INVESTIGACION DEOPERACIONES

PROBLEMA DE LA MOCHILA

Xóchitl González Núñez

HISTORIA• El problema de la mochila es uno de los 21 problemas

NP-completos de Richard Karp, establecidos por el informático teórico en un famoso artículo de 1972.1 Ha sido intensamente estudiado desde mediados del siglo XX y se hace referencia a él en el año 1897, en un artículo de George Mathews Ballard.2

DEFINICION

Si bien la formulación del problema es sencilla, su resolución es más compleja. Algunos algoritmos existentes pueden resolverlo en la práctica para casos de un gran tamaño. Sin embargo, la estructura única del problema, y el hecho de que se presente como un subproblema de otros problemas más generales, lo convierten en un problema frecuente en la investigación.

DEFINICION• En algoritmia, el problema de la mochila, comúnmente

abreviado por KP (del inglés Knapsack problem) es un problema de optimización combinatoria. Modela una situación análoga al llenar una mochila, incapaz de soportar más de un peso determinado, con todo o parte de un conjunto de objetos, cada uno con un peso y valor específicos. Los objetos colocados en la mochila deben maximizar el valor total sin exceder el peso máximo.

PROBLEMA DE LA MOCHILA

• Ejemplo: una empresa que fabrica lapiceros, “Escribe Bien S.A.” que en el ejercicio económico que se cierra ha obtenido un excedente de 300.000€ (su beneficio neto, una vez descontados los impuestos y retribuidos los fondos propios es de 300.000€), esto le hace replantearse una posible inversión productiva (ampliar la capacidad productiva, ampliar la fábrica, contratar más trabajadores,....) que le permita incrementar su cartera de productos (número de productos que tiene en el mercado). El gerente de la empresa, Don L, reúne a sus asesores financieros y comerciales para que determinen de forma conjunta qué productos serán los escogidos para la ampliación de cartera.

• Los asesores comerciales sugieren los siguientes productos, basándose en estudios de mercado que han realizado para estimar la cifra de negocios que cada nuevo producto generará:

• - Lápices de colores con un beneficio de 200.000 €, esta cuantía es la que relacionamos con la utilidad que mencionábamos en la definición.- Gomas de borrar con un beneficio de 100.000 €- Minas para portaminas con un beneficio de 250.000 €- Carboncillos con un beneficio de 150.000 €

Por su parte, los asesores financieros han estudiado los costes que implica reformar las

instalaciones productivas para poder incrementar la cartera de productos, estos costes se

podrían equiparar al volumen que ocupan los objetos dentro de la mochila, por tanto, la

suma de estos costes deberá ser menor a la capacidad de la mochila, en este caso, los

recursos financieros sobrantes: 300.000€.

Coste de las instalaciones para fabricar lápices de colores: 75.000 €- Coste de las

instalaciones para fabricar gomas de borrar: 150.000 €- Coste de las instalaciones para

fabricar minas para portaminas: 100.000 €- Coste de las instalaciones para fabricar

carboncillos: 50.000 €Intuitivamente escogerá fabricar aquel producto que mayores

beneficios le dé, si con la inversión en la fabricación de ese nuevo producto no consume los

300.000 € podrá plantearse aumentar aún más su cartera y así sucesivamente mientras le

resten recursos.

• Formulación• Para facilitar la comprensión del lector, antes de incorporar a

este escrito la formulación del problema, analizaremos las partes de las que se compone la misma.

Datos del problema• - n: número de objetos entre los que se puede elegir.- ci : peso

del objeto “i” - se refiere el objeto “í”-ésimo que no es más que una forma de hacer referencia a un objeto cualquiera que pueda ser incluido en la mochila -, es decir, ci representa el coste de escoger un objeto, en tanto en cuanto va a ocupar un “espacio de la mochila” que dejará fuera otros objetos.- bi: utilidad o beneficio que proporciona cada objeto, de nuevo se hace referencia al objeto i-ésimo.- P: capacidad de la mochila, equivale al presupuesto máximo del que se dispone.

Variables a tener en cuenta• Los elementos a introducir en la mochila van a ser nuestras variables

objeto de análisis, cada variable la denotaremos como xi. El rasgo más importante de nuestras xi es que se tratan de variables dicotómicas o binaria, es decir, sólo pueden tomar dos valores, en este caso, escogeremos el valor “1” (si el objeto se incluye en la mochila) ó “0” (si el objeto se excluye de la mochila)

Restricciones• La restricción vendrá marcada por la capacidad máxima de la mochila,

de tal forma que la suma de todos los objetos multiplicados por el espacio que ocupan en la mochila no podrá exceder dicha capacidad máxima. Su formulación matemática es la que sigue:

Función a maximizar• Tal y como se expresa en la definición, el objetivo de este problema es

seleccionar aquellos objetos que introducidos en la mochila nos proporcionan una mayor utilidad. En otras palabras, lo que debemos hacer es maximizar la utilidad de nuestra mochila.

