EJERCICIOS PROGRAMACIN LINEAL

Exmen de investigacin operativa i

PROGRAMACIN LINEAL

31 de enero de 2002

Problema i (Un punto) .- Dado el siguiente programa lineal

Min z = 3(x1 + 2(x2 + 5(x3 + x4 - 6(x5s.a.

x1 + x2 + x3 + x4 + x5 ( 12

x4 + x5 ( 4

x1 + x2 - x3 ( 0

6(x1 + 3(x2 - x3 + x4 - 2(x5 ( 0

x1 , x4 , x5 ( 0 ; x2 , x3 sin restricciones

determinar el programa dual.

Exmen de investigacin operativa i

PROGRAMACIN LINEAL

31 de enero de 2002

PROBLEMA II (Un punto).- Resolver grficamente el programa lineal

Exmen de investigacin operativa i

PROGRAMACIN LINEAL

31 de enero de 2002

PROBLEMA III (Dos puntos) .- Dado el problema lineal

Min z = 20(x1 + 28(x2

s.a.

4(x1 + 3(x2 ( 1

9(x2 ( 1

x1 , x2 ( 0

determinar su solucin mediante el algoritmo del SIMPLEX. Utilizar el mtodo de las dos fases ante la falta de una solucin factible bsica inicial.

Exmen de investigacin operativa i

PROGRAMACIN LINEAL

31 de enero de 2002

PROBLEMA IV (Un punto).- Resolver el programa lineal del PROBLEMA III, es decir:

Min z = 20(x1 + 28(x2

s.a.

4(x1 + 3(x2 ( 1

9(x2 ( 1

x1 , x2 ( 0

mediante el algoritmo dual.

Exmen de investigacin operativa i

PROGRAMACIN LINEAL

31 de enero de 2002

PROBLEMA V (Tres puntos).- Dado el problema primal expresado a continuacin, determinar su problema dual, resolver el primal mediante el algoritmo dual (con los cambios de variable necesarios y la simplificacin al mximo despejando precisamente x3 y sustituyendo en el resto del programa) y determinar la solucin del programa dual mediante las relaciones de holgura complementaria.

Min z = 2x1 + 3x2 - 5x3

s.a.

x1 + x2 - x3 + x4 ( 5

2x1 + x3 ( 4

x2 + x3 + x4 = 6

x1 ( 0 ; x2 , x3 ( 0, x4 no restringida

Exmen de investigacin operativa i

PROGRAMACIN LINEAL

31 de enero de 2002

PROBLEMA VI (Dos puntos) .- Dado el programa lineal

Max z = x1 + x2

s.a.

x1 - x2 ( - 2

5.x1 - 2.x2 ( 5

x1 , x2 ( 0

describir qu ocurre si tras su resolucin nos vemos obligados a aadir la restriccin

x2 ( 2

Describir igualmente que ocurre si en vez de la restriccin anterior hay que tener en cuenta la restriccin

x1 ( 1

UNIVERSIDAD CARLOS III

DEPARTAMENTO DE

FACULTAD DE CIENCIAS

ESTADSTICA Y SOCIALES Y POLTICAS

ECONOMETRA

DIPLOMATURA DE ESTADSTICA

2 CURSO - INVESTIGACIN OPERATIVA I

EXAMEN DE 31 DE ENERO DE 2002

SOLUCIN DE LOS PROBLEMAS

Prof. Jos Carlos Ayuso Elvira

SOLUCIN PROBLEMA I

Como el problema planteado es de mnimo, el dual ser del tipo Max. Si denominamos por la letra y las variables duales, entonces las variables y1, y3 e y4 sern negativas pues las desigualdades correspondientes en el programa primal son del tipo menor o igual. Por otra parte las restricciones segunda y tercera del dual han de ser del tipo igualdad pues las variables primales correspondientes no estn restringidas, mientras que las otras tres restricciones duales sern del tipo menor o igual tal como corresponde a un programa del tipo Max pues las variables primales son positivas o nulas. En definitiva el programa dual ser:

