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PROBABILIDAD

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3

DeterministasSi se repiten en las mismas condiciones se puede conocer el resultado.

• Dejar caer un objeto desde cierta altura y ver el tiempo que tarda en caer

• Calentar agua y ver a qué temperatura hierve

• Recorrer determinada distancia siempre a la misma velocidad y ver el tiempo que tardas

AleatoriosAunque se repitan en las mismas condiciones no se puede predecir el resultado

• Tirar un dado y ver que número sale

• Lanzar una moneda al aire y ver si sale cara o cruz

• Extraer una carta de una baraja y ver de qué palo es.

Tipos de experimentos

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Probabilidad. Conceptos iniciales

Probabilidad. Conceptos iniciales

Espacio muestralEs el conjunto de posibles resultados de un experimento aleatorio.

Se representa EPara el experimento tirar un dado y ver qué numero sale:E= {1, 2, 3, 4, 5,6}

SucesoEs un subconjunto del espacio muestral

Salga un nº par = {2, 4, 6}Salga un nº mayor que 4= {5, 6}Salga un múltiplo de 3 = {3, 6}Salga un nº primo= {…………….}

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Probabilidad. Conceptos inicialesSuceso elementalEs el formado por un solo elemento del espacio muestral

Salga un A = {3}

Suceso compuestoEs el formado por más de un elemento del espacio muestral

Salga un nº par = {2, 4, 6}

6

Suceso seguroEs el que se cumple siempre que se realiza la experiencia. Está el formado todos los elementos del espacio muestral: E

Suceso imposibleEs el que se no se verifica nunca.Se representa: ф (conjunto vacío)

Probabilidad. Conceptos iniciales

Sucesos compatibles

Son sucesos de un mismo experimento aleatorio que pueden verificarse simultáneamente al realizar dicho experimento

Salga un múltiplo de 3 A = {3, 6}Salga un nº par B= {2, 4, 6}

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Sucesos incompatibles

Son sucesos de un mismo experimento aleatorio que NO pueden verificarse simultáneamente al realizar dicho experimento

Salga un 4 A = {4}Salga un nº impar B= {1, 3, 5}

Probabilidad. Conceptos iniciales

Sucesos contrarios

Dado un suceso A, se llama suceso contrario de A al suceso que ocurre siempre que no ocurre A, se expresa de la forma

Salga un nº par A= {2, 4, 6}Salga un nº impar = {1, 3, 5}

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A

A

Salga un nº cinco B= {5}No salga un nº cinco = {1, 2, 3, 4, 6} B

Operaciones con sucesos

Unión de sucesos AUBEl suceso AUB es el suceso formado por todos los elementos de los sucesos A y B

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Intersección A∩BEl suceso A∩B es el suceso formado por los elementos comunes al suceso A y al B

A = {3, 6}B= {2, 4, 6}

A ∩B = {6}AUB= {2, 3, 4, 6}

Operaciones con sucesos

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A = sea de oros = {………. }B= sea una figura= {………..}

A ∩B = sea de oros y también sea figura= {……..}(las dos cosas a la vez)

AUB= sea de oros o figura = {…….}(vale una cosa o la otra o las dos a la vez)

En el experimento extraer una carta de una baraja española:

Si dos sucesos son contrarios…

• ¿A qué será igual su unión?

• ¿Y su intersección?

Pon ejemplos con diferentes experimentos:

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Operaciones con sucesos

A∩ = фAU = E

A A

Ejercicios pag. 280, 281

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Operaciones con sucesos

𝐴 ∪ 𝐵 = 𝐴 ∩ 𝐵

𝐴 ∩ 𝐵 = 𝐴 ∪ 𝐵

Leyes de Morgan

Razona paso a paso un ejemplo con el experimento extraer una carta de una baraja:

A = sea de oros B= sea una figura

La probabilidad de un suceso es el número alrededor del cualtiende a estabilizarse la frecuencia relativa del suceso, cuandoaumenta mucho el número de veces que se realiza elexperimento

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Probabilidad y frecuencias

Ley de los grandes números

- Lanza una moneda 3 veces y haz una tabla de frecuencias relativas.- Sigue calculando las frecuencias relativas si la lanzas 10 veces, 30 veces, 100 veces…

¿Qué puedes deducir?

Ejercicios pag. 282, 283

La probabilidad de un suceso A se representa P(A)

Definición axiomática de Probabilidadverdad incuestionable que no necesita demostración

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Axioma:

Teorema: …sí necesita demostración

1º Axioma: 0 ≤ 𝑃(𝐴) ≤ 1

2º Axioma: La suma de las probabilidades de los sucesos elementales de un experimento es 1

𝑃 𝐴1 + 𝑃 𝐴2 + 𝑃 𝐴3 + … .+𝑃 𝐴𝑛 = 1

Consecuencias: 𝑃 𝐸 = 1𝑃 ∅ = 0

3º Axioma: la probabilidad de la unión de dos sucesos incompatibles…

𝑃 𝐴 ∪ 𝐵 = 𝑃 𝐴 + 𝑃 𝐵 si 𝐴 ∩ 𝐵 = ∅

Consecuencias

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Definición axiomática de Probabilidad

𝑃 𝐴 = 1 − 𝑃(𝐴)

𝑃 𝐴 ∪ 𝐵 = 𝑃 𝐴 + 𝑃 𝐵 − 𝑃(𝐴 ∩ 𝐵)

Probabilidad de la unión de sucesos compatibles:

Ejercicios pag. 284

Regla de Laplace

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𝑃 𝐴 =𝑁º 𝑑𝑒 𝑐𝑎𝑠𝑜𝑠 𝑓𝑎𝑣𝑜𝑟𝑎𝑏𝑙𝑒𝑠

𝑁º 𝑑𝑒 𝑐𝑎𝑠𝑜𝑠 𝑝𝑜𝑠𝑖𝑏𝑙𝑒𝑠

Definición clásica de probabilidad:

Debe cumplirse que:- El número de resultados posibles sea finito- Los resultados sean sucesos elementales- Los sucesos elementales sean equiprobables

Ejercicios pag. 285