PROBLEMAS RESUELTOS SELECTIVIDAD ANDALUCÍA...

PROBLEMAS RESUELTOS

SELECTIVIDAD ANDALUCÍA

2000

MATEMÁTICAS II

TEMA 4: FUNCIONES

• Junio, Ejercicio 2, Opción A

• Junio, Ejercicio 1, Opción B


• Reserva 1, Ejercicio 2, Opción A

• Reserva 1, Ejercicio 1, Opción B







• Septiembre, Ejercicio 1, Opción A

• Septiembre, Ejercicio 2, Opción B

http://emestrada.wordpress.com

R E S O L U C I Ó N a) Calculamos la derivada.

2 2 1 1' 5 10 0 2 ln ln 0 '342 2

t th e e t e t seg− −= − + = ⇒ = ⇒ − = ⇒ = −

0'685 5 0 '34 5 0 '76h e m−= − ⋅ − =

b)

2 45 10 (2) 5 10 4 '81 /tv e v e m s− −= − + ⇒ = − + = −

Un objeto se lanza verticalmente hacia arriba desde un determinado punto. La altura en metros alcanzada al cabo de t segundos, viene dada por 2( ) 5 5 5 th t t e= − − .

a) Calcula el tiempo transcurrido hasta alcanzar la altura máxima y el valor de ésta. b) Teniendo en cuenta que la velocidad es ( ) ' ( )v t h t= , halla la velocidad al cabo de 2 segundos. MATEMÁTICAS II. 2000. JUNIO. EJERCICIO 2. OPCIÓN A.

R E S O L U C I Ó N a) Función que queremos que sea máximo: maxS x y= ⋅

b) Relación entre las variables: 288.000 200 2880 2288.000 800 100 200900 9

x xy y x y − −= + + ⇒ = =

c) Expresamos la función que queremos que sea máximo con una sola variable.

2

max2880 2 2880 2

9 9x x xS x y x − −

= ⋅ = ⋅ =

d) Derivamos e igualamos a cero

2max

2880 4' 0 720 ; 160 ; 115.2009

xS x m y m S m−= = ⇒ = = =

Se dispone de 288.000 €. Para vallar un terreno rectangular colindante con un camino recto. Si el precio de la valla que ha de ponerse en el lado del camino es de 800 €/metro y el de la valla de los restantes lados es de 100 €/metro,¿cuáles son las dimensiones y el área del terreno rectangular de área máxima que se puede vallar?. MATEMÁTICAS II. 2000. JUNIO. EJERCICIO 1. OPCIÓN B.

R E S O L U C I Ó N Vemos que 1x = y 3x = − son asíntotas verticales, luego:

2 2( 1) ( 3) 2 3 2 ; 3x x x x x bx c b c− ⋅ + = + − = + + ⇒ = = −

En la figura se observa que (0) 1 1 33

af a= − ⇒ − = ⇒ =−

Luego, la función es: 2

3( )2 3

f xx x

=+ −

Determina a, b, c, para que la curva 2( ) af xx bx c

=+ +

sea la siguiente:

MATEMÁTICAS II. 2000. JUNIO. EJERCICIO 2. OPCIÓN B.

R E S O L U C I Ó N Si la función es derivable en 2x = , primero tiene que ser continua en dicho punto, luego:

2

2

2

lim 5 2 202 20 2 3 4 40

2lim 22

x

x

ax x aaa b a ba abx b

x

−

+

→

→

⎫+ = +⎪⇒ + = + ⇒ − = −⎬

+ = + ⎪⎭

Calculamos la función derivada: 2

10 2'( )

2

a x si xf x a b si x

x

+ ≤⎧⎪= ⎨− + >⎪⎩

Como es derivable en 2x = , se cumple que:

'(2 ) 2020 5 4 80

4'(2 )4

f a aa b a baf b

−

+

⎫= +⎪⇒ + = − + ⇒ − = −⎬

= − + ⎪⎭

Resolviendo el sistema formado por las dos ecuaciones, tenemos:

3 4 4020 ; 5

5 4 80a b

a ba b− = − ⎫

⇒ = − = −⎬− = − ⎭

Calcula a y b sabiendo que la función :f → definida por:

25 2( )

2

ax x si xf x a bx si x

x

⎧ + ≤⎪= ⎨

+ >⎪⎩

es

derivable. MATEMÁTICAS II. 2000. RESERVA 1. EJERCICIO 2. OPCIÓN A.

R E S O L U C I Ó N a) Función que queremos que sea máximo: maxS x y= ⋅

b) Relación entre las variables: 40 240 2 2 202

xx y y x−= + ⇒ = = −


2max (20 ) 20S x y x x x x= ⋅ = ⋅ − = −


max' 20 2 0 10 ; 10S x x Km y Km= − = ⇒ = =

De entre todos los rectángulos de 40 kilómetros de perímetro, calcula las dimensiones del que tiene área máxima. MATEMÁTICAS II. 2000. RESERVA 1. EJERCICIO 1. OPCIÓN B.

R E S O L U C I Ó N

Como 20

0lim0x

x sen xtg x→

= , le aplicamos la regla de L’Hôpital

2 2 2 20 0 0

0 cos 0 cos cos 2lim lim lim 10 2 (1 ) 0 2(1 ) 2 2 (1 ) 2x x x

x sen x sen x x x x x xsenxtg x x tg x tg x x x tg x→ → →

+ + −= = = = = =

+ + + ⋅ +

Calcula 20limx

x sen xtg x→

MATEMÁTICAS II. 2000. RESERVA 2. EJERCICIO 2. OPCIÓN A.

R E S O L U C I Ó N Calculamos su derivada primera y segunda:

2'( ) 3 2 ; ''( ) 6 2f x ax bx c f x ax b= + + = +

Pasa por ( 2,12) ( 2) 12 8 4 2 12f a b c− ⇒ − = ⇒ − + − = Punto de inflexión en 2 ''( 2) 0 12 2 0x f a b= − ⇒ − = ⇒ − + = La tangente en 2x = − tiene de pendiente 10− '( 2) 10 12 4 10f a b c⇒ − = − ⇒ − + = −

Resolviendo el sistema formado por las 3 ecuaciones que hemos obtenido: 8 4 2 1212 2 0

12 4 10

a b ca b

a b c

− + − = ⎫⎪− + = ⎬⎪− + = − ⎭

Resulta: 1 ; 6 ; 2a b c= = =

Determina el valor de las constantes a, b y c sabiendo que la gráfica de la función :f →definida por 2( ) ( )f x x ax bx c= ⋅ + + tiene un punto de inflexión en ( 2,12)− y que en dicho punto la recta tangente tiene por ecuación 10 8 0x y+ + = . MATEMÁTICAS II. 2000. RESERVA 2. EJERCICIO 1. OPCIÓN B.

R E S O L U C I Ó N a) El dominio de la función f(x) es { }2− − . Asíntotas Verticales: La recta 2x = − es una asíntota vertical ya que

2lim ( )x

f x→−

= ± ∞

Asíntotas Horizontales: No tiene ya que lim ( )x

f x→+∞

= ∞

Asíntota Oblicua: La ecuación es 2y x= − : 2

2

22lim lim 1

2x x

xxxm

x x x→∞ →∞

+= = =+

; 2 2 2 2 2lim 1 lim lim 22 2 2x x x

x x x x xn xx x x→∞ →∞ →∞

⎡ ⎤ − − −= − = = = −⎢ ⎥+ + +⎣ ⎦

b) Calculamos la primera derivada y la igualamos a cero: 2

2

4' 0 0 ; 4( 2)x xy x xx+

= = ⇒ = = −+

(―∞,―4) (―4,0) (0,∞)

Signo y ' + ― +

Función C D C ↓ ↓ ↓ Máximo(―4,―8) mínimo(0,0)

c)

Sea f la función definida 2x ≠ − por 2

( )2

xf xx

=+

a) Halla las asíntotas de la gráfica de f. b) Determina los intervalos de crecimiento y de decrecimiento, y los extremos locales de f. c) Teniendo en cuenta los resultados de los apartados anteriores, haz un esbozo de la gráfica de f. MATEMÁTICAS II. 2000. RESERVA 3. EJERCICIO 2. OPCIÓN A.

R E S O L U C I Ó N a) Calculamos la derivada.

2' 3 30 72 0 4 ; 6v t t t t= − + = ⇒ = =

(2) 100 ; (4) 120 ; (6) 116v v v= = =

El máximo de velocidad se alcanza para 4t = . b) Los coches circulan a menor velocidad para 2t = .

Se ha observado que en una carretera de salida de una gran ciudad la velocidad de los coches entre las 2 h. y las 6 h. de la tarde viene dada por:

3 2( ) 15 72 8v t t t t= − + + para [ ]2,6t∈ a) ¿A qué hora circulan los coches con mayor velocidad?. Justifica la respuesta. b) ¿A qué hora circulan los coches con menor velocidad?. Justifica la respuesta. MATEMÁTICAS II. 2000. RESERVA 3. EJERCICIO 1. OPCIÓN B.

R E S O L U C I Ó N a) Función que queremos que sea mínimo: 2

min 2S r h r= π +π

b) Relación entre las variables: 22

250250 r h hr

= π ⇒ =π


2 2 2min 2

250 5002 2S r h r r r rr r

= π +π = π +π = + ππ


3min 2

500 500' 2 0 4 '3 ; 4 '32

S r r cm h cmr

= − + π = ⇒ = = =π

Una empresa quiere fabricar vasos de cristal de forma cilíndrica con una capacidad de 250 centímetros cúbicos. Para utilizar la mínima cantidad posible de cristal, se estudian las medidas apropiadas para que la superficie total del vaso sea mínima. ¿Cuáles deben ser dichas dimensiones?. Justifica la respuesta. MATEMÁTICAS II. 2000. RESERVA 4. EJERCICIO 2. OPCIÓN A.

R E S O L U C I Ó N Vamos a estudiar primero la continuidad en 2x = − y en 1x =

3

2

2

1 2lim 03 3

lim 0 0x

x

x x−

+

→−

→−

⎫− + = ⎪⇒⎬= ⎪

⎭

Continua en 2x = −

1

3

1

lim 0 0

1 2lim 03 3

x

xx x

−

+

→

→

= ⎫⎪⇒⎬

− + = ⎪⎭

Continua en 1x =

Calculamos la función derivada:

2

2

1 2'( ) 0 2 1

1 1

x si xf x si x

x si x

⎧ − ≤ −⎪= − < ≤⎨⎪ − <⎩

Vamos a estudiar la derivabilidad en 2x = − y en 1x =

'( 2 ) 3'( 2 ) 0

ff

−

+

⎫− = ⎪⇒⎬− = ⎪⎭

No es derivable en 2x = −

'(1 ) 0'(1 ) 0

ff

−

+

⎫= ⎪⇒⎬= ⎪⎭

Si es derivable en 1x =

Luego, la función es derivable { }2− − .

Sea :f → la función definida de la forma:

3

3

1 2 23 3

( ) 0 2 11 2 13 3

x x si x

f x si x

x x si x

⎧ − + ≤ −⎪⎪

= − < ≤⎨⎪⎪ − + <⎩

Estudia la derivabilidad de f. MATEMÁTICAS II. 2000. RESERVA 4. EJERCICIO 1. OPCIÓN B.

R E S O L U C I Ó N a)

10

10

1lim 11

1lim 01

xx

xx

e

e

−

+

→

→

⎫= ⎪⎪+ ⇒⎬⎪=⎪

+ ⎭

No es continua en 0x =

b) Calculamos la función derivada:

1

2

2 21

1

'( ) '(1)(1 )

1

x

x

e exf x fe

e

⋅= ⇒ =

+⎛ ⎞+⎜ ⎟

⎝ ⎠

Considera la función :f → definida por 1

1 0( ) 1

0 0x

si xf x e

si x

⎧ ≠⎪= ⎨ +⎪ =⎩

a) Calcula los límites laterales de f en 0x = . ¿Es f continua en 0x = ?. b) Calcula el valor de la derivada de f en 1x = . MATEMÁTICAS II. 2000. SEPTIEMBRE. EJERCICIO 1. OPCIÓN A.

R E S O L U C I Ó N La función será: 3 2( )f x ax bx cx d= + + + . Calculamos su derivada primera y segunda:

2'( ) 3 2 ; ''( ) 6 2f x ax bx c f x ax b= + + = +

Pasa por (1,1) (1) 1 1f a b c d⇒ = ⇒ + + + = Máximo en 1 '(1) 0 3 2 0x f a b c= ⇒ = ⇒ + + = Pasa por (0,0) (0) 0 0f d⇒ = ⇒ = La tangente en 0x = tiene de pendiente 1 '(0) 1 1f c⇒ = ⇒ = Resolviendo el sistema resulta: 3 21 ; 1 ; 1 ; 0 ( )a b c d f x x x x= − = = = ⇒ = − + +

Determina una función polinómica de grado 3 sabiendo que verifica que alcanza un máximo en 1x = , que su gráfica pasa por el punto (1,1) y que la recta de ecuación y x= es tangente a su

gráfica en el punto de abscisa 0x = . MATEMÁTICAS II. 2000. SEPTIEMBRE. EJERCICIO 1. OPCIÓN B.

PROBLEMAS RESUELTOS


2001

MATEMÁTICAS II

TEMA 4: FUNCIONES
















a) Lo primero que hacemos es abrir la función. 2

2 2

2

8 2 2

( ) 8 8 2 2 2 2

8 2 2

x si x

f x x x si x

x si x

⎧− + ≤ −⎪⎪= − = − − < <⎨⎪− + ≥⎪⎩

La función tiene un máximo en (0,8) y dos mínimos (picos) en ( 2 2,0)− y (2 2,0) b) Calculamos la ecuación de la recta tangente.

( 2) '( 2) ( 2) 4 4( 2) 4 12y f f x y x y x− − = − ⋅ + ⇒ − = + ⇒ = +

A continuación calculamos los puntos de corte de la función con la recta tangente.

228

4 20 0 2 2 64 12

y xx x x

y x⎫= − +⇒ − − = ⇒ = ±⎬

= + ⎭

Luego los puntos de corte son: (2 2 6, 20 8 6) (2 2 6, 20 8 6)y+ + − − . Además, también, el punto de tangencia ( 2,4)− .

Sea :f → la función dada por: 2( ) 8f x x= − a) Esboza la gráfica y halla los extremos relativos de f (dónde se alcanzan y cuáles son sus respectivos valores). b) Calcula los puntos de corte de la gráfica de f con la recta tangente a la misma en el punto de abscisa 2x = − . MATEMÁTICAS II. 2001. JUNIO. EJERCICIO 1. OPCIÓN A.


La función que queremos averiguar debe tener de ecuación: 4 3 2( )f x ax bx cx dx e= + + + + . A continuación, aplicamos las condiciones del problema.

2 2

11212 11''( ) 12 6 2 2 2 6 23

2 2 1

aa

f x ax bx c x x b bc c

⎧ =⎪=⎧ ⎪

⎪ ⎪= + + = + + ⇒ = ⇒ =⎨ ⎨⎪ ⎪=⎩ =⎪

⎪⎩

Tangente horizontal en 4 10(1,2) '(1) 0 0 1 212 3

P f d d⇒ = ⇒ = + + + ⇒ = −

Pasa por 1 1 10 47(1,2) (1) 2 2 112 3 3 12

P f e e⇒ = ⇒ = + + − + ⇒ =

Luego, la función será: 4 3 21 1 10 47( )12 3 3 12

f x x x x x= + + − + .

De la función :f → se sabe que 2''( ) 2 2f x x x= + + y que su gráfica tiene tangente horizontal en el punto (1,2)P . Halla la expresión de f. MATEMÁTICAS II. 2001. JUNIO. EJERCICIO 1. OPCIÓN B.

R E S O L U C I Ó N a) Asíntota vertical es 1x = .

Asíntota horizontal: 22 4lim lim1 1x x

x xx→∞ →∞

∞= = = ∞⇒

− ∞ No tiene.

Asíntota oblicua: 2 2y x= +

2

2

2

221lim lim 2

x x

xxxm

x x x→∞ →∞

−= = =−

; 2 2 22 2 2 2 2lim 2 lim lim 21 1 1x x x

x x x x xn xx x x→∞ →∞ →∞

⎡ ⎤ ⎡ ⎤− + ⎡ ⎤= − = = =⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥− − −⎣ ⎦⎣ ⎦ ⎣ ⎦

b) Calculamos la primera derivada y la igualamos a cero:

2 2

2 2

4 ( 1) 1 2 2 4' 0 0 ; 2( 1) ( 1)

x x x x xy x xx x

⋅ − − ⋅ −= = = ⇒ = =

− −

( ,0)−∞ (0, 2) (2, )∞

Signo y ' + ― +

Función C D C ↓ ↓ Máximo ( )0,0 mínimo (2,8)

c)

Sea f la función definida para 1x ≠ por 22( )1

xf xx

=−

a) Determina las asíntotas de la gráfica de f. b) Determina los intervalos de crecimiento y de decrecimiento y los extremos relativos de f. c) Esboza la gráfica de f. MATEMÁTICAS II. 2001. RESERVA 1. EJERCICIO 2. OPCIÓN A.


1 1 1 1

1

1ln 11 ln 1 0 ln 0lim lim lim lim11 ln ( 1) ln 0 ln ( 1) 0ln ( 1)

1ln 1lim 1 2ln 1

x x x x

x

x xx x x x x xxx x x x x x xx x

x

x xx

x xx

→ → → →

→

+ ⋅ −⎛ ⎞ ⎛ ⎞− +− = ∞ −∞ = = = = = =⎜ ⎟ ⎜ ⎟− − + −⎝ ⎠⎝ ⎠ + −

+ ⋅= =

+ ⋅ +

Calcula 1

1lim1 lnx

xx x→

⎛ ⎞−⎜ ⎟−⎝ ⎠

MATEMÁTICAS II. 2001. RESERVA 1. EJERCICIO 2. OPCIÓN B.


Como 3 20

( 1) 0lim0

x

x

e sen xx x→

−=

−, le aplicamos la regla de L’Hôpital

3 2 20 0

0

( 1) 0 ( 1)cos 0lim lim0 3 2 0

cos cos ( 1) 2lim 16 2 2

x x x

x x

x x x x

x

e sen x e sen x e xx x x x

e sen x e x e x e senxx

→ →

→

− + −= = = =

− −+ + − −

= = = −− −

Calcula 3 20

( 1)limx

x

e sen xx x→

−−



La función que queremos averiguar debe tener de ecuación: 2( )f x ax bx c= + + . A continuación, aplicamos las condiciones del problema.

3''( ) 2 32

f x a a= = ⇒ =

Tangente en 31 '(1) 5 2 1 5 5 2 5 2 22

x f a b b a= ⇒ = ⇒ ⋅ + = ⇒ = − = − ⋅ =

Pasa por 23 3(1,2) (1) 2 2 1 2 12 2

P f c c⇒ = ⇒ = ⋅ + ⋅ + ⇒ = −

Luego, la función será: 23 3( ) 22 2

f x x x= + −

Determina la función :f → sabiendo que su derivada segunda es constante e igual a 3 y que la recta tangente a su gráfica en el punto de abscisa 1x = es 5 3 0x y− − = . MATEMÁTICAS II. 2001. RESERVA 2. EJERCICIO 2. OPCIÓN B.

R E S O L U C I Ó N a) Si admite recta tangente en (0,1) , tiene que ser continua y derivable en ese punto.

Como es continua en 0x = , se cumple: 0

0

lim 11

lim

x

x

x

eb

b b−

+

−

→

→

⎫= ⎪⇒ =⎬= ⎪⎭


'( )0

xe si xf x

a si x

−⎧− <= ⎨

>⎩

Como es derivable en 0x = , se cumple: '(0 ) 1

1'(0 )

fa

f a

−

+

⎫= − ⎪⇒ = −⎬= ⎪⎭

b) Si admite recta tangente en (0,1) , tiene que ser continua y derivable en ese punto.

Si es continua en 0x = , se cumple: 0

0

lim 11

lim

x

x

x

ed

d d−

+

−

→

→

⎫= ⎪⇒ =⎬= ⎪⎭


'( )2 0

xe si xg x

cx si x

−⎧− <= ⎨

>⎩

Si es derivable en 0x = , se cumple: '(0 ) 1'(0 ) 0

gg

−

+

⎫= − ⎪⇒⎬= ⎪⎭

No es posible

a) Determina el valor de las constantes a y b sabiendo que la gráfica de la función :f →

definida por 0

( )0

xe si xf x

ax b si x

−⎧ ≤= ⎨

+ >⎩ admite recta tangente en el punto (0,1) .

b) ¿Existen constantes c y d para las cuales la gráfica de la función :g → definida por

2

0( )

0

xe si xg x

cx d si x

−⎧ ≤⎪= ⎨+ >⎪⎩

admita recta tangente en el punto (0,1) ?.



2 2

2 20 0 0

21 1 0 1 12 1lim lim lim

0 2 22 1x x x

xx x

x x x→ → →

− − −= = = =−

b) 2

2 33 3 3

2 2 2lim 0 lim lim lim 03 9

xx x xx x x x

x xx ee e e

−

→+∞ →+∞ →+∞ →+∞

∞ ∞⋅ = ∞⋅ = = = = = = =

∞ ∞ ∞

Calcula: a) 2

20

1 1limx

xx→

− − ; b) 2 3lim x

xx e−

→+∞⋅


R E S O L U C I Ó N a) Función que queremos que sea mínimo: min 2 2 2 ( 2)P r y r y r= + +π = + π+ ⋅

b) Relación entre las variables: 2 242 2

2 4r rr y y

rπ − π

= + ⇒ =


2 2 2 2

min4 4 4 42 ( 2) 2 ( 2) ( 2)

4 2 2r r r rP y r r r

r r r− π − π π + +

= + π+ ⋅ = + π+ ⋅ = + π+ ⋅ =


2 2 2 2

min 2 2

(2 8 ) 2 2( 4 4) 2 8 8 8' 0 0 '748 ; 0 '7494 4 8 2

r r r r r r rP r cm y cmr r

π + ⋅ − π + + π + −= = = ⇒ = = =

+ π

Determina las dimensiones de una puerta formada por un rectángulo y un semicírculo (como en la figura), sabiendo que es la que tiene perímetro mínimo entre las que tienen área igual a 2 2m .



a) Función que queremos que sea mínimo: 2 2 2 2

min 2

(1 ) 4 4 816 4 16x x x x xS − π + + −

= +π =π π

b) Derivamos e igualamos a cero

min2 8 8 4´ 0

16 4x xS xπ + −

= = ⇒ =π + π

Lado del cuadrado 14 4x=

+ π

Radio de la circunferencia

411 142 2 8 2

x −− + π= =π π + π

Luego, el lado del cuadrado es el doble del radio de la circunferencia

Un hilo de alambre de 1 m. De longitud se corta en dos trozos formando con uno de ellos una circunferencia y con el otro un cuadrado. Prueba que la suma de las áreas es mínima cuando el lado del cuadrado es el doble que el radio de la circunferencia. MATEMÁTICAS II. 2001. RESERVA 4. EJERCICIO 2. OPCIÓN A.

R E S O L U C I Ó N Cualquier punto de la función tendrá de coordenadas ( ,3 2)x x − . La distancia entre este punto y el que nos dan vendrá dada por el módulo del vector que une esos dos puntos. a) La función que queremos que sea mínimo es: 2 2 2

min (2 ) (8 3 ) 10 52 68D x x x x= − + − = − + b) Derivamos e igualamos a cero

2

20 52 52 13' 020 52 10 52 68

xD xx x

−= = ⇒ = =

− +

Luego, el punto que está a mínima distancia será: 13 29,5 5

⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

El punto que está a mayor distancia será uno de los dos extremos del intervalo es decir, el punto (0, 2)− ó el punto (3,7) . Vamos a calcularlo. Distancia entre los puntos (0, 2)− y (2,6)

2 2(0 2) ( 2 6) 4 64 68D = − + − − = + = Distancia entre los puntos (3,7) y (2,6)

2 2(3 2) (7 6) 1 1 2D = − + − = + =

Luego, el punto que está a mayor distancia es el (0, 2)−

Considera la función [ ]: 0, 3f → definida por ( ) 3 2f x x= − . Calcula el punto de la gráfica de f más cercano al punto (2,6) y calcula también el más alejado. MATEMÁTICAS II. 2001. RESERVA 4. EJERCICIO 2. OPCIÓN B.


a) Lo primero que hacemos es abrir la función: 6 2

( ) 5 2 55 5 10

xa si xf x x si x

x si x

⎧ − <⎪= − + ≤ ≤⎨⎪ − < <⎩

Vamos a estudiar primero la continuidad en 2x =

2

2 2

2

lim 6 66 3 3

lim 5 3

x

x

x

a aa a

x

−

+

→

→

⎫− = −⎪⇒ − = ⇒ = ±⎬

− + = ⎪⎭

Como 0a > , entonces, 3a = . b) Hacemos la gráfica de f.

c) Calculamos la función derivada: 3 ln 3 2

'( ) 1 2 51 5 10

x si xf x si x

si x

⎧ <⎪= − < <⎨⎪ < <⎩

Vamos a estudiar la derivabilidad en 2x = y en 5x =

'( 2 ) 9 ln 3'( 2 ) 1

ff

−

+

⎫= ⎪⇒⎬= − ⎪⎭

No es derivable en 2x = ; '(5 ) 1'(5 ) 1

ff

−

+

⎫= − ⎪⇒⎬= ⎪⎭

No es derivable en 5x =

Luego, la función es derivable { }2,5− .

Considera la función : ( ,10)f −∞ → definida por 6 2

( )5 2 10

xa si xf x

x si x⎧ − <⎪= ⎨

− ≤ <⎪⎩

a) Determina el valor de a sabiendo que f es continua (y que 0a > ). b) Esboza la gráfica de f. c) Estudia la derivabilidad de f. MATEMÁTICAS II. 2001. SEPTIEMBRE. EJERCICIO 1. OPCIÓN A.


