USO DE LAS TRANSFORMADAS DE LAPLACE Y Z EN EL ÁREA DE … · 2005-11-02 · Departamento De...

Departamento De Ciencias Computacionales

Uso de las transformadas de laplace y z en el área de probabilidad

Dr. Jorge A. Olvera R.

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USO DE LAS TRANSFORMADAS DE LAPLACE Y Z

EN EL ÁREA DE PROBABILIDAD

Introducción. En muchas áreas de ingeniería se utilizan procesos estocásticos o aleatorios para construir modelos de sistemas tales como conmutadores telefónicos, concentradores de redes de comunicación de datos, sistemas de tráfico, líneas de atención a clientes en un banco o un supermercado, etc. La construcción de los modelos permite analizar los sistemas para evaluar su desempeño y proponer mejoras a los mismos, o bien, evaluar el impacto de algunos cambios en su operación antes de implantarlos. También permiten determinar el conjunto de parámetros más adecuados para un cierto caso en particular, a fin de que el sistema satisfaga ciertas especificaciones de diseño. ¿Cuáles variables se modelan como variables aleatorias en estos sistemas? En el caso de un conmutador telefónico se usan variables aleatorias para modelar el tiempo entre la generación de una llamada y la siguiente, es decir, para modelar el tiempo entre generaciones de llamadas. También se usan variables aleatorias para modelar los tiempos de duración de las llamadas. En los concentradores de las redes de comunicación de datos se usan variables aleatorias para modelar los tiempos entre llegadas de mensajes o paquetes de datos al concentrador. También se usan variables aleatorias para modelar los tiempos de transmisión de los mensajes o paquetes que necesitan ser retransmitidos por alguna de las líneas de salida del concentrador. En un sistema de tráfico se puede modelar una intersección controlada por un semáforo. Se usan variables aleatorias para modelar los tiempos entre llegadas de vehículos a la intersección en cada una de las líneas que convergen en la intersección. ¿Para qué sirven estos modelos? Si se desea instalar un conmutador telefónico en una empresa que pueda dar servicio a un número determinado de extensiones, el modelo puede servir para calcular el número de líneas de salida necesario para que la probabilidad de que un usuario que intenta realizar una llamada encuentre que todas las líneas de salida están ocupadas, sea menor que un cierto valor. También se puede determinar la utilización de las líneas de salida del conmutador. En un concentrador de una red de comunicación de datos, los mensajes que llegan deben ser transmitidos por la línea de salida correspondiente, pero si dicha línea está ocupada transmitiendo otro mensaje, deberá almacenarse temporalmente el mensaje




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en la memoria del concentrador para transmitirlo posteriormente. Puede ser que existan varios mensajes almacenados en la memoria del concentrador que serán transmitidos por esa misma línea de salida y el mensaje tenga que esperar a que le toque su turno. Pudiera ocurrir que la memoria del concentrador esté llena en algún momento y se tenga que rechazar un mensaje que llega por que no hay espacio en la memoria. Los modelos en este caso permitirán determinar la velocidad necesaria en las líneas de salida del concentrador para que el tiempo promedio de atraso de un mensaje, medido desde que se recibe hasta que ha sido retransmitido, sea menor que un cierto valor. También permitirán determinar el tamaño de memoria necesario para que la probabilidad de que un mensaje que llegue sea rechazado sea menor que un cierto valor. En el caso del sistema de tráfico, los modelos permitirán definir los tiempos asignados por el semáforo a cada uno de los tráficos que convergen en la intersección para que el tiempo promedio que espera un vehículo sea menor que un valor dado, o para que la probabilidad de que haya más de un cierto número de vehículos esperando en una línea sea menor que un valor predeterminado. Cuando se trata de modelar tiempos, se utilizan variables aleatorias continuas no negativas. Cuando se trata de determinar la distribución para la cantidad de líneas ocupadas en un conmutador, la cantidad de mensajes esperando en un concentrador para ser transmitidos por una de sus líneas de salida, o la cantidad de vehículos esperando en el semáforo de una línea en una intersección, se usan variables aleatorias enteras no negativas. Los valores promedio y la desviación estándar de estas variables se usan en muchas ocasiones para diseñar los sistemas o ajustar sus parámetros. También es necesario determinar funciones de densidad de probabilidad o funciones de distribución de probabilidad para variables que son la suma de otras variables aleatorias independientes. En este documento se explica la aplicación de la transformada de Laplace para realizar las operaciones mencionadas anteriormente cuando se trata de variables aleatorias continuas no negativas. La transformada z se utiliza para operaciones con variables aleatorias enteras no negativas. Uso de la transformada de Laplace en probabilidad En el caso de variables aleatorias continuas no negativas, se puede utilizar la transformada de Laplace para determinar momentos de las variables en lugar de realizar las integrales respectivas. A continuación se presentan los conceptos relativos a la aplicación de esta transformada a funciones de densidad de probabilidad para variables aleatorias continuas no negativas.




