7/27/2019 Problemas Resueltos Calculo Matricial

1/10

Ejemplo 1:Dada la estructura articulada de la figura:

Se pide:

a) Matrices locales de todas las barras

En primer lugar definimos los grados de libertad

Barra 1 = 10 cm = 800 cm = 2,1 10kN/cm2 [] = 10 2,1 10

800 111 1 = 262,5 111 1

Barra 2 = 20 cm

= 1000 cm

= 2,1 10kN/cm2

[

]

= 20 2,1 10

1000

11

1 1

= 420

11

1 1

Barra 3 = 10 cm = 600 cm = 2,1 10kN/cm2 [] = 10 2,1 10

600 111 1 = 350 111 1

Barra 4 = 30 cm = 1000 cm

= 2,1 10kN/cm2 [] = 30 2,1 10

1000 111 1 = 630 111 1

7/27/2019 Problemas Resueltos Calculo Matricial

2/10

b) Matrices globales de todas las barras

Barra 1

= 0cos = 1sen = 0 [] =

=262,5 0262,5 0

0 0 0 0262,5 0 262,5 00 0 0 0

785

6

Barra 2

= 36,87cos = 0,8sen

= 0,6

[] = 268,8 201,6268,8201,6201,6 152,2201,6151,2

268,8

201,6 268,8 201,6

201,6

151,2 201,6 151,2

1256

Barra 3

= 90cos = 0sen = 1 [] =

0 0 0 0

0 350 03500 0 0 0

0350 0 3503

4

56

Barra 4

= 143,13

cos =0,8sen = 0,6 [] =403,2

302,4

403,2 302,4

302,4 226,8 302,4

226,8

403,2 302,4 403,2302,4302,4226,8302,4 226,89

105

6

7/27/2019 Problemas Resueltos Calculo Matricial

3/10

c) Matriz global de la estructura

Introduciendo todos los coeficientes de las matrices locales, se obtiene la matriz global

[] =

268,8 201,6 0 0268,8201,6 0 0 0 0201,6 151,2 0 0

201,6

151,2 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 350 0 350 0 0 0 0268,8201,6 0 0 934,5100,8262,5 0403,2 302,4201,6151,2 0350100,8 728 0 0 302,4226,80 0 0 0262,5 0 262,5 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0403,2 302,4 0 0 403,2302,40 0 0 0 302,4226,8 0 0302,4 226,8

12

34

5

67

8

9

10

d) Desplazamiento vertical y horizontal del nudo D

Ya solo queda plantear el sistema y resolver las incgnitas que son el desplazamiento del nudo D y las

reacciones de A, B y C

[] = [][]

500200

=

268,8 201,6 0 0268,8201,6 0 0 0 0201,6 151,2 0 0201,6151,2 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 350 0 350 0 0 0 0268,8201,6 0 0 934,5100,8262,5 0403,2 302,4201,6151,2 0350100,8 728 0 0 302,4226,80 0 0 0

262,5 0 262,5 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0403,2 302,4 0 0 403,2302,40 0 0 0 302,4226,8 0 0302,4 226,8

000

00

00

0

Por lo tanto

500 = 934,5 100,8200 =100,8 + 728 = 0,57324 cm = 0,35410 cm

Sustituyendo estos valores en la expresin anterior obtenemos los valores de las reacciones

=

268,8

201,6

201,6151,20 00 350262,5 00 0403,2 302,4

302,4226,8

=

225,47 kN

=169,10 kN = 0 kN =123,94 kN =150,48 kN = 0 kN =124,05 kN = 93,04 kN

7/27/2019 Problemas Resueltos Calculo Matricial

4/10

e) Esfuerzo en todas las barras

Para calcular el esfuerzo en cada una de las barras hay que calcular los esfuerzos en los nudos en

coordenadas locales, es decir

[] = [][] = [][][] = [][][] = [] cos

sen

0 0

0 0 cos sen []Barra 1 = 262,5 111 1 1 0 0 00 0 1 0

= 262,5 111 1 1 0 0 00 0 1 0

0

0

0,573240,35410

=150,48150,48

kNPor lo tanto la barra trabaja a traccin

Barra 2

= 420 111 1 0,8 0,6 0 00 0 0,8 0,6 =281,84

281,84 kN

Por lo tanto la barra trabaja a traccin

Barra 3

= 350

1

1

1 1 0 1 0 0

0 0 0 1

=

123,93

123,93

kN

Por lo tanto la barra trabaja a traccin

Barra 2

= 630 111 1 0,8 0,6 0 00 0 0,8 0,6 =

155,06155,06 kNPor lo tanto la barra trabaja a compresin

7/27/2019 Problemas Resueltos Calculo Matricial

5/10

Ejemplo 3: Dada la estructura de la figura

Los datos de las barras son los siguientes:

