TEORIA DE MAQUINAS

PROBLEMAS DE RESISTENCIAS PASIVAS

RP1

Un cilindro de acero, cuyo radio es r (5 cm), está situado entre dos guías paralelas.

La guía inferior está fija y la superior puede trasladarse en línea recta, quedándose paralela

a su posición inicial. La guía superior tiene un peso P1 (100 Kp) y el cilindro P2 (60 Kp).

Los coeficientes de resistencia a la rodadura entre el cilindro y las guías superior e inferior

son fr1 = 3 mm y fr2 = 5 mm respectivamente.

Determinar la fuerza máxima T aplicada a la guía superior con la cual el cilindro

todavía permanecerá en reposo.

T

r

SOLUCIÓN RP1

Consideremos el equilibrio del cilindro, omitiendo las guías superior e inferior y

reemplazándolas por sus reacciones

Sobre el cilindro actúan

N1 : reacción normal de la guía superior.

T1 : fuerza de rozamiento en la guía superior.

N2 : reacción normal de la guía inferior.

T2 : fuerza de rozamiento en la guía inferior.

Resulta entonces, aplicando equilibrio de fuerzas:

( )( )[ ]

rfPPfP

T

fPPfPfNfNrTrTTTT

PPPNNPN

rr

rrrr

222111

22111221112

21

21212

11

⋅++⋅=

⋅++⋅=⋅+⋅=⋅+⋅==

+=+==

Sustituyendo los valores numéricos: T = 107.91 N = 11 Kp

RP2

Un rodillo de radio r y de peso Q es mantenido en equilibrio sobre un plano

inclinado, que forma un ángulo a con la horizontal, por medio de un cable que pasa por

encima de la polea A. En el otro extremo del cable está suspendida una masa de peso P. El

coeficiente de resistencia a la rodadura del rodillo es igual a fr .

Determinar los valores mínimo y máximo del peso P con los cuales el rodillo

quedará en equilibrio. Hallar el valor mínimo del coeficiente de rozamiento de

deslizamiento µ con el cual , en caso de movimiento, el rodillo rodará sin deslizamiento.

α

A

P

SOLUCIÓN RP2

Se considera el equilibrio del rodillo en dos casos:

a) P tiene el valor mínimo. El sentido del posible movimiento del rodillo es hacia

abajo.

Según el esquema de fuerzas representado en la figura,

se toman momentos respecto al punto C

RPQfRQ minr ⋅=⋅⋅−⋅ αα cossen

por tanto

( )[ ]aRfaQP rmin cossen −⋅=

b) P tiene el valor máximo. El rodillo tiende a subir por el plano.

Según el esquema de fuerzas representado en la figura,

se toman momentos respecto al punto C

RPQfRQ maxr ⋅=⋅⋅+⋅ αα cossen

por tanto

( )[ ]aRfaQP rmax cossen +⋅=

El valor del coeficiente de resistencia al deslizamiento mínimo, para que exista

rodadura pura es:

- En el caso de encontrarnos en la situación (a), Pmin

( )( ) ( )

( )

Rf

NRfNNFNRfQRfF

QFQRfQQFP

rmin

r

rr

r

min

=

≥⇒≤==

=+−=+

µ

µµα

αααα

;cos

sencossensen

que es la condición de rodadura pura.

- En el caso de encontrarnos en la situación (b), Pmax

( )( ) ( )

( )

Rf

NRfNNFNRfQRfF

QFQRfQQFP

rmin

r

rr

r

max

=

≥⇒≤==

+=++=

µ

µµα

αααα

;cos

sencossensen

condición de rodadura pura.

RP3

Se pretende hacer subir por un plano inclinado los dos cilindros de la figura.

Calcular el valor mínimo de la fuerza F necesaria para poner en movimiento el conjunto.

Datos:

- Peso de cada cilindro = P

- Angulo de inclinación del plano = a

- Coeficiente de deslizamiento entre cilindros = µ

- Coeficiente de resistencia a rodadura cilindro-suelo = d

F

C

1

2

SOLUCIÓN RP3

Ecuaciones de equilibrio del cilindro1

11

1

1

0

cos0

sen0

NdFrFrM

FNPF

FPNFF

rcr

rcy

rcx

⋅+⋅=⋅⇒=

+=⇒=

++=⇒=

∑∑∑

α

α

Para el cilindro2

22

2

2

0

cos0

sen0

rrc

rcy

rcx

FrNdFrM

NFPF

FPNF

⋅=⋅+⋅⇒=

=+⇒=

+=⇒=

∑∑∑

α

α

En el contacto C se produce deslizamiento, luego

crc NF ⋅= µ

Sustituyendo en ∑ = 0M para el cilindro2

( ) ( )( ) ( )( ) ( ) αµαµµµ cos1cos22 rdPrdNPNrdNNrdNF ccccr ++⋅=+⋅+⋅=+⋅=

Sustituyendo en ∑ = 0xF para el cilindro2

( )( ) ( )( )( )( ) ( )( )

( )( )( )( )( )

crc

c

c

cc

NFrd

rdPN

rdPrdN

PrdPrdNN

⋅=+⋅−

+=

+=+⋅−

+++⋅=

µµ

αα

ααµ

ααµ

11

sencos

sencos11

sencos1

Sustituyendo en las ecuaciones de equilibrio en A

( )1

11

1

sen

cos

rc

rcr

rc

FPNF

NrdFF

FPN

++=

+=

−=

α

α

Comprobación de no deslizamiento en 2

22

2 cos

r

rc

FN

FPN

>⋅

+=

µ

α

Comprobación de no deslizamiento en 1

11 rFN >⋅µ

RP4

Si con un tractor tratamos de arrastrar un bloque por una rampa del 10%, calcular:

1.- Par mínimo que debemos aplicar en la rueda motriz trasera del tractor para

iniciar el movimiento.

