Problemas resueltos de estadistica

27 DE MAYO DEL 2015

AUTOEVALUACIÓN 1° PARCIAL DE ESTADISTICA PARA EL

ANÁLISIS SOCIOLÓGICO

UNIVERSIDAD NACIONAL MAYOR DE

SAN MARCOS

PROFESOR:

ADÁN TEJADA

CABANILLAS

ALUMNO:

SERGIO CESAR

DÁVALOS ANDÍA

CÓDIGO:

13150023

Índice

I. Ejercicios propuestos de probabilidades ......................................................................2

ii. Ejercicios propuestos de probabilidad de bayes........................................................4

iii. Ejercicios propuestos de manejo de distribución normal .......................................6

iv. Ejercicios de estimación por intervalos de confianza ..............................................9

v. Ejercicios propuestos de manejo de alfa de cronbach ...........................................12

vi. Ejercicios de estimación por tamaño de muestra para poblaciones finitas e

infinitas ....................................................................................................................................14

vii. Tema libre .........................................................................................................................16

I. EJERCICIOS PROPUESTOS DE PROBABILIDADES

1. Hallar la probabilidad de que al lanzar al aire dos monedas, salgan:

a. Dos caras

1 1 1(2 )

2 2 4p k

b. Dos cruces

1 1 1(2 )

2 2 4p x

c. Una cara y una cruz

1 1 1 1 1(1k 1x)

2 2 2 2 2p

2. Hallar la probabilidad de que al levantar unas fichas de dominó se obtenga un

número de puntos mayor que 9 o que sea múltiplo de 4.

X (>9) = {(4,6), (5,5), (5,6), (6,6)}

Y (1 1 1

(h m)4 3 12

p )= {(0,4), (1,3), (2,2), (2,6), (3,5), (4,4), (6,6)}

4 7 1 5(X )

28 28 28 14p Y

3. Se sacan dos bolas de una urna que se compone de una bola blanca, otra roja, otra verde y otra negra. Describir el espacio muestral cuando:

a. La primera bola se devuelve a la urna antes de sacar la segunda

, , , , , , , , , , , , , , , BB BR BV BN RB RR RV RN VB VR VV VN NB NR NV NN

b. La primera bola no se devuelve

, , , , , , , , , , , BR BV BN RB RV RN VB VR VN NB NR NV

4. La probabilidad de que un hombre viva 20 años es ¼ y la de que su mujer viva

20 años es 1/3. Se pide calcular la probabilidad:

a. De que ambos vivan 20 años.

1 1 1(h m)

4 3 12p

b. De qué el hombre viva 20 años y su mujer no.

1 2 1(h m) (h)[1 p(m)]

4 3 6p p

c. De que ambos mueran antes de los 20 años.

3 2 1( h m) [1 p(h)][1 p(m)]

4 3 2p

5. Dos hermanos salen de casa. El primero mata un promedio de 2 piezas cada 5 disparos y el segundo una pieza cada 2 disparos. Si los dos disparan al mismo tiempo a una misma pieza, ¿cuál es la probabilidad de que la maten?

2( )

5p x

1( )

2p y

2 1 1( )

5 2 5p x y

2 1 1 7( )

5 2 5 10p x y

2 1 1 7( )

5 2 5 10p x y

II. EJERCICIOS PROPUESTOS DE PROBABILIDAD DE BAYES

1. Tres máquinas, A, B y C, producen el 45%, 30% y 25% respectivamente, del

total de las piezas producidas en una fábrica. Los porcentajes de producción

defectuosa (d) de estas máquinas son del 13,83%, 14,61% y 15,49%.

a. Tomamos, al azar, una pieza y resulta ser defectuosa; calcula la probabilidad

de haber sido producida por la máquina B.

0.1461 0.30(B/ d) 0.3027

0.1383 0.45 0.30 0.1461 0.25 0.1549P

30.27 % de probabilidad de haber sido producida por la máquina B.

b. Tomamos, al azar, una pieza y resulta ser no defectuosa; calcula la probabilidad de haber sido producida por la máquina C.

0.0951 0.25(C / d) 0.1114313836

0.3187 0.45 0.30 0.1539 0.0951 0.25P

11.14% de probabilidad de haber sido producida por la máquina C.