0 0

0 2 0lim lim 20 1 cos 0 0

x x x x

x x

e e x e ex sen x x

− −

→ →

− +α + +α +α= = = = ⇒ α = −

− −

0 0 0 0

0 0 0lim lim lim lim 20 1 cos 0 0 cos

x x x x x x x x

x x x x

e e x e e e e e ex sen x x sen x x

− − − −

→ → → →

− +α + +α − += = = = = = =

− −

Determina α sabiendo que existe y es finito el límite0

limx x

x

e e xx sen x

−

→

− + α−

. Calcula dicho límite.

MATEMÁTICAS II. 2001. SEPTIEMBRE. EJERCICIO 2. OPCIÓN B.


PROBLEMAS RESUELTOS


2002

MATEMÁTICAS II

TEMA 4: FUNCIONES

Junio, Ejercicio 1, Opción A

Junio, Ejercicio 1, Opción B

Reserva 1, Ejercicio 1, Opción A

Reserva 1, Ejercicio 1, Opción B








Septiembre, Ejercicio 1, Opción B

Septiembre, Ejercicio 2, Opción A



a) Asíntota vertical: No tiene.

Asíntota horizontal: 02

2 2lim lim 0 1

1 2x x

xy e

x x→∞ →∞

∞= = = ⇒ = =

+ ∞.

Asíntota oblicua: No tiene b) Calculamos la primera derivada y la igualamos a cero:

2 2

2 22 21 1

2 2 2 2

2 ( 1) 2 2 2 2' 0 1 ; 1

( 1) ( 1)

x x

x xx x x x

y e e x xx x

+ +⋅ + − ⋅ − += ⋅ = ⋅ = ⇒ = = −

+ +

( , 1)−∞ − ( 1,1)− (1, )∞

Signo y ' ― + ―

Función D C D

↓ ↓

mínimo ( )11,e −− Máximo (1, )e

Considera la función :f →→→→� �� definida por 2

2

1( )x

xf x e ++++==== a) Calcula las asíntotas de la gráfica de f. b) Determina los intervalos de crecimiento y de decrecimiento, y los extremos relativos de f (puntos donde se obtienen y valor que alcanzan). MATEMÁTICAS II. 2002. JUNIO. EJERCICIO 1. OPCIÓN A.


a) Asíntota vertical: 0x = y 2x = .


9 3 9lim lim 0 0

2 2 2x x

xy

x x x→∞ →∞

− ∞= = = ⇒ =

− ∞ −.

Asíntota oblicua: No tiene b) Calculamos la primera derivada y la igualamos a cero:

2 2

2 2 2 2

9 ( 2 ) (2 2) (9 3) 9 6 6' 0

( 2 ) ( 2 )

x x x x x xy No

x x x x

⋅ − − − ⋅ − − + −= = = ⇒

− −

( ,0)−∞ (0, 2) (2, )∞

Signo y ' ― ― ―

Función D D D

La función es decreciente en su dominio. c)

Sea f la función definida por 2

9 3( )

2

xf x

x x

−−−−====

−−−− para 0x ≠≠≠≠ y 2x ≠≠≠≠ .

a) Calcula las asíntotas de la gráfica de f. b) Determina los intervalos de crecimiento y de decrecimiento de f. c) Con los datos obtenidos, esboza la gráfica de f. MATEMÁTICAS II. 2002. JUNIO. EJERCICIO 1. OPCIÓN B.

R E S O L U C I Ó N Calculamos el punto de inflexión de la función.

2' ( ) 3 6 ; '' ( ) 6 6 0 1f x x x c f x x x= + + = + = ⇒ = − A continuación, aplicamos las condiciones del problema.

2'( 1) 3 3( 1) 6 ( 1) 3 6f c c− = ⇒ − + ⋅ − + = ⇒ =

Pasa por 3 2( 1,1) (1) 1 1 ( 1) 3 ( 1) 6 ( 1) 5P f d d− ⇒ = ⇒ = − + ⋅ − + ⋅ − + ⇒ = Luego, la función será: 3 2( ) 3 6 5f x x x x= + + + .

Determina el valor de las constantes c y d sabiendo que la gráfica de la función :f →→→→� ��

definida por 3 2( ) 3f x x x cx d= + + += + + += + + += + + + tiene como recta tangente en su punto de inflexión a la recta 3 4y x= += += += + . MATEMÁTICAS II. 2002. RESERVA 1. EJERCICIO 1. OPCIÓN B.

R E S O L U C I Ó N a) Calculamos la ecuación de la recta que pasa por (2,2) y ( 1, 2)− − .

2 2 4 2

1 2 2 2 3

x y xy

− − −= ⇒ =

− − − −, el punto de corte con el eje X es:

1,0

2

Calculamos la ecuación de la recta que pasa por (2,2) y (4, 1)− .

2 2 3 10

4 2 1 2 2

x y xy

− − − += ⇒ =

− − −, el punto de corte con el eje X es:

10,0

3

11,2

−

1 10,

2 3

10

,43

Signo y ' ― + ―

Función D C D

Máximo en 10

3x = ; mínimo en

1

2x =

b)

4 2 41 2 1 2

3 3'( ) '' ( )3 10 3

2 4 2 42 2

xsi x si x

f x f xx

si x si x

− − ≤ ≤ − ≤ ≤ = ⇒ =

− + − < ≤ < ≤

( )1,2− ( )2,4

Signo y ´´' + ―

Función Cx Cn

Luego, tiene un punto de inflexión en 2x =

Sea [[[[ ]]]]: 1,4f − →− →− →− → �� R una función cuya derivada tiene por gráfica la de la figura.

a) Estudia el crecimiento y el decrecimiento de f y determina los valores donde alcanza sus extremos relativos. b) Estudia la concavidad y convexidad de f.¿Tiene puntos de inflexión la gráfica de f ?. MATEMÁTICAS II. 2002. RESERVA 1. EJERCICIO 2. OPCIÓN A.

(2,2)

(4,―1) (―1,―2)

R E S O L U C I Ó N a) La función que queremos que sea máxima es: max 2 (9 )S x y= ⋅ −


3

xy =


2 3

max

54 22 (9 )

3 3

x x xS x

−= ⋅ − =


254 6' 0 3

3

xS x

−= = ⇒ =

Luego, las dimensiones son: 3 ; 3x y= = . 2

max 2 (9 ) 36S x y u= ⋅ − =

Considera el recinto limitado por la curva 21

3y x==== y la recta 9y ====

De entre los rectángulos situados como el de la figura, determina el que tiene área máxima. MATEMÁTICAS II. 2002. RESERVA 2. EJERCICIO 1. OPCIÓN B.

9y ====


La ecuación de todas las rectas tangentes será: 214 4 4 ( )

4 2

ay a a x a

− − − = + ⋅ −

; y como

queremos que pasen por el punto (0,0) , tenemos:

2 2 2 2 410 4 4 4 (0 ) 16 16 2 16 16 0

44 2

aaa a a a a a a a

a

= − − − = + ⋅ − ⇒ − − − = − − ⇒ − = ⇒ = −

21 44 4 4 4 4 4 ( 4) 6 ; (4,24)

4 2a y x y x Punto

= ⇒ − − ⋅ − = + ⋅ − ⇒ =

21 44 ( 4) 4 ( 4) 4 4 ( 4) 2 ; ( 4, 8)

4 2a y x y x Punto

− = − ⇒ − − − ⋅ − − = + ⋅ + ⇒ = − −

De entre todas las rectas que pasan por el origen de coordenadas, determina las que son

tangentes a la curva de ecuación 214 4

4y x x= + += + += + += + + . Calcula los puntos de tangencia

correspondientes. MATEMÁTICAS II. 2002. RESERVA 3. EJERCICIO 1. OPCIÓN A.


0 0

0 0

0

0 coslim lim 1

0 1 lim lim 1lim 1 1

x x

x x

x

sen x x

x+ −

− +

−

→ →

→ →

→

= = =

⇒ = = ⇒=

Continua


cos0

'( )0 0

x x sen xsi x

f x x

si x

−>

= <

'(0 ) 0'(0 ) '(0 ) 00 cos cos 0 cos

'(0 ) 00 2 2 0 2

f

f fx x sen x x x sen x sen x x xf

x x

−

− +

+

=⇒ = =− − − − −

= = = = = =

Luego, la función es derivable.

Estudia la derivabilidad de la función :f →→→→� �� definida por: 0

( )1 0

sen xsi x

f x x

si x

>>>>

==== ≤≤≤≤

.

MATEMÁTICAS II. 2002. RESERVA 3. EJERCICIO 1. OPCIÓN B


22 2

2 2 2

2 2lim 0 lim lim lim 0

1 1

2 4

x

x x xx x x x

x xx e

e e e→−∞ →−∞ →−∞ →−∞− − −

∞ ∞⋅ = ∞ ⋅ = = = = = =

∞ ∞−

2 2limx

xx e

→+∞⋅ = ∞


2 22 2 21 1

' 2 2 0 0 ; 42 2

x x x

y x e e x e x x x x = ⋅ + ⋅ = + = ⇒ = = −

( ), 4−∞ − ( )4,0− ( )0,∞

Signo y ' + ― +

Función C D C

↓ ↓ Máximo ( )24,16e −− mínimo ( )0,0

Considera la función :f →→→→� �� definida por: 2 2( )x

f x x e= ⋅= ⋅= ⋅= ⋅ .

a) Calcula: lim ( )x

f x→−∞→−∞→−∞→−∞

y lim ( )x

f x→+∞→+∞→+∞→+∞

b) Calcula los intervalos de monotonía y los extremos locales de f (puntos donde se obtienen y valor que alcanzan). MATEMÁTICAS II. 2002. RESERVA 3. EJERCICIO 2. OPCIÓN A


a) Si r es tangente se tiene que cumplir que:

2 2 8'( ) 2 3 10 5 2 3 10 7 0 1 ;

3f x x x x x x x= − ⇒ − + = − ⇒ − + = ⇒ = =

Sólo el punto (1, 4) , pertenece a la recta y a la curva. b) La recta 2 6x y+ = corta a la función en el punto (3,0) , pero en ese punto la recta tangente tiene

de pendiente 2 y no 1

2, luego, no existe ese punto.

Sea :f →→→→� �� la función definida por: 3 2( ) 5 5 3f x x x x= − + += − + += − + += − + + y sea r la recta de ecuación 2 6x y+ =+ =+ =+ = . a) Determina, si es posible, un punto de la gráfica de f en el que la recta tangente sea r. b) ¿Hay algún punto de la gráfica de f en el que la recta normal a la gráfica sea r?. Justifica la respuesta. MATEMÁTICAS II. 2002. RESERVA 4. EJERCICIO 1. OPCIÓN B.


0

( )

0

lim 31

lim 1

x

x ax b

x

ax b b

be

−

+

→

+

→

+ = ⇒ =

=

Calculamos la función derivada: ( )

3 0'( )

(2 ) 0x ax b

a si xf x

ax b e si x+

≤=

+ ⋅ >


'(0 ) 3 13 1

3'(0 )

f aa a

f b

−

+

= ⇒ = ⇒ =

=

Considera la función :f →→→→� �� definida por: ( )

3 0( )

0x ax b

ax b si xf x

e si x++++

+ ≤+ ≤+ ≤+ ≤====

>>>>. Determina a y b

sabiendo que f es derivable. MATEMÁTICAS II. 2002. RESERVA 4. EJERCICIO 2. OPCIÓN A.


Calculamos el dominio de la función:

{ }2 2 3 0 1 ; 3 1,3x x x x D− − = ⇒ = − = ⇒ = − −�

a) Asíntota vertical: 1 ; 3x x= − = .

Asíntota horizontal: 3 2

2

2 3 2 6lim lim lim

2 3 2 2 2x x x

x x x x

x x x→∞ →∞ →∞

+ ∞ + ∞= = = = = ∞⇒

− − ∞ − ∞ No tiene.

Asíntota oblicua: 2y x= +

3

32

3 2

222 3lim lim 1

2 3x x

x x

x xx xmx x x x→∞ →∞

++− −= = =

− −

3 3 3 2 2

2 2 2

2 2 2 3 2 5lim lim lim 2

2 3 2 3 2 3x x x

x x x x x x x x xn x

x x x x x x→∞ →∞ →∞

+ + − + + += − = = = − − − − − −

b) Calculamos el punto de corte de la asíntota oblicua con la función.

33

22

22 2 4

2 9 6 0 ,2 32 3 3 3

2

x xy x x

x xx xx x

y x

+= + ⇒ = + ⇒ + = ⇒ −− − − − = +

Considera la curva de ecuación 3

2

2

2 3

x xy

x x

++++====

− −− −− −− −.

a) Determina sus asíntotas. b) ¿Corta la curva a alguna de sus asíntotas en algún punto?. Justifica la respuesta. MATEMÁTICAS II. 2002. RESERVA 4. EJERCICIO 2. OPCIÓN B.


a) Vamos a estudiar primero la continuidad en 1x =

2

1

2

1

lim 3 1

1 5lim

4 4

x

x

x x

x

x

−

+

→

→

+ − =⇒

+ =

No es continua en 1x = , por lo tanto, no es derivable en 1x =

b) Calculamos la función derivada: 2

2

1 0 13'( )1

12

xsi x

xf xx

si xx

− < < +=

− + >

Estudia la derivabilidad de la función : (0, )f +∞ →+∞ →+∞ →+∞ → �� definida por:

2

2

3 0 1( ) 1

14

x x si x

f x xsi x

x

+ − < ≤+ − < ≤+ − < ≤+ − < ≤

==== + >+ >+ >+ >

Calcula la función derivada. MATEMÁTICAS II. 2002. SEPTIEMBRE. EJERCICIO 1. OPCIÓN B.


a) Asíntota vertical es 1x = .

Asíntota horizontal: 2 2 2 2 1

lim lim1 1x x

x x x

x→∞ →∞

− + ∞ −= = = ∞⇒

− ∞ No tiene.

Asíntota oblicua: 1y x= −

2

2

2

2 22 21lim lim 1

x x

x x

x xxmx x x→∞ →∞

− +− +−= = =−

;

2 2 22 2 2 2 2lim lim lim 1

1 1 1x x x

x x x x x x xn x

x x x→∞ →∞ →∞

− + − + − + − + = − = = = − − − −

b) Calculamos la posición de la gráfica respecto de las asíntotas:

2 2 22 2 2 2 2 1 1lim ( 1) lim lim 0

1 1 1x x x

x x x x x xx

x x x

+

→∞ →∞ →∞

− + − + − + − − − = = = − − −

luego, ( )f x está por

encima de la asíntota oblicua.

2 2 22 2 2 2 2 1 1lim ( 1) lim lim 0

1 1 1x x x

x x x x x xx

x x x

−

→−∞ →−∞ →−∞

− + − + − + − − − = = = − − −


debajo de la asíntota oblicua.

Considera la función f definida por 2 2 2

( )1

x xf x

x

− +− +− +− +====

−−−− para 1x ≠≠≠≠ .

a) Calcula las asíntotas de la gráfica de f. b) Estudia la posición de la gráfica de f respecto de sus asíntotas. MATEMÁTICAS II. 2002. SEPTIEMBRE. EJERCICIO 2. OPCIÓN A.

R E S O L U C I Ó N Calculamos el determinante

2

2 0

2 1 3 4

3 0 1

t

A t t t= = − + +

Vemos que es una función cuadrática. Calculamos los puntos de corte con el eje X.

2 3 4 0 1 ; 4A t t t t= − + + = ⇒ = − =

Luego, para todos los valores de ( 1, 4)t A∈ − ⇒ es positivo.

Calculamos la derivada y la igualamos a cero.

32 3 0

2t t− + = ⇒ =

Luego, el máximo se alcanza para 3

2t = y vale

25

4A =

Considera la matriz

2 0

2 1

3 0 1

t

A t

====

. Calcula los valores de t para los que el determinante de A

es positivo y halla el mayor valor que alcanza dicho determinante. MATEMÁTICAS II. 2002. SEPTIEMBRE. EJERCICIO 3. OPCIÓN A.


PROBLEMAS RESUELTOS


2003

MATEMÁTICAS II

TEMA 4: FUNCIONES













a) Asíntota vertical: No tiene.


lim lim 0 0x x

x x

xy

e e→∞ →∞

+ ∞= = = ⇒ =∞

.

Asíntota oblicua: No tiene


1 ( 3) 2' 0 2

( )

x x

x x

e e x xy x

e e

⋅ − + − −= = = ⇒ = −

( , 2)−∞ − ( 2, )− ∞

Signo y ' + ―

Función C D

↓ Máximo 2( 2, )e−

Calculamos la segunda derivada y la igualamos a cero: 2

1 ( 2) 1'' 0 1

( )

x x

x x

e e x xy x

e e

− ⋅ − − − += = = ⇒ = −

( , 1)−∞ − ( 1, )− ∞

Signo y ' ― +

Función Cn Cx

↓ P.I. ( 1,2 )e−

c)

Considera la función :f →→→→� �� definida por: ( ) ( 3) xf x x e −−−−= + ⋅= + ⋅= + ⋅= + ⋅ . a) Halla las asíntotas de la gráfica de f. b) Determina los extremos relativos de f y los puntos de inflexión de su gráfica. c) Esboza la gráfica de f. MATEMÁTICAS II. 2003. JUNIO. EJERCICIO 2. OPCIÓN B.


a) La función que queremos que sea mínimo es: minSuperficie x y= ⋅


2

2

1

xy

x=

−


2 3

min 2 2

2 2

1 1

x xSuperficie x

x x= ⋅ =

− −


4 2

2 2

2 6' 0 3

( 1)

x xS x

x

−= = ⇒ =

−

Luego, las dimensiones son: 3 ; 3x y= =

De entre todos los rectángulos que tienen uno de sus vértices en el origen de coordenadas, el

opuesto de este vértice en la curva2

2

2( 1)

1

xy x

x= >= >= >= >

−−−−, uno de sus lados situado sobre el semieje

positivo de abscisas y el otro sobre el semieje positivo de ordenadas, halla el que tiene área mínima. MATEMÁTICAS II. 2003. RESERVA 1. EJERCICIO 1. OPCIÓN B.


a) Asíntota vertical: 1x = − .


2

3 6lim lim lim

2 1 2 2 2x x x

x x x

x x x→∞ →∞ →∞

∞ ∞= = = = = ∞⇒

+ + ∞ + ∞ No tiene.

Asíntota oblicua: 2y x= −

3

32

3 22 1lim lim 1

2x x

x

xx xmx x x x→∞ →∞

+ += = =+ +

3 3 3 2 2

2 2 2

2 2lim lim lim 2

2 1 2 1 2 1x x x

x x x x x x xn x

x x x x x x→∞ →∞ →∞

− − − − −= − = = = − + + + + + +

b) Calculamos el punto de corte de la asíntota oblicua con la función.

33

22

2 82 ,2 1

2 1 3 32

xy x

xx xx x

y x

=

⇒ = − ⇒ − −+ + + + = −

Dada la función f definida para 1x ≠ −≠ −≠ −≠ − por 3

2( )

(1 )

xf x

x====

++++

a) Halla las asíntotas de la gráfica de f. b) Halla los puntos de corte, si existen, de dicha gráfica con sus asíntotas. MATEMÁTICAS II. 2003. RESERVA 1. EJERCICIO 2. OPCIÓN A.

R E S O L U C I Ó N Si no es extremo relativo, será un punto de inflexión, luego: '' (1) 0f =

(1) 1 1 1

'(1) 0 3 2 0 3 ; 3 ; 0

'' (1) 0 6 2 0

f a b c

f a b a b c

f a

= ⇒ + + + =

= ⇒ + + = ⇒ = − = == ⇒ + =

Se sabe que la función :f →→→→� �� definida por 3 2( )f x x ax bx c= + + += + + += + + += + + + tiene un punto de derivada nula en 1x ==== que no es extremo relativo y que (1) 1f ==== . Calcula a, b, y c. MATEMÁTICAS II. 2003. RESERVA 2. EJERCICIO 1. OPCIÓN A.

R E S O L U C I Ó N Lo primero que hacemos es abrir la función

22

2 22

( ) 2 25 7

5 7

x si xx si x a

f x x si x ax x si x a

x x si x a

− < − <

= = − ≤ < − + ≥ − + ≥

a) Vamos a estudiar primero la continuidad en x a=

2 2

2 2

lim 2 22 5 7 6 9 0 3

lim 5 7 5 7

x a

x a

x a

a a a a a ax x a a

−

+

→

→

− = − ⇒ − = − + ⇒ − + = ⇒ =

− + = − +

b) Calculamos la función derivada:

1 2

'( ) 1 2 3

2 5 3

si x

f x si x

x si x

− <

= < < − ≥

Sea :f →→→→� �� la función continua definida por 2

2( )

5 7

x si x af x

x x si x a

− <− <− <− <====

− + ≥− + ≥− + ≥− + ≥ donde a es un

número real. a) Determina a. b) Halla la función derivada de f. MATEMÁTICAS II. 2003. RESERVA 2. EJERCICIO 2. OPCIÓN B.

R E S O L U C I Ó N a) La única posibilidad para que la función sea simétrica respecto al origen de coordenadas es que (0) 0f = . b)

c) Como la función no es continua en 1 ; 0 ; 1x x x= − = = , tampoco es derivable en dichos puntos.

La función derivada será:

13 1

20 1 0

'( )0 0 1

11 3

2

si x

si xf x

si x

si x

− < < −

− < <

= < <

< <

En la figura adjunta puedes ver representada parte de la gráfica de una función f que está definida en el intervalo ( 3, 3)−−−− y que es simétrica respecto al origen de coordenadas.

a) Razona cuál debe ser el valor de (0)f . b) Completa la gráfica de f. c) Halla '( )f x para los ( 3,3)x∈ −∈ −∈ −∈ − en los que dicha derivada exista.


R E S O L U C I Ó N Calculamos la primera y segunda derivada de la función.

3 2 2( ) ; '( ) 3 2 ; ''( ) 6 2f x ax bx cx d f x ax bx c f x ax b= + + + = + + = + A continuación, aplicamos las condiciones del problema.

(0) 4 4

(1) 2 21 ; 3 ; 0 ; 4

'' (1) 0 6 2 0

'(0) 0 0

f d

f a b c da b c d

f a b

f c

= ⇒ = = ⇒ + + + = ⇒ = = − = =

= ⇒ + = = ⇒ =

Se sabe que la función :f →→→→� �� definida por 3 2( )f x ax bx cx d= + + += + + += + + += + + + es tal que (0) 4f ==== y que su gráfica tiene un punto de inflexión en (1, 2) . Conociendo además que la recta tangente a la gráfica de f en el punto de abscisa x = 0 es horizontal, calcula a, b, c y d. MATEMÁTICAS II. 2003. RESERVA 3. EJERCICIO 1. OPCIÓN B.


a) Vamos a estudiar primero la continuidad en 1x = . 1) (1) 4f =

2)

2

1

2 1 1

1

lim 3 4lim lim

lim 2 1

x

x x

x

x

x

−

− +

+

→

→ →

→

+ =⇒ ≠ ⇒

− =

No es continua.

Como

1(1) lim

xf

−→= ⇒ La función es continua en 1x −= .

Como 1

(1) limx

f+→

≠ ⇒ La función no es continua en 1x += y, por lo tanto, no puede ser derivable en

1x += .

La derivada a la izquierda de 1x = es '(1 ) 2f − = . La función derivada es: 2 1

'( )2 1

x si xf x

x si x

≤=

− >

b) Igualamos a cero la primera derivada: ' 0 0y x= ⇒ =

( ,0)−∞ (0,1) (1, )∞

Signo y ' ― +

Función D C D

Sea la función :f →→→→� �� definida por 2

2

3 1( )

2 1

x si xf x

x si x

+ ≤+ ≤+ ≤+ ≤====

− >− >− >− >

a) Calcula, si es posible, las derivadas laterales de f en 1x ==== . b) Halla los intervalos de crecimiento y de decrecimiento de la función f. MATEMÁTICAS II. 2003. RESERVA 4. EJERCICIO 1. OPCIÓN A.


a) Asíntota vertical es 2x = − .

Asíntota horizontal: 22 2 4

lim lim2 1x x

x x

x→∞ →∞

+ ∞= = = ∞⇒

+ ∞ No tiene.

Asíntota oblicua: 2 4y x= −

2

2

2

2 22 22lim lim 2

2x x

x

xxmx x x→∞ →∞

+++= = =+

2 2 22 2 2 2 2 4 4 2

lim 2 lim lim 42 2 2x x x

x x x x xn x

x x x→∞ →∞ →∞

+ + − − − + = − = = = − + + +

b) Calculamos la posición de la gráfica respecto de las asíntotas:

2 2 22 2 2 2 2 4 4 8 10lim (2 4) lim lim 0

2 2 2x x x

x x x x xx

x x x

+

→∞ →∞ →∞

+ + − + − + − − = = = + + +


encima de la asíntota oblicua.

2 2 22 2 2 2 2 4 4 8 10lim (2 4) lim lim 0

2 2 2x x x

x x x x xx

x x x

−

→−∞ →−∞ →−∞

+ + − + − + − − = = = + + +

luego, ( )f x está

por debajo de la asíntota oblicua.

Considera la función f definida para 2x ≠ −≠ −≠ −≠ − por 22 2

( )2

xf x

x

++++====

++++

a) Halla las asíntotas de la gráfica de f. b) Estudia la posición relativa de la gráfica de f respecto de sus asíntotas. MATEMÁTICAS II. 2003. RESERVA 4. EJERCICIO 2. OPCIÓN B.


2

0 0 0

11cos(1 ) 0 0 1(1 )1lim lim lim

0 cos 0 cos cos 2x x x

senxxLn x senx xx

x senx senx x x x xsenx→ → →

− +−+ − ++

= = = = = −⋅ + + −

Calcula 0

(1 )limx

Ln x senx

x senx→→→→

+ −+ −+ −+ −

⋅⋅⋅⋅

MATEMÁTICAS II. 2003. SEPTIEMBRE. EJERCICIO 1. OPCIÓN A.