Max w = 12.y1 + 4.y2

s.a.

y1 + y3 + 6.y4 ( 3

y1 + y3 + 3.y4 = 2

y1 - y3 - y4 = 5

y1 + y2 + y4 ( 1

y1 + y2 - 2(y4 ( -6

y1 , y3 , y4 ( 0 ; y2 ( 0

SOLUCIN PROBLEMA II

La representacin grfica de nuestro problema, en la que las unidades correspondientes al eje horizontal son el doble de grandes que las correspondientes al eje vertical, resulta ser la siguiente:

La regin factible resulta ser la delimitada por los vrtices A, B, C y D. La solucin resulta ser el vrtice D, si se tiene en cuenta que el sentido creciente de nuestra funcin objetivo viene establecido por el vector (1,-1).

El punto D est en la interseccin de las restricciones III y IV; en consecuencia es la solucin del sistema

2.x1 + x2 = 16

-x1 + 2.x2 = 2

de donde se obtiene la solucin completa del programa lineal puesto que

x1 = 6

x2 = 4

s1 = 6

s2 = 7

s3 = 0

s4 = 0

z = 2

SOLUCIN PROBLEMA III

El programa lineal no tiene una solucin factible bsica inicial dado el sentido de las desigualdades. Para obtener una solucin factible bsica inicial utilizaremos el mtodo de las dos fases introduciendo dos variables artificiales p1 y p2 y tratando de hacer Min z = p1 + p2. La tabla simplex de esta Fase I es

x1x2s1s2p1p2SOL

Min z00 0 0-1-10

p143-1 0 1 01

p209 0-1 0 11

Como la tabla no tiene el formato correcto para aplicar el simplex, pues no son nulos los coeficientes de las variables bsicas en la lnea de z, sumamos la segunda y tercera fila a la primera y obtenemos

x1x2s1s2p1p2SOL

Min z412-1-1002

p143-1 0101

p209 0-1011

Pivotaremos alrededor del elemento sealado en negrita y en cursiva (notacin que utilizaremos en todo el proceso), lo que nos da la tabla

x1x2s1s2p1p2SOL

Min z40-11/30-4/32/3

p140-1 1/31-1/32/3

x201 0-1/901/91/9

Siguiendo el proceso del algoritmo del simplex obtenemos la tabla

x1x2s1s2p1p2SOL

Min z00 0 0-1 -1 0

x110-1/41/121/4-1/121/6

x201 0-1/9 0 1/91/9

con la que se finaliza la Fase I al obtener una base factible. Recuperamos nuestro problema sustituyendo en la fila de z los coeficientes de la funcin objetivo original y obtenemos la tabla

x1x2s1s2SOL

Min z-20-28 0 00

x1 1 0-1/41/121/6

x2 0 1 0-1/91/9

tabla que no se adapta a los requisitos del simplex en los que debe aparecer un cero en la lnea de z en las variables bsicas. Para lograrlo sumamos a esta fila la segunda multiplicada por 20 y la tercera multiplicada por 28, obteniendo

x1x2s1s2SOL

Min z 0 0 -5-13/958/9

x1 1 0-1/41/121/6

x2 0 1 0-1/91/9

Tabla en la que, siendo la solucin factible, ya no se puede pivotar, esto es mejorar la solucin con lo que estamos en el ptimo y ha finalizado el proceso del simplex. La solucin es por tanto

x1 = 1/6

x2 = 1/9

s1 = 0

s2 = 0

z = 58/9

SOLUCIN PROBLEMA IV

Para abordar la resolucin del PROBLEMA III mediante el algoritmo dual la tabla inicial sera

x1x2s1s2SOL

Min z-20-28000

s1-4-31 0-1

s20-9 01-1

tabla que representa una solucin bsica no factible y sobreoptimal pues los coeficientes de la lnea de z son todos negativos y el problema es de mnimo. Pivotando obtenemos

x1x2s1s2SOL

Min z0-13-505

x103/4-1/4 01/4

s20-9 01-1

y pivotando nuevamente

x1x2s1s2SOL

Min z00-5-13/958/9

x110-1/41/121/6

x201 0-1/91/9

que representa , por supuesto, la misma solucin ya calculada.

