

• 𝑃 𝐴 = 1− 𝑃 (𝐴)

• 𝑃 (∅) = 0

• Si A y B son sucesos compatibles, 𝐴⋂𝐵 ≠ ∅, entonces:

𝑃 𝐴⋃𝐵 = 𝑃 𝐴 + 𝑃 𝐵 − 𝑃(𝐴⋂𝐵) Actividad. Prueba de acceso a la universidad.

Si A y B son dos sucesos tales que: P(A) = 𝟑𝟖 , P(B) =

𝟏𝟐 , P(A∩B) =

𝟏𝟒 , halla:

a) 𝑷(𝑨 ∩ 𝑩)

b) 𝑷(𝑨 ∩ 𝑩)

a) 𝑃(𝐴 ∩ 𝐵) = 𝑃(𝐴 ∪ 𝐵) = 1− 𝑃(𝐴 ∪ 𝐵) = 1− [ 𝑃 𝐴 + 𝑃 𝐵 − 𝑃 𝐴 ∩ 𝐵 ] =

1 − !!+ !

!− !

!= !

!

b) Con la ayuda de un diagrama de Venn, sabemos que: 𝐴 − 𝐵 = 𝐴 ∩ 𝐵

𝑃(𝐴 ∩ 𝐵 ) = 𝑃 𝐴 − 𝑃(𝐴 ∩ 𝐵) = !!− !

! = !

!

EXPERIMENTOS COMPUESTOS. DIAGRAMAS DE ÁRBOL. Llamamos experimentos compuestos a los formados por varios experimentos simples que ocurren consecutivamente. La probabilidad de un suceso elemental de un espacio compuesto puede calcularse multiplicando las probabilidades de los sucesos elementales que conforman la experiencia compuesta.

Ejemplo. El diagrama de árbol de la siguiente figura corresponde al experimento aleatorio de lanzar una moneda tres veces (o tres monedas). Calcula la probabilidad de que salgan tres caras.

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Sabiendo que la probabilidad de obtener cara es: P (C) = !! , calculamos la probabilidad

de obtener tres caras

P (CCC) = !!∙ !!∙ !!

= !!

SUCESOS DEPENDIENTES E INDEPENDIENTES.

Dos sucesos A y B son independientes si cumplen:

𝑃 𝐴 ∩ 𝐵 = 𝑃(𝐴) ∙ 𝑃(𝐵) Dos sucesos A y B son dependientes si cumplen:

𝑃 𝐴 ∩ 𝐵 ≠ 𝑃(𝐴) ∙ 𝑃(𝐵)

Actividad. Del libro de texto (Ed. Editex). Determina si los sucesos A y B son compatibles o incompatibles, dependientes o independientes, sabiendo que:

P(A) = 𝟏𝟐

; P(B) = 𝟏𝟐

; P(𝑨 ∪ 𝑩) = 𝟑𝟒

Al ser P(A) + P(B) = !!

+ !! = 1≠ 𝑃(𝐴 ∪ 𝐵), los sucesos A y B son compatibles,

𝐴 ∩ 𝐵 ≠ ∅

La probabilidad de la intersección es:

𝑃 𝐴 ∩ 𝐵 = 𝑃 𝐴 + 𝑃 𝐵 − 𝑃 𝐴 ∪ 𝐵 = !!

+ !! - !

! =

!!

Al ser 𝑃 𝐴 ∙ 𝑃 𝐵 = !!∙ !!

= !! = 𝑃(𝐴 ∩ 𝐵) , los sucesos A y B son independientes.