R E S O L U C I Ó N Lo primero que hacemos es abrir la función

0 11

1 11( ) 0 1

10 1 1 0 1 1

xsi x y x

xxsi x y x x

xf x si x y xx

si x ó xsi x ó x

< ≠ − + ≠ − ≠ −= = > ≠ − = − = = − =

A continuación vamos a estudiar la continuidad en 0x = ; 1x = y 1x = −

0

0 0

0

lim 01 (0) lim ( ) lim ( ) 0

lim 01

x

x x

x

x

xf f x f x

x

x

−

− +

+

→

→ →

→

= + ⇒ = = = ⇒=−

Continua en 0x =

1

1 1

1

lim1 lim ( ) lim ( )

lim1

x

x x

x

x

xf x f x

x

x

−

− +

+

→

→ →

→

= ∞ − ⇒ ≠ ⇒= −∞−

No continua en 1x = y, por lo tanto, no derivable.

1

1 1

1

lim1 lim ( ) lim ( )

lim1

x

x x

x

x

xf x f x

x

x

−

− +

+

→−

→− →−

→−

= ∞ + ⇒ ≠ ⇒= −∞+

No continua en 1x = − y, por lo tanto, no derivable.

Vamos a estudiar ahora si es derivable en 0x = .

2

2

10 1

(1 )

1'( ) 0 1

(1 )

0 1 1

si x y xx

f x si x y xx

si x ó x

< ≠ − +

= > ≠−

= − =

'(0 ) 1

'(0 ) 1

f

f

−

+

= ⇒

= Si es derivable.

Luego, la función es derivable en { }1,1− −� .

Estudia la derivabilidad de la función :f →→→→� �� definida por:

1 11( )

0 1 1

xsi x y x

xf x

si x ó x

≠ − ≠≠ − ≠≠ − ≠≠ − ≠ −−−−==== = − == − == − == − =



PROBLEMAS RESUELTOS


2004

MATEMÁTICAS II

TEMA 4: FUNCIONES














a) Como la función es continua en ( 1, )− +∞ debe serlo en 0x = , luego:

2

0

2

0

lim 4 3 3

3lim

1 1

x

x

x x

ax a a

ax

−

+

→

→

− + =⇒ =+

= = +

Vamos a ver si es derivable en 0x = . Calculamos la función derivada:

2

2

2 4 1 0

'( ) 2 30

( 1)

x si x

f x x xsi x

x

− − < <

= + −> +

'(0 ) 4'(0 ) '(0 )

'(0 ) 3

ff f

f

−− +

+

= − ⇒ ≠ ⇒

= − No derivable

b) Calculamos la primera derivada y la igualamos a cero.

2

2

2 4 1 0

'( ) 2 30

( 1)

x si x

f x x xsi x

x

− − < <

= + −> +

( )1,0− ( )0,1 ( )1,∞

Signo 'f − − +

Función D D C

Se sabe que la función : ( 1, )f − +∞ →− +∞ →− +∞ →− +∞ → �� definida por

2

2

4 3 1 0( )

01

x x si x

f x x asi x

x

− + − < <− + − < <− + − < <− + − < <

==== ++++≥≥≥≥ ++++

es

continua en( 1, )− +∞− +∞− +∞− +∞ . a) Halla el valor de a. ¿Es f derivable en 0x ==== ? b) Determina los intervalos de crecimiento y de decrecimiento de f. MATEMÁTICAS II. 2004. JUNIO. EJERCICIO 1. OPCIÓN B.

R E S O L U C I Ó N a) La ecuación de la recta tangente será: 0 0 0( ) ' ( ) ( )y f x f x x x− = ⋅ −

3 2( ) ( 1)( 1)( 2) 2 2f x x x x x x x= + − − = − − +

3 2(1) 1 2 1 1 2 0f = − ⋅ − + = 2' ( ) 3 4 1 '(1) 2f x x x f= − − ⇒ = −

luego, sustituyendo, tenemos que la recta tangente es: 0 2 ( 1) 2 2y x y x− = − ⋅ − ⇒ = − +

La ecuación de la normal será: 1 1

0 ( 1)2 2

xy x y

−− = ⋅ − ⇒ =

b) Calculamos la segunda derivada.

2'' ( ) 6 4 0

3f x x x= − = ⇒ =

2,3

−∞

2,

3

∞

Signo ''f − +

Función Cn Cx

↓

P.I. 2 20,

3 27

Considera la función :f →→→→� �� definida por ( ) ( 1)( 1)( 2)f x x x x= + − −= + − −= + − −= + − − . a) Halla las ecuaciones de las rectas tangente y normal a la gráfica de f en el punto de abscisa

1x ==== . b) Determina los intervalos de concavidad y de convexidad de f. ¿Tiene puntos de inflexión la gráfica de f?. MATEMÁTICAS II. 2004. JUNIO. EJERCICIO 2. OPCIÓN A.


a y b) Calculamos la primera derivada y la igualamos a cero: 3

' 2 cos 0 ;2 2

xy e x x x

π π= = ⇒ = =

0,2

π

3,

2 2

π π

3

, 22

π π

Signo y ' + ― +

Función C D C

↓ ↓

Máximo 2,2e

π π

mínimo 3

23

,2

e

π π−

El máximo absoluto es ( )22 ,e ππ y el mínimo absoluto es 3

23

,2

e

π π−

Sea :[0,2 ]f π →π →π →π → �� la función definida por ( ) (cos )xf x e x senx= += += += + . a) Determina los intervalos de crecimiento y de decrecimiento de f. b) Halla los extremos relativos (locales) y absolutos (globales) de f. MATEMÁTICAS II. 2004. RESERVA 1. EJERCICIO 1. OPCIÓN B.

R E S O L U C I Ó N a) Si la función es derivable en 0x = , primero tiene que ser continua en dicho punto, luego:

2

0

0

1lim 2

2 1lim 1 1

x

x

x x c cc

x

−

+

→

→

− + =

⇒ =− =

b) La función derivada es:

14 1 0

2'( )

10 1

2 1

x si x

f x

si xx

− − < <

= − ≤ <

−

c) Si son paralelas a la recta 1y x m= − ⇒ = − , luego:

21 1 1 354 1 ; 2 1

2 8 2 32x x y x x− = − ⇒ = − = − + =

Luego, la recta tangente es: 35 1

1 32 32 31 032 8

y x x y

− = − + ⇒ + − =

1 3 11 ; 1

4 22 1x y x

x

−= − ⇒ = = − =

−

Luego, la recta tangente es: 1 3

1 4 4 5 02 4

y x x y

− = − − ⇒ + − =

Se sabe que la función : ( 1,1)f − →− →− →− → �� definida por:

2 12 1 0

2( )

1 0 1

x x c si xf x

x si x

− + − < <− + − < <− + − < <− + − < <

==== − ≤ <− ≤ <− ≤ <− ≤ <

es derivable en el intervalo ( 1,1)−−−− . a) Determina el valor de la constante c. b) Calcula la función derivada f ’. c) Halla las ecuaciones de las rectas tangentes a la gráfica de f que son paralelas a la recta de ecuación y x= −= −= −= − . MATEMÁTICAS II. 2004. RESERVA 1. EJERCICIO 2. OPCIÓN A.

R E S O L U C I Ó N a) La ecuación de la recta tangente será: 0 0 0( ) ' ( ) ( )y f x f x x x− = ⋅ −

Como tiene que ser paralela a la recta 0 0 04 3 0 '( ) 4 2 2x y m f x x x− + + = ⇒ = = = ⇒ = , y

20( ) 2 4f x = = , luego, sustituyendo, tenemos que la recta tangente es:

4 4 ( 2) 4 4y x y x− = ⋅ − ⇒ = −

b) La ecuación de todas las rectas tangentes será: 2 2 ( )y a a x a− = ⋅ − ; y como queremos que pasen por el punto (2,0) , tenemos:

2 2 00 2 (2 ) 4 0

4

aa a a a a

a

=− = ⋅ − ⇒ + = ⇒

= −

0 0 2 0 ( 0) 0a y x y= ⇒ − = ⋅ ⋅ − ⇒ =

4 16 2 4 ( 4) 8 16a y x y x= − ⇒ − = ⋅ ⋅ − ⇒ = −

a) Halla la ecuación de la recta tangente a la parábola 2y x==== que es paralela a la

recta 4 3 0x y− + + =− + + =− + + =− + + = .

b) Halla las ecuaciones de las rectas tangentes a la parábola 2y x==== que pasan por el punto

(2,0) . MATEMÁTICAS II. 2004. RESERVA 2. EJERCICIO 1. OPCIÓN A.


a) La función que queremos que sea mínimo es: 2

min 4Superficie x x y= + ⋅ ⋅


3232 x y y

x= ⋅ ⇒ =


32 2

min 2

32 128 1284

xSuperficie x x x

x x x

+= + ⋅ ⋅ = + =


3 3 33

2 2

3 128 2 128' 0 64 4

x x xS x

x x

− − −= = = ⇒ = =

Luego, las dimensiones son: 4 ; 2x dm y dm= =

Se quiere fabricar una caja abierta de chapa con base cuadrada y con 32 litros de capacidad. Halla las dimensiones de la caja que precisa la menor cantidad de chapa. MATEMÁTICAS II. 2004. RESERVA 2. EJERCICIO 2. OPCIÓN B.

x

y

x

R E S O L U C I Ó N a) Lo primero que hacemos es abrir la función y dibujarla

2

2

2 0( ) 2

2 0

x si xf x x x

x si x

+ <= − =

− ≥

b) Calculamos la función derivada: 2 0

'( )2 0

x si xf x

x si x

<=

− >

Vamos a estudiar la derivabilidad en 0x =

'(0 ) 0

'(0 ) 0

f

f

−

+

= ⇒

= Si es derivable en 0x =

c) La ecuación de la recta tangente será: (2) '(2) ( 2)y f f x− = ⋅ −

(2) 2f = − ' (2) 4f = −

luego, sustituyendo, tenemos que la recta tangente es: 2 4 ( 2) 4 6y x y x+ = − ⋅ − ⇒ = − +

Sea :f →→→→� �� la función definida por ( ) 2f x x x= −= −= −= − .

a) Esboza la gráfica de f. b) Estudia la derivabilidad de f en 0x ==== . c) Halla la ecuación de la recta tangente a la gráfica de f en el punto de abscisa 2x ==== . MATEMÁTICAS II. 2004. RESERVA 3. EJERCICIO 1. OPCIÓN A.


0 0 0

1 2 0 2lim lim lim 2 0 2

1 2 2 ( 1) 0 2( 1) 2

x x

x

x x x xx x x

a x ae a aeae a

e x x e e xe→ → →

− + − − = ∞ −∞ = = = ⇒ − = ⇒ =

− − − +

0 0 0 0

1 2 0 2 0 1lim lim lim lim

1 2 2 ( 1) 0 2( 1) 2 0 2 2 2 4 2

x x x

x x x x x x xx x x x

a x ae a ae ae a

e x x e e xe e e xe→ → → →

− + − − − − = ∞ −∞ = = = = = = = −

− − − + + +

Se sabe que 0

1lim

1 2xx

a

e x→→→→

−−−− −−−−

es finito. Determina el valor de a y calcula el límite.



a) La función22( ) xf x x e−= ⋅ , no tiene asíntota vertical ya que su dominio es� .

Vamos a ver si tiene asíntota horizontal

2 2 2 2

2

2

2 2 2lim lim lim 0

2 2 4x x x xx x x

x x

e x e e x e→∞ →∞ →∞

∞ ∞= = = = = =∞ ∞ ∞⋅ +

Por lo tanto, la asíntota horizontal es 0y = . Como tiene asíntota horizontal, no puede tener asíntota oblicua. b) Calculamos la primera derivada y la igualamos a cero:

2 2

2 2

2 3

2

2 2 2 2' 0 0 ; 1 ; 1

( )

x x

x x

x e x e x x xy x x x

e e

⋅ − ⋅ ⋅ −= = = ⇒ = = = −

( , 1)−∞ − ( 1,0)− (0,1) (1, )∞

Signo y ' + ― + ―

Función C D C D

↓ ↓ ↓

Máximo 1

1,e

−

mínimo (0,0) Máximo1

1,e

c)

Sea :f →→→→� �� la función definida por 22( ) x

f x x e−−−−= ⋅= ⋅= ⋅= ⋅

a) Halla las asíntotas de la gráfica de f. b) Determina los intervalos de crecimiento y de decrecimiento de f y calcula sus extremos relativos o locales (puntos en los que se obtienen y valores que alcanza la función). c) Esboza la gráfica de f. MATEMÁTICAS II. 2004. RESERVA 4. EJERCICIO 1. OPCIÓN A.

R E S O L U C I Ó N La función que queremos averiguar será de la forma: 4 3 2( )f x ax bx cx dx e= + + + + Calculamos la primera y segunda derivada.

3 2 2' ( ) 4 3 2 ; '' ( ) 12 6 2f x ax bx cx d f x ax bx c= + + + = + + Aplicamos las condiciones del problema:

2 2

112 3

4'' ( ) 12 6 2 3 6 0 0

2 0 0

a a

f x ax bx c x b b

c c

= ⇒ =

= + + = ⇒ = ⇒ =

= ⇒ =

3 2' (0) 2 4 0 3 0 2 0 2 2f a b c d d= ⇒ ⋅ + ⋅ + ⋅ + = ⇒ =

Pasa por 4 3 2(0,1) (0) 0 0 0 0 1 1M f a b c d e e⇒ = ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ + = ⇒ =

Luego, la función pedida será: 4

( ) 2 14

xf x x= + +

Halla una función :f →→→→� �� tal que su gráfica pase por el punto (0,1)M , que la tangente en

el punto M sea paralela a la recta 2 3 0x y− + =− + =− + =− + = y que 2''( ) 3f x x==== . MATEMÁTICAS II. 2004. RESERVA 4. EJERCICIO 1. OPCIÓN B.


a) Función que queremos que sea mínimo es: 2 2 2

min 1'5 1 1 4 2 '5 4Coste x x xy x x y= ⋅ + ⋅ + ⋅ = ⋅ + ⋅ ⋅


8080 x y y

x= ⋅ ⇒ =


32 2

min 2

80 320 2 '5 3202 '5 4 2 '5

xCoste x x x

x x x

⋅ += ⋅ + ⋅ ⋅ = ⋅ + =


3 3 33

2 2

7 '5 2 '5 320 5 320' 0 64 4

x x xC x

x x

⋅ − ⋅ − ⋅ −= = = ⇒ = =

Luego, las dimensiones son: 4 ; 5x cm y cm= =

Se desea construir una caja cerrada de base cuadrada con una capacidad de 80 cm3. Para la tapa y la superficie lateral se usa un material que cuesta 1€/cm2 y para la base se emplea un material un 50% más caro. Halla las dimensiones de la caja para que su coste sea mínimo. MATEMÁTICAS II. 2004. SEPTIEMBRE. EJERCICIO 1. OPCIÓN A.

x

y

x

R E S O L U C I Ó N a) De la gráfica de la función ' ( )f x , vemos que ' (1) 1f = , luego, la ecuación de la tangente será:

(1) '(1) ( 1) 3 1 ( 1) 2y f f x y x y x− = ⋅ − ⇒ − = ⋅ − ⇒ = + b) De la gráfica de la función '( )f x , vemos que siempre es positiva, luego, la función ( )f x es

creciente en el intervalo [ ]0,4 y, por lo tanto no tiene máximos ni mínimos relativos. Como es

creciente el máximo absoluto está en 4x = . c) (0,1) ' ( ) ''( ) 0f x es creciente f x⇒ ⇒ > ⇒ Convexa (1,3) '( ) ''( ) 0f x es decreciente f x⇒ ⇒ < ⇒ Cóncava (3,4) ' ( ) ''( ) 0f x es creciente f x⇒ ⇒ > ⇒ Convexa Luego, 1x = y 3x = son puntos de inflexión.

De una función :[0,4]f →→→→ �� se sabe que (1) 3f ==== y que la gráfica de su función derivada es la que aparece en el dibujo.

a) Halla la recta tangente a la gráfica de f en el punto de abscisa 1x ==== . b) Determina los intervalos de crecimiento y de decrecimiento de f. ¿En qué punto alcanza la función su máximo absoluto. c) Estudia la concavidad y convexidad de f. MATEMÁTICAS II. 2004. SEPTIEMBRE. EJERCICIO 1. OPCIÓN B.


PROBLEMAS RESUELTOS


2005

MATEMÁTICAS II

TEMA 4: FUNCIONES













Al ser polinómica la función 3 2( )f x ax bx cx d= + + + su dominio es � , por lo tanto, es continua y derivable en � . Calculamos su derivada primera y segunda:

2'( ) 3 2 ; ''( ) 6 2f x ax bx c f x ax b= + + = +

Máximo en 1 '( 1) 0 3 2 0x f a b c= − ⇒ − = ⇒ − + = Corta al eje OX en 2 ( 2) 0 8 4 2 0x f a b c d= − ⇒ − = ⇒ − + − + = Punto de inflexión en 0 ''(0) 0 2 0x f b= ⇒ = ⇒ = La tangente en 2x = tiene de pendiente 9 '(2) 9 12 4 9f a b c⇒ = ⇒ + + =

Resolviendo el sistema formado por las 4 ecuaciones que hemos obtenido:

3 2 0

8 4 2 0

2 0

12 4 9

a b c

a b c d

b

a b c

− + = − + − + =

= + + =

Resulta: 1 ; 0 ; 3 ; 2a b c d= = = − =

De la función :f →→→→� �� definida por 3 2( )f x ax bx cx d= + + += + + += + + += + + + se sabe que tiene un máximo en 1x = −= −= −= − , y que su gráfica corta al eje OX en el punto de abscisa 2x = −= −= −= − y tiene un punto de inflexión en el punto de abscisa 0x ==== . Calcula a, b, c y d sabiendo, además, que la recta tangente a la gráfica de f en el punto de abscisa 2x ==== tiene pendiente 9. MATEMÁTICAS II. 2005. JUNIO. EJERCICIO 1. OPCIÓN A.

R E S O L U C I Ó N a) El dominio de la función f(x) es R ―{ 0 } Asíntotas Verticales: La recta x = 0 es una asíntota vertical ya que

0lim ( )x

f x→

= ± ∞


f x→+∞

= ∞

Asíntota Oblicua: La ecuación es y = mx + n : 2

2

2

11

lim lim 1x x

x

xxmx x→∞ →∞

++

= = = ; 2 2 21 1 1

lim 1 lim lim 0x x x

x x xn x

x x x→∞ →∞ →∞

+ + −= − = = =

Luego es: y = x


2 1'

x

xy

−= ; y '= 0 ⇒ x = ± 1

(―∞,―1) (―1,0) (0,1) (1,∞)

Signo y ' + ― ― +

Función C D D C

↓ ↓ ↓ Máximo(―1,―2) No existe mínimo(1,2)

c)

Sea f la función definida para x ≠≠≠≠ 0 por x

f xx

++++====

2 1( ) .

a) Estudia y determina las asíntotas de la gráfica de f. b) Determina los intervalos de crecimiento y de decrecimiento de f y calcula sus extremos relativos o locales (puntos en los que se obtiene y los valores que alcanza la función). c) Esboza la gráfica de f. MATEMÁTICAS II. 2005. JUNIO. EJERCICIO 1. OPCIÓN B.


a) El dominio de la función f(x) es R ―{ 1 } Asíntotas Verticales: La recta x = 1 es una asíntota vertical ya que

1lim ( )xf x

→= ± ∞

Asíntotas Horizontales: lim ( ) lim1

x

x x

e ef x

∞

→+∞ →+∞

∞= = = = ∞⇒∞ ∞

No tiene

1

lim ( ) 0 0x

ef x y

−∞

→−∞= = = ⇒ =∞ ∞

Luego, y = 0 es una asíntota horizontal cuando x→−∞ Al tener asíntota horizontal, no tiene asíntota oblicua.


( 2)' 0 2

( 1)

xe xy x

x

−= = ⇒ =

−

(―∞,1) (1,2) (2,∞)

Signo y ' ― ― +

Función D D C

↓ ↓ No existe mínimo 2(2, )e

c) Calculamos la segunda derivada y la igualamos a cero: 2

3

( 4 5)'' 0

( 1)

xe x xy No

x

− += = ⇒

−

(―∞,1) (1,∞)

Signo y ' ― +

Función Cn Cx

↓ No existe

Sea f la función definida para 1x ≠≠≠≠ por ( )1

xef x

x====

−−−−.

a) Halla las asíntotas de la gráfica de f. b) Determina los intervalos de crecimiento y de decrecimiento de f. c) Determina los intervalos de concavidad y de convexidad de f. d) Esboza la gráfica de f. MATEMÁTICAS II. 2005. RESERVA 1. EJERCICIO 1. OPCIÓN A.


Cualquier punto P de la parábola tendrá de coordenadas 2( ,5 )P a a= − , y el origen de coordenadas es el punto (0,0)O = . Queremos que sea mínima la distancia entre estos dos puntos, luego tiene que ser mínimo el módulo del vector que une esos dos puntos.

2( ,5 )OP a a→

= −

2 2 2 4 2min (5 ) 9 25D a a a a= + − = − +

3

min 4 2

4 18 3 3' 0 0; ;

2 22 9 25

a aD x x x

a a

−= = ⇒ = = = −

− +

Calculamos la segunda derivada para ver que valor de los obtenidos corresponde al mínimo.

6 4 2

4 2 3

2 27 150 225''

( 9 25)

a a aD

a a

− + −=

− +

9

''(0) 05

D = − < ⇒ Máximo

3 36 19'' 0

192D

= > ⇒

mínimo

3 36 19'' 0

192D

− = > ⇒

mínimo

Luego los puntos que están a mínima distancia son: 1 2

3 1 3 1, ,2 22 2

P y P

= = −

La distancia es: 19

2u

Determina los puntos de la parábola de ecuación 25y x= −= −= −= − que están más próximos al origen de coordenadas. Calcula la distancia entre los puntos obtenidos y el origen de coordenadas. MATEMÁTICAS II. 2005. RESERVA 1. EJERCICIO 1. OPCIÓN B.


Como20

0lim

0x

x senx

x→

−α= , le aplicamos la regla de L’Hôpital

20 0

0 1 cos 1lim lim

0 2 0x x

x senx x

x x→ →

−α −α −α= = =

Como nos dicen que el límite es finito deberíamos haber obtenido 0

0, con lo cual, 1 0 1−α = ⇒ α =

Ahora, calculamos cuanto vale el límite para 1α =

20 0 0

0 1 cos 1 0 0lim lim lim 0

0 2 0 0 2 2x x x

x senx x sen x

x x→ → →

−α −α −α= = = = = = =

Se sabe que 20

limx

x senx

x→→→→

− α− α− α− α es finito. Determina el valor de αααα y calcula el límite.



El dominio de la función f(x) es R ―{ 0 } Asíntotas Verticales: La recta x = 0 es una asíntota vertical ya que

0lim ( )x

f x→

= ± ∞


f x→+∞

= ∞

Asíntota Oblicua: La ecuación es y = mx + n : Luego es: y x= 2

2

2

1

lim lim 1x x

x

x xxmx x→∞ →∞

−−

= = = ; 2 2 2 21 1 2 1

lim 1 lim lim 0x x x

x x x xn x

x x x→∞ →∞ →∞

− − + −= − = = =

Por lo tanto, su dibujo corresponde a la gráfica 4. El dominio de la función ( )g x es R ―{ 0 }

Asíntotas Verticales: La recta x = 0 es una asíntota vertical ya que 0

lim ( )x

g x+→

= +∞

Asíntotas Horizontales: 0lim ( ) 1x

g x e→±∞

= = , luego es 1y =

Asíntota Oblicua: No tiene, ya que tiene asíntota horizontal. Por lo tanto, su dibujo corresponde a la gráfica 1. El dominio de la función ( )h x es R ―{ 0 }.

Asíntotas Verticales: La recta x = 0 es una asíntota vertical ya que 0

lim ( )xh x

→= −∞


h x→+∞

= ∞

Asíntota Oblicua: No tiene, ya que tiene asíntota horizontal. 1

lnlim lim 0

1x x

x xmx→∞ →∞

= = = ⇒ No tiene

Por lo tanto, su dibujo corresponde a la gráfica 3.

Considera las tres funciones cuyas expresiones respectivas vienen dadas, para 0x ≠≠≠≠ , por 12 1

( ) ; ( ) ( )xx

f x g x e y h x Ln xx

−−−−= = == = == = == = =

siendo Ln la función logaritmo neperiano. a) Halla las ecuaciones de las asíntotas de las gráficas de f, g y h. b) Identifica, entre las que siguen, la gráfica de cada función, justificando la respuesta.

Gráfica 1 Gráfica 2 Gráfica 3 Gráfica 4 MATEMÁTICAS II. 2005. RESERVA 2. EJERCICIO 1. OPCIÓN B.

R E S O L U C I Ó N a) Calculamos la derivada de la función.

2 2

2 2

2 1 ( )'( )

ax x ax b ax bf x

x x

⋅ − ⋅ + −= =

La recta tangente en 1x = tendrá de ecuación: (1) '(1) ( 1)y f f x− = ⋅ − y como nos dice el enunciado que esta recta es 2y = − , se tiene que cumplir que:

2(1) 2 1 1; 1' (1) 0

01

a b

fa b

f a b

+ = − = −

⇒ ⇒ = − = − = − =


2

1'

xy

x

− += ; y '= 0 ⇒ x = ± 1

Como el dominio dice que es (0, )+∞ , sólo tomamos el valor 1x =

(0,1) (1,∞)

Signo y ' + ―

Función C D

↓ Máximo (1, 2)−

De la función : (0, )f +∞ →+∞ →+∞ →+∞ → �� definida por 2

( )ax b

f xx

++++==== se sabe que la recta tangente a su

gráfica en el punto de abscisa 1x ==== viene dada por 2y = −= −= −= − . a) Calcula a y b. b) Determina los intervalos de crecimiento y de decrecimiento de f. MATEMÁTICAS II. 2005. RESERVA 3. EJERCICIO 1. OPCIÓN B.


R E S O L U C I Ó N a) El dominio de la función f(x) es R ―{ 2 } Asíntotas Verticales: La recta x = 2 es una asíntota vertical ya que

2lim ( )x

f x→

= ± ∞


f x→+∞

= ∞

Asíntota Oblicua: La ecuación es y = mx + n : 2

2

2

4 34 32lim lim 12x x

x x

x xxmx x x→∞ →∞

− +− +−= = =−

;

2 2 24 3 4 3 2 2 3lim 1 lim lim 2

2 2 2x x x

x x x x x x xn x

x x x→∞ →∞ →∞

− + − + − + − += − = = = − − − −

Luego es: 2y x= −


2

4 5' ; ' 0

( 2)

x xy y

x

− += = ⇒

−NO

(―∞, 2) (2, ∞)

Signo y ' + +

Función C C

Luego la función es creciente en su dominio. c) Los extremos absolutos se pueden alcanzar en los puntos donde la función no es continua, donde no es derivable o en los extremos del intervalo [ )0,2 .