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Sea t una variable aleatoria continua no negativa y sea f (t ) su función de densidad de

probabilidad. La transformada de Laplace de esta función de densidad de probabilidad es:

F(s) = L f (t ){ } = f (t ) e st dt

0

La transformada de Laplace de una función de densidad de probabilidad para una variable aleatoria continua no negativa tiene las siguientes propiedades básicas:

• F(s)

s=0= 1

•

dF(s)

ds

s=0

= E t[ ]

•

d2Fx(s)

ds2

s=0

= E t2[ ]

•

dnF(s)

dsn

s=0

= ( 1)nE tn[ ]

Estas propiedades se derivan a continuación:

•

F(s) s=0

= f (t ) e st dt

0 s=0

= f (t ) dt

0

= 1

•

dF(s)

ds

s=0

=d

dsf (t ) e st

dt

0

s=0

= t f (t ) e st dt

0 s=0

dF(s)

ds

s=0

= t f (t ) dt

0

= E t[ ]

•

d2F(s)

ds2

s=0

=d2

ds2f (t ) e st

dt

0 s=0

= t2 f (t ) e st

dt

0 s=0

= t2 f (t ) dt

0

= E t2[ ]

La generalización de la propiedad anterior es:

•

dnF(s)

dsn

s=0

= ( 1)nE tn[ ]




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Ejemplo 1: Suponga que el tiempo entre llegadas de mensajes a un concentrador de una red de comunicación de datos puede ser modelado como una variable aleatoria con distribución exponencial con media 1 / segundos. Su función de densidad de probabilidad es:

f (t ) = e t , t 0

La media de esta distribución es:

E t[ ] = t f (t ) dt

0

= t e t dt

0

= -t e t -1

e t

0

=1

segundos.

La variancia de esta distribución es:

t

2 = E t E t[ ]( )2

= E t

2[ ] E t[ ]2

Es necesario calcular el valor esperado de t cuadrada:

E t2[ ] = t2 f (t ) dt

0

= t2 e t

dt

0

= t2e t 2t e t 2

2e t

0

=22

Entonces:

t2 = E t2[ ] E t[ ]

2=

2

2

1

2

=1

2 seg2 .

Usando la transformada de Laplace, se tiene:

F(s) = L f (t ){ } =

s +

Obsérvese que

F(s) s=0

=s +

s=0

= 1.

La media de la distribución es:

E t[ ] =dF(s )

ds

s=0

=d

ds s +

s=0

=(s + )2

s=0

=1

seg.

El valor esperado de t cuadrada es:

E t2[ ] =d2F(s )

ds2

s=0

=d2

ds s +

s=0

=2

(s + )3

s=0

=22

seg2 .




5

Entonces, la variancia es:

t2 = E t2[ ] E t[ ]

2=

2

2

1

2

=1

2 seg2 .

Para calcular la media y la variancia con el método tradicional se utilizó integración por partes. Para determinar la transformada de Laplace de la función de densidad de probabilidad se utilizaron las tablas de transformadas de Laplace. Obsérvese que es más rápido usar la transformada para los cálculos anteriores. Distribución para la suma de dos variables aleatorias independientes. Otra aplicación de la transformada de Laplace es la determinación de la función de densidad de probabilidad para la suma de dos variables aleatorias continuas e independientes. Supóngase que se tienen dos variables aleatorias continuas, no negativas e

independientes, t1 y t2 , con funciones de densidad de probabilidad f1(t ) y f2(t )

respectivamente.

Si se define una nueva variable aleatoria, t3 , como la suma de los valores de las

variables aleatorias t1 y t2 , la función de densidad de probabilidad de la nueva variable

aleatoria será la convolución de las funciones de densidad de probabilidad para las

variables t1 y t2 :

f3(t ) = f1( ) f2(t ) d

0

t

= f2( ) f1(t ) d

0

t

La operación de convolución es conmutativa. La transformada de esta función de densidad de probabilidad, de acuerdo a la propiedad de la transformada de Laplace para la convolución, está dada por:

F3(s) = f3(t ) e st dt

0

= F1(s) F2(s )

La transformada de Laplace inversa permite obtener la función de densidad de probabilidad para la nueva variable. Ejemplo 2: Suponga que el tiempo entre llegadas de mensajes a un concentrador de una red de comunicación de datos puede ser modelado como una variable aleatoria con distribución exponencial con media 1 / segundos, como en el ejemplo anterior.




