Unidad 3. Transformaciones Integrales Transformadas de Laplace

Ecuaciones Diferenciales Unidad 3. Transformaciones integrales (Transformada de

Laplace)

Ciencias Exactas, Ingeniería y Tecnología | Ingeniería en Telemática

Ingeniería en Telemática

6° cuatrimestre

Programa de la asignatura:

Ecuaciones diferenciales

Unidad 3. Transformaciones integrales (Transformada de Laplace)

Clave: 220920624 / 210920624

Universidad Abierta y a Distancia de México


Laplace)

Ciencias Exactas, Ingeniería y Tecnología | Ingeniería en Telemática 1

Índice

Unidad 3. Transformaciones integrales (Transformada de Laplace) ............................................ 2

Presentación de la unidad ......................................................................................... 2

Propósitos de la unidad ............................................................................................. 3

Competencia específica ............................................................................................ 3

3. Transformada de Laplace ...................................................................................... 3

3.1. Definición ........................................................................................................... 4

3.1.1. Condiciones necesarias y suficientes para obtener la Transformada de Laplace de

una función............................................................................................................................ 5

3.1.2. Obtención de la Transformada de Laplace de funciones básicas ............................... 8

3.1.3. Obtención de la Transformada de Laplace de funciones definidas por tramos ...... 10

Actividad 1. Análisis de gráficas .............................................................................. 11

3.2. Función escalón unitario ................................................................................... 12

3.2.1. Transformada de Laplace (función escalón unitario) ................................................ 14

Actividad 2. Resolver un problema matemático ....................................................... 18

3.3. Transformada inversa ....................................................................................... 18

3.3.1. Transformada inversa de Laplace ............................................................................. 18

3.3.2. Obtención de la transformada inversa de Laplace ................................................... 19

Actividad 3. Discriminación de elementos dentro de un problema ........................... 23

Autoevaluación ........................................................................................................ 24

Evidencia de aprendizaje. Aplicaciones de la transformada de Laplace .................. 25

Autorreflexiones ...................................................................................................... 26

Para saber más ....................................................................................................... 26

Cierre de la unidad .................................................................................................. 26

Fuentes de consulta ................................................................................................ 26


Laplace)


Unidad 3. Transformaciones integrales (Transformada de Laplace)

Presentación de la unidad

En la primera y la segunda unidad aprendiste a clasificar las ecuaciones diferenciales

de primer orden y sus métodos de solución. En la segunda unidad se estudiaron las

ecuaciones diferenciales de grado n, además de otras herramientas matemáticas que

facilitaron la obtención de una solución general. En la unidad tres estudiarás una

nueva herramienta matemática llamada Transformada de Laplace, la cual tiene una

gran aplicación en el estudio de la realidad.

¿Para qué necesitamos la Transformada de Laplace?

Si analizamos el comportamiento dinámico de algunos procesos en la vida cotidiana

(por ejemplo: controlar temperatura y humedad en un edificio, o el análisis de la

suspensión de un automóvil), veremos que puede representarse de manera

aproximada por el siguiente modelo general de comportamiento dinámico lineal:

1 2

1 2 01 2.....

n n n

n n n nn n

d y t d y t d y ta a a a y t x t

dt dt dt

La Transformada de Laplace es una herramienta matemática muy útil para el

análisis de sistemas dinámicos lineales; por ejemplo: en la transportación para

controlar el movimiento de un vehículo de un lugar a otro de manera segura, o en la

industria, para controlar el proceso de manufactura.

La transformada de Laplace permite resolver ecuaciones diferenciales lineales

mediante una transformación en ecuaciones algebraicas, con lo cual se facilita su

estudio y, por lo tanto, simplifica bastante el proceso de solución.


Laplace)


Propósitos de la unidad

Mediante el estudio de esta unidad podrás:

Identificar las propiedades de la Transformada de Laplace para resolver ecuaciones diferenciales lineales con condiciones iniciales.

Utilizar las propiedades de las Transformadas de Laplace para determinar la suma de las transformadas en cada término mediante un operador lineal.

Utilizar un sistema de ecuaciones para una ecuación arbitraria mediante su ubicación en velocidad y tiempo.

Analizar cómo afecta a las Transformadas de Laplace una traslación en las variables así como los cambios en escala.