2. El 20% de los empleados de una empresa son ingenieros y otro 20% son

economistas. El 75% de los ingenieros ocupan un puesto directivo y el 50% de

los economistas también, mientras que los no ingenieros y los no economistas

solamente el 20% ocupa un puesto directivo. ¿Cuál es la probabilidad de que un

empleado directivo elegido al azar sea ingeniero?

0.2 0.75(Ing/ dir) 0.405

0.2 0.75+0.2 0.5 + 0.6 0.2P

40.5% es la probabilidad de que un empleado directivo elegido al azar sea ingeniero.

3. La probabilidad de que haya un accidente en una fábrica que dispone de

alarma es 10 %. La probabilidad de que suene esta sí se ha producido algún

incidente es de 97% y la probabilidad de que suene si no ha sucedido ningún

incidente es 2%. En el supuesto de que haya funcionado la alarma, ¿cuál es

la probabilidad de que no haya habido ningún incidente?

0.9 0.02(Incidente/ Alarma) 0.157

0.1 0.97 + 0.9 0.02P

15.7% es la probabilidad de que no haya habido ningún incidente cuando la alarma estaba funcionando.

4. Una fábrica de enlatados produce 5000 envases diarios. La máquina A

produce 3000 de estos envases, de los que el 2% son defectuosos (d) y la

máquina B produce los 2000 restantes de los que se sabe que el 4% son

defectuosos. Determinar si el envase seleccionado es defectuoso, qué

probabilidad hay de que proceda de la máquina A. ¿y B?

0.6 0.02(A/ d) 0.428571429

0.6 0.2 + 0.4 0.4P

42% de probabilidad de que envase seleccionado a partir de la maquina

A sea defectuoso.

0.4 0.4(B/ d) 0.5714285714

0.6 0.2 + 0.4 0.4P

57% de probabilidad de que envase seleccionado a partir de la maquina

B sea defectuoso.

5. Un equipo de liga menor de una organización juega el 70% de sus partidos en

la noche, y el 30% durante el día. El equipo gana el 50% de sus juegos nocturnos

y el 90% de los diurnos. De acuerdo con esto el equipo ganó ayer. ¿Cuál es la

probabilidad de que el partido se haya desarrollado en la noche?

0.70 0.50( / gano) 0.56

0.70 0.50+0.30 0.90P Noche

56% de probabilidad de que de que el partido se haya desarrollado en la

noche con triunfo.

III. EJERCICIOS PROPUESTOS DE MANEJO DE DISTRIBUCIÓN NORMAL

1. El peso medio de 500 estudiantes varones de una universidad es de 68,5 Kg. y la desviación típica es de 10 Kg. Suponiendo que los pesos están distribuidos normalmente, hallar el número de estudiantes que pesan a. Entre 48 y 71 kg.

48 68.5 71 68.5[48 71]

10 10

2.05 0.25 2.05 0.25

2.05 0.25 2

0.9798 0.5987)

.05 (1 [ 0.25])

(1 0.5785

p x p z

p z p z p z

p z p z p z p z

El 57.85% de 500 es 289.25 o entre 289 y 290 estudiantes

b. Más de 91 kg

91 68.5[ 91]

10

2.25

0.9

1 [ 2.25]

1 0.087 28 12

p x p z

p z p z

El 1.22% de 500 es 289.25 o entre 6 y 7 estudiantes

2. La media del diámetro interior del conjunto de lavadoras producidas por una máquina es 1,275 cm. y la desviación típica de 0,0125 cm. El propósito para el cual se han diseñado las lavadoras permite una tolerancia máxima en el diámetro de 1,26cm. a 1,29 cm., de otra forma las lavadoras se consideran defectuosas. Determinar el porcentaje de lavadoras defectuosas producidas por la máquina, suponiendo que los diámetros están distribuidos normalmente.

1.26 1.275 1.275 1.29 1.275[1.26 1.29]

0.0125 0.0125 0.0125

1.2 1.2 1.2 1.2

1.2 1.2 1.2 (1 [ 1.2])

0.8849 0.1151 0.7698

xp x p

p z p z p z

p z p z p z p z

El 23.02% (100%-76.98%) de las lavadoras son defectuosas.