En nuestro caso la función ( )f x es continua y derivable en 2x ≠ . Luego sólo tenemos que estudiar

en el punto 0x = . En este punto tiene un mínimo absoluto y vale 3

(0)2

f = −

Sea f la función definida para 2x ≠≠≠≠ por 2 4 3

( )2

x xf x

x

− +− +− +− +====

−−−−

a) Estudia y determina las asíntotas de la gráfica de f. b) Determina los intervalos de crecimiento y de decrecimiento de f. c) Calcula, si existen, el máximo y el mínimo absolutos de f en el intervalo [0; 2) (puntos en los que se obtienen y valores que alcanza la función). MATEMÁTICAS II. 2005. RESERVA 3. EJERCICIO 2. OPCIÓN A.


a) Punto de corte eje X 2

5 8 8 80 0 ; ,0

1 5 5

xy x

x x

+ ⇒ = ⇒ = = − ⇒ −

+ +

Punto de corte eje Y 8

0 ; 8 (0,8)1

x y y⇒ = ⇒ = = ⇒

b) El dominio de la función f(x) es � Asíntotas Verticales: No tiene.

Asíntotas Horizontales: 2

5 8lim ( ) lim 0 0

1x x

xf x y

x x→+∞ →+∞

+= = ⇒ =

+ +

Asíntota Oblicua: No tiene ya que posee asíntota horizontal.

c) Calculamos la primera derivada y la igualamos a cero: 2

2 2

5 16 3 1' 0 3

( 1) 5

x xy x y

x x

− − −= = ⇒ = − −

+ +

(―∞,―3) (―3,―1/5) (―1/5, ∞)

Signo y ' ― + ―

Función D C D

↓ ↓

mínimo(―3,―1) Máximo 1 25,5 3

−

d)

Sea :f →→→→� �� la función definida por 2

5 8( )

1

xf x

x x

++++====

+ ++ ++ ++ +

a) Calcula los puntos de corte de la gráfica de f con los ejes coordenados. b) Halla las asíntotas de la gráfica de f. c) Determina los intervalos de crecimiento y de decrecimiento de f y calcula sus extremos relativos o locales (puntos en los que se obtienen y valores que alcanza la función). d) Esboza la gráfica de f.


R E S O L U C I Ó N Llamamos x a la longitud e y al ancho del solar. Paso 1: Escribimos la función que queremos que sea mínima: min 2 4L x y= +

Paso 2: Escribimos la relación entre las variables: 12.800

12.800 ;x y yx

⋅ = =

Paso 3: Sustituimos: min

12.800 51.2002 4 2 4 2L x y x x

x x= + = + ⋅ = +

Paso 4: Derivamos e igualamos a cero: min 2

51.200' 2 0 160L x

x= − = ⇒ = ±

Paso 5: Calculamos la 2ª derivada.

3

' '( 160) 0 '025102.400' '

' '( 160) 0 '025

L x mínimoL

L x Máximox

= = ⇒= ⇒

= − = − ⇒

Luego las dimensiones del solar son x = 160 m ; y = 80 m

De un terreno se desea vender un solar rectangular de 12.800 2m dividido en tres parcelas

iguales como las que aparecen en el dibujo. Si se quieren vallar las lindes de las tres parcelas (los bordes y las separaciones de las parcelas), determina las dimensiones del solar para que la longitud de la valla utilizada sea mínima. MATEMÁTICAS II. 2005. RESERVA 4. EJERCICIO 1. OPCIÓN B.


a) La función2( 1)

( )x

xf x

e

−= , no tiene asíntota vertical ya que no hay ningún valor de x que anule el

denominador. Vamos a ver si tiene asíntota horizontal

2( 1) 2( 1) 2 2lim lim lim 0

x x xx x x

x x

e e e→∞ →∞ →∞

− ∞ − ∞= = = = = =∞ ∞ ∞

Por lo tanto, la asíntota horizontal es 0y = . Como tiene asíntota horizontal, no puede tener asíntota oblicua.

b) Calculamos la primera derivada y la igualamos a cero: 2 2

2

2( 1) ( 1) 4 3'

( )

x x

x x

x e x e x xy

e e

− − − − + −= =

' 0 1; 3y x x= ⇒ = =

(―∞,1) (1,3) (3,∞)

Signo y ' ― + ―

Función D C D

↓ ↓ mínimo (1,0) Máximo 3(3,4 )e−

El punto (1,0) , además de ser el mínimo relativo, es el mínimo absoluto. La función no tiene máximo absoluto.

Sea :f →→→→� �� la función definida por 2( ) ( 1) xf x x e−−−−= −= −= −= − a) Halla las asíntotas de la gráfica de f. b) Determina los intervalos de crecimiento y de decrecimiento de f y calcula, si existen, sus extremos relativos o locales y sus extremos absolutos o globales (puntos en los que se obtienen y valores que alcanza la función). c) Esboza la gráfica de f. MATEMÁTICAS II. 2005. SEPTIEMBRE. EJERCICIO 2. OPCIÓN A.


PROBLEMAS RESUELTOS SELECTIVIDAD ANDALUCÍA

2006

MATEMÁTICAS II

TEMA 4: FUNCIONES















La pendiente de la recta tangente es máxima en el punto de inflexión. Luego vamos a calcular los puntos de inflexión de esta función.

2 2 2 2' 1 ( 2 ) (1 2 )x x xy e x x e e x− − −= ⋅ + ⋅ − ⋅ = ⋅ −

2 2 22 3' ' 2 (1 2 ) ( 4 ) (4 6 )x x xy x e x x e e x x− − −= − ⋅ − + − ⋅ = ⋅ − Igualando a cero la segunda derivada, obtenemos:

2 3 3

0

3' ' 0 (4 6 ) 0 (4 6 ) 02

32

x

x

y e x x x x x

x

−

⎧⎪ =⎪⎪

= ⇒ ⋅ − = ⇒ − = ⇒ =⎨⎪⎪

= −⎪⎩

De los tres posibles puntos de inflexión, el de pendiente máxima es el (0,0), ya que:

'( 0) 1m y x= = = 323' 2

2m y x e

−⎛ ⎞= = = − ⋅⎜ ⎟⎜ ⎟

⎝ ⎠

323' 2

2m y x e

−⎛ ⎞= = − = − ⋅⎜ ⎟⎜ ⎟

⎝ ⎠

Determina un punto de la curva de ecuación 2xy x e−= ⋅ en el que la pendiente de la recta

tangente sea máxima. MATEMÁTICAS II. 2006. JUNIO. EJERCICIO 1. OPCIÓN A.


R E S O L U C I Ó N a) El dominio de la función f(x) es R ―{ 0 }. La función no corta a ninguno de los dos ejes. Asíntotas Verticales: La recta x = 0 es una asíntota vertical ya que

0lim ( )x

f x→

= ± ∞


2

3 3' xyx−

= ; y '= 0 ⇒ x = ± 1

(―∞,―1) (―1,0) (0,1) (1,∞)

Signo y ' + ― ― +

Función C D D C ↓ ↓ ↓ Máximo(―1,―4) No existe mínimo(1,4)

c) Calculamos la segunda derivada y la igualamos a cero: 4

3

6 6' ' ; ' ' 0xy y NOx+

= = ⇒

(―∞,0) (0,∞)

Signo y ' ― +

Función Cn Cx

d)

Sea f la función definida por4 3( ) xf xx+

= , para 0x ≠ .

a) Halla, si existen, los puntos de corte con los ejes y las asíntotas de la gráfica de f. b) Calcula los intervalos de crecimiento y de decrecimiento y los extremos relativos de f. c) Determina los intervalos de concavidad y de convexidad de f. d) Esboza la gráfica de f. MATEMÁTICAS II. 2006. JUNIO. EJERCICIO 1. OPCIÓN B.



a) Calculamos la primera derivada y la igualamos a cero: 2

2'( ) 0 01

xf x xx

= = ⇒ =+

(―∞,0) (0,∞)

Signo y ' ― +

Función D C ↓ mínimo (0,0)

b) Los posibles puntos de inflexión son las soluciones de ''( ) 0f x = .

2 2

2 2 2 2

2 ( 1) 2 2 2 2''( ) 0 1( 1) ( 1)

x x x xf x xx x

⋅ + − ⋅ − += = = ⇒ = ±

+ +

Nos están pidiendo la recta tangente en 1x =− . Su ecuación será:

( 1) '( 1) ( 1) ln 2 1 ( 1) 1 ln 2y f f x y x y x− − = − ⋅ + ⇒ − = − ⋅ + ⇒ = − + +

Sea :f → la función definida por 2( ) ( 1)f x Ln x= + , siendo Ln la función logaritmo neperiano. a) Determina los intervalos de crecimiento y decrecimiento y los extremos relativos de la función f (puntos donde se alcanzan y valor de la función). b) Calcula la ecuación de la recta tangente a la gráfica de f en el punto de inflexión de abscisa negativa. MATEMÁTICAS II. 2006. RESERVA 1. EJERCICIO 1. OPCIÓN A.



1 1 1

1 1 1

111 1 1 ln 0lim lim lim 1ln 1 ( 1) ln 0 1 ln ( 1)

11 0 1 1lim lim limln ( 1) 1ln ( 1) 0 21 ln 1

x x x

x x x

x x xx x x x x x

xx

xxx x x x x x x x

x x

→ → →

→ → →

−− −⎛ ⎞− = ∞ −∞ = = = =⎜ ⎟− − ⋅⎝ ⎠ ⋅ + − ⋅

−−

= = = = =⋅ + − ⋅ + − ⋅ + ⋅ +

Calcula 1

1 1lim1x Ln x x→

⎛ ⎞−⎜ ⎟−⎝ ⎠

siendo Ln la función logaritmo neperiano.



R E S O L U C I Ó N a) El dominio de la función f(x) es Asíntotas Verticales: No tiene.


2

1lim ( ) lim 1 11x x

x xf x yx x→+∞ →+∞

− += = ⇒ =

+ +

Asíntota Oblicua: No tiene ya que posee asíntota horizontal.


2 2

2 2' 0 1 1( 1)

xy x yx x

−= = ⇒ = −

+ +

(―∞,―1) (―1,1) (1, ∞)

Signo y ' + ― +

Función C D C ↓ ↓

Máximo (―1,3) mínimo 11,3

⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

c)

Sea :f → la función definida por 2

2

1( )1

x xf xx x

− +=

+ +

a) Estudia si existen y calcula, cuando sea posible, las asíntotas de la gráfica de f. b) Determina los intervalos de crecimiento y decrecimiento, los extremos relativos y los valores que alcanza en ellos la función f. c) Esboza la gráfica de f. MATEMÁTICAS II. 2006. RESERVA 2 EJERCICIO 1. OPCIÓN B.



22

2

1 1 11 (ln ) 2ln 2ln 2(ln )lim lim lim( 1) 2 ( 1) 2

122(ln 1) 0lim lim 02 2 2

x x x

x x

x x x xx x x x xx x

x xx

→∞ →∞ →∞

→∞ →∞

⋅ + ⋅ ⋅ ⋅ + ⋅∞ ∞= = = = =

− ∞ ⋅ − ∞

⋅+ ∞= = = = =

∞

Luego, la recta 0y = es la asíntota horizontal.

Sea : (1, )f +∞ → la función dada por 2

2

( )( )( 1)

x Ln xf xx

=−

, siendo Ln la función logaritmo

neperiano. Estudia la existencia de asíntota horizontal para la gráfica de esta función. En caso de que exista, hállala. MATEMÁTICAS II. 2006. RESERVA 3. EJERCICIO 1. OPCIÓN A.


R E S O L U C I Ó N a) La función es derivable, luego, tiene que ser continua.

2

2

2

lim 2 42 4 3

lim 4 1 3x

x

ax bx a ba b

x

−

+

→

→

⎫+ = +⎪⇒ + = −⎬

− + − = − ⎪⎭

Calculamos 2 0 21'( ) 2 5

2 1

a bx si xf x si x

x

+ < <⎧⎪= ⎨ < ≤⎪ −⎩

Como es derivable se cumple que: 1'(2 ) '(2 ) 42

f f a b− += ⇒ + =

Resolviendo el sistema: 2 4 3

7 ; 11 242

a ba b

a b

+ = − ⎫⎪⇒ =− =⎬

+ = ⎪⎭

b) La ecuación de la recta tangente en x = 2 es (2) '(2) ( 2)y f f x− = ⋅ −

(2) 3f = − 1'(2)2

f =

Luego la recta tangente en x = 2 es 13 ( 2) 2 8 02

y x x y+ = ⋅ − ⇒ − − =

Se sabe que la función :[0,5]f → definida por 2 0 2

( )4 1 2 5

⎧ + ≤ <⎪= ⎨− + − ≤ ≤⎪⎩

ax bx si xf x

x si x

es derivable en el intervalo (0,5) . a) Calcula las constantes a y b. b) Halla la ecuación de la recta tangente a la gráfica de f en el punto de abscisa x = 2. MATEMÁTICAS II. 2006. RESERVA 3. EJERCICIO 1. OPCIÓN B.



a) Calculamos la primera y segunda derivada de 3 2( ) 1f x x ax bx= + + +

2'( ) 3 2 ; '' ( ) 6 2f x x ax b f x x a= + + = + Pasa por (2,2), nos dice que (2) 2 8 4 2 1 2 4 2 7f a b a b= ⇒ + + + = ⇒ + = − Punto de inflexión en x = 0, nos dice que '' (0) 0 2 0f a= ⇒ = Resolviendo el sistema formado por las dos ecuaciones, tenemos:

4 2 7 70 ;2 0 2

a ba b

a+ = − ⎫

⇒ = = −⎬= ⎭

La función es 3 7( ) 12

f x x x= − +

b) El punto de inflexión tiene de abscisa x = 0 , luego la ecuación de la recta tangente en x = 0 es

7(0) '(0) ( 0) 1 ( 0) 7 2 2 02

y f f x y x x y− = ⋅ − ⇒ − = − − ⇒ + − =

La ecuación de la recta normal en x = 0 es

1 2(0) ( 0) 1 ( 0) 2 7 7 0'(0) 7

y f x y x x yf

− = − ⋅ − ⇒ − = − ⇒ − + =

Sea :f → la función definida por 3 2( ) 1f x x ax bx= + + + a) Determina ,a b ∈ sabiendo que la gráfica de f pasa por el punto (2,2) y tiene un punto de inflexión de abscisa x = 0. b) Calcula las ecuaciones de las rectas tangente y normal a la gráfica de f en el punto de inflexión. MATEMÁTICAS II. 2006. RESERVA 4. EJERCICIO 1. OPCIÓN A.



a) Función que queremos que sea máximo es: 2V r h= π

b) Relación entre las variables: 2 2

2 200 2 100200 2 22

r rr r h hr r

− π − π= π + π ⇒ = =

π π


22 2 3100 100rV r h r r r

r− π

= π = π ⋅ = − ππ

d) Derivamos e igualamos a cero 2 100' 100 3 0

3V r r= − π = ⇒ = ±

π

Solo vale la solución positiva ya que estamos calculando dimensiones, luego:

100 100; 23 3

r cm h cm= = ⋅π π

Se desea construir una lata de conserva en forma de cilindro circular recto que tenga una superficie total de 200 2cm . Determina el radio de la base y la altura de la lata para que el volumen sea máximo. MATEMÁTICAS II. 2006. RESERVA 4. EJERCICIO 1. OPCIÓN B.



a) 2

22

0( )

0x x si x

f x x xx x si x

⎧ + <⎪= − = ⎨− ≤⎪⎩

Las funciones 2x x+ y 2x x− por ser polinómicas son continuas y derivables en . En el único punto donde puede haber problemas es en 0x = , que es el punto donde cambiamos de una a otra. Vamos a estudiar la continuidad y derivabilidad en 0x = Veamos la continuidad de f(x) en 0x = : 1) (0) 0f =

2) 2

02 0

0

lim ( ) 0lim ( ) 0

lim ( ) 0x

x

x

x xf x

x x

−

+

→

→

→

⎫+ = ⎪⇒ =⎬− = ⎪⎭

3) 0

(0) lim ( ) 0x

f f x→

= =

Por lo tanto, la función es continua en 0x = Estudiamos ya la derivabilidad de f(x), en particular en 0x =

2 1 0'( )

2 1 0x si x

f xx si x+ <⎧

= ⎨ − >⎩

' (0 ) 1'(0 ) '(0 )

'(0 ) 1f

f ff

−− +

+

⎫= ⎪⇒ ≠ ⇒⎬= − ⎪⎭

No derivable

b y c) Igualamos a cero la primera derivada:

12 1 02

12 1 02

x x

x x

+ = ⇒ = −

− = ⇒ =

1,2

⎛ ⎞−∞ −⎜ ⎟⎝ ⎠

1 ,02

⎛ ⎞−⎜ ⎟⎝ ⎠

10,2

⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

1 ,2

⎛ ⎞∞⎜ ⎟⎝ ⎠

Signo y ' ― + ― +

Función D C D C ↓ ↓ ↓

m 1 1,2 4

⎛ ⎞− −⎜ ⎟⎝ ⎠

Pico (0,0) m 1 1,2 4

⎛ ⎞−⎜ ⎟⎝ ⎠

Sea :f → la función definida por 2( )f x x x= − a) Estudia la derivabilidad de f. b) Determina los intervalos de crecimiento y de decrecimiento de f. c) Calcula los extremos relativos de f (puntos donde se alcanzan y valor de la función). MATEMÁTICAS II. 2006. SEPTIEMBRE. EJERCICIO 1. OPCIÓN A.



El área del cuadrado es 2 2

1 4 16x xS ⎛ ⎞= =⎜ ⎟

⎝ ⎠

La longitud de la circunferencia es 2 1L r x= π = − , de donde 12

xr −=

π, y por tanto el área del

círculo es 2 2

22

1 (1 )2 4

x xS r⎛ ⎞− −

= π = π =⎜ ⎟π π⎝ ⎠

La función a optimizar es la suma de las áreas: 2 2

1 2(1 )( )

16 4x xS x S S −

= + = +π

Calculamos la 1ª derivada '( )S x y la igualamos a 0.

2 2(1 ) 8 32 32 ( 4) 4 4'( ) 016 4 64 8 4

x x x x xS x x− π − + π+ −= − = = = ⇒ =

π π π π+

Calculamos la 2ª derivada ''( )S x para comprobar que es un mínimo.

4''( ) 08

S x mínimoπ+= > ⇒

π

Los trozos en que se ha dividido el alambre tienen de longitud 44

x =π+

y 41 14 4

x π− = − =

π+ π+,

para que la suma de las áreas sea mínima.

Un alambre de longitud 1 metro se divide en dos trozos, con uno se forma un cuadrado y con el otro una circunferencia. Calcula las longitudes de los dos trozos para que la suma de las áreas de ambos recintos sea mínima. MATEMÁTICAS II. 2006. SEPTIEMBRE. EJERCICIO 1. OPCIÓN B.


R E S O L U C I Ó N Como ''( ) 12 6f x x= − , es una función de primer grado, la función ( )f x debe ser de tercer grado, es decir, 2 2( )f x ax bx cx d= + + + . Calculamos la segunda derivada e igualamos a la que nos dan.

''( ) 12 6 6 2 2; 3f x x ax b a b= − = + ⇒ = = −

Como la recta 4 7y x= − es la recta tangente a ( )f x en 2x = , entonces se cumple que:

'(2) 4 12 4 4 24 12 4 8f a b c c c= ⇒ + + = ⇒ − + = ⇒ = − Además como 4 7y x= − es la recta tangente a ( )f x en 2x = , entonces en 2x = coinciden la ordenada de la función y la de la recta tangente, es decir:

(2) (2) 8 4 2 1 16 12 16 1 13f y a b c d d d= ⇒ + + + = ⇒ − − + = ⇒ = Por lo tanto, la función que nos piden es: 2 2( ) 2 3 8 13f x x x x= − − +

Halla la función :f → sabiendo que ''( ) 12 6f x x= − y que la recta tangente a la gráfica de f en el punto de abscisa 2x = tiene de ecuación 4 7 0x y− − = . MATEMÁTICAS II. 2006. SEPTIEMBRE. EJERCICIO 2. OPCIÓN B.


PROBLEMAS RESUELTOS


2007

MATEMÁTICAS II

TEMA 4: FUNCIONES














a) Función que queremos que sea máximo: 2 2maxP x y= ⋅ .

b) Relación entre las variables: 10 10x y y x+ = ⇒ = − c) Expresamos la función que queremos que sea máximo con una sola variable.

2 2 2 2 2 2 4 3 2max (10 ) (100 20 ) 20 100P x y x x x x x x x x= ⋅ = ⋅ − = ⋅ + − = − +

d) Derivamos e igualamos a cero 3 2' 4 60 200 0 0 ; 5 ; 10P x x x x x x= − + = ⇒ = = =

e) Calculamos la segunda derivada para ver que valor corresponde al máximo.

2'' 12 120 200P x x= − +

''(0) 200 0P = > ⇒ mínimo '' (5) 100 0P = − < ⇒ Máximo '' (10) 200 0P = > ⇒ Máximo

Luego, los números son: 5 ; 5x y= =

Determina dos números reales positivos sabiendo que su suma es 10 y que el producto de sus cuadrados es máximo. MATEMÁTICAS II. 2007. JUNIO. EJERCICIO 1. OPCIÓN A

R E S O L U C I Ó N Calculamos el punto de inflexión.

2'( ) 6 24f x x x a= + + '' ( ) 12 24 0 2f x x x= + = ⇒ = −

Como la recta tangente pasa por el punto de inflexión 2 ( 2) 3 1y⇒ = ⋅ − + = − . Luego el punto de inflexión tiene de coordenadas: . .( 2, 1)P I − − . - '( 2) 2 24 48 2 26f a a− = ⇒ − + = ⇒ = - La función pasa por ( 2, 1) ( 2) 1 16 48 2 1 2 33 19f a b a b b− − ⇒ − = − ⇒ − + − + = − ⇒ − + = − ⇒ =

Sea :f →→→→� �� la función definida por 3 2( ) 2 12f x x x ax b= + + += + + += + + += + + + . Determina a y b sabiendo que la recta tangente a la gráfica de f en su punto de inflexión es la recta 2 3y x= += += += + . MATEMÁTICAS II. 2007. JUNIO. EJERCICIO 1. OPCIÓN B

R E S O L U C I Ó N a) Calculamos la primera derivada y la igualamos a cero:

122'( ) 2 (2 1) 0 0 ;

xf x x Ln x x Ln x x x e

x

−= + = ⋅ + = ⇒ = =

1

20,e−

1

2 ,e−

∞

Signo y ' ― +

Función D C

↓

m 1

21

,2

ee

− −

b) La ecuación de la recta tangente en x e= es: ( ) ( ) ( )'y f e f e x e− = ⋅ −

- ( )2

ef e =

- ( )' 2f e e=

Luego, la recta tangente es: ( )22

ey e x e− = ⋅ −

Sea : (0, )f +∞ →+∞ →+∞ →+∞ → �� la función definida por 2( ) ( )f x x Ln x==== (Ln denota la función logaritmo neperiano). a) Determina los intervalos de crecimiento y de decrecimiento y los extremos relativos de f (puntos donde se obtienen y valores que se alcanzan).

b) Calcula la ecuación de la recta tangente a la gráfica de f en el punto de abscisa x e==== .

MATEMÁTICAS II. 2007. RESERVA 1. EJERCICIO 1.OPCIÓN A.


4

x

4

y

Cuadrado 1: Lado 4

x ; perímetro x ; área =

2 2

4 16

x x =

Cuadrado 2: Lado 4

y ; perímetro y ; área =

2 2

4 16

y y =

a) Función que queremos que sea máximo es: 2 2

2 316 16

x yA = ⋅ + ⋅

b) Relación entre las variables: 100 100x y y x+ = ⇒ = − c) Expresamos la función que queremos que sea máximo con una sola variable.

2 2 2 2 22 3(100 ) 5 600 300002 3

16 16 16 16

x y x x x xA

+ − − += ⋅ + ⋅ = =


10 600' 0 60

16

xA x

−= = ⇒ =

Los lados de los cuadrados son:

cuadrado 1 = 60

154 4

xcm= = ; cuadrado 2 =

4010

4 4

ycm= =

Tenemos que fabricar dos chapas cuadradas con dos materiales distintos. El precio de cada uno de estos materiales es 2 y 3 euros por centímetro cuadrado, respectivamente. Por otra parte, la suma de los perímetros de los dos cuadrados tiene que ser 1 metro. ¿Cómo hemos de elegir los lados de los cuadrados si queremos que el coste total sea mínimo? MATEMÁTICAS II. 2007. RESERVA 1. EJERCICIO 1.OPCIÓN B.

Cuadrado 1 Cuadrado 2

R E S O L U C I Ó N a) Función que queremos que sea máximo es: A x y= ⋅


12 2

x xy y

−+ = ⇒ =


22 2

2 2

x x xA x

− −= ⋅ =


2 2' 0 1

2

xA x

−= = ⇒ =

Las dimensiones del rectángulo son: 1

1 ;2

x y= =

De entre todos los rectángulos situados en el primer cuadrante que tienen dos de sus lados sobre

los ejes coordenados y un vértice en la recta r de ecuación 12

xy+ =+ =+ =+ = (ver figura), determina el

que tiene mayor área.

MATEMÁTICAS II. 2007. RESERVA 2. EJERCICIO 1.OPCIÓN A.

R E S O L U C I Ó N a) Calculamos la primera derivada y la igualamos a cero.

