PROBLEMAS PARA FORMULACION Y COSTRUCCION DEL MODELO

1. Problema de hacer o comprar. Aceros Arequipa produce tres tamaños de tubos: A, B y, C; que son vendidos, respectivamente en $ 10, $12 y $ 9 por pie. Para cada pie del tubo A se requieren 0.5 minutos de tiempo de procesamiento sobre un tipo particular de maquina de modelado. Cada pie del tubo B requiere 0.45 minutos y cada pie del tubo C requiere 0.6 minutos. Después de la producción, cada pie de tubo, sin importar el tipo, requiere 1 onza de material a soldar. El costo total se estima en $3, $.4 y $ 4 por pie de los tubos A, B y C, respectivamente.Para la siguiente semana, Aceros Arequipa ha recibido pedidos excepcionalmente grandes que totalizan 2000 pies del tubo A, 4000 pies del tubo B y 5000 pies del tubo C. Como solo se dispone de 40 horas de tiempo de maquina esta semana y solo se tiene en inventario 5500 onzas de material de soldar, el departamento de producción no podrá satisfacer esta demanda, que requiere un total de 97 horas de tiempo de maquina y 11000 onzas de material de soldar. No se espera que continúe este alto nivel de demanda. En vez de expandir la capacidad de las instalaciones de producción, la gerencia de Aceros Arequipa esta considerando la compra de algunos de estos tubos a proveedores de Japón a un costo de entrega de $ 6 por pie del tubo A,$6 por pie del tubo B y $7 por píe del tubo C Estos diversos datos se resumen en la tabla 2.1 siguiente. . Como gerente del departamento de producción, se le ha pedido hacer las recomendaciones respecto a la cantidad de producción de cada tipo de tubo y la cantidad de compra a Japón para satisfacer la demanda y maximizar las ganancias de la compañía.

Tabla 2.1 datos para el problema de hacer o comprar de Aceros ArequipaPrecio de

VentaDemanda

(pie)Tiempo de maquina(min/pie

Material Para Soldar( onza/pie)

Costo de producción

( $/pie

Costo de Compra ($/pie)

A 10 2 000 0.50 1 3 6B 1 4 000 0.45 1 4 6C 9 5 000 0.60 1 4 7

Cantidad disponible 40 horas 5500 onzas

2. Problema de Dietas. El departamento de Nutrición del Hospital general de Arequipa prepara 30 menús de cena, uno para cada día del mes. Una comida consistente en espagueti, pavo, papas en escalope, espina y pastel de manzana. Como director del departamento de Nutrición, usted ha determinado que esta comida debe proporcionar 63 000 miligramos (mg) de proteínas ,10 mg de hierro, 15 mg de niacina, 1 mg de tiamina y 50 mg de vitaminas C. Cada 100 gramos de esta comida proporciona la cantidad de cada nutriente y grasas indicas en la tabla 2.2

TABLA 2.2 Nutrientes proporcionados por las distintas comidasNUTRIENTE ( mg/100g)

PROTEINAS HIERRO TIACINA TIAMINA VITAMINAS C

GRASA

Espagueti 5 000 1.1 1.5 0.18 0.0 5 000Pavo 29 300 1.8 5.4 0.06 0.0 5 000Papas 5 300 0.5 0.9 0.06 10.0 7 900Espinacas 3 000 2.2 0.5 0.07 28.0 300Pastel De Manzanas 4 000 1.2 0.6 0.15 3.0 14 300

Para evitar demasiada cantidad de un tipo de comida, no debe incluirse en ella más de 300 gramos de espagueti, 300 gramos de pavo, 200 gramos de papas, 100 gramos de espinacas y 100 gramos de pastel de manzana. Como director del departamento de nutrición usted desea determinar la composición de una comida que satisface los requerimientos nutricionales y proporcionar la mínima cantidad de grasas.

3. Una empresa elabora dos tipos de productos diferentes (Producto 1 y Producto 2), cada unidad de producto contiene cuatro componentes (componentes A, B, C, D), en las proporciones y disponibilidades que se indican en el cuadro. Formular el Problema de Programación Lineal que maximice los beneficios de la empresa.

PRODUCTOCOMPONENTE

Producto. 1(Kg)

Producto. 2(Kg)

DISPONIBILIDAD(Kg)

A 1 3 15000B 2 1 10000C 2 2 12000D 1 1 10000

BENEFICIOS 4 3

4. Un artesano fabrica collares y pulseras. Hacer un collar le lleva 2 horas y hacer una pulsera 1 hora. El material de que dispone no le permite hacer más de 50 piezas. Como mucho, el artesano puede dedicar al trabajo 80 horas. Por cada collar gana 500 soles y por cada pulsera 400 soles. El artesano desea determinar el número de collares y de pulseras que debe fabricar para optimizar sus beneficios.a. Exprésese la función objetivo y las restricciones del problema.b. Represéntese gráficamente el recinto definido.c. Obténgase el número de collares y pulseras correspondientes al máximo beneficio.