Competencia específica

Utilizar la transformada de Laplace para la resolución de ecuaciones diferenciales, utilizando las condiciones necesarias y suficientes.

3. Transformada de Laplace

La Transformada de Laplace es una herramienta muy útil para resolver problemas que

generan ecuaciones diferenciales muy complejas, que a menudo son difíciles de

resolver. Este tipo de ecuaciones se origina durante el estudio de circuitos

electrónicos, circuitos eléctricos y sistemas de control.


Laplace)


Transformar significa convertir una cosa en otra distinta. En este caso, la

Transformada de Laplace convierte un problema que involucra derivadas o

integrales en un problema algebraico.

3.1. Definición

Sea ( )f t una función definida para 0t ; entonces la integral

L

0 0( ) lim

bSt St

bf t e f t dt e f t dt

representa la Transformada de Laplace de la función ( )f t

Es decir, se hace una transformación de una función “f” que depende de “t” a otra

función “F” que depende de “s”:

L ( ) ( )f t F S

Ejemplo 1

Calcular la Transformada de Laplace de la función 1f t

L

01 1Ste dt

Resolviendo la integral:

=

0

Ste

S

Evaluando los límites:

=0e e

S S

Obtenemos, finalmente:

L

f t =1

S , siempre que 0S

Ejemplo 2

Calcular la Transformada de Laplace de la función 4tf t e

L 4 4

0

t St te e e dt

Resolviendo la integral:

4

44

0 0

04

t St SSt t e

e dt e dtS



Laplace)


1

4S

Siempre que 4 0S

Es decir 4S

Como la Transformada de Laplace se obtiene a través de una integral, entonces

debe cumplir con las mismas propiedades de las integrales. Por lo tanto,

podemos escribir:

L

0 0 0( ) ( ) ( ( ))St St Staf t bg t e af t bg t dt a e f t dt b e g t dt

Cuando ambas integrales convergen, se tiene que:

L ( ) ( )af t bg t =

L ( )af t + L ( )bg t = ( ) ( )aF s bG s

3.1.1. Condiciones necesarias y suficientes para obtener la

Transformada de Laplace de una función

Si queremos obtener la Transformada de Laplace de funciones como 1

f tt

O 2tf t e observaremos que la integral no converge, es decir, no existe.

Existen dos condiciones que garantizan la existencia de L ( )f t :

a) La función ( )f t debe ser continua por tramos en el intervalo 0t (esto

significa que la función puede tener saltos de continuidad).

b) La función ( )f t debe ser de orden exponencial para t T


Laplace)


Figura 1. Gráfica de una función que es continua por tramos.

A continuación se analizarán las gráficas de las funciones:

( )f t t , ( ) tf t e y ( ) 2cosf t t .

Cada una de estas gráficas se comparará con la función ( ) tf t e en un mismo

sistema de ejes coordenados. (Gráficas generadas con el software Derive)

Figura 2. Grafica de las funciones

,

( )f t t y ( ) tf t e


Laplace)



( ) tf t e y ( ) tf t e



Laplace)


( ) tf t e y ( ) 2cosf t t

Observamos que las funciones ( )f t t , ( ) tf t e y ( ) 2cosf t t sí cumplen con las

condiciones de existencia de la Transformada de Laplace ya que las tres funciones

son continuas por tramos en el intervalo 0t ; además, son funciones de orden

exponencial porque las tres funciones crecen más lento que ( ) tf t e al encontrarse

por debajo de ella.

En cambio, una función del tipo 2

( ) tf t e no es de tipo exponencial ya que crece más

rápido que la función ( ) tf t e y se encuentra por encima de ella, como se observa

en la figura 4.

Por lo tanto, L

2te no existe.

Figura 5. Grafica de la función

2

( ) tf t e

3.1.2. Obtención de la Transformada de Laplace de funciones básicas

A continuación se muestra el cálculo de la Transformada de Laplace utilizando las

propiedades de la suma de integrales, es decir, la transformada de una suma de

funciones es igual a la suma de las transformada de cada función.


Laplace)


También es muy útil utilizar una tabla de transformadas de funciones básicas, la cual

nos ahorra tiempo en el proceso de cálculo.