2 2'( ) 2 (2 ) 0 0 ; 2x x xf x xe x e e x x x x− − −= − = − = ⇒ = =

( ),0−∞ ( )0,2 ( )2,∞

Signo f ' ― + ―

Función D C D

↓ ↓

mínimo (0,0) Máximo 2

42,e

b) El dominio de la función f(x) es R. Asíntotas Verticales: No tiene

Asíntotas Horizontales: 2 2 2

lim ( ) lim lim 0 0x xx x x

xf x y

e e→+∞ →+∞ →+∞

∞ ∞= = = = = = ⇒ =∞ ∞ ∞

lim ( )

xf x

→−∞= ∞⇒ No tiene

Luego, y = 0 es una asíntota horizontal cuando x→+∞ Al tener asíntota horizontal, no tiene asíntota oblicua.

Sea :f →→→→� �� la función definida por 2( ) xf x x e −−−−= ⋅= ⋅= ⋅= ⋅ . a) Determina los extremos relativos de f (puntos donde se obtienen y valores que se alcanzan). b) Estudia y determina las asíntotas de la gráfica de f. MATEMÁTICAS II. 2007. RESERVA 2. EJERCICIO 1. OPCIÓN B.


'( ) ( 3) ( 2) 0 2x x xf x e x e e x x= + − = − = ⇒ =

( ), 2−∞ ( )2,∞

Signo f ' ― +

Función D C

↓ mínimo ( )22, e−

b) Calculamos la segunda derivada y la igualamos a cero.

'' ( ) ( 2) ( 1) 0 1x x xf x e x e e x x= − + = − = ⇒ = La ecuación de la recta tangente en 1x = es: (1) '(1) ( 1)y f f x− = ⋅ −

- (1) 2f e= −

- ' (1)f e= − Luego, la recta tangente es: 2 ( 1)y e e x+ = − ⋅ −

Sea :f →→→→� �� la función definida por ( ) ( 3) xf x x e= − ⋅= − ⋅= − ⋅= − ⋅ . a) Calcula los extremos relativos de f (puntos donde se obtienen y valores que se alcanzan). b) Determina la ecuación de la recta tangente a la gráfica de f en su punto de inflexión. MATEMÁTICAS II. 2007. RESERVA 3. EJERCICIO 1. OPCIÓN A.

R E S O L U C I Ó N a) El dominio de la función f(x) es { }2, 2− −� .

Asíntotas Verticales: 2x = y 2x = − .


lim ( ) lim 1 12x x

xf x y

x→∞ →∞

∞= = = ⇒ =∞

Al tener asíntota horizontal, no tiene asíntota oblicua. b) Calculamos la primera derivada y la igualamos a cero.

2 2

2 2 2 2

2 ( 4) 2 ( 3) 14'( ) 0 0

( 4) ( 4)

x x x x xf x x

x x

− − + −= = = ⇒ =

− −

( ), 2−∞ − ( )2,0− ( )0,2 ( )2,∞

Signo f ' + + ― ―

Función C C D D

↓

Máximo 3

0,4

−

Sea f la función definida, para 2x ≠≠≠≠ y 2x ≠ −≠ −≠ −≠ − , por 2

2

3( )

4

xf x

x

++++====

−−−−

a) Determina las asíntotas de la gráfica de f. b) Determina los intervalos de crecimiento y de decrecimiento y los extremos relativos de f (puntos donde se obtienen y valores que se alcanzan). c) Esboza la gráfica de f. MATEMÁTICAS II. 2007. RESERVA 3. EJERCICIO 1. OPCIÓN B.

R E S O L U C I Ó N La función que nos piden tendrá de ecuación: 4 3 2( )f x ax bx cx dx e= + + + + . Calculamos la primera y segunda derivada y vamos aplicando las condiciones del problema.

3 2' ( ) 4 3 2f x ax bx cx d= + + +

2 2 1 1'' ( ) 12 6 2 1 ; 0 ;

12 2f x ax bx c x a b c= + + = − ⇒ = = = −

La ecuación de la tangente en 0x = , será: (0) '(0) ( 0)y f f x− = ⋅ −

(0) '(0) ( 0) ( 0) 1 1 ; 0y f f x y e d x e d− = ⋅ − ⇒ − = − = ⇒ = =

Luego, la función que nos piden tiene de ecuación: 4 21 1( ) 1

12 2f x x x= − +

Determina la función :f →→→→� �� sabiendo que 2''( ) 1f x x= −= −= −= − y que la recta tangente a la gráfica de f en el punto de abscisa 0x ==== es la recta 1y ==== . MATEMÁTICAS II. 2007. RESERVA 4. EJERCICIO 1. OPCIÓN A.


a) Función que queremos que sea máximo es: 2 4S x xy= +


500500x y y

x⋅ = ⇒ =


32 2 2

2

500 2000 20004 4

xS x xy x x x

x x x

+= + = + = + =


2 3 3

32 2

3 1 ( 2000) 2 2000' 0 1000 10

x x x xS x

x x

⋅ − ⋅ + −= = = ⇒ = =

Las dimensiones del depósito son: 10 ; 5x m y m= =

Se quiere construir un depósito en forma de prisma de base cuadrada sin tapadera que tenga una capacidad de 500 3

m . ¿Qué dimensiones ha de tener el depósito para que su superficie sea mínima?. MATEMÁTICAS II. 2007. RESERVA 4. EJERCICIO 1. OPCIÓN B.

x

y

x


3 1 1'( ) 0

32

xf x x

x x

−= = ⇒ =

10,

3

1,

3 ∞

Signo y ' ― +

Función D C

↓

m 1,2 3

3

b) Calculamos la segunda derivada y la igualamos a cero:

2

3 3''( ) 0 1

4

xf x x

x x

− += = ⇒ =

( )0,1 ( )1,∞

Signo y ’’ + ―

Función Cx Cn

↓ P.I. ( )1,4

Sea : (0, )f +∞ →+∞ →+∞ →+∞ → �� la función definida por 3 1

( )x

f xx

++++====

a) Determina los intervalos de crecimiento y de decrecimiento y los extremos relativos de f (puntos donde se obtienen y valores que se alcanzan). b) Calcula el punto de inflexión de la gráfica de f. MATEMÁTICAS II. 2007. SEPTIEMBRE. EJERCICIO 1. OPCIÓN A.

R E S O L U C I Ó N a) La función que nos piden será una función polinómica de tercer grado, es decir,

3 2( )f x ax bx cx d= + + +

2 2 1 1'( ) 3 2 6 ; ; 6

3 2f x ax bx c x x a b c= + + = + − ⇒ = = = −

Vamos a calcular el máximo y el mínimo.

2'( ) 6 0 2 ; 3f x x x x x= + − = ⇒ = = −

( ), 3−∞ − ( )3,2− ( )2,∞

Signo y ' + ― +

Función C D C

↓ ↓ Máximo mínimo

Como el valor que alcanza en el máximo es el triple del que alcanza en el mínimo, tenemos que:

( 3) 3 (2) 27 9 3 24 12 6 3 51 3 9 2

1 1 71 7151 3 9 ( 6) 2 2

3 2 2 4

f f a b c d a b c d a b c d

d d d

− = ⋅ ⇒ − + − + = + + + ⇒ − − + = ⇒

⇒ − ⋅ − ⋅ − ⋅ − = ⇒ = ⇒ =

Luego, la función que nos pedían es: 3 21 1 71( ) 6

3 2 4f x x x x= + − +

Determina una función :f →→→→� �� sabiendo que su derivada viene dada por 2'( ) 6f x x x= + −= + −= + −= + − y que el valor que alcanza f en su punto máximo (relativo) es el triple del valor que alcanza en su punto mínimo (relativo). MATEMÁTICAS II. 2007. SEPTIEMBRE. EJERCICIO 1. OPCIÓN B.


PROBLEMAS RESUELTOS


2008

MATEMÁTICAS II

TEMA 4: FUNCIONES












Asíntota vertical: 0x =

11

1 12

0 0 0 0

2

1

lim 0 lim lim lim1 1

x

x

x x

x x x x

ee x

xe e

x x

+ + + +→ → → →

− ∞ = ⋅∞ = = = = = ∞⇒

∞−

Asíntota vertical para 0x+→

1

0lim 0x

x

xe−→

= ⇒No tiene asíntota vertical para 0x−→

Asíntota horizontal: No tiene

1

lim 1x

xxe

→∞= ∞ ⋅ = ∞ ⇒No tiene asíntota Horizontal para x→ +∞

1

lim 1x

xxe

→−∞= −∞ ⋅ = −∞ ⇒No tiene asíntota Horizontal para x→ −∞


1

10lim lim 1

x

x

x x

xem e e

x→∞ →∞= = = =

11

1 1 12

2

1

1lim lim 1 0 lim lim lim 1

1 1

x

x

x x x

x x x x x

ee x

n xe x x e e

x x

→∞ →∞ →∞ →∞ →∞

− − = − = − = ∞ ⋅ = = = =

−

Sea f la función definida, para 0x ≠≠≠≠ , por1

( ) xf x xe==== . Determina las asíntotas de la gráfica de f. MATEMÁTICAS II. 2008. JUNIO. EJERCICIO 1. OPCIÓN A


a) Función que queremos que sea mínimo: 2 2mind x y= +

b) Relación entre las variables: 2 2 8 4x y y x+ = ⇒ = − c) Expresamos la función que queremos que sea máximo con una sola variable.

2 2 2min (4 ) 2 8 16d x x x x= + − = − +

d) Derivamos e igualamos a cero:

min 2 2

4 8 2 4' 0 2

2 2 8 16 2 8 16

x xd x

x x x x

− −= = = ⇒ =

− + − +

Luego, es un cuadrado de lado 2 ; 2x y= =

De entre todos los rectángulos de perímetro 8 cm, determina las dimensiones del que tiene diagonal de menor longitud. MATEMÁTICAS II. 2008. JUNIO. EJERCICIO 1. OPCIÓN B

x

y d

R E S O L U C I Ó N a) Como se corta en el punto ( 1, 2) ( 1) ( 1) 2f g− ⇒ − = − =

0

1 2 1( 1) ( 1) 2

22

a b a bf g

cc e

+ + = + = − = − = ⇒ ⇒

==

Como en ese punto tienen la misma recta tangente ' ( 1) ' ( 1)f g⇒ − = −

0' ( 1) '( 1) 2 0f g a ce a− = − ⇒ − + = − ⇒ = Resolviendo el sistema formado por estas ecuaciones sale: 0 ; 1 ; 2a b c= = = b) La ecuación de la recta tangente en 1x = − es: ( ) ( ) ( )1 ' 1 1y f f x− − = − ⋅ +

- ( )1 2f − =

- ( )' 1 2f − = −

Luego, la recta tangente es: ( )2 2 1 2y x y x− = − ⋅ + ⇒ = −

Sean :f →→→→� �� y :g →→→→� �� las funciones definidas por 2 ( 1)( ) ( ) xf x x ax b y g x c e − +− +− +− += + + == + + == + + == + + =

Se sabe que las gráficas de f y g se cortan en el punto ( 1, 2)−−−− y tienen en ese punto la misma recta tangente. a) Calcula los valores de a, b y c. b) Halla la ecuación de dicha recta tangente. MATEMÁTICAS II. 2008. RESERVA 1. EJERCICIO 1.OPCIÓN A.

R E S O L U C I Ó N Calculamos el punto de inflexión.

1'( ) ; '' ( ) 0 1

x x

x xf x f x x

e e

−= − = = ⇒ =

Nos están pidiendo la recta tangente en 1x = . Su ecuación será:

2 1 3(1) '(1) ( 1) ( 1)

xy f f x y x y

e e e

− +− = ⋅ − ⇒ − = − ⋅ − ⇒ =

Dada la función :f →→→→� �� definida por1

( )x

xf x

e

++++==== , determina la ecuación de la recta

tangente a la gráfica de f en su punto de inflexión. MATEMÁTICAS II. 2008. RESERVA 2. EJERCICIO 1. OPCIÓN A.

R E S O L U C I Ó N a) Aplicamos las tres condiciones del problema.

1. Como la función es continua en 2x = , se cumple:

2

2

2

lim 4 24 2 2 1 2 2 3

lim 1 2 1

x

x

x ax b a b

a b c a b ccx c

−

+

→

→

+ + = + +⇒ + + = + ⇒ + − = −

+ = +

2. Calculamos la función derivada: 2 0 2

'( )2 4

x a si xf x

c si x

+ < <=

< <

Como la función es derivable en 2x = , se cumple:

'( 2 ) 44 4

'( 2 )

f aa c a c

f c

−

+

= + ⇒ + = ⇒ − = −

=

3. (0) (4) 4 1 4 1f f b c b c= ⇒ = + ⇒ − =

Resolviendo el sistema formado por las tres ecuaciones, tenemos:

2 2 3

4 3 ; 5 ; 1

4 1

a b c

a c a b c

b c

+ − = −

− = − ⇒ = − = =− =

b) Veamos en que punto se anula la derivada

2 3 0 2 3'( ) ' ( ) 0 2 3 0

1 2 4 2

x si xf x f x x x

si x

− < <= ⇒ = ⇒ − = ⇒ =

< <

Sea la función [[[[ ]]]]: 0,4f →→→→ �� definida por 2 0 2

( )1 2 4

x ax b si xf x

cx si x

+ + ≤ <+ + ≤ <+ + ≤ <+ + ≤ <====

+ ≤ ≤+ ≤ ≤+ ≤ ≤+ ≤ ≤.

a) Determina a, b y c sabiendo que f es continua en el intervalo cerrado [[[[ ]]]]0,4 , derivable en el

intervalo abierto (0,4) y que (0) (4)f f==== . b) ¿En qué punto del intervalo se anula la derivada de la función?. MATEMÁTICAS II. 2008. RESERVA 2. EJERCICIO 1. OPCIÓN B.


3'( ) ( cos ) (cos ) 2 cos 0 ;

2 2x x xf x e sen x x x sen x e e x x x

π π= + + − ⋅ = = ⇒ = =

0,2

π

3,

2 2

π π

3

, 22

π π

Signo f ' + ― +

Función C D C

↓ ↓

Máximo 2,2eπ π

mínimo 23

,2

eπ π

−

b) Calculamos la segunda derivada y la igualamos a cero.

5'' ( ) 2 (cos ) 0 ;

4 4xf x e x sen x x x

π π= − = ⇒ = =

0,4

π

5,

4 4

π π

5

,24

π π

Signo f '' + ― +

Función Cx Cn Cx

↓ ↓

P.I. ,04

π

P.I. 5

,04

π

Sea [[[[ ]]]]: 0,2f π →π →π →π → �� la función definida por ( ) ( cos )xf x e sen x x= += += += + .

a) Determina los intervalos de crecimiento y de decrecimiento de f. b) Calcula los puntos de inflexión de la gráfica de f . MATEMÁTICAS II. 2008. RESERVA 3. EJERCICIO 1. OPCIÓN A.


2 2 3'( ) (3 4 ) (3 2 ) ( 2 3) 0 1 ;

2x x xf x x e x x e e x x x x= − + − ⋅ = − − + = ⇒ = = −

3,

2 −∞ −

3

,12

−

( )1,∞

Signo f ' ― + ―

Función D C D

↓ ↓

mínimo 3

23

, 92

e−

− −

Máximo ( )1,e

Sea :f →→→→� �� la función definida por 2( ) (3 2 ) xf x x x e= −= −= −= − a) Determina los intervalos de crecimiento y de decrecimiento de f. b) Calcula los extremos relativos de f (abscisas donde se obtienen y valores que se alcanzan). MATEMÁTICAS II. 2008. RESERVA 4. EJERCICIO 1. OPCIÓN A.

R E S O L U C I Ó N Calculamos el dominio de la función.

{ }1 0 0 0xe x D− = ⇒ = ⇒ = −�

Asíntota vertical: 0x = .


lim lim 1 11

x x

x xx x

e ey

e e→∞ →∞

+ ∞= = = ⇒ =

− ∞

Asíntota oblicua: No tiene, ya que tiene asíntota horizontal.

Dada la función f definida, para 0x ≠≠≠≠ , por 1

( )1

x

x

ef x

e

++++====

−−−− determina las asíntotas de su gráfica.


R E S O L U C I Ó N a) Si la función es derivable en 2x = , primero tiene que ser continua en dicho punto, luego:

2

2

2

2

lim 3 4 64 6 2 2 3

lim 4 4 2 4

x

x

ax x a

a b a bx bx b

−

+

→

→

+ = +⇒ + = − ⇒ + = −

− − = − −

Calculamos la función derivada: 2 3 2

'( )2 2

ax si xf x

x b si x

+ ≤=

− >


'(2 ) 4 34 3 4 4 1

'(2 ) 4

f aa b a b

f b

−

+

= + ⇒ + = − ⇒ + =

= −

Resolviendo el sistema 2 3

2 ; 74 1

a ba b

a b

+ = − ⇒ = = −

+ =

b) El punto es (3,26) y la pendiente de la recta tangente es 13m =

La ecuación de la recta tangente es: 26 13 ( 3)y x− = ⋅ −

La ecuación de la recta normal es: 1

26 ( 3)13

y x− = − ⋅ −

Considera la función :f →→→→� �� , definida por 2

2

3 2( )

4 2

+ ≤+ ≤+ ≤+ ≤====

− − >− − >− − >− − >

ax x si xf x

x bx si x

a) Halla a y b sabiendo que f es derivable en �� . b) Determina la recta tangente y la recta normal a la gráfica de f en el punto de abscisa 3====x . MATEMÁTICAS II. 2008. SEPTIEMBRE. EJERCICIO 1. OPCIÓN A.


a) Función que queremos que sea mínima es: 2

a bS

⋅=


12

ba

a b b+ = ⇒ = −

−


222 4 2

bb

bbSb

− ⋅−

= = −−


2 2 2 2

2 2 2

2 (4 2 ) ( 2)( ) 8 4 2 2 8' 0 0 ; 4

(4 2 ) (4 2 ) (4 2 )

b b b b b b b bS b b

b b b

− − − − − − + − −= = = = ⇒ = =

− − −

4

22 2 4

ba

b= − = − =

− −

Luego, la ecuación de la recta es: 1 4 2 8 2 42 4

x yx y x y+ = ⇒ + = ⇒ + = .

El área del triángulo es: 22 44

2 2

a bS u

⋅ ⋅= = =

De entre todas las rectas del plano que pasan por el punto (1, 2) , encuentra aquella que forma con las partes positivas de los ejes coordenados un triángulo de área mínima. Halla el área de dicho triángulo. MATEMÁTICAS II. 2008. SEPTIEMBRE. EJERCICIO 1. OPCIÓN B.

(1,2)

a

b


PROBLEMAS RESUELTOS


2009

MATEMÁTICAS II

TEMA 4: FUNCIONES













2

2 21 1 1 2

2

21

2

12 21 2 1 2ln 0 0lim lim lim 1ln 1 ( 1) ln 0 02 ln ( 1)

22 2 2lim 12 2 1 0 2 2 02ln

x x x

x

xx x xx x x x x x x

x

xx x xx

x x x

→ → →

→

−− −⎛ ⎞− = ∞ −∞ = = = = =⎜ ⎟− − ⋅⎝ ⎠ ⋅ + − ⋅

+ += = =

− + + −+ + −

Calcula 21

1 2lim1x ln x x→

⎛ ⎞−⎜ ⎟−⎝ ⎠

siendo ln la función logaritmo neperiano.

MATEMÁTICAS II. 2009. JUNIO. EJERCICIO 1. OPCIÓN A.


a) La función 11x −

es continua y derivable en { }1− , luego, lo es para 0x < . La función 2 3 1x x− − es continua y derivable en , luego, lo es para 0x ≥ .

Vamos a estudiar, por tanto, la continuidad y derivabilidad en 0x = . 1) (0) 1f = −

2) 0

02

0

1lim 11 lim ( ) 1

lim 3 1 1x

x

x

x f xx x

−

+

→

→

→

⎫= − ⎪− ⇒ = −⎬⎪− − = −⎭

3) 0

(0) lim ( ) 1x

f f x→

= = −

La función es continua en 0x = .

La función derivada es: 2

1 0( 1)'( )2 3 0

si xxf x

x si x

−⎧ <⎪ −= ⎨⎪ − ≥⎩

'(0 ) 1'(0 ) '(0 )

'(0 ) 3f

f ff

−− +

+

⎫= − ⎪⇒ ≠ ⇒⎬= − ⎪⎭

No derivable en 0x =

b) La función 11x −

no tiene asíntota vertical para 0x < .

1 1lim 0 01x

yx→−∞

= = ⇒ =− −∞

es una asíntota horizontal.

La función 2 3 1x x− − como es polinómica, no tiene asíntotas. Igualamos la derivada a cero para calcular los máximos y mínimos.

2

1 0( 1)x−

= ⇒−

No tiene solución. 32 3 02

x x− = ⇒ =

30,2

⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

3 ,2

⎛ ⎞∞⎜ ⎟⎝ ⎠

Signo y ' ― +

Función D C

Sea la función :f → definida por 2

1 0( ) 1

3 1 0

si xf x x

x x si x

⎧ <⎪= −⎨⎪ − − ≥⎩

a) Estudia su continuidad y derivabilidad. b) Determina sus asíntotas y sus extremos relativos. c) Esboza la gráfica de f. MATEMÁTICAS II. 2009. JUNIO. EJERCICIO 1. OPCIÓN B.

Luego, tiene un mínimo en 3 13,2 4

⎛ ⎞−⎜ ⎟⎝ ⎠

c) Hacemos un esbozo de la función.


2'( ) 3 2 ; ''( ) 6 2f x ax bx c f x ax b= + + = +

- El punto (0,1) es un punto de inflexión de la gráfica de f

3 2(0,1) 0 0 0 1''(0) 0 6 0 2 0

Pasa por a b c df a b

⎧ ⇒ ⋅ + ⋅ + ⋅ + =⇒ ⎨

= ⇒ ⋅ + =⎩

- f tiene un mínimo local en el punto de abscisa 21 '(1) 0 3 1 2 1 0x f a b c= ⇒ = ⇒ ⋅ + ⋅ + = . - La recta tangente a la gráfica de f en el punto de abscisa 2x = tiene de pendiente 1

2'(2) 1 3 2 2 2 1f a b c⇒ = ⇒ ⋅ + ⋅ + =

Resolviendo el sistema resulta: 31 1 1 1; 0 ; ; 1 ( ) 19 3 9 3

a b c d f x x x= = = − = ⇒ = − +

Sea :f → la función definida por 3 2( )f x ax bx cx d= + + + . Calcula los valores de a, b, c y d sabiendo que f verifica: - El punto (0,1) es un punto de inflexión de la gráfica de f. - f tiene un mínimo local en el punto de abscisa 1x = . - La recta tangente a la gráfica de f en el punto de abscisa 2x = tiene de pendiente 1. MATEMÁTICAS II. 2009. RESERVA 1. EJERCICIO 1. OPCIÓN A.


a) Función que queremos que sea mínimo: 2 2

min 2S x y= +

b) Relación entre las variables: 10 34 6 202

yx y x −+ = ⇒ =

c) Expresamos la función que queremos que sea mínima con una sola variable:

2 22 2 2

min10 3 17 60 1002 2

2 4y y yS x y y− − +⎛ ⎞= + = + =⎜ ⎟

⎝ ⎠


min34 60 60 30' 0

4 34 17yS y−

= = ⇒ = =

e) Calculamos la 2ª derivada: min34'' 04

S = > ⇒ mínimo

Luego, el cuadrado tiene de lado

3010 3 40172 17

x− ⋅

= = cm y el rectángulo tiene de altura 3017

cm y de

base 6017

cm.

Se divide el segmento de longitud 20L = cm en dos trozos. Con uno de los trozos se forma un cuadrado y con el otro un rectángulo en el que la base es el doble de la altura. Calcula la longitud de cada uno de los trozos para que la suma de las áreas del cuadrado y del rectángulo sea mínima. MATEMÁTICAS II. 2009. RESERVA 1. EJERCICIO 1. OPCIÓN B.

x

y

2y


a) Lo primero que hacemos es abrir la función: 3 2

23 2

3 3( ) 3

3 3x x si x

f x x xx x si x

⎧− + <⎪= − = ⎨− ≥⎪⎩

La función es continua en 3x = . Vamos a estudiar si es derivable en 3x = .

2

2

3 6 3'( ) '(3 ) 9 '( 3 ) 9

3 6 3x x si x

f x f fx x si x

− +⎧− + <⎪= ⇒ = − ≠ − = ⇒⎨− >⎪⎩

No derivable en 3x = .

Luego, la función es derivable en { }3− . b) Calculamos la primera derivada y la igualamos a cero.

2

2

3 6 3'( ) ' 0 0 ; 2

3 6 3x x si x

f x f x xx x si x

⎧− + <⎪= ⇒ = ⇒ = =⎨− >⎪⎩

( ),0−∞ ( )0, 2 ( )2,3 ( )3,∞

Signo f ' ― + ― +

Función D C D C ↓ ↓ ↓ mínimo (0,0) Máximo (2,4) Pico(3,0)

Sea :f → la función definida por 2( ) 3f x x x= − . a) Estudia la continuidad y derivabilidad de f. b) Estudia el crecimiento y decrecimiento de f. Calcula sus extremos relativos (abscisas donde se obtienen y valores que se alcanzan). MATEMÁTICAS II. 2009. RESERVA 2. EJERCICIO 1. OPCIÓN A.


22

21

1 1 11 (ln ) 2 ln 2ln 2(ln ) 0 0 2lim lim lim 1( 1) 0 2 ( 1) 0 2 2x x x

x x x xx x x x xx x→ →∞ →∞

⋅ + ⋅ ⋅ ⋅ + ⋅= = = = = =

− ⋅ −

Como es continua se cumple que

1(1) lim ( ) 1 1

xf a f x a

→= = = ⇒ =

b)

22

2

1 1 11 (ln ) 2ln 2ln 2(ln )lim lim lim( 1) 2 ( 1) 2

122(ln 1) 0lim lim 02 2 2

x x x

x x

x x x xx x x x xx x

x xx

→∞ →∞ →∞

→∞ →∞

⋅ + ⋅ ⋅ ⋅ + ⋅∞ ∞= = = = =

− ∞ ⋅ − ∞

⋅+ ∞= = = = =

∞

Luego, la recta 0y = es la asíntota horizontal.

