PROBLEMAS RESUELTOSMEDIANTE SIMULACIO ES

Si se tratara de realizar experimentos estadfsticoscon fen6menos como el tr<ificode una ciudad 0 supoblaci6n, los resultados resultarfan ca6ticos y secrearfan situaciones con graves perjuicios. Por estaraz6n, en estos casos se recurre alas simulaciones.

Las simulaciones son reproducciones de procesosreales, que tienen el objetivo de estudiar el compor-tamiento de algunas de sus variables, que se suponeque siguen las mismas leyes en la simulaci6n y en larealidad. De esta manera, se evita la necesidad deefectuar el experimento real. Una simulaci6n preten-de asemejarse a la realidad, pero sin confundirse conella. Toda simulaci6n tiene lfmites, puesto que nuncaexiste la certeza de que la realidad actue del mismomodo que la simulaci6n.

En toda simulaci6n existe una serie de suposicionessobre el funcionamiento del sistema que se quiere es-tudiar. Estas suposiciones acostumbran a poderse ex-presar como relaciones matem:iticas entre diferentesvariables.

Una simulaci6n es, por tanto, cualquier experimen-to aleatorio que pretend a emular un caso real. Si, porejemplo, se quiere emular una ruleta, pero se carece

Una senora tiene dos loritos; una amiga Ie pregunt6:

iEs macho alguno de tus loritos?Sf, en efecto -contest6 la senora.

i(ual es la probabilidad de que ambos loros sean machos?

Uno de los loros es verde oscuro y el otro, verde claro. Si la amigahubiese preguntado si el loro macho es el mas oscuro, y si larespuesta hubiera sido afirmativa, la probabilidad de tener dosmachos hubiera aumentado hasta O,S.iC6mo se explica este cambiode probabilidad?

Solucion al final del capitulo

del material necesario, se puede sustituir la ruleta porunos papelitosdonde se escriben los numeros del°al 36.

EI lanzamiento de la bola real es equivalente, eneste caso, a coger un papelito al azar y leer el numeroque hay escrito en el. La suposici6n que garantiza queesta simulaci6n es correcta es que la probabilidad deobtener cada numero es la misma en ambos casos, elreal y el simulado.

Las simulaciones se aplican con frecuencia en eco-nomfa, pues resulta interesante para los estudios deeste tipo poder prever c6mo reaccionara el mercadoante, por ejemplo, una subida de precio 0 una rebajade impuestos. En el ambito militar, se llevan a cabosimulaciones mediante computadoras de los efectosde nuevos armamentos 0 de situaciones estrategicas.

Las computadoras 0 las calculadoras son una granayuda para establecer simulaciones. Estas maquinaspermiten generar, por ejemplo, numeros al azar, capa-cidad que resulta muy util para simular casos como elde una rifa.

EI experimento aleatorio del dado, por ejemplo,puede reproducirse mediante una calculadora. Losmodelos cientfficos acostumbran a tener una opci6n,llamada RAN, RND 0 RANDOM, que genera de for-ma aleatoria numeros entre el cero y el uno. Los re-sultados obtenidos despues de usar esta opci6n endiez ocasiones pueden ser:

0,419 0,662 0,273 0,264 0,741

0,523 0,607 0,740 0,014 0,909

Puesto que se desea obtener valores entre el uno y elseis, como sucede con el dado, se deben hacer opera-ciones con estos numeros, de tal forma que los resul-tados se encuentren en este intervalo. Esto se logra,en primer lugar, multiplicando por seis cada uno delos numeros aleatorios:

2,514 3,972 1,638 1,584 4,446

3,138 3,642 4,440 0,084 5,454

En la parte entera de estos numeros aparecen ceros yno hay ningun seis. Para situar estos numeros entreuno y seis, se suma uno a cada parte entera:

3,514 4,972 2,638 2,584 5,446

4,138 4,642 5,440 1,084 6,454

Por ultimo, se desecha la parte decimal. Los nume-ros generados son, entonces, los siguientes:

f3 4 2 2 544516

De esta manera, se logra emular ellanzarniento deun dado en diez ocasiones, con los resultados queaparecen en la tabla anterior.

