1)Averiguar a que ecuacin corresponde la curva

2

1) Graficar el dominio de la funcion:

SOLUCION

1. Como

2. Analizando primero

2. Luego lo mismo con:

Obtenemos la grafica

b) Hallar los valores extremos de

SOLUCION

1. Derivando para hallar los puntos criticos

, y=0 es una solucion

, y=0 es la nica solucin

2. La segunda derivada

3. Evaluando en los puntos criticos

NO HAY INFORMACION

Dandole valores f(0,0)=0 es un punto de silla

2) Hallar los valores de a , donde es diferenciable en (0,0)

SOLUCION

1.Para averiguar para que valores de a diferenciable en (0,0),

hallaremos las derivadas parciales en (0,0)

Ahora por la definicin alterna de diferenciabilidad

si

= ACOTADO (0) = 0

Entonces f(x,y) diferenciable en (0,0)

3) Ahora hay que averiguar, que no es diferenciable en (0,0) si

POR CAMINOS : x=y

Entonces f(x,y) no es no es diferenciable en (0,0) si

3) Hallar los valores extremos de .

SOLUCION

1. Derivando para hallar los puntos criticos

4) Sea , f y g funciones doblemente derivables. Hallar el valor de b para que se cumpla

SOLUCION

1. Derivando con respecto a x

2. Ahora derivando con respecto a y

3. Como

Reemplazamos en la igualdad

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3 5) Hallar los valores extremos de

SOLUCION

1.

2. Las soluciones son MAXIMO

MINIMO

6)Tres nmeros no negativos x , y, z suman 9

a) Qu tan pequeo puede ser x2+y2+z2?

SOLUCION

1. F(x,y,z)= x2+y2+z2 , la restriccin es x+y+z=92. Por el metodo de Lagrange

F(3,3,3)= 32+32+32=27 es el valor minimob) Qu tan grande puede ser x3+y3+z3?

SOLUCION

1. Como no hay formula tenemos que analizarlo

7) Hallar los valor extremo de

donde

SOLUCION

1. Como se pide los valores extremos en , el trabajo se divide en : i)

ii) x=0,1; y=0,1

2. i)Hallando los puntos criticos en . Son todos los valores que cumplen la ecuacion

Como las segundas derivadas no dan informacin, tenemos que hacer

Osea , tiene un valor minimo, cuando

3. Ahora en los bordes

ii) Si x=0 en

osea ,

Tiene valor minimo =3/4,valor maximo =1

Si x=1 en

osea , .Tiene valor minimo =1,valor maximo =3

Si y= 0, y= 1 es igual4. El valor minimo =3/4, valor maximo =38)Hallar el valor extremo de la funcin

, en el conjunto 1. Hallando los puntos criticos en .

Evaluando con las segunda derivada se tiene que

, es un valor minimo2. Ahora en , reemplazando en f(x,y)

, derivando se obtiene P.C . Osea , es un valor maximo9) En la figura se muestra la grafica de la

Superficie :

Hallar los valores extremos de f(x,y),

si SOLUCION

1. Derivando para hallar los puntos criticos

2. Reemplazando el valor de x

i)

EMBED Equation.3 ii)

EMBED Equation.3 Los puntos criticos son

3. La segunda derivada

4. Evaluando en los puntos criticos , no hay informacin

5. Ahora en los bordesi)

ii)

Por ultimo los valores maximos y minimos son

10)Hallar la distancia minima y maxima entre el plano y la curva formada por ,

Solucion

1) Sea que pertenece a la curvaentonces la distancia del punto al plano es

2) Como el punto tiene dos restricciones .Resolverlo!!!11)

12)

EMBED Equation.3 13)

=

14) Dibuje la regin de integracin y exprese la integral como una integral doble equivalente con el orden de integracin invertido.

SOLUCION

15) Dibuje la regin de integracin y exprese la integral como una integral doble equivalente con el orden de integracin invertido.

EMBED Equation.3 SOLUCION16) Dibuje la regin de integracin dey exprese la integral como una integral doble equivalente con el orden de integracin invertido.

SOLUCION17) Dibuje la regin de integracin y exprese la integral como una integral doble equivalente con el orden de integracin invertido.

SOLUCION18) Dibuje la regin de integracin y exprese la integral como una integral doble equivalente con el orden de integracin invertido.

19)

EMBED Equation.3 20)

EMBED Equation.3 21)

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

22) Dibuje la regin de integracin y exprese la integral como una integral doble equivalente con el orden de integracin invertido.

EMBED Equation.3

Integrales mltiples

Las integrales mltiples son una extensin de las integrales definidas de funciones escalares a campos escalares de dos o ms variables.

Una integral doble se puede escribir en la forma

donde est definida en una regin rectangular R del plano:

y tiene el sentido de diferencial de rea.

Integrales iteradas

Como no se puede evaluar la integral doble mediante su definicin, porque esta no es operativa, se recurre a un procedimiento llamado integracin sucesiva, que indicamos a continuacin:

Sea una funcin definida en una regin R.

Se fija y se integra con respecto a :

Esta es la integral parcial de con respecto a x.

Luego se integra con respecto a y:

De un modo similar, si consideramos a x fijo:

integral parcial de con respecto a y.

Luego se evala:

Se calcula entonces una integral doble por clculo sucesivo de dos integrales:

primero se integra con respecto a una variable y luego se integra el resultado con respecto a la otra variable. Cuando se realiza esta integracin parcial sucesiva, se opera de dentro hacia fuera como se puede ver en las expresiones siguientes:

Las integrales de este tipo se llaman integrales iteradas. El teorema siguiente nos dice como evaluar integrales dobles.

Es decir, para calcular una integral doble se puede calcular una cualquiera de las integrales iteradas:

EMBED Equation.3

Ejercicio 1

Calcule

Solucin

Podemos escribir esta integral en la forma

Resolvemos

-a

a

a

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

Teorema de Fubini

Sea EMBED Equation.3 una funcin continua sobre un rectngulo EMBED Equation.3

Entonces se puede calcular la integral doble

EMBED Equation.3 por integracin iterada en cualquier orden, es decir:

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

_1391758401.unknown

_1433505999.unknown

_1433769857.unknown

_1433779707.unknown

_1433786832.unknown

_1433786963.unknown

_1433787075.unknown

_1504115842.unknown

_1433786985.unknown

_1433786870.unknown

_1433780807.unknown

_1433786705.unknown

_1433786729.unknown

_1433785964.unknown

_1433785973.unknown

_1433784114.unknown

_1433780686.unknown

_1433780728.unknown

_1433779729.unknown

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