Barra I(cm4) A(cm

2) Observaciones

1 24.000 107 Articulada en A y empotrada en B

2 24.000 107 Empotrada en B y empotrada en C

3 12.000 78 Articulada en D y empotrada en C

4 12.000 78 Articulada en B y empotrada en D

Se pide

a) Matrices globales de cada uno de los elementos

En primer lugar definimos los grados de libertad

7/27/2019 Problemas Resueltos Calculo Matricial

6/10

Barra 1: Articulada en A y empotrada en B= 53,13 cos = 0,6 sin = 0,8

=

+

3

=

3

=

3= + 3 = 3 = 3

[]=

809,888 1.077,834 809,8881.077,8341.209,6001.077,834 1.438,6241.077,834 1.438,624 907,200809,8881.077,834 809,888 1.077,834 1.209,6001.077,8341.438,624 1.077,834 1.438,624 907,2001.209,600 907,200 1.209,600 907,200 1.512.000

12

345

Barra 2: Empotrada en B y empotrada en C

= 0 cos = 1 sin = 0= + 12 = 12 = 6= 6 = 4

[]=

2.808,750 0 02.808,750 0 00 11,813 4.725 0 11,813 4.7250 4.725,000 2.520.000 04.725,000 1.260.0002.808,750 0 0 2.808,750 0 00

11,813

4.725 0 11,813

4.725

0 4.725,000 1.260.000 04.725,000 2.520.000

3

45

67

8

Barra 3: Articulada en D y empotrada en C=32 cos = 0,848 sin =0,53= + 3 = 3 = 3= + 3 = 3 = 3

[]= 1.248,809779,9431.248,809 779,943 450,200

779,943 488,365 779,943

488,365 720,319

1.248,809 779,943 1.248,809779,943 450,200779,943488,365 779,943 488,365 720,319450,200 720,319 450,200720,319 801.356,795

910

678

7/27/2019 Problemas Resueltos Calculo Matricial

7/10

Barra 4: Articulada en B y empotrada en D= 90 cos = 0 sin = 1

=

+

3

=

3

=

3= + 3 = 3 = 3

[]=

6,048 0 6,048 0 3.0240 3.276 03.276 06,048 0 6,048 0 3.02403.276 0 3.276 03.024,000 0 3.024,000 0 1.512.000

3

4

910

11

b) Matriz global de la estructura

La matriz global []queda definida de la siguiente forma:

809,9 1.077,8 809,91.077,8 1.209,6 0 0 0 0 0 0

1.077,8 1.438,6 1.077,81.438,6 907,2 0 0 0 0 0 0809,91.077,8 3.624,7 1.077,8 1.209,62.808,75 0 0 6,048 0 3.024,01.077,81.438,6 1.077,8 4.726,4 3.817,8 0 11,813 4.725,0 03.276,000 01.209,6 907,2 1.209,6 3.817,8 4.032.000,0 0 4.725,0 1.260.000,0 0 0 00 02.808,75 0 0 4.057,56 779,94 450,201.248,81 779,94 00 0 0 11,813 4.725,0 779,94 500,177 5.445,32 779,943 488,365 00 0 0 4.725,0 1.260.000,0 450,205.445,32 3.321.356,79 450,20 720,319 00 0 6,048 0 01.248,81 779,943 450,20 1.254,857 779,943 3.024,00 0 03.276,0 0 779,94 488,365 720,319 779,943 3.764,364 00 0 3.024,0 0 0 0 0 0 3.024,0 0 1.512.000

c) Desplazamientos de B y C y reacciones en A, C y D

Para resolver el sistema se ha de

calcular previamente las reacciones que se

transmiten a A y B de las fuerzas aplicadas en

la barra 1.Para ello previamente se ha de

descomponer las dos fuerzas en sus

componentes respecto al eje de la barra. El

resultado es el siguiente:

CARGAS VERTICALES: Teniendo en cuenta que:

= 2 3 = 2 3 =2 (+ )

7/27/2019 Problemas Resueltos Calculo Matricial

8/10

Aplicando estas expresiones a las cargas verticales de 60 y 30 kN se obtienen sus

reacciones

= 30 kN = 4,444 kN

= 333,33 cm

= 25,556 kN

= 666,67 cm =5.555,556 kNcm

= 60 kN = 31,111 kN= 666,67 cm = 28,889 kN= 333,33 cm =8.888,889 kNcmCARGAS HORIZONTALES Para el caso de las cargas horizontales,

= 40 kN 666,67 = 333,33+ = 40 = 13,333 kN = 26,667 kN

= 80 kN 333,33 = 666,67+ = 80 = 53,333 kN = 26,666 kN

As pues, las reacciones en los nudos A y B de las cuatro cargas en coordenadas locales

son las siguientes

= 66,667 kN= 35,556 kN = 53,333 kN

= 54,444 kN

=14.444,444 kNcm

Ya solo queda pasar estas reacciones a las

coordenadas globales de la estructura

[]=[][]

=

0 0 0 0 0 00 0 00 0

0

0 0 0 0 1

=cos sin = 11,555 kN=sin + cos = 74,667 kN=cos sin =11,555 kN=sin + cos = 75,333 kN==14.444,444 kNcm

