Problemas de Integración

Relación 1. Análisis Numérico. (4º )

1.- Encontrar una fórmula

f x x dx A f A f A f A f( ) cos−∫ ≈

−

+

−

+

+

π

ππ π π π0 1 2 3

3

4

1

4

1

4

3

4

que sea exacta para polinomios de grado tres.

2.- Deduzca la fórmula de Newton-Cotes para f x dx( )0

1

∫

usando como nodos 0, 1/3, 2/3 y 1.

.

3.- Comprobar que la siguiente fórmula es exacta para polinomios de grado ≤ 4

+

+

+

+≈∫ )1(74

332

2

112

4

132)0(7

90

1)(

1

0fffffdxxf

4.- Utilice interpolación polinomial de Lagrange para deducir la expresión de la forma

f x dx A f B f( )0

1 1

3

2

3∫ ≈ +

Transforme la fórmula anterior para que sirva para integrar sobre [ ]ba, .

5.- Deduzca la regla compuesta para f x dxa

b

( )∫ que se basa en la regla del punto

medio f x dx f( ) ( )−∫ ≈1

1

2 0 .

Proporcione fórmulas tanto para el caso de nodos uniformemente espaciados como

para nodos no uniformemente espaciados.

6.- ¿Existe una expresión de la forma [ ]f x dx f x f x( ) ( ) ( )0

1

0 1∫ ≈ +α que integre

todos los polinomios cuadráticos?

7.- Aplicar la regla del trapecio compuesta a ∫1

0

2dxx para n = 1, 2, 4, 8 y usar la

extrapolación al límite de Richardson para mejorar el resultado (comprobar error).