SOLUCIN PROBLEMA V

Si denominamos mediante la letra y a las variables duales, el programa dual resulta ser directamente

Max w = 5(y1 + 4(y2 + 6(y3

s.a.

y1 + 2(y2 ( 2 (pues x1 ( 0)y1 + y3 ( 3-y1 + y2 + y3 ( -5

y1 + y3 = 0 (pues x4 es no restringida)y1 ( 0,

y2 ( 0 (pues la segunda relacin del primal es del tipo (),

y3 no restringida (pues la tercera relacin del primal es del tipo =)

Para resolver el problema primal mediante el algoritmo dual haremos x1 = -x5 , adems x4 = x6 - x7, quedando el programa

Min z = -2(x5 + 3(x2 - 5(x3

s.a.

-x5 + x2 - x3 + x6 - x7 ( 5

-2(x5 + x3 ( 4

x2 + x3 + x6 - x7 = 6

x5 , x2 , x3 , x6 , x7 ( 0

Para simplificar an ms el problema haremos x3 = 6 - x2 - x6 + x7 , quedando el problema tras operar y haciendo z' = z + 30

Min z' (=z+30) = 8(x2 - 2(x5 + 5(x6 - 5(x7

s.a.

-2(x2 + x5 - 2(x6 + 2(x7 ( -11

-x2 - 2(x5 - x6 + x7 ( -2

x2 , x5 , x6 , x7 ( 0

Este problema, desde el punto de vista del algoritmo dual, tiene una solucin bsica no factible, que no es sobreoptimal por lo que habremos de utilizar el mtodo de la restriccin artificial, con lo que la tabla quedara

x2x5x6x7s1s2p

Min z'-82-550000

s1-21-22100-11

s2-1-2-11010-2

p1111001M

Pivotando sucesivamente

x2x5x6x7s1s2pSOL

Min z'-13-3-10000-5-5M

s1-4-1-4010-2-11-2M

s2-2-3-2001-1-2-M

x71111001M

x2x5x6x7s1s2pSOL

Min z'-3-1/200-5/20055/2

p-21/220-1/20111/2+M

s20-5/200-1/2107/2

x7-11/2-111/200-11/2

y finalmente obtenemos (pivotando alrededor del elemento negativo para forzar la salida de x7 nica forma de lograr la factibilidad)

x2x5x6x7s1s2p

Min z'-3-1/200-5/20055/2

p-43/2021/201-11/2+M

s20-5/200-1/2107/2

x61-1/21-1-1/20011/2

As pues la solucin a nuestro problema actual es

x2 = 0

x5 = 0

x6 = 11/2

x7 = 0

s1 = 0

s2 = 7/2

p = -11/2 + M

z = 55/2

Si tenemos en cuenta los cambios realizados, la expresin para x3 y denominando h1, h2 y h3 las holguras de las ecuaciones primales, obtenemos como solucin del programa lineal primal

x1 = -x5 = 0

x2 = 0

x3 = 6- x2 - x6 + x7 = 1/2

x4 = x6 - x7 = 11/2 0 = 11/2

h1 = x1 + x2 - x3 + x4 5 = 0 + 0 1/2 + 11/2 5 = 0

h2 = 4 - 2x1 - x3 = 4 0 1/2 = 7/2

h3 = 0

z = z 30 = 55/2 30 = -5/2

Denominando ahora como d1, d2, d3 y d4 las holguras del programa dual ha de verificarse que

x1(d1 = 0; x2(d2 = 0; x3(d3 = 0; x4(d4 = 0;