3. Cierto tipo de pieza para automóvil tiene un promedio de duración de tres

años, con una desviación estándar de 0,5 años. Suponga que las duraciones de

las piezas están normalmente distribuidas y encuentre la probabilidad de que

una pieza determinada tenga un tiempo de duración de más de 3,5 años

3.5 3[3.5 ]

0.5

1 1 [ 1]

1 0.8413 0.1587

p x p z

p z p z

Tiene una probabilidad de 15.87%.

4. Una fábrica de alimentos empaca productos cuyos pesos están normalmente

distribuidos con media de 450 gramos y desviación estándar de 20 gramos.

Encuentre la probabilidad de que un paquete escogido al azar pese entre 425 y

486 gramos

425 450 486 450[425 486]

20 20

1.25 1.8 1.8 1.25

1.8 1.2

0.9641

5 1.8 (1 [ 1.25])

(1 ) 0.854 850.89 4

p x p z

p z p z p z

p z p z p z p z


5. La cantidad de radiación cósmica a la cual está expuesta una persona

mientras vuela en avión es una variable aleatoria que tiene una distribución

normal con μ = 4,35 mrem y σ = 0,59 mrem. Determine las probabilidades de

que una persona que va en este vuelo está expuesta a:

Más de 5,00 mrem de radiación cósmica.

5 4.35[5 ]

0.59

1.10 1 [ 1.10])

1 0.13570.8643

p x p z

p z p z


Entre 3,00 y 4,00 mrem de radiación cósmica

3 4.35 4 4.35[3 4]

0.59 0.59

2.28 0.59 0.59 2.28

0.59 2.28 0.59 (1 [ 2.2

0.2

8])

(1 ) 0.266775 299 0.9887

p x p z

p z p z p z

p z p z p z p z


IV. EJERCICIOS DE ESTIMACIÓN POR INTERVALOS DE CONFIANZA

1. Para una muestra de 400 personas elegidas al azar se obtiene una renta per

cápita de 1.215.000 ptas. Si la desviación típica de la renta per cápita para la

población es de 700.000 ptas, calcula el intervalo de confianza para la media

poblacional con un nivel de significación de 0.05.

1215x

700

/2

951

100 0.975 1.962

Z

/2 /2

700 700; 1215 1.96 ;1215 1.96 (1146.4;1283.6)

400 400X Z X Z

n n

El intervalo de confianza es (1146.4 ; 1283.6)

2. Para una muestra de 30 alumnos se obtuvo una nota media en el último

examen de matemáticas de 5'83x , con una desviación típica s= 1’92.

Determina el intervalo de confianza al 80%.

/2

/2 /2

5.83

1.92

801

100 0.900 1.2852

1.92 1.92; 5.83 1.28 ; 5.83 1.28

30 30

x

Z

X Z X Zn n


3. El peso medio de una muestra de 100 recién nacidos es 3.200 gramos.

Sabiendo que la desviación típica de los pesos de la población de recién nacidos

es de 150 gramos, halla el intervalo de confianza para la media poblacional para

una significación de 0’05.

/2

/2 /2

100

3200

150

951

100 0.9750 1.962

150 150; 3200 1.96 ; 3200 1.96

100 100

n

x

Z

X Z X Zn n


4. Un investigador de mercado de una compañía de productos electrónicos

desea estudiar los hábitos televisivos de los residentes de una pequeña ciudad.

Selecciona una muestra aleatoria de 40 participantes y les pide que mantengan

un registro detallado de lo que ven en televisión durante una semana. Los

resultados son los siguientes:

Tiempo frente al televisor: x = 15,3 h. s = 3,8 h.

Establezca un intervalo de confianza de 95% para el promedio semanal de

tiempo que ven televisión en esta ciudad.

/2

/2 /2

40

15.3

3.8

951

100 0.9750 1.962

; 15.3 1.96 ;15.3 1.96 (14.122;16.478)3.8 3.8

40 40

n

x

Z

X Z X Zn n

El intervalo de confianza es de (14.122;16.478) .

5. Un director de producción sabe que la cantidad de impurezas contenida en los

envases de cierta sustancia química sigue una distribución normal con una

desviación típica de 3,8 gramos. Se extrae una muestra aleatoria de nueve

envases cuyos contenidos de impurezas son los siguientes: 18,2; 13,7; 15,9;

17,4; 21,8; 16,6; 12,3; 18,8; 16,2.