Sea : (1, )f +∞ → la función dada por

2

2

( ) 1( ) ( 1)

1

x Ln x si xf x x

a si x

⎧≠⎪= −⎨

⎪ =⎩

a) Sabiendo que f es continua, calcula a. b) Estudia la existencia de asíntota horizontal para la gráfica de esta función. En caso de que exista, determina su ecuación. MATEMÁTICAS II. 2009. RESERVA 2. EJERCICIO 1. OPCIÓN B.


2

12

1

lim 13 5

lim 5 2 3 5x

x

x bx bb a

ax x a a

−

+

→

→

⎫− + + = ⎪⇒ = −⎬− + = − ⎪⎭

Calculamos la función derivada: 2 1

'( )2 5 1

x b si xf x

ax si x− + ≤⎧

= ⎨ − >⎩


'(1 ) 22 2 5 2 3

'(1 ) 2 5f b

b a b af a

−

+

⎫= − + ⎪⇒ − + = − ⇒ = −⎬= − ⎪⎭

Resolviendo el sistema formado por las dos ecuaciones, tenemos:

3 52 ; 1

2 3b a

a bb a= − ⎫

⇒ = =⎬= − ⎭

Se sabe que la función :f → definida como 2

2

1 1( )

5 2 1x bx si x

f xax x a si x

⎧ − + + ≤⎪= ⎨− + >⎪⎩

.

Es derivable. Determina los valores de a y b. MATEMÁTICAS II. 2009. RESERVA 3. EJERCICIO 1. OPCIÓN A.


2'( ) 3 2 ; ''( ) 6 2f x ax bx c f x ax b= + + = +

- Extremo relativo en (0,0) 3 2

2

(0,0) 0 0 0 0'(0) 0 3 0 2 0 0

Pasa por a b c df a b c

⎧ ⇒ ⋅ + ⋅ + ⋅ + =⎪⇒ ⎨= ⇒ ⋅ + ⋅ + =⎪⎩

- Extremo relativo en (2,2) 3 2

2

(2, 2) 2 2 2 2'(2) 0 3 2 2 2 0

Pasa por a b c df a b c

⎧ ⇒ ⋅ + ⋅ + ⋅ + =⎪⇒ ⎨= ⇒ ⋅ + ⋅ + =⎪⎩

Resolviendo el sistema resulta: 3 21 3 1 3; ; 0 ; 0 ( )2 2 2 2

a b c d f x x x= − = = = ⇒ = − +

Se sabe que la función :f → definida por 3 2( )f x ax bx cx d= + + +

tiene extremos relativos en (0,0) y en (2,2). Calcula a, b, c y d. MATEMÁTICAS II. 2009. RESERVA 3. EJERCICIO 1. OPCIÓN B.


1'( ) 1 0 1 0 ; 1 0 0x xxf x e e x

e−= − = ⇒ − = − = ⇒ =

( ),0−∞ ( )0,∞

Signo f ' ― +

Función D C ↓ mínimo (0,1)

b) El dominio de la función f(x) es . Asíntotas Verticales: No tiene

Asíntotas Horizontales: 1lim xxx

e→+∞

⎛ ⎞+ = ∞⇒⎜ ⎟⎝ ⎠

No tiene; 1lim xxx

e→−∞

⎛ ⎞+ = ∞⇒⎜ ⎟⎝ ⎠

No tiene

Asíntota oblicua: y mx n= +

lim lim 1 1x x

x x

x e emx x

− −

→∞ →∞

⎛ ⎞+= = + =⎜ ⎟

⎝ ⎠ ; lim lim( ) 0x x

x xn x e x e− −

→∞ →∞⎡ ⎤= + − = =⎣ ⎦

Luego, la asíntota oblicua es y x= c)

Sea :f → la función definida por ( ) xf x x e −= + . a) Determina los intervalos de crecimiento y de decrecimiento de f, así como los extremos relativos o locales de f. b) Determina las asíntotas de la gráfica de f. c) Esboza la gráfica de f. MATEMÁTICAS II. 2009. RESERVA 4. EJERCICIO 1. OPCIÓN A.


a) Función que queremos que sea máximo: max 2b hS ⋅

=

b) Relación entre las variables: 20 20b h b h+ = ⇒ = − c) Expresamos la función que queremos que sea mínima con una sola variable:

2

max(20 ) 20

2 2h h h hS − ⋅ −

= =


max20 2' 0 10

2hS h−

= = ⇒ =

e) Calculamos la 2ª derivada: max'' 1 0S = − < máximo Luego, la base mide 10 cm

De todos los triángulos cuya base y altura suman 20 cm ¿qué base tiene el de área máxima?. MATEMÁTICAS II. 2009. RESERVA 4. EJERCICIO 1. OPCIÓN B.

x

b

h


2 2

2 2

1lim lim lim 1 1 2x x x

x x x x x xmx x x x x→∞ →∞ →∞

− += = − + = − + =

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )

2 2

2 2

2 2

2

2 2

lim 2 lim lim lim

1 1lim lim211 1

x x x x

x x

x x x x x x xn x x x x x x xx x x x x x

xx

x x xxx x x

→∞ →∞ →∞ →∞

→∞ →∞

− − ⋅ − + −= − + − = − − = ∞−∞ = = =

− + − +

−∞ −= = = = −∞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞

− +− +⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎝ ⎠⎝ ⎠

Luego, la asíntota oblicua es: 122

y x= −

Se considera la función [ ): 1,f +∞ → definida por 2( )f x x x x= − + . Determina la asíntota de la gráfica de f. MATEMÁTICAS II. 2009. SEPTIEMBRE. EJERCICIO 1. OPCIÓN A


a) Función que queremos que sea mínimo: 2 2

mind x y= +

b) Relación entre las variables: 1616x y yx

⋅ = ⇒ =


42

min 2 2

256 256xd xx x

+= + =


4

min 43

2

2 512' 0 42562

xd xxx

x

−= = ⇒ =

+

Luego, es un cuadrado de lado 4 ; 4x cm y cm= =

De entre todos los rectángulos cuya área mide 16 cm2, determina las dimensiones del que tiene diagonal de menor longitud. MATEMÁTICAS II. 2009. SEPTIEMBRE. EJERCICIO 1. OPCIÓN B

x

y d



2010

MATEMÁTICAS II

TEMA 4: FUNCIONES















a) Como f pasa por el punto (2,3) tenemos que 4(2) 3 3 62

a bf a ba+

= ⇒ = ⇒ + = −−

.

Como f tiene una asíntota oblicua con pendiente 4− , tenemos que:

2

2

( ) 2 24 lim 4 lim lim lim 4 42 2x x x x

f x ax b ax a ax ax x a x→∞ →∞ →∞ →∞

+ ∞ ∞− ⇒ = − ⇒ = = = = = − ⇒ =

− ∞ − ∞ −

Sustituyendo en la ecuación anterior, tenemos que:

6 4 6 10a b b b+ = − ⇒ + = − ⇒ = −

Luego, los valores son: 4 ; 10a b= = −

b) Si 2 ; 3a b= = , la función es: 22 3( )

2xf x

x+

=−

. La ecuación de la recta tangente es:

(1) '(1) ( 1)y f f x− = ⋅ −

2 3(1) 52 1

f += =

−

2 2

2 2

4 (2 ) ( 1)(2 3) 2 8 3 2 8 3'( ) '(1) 9(2 ) (2 ) 1

x x x x xf x fx x

− − − + − + + − + += = ⇒ = =

− −

Sustituyendo, tenemos que:

(1) '(1) ( 1) 5 9( 1) 9 4y f f x y x y x− = ⋅ − ⇒ − = − ⇒ = −

Sea f la función definida como 2

( ) ax bf xa x

+=

− para x a≠ .

a) Calcula a y b para que la gráfica de f pase por el punto (2,3) y tenga una asíntota oblicua con pendiente 4− . b) Para el caso de 2a = , 3b = , obtén la ecuación de la recta tangente a la gráfica de f en el punto de abscisa 1x = MATEMÁTICAS II. 2010. JUNIO. EJERCICIO 1. OPCIÓN A.



Como 20

0lim0

x sen x

x

e ex→

−= , le aplicamos la regla de L’Hôpital

2

20 0 0

0 cos 0 cos 0lim lim lim 00 2 0 2 2

x sen x x sen x x sen x sen x

x x x

e e e x e e sen x e x ex x→ → →

− − ⋅ + ⋅ − ⋅= = = = = =

Calcula 20lim

x sen x

x

e ex→

−




a) Función que queremos que sea máximo: 2

max13

V r h= π .

b) Relación entre las variables: 2 2 2 28100 8100r h r h+ = ⇒ = − c) Expresamos la función que queremos que sea máximo con una sola variable.

2 2 3max

1 1 1(8100 ) (8100 )3 3 3

V r h h h h h= π = π − = π −


21 8100' (8100 3 ) 0 2700 30 33 3

V h h cm= π − = ⇒ = = =


1 1'' ( 6 ) ''( 30 3) ( 180 3) 03 3

V h V h Máximo= π − ⇒ = = π − < ⇒

Luego, las dimensiones de los catetos son : 30 3 ; 30 6h cm r cm= =

La hipotenusa de un triángulo rectángulo mide 90 cm. Si se hace girar alrededor de uno de sus catetos, el triángulo engendra un cono. ¿Qué medidas han de tener los catetos del triángulo para que el volumen del cono engendrado sea máximo?. (Recuerda que el volumen del cono es

213

V r h= π ).

MATEMÁTICAS II. 2010. RESERVA 1. EJERCICIO 1. OPCIÓN A


R E S O L U C I Ó N a) Asíntota vertical: 1x = y 1x = − .


2

3 3lim lim lim1 2 2x x x

x x xx x→∞ →∞ →∞

∞= = = = ∞⇒

− ∞ No tiene.

Asíntota oblicua: y x= 3

32

31lim lim 1

x x

xxxm

x x x→∞ →∞

−= = =−

3 3 3

2 2 2

1lim lim lim lim 01 1 1 2x x x x

x x x x xn xx x x x→∞ →∞ →∞ →∞

⎡ ⎤ ⎡ ⎤− + ∞⎡ ⎤ ⎡ ⎤= − = = = = =⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥− − − ∞⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎣ ⎦ ⎣ ⎦

b) Calculamos la derivada de la función e igualamos a cero.

2 2 3 4 2

2 2 2 2

3 ( 1) 2 3'( ) 0 0 ; 3 ; 3( 1) ( 1)

x x x x x xf x x x xx x− − ⋅ −

= = = ⇒ = = − =− −

(―∞, 3− ) ( 3− ,―1) (―1,0) (0,1) (1, 3 ) ( 3 ,∞)

Signo y' + ― ― ― ― +

Función C D D D D C ↓ ↓ ↓ ↓ ↓

3 3

3,2

M⎛ ⎞

= − −⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

No existe Nada No existe 3 3

3,2

m⎛ ⎞

= ⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

c)

Sea f la función definida como 3

2( )1

xf xx

=−

para 1x ≠ ± .

a) Estudia y halla las asíntotas a la gráfica de f. b) Determina los intervalos de crecimiento y de decrecimiento de f. c) Esboza la gráfica de f. MATEMÁTICAS II. 2010. RESERVA 1. EJERCICIO 1. OPCIÓN B



a) Función que queremos que sea máximo: max 2

x yS ⋅= .

b) Relación entre las variables: 2 2 225 25x y y x+ = ⇒ = − c) Expresamos la función que queremos que sea máximo con una sola variable.

2 2 4

max25 25

2 2 2x y x x x xS ⋅ − −

= = =


3

22 4

2

50 425 2 252 25' 0

2 22 25

x xxx xS xx

−

−−= = = ⇒ = ±−

Como es una longitud tomamos el valor positivo 252

x =


2 222

2 2 2

24 (2 25 ) 2 (25 2 )(2 75)2 25''

4 25 2(25 ) 25

xx x xx xxS

x x x

−− ⋅ − − −

−−= =− − −

25 (25 75)25 2'' 2 02 25 252(25 ) 25

2 2

S x Máximo−⎛ ⎞

= = = − < ⇒⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠ − −

Luego, las dimensiones de los catetos son: 50 50;2 2

x m y m= =

Entre todos los triángulos rectángulos de 5 metros de hipotenusa, determina los catetos del de área máxima. MATEMÁTICAS II. 2010. RESERVA 2. EJERCICIO 1. OPCIÓN A



a) Calculamos la derivada de la función: 2

2 3'( )3

xf xx x

+=

+. La pendiente de la recta 2 1 0x y− + = , es:

12

m = . Igualando, nos queda:

2 2

2

2 3 1'( ) 4 6 3 6 0 2 ; 33 2

xf x x x x x x x xx x

+= = ⇒ + = + ⇒ − − = ⇒ = − =

+

Como el dominio de la función es (0, )+∞ , sólo vale el punto (3, ln18) .

b) Calculamos (3) ln18f = y 9 1'(3)18 2

f = = .

La recta tangente es: 1(3) '(3) ( 3) ln18 ( 3)2

y f f x y x− = ⋅ − ⇒ − = −

La recta normal es: 1(3) ( 3) ln18 2 ( 3)'(3)

y f x y xf

− = − ⋅ − ⇒ − = − ⋅ −

Sea : (0, )f +∞ → la función definida por 2( ) ln( 3 )f x x x= + , donde ln denota el logaritmo neperiano. a) Determina, si existen, los puntos de la gráfica de f en los que la recta tangente a la gráfica es paralela a la recta de ecuación 2 1 0x y− + = . b) Halla la ecuación de la recta tangente y de la recta normal a la gráfica de f en el punto de abscisa

3x = . MATEMÁTICAS II. 2010. RESERVA 2. EJERCICIO 1. OPCIÓN B


R E S O L U C I Ó N Como la función es derivable en también tiene que ser continua en . Por lo tanto:

Continua en 0x = :

2

02

0 0

0

lim ( ) 0lim ( ) lim ( ) 0

lim1

x

x

x x

x

e x axf x f x cbx c c

x

−

− +

+

→

→ →

→

⎫+ =⎪⇒ = ⇒ =⎬+

= ⎪+ ⎭


2

2

2

( ) (2 ) 0'( ) 2 ( 1) 0

( 1)

x xe x ax e x a si xf x bx x bx si x

x

⎧ + + + ≤⎪= ⎨ + −

>⎪ +⎩

Derivable en 0x = :'(0 )

'(0 ) '(0 ) 0'(0 ) 0

f af f a

f

−− +

+

⎫= ⎪⇒ = ⇒ =⎬= ⎪⎭

La recta tangente en 1x = tiene de pendiente 3:

2

2

2 1(1 1) 1 3'(1) 3 3 3 4(1 1) 4

b b bf b⋅ + −= ⇒ = ⇒ = ⇒ =

+

Sea la función :f → dada por

2

2

( ) 0( )

01

xe x ax si xf x bx c si x

x

⎧ + ≤⎪= ⎨ +

>⎪ +⎩

.

Calcula las constantes a, b y c sabiendo que f es derivable y que la recta tangente a la gráfica de fen el punto de abscisa 1x = tiene de pendiente 3. MATEMÁTICAS II. 2010. RESERVA 3. EJERCICIO 1. OPCIÓN A.


R E S O L U C I Ó N Calculamos la primera derivada de f.

323

1'( ) 3 ( 1)3 (3 )

f x x xx

−= − + +

−

Calculamos '( 5)f − y '(2)f .

323

1 4 7'( 5) 3 5 ( 5 1) 212 33 (3 5)

f −− = + + − + = + =

+

323

1 3'(2) 3 2 (2 1) 1 033 (3 2)

f −= − + + = − =

−

Calculamos ( 5)f − y (2)f .

3( 5) ( 5 1) 3 5 8f − = − + + = −

3(2) (2 1) 3 2 3f = + − =

La recta tangente en 5x = − es: 7( 5) '( 5) ( 5) 8 ( 5)3

y f f x y x− − = − ⋅ + ⇒ + = +

La recta normal en 5x = − es: 1 3( 5) ( 5) 8 ( 5)'( 5) 7

y f x y xf

− − = − ⋅ + ⇒ + = − +−

La recta tangente en 2x = es: (2) '(2) ( 2) 3 0( 2) 3y f f x y x y− = ⋅ − ⇒ − = − ⇒ =

La recta tangente en 2x = es: 1 1(2) ( 2) 3 ( 2) 2'(2) 0

y f x y x xf

− = − ⋅ − ⇒ − = − − ⇒ =

Sea :f → la función definida como 3( ) ( 1) 3f x x x= + − . Halla las ecuaciones de la recta tangente y de la recta normal a la gráfica de f en el puno de abscisa 5x = − y en el punto de abscisa 2x = . MATEMÁTICAS II. 2010. RESERVA 3. EJERCICIO 1. OPCIÓN B.


R E S O L U C I Ó N Calculamos la primera y segunda derivada de f.

' ( ) cos 2f x a x bx c= + + ; '' ( ) 2f x a sen x b= − + Vamos aplicando los datos del problema para calcular las constantes.

'' ( ) 2 3 10 3 ; 5f x a sen x b sen x a b= − + = − ⇒ = − = −

Pasa por (0,4) (0) 4 4f d⇒ = ⇒ =

Tangente horizontal en (0,4) '(0) 0 0 3f a c c a⇒ = ⇒ + = ⇒ = − =

Dada la función :f → definida como 2( )f x a sen x bx cx d= + + + , determina los valores delas constantes a, b, c y d sabiendo que la gráfica de f tiene tangente horizontal en el punto (0,4) y que la segunda derivada de f es ''( ) 3 10f x sen x= − . MATEMÁTICAS II. 2010. RESERVA 4. EJERCICIO 1. OPCIÓN A.


R E S O L U C I Ó N La función xe − , es continua y derivable en . La función 21 x− , es continua y derivable en . La

función 21x +

es continua y derivable en { }1− . Por lo tanto, sólo estudiamos la continuidad y

derivabilidad en 0x = y 1x = . Estudiamos la continuidad en 0x = :

02 0 0

0

lim 1lim ( ) lim ( ) (0) 1

lim 1 1

x

x

x xx

ef x f x f Continua

x

−

− +

+

−

→

→ →

→

⎫= ⎪⇒ = = = ⇒⎬− = ⎪⎭

Estudiamos la continuidad en 1x = :

2

1

1 1

1

lim 1 0lim ( ) lim ( )2lim 1

1

x

x x

x

xf x f x No Continua y no derivable

x

−

− +

+

→

→ →

→

⎫− =⎪⇒ ≠ ⇒⎬

= ⎪+ ⎭


2

1 0'( ) 2 0 1

2 1( 1)

xe si xf x x si x

si xx

−⎧⎪− ⋅ <⎪⎪= − < <⎨⎪ −⎪ >

+⎪⎩

Estudiamos la derivabilidad en 0x = :

'(0 ) 1'(0 ) '(0 )

'(0 ) 0f

f f No derivablef

−− +

+

⎫= − ⎪⇒ ≠ ⇒⎬= ⎪⎭

Luego, la función es continua en { }1− y derivable en { }0 1y−

Considera la función :f → definida por 2

0( ) 1 0 1

2 11

xe si xf x x si x

si xx

−⎧⎪ ≤⎪

= − < <⎨⎪⎪ ≤

+⎩

.

Estudia su continuidad y derivabilidad. Determina la función derivada de f. MATEMÁTICAS II. 2010. RESERVA 4. EJERCICIO 1. OPCIÓN B.



1) minS x y= ⋅

2) 10 418 ( 2) ( 4)2xx y y

x+

= − ⋅ − ⇒ =−

3) 2

min10 4 10 4

2 2x x xS x y x

x x+ +

= ⋅ = ⋅ =− −

4) 2

22

4 16 20' 0 4 16 20 0 1 ; 5( 2)

x xS x x x xx− −

= = ⇒ − − = ⇒ = − =−

Luego, las dimensiones de la hoja de papel son: 5 ; 10x cm y cm= =

Una hoja de papel tiene que contener 18 cm2 de texto. Los márgenes superior e inferior han de tener 2 cm cada uno y los laterales 1 cm. Calcula las dimensiones de la hoja para que el gasto de papel sea mínimo. MATEMÁTICAS II. 2010. SEPTIEMBRE. EJERCICIO 1. OPCIÓN A

y

x


R E S O L U C I Ó N a) Como es derivable, la función es continua, luego:

2

2

2

lim ( ) 4 24 2 2 2 2 4

lim ( ) 2

−

+

→

→

⎫+ + = + +⎪⇒ + + = ⇒ + − = −⎬

= ⎪⎭

x

x

x ax b a ba b c a b c

cx c


'( )+⎧

= ⎨⎩

x af x

c. Como es derivable, se cumple:

'(2 ) '(2 ) 4 4− += ⇒ + = ⇒ − = −f f a c a c Como además, (0) (4) 4= ⇒ =f f b c Resolviendo el sistema formado por las tres ecuaciones, tenemos:

2 2 44 3 ; 4 ; 1

4

+ − = − ⎫⎪− = − ⇒ =− = =⎬⎪= ⎭

a b ca c a b c

b c

b) Los extremos absolutos de una función se pueden alcanzar en: 1. Los puntos donde la función no es continua ni derivable. 2. Los extremos del intervalo. 3. Las soluciones de '( ) 0=f x

Vamos a calcular 3'( ) 0 2 3 02

= ⇒ − = ⇒ =f x x x

Luego, los extremos absolutos pueden estar en los puntos 30 ; ; 42

= = =x x x . Vamos a calcularlos.

(0) 4=f ; (4) 4=f ; 23 3 3 73 4

2 2 2 4⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= − ⋅ + =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

f

Por lo tanto, f alcanza su máximo absoluto en 0 4= =x y x y vale 4. Su mínimo absoluto lo

alcanza en 32

=x y vale 74

.

Considera la función [ ]: 0,4f → definida por 2 0 2

( )2 4

x ax b si xf x

cx si x⎧ + + ≤ ≤

= ⎨< ≤⎩

a) Sabiendo que f es derivable en todo el dominio y que verifica (0) (4)f f= , determina los valores de a, b y c. b) Para 3 , 4 1a b y c= − = = halla los extremos absolutos de f(abscisas donde se obtienen y valores que se alcanzan). MATEMÁTICAS II. 2010. SEPTIEMBRE. EJERCICIO 1. OPCIÓN B.



2011

MATEMÁTICAS II

TEMA 4: FUNCIONES














R E S O L U C I Ó N a) Función que queremos que sea máximo es: 2V r h= π


2 54 2 2754 2 22− π − π

= π + π ⇒ = =π π

r rr r h hr r


22 2 327 27− π

= π = π ⋅ = − ππ

rV r h r r rr

d) Derivamos e igualamos a cero 2 27' 27 3 0 1'69

3= − π = ⇒ = ± = ±

πV r r m

Solo vale la solución positiva ya que estamos calculando dimensiones, luego:

1'69 ; 3'39= =r m h m

Se desea construir un depósito cilíndrico cerrado de área total a 54 2m . Determina el radio de la base y la altura del cilindro para que éste tenga volumen máximo. MATEMÁTICAS II. 2011. JUNIO. EJERCICIO 1. OPCIÓN A.


R E S O L U C I Ó N Función que queremos que sea mínimo: La distancia entre los puntos (2,0) y ( , 1)−x x .

2 2 2( 2) ( 1 0) 3 3= − + − − = − +d x x x x Derivamos e igualamos a cero

2

2 3 3' 022 3 3

−= = ⇒ =

− +

xd xx x

Luego el punto es: 23 ,

2 2⎛ ⎞

= ⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

P .

La distancia mínima es: 39 9 3

4 2 2= − + =d u

Sea [ ): 1,f +∞ → la función definida por ( ) 1f x x= − . Determina el punto P de la gráfica de f que se encuentra a menor distancia del punto (2,0)A .¿Cuál es esa distancia?. MATEMÁTICAS II. 2011. JUNIO. EJERCICIO 1. OPCIÓN B



a) Función que queremos que sea mínima: 2

2min 2

4xS y⎛ ⎞= +⎜ ⎟

⎝ ⎠

b) Relación entre las variables: 100100 2 2 66

xx y y y y y y −− = + + + = ⇒ =

c) Expresamos la función que queremos que sea mínima con una sola variable.

2 2 2 22

min100 17 1600 800002 2

4 4 6 144x x x x xS y − − +⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= + = + =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠


34 1600 800' 0144 17

xS x−= = ⇒ =

e) Comprobamos que corresponde a un mínimo

34'' 0144

S mínimo= > ⇒

Luego, las dimensiones son: 800 900; 10017 17

x m x m= − =

Un alambre de longitud 100 metros se divide en dos trozos. Con uno de los trozos se construye un cuadrado y con el otro un rectángulo cuya base es doble que su altura. Calcula las longitudes de cada uno de los trozos con la condición de que la suma de las áreas de estas dos figuras sea mínima. MATEMÁTICAS II. 2011. RESERVA 1. EJERCICIO 1. OPCIÓN A.


R E S O L U C I Ó N a) La ecuación de la recta normal en el punto de abscisa 2x = es:

1(2) ( 2)'(2)

y f xf

− = − −

Calculamos: 2(2) 4 2 0f = − =

'( ) 2 '(2) 4f x x f= − ⇒ = −

Sustituyendo, tenemos: 1 1(2) ( 2) 0 ( 2) 4 2 0'(2) 4

y f x y x x yf

− = − − ⇒ − = − − ⇒ − − =−

a) La pendiente de la recta que nos dan es: 2 12 2 02 2

xx y y m− ++ − = ⇒ = ⇒ = − . La recta

perpendicular tendrá de pendiente 2m = .

'( ) 2 2 1f x x x= − = ⇒ = − ; 2( 1) 4 ( 1) 3f − = − − = Luego, el punto que nos piden es: ( 1,3)−

Sea :f → la función definida por 2( ) 4f x x= − a) Halla la ecuación de la recta normal a la gráfica de f en el punto de abscisa 2x = . b) Determina el punto de la gráfica en el que la recta tangente es perpendicular a la recta

2 2 0x y+ − = . MATEMÁTICAS II. 2011. RESERVA 1. EJERCICIO 1. OPCIÓN B



a) Función que queremos que sea máximo: 2

max 22rS r y π

= +

b) Relación entre las variables: 10 210 2 22r rr y r y − − π

= + +π ⇒ =


2 2 2 2

max10 2 20 42 2

2 2 2 2r r r r r r rS r y rπ − − π π − − π⎛ ⎞= + = + =⎜ ⎟

⎝ ⎠


20 8 2 20' 0 1'42 8 2r rS r− − π

= = ⇒ = =+ π

e) Comprobamos que corresponde a un máximo

8 2'' 02

S Máximo− − π= < ⇒

Luego, las dimensiones son: 1'4 ; 1'4r m y m= =

Una ventana normanda consiste en un rectángulo coronado con un semicírculo.