Tabla de transformadas

a) L

11

s

b) L 1

!n

n

nt

s

c) L 1at

s ae

d) L 2 2s

k

ksen kt

e) L 2 2

coss

s

kkt

Ejemplo 3

a) Determinar L f t

b) 2 6 3f t t t

c) L 2 6 3t t

L 2t

+ 6 L t - 3 L 1 =

SSS

36223

Ejemplo 4

a) Determinar L f t

b)

3 3 21 3 3 1f t t t t t

c) L 133 23 TTT = L 3T + 3 L

2T + 3 L T + L

1 =

SSSS

1366234

Ejemplo 5

a) Determinar L

f t

b) 2 cos2f t sen t t

c) L 2 cos2sen t t

L 2sen t

+ L cos 2t

= 44

222

S

S

S

Ejemplo 6

a) Determinar L

f t


Laplace)


2f t sen t

b) Recuerda que

2 1 cos 2

2

tsen t

c) L 2sen t

L 1 cos 2

2

t

d) = 2 2

1 1 1 2* *

2 2 4 4

s

s s s s

.

3.1.3. Obtención de la Transformada de Laplace de funciones

definidas por tramos

Determinar L f t para la siguiente función por tramos:

f t 0, 0 3

4, 3

si t

si t

Calculamos la transformada para cada tramo:

L 3

0 30 4st stf t e dt e dt

Resolviendo las integrales:

3

30

4 ses


304 seS

Obtenemos finalmente:

L f t34 se

S , siempre que 0S


Laplace)


Actividad 1. Análisis de gráficas

Por medio de esta actividad identificarás y analizarás los detalles que son importantes

en una gráfica y, así, comprenderás mejor la información que te brinda.

1. Observa y analiza las gráficas de las siguientes funciones:

2

, 0 1

2, 1 2

2 2

x si x

f x si x

x si x


Laplace)


2. Ingresa al foro de discusión que lleva por nombre “Condiciones para determinar la

Transformada de Laplace”.

3. Responde las siguientes preguntas y comenta tus respuestas con dos de tus

compañeros:

a) ¿Qué condición representa cada gráfica?

b) ¿Por qué son necesarias estas condiciones para las Transformadas de

Laplace?

4. Escribe en un documento de Word tus conclusiones. El documento debe incluir la

respuesta de las dos preguntas.

5. Envíalo con la nomenclatura KEDF_U3_A1_XXYZ.

*Recuerda que el peso del archivo no debe exceder los 4 MB.

* Consulta la Rúbrica general de la participación en foros que se encuentra en la sección Material de apoyo.

3.2. Función escalón unitario

La función escalón unitario se define como:

0, 0( )

1,

si t au t a

si t a

.

Ejemplo 7

Traza las gráficas de (a) ( )u t y (b) ( 3)u t

a) ( ) 1u t para 0t

La grafica se muestra a continuación (Gráficas generadas con el software Derive) :


Laplace)


Figura 5. Grafica de la función ( ) 1u t

b) 0, 0 3

31, 3

si tu t

si t

Figura 6. Grafica de la función ( 3)u t

De acuerdo con las gráficas anteriores, la función escalón unitario, al ser combinada

con otras funciones definidas para , “corta” una parte de sus gráficas; en este

caso, la gráfica se corta en el intervalo 0,3 y en la gráfica de la siguiente función se

corta en el intervalo 0,2

u t sen t Para 0t

0, 0 2

2, 2

si tu t

sen t si t


Laplace)


Figura 7. Grafica de la función ( 2 )u t

3.2.1. Transformada de Laplace (función escalón unitario)

La transformada de una función escalón unitario se puede obtener fácilmente

mediante la siguiente expresión:

Si 0S

L ( )

as

u t ae

s

.

Ejemplo 8

Determinar L ( 15)u t

L

15

( 15)se

u ts

.

Ejemplo 9

Determinar L ( 16)u t

L

16

( 16)se

u ts

.


Laplace)


Teoremas de traslación

Al determinar algunas transformadas, como L 8 5tte y L

8 cos8t te

, se pueden

obtener en forma directa, siempre que se conozcan L 5t y L

cos8t

En general, si se conoce la Transformada de Laplace de una función

L ( ) ( )f t F S es posible calcular la Transformada de Laplace de un múltiplo

exponencial de , por ejemplo: L ( )ate f t

Esto quiere decir cambiar, o desplazar, la transformada ( )F S a )(F S a.

y se conoce como el primer teorema de traslación o primer teorema de

desplazamiento.