Ya solo nos queda plantear la ecuacin del sistema teniendo en cuenta las reacciones

de las cargas aplicadas en las barras

[] []=[][]Por lo tanto el sistema queda definido por la siguiente expresin

7/27/2019 Problemas Resueltos Calculo Matricial

9/10

20

0

100 0 0

0

11

,555

74

,67

11

,555

75

,333

14

.444

,444

0 0 0 0 0 0

=

809

,9

1

.077

,8

809

,9

1

.077

,8

1.2

09

,6

0

0

0

0

0

0

1.0

77

,8

1

.438

,6

1

.077

,8

1

.438

,6

907

,2

0

0

0

0

0

0

809

,9

1.0

77

,8

3.6

24

,7

1.0

77

,8

1

.209

,6

2

.808

,75

0

0

6

,048

0

3

.024

,0

1

.077

,8

1.4

38

,6

1.0

77

,8

4.7

26

,4

3

.817

,8

0

11

,813

4.7

25

,0

0

3

.276

,000

0

1

.209

,6

907

,2

1.2

09

,6

3.8

17

,8

4.0

32

.000

,0

0

4

.725

,0

1.260

.000

,0

0

0

0

0

0

2

.808

,75

0

0

4.0

57

,56

779

,94

450

,20

1

.248

,81

779

,94

0

0

0

0

11

,813

4.7

25

,0

779

,94

500

,177

5

.445

,32

779

,943

488

,365

0

0

0

0

4.7

25

,0

1.2

60

.000

,0

450

,20

5

.445

,32

3.32

1.3

56

,79

450

,20

720

,319

0

0

0

6

,048

0

0

1

.248

,81

779

,943

450

,20

1.2

54

,857

779

,943

3.0

24

,0

0

0

0

3

.276

,0

0

779

,94

488

,365

720

,319

779

,943

3.7

64

,364

0

0

0

3

.024

,0

0

0

0

0

0

3.0

24

,0

01

.512

.000

0 0

0 0 0 0

Resolv

emosenprimer

lugar

los

desp

lazamientos

200+11

,555=

3.6

24

,7

+1

.077

,8+1

.209

,6

2.8

08

,75

100

75

,333=

1.0

77

,8

+4

.726

,4

+3

.817

,8+4

.725

,0

14

.444

,444=

1.2

09

,6

+3

.817

,8

+4

.032

.000

,0+1

.260

.000

,0

0=

2

.808

,75+4

.057

,56

450

,20

0=

4

.725

,0

+1

.260

.000

,0

45

0,2

0

+3

.321

.356

,79

=

0,1

73cm

=

0

,078cm

=

4,0

44

10

rad

=

0,1

20cm

=

1

,407

10

rad

Sustitu

yen

doen

laexpresinanterior,seo

btienen

losva

lores

de

lasreacciones

=

11

,555

74

,67

0 0 0 0

+

809

,9

1

.077

,8

1

.209

,6

0

0

1.0

77

,8

1

.438

,6

907

,2

0

0

0

11

,813

4

.725

,0

779

,94

5

.445

,32

6

,048

0

0

1

.248

,81

450

,20

0

3

.276

,000

0

779

,943

720

,319

3.0

24

,0

0

0

0

0

=

48

,947kN

=

4,6

56kN

=

103

,816kN

=

151

,053kN

=

349

,159kN

523

,212kNcm

7/27/2019 Problemas Resueltos Calculo Matricial

10/10

Loses

fuerzosenca

dauna

de

las

barrasseo

btieneapartird

elamatriz

derigidezg

loba

lde

labarrame

diante

laexpresin

:

[]

=

[][

][

]+

[]

=

[][

][

]+

[][

]

obien

apartir

de

lamatriz

loca

lderigidezme

diante

laexpresin:

[]

=[

][][

]+

[]

As

,para

labarra1

=

0,6

0,8

0

0

0

0

,8

0,6

0

0

0

0

0

0,6

0,8

0

0

0

0

,8

0,6

0

0

0

0

0

1

8

09

,888

1.0

77

,834

809

,888

1

.077

,834

1

.209

,600

1.0

77

,834

1.4

38

,624

1

.077

,834

1.4

38

,624

907

,200

809

,888

1

.077

,834

809

,888

1.0

77

,834

1.2

09

,600

1.0

77

,834

1

.438

,624

1.0

77

,834

1.4

38

,624

907

,200

1.2

09

,600

907

,200

1.2

09

,600

907

,200

1.5

12

.000

+

=

=

0

,6

0,8

0

0

0

0

,8

0,6

0

0

0

0

0

0,6

0,8

0

0

0

0

,8

0,6

0

0

0

0

0

1

8

09

,888

1.0

77

,834

809

,888

1

.077

,834

1

.209

,600

1.0

77

,834

1.4

38

,624

1

.077

,834

1.4

38

,624

907

,200

809

,888

1

.077

,834

809

,888

1.0

77

,834

1.2

09

,600

1.0

77

,834

1

.438

,624

1.0

77

,834

1.4

38

,624

907

,200

1.2

09

,600

907

,200

1.2

09

,600

907

,200

1.5

12

.000

0 0

0

,173

0

,078

4,04

4

10

+

66

,667

35

,556

53

,333

54

,444

14

.444

,444

=

2

5,6

4

41,9

5

145

,64

48,0

5

8.0

49

,0