Cualquier juego de azar puede ser reproducido me-diante el rnismo procedimiento. El problema a resol-ver consiste en manipular los valares generados deforma aleatoria entre cero y uno, de forma que arrojenresultados en el intervalo que se precise. Simulacio-nes de gran complejidad como las mencionadas pue-den llegar a manejar millones de variables y requierenpara su funcionamiento de grandes supercomputado-ras, las mayores de entre las que se construyen.

1 Simular una rifa de cuatro libros de aventurasde la que se venden quinientos boletos. Se han ge-nerado de forma aleatoria los siguientes mimeros:0,595; 0,682; 0,691 y 0,215.Los valores generados aleatoriamente se encuentranentre el 0 y ell, rnientras que el problema requiereque esten comprendidos entre 1 y 500. Para transfor-marlos, se multiplica cada uno de ellos par el numerode casos posibles, es decir, quinientos:

0,595 . 500 = 297,50,682·500 = 341,00,691 ·500 = 345,50,215 ·500 = 107,5

Los valores obtenidos en la parte entera estan com-prendidos entre el 0 y el 499 (aunque en este casono aparezca ninguno de los dos). Para solucionar estadesviaci6n, se suma 1 a cada valor obtenido:

297,5 + 1 = 298,5341,0 + 1 = 342,0345,5 + 1 = 346,5107,5 + 1 = 108,5

Por ultimo, se suprime la parte decimal. Los numerosobtenidos son: 298, 342, 346 Y 108.

2 En la simulaci6n de una moneda lanzada endiez ocasiones, se supone que la cara es el valor 1 yla cruz el 2. Los resultados al azar, obtenidos gra-cias a una computadora, son los siguientes: 0,828;

0,227; 0,141; 0,694; 0,436; 0,898; 0,542; 0,513;0,288 Y0,954. Calcular la frecuencia absoluta dela cara y de la cruz.Los valores aleatarios deben situarse entre 1 y 2. Paraello se multiplican dichos valores por el numero decasos posibles, es decir, por dos (cara y cruz), con lossiguientes resultados:

1,656 0,454 0,282 1,388 0,8721,796 1,084 1,026 0,576 1,908

La parte entera de los valores obtenidos es cero 0 uno;Se suma 1 a cad a uno de ellos:

2,656 1,454 1,282 2,388 1,8722,796 2,084 2,026 1,576 2,908

2112122212

EI valor 1 corresponde a la cara y su frecuencia abso-luta es 4. La frecuencia absoluta de la cruz es 6.

3 Se simula una ruleta francesa, para 10 que serealizan veinte jugadas, con la generaci6n al azarde los correspondientes valores, recogidos en la si-guiente tabla:

- -10,217 0,203 0,556 0,444 0,3430,351 0,150 0,809 0,608 0,7060,486 0,978 0,333 0,021 0,1200,450 0,922 0,291 0,258 0,259

a) Hallar las frecuencias absolutas y relativas.b) Calcular la frecuencia relativa con la que apa-

rece un mimero par en las jugadas y compa-rar este resultado con la probabilidad teoricade que ocurra este suceso.

a) Una ruleta francesa tiene asignados valores entreel 0 y e136. Esto significa que hay treinta y siete posi-bilidades. Los mimeros generados de forma aleatoriase multiplican, por tanto, por 37. El resultado de lasmultiplicaciones se encuentra en la siguiente tabla:

8,02912,98717,98216,65

20,57229,93312,32110,767

12,69126,1224,4409,583

16,42822,4960,7779,546

7,5115,55036,18634,114

La parte entera de los valores se encuentra entre el 0y el 36, como en la ruleta. Solo queda despreciar laspartes decimales:

8 7 20 16 1212 5 29 22 2617 36 12 0 416 34 10 9 9

La frecuencia absoluta y relativa de cada numero sepresenta a continuacion en la siguiente tabla:

Numero Frecuenciaabsoluta

o 1

4 15 17 18 19 210 112 316 217 120 122 126 129 134 136 1

Frecuenciarelativa

0,050,050,050,050,050,100,050,150,100,050,050,050,050,050,050,05

b) Han salido numeros pares en trece ocasiones. Sufrecuencia relativa es, por tanto:

.!2 = 06520 '

Los casos favorables a obtener un numero par sondieciocho, mientras que los casos posibles son treintay siete. La probabilidad teorica del suceso {obtenerun numero par} es, por tanto:

18peA) = 37 = 0,486

De la comparacion del resultado teorico (0,486) conel empirico (0,65), se infiere que, de continuar con unnumero 10suficientemente importante de tiradas, pa-ra cumplir con la ley de los grandes numeros, hade aumentar la frecuencia empfrica de aparicion denumeros impares, para compensar la sobreabundan-cia de pares que se ha dado hasta el momento.

4 Se quiere hacer la simulacion de una rifa en laque se venden papeletas numeradas del 1 al 100, yen la que hay dos premios. Los numeros premiadosse obtienen a partir de unos valores conseguidos deforma aleatoria mediante una calculadora: 0,440 y0,703. l,Cmlles son las papeletas premiadas?

5 Se simula el lanzamiento de un dado diez veces,de las cuales se obtienen los siguientes numeros deforma aleatoria:

0,910 0,074 0,404 0,889 0,4330,477 0,034 0,214 0,793 0,251

l,Cmll es la frecuencia absoluta y relativa con la queaparecen numeros primos?

6 Se ha realizado la simulacion dellanzamiento deuna moneda en veinte ocasiones. Se supone que caraes el valor 1 y cruz el valor 2. l,En cwintas ocasionesaparece cada posibilidad? Los numeros aleatorios,generados por una calculadora, son los que se mues-tran en la siguiente tabla:

0,680 0,718 0,927 0,493 0,6240,046 0,409 0,263 0,624 0,6200,042 0,438 0,140 0,640 0,2210,788 0,983 0,877 0,472 0,207

7 Se quiere escoger a tres alumnos de una clase,que se encarganin de limpiar la pizarra, de entre untotal de cuarenta y dos. Se considera que cada unotiene asignado un numero de 1 a 42, y para decidirquienes senin, se generan de forma aleatoria tres va-lores mediante una calculadora, con el siguiente re-sultado: 0,322; 0,914; 0,839. l,Que alumnos senin loselegidos para llevar a cabo esta tarea?

Soluci6n: Los que tienen asignados los mimeros14,39 Y36

8 Cuatro personas viajan en un coche. Se les aca-ba la gasolina, por 10que tienen que decidir quien deellas caminara basta el siguiente pueblo, para com-prar una lata de combustible que 1es permita prose-guir el viaje. Cada uno de los cuatro escoge un nume-ro entre 1 y 4, y con una calcu1adora generan e1nume-ro aleatorio 0,402. l,Quien de ellos tendra que hacerel trayecto andando?

9 Dos equipos de fUtbol tienen que decidir en po-sesi6n de quien estara 1apelota al empezar el partido.El equipo azul escoge e1numero cero, mientras que e1equipo rojo escoge el numero dos. Se genera de for-ma a1eatoria, con una calcu1adora, e1numero 0,122.l,Que equipo iniciara el partido?

10 Se quieren obtener de forma aleatoria cuatronumeros enteros que esten comprendidos entre 1 y20. Para ello, se generan con una calcu1adora lossiguientes va10res aleatorios: 0,032, 0,073, 0,882 y0,406. Indicar a que va10res comprendidos en el in-terva10de 1 a 20 corresponden estos cuatro numeros.

11 Los cuarenta a1umnos de una clase tienen queescoger ados representantes para un encuentro entrediferentes escuelas. Para que el resultado dependa delazar, se generan mediante una computadora dos va-10res a1eatorios: 0,669 y 0,730. Si 10s a1umnos estannumerados dell a140, l,cuales seran los e1egidos?