2.- Par máximo que se puede aplicar en la rueda motriz del tractor para iniciar el

movimiento sin que las ruedas patinen.

NOTA: La cadena que arrastra el bloque está en la prolongación de la línea que une

los centros de las ruedas.

DATOS:

- Peso del bloque = 10000 N

- Coef. rozamiento bloque-terreno = 1.2

- Coef. rozamiento rueda-terreno = 3

- Peso sobre el eje trasero = 20000 N

- Peso sobre el eje delantero = 15000 N

- Radio de las ruedas = 0.7 m

- Coef. de resistencia a rodadura rueda-terreno = 50 mm.

SOLUCIÓN RP4

Equilibrio en el eje delantero (tomando momentos en el punto A)

QPdsenα

PdcosαPd

Nd

Frd

A

NQ

PRd

NQ

RQPRNd

NN

PN

dd

dd

d

dd

6.2558

sen

sen

6.14925

cos

=

+=

⋅=⋅+⋅

=

=

α

α

α

Equilibrio en el bloque

TPbsenα

PbcosαPb

Nb

Frb

( )NT

PT

PFFPT

b

brb

rbb

12935

cossen

cossen

=

⋅+=

⋅=+=

αµα

αµα

Equilibrio en el eje trasero (tomando momentos en el punto B)

QPtsenα

PtcosαPt

NtFrt

B

T

Mm

( )NmM

dRPM

NmM

PdRFM

NF

PTQF

max

tmax

m

trtm

rt

trt

42785

cos

13233

cos

6.17483

sen

=

+⋅=

=

⋅+=

=

++=

µα

α

α

RP5

SOLUCIÓN RP5

a) Condición de deslizamiento Fr < Ph

º10tg

º10senº10cos

<

=⋅=⋅=⋅=

µ

µµµPP

PPNF

h

nr

Como 0.18 > 0.1763 NO HAY DESLIZAMIENTO

Condición de rodadura Nm > Nr

dr

PddPdNNrPrPM

nr

hm

>

⋅=⋅=⋅==⋅=

10tg

º10cosº10sen

Como 160·0.1763 > 0.15 SÍ HAY RODADURA

b) Energía perdida

JWrod

NP

PPNgP

glrP

radradioanguloArco

dPdPdNWWWW

n

n

nroddeslizrodper

7.2225.6105.12423

2423

º10cos246178004.016.0

25.616

100

º10cos

3

2

2

=⋅⋅⋅=

=

==⋅⋅⋅⋅=

⋅⋅⋅⋅=

==⇒⋅=

⋅=⋅⋅=⋅⋅==+=

−

π

ρπ

θ

θθθ

RP6

5 Tm

F

P P P

- Rodadura pura

- P = Peso de cada rodillo

Determinar la fuerza mínima de tracción y aplicar al caso siguiente:

* Coeficientes de resistencia a la rodadura:

- Rodillos-bancada d= 0.09 mm

- Rodillos - terreno d’= 0.04 mm

* Densidad del acero ? = 7.8 kg/dm3

* 15 rodillos de radio r = 2 cm y 1 m de longitud.

SOLUCIÓN RP6

F

P

Pn+P

Pn

Fn

Fnd

d´

. . .

P = Peso de cada rodilloPn = Fracción de peso de la máquina que soporta cada rodillo

Condición de movimiento: Par tractor ≥ Par resistente

( )

( ) ( )

NFF

NVrodilloPeso

NmáquinaPeso

FFr

dPPdPFdPPdPrF

dPPdPresistentePar

cilindrocadaenrFtractorPar

n

n

nnnnnn

nn

n

85.16015

15.9681.97800102.0

4905081.9500

2'

'2

'

2

2

=⋅=

=⋅⋅⋅⋅=⋅=

=⋅=

=

⋅++⋅=⇒⋅++⋅=⋅

⋅++⋅=

⋅=

∑

πρ

RP7

Una carga de 1000 kg reposa sobre una cuña de 10º de inclinación tal como se

indica en la figura. Si el coeficiente de rozamiento en todas las superficies es µ = 0.3

- Encontrar la fuerza horizontal mínima que hay que aplicar a la cuña para elevar

la carga.

- Calcular el valor mínimo de µ que garantiza autorretención si F = 0

- Calcular el valor máximo del ángulo de la cuña que mantiene autorretención,

con F = 0 cuando µ = 0.3

Se desprecia el peso de la cuña.

SOLUCIÓN RP7

1. Encontrar la fuerza horizontal mínima que hay que aplicar a la cuña para elevarla carga.

Equilibrio en la masa soportada

NN

NN

FNNFFN

A

B

rBBA

rArBB

5804

12374

º10cosº10senº10sen9800º10cos

=

=

+=++=

Rozamientos

CrC

ArA

BrB

NFNFNF

⋅=⋅=⋅=

µµµ

Equilibrio en la cuña

NF

NN

NFN

NFFF

C

CrBB

BrBrC

9267

11541

º10senº10cos

º10senº10cos

=

=

+=

++=

2. Calcular el valor mínimo de µ que garantiza autorretención si F = 0

( ) ( )( )( )

( )( )316.0º10

1tg2

1sencos2

cossensencoscossen

sencos

2

2

=⇒=

−=

−=

−=⋅+⋅+⋅=

=⋅+

µα

µµα

µµαα

αµααµαµαµα

αµα

Para

NNNNN

NNN

BB

CBB

CBB

3. Calcular el valor máximo del ángulo de la cuña que mantiene autorretención,F = 0 cuando 3.0=µ

( )( ) º36,93.013.0*5.0arctg 2 =−=α