•Si redefinimos el problema introduciendo los elementos que mencionamos en las líneas precedentes llegaremos a la siguiente formulación:

•“El problema de la mochila consiste en llenar una mochila con n objetos. Cada objeto i tiene un peso determinado ci siempre positivo y una utilidad o valor asociado, también positivo, bi. Se ha de considerar además que la mochila tiene una capacidad limitada P, por tanto, se han de escoger aquellos objetos xi que maximicen la utilidad de quien llena la mochila sin exceder su capacidad”.

• El problema de la mochila, desarrollo práctico:• NOTA: Este, al igual que todos los ejemplos incluidos en este trabajo, son

fruto de la invención, todo parecido con la realidad o datos aportados no son vinculantes ni han sido obtenidos de ninguna fuente privada.

Planteamiento del problema

• El Club Baloncesto Unicaja de Málaga ante la lesión de Daniel Santiago y la escasa aportación del pívot brasileño Vitor Faverani se plantea reforzar el juego interior para la disputa de los play-offs por el título a partir del 17 de mayo, para ello la secretaria técnica del equipo ha sondeado el mercado y ha encontrado a 5 jugadores que pueden adaptarse a lo requerido por el entrenador. Para reforzar el equipo el Unicaja dispone de un presupuesto máximo de 50.000 $ / mes. En la siguiente tabla aparece una relación de los candidatos a ser fichados junto con su aportación esperada y el sueldo que percibirían.

Planteamiento del problema• JUGADOR/EQUIPO SUELDO APORTACIÓN• Esteban Batista (Hawks) 50000 $ 15• Jared Reiner (Sioux Falls) 25200 $ 8• Chriss Burgess (Ulsan Phoebus) 36000 $ 15• Marcus Goree (Benetton) 47000 $ 17• K.C. Walekowski (Farho Vigo) 12000 $ 7

Planteamiento del problema• Una vez se ha planteado el problema, el siguiente paso lógico

es formularlo en términos matemáticos, recuérdese que se está intentando llegar a una solución cuantitativa concreta y no simplemente intuitiva.

• Maximizar 15x1 + 8x2 + 15x3 + 17x4 +7x5• sujeto a: 50000x1 + 25200x2 + 36000x3 + 47000x4 + 12000x5

< 50000 • x1,x2,x3,x4,x5 Є {0,1}

Planteamiento del problema• siendo:• x1 Esteban Batista (Hawks)• x2 Jared Reiner (Sioux Falls)• x3 Chriss Burgess (Ulsan Phoebus)• x4 Marcus Goree (Benetton)x5 K.C. Walekowski (Farho Vigo)

• El conjunto de ecuaciones que aparecen en las líneas precedentes constituyen la formulación matemática del problema que estamos tratando de resolver. Para una mejor comprensión del lector, analizaremos lo que representa cada una de ellas.

• La primera ecuación: 15x1 + 8x2 + 15x3 + 17x4 +7x5 es la suma de las utilidades que reporta cada jugador, representa, por tanto, la utilidad que percibirá Unicaja en función de la combinación de jugadores que elija, puesto que se trata de la utilidad (en este caso, estará medida por el número de partidos que el jugador haga ganar o en los que tenga un peso importante) al club de Baloncesto le interesará que sea lo mayor posible. De ahí que el objetivo sea maximizar la función.

• Las otras dos inecuaciones representan el conjunto de restricciones del problema, la primera de ella: 50.000x1 + 25.200x2 + 36.000x3 + 47.000x4 + 12.000x5 < 50.000, se corresponde con la expresión [Sumatoria (ci*xi) desde i=1 hasta n] < P, donde, los ci o pesos del objeto “i”, se corresponden con los salarios de cada jugador y las xi representan a cada jugador, al igual que ocurre en la ecuación anterior. P es la restricción presupuestaria del equipo, es decir, son los 50.000 $ mensuales de los que puede disponer para remunerar a sus nuevos jugadores.

• La última inecuación: x1,x2,x3,x4,x5 Є {0,1}, trata de indicar que estamos ante un problema dicotómico en el que cada variable puede tomar sólo el valor 1 o el valor 0. En este caso, si x toma el valor 1 querrá decir que el jugador es contratado y si toma el valor 0, será señal de que el club prefiere prescindir de él.

Solución del problema planteado

• El problema de elección que afronta el Club Baloncesto Unicaja se puede resolver por distintas vías:

• - Por el método tradicional: a través de la maximización del problema anteriormente formulado mediante métodos de programación lineal entera. –

• Por algoritmos: existen tipos de algoritmos (genéticos, voraces), pero en esta ocasión mostraremos el algoritmo más intuitivo y sencillo de ver. Este algoritmo es el denominado "voraz". Dejamos a un lado el algoritmo genético ya que al ser poco intuitivo y tener cierta complejidad (no en su teoría, sino en su práctica) podría hacer que el lector tuviera cierta reticencia a continuar con su lectura y comprensión.