12 Juan, Luis, Silvia y Enrique han ganado un librocomo premio por un trabajo en equipo, y quieren sor-tearlo entre ellos. Cada uno de ellos escoge un nume-ro: Juan, ell; Luis, el 2; Silvia, el 3, y Enrique, e14.Por ultimo, se sirven de una calculadora para generarun numero a1azar. El valor obtenido es 0,636. l,Quiende ellos se quedara con el premio?

13 El director de una empresa quiere encargar unestudio a a1guno de 10s cinco trabajadores que estandisponibles. Como no sabe a quien escoger, les asig-na un numero de 0 a 4, de 1a siguiente forma: Luisa,0; Fernando, 1; Teresa, 2; Arcadio, 3, y Margarita,4. Mediante una calcu1adora, se genera e1 siguientevalor a1eatorio: 0,170. l,Quien sera el encargado dellevar a cabo el estudio?

14 Se generan de forma aleatoria ocho valores, queserviran para obtener numeros comprendidos entre 1y 25. El numero mas repetido se escogera como clavesecreta para abrir una caja fuerte. l,Cual sera dichovalor? Los numeros generados son 10sque figuran enla siguiente tabla:

0,146 0,384 0,257 0,7170,698 0,194 0,541 0,674

15 Se quiere cambiar la contrasefia de la caja fuerteque aparece en el problema anterior. Para ella, se re-piten las operaciones ya indicadas para obtener nue-vos valores. l,Cua1es e1numero secreta que se obtie-ne en esta ocasi6n? Los va10res generados de formaa1eatoria son 10ssiguientes:

0,830 0,192 0,316 0,0550,227 0,826 0,091 0,146

16 Juana compra un 1ibro que se compone de oncecuentos. Decide empezar por cualquiera de los cuen-

tos al azar, por 10 que genera de forma aleatoria elvalor 0,537 con una computadora.

a) L,Cmilsera el primer capitulo que leera?b) Para leer el siguiente capitulo, genera otro valor:

0,001. L,Cwilsera el segundo capitulo que Juanava a leer?

Soluci6n: a) EI sexto capitulob) EI primer capitulo

17 En una rifa se venden 3500 cupones, numera-dos de 1 hasta 3500, con el objetivo de sortear diezobjetos. Los valores se obtienen al azar y se generanmediante una calculadora. L,Quecupones de todos losvendidos obtendnln premio? Los numeros generadosde forma aleatoria se encuentran en la siguiente tabla(en la cual, los valores se leen de izquierda a derecha,y de arriba abajo):

I 0,166 0,113 0,965 0,986 0,41210,589 0,954 0,196 0,714 0,291

Soluci6n: 582; 396; 3378; 3452; 1443; 2062;3340; 687; 2500; y 1019

18 Jaime se encuentra en un restaurante en el quepuede escoger entre cinco menus diferentes numera-dos dell a15. Como no se decide por ningun menu y,por suerte, tiene una calculadora en el bolsillo, generade forma aleatoria un numero: 0,126. L,Quemenu delos cinco elegini Jaime?

19 En un edificio de oficinas se quiere realizar unsimulacro contra incendios. Se escogen al azar dospisos de los ocho que componen el inmueble, paraproceder a evacuarlos. Los pisos se numeran de lasiguiente forma: el cero es la planta baja, el 1 es elprimer piso, el 2 es el segundo, y asi, de forma con-secutiva hasta el 7, que es el septimo piso. L,Quepisosse evacuaran en el simulacro, si los numeros genera-dos de forma aleatoria son 0,764 y 0,380?

20 Un estudiante de informatica disefia un progra-ma que, a partir de un valor generado de forma aleato-ria, presenta en la pantalla un numero situado entre el

1Yel 33, ambos inclusive. Si, por ejemplo, el progra-ma se inicia con los valores 0,194 y 0,254, L,queva-lores se obtendran al final?