/2

/2 /2

9

18.2+13.7 + 15.9 + 17.4 + 21.8+16.6 + 12.3+18.8 + 16.216.767

9

3.8

901

100 0.95 1.6452

;

16.767 1.96 ;16.767 1.96 (14.683;18.851)3.8 3.8

9 9

n

x

Z

X Z X Zn n

El intervalo de confianza es de (14.683;18.851)

V. EJERCICIOS PROPUESTOS DE MANEJO DE ALFA DE CRONBACH

1. En la siguiente tabla se muestran las puntuaciones obtenidas por un grupo de

10 estudiantes de 2º de Bachillerato en un test de Matemáticas compuesto por 5

ítems de elección múltiple.

Sujetos 1 2 3 4 5 Total

A 0 1 1 1 1 4

B 1 0 0 1 1 3

C 1 1 1 0 0 3

D 1 1 1 1 0 4

E 1 1 0 0 0 2

F 1 1 1 1 1 5

G 1 1 0 1 0 3

H 0 1 1 1 1 4

I 1 1 1 1 1 5

J 1 0 0 0 0 1

total 8 8 6 7 5 34

Varianza 0.16 0.16 0.24 0.21 0.25

Hallar el coeficiente de Cronbach.

2

i 1

2

5 1.021 1 0.3645

1 5 1 1.44

k

i

i

sK

K s

El coeficiente de Cronbach es 0.36

La varianza del elemento 5 es igual:

2 2 2 2 2 2 2 2 22

5

(1 0.5) (1 0.5) (1 0.5) (1 0.5) (1 0.5) (0 0.5) (0 0.5) (0 0.5) (0 0.5)

10elemento

=> 0.2

2. Con los datos de la siguiente tabla, el coeficiente alfa de Cronbach es igual a:

Elementos

Sujetos 1 2 3 4 5

A 1 0 0 1 1 3

3 B 1 1 1 0 0 3

C 1 0 0 0 0 1

D 0 0 1 1 0 2

E 1 1 1 1 0 4

TOTAL 4 2 3

3 1 13

VARIANZA 0.16 0.24 0.24 0.24 0.16 1.04

2

i 1

2 1.

5 1.041 1 0

1 5 1 04

k

i

i

sK

K s

=> El coeficiente alfa de Cronbach es 0

VI. EJERCICIOS DE ESTIMACIÓN POR TAMAÑO DE MUESTRA PARA

POBLACIONES FINITAS E INFINITAS

1. Para un mercado de prueba, encuentre el tamaño de muestra necesario para

estimar la proporción real de consumidores satisfechos con un cierto producto

nuevo, dentro de ± 0,04 a un nivel de confianza de 90%. Suponga que no tiene

una buena idea del valor de la proporción.

2 2

/2

2 2

0.5 0.5425.390625

0. 4

1,65

0

Z q pn

e

=> El tamaño de muestra necesario para estimar la proporción real de

consumidores satisfechos es 426

2. Un encuestador político desea estimar la proporción de electores que votarán

por el candidato demócrata en una campaña presidencial. El encuestador desea

99% de confianza de que su predicción será correcta dentro de ± 0,04 de la

proporción de la población, que sabe que es de 0,5. ¿Cuál es el tamaño de

muestra necesario?

2 2

/2

2 2

2.58 0.5 0.51040.0625

0.04

Z p qn

e

El tamaño de muestra necesario es 1041

3. Si el gerente de una tienda de pinturas desea estimar la cantidad promedio en

una lata de 1 galón dentro ± 0,004 de galón con 95% de confianza y supone que

la desviación estándar es 0,02 de galón ¿qué tamaño de muestra requiere?

2 2 2 2

/2

2 2

1.96 0.0296,04

0.004

Zn

e

97 es el tamaño de muestra que se requiere.

4. El director de una escuela de ciencias empresariales está interesado en

conocer los salarios de los ex alumnos cinco años después de completar sus

estudios. Dispone de una muestra de 25 de estos diplomados cuya media y

desviación estándar es de 450000 y 85000 bolívares mensuales. Suponiendo

que la distribución es normal, hallar un intervalo de confianza del 90% para la

media poblacional.

