10.Transformadas de Laplace solamente.pdf

7/21/2019 10.Transformadas de Laplace solamente.pdf

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‣ Linealidad:



Sea x(t) = x 1(t)-x 2(t) con

21

1)(

1

1)( 21

sss X

ss X

21

1

1

1)()()( 21

ssss X s X s X

2

1

21

1

sss

s



1

1)(1

s

s X

2

1)(

s

s X

21

1)(2 sss X



esplazamiento en tiempo



esplazamiento en s

La ROC depende únicamente de la parte realdel parámetro s

Si el corrimiento es puramente imaginario, laROC no cambia



a

R

a

s X

asY at x t y

1R ROC

1

‣ Si a>1, la ROC se comprime.‣ Si 0<a<1, la ROC se expande.

‣ Si a<0, la ROC sufrirá una reflexión, apartede la correspondiente escalización. En

particular:

Rs X t x 1R ROC



Si la señal x(t) es real X(s) = X * (s* )

Si x(t) es real y tiene un polo o cero en s 0 ,entonces también tendrá un polo o cero ens o

*

x

s X t x R ROC



y x R ROC,R ROC, sY t ys X t x

Convolución

y xz R R R ROC

)()()()()(

sY s X s Z t yt x t z



x RssX dt

t dx t y y R ROC),(

)(

x s X t x R ROC



erivación en s

x Rds

sdX t tx t y y R ROC,)()(



Por derivación en s

)()( t utet x at

asas

t ue at

}Re{1

)( L

as

asasds

d t ute at

}Re{

11)(

2

L

‣ En general

as

ast ue

n

t n

at n

}Re{1

)(!1

1L



Integración en Tiempo

0R ROC

1)(

y

s R

s X s

sY d x t y

x

t

e



Sea x(t) = 0 para t<0

Si x(t) no contiene impulsos u otras

singularidades en el origen se tiene que:

)(lim)(lim

)(lim0

0ssX t x

ssX x

st

s



Por la propiedad de convolución, la relaciónentrada-salida de un SLTI se puede escribircomo:

H(s) , es función de transferencia de lossistemas.

Evaluando H(s) en s = j se obtiene larespuesta en frecuencia del sistema.

)()()( s X s H sY



La ROC de H(s) nos pueden dar información

sobre algunas propiedades del sistema. Causalidad:

◦ En sistemas causales h(t) es una función derecha.

◦ Las ROC de su transformada es

Semiplanos derechos en el plano s.



El sistema es causal (h(t) = 0, t<0) y la ROC es

un semiplano derecho que comienza en elúnico polo del sistema.

1}{,1

1)()()(

ss

s H t uet h t Re L

1}{1,

1

2)()(

2

||

s

s

s H et h t Re L

‣ El sistema es no causal (h(t) ≠ 0, t<0) y la ROCno es un semiplano derecho.



La ROC de este sistema es un semiplanoderecho

H(s) no es racional, la causalidad del sistema

no se puede determinar inmediatamente Se debe calcular h(t)

1}{,1

)(

ss

es H

s

Re

‣ es indica un corrimiento en tiempo

1}{,1

1)()()(

ss

s H t uet h t Re L

)1()( 1 t uet h t

‣ h(t)≠0 para -1<t<0, el sistema es no causal



Si un sistema es estable, su respuestaimpulso debe ser absolutamenteintegrable/sumable.

La transformada de Fourier H(j ) existen

El eje imaginario pertenece a la ROC de H(s)



La ROC no se haespecificado, pero larespuesta impulso se

puede determinar si setiene informaciónextra.

Si el sistema es causal,la ROC es unsemiplano derecho

21

1)(

ss

ss H

)(3

1

3

2)( 2 t ueet h t t



Si el sistema es estable,la ROC debe contener aleje imaginario.

La única opción posiblees que la ROC esté entrelos dos polos

21

1)(

ss

ss H

t uet uet h t t 2

3

1)(

3

2)(



Si la ROC es unsemiplano izquierdo

21

1)(

ss

ss H

)(3

1

3

2)( 2 t ueet h t t



Si el sistema es además causal, su ROC es:

◦ Semiplano derecho para t. continuo

La ROC no puede contener polos.

Todos los polos del sistema deben estar:◦ A la izquierda del eje imaginario para tiempo

continuo

◦ Al interior del círculo unitario para tiempo discreto



Objetivo: Determinar la función de transferenciadel sistema descrito por esta ecuación.

Un SLIT está caracterizado por la ecuación:

)()()(

00

M

k k

k

k

N

k k

k

k

dt

t x d b

dt

t yd a

)()()( s H s X sY

)(

)()(

s X

sY s H



La transformada de Laplace de (*) es:

M

kk

k

k

N

kk

k

kdt

t x d bdt

t yd a00

)()( L L

M

k

k

k

N

k

k

k sbs X sasY 00

N

k

k

k

M

k

kk

sa

sb

s X

sY s H

0

0



Aplicando la transformada de Laplace aambos lados:

)()(3)(

t x t ydt

t dy

)()(3)( s X sY ssY

3

1

)(

)()(

ss X

sY s H

‣

Si el sistema es causal:

‣ Si no lo es:

)()( 3 t uet h t

)()( 3t uet h

t



Suponga que la entrada y salida de un SLITson:

)()()()( 23 t ueet yt uet x t t t

1}{

21

1)(3}{

3

1)(

s

sssY s

ss X Re Re

‣ de donde:

‣ Sus transformadas de Laplace son

21

3

)(

)()(

ss

s

s X

sY s H



La propiedad deconvolución tambiénespecifica la ROC de

H(s):

RY R X R H

La única ROC que

cumple es elsemiplano derecho.

)(2)( 2 t ueet h t t



Hallar H(s) de un SLIT si:◦ El sistema es causal

◦ H(s) es racional y tiene polos en -2 y 4

◦ Si x(t) = 1, y(t) = 0

◦ h(o+ ) = 4

42

)()(

ss

s ps H

‣ x(t)=1=e0t y(t)=0=e0t H(0) = H(0) p(0)=0



p(0)=0 p(s) = sq(s)

Por el teorema del valor inicial:

4

42

)(lim)(lim

2

ss

sqsssH

ss

‣ Para que el límite exista, el grado delnumerador debe ser igual al del denominador

q(s) = K

K

ss

K ss

KsssH sss

2

2

2

821

lim82

lim)(lim

42

4)(

ss

ss H



Operaciones complejas en el dominio deltiempo se pueden reemplazar poroperaciones algebraicas en los dominios s y

z .

Conexión en paralelo

◦ h(t) = h1(t)+h2(t)

◦

H(s) = H 1(s)+H 2(s)◦ h[n] = h1 [n]+h2 [n]

◦ H(z) = H 1(z)+H 2(z)

h1(t)

h2(t)

+ x(t) y(t)



)()(3)(

t x t y

dt

t dy

dt t yt x t y )(3)()(

)()(1

)()(

21

1

s H s H

s H s H

3

1

31

1

s

s

s

3

x(t) y(t)dt +

-

3

X(s) Y(s)s

1+

-



3

2)(

s

ss H

‣ Se puede interpretar como la conexión de dossistemas en cascada.

3

1)(2)( 21

ss H ss H

-3

X(s) Y(s)

s

1s+2

Z(s)

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