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Ahora nos interesa determinar la función de densidad de probabilidad para el tiempo entre la llegada de dos mensajes al concentrador. El tiempo entre la llegada de dos mensajes será la suma del tiempo transcurrido hasta la llegada del primer mensaje y el tiempo transcurrido entre la llegada del primer

mensaje y la llegada del segundo mensaje ( t3 = t1 + t2).

En este caso, la función de densidad de probabilidad para t1 es exponencial con media

1 / segundos y la función de densidad de probabilidad para el tiempo t2 es también

exponencial con la misma media:

f1(t ) = e t , t 0

f2(t ) = e t , t 0

Entonces, la función de densidad de probabilidad para el tiempo entre la llegada de dos mensajes es:

f3(t ) = f1( ) f2(t ) d

0

t

= e- e- ( t ) d

0

t

=2e- t d

0

t

=2t e- t , t 0

Si se utiliza transformada de Laplace, se tiene:

F3(s) = F1(s ) F2(s) =s +

s +

=

s +

2

Entonces, f3(t ) = L

1 F3(s){ } = 2t e t , t 0 .

Para este ejemplo es relativamente sencillo determinar la función de densidad de probabilidad para la suma de dos variables aleatorias continuas con distribución exponencial usando ambos métodos, pero ¿Qué tan fácil sería determinar la función de densidad de probabilidad para el tiempo entre la llegada de 5 mensajes? Indudablemente que sería mucho más fácil usando la transformada de Laplace en lugar de utilizar integrales de convolución. Uso de la transformada z en probabilidad En el caso de variables aleatorias enteras no negativas, se puede utilizar la transformada z para determinar momentos de las variables en lugar de realizar las integrales respectivas, de manera similar a como se utiliza la transformada de Laplace para variables aleatorias continuas. La transformada z que se utiliza en probabilidad no es la misma que la transformada z que se utiliza en ingeniería de control para analizar sistemas discretos. Si existe relación entre ambas, ya que provienen de la transformada de Laplace para el caso de




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variables discretas. En ingeniería de control, la transformada z se aplica a las variables, pero en probabilidad, la transformada z se aplica a las funciones de distribución de probabilidad. La transformada z en probabilidad. Supóngase que se tiene una variable aleatoria, x, que solamente puede tomar valores enteros no negativos. Si la probabilidad de que la variable aleatoria x tome el valor de

k está definida por P x = k[ ], para k = 0, 1, 2, 3, ……..

La transformada z de la función de probabilidad para x está definida como sigue:

Gx( z) P x = k[ ] zk

k=0

Esta transformada tiene las siguientes propiedades:

• Gx( z)

z=1= 1

•

dGx( z)

dz

z=1

= E x[ ]

•

d2Gx( z)

dz2

z=1

= E x2[ ] E x[ ]

Las propiedades anteriores se derivan a continuación:

•

Gx( z) z=1

= P x = k[ ] zk

k=0 z=1

= P x = k[ ]k=0

= 1

•

dGx( z)

dz

z=1

=d

dzP x = k[ ] zk

k=0

z=1

= k P x = k[ ] zk 1

k=0 z=1

dGx( z)

dz

z=1

= k P x = k[ ]k=0

= E x[ ]

•

d2Gx( z)

dz2

z=1

=d2

dz2P x = k[ ] zk

k=0

z=1

= k (k 1) P x = k[ ] zk 2

k=0

z=1




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d2Gx( z)

dz2

z=1

= k2 P x = k[ ]k=0

k P x = k[ ]k=0

= E x2[ ] E x[ ]

Ejemplo 3: En algunos casos se utiliza una distribución geométrica para modela la longitud de los mensajes que llegan a un concentrador en una red de comunicación de datos. Si n representa el número de bytes que tiene un mensaje, la probabilidad de que un mensaje tenga k bytes está dada por:

P n = k[ ] = (1 p)pk 1 , k = 1, 2, 3, ..…., 0 < p < 1

¿Cuál es el la longitud promedio de los mensajes que llegan al concentrador? La longitud promedio de mensajes que llegan al concentrador esta dado por:

E n[ ] = k P n = k[ ]k=0

= k (1 p)pk 1 =

k=1

1 p

(1 p)2=

1

1 p bytes.

Usando la transformada z, se tiene:

Gn( z) = P n = k[ ] zk

k=0

= (1- p)pk 1 zk

k=1

=(1 p)z

1- pz

Obsérvese que

Gn( z) z=1

=(1 )z

1 z z=1

= 1.

El número promedio de mensajes en el concentrador puede calcularse como sigue:

E n[ ] =dGn( z)

dz

z=1

=d

dz

(1 p)z

1 pz

z=1

=(1 pz)(1 p) (1 p)z( p)

(1 pz)2 z=1

E n[ ] =dGn( z)

dz

z=1

=(1 p)

(1 pz)2 z=1

=1

1 p bytes.