Primer teorema de traslación

Si a es un número real cualquiera, entonces:

L ( )( )at F S ae f t

En donde L ( ) ( )f t F S

Ejemplo 10

Determinar L f t

2 cos2tf t e t

L 2 cos2te t L

22 222

2 2cos 2

4 4 82 4S SS S

S S St

S S SS

Ejemplo 11

Determinar L f t

3tf t e sen t

L 3te sen t L

22 211

3 3 33

9 2 101 9S SS S

sen tS S SS


Laplace)


Segundo teorema de la traslación

A este teorema también se le conoce como traslación sobre el eje “t” y establece que

si f es función continua en tramos y “a” es una constante cualquiera entonces;

L ( ) ( )asf t a u t a e F s

Ejemplo 12

Determinar L f t f t u t a

L aSe

u t aS

Ejemplo 13

Determinar L f t

3 2f t u t

L 23

3 2Se

u tS

Ejemplo 14

Determinar L f t

3f t tu t

L 3t u t

Para poder usar el segundo teorema de traslación debemos completar

t a 3t :

L 3 3 3t u t

Agrupando obtenemos que:

L 3 3 3 3t u t L u t

3 3

23

S Se e

S S

Para el caso de una función en tramos:


Laplace)


, 0

,

,

p t si t a

f q t si a t b

r t si b t

t

La función se puede escribir de la siguiente manera para poder aplicar el segundo

teorema de traslación:

p t q t p t r t q t t bt u t a uf

Ejemplo 15

Calcular, L f t donde:

1 , 0 1

1 1 3

2, 3

t si t

f si t

t si t

t

La función se debe escribir de la siguiente manera:

1 1 1 1 2 1 3t t tt u t uf t

Simplificando se obtiene que:

1 1 3 3f t t tu t t u t

Completando

t a 1t

1 1 1 1 3 3f t t t u t t u t

Agrupando tenemos que:

1 1 1 1 3 3f t t t u t u t t u t

Finalmente al aplicar la transformada de Laplace:

2

3

2 2

1 1 S S S

s s

e e e

S S S


Laplace)


Actividad 2. Resolver un problema matemático

Al finalizar esta actividad resolverás problemas con valores iniciales, utilizando la

Transformada de Laplace.

1. En un documento de texto, resuelve los siguientes problemas con valores

iniciales utilizando la Transformada de Laplace.

a) 1 yy 00 y

b) 2y y t 10 y

2. Guarda tu documento con la nomenclatura KEDF_U3_A2_XXYZ.

3. Envía el archivo a tu Facilitador(a) mediante la sección de Tareas y espera su

retroalimentación.

* El peso del archivo no debe exceder los 4 MB.

3.3. Transformada inversa

La Transformada inversa de la Laplace es una herramienta muy útil para la solución de

ciertos tipos de ecuaciones diferenciales. Recordemos que una de las principales

propiedades de la Transformada de Laplace es la de convertir una ecuación que

contenga derivadas o integrales en una ecuación algebraica que sea más fácil de

resolver.

3.3.1. Transformada inversa de Laplace

Ya vimos que L ( )f t representa la Transformada de Laplace de la función ( )f t

Es decir se hace una transformación de una función f que depende de t a otra función

F que depende de S :

( ) ( )f t F SL

Ahora queremos lo contrario, es decir, dada una función ( )F S deseamos encontrar la

función ( )f t que corresponda a esta transformada. Decimos entonces que ( )f t es la

Transformada inversa de Laplace de ( )F S y escribimos:

1( ) ( )f t F SL


Laplace)


De acuerdo con esta definición, a partir de la tabla de Transformadas podemos

elaborar otra tabla de Transformadas inversas:

Tabla de Transformadas

L

11

s

L 1

1,2,3....!n

nn

nt

s

L 1at

s ae

L 2 2s

k

ksen kt

L 2 2

coss

s

kkt

Tabla de Transformadas inversas

111

s

L

1

11,2,3....