De entre todas las ventanas normandas de perímetro 10 m, halla las dimensiones del marco de la de área máxima. MATEMÁTICAS II. 2011. RESERVA 2. EJERCICIO 1. OPCIÓN A.

y

2r


R E S O L U C I Ó N a) Si la función es derivable, primero tiene que ser continua en el punto 2x = , luego:

2

2

lim ln( ) 2 ln 22 ln 2 2 1 ln 2 2 1

lim 1 ln 2 2 1 ln 2x

x

x x a aa b a b

bx b−

+

→

→

− + = − + ⎫⎪⇒ − + = + − ⇒ − = −⎬+ − = + − ⎪⎭


'( )2 4

si xf x x e

b si x

⎧ − ≤ <⎪= ⎨⎪ < <⎩

Como es derivable en 2x = , se cumple que:1 1'(2 ) 1 12 2

2'(2 )

fb

f b

−

+

⎫= − = ⎪⇒ =⎬⎪= ⎭

Sustituyendo en la ecuación anterior, tenemos que: 12 1 02

a a− ⋅ = − ⇒ =

b) La función que tenemos es:

1ln( ) 2( )

1 1 ln(2) 2 42

x x si xef x

x si x

⎧ − ≤ ≤⎪⎪= ⎨⎪ + − < ≤⎪⎩

Sabemos que los extremos absolutos pueden estar en:

- Los extremos del intervalo, en este caso 1xe

= y 4x =

- En los puntos donde se anula la derivada, en este caso, 11 0 1xx

− = ⇒ =

Para 1xe

= , la función vale: 1 1 1 1ln 1 1'36fe e e e

⎛ ⎞ = − = + =⎜ ⎟⎝ ⎠

Para 4x = , la función vale: 1(4) 4 1 ln 2 3 ln 2 2 '302

f = ⋅ + − = − =

Para 1x = , la función vale: ( )1 1 ln1 1f = − = Luego, el máximo absoluto está en 4x = y vale (4) 2 '30f = . El mínimo absoluto está en 1x = y vale ( )1 1f =

Sea 1: ,4fe⎡ ⎤ →⎢ ⎥⎣ ⎦

la función definida por 1ln( ) 2

( )1 ln(2) 2 4

x x a si xf x e

bx si x

⎧ − + ≤ ≤⎪= ⎨⎪ + − < ≤⎩

Donde ln denota la función logaritmo neperiano.

a) Calcula los valores de a y b para que f sea derivable en el intervalo 1 ,4e

⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

.

b) Para 0a = y 12

b = halla los extremos absolutos de f (abscisas donde se obtienen y valores que

se alcanzan). MATEMÁTICAS II. 2011. RESERVA 2. EJERCICIO 1. OPCIÓN B.


R E S O L U C I Ó N Calculamos la derivada primera y segunda de la función:

2'( ) 3 2 ; ''( ) 6 2f x ax bx c f x ax b= + + = + - El punto (1,0) es un punto de inflexión de la gráfica de f

3 2(1,0) 1 1 1 0''(1) 0 6 1 2 0

Pasa por a b cf a b

⎧ ⇒ ⋅ + ⋅ + ⋅ =⇒ ⎨

= ⇒ ⋅ + =⎩

- La recta tangente a la gráfica de f en el punto de abscisa 1x = tiene de pendiente 3−

2'(1) 3 3 1 2 1 3f a b c⇒ = − ⇒ ⋅ + ⋅ + = −

Resolviendo el sistema 0

6 2 03 2 3

a b ca b

a b c

+ + = ⎫⎪+ = ⎬⎪+ + = − ⎭

resulta: 3 23 ; 9 ; 6 ( ) 3 9 6a b c f x x x x= = − = ⇒ = − +

Dada la función :f → definida por 3 2( )f x ax bx cx= + + , determina a, b y c sabiendo que su gráfica tiene un punto de inflexión en (1,0), y que la recta tangente en ese punto tiene por ecuación 3 3y x= − + . MATEMÁTICAS II. 2011. RESERVA 3. EJERCICIO 1. OPCIÓN A.



a) Función que queremos que sea máximo: maxS x y= ⋅ b) Relación entre las variables: 2 3y x= − + c) Expresamos la función que queremos que sea máximo con una sola variable.

2 3max ( 3) 3S x x x x= ⋅ − + = − +


2' 3 3 0 1S x x= − + = ⇒ = ± e) Comprobamos que valor corresponde a un máximo

'' 6S x= − ''(1) 6 1 6 0S Máximo= − ⋅ = − < ⇒

''( 1) 6 ( 1) 6 0S Mínimo− = − ⋅ − = > ⇒

Además, el valor 1x = − no sirve porque no está en el primer cuadrante. Luego, las dimensiones son: 1 ; 2x y= =

En el primer cuadrante representamos un rectángulo de tal manera que tiene un vértice en el origen de coordenadas y el vértice opuesto en la parábola 2 3y x= − + . Determina las dimensiones del rectángulo para que su área sea máxima. MATEMÁTICAS II. 2011. RESERVA 3. EJERCICIO 1. OPCIÓN B.



a) Función que queremos que sea máximo: maxS x y= ⋅

b) Relación entre las variables: 3.000 110 300 113.000 100 10 10 1020 2

x xx x y y y − −= + + + ⇒ = =


2

max300 11 300 11

2 2x x xS x y x − −

= ⋅ = ⋅ =


max300 22 150' 0 ; 75

2 11xS x m y m−

= = ⇒ = =


22'' 02

S Máximo−= < ⇒

Luego, las dimensiones son: 150 ; 7511

x m y m= =

Queremos hacer junto a la carretera un cercado rectangular para unos caballos en una zona llana. Cada metro del lado del cercado que está junto a la carretera nos cuesta 100 euros, mientras que para el resto del cercado nos cuesta 10 euros el metro. ¿Cuáles son las dimensiones del prado de área máxima que podemos cercar con 3000 euros?. MATEMÁTICAS II. 2011. RESERVA 4. EJERCICIO 1. OPCIÓN A.



Nos están dando una función que viene definida a trozos:

2 70 18 50( ) 400 50

30

x x si xf x x si x

x

⎧− + ≤ <⎪= ⎨

≥⎪ −⎩

Sabemos que los extremos absolutos pueden estar en: - Los extremos del intervalo, en este caso 18x = - En los puntos donde se anula la derivada, en este caso, 2 70 0 35x x− + = ⇒ =

- En los puntos donde no es continua o derivable, en nuestro caso, 50x = que donde cambia de una función a la otra

Para 18x = , la función vale: 2(18) 18 70 18 936f = − + ⋅ = Para 35x = , la función vale: 2(35) 35 70 35 1225f = − + ⋅ = Para 50x = , vamos a ver si la función es continua

2

50

50 50

50

lim ( 70 ) 1000

lim ( ) lim ( ) 1000400lim 100030

x

x x

x

x x

f x f xxx

−

− +

+

→

→ →

→

⎫− + =⎪⇒ = =⎬⎛ ⎞ = ⎪⎜ ⎟−⎝ ⎠ ⎭

Luego, la función es continua y vale 1000. Por lo tanto el máximo de ingresos es 1225 € y se alcanza a la edad de 35 años.

En una empresa los ingresos (en euros) dependen de la edad. Si la edad, x, es de 18 a 50 años, los ingresos vienen dados por la fórmula 2 70x x− + , mientras que para edades iguales o

superiores a 50 años los ingresos están determinados por la expresión 40030x

x −.

Calcula cuál es el máximo de los ingresos y a que edad se alcanza. MATEMÁTICAS II. 2011. RESERVA 4. EJERCICIO 1. OPCIÓN B.



1) Escribimos la función que queremos que sea máximo: max

22x hS x h⋅

= = ⋅

2) Relación entre las variables:

2 2 2 22 2 2

2 2 8 ; 4( 4) 16 8

x y x yh y x x x x

h x y+ = + = ⎫

⇒ = − = − − = −⎬+ = ⎭

3) Escribimos la función que queremos que sea máximo con una sola variable:

2 3

max 16 8 16 8S x h x x x x= ⋅ = ⋅ − = − 4) Calculamos la derivada de la función y la igualamos a cero:

2 2

2 3 2 3

32 24 16 12 16 4' 0 0 ;12 32 16 8 16 8

x x x xS x xx x x x− −

= = = ⇒ = = =− −

Luego, la base del triángulo es 4 82 23 3

x = ⋅ = y la altura 4 34 1616 8

3 3 3h = − ⋅ = =

5) Comprobamos que 43

x = corresponde a un máximo, sustituyendo este valor en la segunda

derivada y sale 4'' 03

S ⎛ ⎞ <⎜ ⎟⎝ ⎠

, luego, es un máximo.

Calcula la base y la altura del triángulo isósceles de perímetro 8 y de área máxima. MATEMÁTICAS II. 2011. SEPTIEMBRE. EJERCICIO 1. OPCIÓN A


R E S O L U C I Ó N a) El dominio de la función f(x) es { }0− Asíntotas Verticales: 0x = .


3

3 1lim ( ) limx x

xf xx→+∞ →+∞

+= = ∞ ⇒ No tiene.

Asíntota Oblicua: y mx n= + 4

4

( ) 3 1lim lim 3x x

f x xmx x→+∞ →+∞

+= = =

[ ]4

3 3

3 1 1lim ( ) lim 3 lim 0x x x

xn f x mx xx x→+∞ →+∞ →+∞

⎡ ⎤+= − = − = =⎢ ⎥

⎣ ⎦

Luego, la asíntota oblicua es: 3y x= b) Calculamos la primera derivada y la igualamos a cero:

3 3 2 4 4

3 2 4

12 3 (3 1) 3 3' 0 1 1( )

x x x x xy x y xx x

⋅ − + −= = = ⇒ = = −

(― ∞,―1) (―1,0) (0, 1) (1, ∞)

Signo y ' + ― ― +

Función C D D C ↓ ↓ Máximo (―1,― 4) mínimo ( )1, 4

Sea f la función definida por4

3

3 1( ) xf xx+

= para 0x ≠ .

a) Estudia las asíntotas de la gráfica de la función. b) Halla los intervalos de crecimiento y de decrecimiento, y los extremos relativos (abscisas donde se obtienen y valores que se alcanzan). MATEMÁTICAS II. 2011. SEPTIEMBRE. EJERCICIO 1. OPCIÓN B

PROBLEMAS RESUELTOS


2012

MATEMÁTICAS II

TEMA 4: FUNCIONES















R E S O L U C I Ó N a) Asíntota vertical: No tiene, ya que el dominio de la función es .

Asíntota horizontal: lim ( 2)x

xe x

→∞− = ∞⇒No tiene.

2 1lim ( 2) lim lim 0 0xxx x x

xe x ye→−∞ →−∞ →−∞

− ∞− = = = = ⇒ =

∞ ∞

Asíntota oblicua: No tiene, ya que tiene horizontal b) Calculamos la primera derivada y la igualamos a cero:

'( ) ( 2) ( 1) 0 1x x xf x e x e e x x= + − = − = ⇒ =

( ),1−∞ ( )1,∞

Signo f ' ― +

Función D C ↓ mínimo ( )1, e−

c) Calculamos la segunda derivada y la igualamos a cero: '' ( ) ( 1) 0 0x x xf x e x e e x x= − + = ⋅ = ⇒ =

( ),0−∞ ( )0,∞

Signo f '' ― +

Función Cn Cx ↓ P.I. ( )0, 2−

El dibujo de la función sería:

Sea la función :f → definida por ( ) ( 2)xf x e x= ⋅ − . a) Calcula las asíntotas de f. b) Halla los extremos relativos (abscisas donde se obtienen y los valores que se alcanzan) y los intervalos de crecimiento y de decrecimiento de f. c) Determina, si existen, los puntos de inflexión de f. MATEMÁTICAS II. 2012. JUNIO. EJERCICIO 1. OPCIÓN A.


R E S O L U C I Ó N Aplicamos la regla de L’Hôpital

20 0

0 cos 1lim lim0 2 0

x x x

x x

a sen x x e a x e x e ax x→ →

⋅ − ⋅ ⋅ − + ⋅ −= = =

Como el limite es finito, se tiene que cumplir que: 1 0 1a a− = ⇒ = , para que vuelva a salir 00

y

podamos seguir aplicando L’Hôpital

20 0 0

1 0 1 cos 0 2lim lim lim 10 2 0 2 2

x x x x x x

x x x

sen x x e x e x e sen x e e x ex x→ → →

⋅ − ⋅ ⋅ − − ⋅ − − − − ⋅ −= = = = = = −

Sabiendo que 20lim

x

x

a sen x x ex→

⋅ − ⋅ es finito, calcula el valor de a y el de dicho limite.



Sea la función : (0, )+∞ →f definida por 1( ) ln= +f xx

x , donde ln denota la función

logaritmo neperiano. a) Halla los extremos absolutos de f (abscisas donde se obtienen y valores que se alcanzan) en el

intervalo 1 ,⎡ ⎤⎢ ⎥⎣ ⎦

ee

.

b) Determina la ecuación de la recta tangente a la gráfica de f en el punto de abscisa . =x eMATEMÁTICAS II. 2012. RESERVA 1. EJERCICIO 1. OPCIÓN A


a) Los extremos absolutos pueden estar en:

- Las soluciones de . Calculamos la derivada y la igualamos a cero: '( ) 0f x =

2 2

1 1 1'( ) 0 1 1xf x x yx x x

−= − + = = ⇒ = ⇒ =

- En los puntos donde no es continua o no es derivable. En nuestro caso como es continua y derivable, no hay ningún punto.

- En los extremos del intervalo 1 , ee⎡⎢⎣ ⎦

⎤⎥ . Calculamos los valores de la función en los

extremos del intervalo. 1 1f ee

⎛ ⎞ = −⎜ ⎟⎝ ⎠

; ( ) 1 1f ee

= +

Luego, el máximo absoluto está en 1 , 1ee

⎛ ⎞−⎜ y el mínimo absoluto en ⎟⎝ ⎠

( )1 , 1

b) La ecuación de la recta tangente en el punto de abscisa x e= es:

( ) '( ) ( )y f e f e x e− = ⋅ −

Calculamos: 1 1( ) ln 1f e ee e

= + = +

2 2

1 1 1 1 1'( ) '( ) ef x f e 2x x e e e−

= − + ⇒ = − + =

Sustituyendo, tenemos: 2

1 1( ) '( ) ( ) 1 ( )ey f e f e x e y x ee e

−− = ⋅ − ⇒ − − = −


Sea f la función definida por 22( )

( 1)( 2xf x

x x=

)+ − para 1x ≠ − y 2x ≠

a) Estudia y calcula las asíntotas de la gráfica de f b) Determina los intervalos de crecimiento y de decrecimiento de f c) Calcula, si existe, algún punto de la gráfica de f donde ésta corta a la asíntota horizontal. MATEMÁTICAS II. 2012. RESERVA 1. EJERCICIO 1. OPCIÓN B


a) Asíntota vertical: Son los valores que anulan al denominador, es decir, y . 1x = − 2x =


2

2 2lim 2 22 1x

x yx x→∞

∞= = = ⇒ =

− − ∞


2 2 2

2 2 2 2

4 ( 2) (2 1) 2 2 8'( ) 0 0 ; 4( 2) ( 2)

x x x x x x xf x x xx x x x

⋅ − − − − ⋅ − −= = = ⇒

− − − −= = −

( ), 4−∞ − ( )4, 1− − ( )1,0− ( )0,2 ( )2,∞

Signo f ' ― + + ― ―

Función D C C D D Creciente: ( ) 4, 1 ( 1,0)− − ∪ −

Decreciente: ( ) , 4 (0,2) (2, )−∞ − ∪ ∪ ∞ c) Calculamos si existe punto de corte de la función con la asíntota horizontal.

22

22

2 2 2 2 4 0 22 22

xy x x xx x x xy

⎫= ⎪⇒ = ⇒ + = ⇒− − ⎬ − −⎪= ⎭

= −

Luego, el punto de corte es el ( 2 , 2)−

Sea la función definida por: [ ]: 1,f e → 2( ) 8 ln( )f x x x= − donde ln denota la función logaritmo neperiano. a) Halla los intervalos de crecimiento y de decrecimiento de f. b) Calcula los extremos absolutos y relativos de la función f (abscisas donde se obtienen y valores que se alcanzan). c) Estudia los intervalos de concavidad y convexidad. MATEMÁTICAS II. 2012. RESERVA 2. EJERCICIO 1. OPCIÓN A


a y b) Calculamos la primera derivada y la igualamos a cero:

8' 2 0 2 ; 2y x x xx

= − = ⇒ = = −

( )1,2 ( )2,e

Signo y ' − +

Función D C ↓ mínimo ( )2,4 8ln 2−

La función tiene un mínimo relativo en ( )2, 1'54− . Los extremos absolutos pueden estar en los extremos del intervalo, es decir, en 1x = y x e= . Calculamos los valores de la función en estos puntos. (1 ) 1f = 2( ) 8ln 0 '61f e e e= − = − Luego, el máximo absoluto está en el punto (1 y el mínimo absoluto en el punto ,1) (2, 1'54)− c) Calculamos la segunda derivada y la igualamos a cero:

2

8'' 2 0yx

= + = ⇒ No tiene solución

( )1,e

Signo ''y +

Función Cx Luego, la función es convexa en el intervalo ( )1,e . http://emestrada.wordpress.com

Sea la función definida por: :f → 2( ) ( 1)xf x e x x= − + . a) Calcula: lim ( )

xf x

→−∞ y lim ( )

xf x

→+∞

b) Halla los extremos relativos de f (abscisas donde se obtienen y los valores que se alcanzan, determinando si son máximos o mínimos). c) Determina las abscisas de los puntos de inflexión de la gráfica de f. MATEMÁTICAS II. 2012. RESERVA 2. EJERCICIO 1. OPCIÓN B


a)

22 1 2 1 2lim ( 1) 0 lim lim lim 0x

x x xx x x x

x x xe x xe e e− − −→−∞ →−∞ →−∞ →−∞

− + ∞ − ∞− + = ⋅∞ = = = = = = =

∞ − ∞ ∞2

2lim ( 1)x

xe x x

→+∞− + = ∞


( )2 2' ( 1) (2 1) 0 0 ;x x xy e x x x e e x x x x= − + + − ⋅ = + = ⇒ = = 1−

( ), 1−∞ − ( )1,0− ( )0,∞

Signo y ' + ― +

Función C D C ↓ ↓

Máximo 34,e

⎛ −⎜⎝ ⎠

⎞⎟ mínimo ( )0,1

c) Calculamos la segunda derivada y la igualamos a cero:

( )2 2 3 5'' ( ) (2 1) 3 1 0

2x x xy e x x x e e x x x

− ±= + + + ⋅ = + + = ⇒ =

3 5

,2

⎛ ⎞− −−∞⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

3 5 3 5

,2 2

⎛ ⎞− − − +⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

3 5

,2

⎛ ⎞− +∞⎜ ⎟⎜ ⎟

⎝ ⎠

Signo ''y + ― +

Función Cx Cn Cx ↓ ↓ P.I. P.I.

Luego, en los puntos 3 5

2x

− ±= , hay puntos de inflexión, ya que cambia la curvatura.


Un alambre de longitud 2 metros se divide en dos trozos. Con el primero se forma un rectángulo cuya base es el doble de la altura y con el segundo trozo se forma un cuadrado. Calcula las longitudes de dichos trozos para que la suma de las áreas del rectángulo y el cuadrado resultante sea mínima. MATEMÁTICAS II. 2012. RESERVA 3. EJERCICIO 1. OPCIÓN A.



2min

2 24

xS y−⎛ ⎞= +⎜ ⎟⎝ ⎠

b) Relación entre las variables: 2 2 66xx y y y y y y= + + + = ⇒ =

c) Expresamos la función que queremos que sea mínima con una sola variable.

2 2 2

min2 17 32

4 6 144x x x xS − −⎛ ⎞ ⎛ ⎞= + =⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠6 36+


34 36 36 18' 0144 34 17xS x−

= = ⇒ = =

e) Comprobamos que corresponde a un mínimo

36'' 0144

S mínimo= > ⇒

Luego, las dimensiones son: 18 16; 217 17

x m x= − = m


Sea la función definida por: :f → 2( ) ln( 3 3)f x x x x= + + − donde ln denota la función logaritmo neperiano. a) Halla los intervalos de crecimiento y de decrecimiento y los extremos relativos de f (abscisas donde se obtienen y valores que se alcanzan). b) Determina la ecuación de la recta normal a la gráfica de f en el punto de abscisa 2x = − . MATEMÁTICAS II. 2012. RESERVA 3. EJERCICIO 1. OPCIÓN B


a) Calculamos la primera derivada y la igualamos a cero:

2

2 2

2 3' 1 0 0 ;3 3 3 3

x x xy xx x x x

+ − − 1x= − = = ⇒ = = −+ + + +

( ), 1−∞ − ( )1,0− ( )0,+∞

Signo y ' − + −

Función D C D ↓ ↓ mínimo ( Máximo )1,1− ( )0, ln 3

b) La recta normal en es 2x = − 1( 2) ( 2)'( 2)

y f xf

− − = − ⋅ +−

( 2) 2f − =

2

2

4 2'( ) '( 2) 23 3 4 6 3

x xf x fx x− − − +

= ⇒ − =+ + − +

= −

Sustituyendo en la ecuación, tenemos, 1 62 ( 2)2 2

xy x y +− = ⋅ + ⇒ =


Se considera la función derivable definida por :f →1 1

2( )

1

a si xx

f x ba si xx

⎧ + <⎪ −⎪= ⎨⎪ + ≥⎪⎩

Calcula los valores de a y b. MATEMÁTICAS II. 2012. RESERVA 4. EJERCICIO 1. OPCIÓN A.

R E S O L U C I Ó N Si la función es derivable, primero tiene que ser continua en el punto 1x = , luego:

1

1

lim 1 12

1 2lim

x

x

a ax

a a b a bba a bx

−

+

→

→

⎫+ = − ⎪− ⎪⇒ − = + ⇒ + =⎬⎪+ = +⎪⎭

1

Calculamos la función derivada: 2 1

( 2)'( )

12

a si xx

f xb si x

x x

⎧− <⎪ −⎪= ⎨⎪− ≥⎪⎩

Como es derivable en 1x = , se cumple que:'(1 )

1 22'(1 )

2

af a ba bbf

−

+

⎫= − = − ⎪⎪⇒ − = − ⇒ =⎬⎪= −⎪⎭

a

Resolviendo el sistema formado por las dos ecuaciones, tenemos que: 1 1;4 2

a b= =


De entre todos los triángulos rectángulos de hipotenusa 10 unidades, determina las dimensiones del de área máxima. MATEMÁTICAS II. 2012. RESERVA 4. EJERCICIO 1. OPCIÓN B.


a) Función que queremos que sea máximo: max 2

x yS ⋅=

b) Relación entre las variables: 2 2 100 100 2x y y+ = ⇒ = − x c) Expresamos la función que queremos que sea máximo con una sola variable.

2 2

max100 100

2 2 2

4x x xx yS− −⋅

= = =x


3

2 4 2

max 2

200 42 100 50' 0

2 100

x xx x xS x

x

−

− −= = = ⇒

−50=


2 2

2 2

2 2

22 100 2 1002 100 100

''100 100

x xx x x xx x

Sx x

−− − − − − +

− −= =

− −

502 50 100 50

100 50 100 1''( 50) 0100 50 50

S x Máximo− − +

− − += = = < ⇒

−

Luego, las dimensiones son: 50 ; 50x y= = http://emestrada.wordpress.com

Sea la función continua definida por :f → 2

2

0( ) 1 0

x

x k si xf x e si x

x

+ ≤⎧⎪= ⎨ −

>⎪⎩

.

a) Calcula el valor de k. b) Halla la ecuación de la recta tangente a la gráfica de la función f en el punto de abscisa 1x = . MATEMÁTICAS II. 2012. SEPTIEMBRE. EJERCICIO 1. OPCIÓN A.

R E S O L U C I Ó N a) Como la función es continua se cumple que los límites laterales en 0x = son iguales, luego:

2 22

0

20 0 0

lim

11 0 2lim lim lim 10 2

x

x xx

x x x

x k k

ke x e ex x

−

+ + +

→

→ → →

+ = ⎫⎪⇒ =⎬− ⋅ ⎪= = = =

⎭

b) La ecuación de la recta tangente en el punto de abscisa 1x = es:

(1) '(1) ( 1)y f f x− = ⋅ −

Calculamos: 1 1(1) 11

ef e−= = −

2 2 2 22 2

4 3

2 2 ( 1) 2 2 ( 1)'( ) '(1) 2 2 2 2x x x xx e x x e e x ef x f e e

x x⋅ ⋅ − ⋅ − ⋅ ⋅ − ⋅ −

= = ⇒ = − + =

Sustituyendo, tenemos:

(1) '(1) ( 1) ( 1) 2( 1) 2 2 1 2 3y f f x y e x y x e x e− = ⋅ − ⇒ − − = − ⇒ = − + − = + −


Sea la función f definida por ( )1

xef xx

−

=−

para 1x ≠ .

a) Estudia las asíntotas de la gráfica de la función f. b) Halla los extremos relativos (abscisas donde se obtienen y los valores que alcanzan) y los intervalos de crecimiento y de decrecimiento de f. MATEMÁTICAS II. 2012. SEPTIEMBRE. EJERCICIO 1. OPCIÓN B.


a) Asíntota vertical: Son los valores que anulan al denominador, es decir, 1x = .