21 Un inform<iticoprepara un programa que generaal azar c6digos de seguridad de cinco simbolos. Losunicos caracteres que es capaz de escribir son sieteletras del abecedario y un gui6n. El programa se basaen la correspondencia entre numeros y simbolos queaparece en la siguiente tabla:

N6muo 0 1 2 3 4 5 6 7Simbolo - ABC D E F G

El procedimiento del programa es el siguiente: se ge-neran de forma aleatoria numeros entre 0 y 7, quese sustituyen por el simbolo correspondiente segun latabla anterior. L,Quec6digo se forma en cada una delas filas de los siguientes numeros generados?

Primera fila 0,143 0,105 0,483 0,804 0,673Segunda fila 0,191 0,008 0,297 0,109 0,512

Tercera fila 0,271 0,582 0,435 0,502 0,848Cuarta fila 0,769 0,010 0,279 0,287 0,344

Soluci6n: Primera fila, A-CFESegunda fila, A-B-DTercera fila, BDCDFCuarta fila, F-BBB

22 Se disefia un programa parecido al del ejerci-cio anterior, pero se incorporan algunas mejoras: seafiaden asteriscos, arrobas y mas letras, y los c6digosson de siete simbolos. La tabla de correspondenciasentre simbolos y numeros es la siguiente:

Ntimero ° 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12Simbolo * @ - A E I C M P R S T U

L,Que c6digos se formanin a partir de los valores ge-nerados al azar por la computadora en cada una de lasfilas de la tabla que se encuentra a continuaci6n?

I" fila 0,003 0,948 0,790 0,894 0,689 0,161 0,774

2" fila 0,945 0,980 0,480 0,400 0,440 0,435 0,1743" fila 0,447 0,410 0,449 0,390 0,051 0,884 0,436

4" fila 0,283 0,692 0,188 0,450 0,201 0,801 0,2805" fila 0,486 0,429 0,297 0,714 0,119 0,306 0,313

Solucion: Primera fila, *USTP-SSegunda fila, UUCIII-Tercera fila, III1*TICuarta fila, AP-I-SAQuinta fila, CIAR@ AE

23 Ivan es el encargado de seleccionar las cancio-nes en una discoteca, y tiene 10500 canciones dife-rentes a su disposicion. Las canciones estan ordena-das numericamente, de forma que a cada cancion Iecorresponde un unico mimero de 1a 10500. Median-te su computadora, genera diez numeros de formaaleatoria, porque esta noche quiere poner diez can-ciones al azar entre todas las disponibles. Los nume-ros obtenidos se encuentran en la tabla siguiente:

'0,066 0,921 0,899 0,795 0,132 I0,034 0,590 0,548 0,309 0,871

l,Las canciones de que numeros seran las que suenenpor la noche?

Solucion: Las canciones de mimeros 694; 9671;9440; 8348; 1387; 358; 6196; 5755;3245; y 9146

24 Un ascensor funciona mediante un codigo denumeros, de manera que cada valor corresponde a unpiso entre el 0 (que es el de la planta baja) y el 30.Indicar a que pisos va a dirigirse el ascensor si losnumeros almacenados son los siguientes:

[0,065 0,501 0,72~674 0,142

25 Se diseiia una maquina capaz de lanzar pelotasde tenis, con un lapso variable entre dos lanzamientosque dura entre 1 y 5 segundos. El aparato esta pre-parado de manera que es capaz de generar numerosaleatorios, que luego traduce en los segundos que du-rad el intervalo entre un lanzamiento y otro. Indicara cuantos segundos equivale cada uno de los valoresque figuran en la siguiente tabla:

10,067 0,043 0,144 0,821 0,0890,198 0,454 0,382 ~488 0,795 j

26 Se simula el juego de la ruleta francesa, cuyodisco se divide en casillas numeradas del 0 al 36. Sequiere estudiar la frecuencia de aparici6n del sucesoA = {numeros iguales 0 mayores que 30}. En primerlugar, se hacen cinco lanzamientos, luego diez y, porultimo, quince jugadas mas. Los numeros, generadosaleatoriamente mediante una computadora, que per-miten simular este juego se encuentran en la tabla queaparece a continuacion. La primera fila correspondea la primera tanda de lanzamientos; las dos siguien-tes, a la segunda tanda, y las tres finales son las de laultima tanda:

I 0,388 0,626 0,491 0,988 0,577 I

0,962 0,009J 0,785 I ~0950,871 0,691 0,291 0,668

0'135

10,266

0,3610,8570,014

0,579 0,556 0,399 0,723---'0,681 0,248 0,927 0,227

I 0,051 0,204, 0,990 0,047

a) Hallar las frecuencias absolutas de aparicion delos valores iguales 0 superiores a 30 en cada unade las tres tandas de lanzamiento.

b) Calcular las frecuencias relativas de los resultadosanteriores.

c) Dibujar un diagrama de barras en el que se mues-tren las frecuencias relativas.

Solucion: a) Primera tanda,fa (A) = 1Segunda tanda,fa (A) = 2Tercera tanda,fa (A) = 3

b) La frecuencia relativa esfr (A) = 0,2para cada una de las tres tandas

c) En el siguiente diagrama:

27 Se simula ellanzamiento de un dado, y se quierecomprobar la frecuencia con la que aparece el nume-ro 6. Se llevan a cabo tres tandas diferentes de lan-zamientos, formadas por cinco, diez y quince tiradascada una. Los numeros generados de forma aleatoriason los siguientes:

Primera tanda

L§ii 0,157 0,974 0,321; 0,92~

Segunda tanda

0,837 0,524 0,077 0,238 0,7150,386 0,369 0,713 0,71710,681

Tercera tanda0,762 0,831 0,328IO,874 1~380 I0,479 0,990 0,604 0,003 0,6060,556 0,817 0,123 0,343 0,234

a) La frecuencia absoluta del suceso A = {obtenerun 6} en cada una de las tres tandas.

b) La frecuencia relativa del suceso A en las tres tan-das de lanzamientos.

c) Dibujar un diagram a de barras que represente lafrecuencia relativa del suceso A en las tres tandas.

Soluci6n: a) Primera tanda,fa (A) = 2Segunda tanda,fa (A) = 1Tercera tanda,fa (A) = 2

b) Primera tanda,fr (A) = 0,4Segunda tanda,fr (A) = 0,1Tercera tanda,fr (A) = 0,133

c) En el siguiente diagrama:

3"

01~2"=01•••

1"

0 0,2 0,4 0,6

28 Unos amigos quieren jugar al bingo. Para simu-lar el resultado de la extracci6n de las bolas, numera-das del 1 a1 90, generan de forma aleatoria unos va-lores comprendidos entre 0 y 1, con una calculadora.Teniendo en cuenta los resultados que aparecen en latabla, indicar cuales seran los cinco numeros que seobtendran en el juego:

0,086 0,730 0,436 0,780 0,8931

29 Una nave espacial viaja por la Galaxia. El co-mandante de la nave decide detenerse en alguno delos planetas cercanos para descansar, y proseguir des-pues su viaje hacia los confines del Universo. Tienedos opciones para escoger: el planeta A y el planetaB. Como no se decide entre ninguno de ambos, pidea la computadora central que genere quince valoresde forma a1eatoria, a partir de 10s que se obtendrannumeros comprendidos entre el 1 y el 10. Si se ob-tienen mas numeros impares, ira al planeta A. Si, porel contrario, son mas los numeros pares, ira al planetaB. l,Hacia que planeta se dirigira la nave? Los valoresgenerados de forma aleatoria son los siguientes:

0,375 0,555 0,708 0,270 0,8570,402 l 0,69~ 0,862 0,607 0,3370,537 0,232 0,454 0,500 0,175

30 Un aparato tiene focos de color amarillo, rojo,azul y verde. A cada luz se Ie asigna un numero: a laluz amarilla Ie corresponde el 0; a la roja, ell; a laazul, e12, y a la verde, el 3. Los focos estan controla-dos por un procesador que genera val ores aleatorios,de forma que se mantienen apagados excepto los se-leccionados por el procesador. Los va10res generadospor el procesador se encuentran comprendidos entreo y 1, y son los siguientes:

10,264 0,133 0,915 0,249 0,161 Il,Que focos se van a encender en las cinco pr6ximasocasiones?