!n

nt n

ns

L

1 1

at

s ae L

1

2 2sen kt

s

k

k

L

1

2 2cos kt

s

s

k

L

3.3.2. Obtención de la transformada inversa de Laplace

Es importante observar que la Transformada Inversa también es una operación lineal,

esto significa que para dos constantes a y b cualesquiera, se tiene que:

1 1 1( ) ( )aF s bG s a F s b G s L L L


Laplace)


Donde ( )F s y G s son las transformadas de ciertas funciones f y g. Es decir la

transformada inversa de una suma de funciones es igual a la suma de la

Transformada inversa de cada función.

La transformada inversa de Laplace de una función ( )F s puede que no exista o que

no sea la única. Sin embargo, si tenemos que 1( )f t y

2 ( )f t son funciones continuas

para 0t y 1 2( ) ( )f t f tL L , entonces necesariamente 1 2( ) ( )f t f t .

A continuación obtendremos la Transformada Inversa de una función utilizando las

tablas de Transformadas inversas:

Ejemplo 16

Calcular 1

9

1s

L

Usamos la segunda fórmula de la tabla de Transformadas inversas:

1

11,2,3....

!n

nt n

ns

L

Si multiplicamos y dividimos por 8! tenemos que:

8

9

1 1

9

1 1

8! 40320

1 8!t

s s

L L

Ejemplo 17

Evaluar 2

1

8

4 7ss

L

En este caso volvemos a usar las formulas de las tablas de Transformadas inversas:

1

2 2sen kt

s

k

k

L

1

2 2cos kt

s

s

k

L

2 2 2

1 1 17 84

8 8 88

4 7

S

S S

ss

L L L

74cos 8 8

8 t sen t


Laplace)


El siguiente ejemplo ilustra el proceso que se debe usar para la solución de

ecuaciones diferenciales mediante la Transformada de Laplace. Hay que tomar en

cuenta que la ecuación pudo haberse resuelto por un método más sencillo, sin

embargo el objetivo es utilizar las propiedades de la Transformada de Laplace como

un método alternativo de solución que nos sirva para cursos avanzados de ecuaciones

diferenciales.

Ejemplo 18 Usa la transformada de Laplace para resolver el problema de valor inicial:

4' 6

0 1

ty y

y

e

Aplicando transformada de Laplace a ambos lados de la ecuación diferencial

4' 6 ty y eL L

Utilizando las tablas de Transformada de Laplace y aplicando la propiedad de

linealidad:

4' 6 ty y eL L

4' 6 ty y eL L L

Para determinar la Transformada de una derivada utilizamos el siguiente teorema.

Si 1

( ), '( ),..., ( )n

f t f t f t son continuas para 0t y de orden exponencial, y si

( )

nf t es continua parte por parte para 0t , entonces:

1 1 2 1

( ) (0) '(0) ... (0)

n n n nnf t s F s s f s f fL

Donde:

( ) ( )F s f tL

Regresando a nuestro ejercicio:

4' 6 ty y eL L L


Laplace)


1

0 64

sY s y Y ss

1

1 64

sY s Y ss

Factorizando:

1

6 14

Y s ss

1

6 14

Y s ss

1 4

64

sY s s

s

3

4 6

sY s

s s

Descomponemos en fracciones simples:

3

4 6 4 6

s A B

s s s s

3 6 4 s A s B s

3 6 4 s As A Bs B

3 6 4 s s A B A B

3 6 4

1

6 4 3

s s A B A B

A B

A B

Resolviendo el sistema encontramos que 1 3

2 2 A y B

1 33 2 2

4 6 4 6

sY s

s s s s

Ahora debemos de aplicar transformada inversa para hallar y t


Laplace)


1 1 11 1 3 1

2 4 2 6

Y s

s sL L L

Utilizando las tablas de Transformadas Inversas:

1 1

at

s ae L

Obtenemos finalmente la solución de la ecuación diferencial:

4 61 3

2 2 t ty t e e

Actividad 3. Discriminación de elementos dentro de un problema

Al finalizar esta actividad podrás conocer en qué se diferencia la traslación del eje s y

del eje t, lo cual tiene mucha utilidad en la solución de problemas de frecuencia y

tiempo, por ejemplo.

1. En un documento de texto, resuelve los siguientes problemas de Transformada

de Laplace.

a) Traslación sobre el eje s. Problema sobre el primer teorema de traslación

b) Determina:

c) L 8 cos8te t

d) Traslación en el eje t. Problema sobre el segundo teorema de traslación.