Asíntota horizontal: 0lim 0 01

x

x

e yx

−

→∞= = ⇒ =

− ∞

1lim lim1 1

x x

x x

e e NOx

− −

→−∞ →−∞

∞ − ⋅= = = ∞⇒

− ∞ −


2 2

1 (1 ) ( 1)'( ) 0 0(1 ) (1 )

x x xe x e x ef x xx x

− − −− ⋅ − − − ⋅ ⋅= = =

− −⇒ =

( ),0−∞ ( )0,1 ( )1,∞

Signo f ' ― + +

Función D C C Creciente: ( ) 0,1 (1, )∪ ∞

Decreciente: ( ),0−∞

Mínimo: ( ) 0,1




2013

MATEMÁTICAS II

TEMA 4: FUNCIONES















30

cos 0lim0x

x x b sen xx→

+= ⇒Aplicamos la regla de L’Hopital

3 20 0

cos 0 cos cos 1lim lim0 3 0x x

x x b sen x x x sen x b x bx x→ →

+ − + += = =

Como dice que es finito, entonces, 1 0 1b b+ = ⇒ = − y podemos seguir aplicando la regla de L’Hopital.

20 0 0

0

cos cos 0 cos cos 0lim lim lim3 0 6 6 0

cos cos 2 1lim6 6 3

x x x

x

x x sen x x sen x sen x x x sen x sen x x xx x x

x xsen x→ → →

→

− − − − − + − −= = = = =

− − += = − = −

Sabiendo que 30

cos( ) ( )limx

x x b sen xx→

+ es finito, calcula b y el valor del límite.



R E S O L U C I Ó N a) Si la función es derivable, primero tiene que ser continua en el punto 0x = , luego:

0

0

lim 2 22

lim

x

x

x

x ea b

a b x a b

−

+

−

→

→

⎫+ =⎪⇒ =⎬

− = ⎪⎭


'( )0 1

2

xe si xf x a si x

b x

−⎧ − ≤⎪= ⎨− < <⎪ −⎩

Como es derivable en 0x = , se cumple que:'(0 ) 1

1 2'(0 ) 2

2

fa b aaf b

b

−

+

⎫= −⎪⇒ − = − ⇒ =⎬= − ⎪⎭

Resolviendo el sistema formado por las dos ecuaciones, tenemos que: 2 ; 1a b= = b) La recta tangente en 0x = , es: (0) '(0) ( 0)y f f x− = ⋅ − . - (0) 2f = - '( ) 1 2 '(0) 1 2 1xf x e f−= − ⇒ = − = − Sustituyendo, tenemos: 2 1 ( 0) 2y x y x− = − ⋅ − ⇒ = − +

La recta normal en 0x = es 1(0) ( 0)'(0)

y f xf

− = − ⋅ −

Sustituyendo, tenemos: 2 1 ( 0) 2y x y x− = ⋅ − ⇒ = +

Sea : ( ,1)f −∞ → la función definida por 2 0

( )0 1

xx e si xf x

a b x si x

−⎧ + ≤⎪= ⎨− < <⎪⎩

a) Determina a y b sabiendo que f es derivable en todo su dominio. b) Halla la ecuación de la recta tangente y de la recta normal a la gráfica de f en el punto de abscisa 0x = MATEMÁTICAS II. 2013. JUNIO. EJERCICIO 1. OPCIÓN B.



a) La recta 2 4y x= − es la asíntota oblicua de la función, luego:

3

32 2

3 2 2

( ) 22 lim lim lim 22x x x

mxg x mxx n nx m m

x x x n x nx→∞ →∞ →∞

∞+ −= = = = = ⇒ =+ − ∞

[ ]3 3 3 2 2

2 2 2 2

2 2

2 2

2 2 2 2 44 lim ( ) 2 lim 2 lim2 2

2 4lim 4 12

x x x

x

x x x n x nxg x x xx n nx x n nx

n x nx n nx n nx

→∞ →∞ →∞

→∞

⎡ ⎤ − − +− = − = − = =⎢ ⎥+ − + −⎣ ⎦

− + ∞= = = ⇒ = −

+ − ∞

b) La gráfica es simétrica respecto al origen si se cumple que: ( ) ( )g x g x= − .

3

2

2( )( 1)

xg xx

=+

3 3

2 2

2( ) 2( ) ( )( 1) ( 1)

x xg x g xx x−

− = = − ≠ ⇒− + − +

No es simétrica respecto al origen.

Sea g la función definida por 3

2( )( )

mxg xx n

=−

para x n≠ .

a) Halla m y n sabiendo que la recta 2 4y x= − es una asíntota de la gráfica de g. b) Determina si la gráfica de g es simétrica respecto al origen. MATEMÁTICAS II. 2013. RESERVA 1. EJERCICIO 1. OPCIÓN A.


R E S O L U C I Ó N Nos dan la función: 3 2( )f x x ax bx c= + + + . Calculamos su derivada primera y segunda:

2'( ) 3 2 ; ''( ) 6 2f x x ax b f x x a= + + = + - Punto de inflexión en 1 ''(1) 0 6 1 2 0 3x f a a= ⇒ = ⇒ ⋅ + = ⇒ = −

- Mínimo relativo en (2, 9)− ⇒(2, 9) 8 12 9 5

'(2) 0 3 4 12 0 0Pasa por c cf b b

− ⇒ − + = − ⇒ = −⎧⎨ = ⇒ ⋅ − + = ⇒ =⎩

Los valores son: 3 23 ; 0 ; 5 ( ) 3 5a b c f x x x= − = = − ⇒ = − −

Sea :f → la función definida por 3 2( )f x x ax bx c= + + + . Se sabe que un punto de inflexión de la gráfica de f tiene de abscisa 1x = y que f tiene un mínimo relativo en 2x = de valor 9− . Calcula a, b y c. MATEMÁTICAS II. 2013. RESERVA 1. EJERCICIO 1. OPCIÓN B.



a) Función que queremos que sea máxima: max 4 2P x y= + b) Relación entre las variables: 2 2 25 5x y y x= + ⇒ = −

2max 4 2 4 2 5P x y x x= + = + −

c) Derivamos e igualamos a cero:

max 2

2' 4 2 0 22 5

xP xx

−= + = ⇒ = ±

−

d) Comprobamos que corresponde a un máximo

22

2

max max2

22 55

'' '' ( 2) 10 05

xxx

P P xx

− − −−

= ⇒ = = − <−

corresponde a un máximo

Luego, las dimensiones del rectángulo son base 2 4x cm= = ; altura 1y cm= =

Un rectángulo está inscrito en un semicírculo de 5 cm. de radio, de forma que uno de sus lados está contenido en el diámetro del semicírculo y el lado opuesto tiene sus vértices sobre la semicircunferencia. Calcula las dimensiones del rectángulo sabiendo que es el de mayor perímetro posible. MATEMÁTICAS II. 2013. RESERVA 2. EJERCICIO 1. OPCIÓN A


R E S O L U C I Ó N Calculamos su derivada primera y segunda:

2'( ) 3 2 ; ''( ) 6 2f x x ax b f x x a= + + = + - Punto de inflexión en 1 ''(1) 0 6 1 2 0 3x f a a= ⇒ = ⇒ ⋅ + = ⇒ = − - f y la normal pasan por 0 (0) (0) 3 3x f y c= ⇒ = = − ⇒ = − .

- La pendiente de la recta normal es 11 1'(0)

bf

− = − ⇒ =

Considera la función :f → dada por 3 2( )f x x ax bx c= + + + . Determina a, b y csabiendo que la recta normal a la gráfica de f en el punto de abscisa 0x = es 3y x+ = − y que el punto de inflexión tiene abscisa 1x = . MATEMÁTICAS II. 2013. RESERVA 2. EJERCICIO 1. OPCIÓN B



1

1limln 0x

xx+→= = ∞⇒ Asíntota vertical 1x =

1lim lim 1lnx x

xx

x→∞ →∞

∞= = = ∞⇒∞

No tiene asíntota Horizontal

Asíntota oblicua: y mx n= +

1 1lnlim lim 0lnx x

xxm

x x→∞ →∞= = = = ⇒

∞ No tiene asíntota oblicua

b) Calculamos : ( )lnef e ee

= =

2 2 2

11 ln ln 1 ln 1'( ) '( ) 0(ln ) (ln ) (ln )

x x x exf x f ex x e

⋅ − ⋅ − −= = ⇒ = =

Luego, la recta tangente es: ( ) '( ) ( ) 0 ( )y f e f e x e y e x e y e− = ⋅ − ⇒ − = ⋅ − ⇒ =

La ecuación de la normal es: 1 1( ) ( ) ( )'( ) 0

y f e x e y e x e x ef e

− = − ⋅ − ⇒ − = − ⋅ − ⇒ =

Sea f la función definida por ( )ln ( )

xf xx

= para 0 , 1x x> ≠ (donde ln denota el logaritmo

neperiano). a) Estudia y determina las asíntotas de la gráfica de f. b) Calcula la ecuación de la recta tangente y de la recta normal a la gráfica de f en el punto de abscisa x e= . MATEMÁTICAS II. 2013. RESERVA 3. EJERCICIO 1. OPCIÓN A



- Pasa por (0,2) 2 2(0 )(0 1)

k k k aa a

⇒ = = ⇒ =− −

- 2x = es una asíntota vertical, que son los valores que anulan al denominador, luego 2a = Por lo tanto, 2a = y 4k =

b) La función es: 2

4 4( )( 2)(2 1) 2 5 2

f xx x x x

= =− − − +

Calculamos la primera derivada y la igualamos a cero.

2 2

4 (4 5) 5'( ) 0(2 5 2) 4

xf x xx x− −

= = ⇒ =− +

1,

2⎛ ⎞−∞⎜ ⎟⎝ ⎠

1 5,2 4

⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

5 , 24

⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

( )2,∞

Signo f ' + + ― ―

Función C C D D ↓

máximo 5 32,4 9

⎛ ⎞−⎜ ⎟⎝ ⎠

Sea f la función definida por ( )( )(2 1)

kf xx a x

=− −

para x a≠ y 12

x ≠ .

a) Halla a y k sabiendo que la gráfica de f pasa por el punto (0, 2) y que la recta 2x = es una asíntota de dicha gráfica. b) Para 4k = y 2a = , halla los extremos relativos de f (abscisas donde se obtienen y valores que se alcanzan) y sus intervalos de crecimiento y de decrecimiento. MATEMÁTICAS II. 2013. RESERVA 3. EJERCICIO 1. OPCIÓN B



a) Función que queremos que sea máxima: max 2S xy=

b) Relación entre las variables: 4 4 12 412 3 43 3

y xy x yx− −

= ⇒ − = ⇒ =

2

max12 4 24 82 2

3 3x x xS xy x − −

= = =

c) Derivamos e igualamos a cero:

max24 16 24 3' 0

3 16 2xS x−

= = ⇒ = =

d) Comprobamos que corresponde a un máximo

max16'' 03

S −= < ⇒ corresponde a un máximo independientemente del valor de x

Luego, las dimensiones del rectángulo son base 2 3x m= = ; altura 2y m= =

Halla las dimensiones del rectángulo de área máxima inscrito en un triángulo isósceles de 6 metros de base (el lado desigual) y 4 metros de alto. MATEMÁTICAS II. 2013. RESERVA 4. EJERCICIO 1. OPCIÓN A



a)

11

1 12

0 0 0 02

1


xx

x x

x x x x

ee xxe e

x x+ + + +→ → → →

⎛ ⎞−⎜ ⎟∞ ⎝ ⎠= ⋅∞ = = = = = ∞∞ −

1

0lim 0x

xxe

−→=

b)

Asíntota vertical: 0x = 1

11 12

0 0 0 0

2

1


xx

x x

x x x x

ee xxe e

x x

+ + + +→ → → →

⎛ ⎞−⎜ ⎟∞ ⎝ ⎠= ⋅∞ = = = = = ∞⇒∞ −

Asíntota vertical para 0x +→

1

0lim 0x

xxe

−→= ⇒ No tiene asíntota vertical para 0x −→

Asíntota horizontal: No tiene

1

lim 1xx

xe→∞

= ∞ ⋅ = ∞ ⇒No tiene asíntota Horizontal para x → +∞ 1

lim 1xx

xe→−∞

= −∞ ⋅ = −∞⇒No tiene asíntota Horizontal para x → −∞


1

10lim lim 1

xx

x x

xem e ex→∞ →∞

= = = = 1

11 1 12

2

11lim lim 1 0 lim lim lim 1

1 1

xx

x x xx x x x x

ee xn xe x x e e

x x→∞ →∞ →∞ →∞ →∞

⎛ ⎞−⎜ ⎟⎛ ⎞ ⎛ ⎞ − ⎝ ⎠= − = − = ∞ ⋅ = = = =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ −


( ) xf x xe= para 1, 0x x≥ − ≠ a) Calcula los límites laterales de f en 0x = . b) Estudia y determina las asíntotas de la gráfica de f. MATEMÁTICAS II. 2013. RESERVA 4. EJERCICIO 1. OPCIÓN B


Calculamos el valor de la altura del triángulo equilátero aplicando Pitágoras:

2 2 2 2 2 333 6 9 36 36 6

xx x x x xh ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= − = − = =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

a) Función que queremos que sea mínima:

( ) 22 2 2

min

39 4 3 180 900310 100 203 6

2 4 36 16 144

xxx xxx x xS

⋅ + − +− + −⎛ ⎞= + = + =⎜ ⎟⎝ ⎠

b) Derivamos e igualamos a cero:

( ) ( )( )min

2 9 4 3 180 9 4 3 90 90' 0 5'65144 72 9 4 3

x xS x

+ − + −= = = ⇒ = =

+

Luego, las dimensiones de los trozos son: 5 '65 ; 10 4 '35x m x m= − =

Un alambre de 10 metros de longitud se divide en dos trozos. Con uno de ellos se forma un triángulo equilátero y con el otro un cuadrado. Halla la longitud de dichos trozos para que la suma de las áreas sea mínima. MATEMÁTICAS II. 2013. SEPTIEMBRE. EJERCICIO 1. OPCIÓN A.



2

12

4 4 3

12 2 2ln 2 (1 2ln ) 2(1 2ln ) 1'( ) 0 ln2

x x x x x xxf x x x ex x x

⋅ ⋅ − ⋅ − −= = = = ⇒ = ⇒ =

1

20,e⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

12 ,e

⎛ ⎞∞⎜ ⎟

⎝ ⎠

Signo f ' + −

Función C D

Creciente: 120,e

⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

Decreciente: 12 ,e

⎛ ⎞∞⎜ ⎟

⎝ ⎠

Máximo: 12 1,e

e⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

b) Asíntota vertical: Son los valores que anulan al denominador, es decir, 0x = .


122ln 1lim lim lim 0 02x x x

x x yx x x→+∞ →+∞ →+∞

⋅∞= = = = ⇒ =∞

Asíntota oblicua: No tiene, ya que tiene horizontal

Sea : (0, )f + ∞ → la función f definida por 2

2 ln( )( ) xf xx

= (donde ln denota el logaritmo

neperiano). a) Determina los intervalos de crecimiento y de decrecimiento y los extremos relativos de f(abscisas donde se obtienen y valores que se alcanzan). b) Estudia y determina las asíntotas de la gráfica de f. MATEMÁTICAS II. 2013. SEPTIEMBRE. EJERCICIO 1. OPCIÓN B.


PROBLEMAS RESUELTOS


2014

MATEMÁTICAS II

TEMA 4: FUNCIONES















a) Calculamos la derivada primera y segunda de la función:

2'( ) 3 2 ; ''( ) 6 2f x x ax b f x x a

- Punto de inflexión en 1 1 1 3

'' 0 6 2 02 2 2 2

x f a a

- La recta tangente a la gráfica de f en el punto de abscisa 0x tiene de pendiente 6

2'(0) 6 3 0 2 0 6 6f a b b

- La función pasa por el punto (0,5) (0) 5 5f c

b) Calculamos los máximos y los mínimos de la función: 3 2( ) 3 9 8f x x x x

Calculamos la primera derivada y la igualamos a cero:

2'( ) 3 6 9 0 1 ; 3f x x x x x

, 3 3,1 1,

Signo f ' + +

Función C D C

Creciente: , 3 (1, )

Decreciente: 3,1

Máximo: 3,35

Mínimo: 1,3

Sea :f definida por 3 2( )f x x ax bx c

a) Halla a, b y c para que la gráfica de f tenga un punto de inflexión de abscisa 1

2x y que la

recta tangente en el punto de abscisa 0x tenga por ecuación 5 6y x .

b) Para 3a , 9b y 8c , calcula los extremos relativos de f (abscisas donde se obtienen y

valores que se alcanzan).




a) Función que queremos que sea máximo es: 2

min 2S r r h


2

125125V r h h

r


2 2 2

min 2

125 2502 2S r r h r r r

r r

d) Derivamos e igualamos a cero 3

3min 2 2

250 2 250 250' 2 0 3'41

2

rS r r m

r r

e) Comprobamos que corresponde a un mínimo: 2 2 3 3

min 4 3

6 2 (2 250) 2 500''

r r r r r rS

r r

3

3

2 (3'41) 500(3'41)''( 3'41) 0

(3'41)S r

Mínimo

Luego, las dimensiones del depósito son: 3'41r m y 2

1253'41

(3'41)h m

Se desea construir un depósito en forma de cilindro recto, con base circular y sin tapadera, que

tenga una capacidad de 125 3

m . Halla el radio de la base y la altura que debe tener el depósito

para que la superficie sea mínima.




1 1 1 1

1ln

ln 0 ln 1 1lim lim lim lim

1 11 ln ( 1) ln 0 0ln ( 1) ln

x x x x

x x ax a x x ax a x a ax

xx x x xx x x

x x

Como nos dicen que el límite existe y es finito, el numerador debe de ser igual a cero para poder

seguir aplicando la regla de L’Hôpital, luego: 1 0 1a a .

Calculamos el límite:

1 1 1

2 2

1 1

ln 1 1 0 1 1lim lim lim

1 1 1 ( 1) 1 10 1 1 2ln

x x x

x x xx x x

xx x x x x

Sabiendo que 1

lim1 lnx

x a

x x

es finito, calcula a y el valor del límite (ln denota el logaritmo

neperiano).




a) La función es derivable, luego, tiene que ser continua.

0 0

0

0lim lim 1

2 0 2 1

lim

x x x x

x x

x

e e e e

x b

ax b b

Calculamos 2

( ) 2 2( )0

'( ) 4

0

x x x xe e x e esi x

f x x

a si x

Calculamos '(0 )f aplicando L’Hôpital:

2 20 0

0 0

0

0 ( ) 2 2( ) (2 2) (2 2) 0'(0 ) lim lim

0 4 4 0

(2 2) 2 (2 2) 2 2 2 0lim lim

8 8 0

2 2 2 2 0lim 0

8 8

x x x x x x

x x

x x x x x x

x x

x x x x

x

e e x e e e x e xf

x x

e x e e x e xe xe

x x

e xe e e

Calculamos '(0 )f : '(0 )f =a

Como es derivable se cumple que: '(0 ) '(0 ) 0f f a

b) La ecuación de la recta tangente en 1x es ( 1) '( 1) ( 1)y f f x

1 2 1

( 1)2 2

e e ef

1 11( ) ( 2) ( ) 2 1

'( 1)4

e e e ef e

e

Luego la recta tangente en 1x es 2 21 1 1 1

( 1) ( 1)2 2

e ey x y x

e e

Considera la función derivable :f definida por 0

( ) 2

0

x xe e

si xf x x

ax b si x

a) Calcula a y b.

b) Halla la ecuación de la recta tangente a la gráfica de f en el punto de abscisa 1x .




a) La pendiente de la recta tangente es máxima en el punto de inflexión. Luego vamos a calcular los

puntos de inflexión de esta función.

2 2

2 1 1 1'

4 2y

x x x x

3 2

1 1'' 0 0 ; 1y x x

x x

El valor 0x no está en el dominio, por lo tanto, sólo sirve el valor 1x , es decir, el punto que

nos piden es: 1

1,2

.

b) La ecuación de la recta normal en el punto 1x , es: 1

(1) ( 1)'(1)

y f xf

Sustituyendo los valores de 1

(1)2

f y 1 1

'(1) 12 2

f , tenemos:

1 1 1 1(1) ( 1) ( 1) 2 2 4 2 5 0

1'(1) 2 2

2

y f x y x y x x yf


( ) ln2

f x xx

para 0x

a) Determina el punto de la gráfica de f en el que la pendiente de la recta tangente es máxima

b) Halla la ecuación de la recta normal a la gráfica de f en el punto de abscisa 1x .




Calculamos la derivada de la función: 2'( ) 3 2f x x bx c

- Máximo relativo en 21 '( 1) 0 3 ( 1) 2 ( 1) 0 2 3x f b c b c

- 3 2

1 1

( ) 1lim 4 lim

1 1 0x x

f x x bx cx d b c d

x x

Como nos dicen que el límite existe y vale 4, el numerador debe de ser igual a cero para poder

seguir aplicando la regla de L’Hôpital, luego: 1 0b c d .


3 2 2

1 1 1

( ) 0 3 2lim 4 lim lim 3 2 4

1 1 0 1x x x

f x x bx cx d x bx cb c

x x

Resolvemos el sistema formado por las tres ecuaciones que hemos obtenido:

2 3

1 1 ; 1 ; 1

2 1

b c

b c d b c d

b c

Luego, la función es: 3 2( ) 1f x x x x

Sea :f la función definida por 3 2( )f x x bx cx d . Halla b, c y d sabiendo que f

tiene un máximo relativo en 1x y que 1

( )lim 4

1x

f x

x




Como0

tan 0lim

0x

x senx

x sen x

, le aplicamos la regla de L’Hôpital

3 22

2 3 20 0 0 0

2

20

1cos

tan 0 1 cos 0 3coscoslim lim lim lim0 1 cos cos cos 0 2cos 3cos

3cos 3lim 3

2cos 3cos 2 3

x x x x

x

xx senx x x sen xx

x sen x x x x x sen x x sen x

x

x x

Calcula 0

tanlimx

x sen x

x sen x




a) La función22( ) xf x x e , no tiene asíntota vertical ya que su dominio es .

Vamos a ver si tiene asíntota horizontal

2 2 2 2

2

2

2 2 2lim lim lim 0

2 2 4x x x xx x x

x x

e x e e x e

Por lo tanto, la asíntota horizontal es 0y .

Como tiene asíntota horizontal, no puede tener asíntota oblicua.

b) Calculamos la primera derivada y la igualamos a cero: 2 2

2 2

2 3

2

2 2 2 2' 0 0 ; 1 ; 1

( )

x x

x x

x e x e x x xy x x x

e e

( , 1) ( 1,0) (0,1) (1, )

Signo y ' + ― + ―

Función C D C D

Máximo 1

1,e

mínimo (0,0) Máximo1

1,e

c)

Considera la función :f definida por 22

( )x

f x x e

a) Estudia y determina las asíntotas de la gráfica de f.

b) Halla los intervalos de crecimiento y de decrecimiento y los extremos relativos (abscisas

donde se obtienen y valores que se alcanzan).

c) Esboza la gráfica de f.




a) Función que queremos que sea mínima: 2 2h x y .


82

x yy

x


2 4

2 2 2

2

16 256xh x y x

x x


3 2 4

44

4 2 4

2

4 2 ( 256)

256' 0 4

256 2562

x x x x

xxh xx x x

x

Como es una longitud tomamos el valor positivo 4x


3

3 2 4 4 2 4

4

4 4

44 256 2 256 ( 256)

2 256''

( 256)

xx x x x x x x

xh

x x

4096256 16 512 8 512 0

2 512''( 4) 0

256 512h x

Mínimo

Luego, las dimensiones de los catetos son: 4 ; 4x cm y cm

De entre todos los triángulos rectángulos de área 8 2

cm , determina las dimensiones del que

tiene la hipotenusa de menor longitud.




a) Si la función es derivable en 1x , primero tiene que ser continua en dicho punto, luego:

1

1

lim 1

1 1lim ln

x

x

a x a

a b a bbx b

x


2

1 1

'( ) 11

si x

f x bsi x

x x

Como es derivable en 1x , se cumple que: '(1 ) 1

1 1 2'(1 ) 1

fb b

f b

Sustituyendo en la ecuación anterior, tenemos que: 1 1 2 3a b a

b) Como es derivable, los extremos absolutos se encuentran en 0x , x e y en los puntos donde

se anula '( )f x .

- '(0) 1 0f No puede haber máximo o mínimo

- 2

2

2 1'(0) 0 2 0 0 ; 2f x x x x

x x

- 0 (0) 3x f

- 2 (2) 1 ln 2x f

- 2

( ) 1x e f ee

Luego, el mínimo absoluto está en el punto 2,1 ln 2 y el máximo absoluto en el punto 0,3

Sea :f la función derivable definida por:

1

( )ln 1

a x si x

f x bx si x

x

donde ln denota

el logaritmo neperiano

a) Calcula a y b.

b) Para 3a y 2b calcula los extremos absolutos de f en el intervalo 0,e (abscisas donde

se obtienen y valores que se alcanzan)




Resolvemos la indeterminación aplicando la regla de L’Hôpital

0 0

cos(3 ) 0 3 3 1lim lim

( ) 0 cos 0

x x

x x

x e ax sen x e a a

x sen x sen x x x

Como nos dicen que el límite existe y, es finito, el numerador debe de ser igual a cero para poder

seguir aplicando la regla de L’Hôpital, luego: 1 0 1a a .


0 0 0

cos(3 ) 4 0 3 3 4 0 9cos3 10lim lim lim 5

( ) 0 cos 0 cos cos 2

x x x

x x x

x e x sen x e x e

x sen x sen x x x x x x sen x

Sabiendo que 0

cos(3 )lim

( )

x

x

x e ax

x sen x

es finito, calcula a y el valor del límite.

MATEMÁTICAS II. 2014. SEPTIEMBRE. EJERCICIO 1. OPCIÓN A.




min

1 1xS x

x x

b) Derivamos e igualamos a cero:

2 2 2

min 2 2

2 1 1´ 0 1 ; 1

x x xS x x

x x

c) Comprobamos el valor que corresponde a un mínimo.

2 2

min 4 3

2 2 ( 1) 2´́

x x x xS

x x

min 3

2´́ ( 1) 2 0

1S x Mínimo

Luego, el número que nos piden es: 1x

De entre todos los números reales positivos, determina el que sumado con su inverso da suma

mínima.


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