PROBLEMAS RESUELTOS SOBRE CONJUNTOS

1. Una farmacia rebajó el precio de una loción y el de una crema. La contabilidad al final de un día indicó que 66 personas habían comprado crema; 21 compraron loción y 21 ambos productos.a. ¿Cuántas personas aprovecharon la oferta?b. ¿Cuántas compraron solamente la loción?c. ¿Cuántas compraron solamente la crema?Solución

Consideremos los siguientes conjuntos:

C = {x/x compró crema}L = {x/x compró loción}

De acuerdo al problema tenemos que:

η (C ∩ L) = 21

Este será nuestro elemento clave para resolver el problema, para ello la herramienta más práctica para solucionar el ejercicio es mediante el uso de los diagramas de Venn-Euler.

Cabe anotar que dentro del total de personas que adquirieron las cremas (66) se están contabilizando las que compraron cremas y lociones (12), de esta manera se tiene que, para saber cuántas personas compraron SOLAMENTE cremas realizamos el siguiente cálculo:

η (Solamente Crema) = η (C) - η (C ∩ L)η (Solamente Crema) = 66 - 12 = 54

De la misma manera, para conocer la cantidad de personas que adquirieron SOLAMENTE lociones:

η (Solamente Lociones) = η (L) - η (C ∩ L)η (Solamente Crema) = 21 - 12 = 9

De esta forma, ¿cuántas personas aprovecharon la oferta?

η (C ∪ L)= η (C) + η (L) - η (C ∩ L).η (C ∪ L)= 66 + 21 - 12

η (C ∪ L)= 75Gráficamente se observa la solución del ejercicio planteado:

2. Una encuesta realizada a un grupo de empleados reveló que 277 tenían casa propia; 233 poseían automóvil; 405 televisor; 165 automóvil y televisor; 120 automóvil y casa; 190, casa y televisor y 105 tenían casa, automóvil y televisor.a. ¿Cuántas personas fueron encuestadas?b. ¿Cuántas personas tienen solamente casa propia?c. ¿Cuántas personas tienen solamente casa y televisor?

Solución

Consideremos los siguientes conjuntos:

C = {x/x tiene casa propia}T = {x/x tiene televisor}

A = {x/x tiene automóvil}

De acuerdo al problema tenemos que

η (C ∩ T ∩ A) = 105Es decir, el número de empleados que poseen los tres servicios corresponde a la intersección de los tres conjuntos. A partir de este cardinal, se encuentran los otros cardinales que corresponden a las diferentes intersecciones entre los diferentes pares de conjuntos que puedan conformarse, tal como se observa a continuación:

η (C ∩ T) = 190 - η (C ∩ T ∩ A) = 190 – 105 = 85η (C ∩ A) = 120 - η (C ∩ T ∩ A) = 120 – 105 = 15η (A ∩ T) = 165 - η (C ∩ T ∩ A) = 165 – 105 = 60

De esta manera, se puede representar gráficamente mediante los diagramas de Venn-Euler, así:

Observe que la suma de los números que se encuentran en la región sombreada de corresponde al cardinal del conjunto; por ejemplo,

η (C) = 277η (C) = x + η (C ∩ A ∩ T) + η (C ∩ A) + η (C ∩ T) 277 = x + 15 +105 + 85, de donde x = 72

Siguiendo el anterior raciocinio se llega a:

a. Para saber cuántas personas fueron encuestadas, calculamos el cardinal de la unión de los tres conjuntos:

η (C ∪ A ∪ T) = η (C)+η (A)+η (T)-η (C ∩ A)-η (C ∩ T)-η (A ∩ T)+η (C ∩ A ∩ T) η (C ∪ A ∪ T) = 277 + 233 + 405 – 120 – 190 – 165 + 105 η (C ∪ A ∪ T) = 545

b. La región sombreada representa el número de personas que tienen solamente tienen casa propia, es decir, 72

c. La región sombreada en la siguiente figura corresponde al número de personas que solamente tienen casa y televisor (190 = 105 + 85) que se obtiene de:

η (C ∪ T) = η (C) + η (T) - η (C ∩ T)η (C ∩ T) = η (C) + η (T) - η (C ∪ T)η (C ∪ T) = 277 + 405 – 492η (C ∪ T) = 190