Determine la transformada de la función cuya gráfica es:


Laplace)


Nota: Antes de determinar la transformada, la funcion se debe expresar como en el

ejemplo 4 del tema “Segundo teorema de la traslación”

2. Responde, ¿en qué se diferencia la traslación del eje s y del eje t?

3. Guarda tu documento con la nomenclatura KEDF_U3_A3_XXYZ.

4. Envía el archivo a tu facilitador(a) mediante la sección de Tareas y espera su

retroalimentación.

* El peso del archivo no debe exceder los 4 MB.

Autoevaluación

¡Felicidades, haz llegado al final de la unidad.!

Para verificar los conocimientos adquiridos en la unidad, deberás realizar el ejercicio

de autoevaluación que aquí se presenta. Después de resolverlo, verifica tus

respuestas en la pestaña de la Unidad 3, dentro de la plataforma Moddle.

Instrucciones: Anota dentro del paréntesis, la letra de la opción que corresponda a la

respuesta correcta.

1.

( ) ( )

( )

( )

( )

2.

( ) [ (

)]

( ) ( )

( )√

( )


Laplace)


3.

( ) ( √ )

( ) ( )

(

( ) )

(

( ) )

4.

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

5.

( ) √

( )

( ) ( )

( )

( )

Evidencia de aprendizaje. Aplicaciones de la transformada de

Laplace

A través de esta evidencia podrás analizar cómo arreglar las funciones presentadas

y usarlas directamente para encontrar la Transformada de Laplace. Para ello:

1. Encuentra la Transformada de Laplace de la función dada por tu Facilitador(a) :

2. Guarda tu documento con la siguiente nomenclatura: KEDF_U3_EA_XXYZ.

3. Envía tu reporte al portafolio de evidencias y espera la retroalimentación de tu

facilitador(a), atiende sus comentarios y reenvía la nueva versión de tu

evidencia.

*Consulta la Escala de evaluación para conocer los criterios con que será evaluado

tu trabajo.


Laplace)


Autorreflexiones

Además de enviar tu trabajo de la Evidencia de aprendizaje, es importante que

respondas la siguiente pregunta:

¿Para qué se utilizan las transformadas de Laplace?

Debes mencionar, por lo menos, cinco ejemplos.

1. Elabora tu documento de Autorreflexión en un archivo de texto llamado

KEDF_U3_ATR_XXYZ.

2. Envía tu archivo mediante la herramienta Autorreflexión.

Para saber más

En estos enlaces encontrarás dos artículos, tan breves como interesantes, que tratan

sobre las ecuaciones diferenciales y la importancia de los métodos aproximados de

solución.

http://www.drosophila.es/tags/ecuaciones-diferenciales/odos

http://www.nuestraldea.com/?p=107

Cierre de la unidad

En esta unidad, aprendiste a determinar la Transformada de Laplace de una función

dada, así como las condiciones que debe tener una función para que la Transformada

exista. Analizaste gráficamente las funciones por tramos y las funciones exponenciales

para la determinación de la Transformada de Laplace. Estudiaste la función Unitaria y

determinaste su Transformada. Estudiaste las propiedades de la Transformada

Inversa y su utilización para resolver ecuaciones diferenciales.

Ahora puedes identificar sus propiedades para resolver ecuaciones diferenciales con

condiciones iniciales.

Puede parecer complejo pero es un gran reto por el que vale la pena el esfuerzo. Tu

empeño dará frutos desarrollando tus capacidades intelectuales. Por ello, te invitamos

a continuar tus estudios con perseverancia.

Fuentes de consulta

Boyce, W. E., y Diprima, R. C. (1978). Ecuaciones Diferenciales y problemas con

valores a la frontera. (3º ed.). México: Limusa.

http://www.drosophila.es/tags/ecuaciones-diferenciales/odos

http://www.nuestraldea.com/?p=107


Laplace)


Campbell, S. L., y Haberman, R. (1997). Introducción a las Ecuaciones Diferenciales

con Problemas de Valor de Frontera. México: McGraw-Hill.

Simmons, G. F., y Robertson, J. S. (1993). Ecuaciones Diferenciales con aplicaciones

y notas históricas. (2º ed.). México: Mc Graw Hill.

Unidad 3. Transformaciones Integrales Transformadas de Laplace

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