Soluci6n: Rojo; amarillo; verde; amarillo; yamarillo

31 Un telefono es capaz de llamar a numeros selec-cionados de forma aleatoria. Su funcionarniento es elsiguiente: genera conjuntos de nueve valores, com-prendidos entre 0 y 1, que, despues de manipularlos,corresponden a nueve numeros, comprendidos entreo y 9. l,A que numeros de telefono corresponderanlos siguientes grupos de valores? Los valores se leende izquierda a derecha y de arriba abajo.

760. Problemas resueltos mediante simulaciones

a)0,709 0,912 0,532

0,464 0,106 0,694

0,155 0,005 0,323

b)0,740 0,551 0,149- -0,458 0,313 0,199

-0,152 0,011 0,255

c)0,955 0,145 0,717

0,987 0,200 0,073

0,395 0,288 0,373

Solucion: a) 795416103b) 751431102c) 917920323

32 Una impresora tiene cuatro colores: cian, ma-genta, amarillo y negro. Se ha seleccionado una op-cion de impresion que consiste en que cada letra seimprime con un color aleatorio entre los cuatro posi-bles. La maquina asigna a cada color un numero: al 5Ie corresponde el cian; al 6, el color magenta; al 7, elamarillo, y al 8, el negro. En segundo lugar, genera unnumero aleatorio, que deterrninara el color con el quese imprimira cada letra. Atendiendo a este criterio defuncionarniento, completar el siguiente cuadro, en elcual se indica el numero aleatorio generado al teclearuna letra del teclado y se debe introducir el color conel que se imprirnira dicha letra:

0,379 0,461 0,405 0,159 0,667

0,166 0,256 0,916 0,237 0,960

0,626 0,565 0,692 0,836 0,143- -

~,463 I 0,563 0,881 0,388 0,350

0,687 0,910 0,060 0,521 0,375

0,218 0,432 0,851 0,553 0,567

0,456 0,584 I 0,248 ~,032 0,686

0,222 0,288' 0,232 0,290 0,413

0,493 0,817 0,234 0,957 0,861I

0,883 0,982 0,80110,297 0,597----<0,248 0,089 0,451 0,552 0,125

0,257 0,378 0,576 0,813 0,860

a) Calcular la frecuencia absoluta del suceso A == {numero 5} en cada una de las tandas.

b) Deterrninar la frecuencia relativa del suceso A enlas tres tandas.

Solucion:a) P tanda,fa (A) = 1;

33 tanda,fa (A) = 4

b) P tanda,fr (A) = 0,1; 23 tanda,fr (A) = 0,133 tanda,fr (A) = 0,133

LORITOS (pag. 753): Hay tres situaciones posibles con dos loros, de los que al menos uno es un macho: Q = {(macho, hembra), (hembra,macho), (macho, macho)}. La posibilidad (hembra, hembra) no existe, pues ya se sabe que al menos uno es macho. Se tiene un caso favorablede dos machos, de los tres posibles, y su probabilidad es, por tanto:

I3 = 0,333

Despues de la segunda pregunta y de su correspondiente respuesta, se tiene mas informacion: no solo se sabe que uno de los lorases macho; tam bien se sabe cuallo es con certeza. (on ello, se obtiene una informacion de la que antes se carecfa, 10 cual reduce las posibilidades:solo queda por determinar si el otro es 0 no macho, de manera que se trata de una posibilidad entre dos, es decir, una probabilidad de 0,5.