/2 /2

85000 85000450000 1,65 450000 1,65

2; ;

(421950;478 0)

5 2

05

5X Z X Z

n n

Para una muestra finita de 25 personas el intervalo de confianza es

(421950; 478050)

VII. TEMA LIBRE

1. Un proceso produce bolsas de azúcar refinado. El peso del contenido de estas

bolsas tiene una distribución normal con desviación típica 15 gramos. Los

contenidos de una muestra aleatoria de 25 bolsas tienen un peso medio de 100

gramos. Calcular un intervalo de confianza del 95% para el verdadero peso

medio de todas las bolsas de azúcar producidas por el proceso.

/2 /2

15 15100 1,65 100 1,65

2; ;

(95.05;10.4

5 25

95)

X Z X Zn n

El intervalo de confianza del 95% para el verdadero peso medio de todas

las bolsas de azúcar producidas por el proceso es (95.05;10.495) .

2. Un directivo de cierta empresa ha comprobado que los resultados obtenidos

en los tests de aptitud por 100 solicitantes de un determinado puesto de trabajo

sigue una distribución normal con una desviación típica de 32,4 puntos. La media

de las calificaciones de una muestra aleatoria de nueve tests es de 187,9 puntos.

Calcular un intervalo de confianza del 80% para la calificación media poblacional

del grupo de solicitantes actual.

/2 /2; ;32.4 32.4

187.9 1.28 187.9 1.28100 1

(183.75

00

28;192.0472)

X Z X Zn n

El intervalo de confianza del 80% para la calificación media poblacional

del grupo de solicitantes actual es (183.7528;192.0472)

3. Los salarios de los trabajadores en cierta industria son en promedio $11,9 por

hora y la desviación estándar de $0,4. Si los salarios tienen una distribución

normal. ¿Cuál es la probabilidad de que un trabajador seleccionado al azar:

a. Reciba salarios entre $10,9 y $11,9?

10.9 11.9[10.9 11.9]

0.4 0.4

2.5 0 2.5 0

2.5 0

0.5

11,9 11,9

0.9938 0.0 40 9 80 3

p x p z

p z p z p z

p z p z

49.38% de probabilidades

b. Reciba salarios inferiores a $11

11 11.9[ 11]

0.4

2.25 1

0.0

[ 2.25]

1 122240.98776

p x p z

p z p z

1.22 % de probabilidades

c. Reciba salarios superiores a $12,95?

12.95 11.9[ 12.95]

0.4

2.625 1 [ 2.62]

1 0.9956 0.0044

p x p z

p z p z

0.44% de probabilidades

4. La siguiente muestra de 8 observaciones fue tomada de una población infinita

con distribución normal: 75.3, 76.4, 83.2, 91.0, 80.1, 77.5, 84.8, 81.0- Construya

un intervalo de confianza de 98% para la media.

/2

/2 /2

8

75.3+76.4+83.2+91.0+80.1+77.5+84.8+81.0

8

981

100 0.99 2.32666666666

81.163

5,0938

5,0938 5,093881.1

666672

;

2.32 ; 2.32 (76.98;85.34)63 81.1638 8

n

x

Z

X Z X Zn n

El intervalo de confianza de 98% para la media es (76.98;85.34)

5. Se tienen fuertes indicios de que la proporción de la población es

aproximadamente de 0,7. Encuentre el tamaño de muestra necesario para

estimar la proporción dentro de ± 0,02 con un nivel de confianza de 90%.

2 2

/2

2 2

1,645 0.3 0.71420.66

0.02

Z q pn

e

El tamaño de muestra necesario es 1421.

6. Una tienda local vende bolsas de plástico para basura y ha recibido unas

cuantas quejas con respecto a la resistencia de tales bolsas. Parece ser que las

bolsas que se venden en la tienda son menos resistentes que las que vende su

competidor y, en consecuencia, se rompen más a menudo. Gustavo, gerente

encargado de adquisición, está interesado en determinar el peso máximo

promedio que puede resistir una de las bolsas para basura sin que se rompa. Si

la desviación estándar del peso límite que puede aguantar una bolsa es de 1,2

Kg., determine el número de bolsas que deben ser probadas con el fin de que

Gustavo tenga una certeza de 95% de que el peso límite promedio está dentro

de 0,5 Kg., del promedio real.

2 2 2 2

/2

2 2

1,96 1.222.1276

0.05

Zn

e

El número de bolsas que deben ser probadas es 23.

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