En este ejemplo, el cálculo de la longitud promedio de los mensajes en sencillo con ambos métodos, pero en otras situaciones es más rápido usando transformada z. Ejemplo 4: Determine la variancia para la longitud de los mensajes que llegan al concentrador del problema anterior.




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La variancia para el número de mensajes está dada por:

n

2 = E n E n[ ]( )2

= E n

2[ ] E n[ ]2

El valor esperado de n cuadrada es:

E n2[ ] = k2P n = k[ ]k=0

= k2(1 p) pk 1

k=0

=1+ p

(1 p)2

Entonces, la variancia de n es:

n2 = E n2[ ] E n[ ]

2=

1+ p

(1 p)2

1

1 p

2

=(1+ p) 1

(1 p)2=

p

(1 p)2

Utilizando la transformada z:

Gn( z) =

(1 p)z

1- pz

La segunda derivada de la transformada z de la distribución da:

d2Gn( z)

dz2

z=1

= E n2[ ] E n[ ] =d2

dz2

(1 p)z

1- pz

z=1

=2p(1 p)

(1 pz)3 z=1

=2p

(1 p)2

Entonces:

E n2[ ] =2p

(1 p)2+ E n[ ] =

2p

(1 p)2+

1

1 p=

2p + (1 p)

(1 p)2=

1+ p

(1 p)2

La variancia de n es:

n2 = E n2[ ] E n[ ]

2=

1+ p

(1 p)2

1

1 p

2

=(1+ p) 1

(1 p)2=

p

(1 p)2

Distribución para la suma de dos variables aleatorias independientes. La transformada z también se puede usar para determinar de la función de distribución de probabilidad para la suma de dos variables aleatorias enteras, no negativas, e independientes. Sean r y s dos variables aleatorias enteras, no negativas e independientes y sean

P r = k[ ] y

P s = k[ ] las probabilidades de que las variables aleatorias tomen el valor de

k, definidas para k = 0, 1, 2, 3, 4, ... Sea w una nueva variable aleatoria definida como la suma de las variables aleatorias r y s: w r + s .




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La probabilidad de que la variable aleatoria w tome el valor de k está dada por la convolución de las distribuciones de probabilidad para las variables aleatorias r y s:

P w = k[ ] = P r = j[ ] P s = k j[ ]j =0

k

= P s = j[ ] P r = k j[ ]j =0

k

Las sumatorias anteriores representan la convolución de las distribuciones de probabilidad para las variables aleatorias r y s. Obsérvese que la convolución es conmutativa. La transformada de la distribución de probabilidad para w está dada por:

Gw ( z) = P w = k[ ] zk

k=0

=Gr ( z) Gs( z)

donde

Gr ( z) = P r = k[ ] zk

k=0

y

Gs( z) = P s = k[ ] zk

k=0

son las transformadas de las

distribuciones para r y s respectivamente. Ejemplo 5: Una variable aleatoria, x, con distribución Bernoulli tiene la siguiente función de distribución de probabilidad:

P x = k[ ] =

1 p, para k = 0

p, para k = 1

0, para otros casos

0 < p < 1

Si se suman N variables con distribución Bernoulli, se tendrá una variable aleatoria con distribución binomial, cuya función de distribución de probabilidad es:

P w = k[ ] =

N

k

(1 p)N k pk , para 0 k N

0, para otros casos

0 < p < 1

Determine la media y la variancia de la distribución binomial. Si se obtiene la transformada z de la distribución Bernoulli, se tiene:

Gx( z) = P x = k[ ] zk

k=

= 1 p + p z




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Si se suman N variables con distribución Bernoulli, se obtiene una variable con distribución binomial. Entonces, la transformada z de la distribución binomial es:

Gw( z) = Gx( z)[ ]

N= (1 p + p z)N

Entonces, la media de la distribución binomial puede calcularse como:

E w[ ] =dGw ( z)

dz

z=1

=d

dz(1 p + p z)N[ ]

z=1= Np(1 p + p z)N 1

z=1= Np

La segunda derivada de la transformada z de la distribución para la distribución binomial es:

d2Gw( z)

dz2

z=1

= E w2[ ] E w[ ] =d2

dz2(1 p + p z)N[ ]

z=1

d2Gw( z)

dz2

z=1

= E w2[ ] E w[ ] = N(N 1)p2(1 p + p z)N 2

z=1= N(N 1)p2

Entonces, la variancia de la distribución binomial es:

w2 = E w2[ ] E w[ ] = N(N 1)p2 + Np (Np)2 = NP(1 p)

Conclusiones. Se espera que este breve documento contribuya a describir como se pueden utilizar las transformadas de Laplace y z en el área de probabilidad y procesos estocásticos.

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