Problemas de centro de masaProblema 1

Hallar la posición del c. m. del triángulo de la figura.

 Solución

Ecuación de la recta (hipotenusa) y=−abx+a

Elemento diferencial de área, dA=y·dx

xcm=∫x⋅dA∫dA=13b∫x⋅dA=∫x(y⋅dx)=∫0bx(−abx+a)dx=16ab2∫dA=∫y⋅dx=∫0b(−abx+a)dx=12ab

Elemento diferencial de área, dA=x·dy

ycm=∫y⋅dA∫dA=13a∫y⋅dA=∫y(x⋅dy)=∫0ax(−bay+b)dy=16a2b∫dA=∫x⋅dy=∫0a(−bax+b)dy=12abProblema 2

Determinar la posición del centro de masa de la siguiente figura plana y homogénea, formada por la región comprendida entre la parábola y=2x2/3 y el eje X, y la recta x=3.

 Solución

Problema 3

Determinar la posición del centro de masa de la siguiente figura plana y homogénea formada por un rectángulo y un cuarto de círculo.

 Solución

Centro de masa del rectángulo de área 50, x1=-2.5, y1=5

Centro de masa del cuarto de círculo de área π·102/4=25π.

El eje de simetría es la bisetriz del primer cuadrante x2=y2

Calculamos x2 o y2. Elemento diferencial de área, dA=y·dx

xcm=∫x⋅dA∫dA=4R3π=403π∫x⋅dA=∫x(y⋅dx)=∫0RxR2−x2−−−−−−√dx=13R3∫dA=∫y⋅dx=∫0RR2−x2−−−−−−√dx=−R2∫π/20sin2θ⋅dθ=−R2∫π/201−cos(2θ)2⋅dθ=14πR2

Para calcular el área del cuarto de círculo, se ha efectuado el cambio de variable, x=R·cosθ, dx=-R·sinθ.

Centro de masas de las dos figuras

xcm=50(−2.5)+25π(403π)50+25π=1.62ycm=50⋅5+25π(403π)50+25π=4.54

Problema 4

Determinar la posición del centro de masa de la pieza plana homogénea de la figura. La parte curva corresponde a la porción de parábola  y=3x2/2+1.

 Solución

Centro de masa del rectángulo de área 35, x1=-%/2, y1=7/2

Centro de masa de la parte curva

Elemento diferencial de área, dA=(7-y)·dx

xcm=∫x⋅dA∫dA=34∫x⋅dA=∫x(7−y)⋅dx=∫02x(7−32x2−1)⋅dx=6∫dA=∫(7−y)⋅dx=∫02(7−32x2−1)⋅dx=8

Elemento diferencial de área, dA=x·dy

ycm=∫y⋅dA∫dA=235∫y⋅dA=∫yx⋅dy=∫02(32x2+1)x(3x⋅dx)=1845∫dA=∫x⋅dy=∫02x(3x⋅dx)=8

Centro de masas de las dos figuras

xcm=35(−52)+8(34)35+8=−16386ycm=35(72)+8(235)35+8=1593430