y tambin que

y1(h1 = 0; y2(h2 = 0; y3(h3 = 0;

de donde se obtienen las siguientes consecuencias

y1 = no forzosamente nulo pues h1 = 0

y2 = 0 puesto que h2 = 7/2 ( 0

y3 = no forzosamente nulo pues h3 = 0

d1 = no forzosamente nulo pues x1 = 0

d2 = no forzosamente nulo pues x2 = 0

d3 = 0 pues x3 = 1/2 ( 0

d4 = 0 pues x4 = 11/2 ( 0

Por tanto se cumplirn exactamente las restricciones tercera y cuarta con y2 = 0 verificndose que

- y1 + y3 = -5

y1 + y3 = 0

sistema cuya resolucin permite establecer que

y1 = 5/2

y2 = 0

y3 = - 5/2

d1 = 1/2

d2 = 3

d3 = 0

d4 = 0

w = z = -5/2

solucin completa del programa dual.

SOLUCIN PROBLEMA VI

Dando al programa la forma correcta quedar:

Max z = x1 + x2

s.a.

- x1 + x2 ( 2

5.x1 - 2.x2 ( 5

x1 , x2 ( 0

que da lugar a la siguiente tabla del simplex

x1x2s1s2SOL

Max z-1-1 0 00

s1-1 1 1 02

s2 5-2 0 15

en la que pivotaremos sucesivamente alrededor de los elementos marcados en negrita hasta hallar la solucin en la forma que sigue:

x1x2s1s2SOL

Max z-2 0 1 02

x2-1 1 1 02

s2 3 0 2 19

x1x2s1s2SOL

Max z 0 0 7/3 2/38

x2 0 1 5/3 1/35

x1 1 0 2/3 1/33

que es la solucin al problema original.

Si hemos de considerar ahora la restriccin x2 ( 2 la nueva tabla a considerar al aadir es nueva restriccin sera

x1x2s1s2s3SOL

Max z 0 0 7/3 2/3 0 8

x2 0 1 5/3 1/3 0 5

x1 1 0 2/3 1/3 0 3

s3 0-1 0 0 1-2

Esta tabla no se adapta a los requisitos del simplex puesto que en la ltima casilla de la columna de x2 no aparece un cero as que la transformaremos sumando a la ltima fila la fila correspondiente a x2, quedando entonces

x1x2s1s2s3SOL

Max z00 7/3 2/3 08

x201 5/3 1/3 05

x110 2/3 1/3 03

s300 5/3 1/3 13

Esta tabla representa una solucin factible bsica, que es ptima para el problema transformado pues no puede mejorarse y que coincide con la del problema original, as que podemos afirmar que la nueva restriccin no aade nada nuevo al problema.

Si consideramos ahora la restriccin x1 ( 1 procederemos de igual forma con lo que la tabla quedar:

x1x2s1s2s3SOL

Max z 0 0 7/3 2/3 08

x2 0 1 5/3 1/3 05

x1 1 0 2/3 1/3 03

s3 1 0 0 0 11

Esta tabla no se adapta a los requisitos del simplex puesto que en la ltima casilla de la columna de x1 no aparece un cero as que la transformaremos restando a la ltima fila la fila correspondiente a x1, quedando entonces

x1x2s1s2s3SOL

Max z00 7/3 2/3 08

x201 5/3 1/3 05

x110 2/3 1/3 03

s300-2/3-1/3 1-2

La tabla representa una solucin no factible (s3 = - 2) y sobreoptimal (lnea de z toda positiva). Aplicando el algoritmo dual a esta tabla y pivotando alrededor del elemento marcado en negrita obtenemos:

x1x2s1s2s3SOL

Max z00 1 0 24

x201 1 0 13

x110 0 0 11

s200 2 1-36

Solucin diferente a la original lo que significa que la nueva restriccin es relevante.

EMBED Equation.3

_1058011530.unknown