5. Una empresa que sirve comidas preparadas tiene que diseñar un menú utilizando dos ingredientes. El ingrediente A contiene 35 g de grasas y 150 Kcal por cada 100 g de ingrediente, mientras que el ingrediente B contiene 15 g de grasas y 100 Kcal por cada 100 g. El coste es de 150 Pesetas por cada 100 g del ingrediente A y de 200 Pesetas por cada 100 g del ingrediente B.El menú a diseñar debería contener no más de 30 g de grasas y al menos 110 Kcal por cada 100 g de alimento. Se pide determinar las proporciones de cada ingrediente a emplear en el menú de manera que su coste sea lo más reducido posible.

a. Indíquese la expresión de las restricciones y la función objetivo del problema.b. Represéntese gráficamente la región delimitada por las restricciones.Calcúlese el porcentaje óptimo de cada ingrediente a incluir en el menú.

6. Problema de Inversión. El gerente de cartera de AFP Buena Vida, se le ha pedido invertir $ 1 000 000 , de un gran fondo de pensiones. El departamento de investigación de Inversiones ha identificado seis fondos con estrategias de inversión variables, resultado en diferentes rendimientos potenciales y riesgos asociados, como se resumen en la Tabla 2.3

TABLA 2.3 Riesgo y tasa esperada de rendimientos de seis fondos de inversiónFONDO

1 2 3 4 5 6Precio ( $/ acción) 45 76 110 17 23 6Devolución esperada (%) 30 20 15 12 10 22

Categoría de riesgo Alto Alto Alto Mediano mediano Bajo Una forma de controlar el riesgo es limitar la cantidad de dinero invertido en los diversos fondos. Para ese fin, la administración de AFP Buena Vida ha especificado las siguientes pautas:1. La cantidad total invertida en fondos de alto riesgo debe estar entre 50 y 75 % de la cartera.2. La cantidad total invertida en fondos de mediano riesgo debe estar entre 20 y 30 % de la cartera.3. La cantidad total invertida en fondos de bajo riesgo debe ser al menos de 5% de la cartera.

Una segunda forma de controlar el riesgo es diversificar esto es, esparcir el riesgo invirtiendo en muchas alternativas diferentes. La gerencia de AFP Buena Vida, ha especificado que la cantidad invertida en los fondos de alto riesgo 1, 2 y 3 deben estar en la tasa 1:2:3 respectivamente. La cantidad invertida en los fondos de mediano riesgo 4 y 5 debe ser 1:2.Como estas pautas ¿Qué cartera deberían usted, gerente de cartera, recomendar para maximizar la tasa esperada de retomo?

7. Un distribuidor de ferretería planea vender paquetes de tuercas y tornillos mezclados. Cada paquete pesa por lo menos 2 Kilos. Tres tamaños de tuercas y tornillos componen el paquete y se compra en lotes de 200 kilos. Los tamaños 1, 2,3 cuestan respectivamente $ 20, $ 8 y $ 2. Además:a. El peso combinado de los tamaños 1 y 3 debe ser al menos la mitad del peso total del paquete.b. El peso de los tamaño 1 y 2 no debe ser mayor que 1.6 kilosc. cualquier tamaño de tornillo debe ser al meno 10 % del paquete total.¿Cual será la composición del paquete que ocasionara en costo mínimo?

8. Un proyecto de asfaltado puede llevarse a cabo por dos grupos de una misma empresa: G1 y G2. Se trata de asfaltar tres zonas: A, B y C. En una semana, el grupo G1 es capaz de asfaltar 3 unidades de la zona A, 2 de la zona B y 2 de la zona C. El grupo G2 es capaz de asfaltar semanalmente 2 unidades de la zona A, 3 de la B y 2 de la C. El coste semanal se estima en 3.300 euros para G1 y en 3.500 euros para G2. Se necesita asfaltar un mínimo de 6 unidades en la zona A, 12 en la zona B y 10 en la zona C.

¿Cuántas semanas deberá trabajar cada grupo para finalizar el proyecto con el mínimo coste?

9. El propietario de un Granja, esta realizando ensayos para determinar la mezcla correcta de dos clases de alimentos para conejos. Ambos contienen diversos porcentajes de cuatro ingredientes esenciales. ¿Cual es la mezcla de costo mínimo? a continuación se da la tabla 2.4 de datos para el problema

10.Un agente vendedor maneja dos productos. El no espera vender más que 10 unidades por mes del producto “A” o 30 unidades por mes del producto “B”. Para evitar una multa debe vender al menos 24 unidades del producto “B”. Recibe una comisión de 10%s obre todas las ventas y debe pagar sus propios

TABLA 2.4.

INGREDIENTES% Por Kilo De Alimento Requerimiento Min

(Kilos)ALIMENTO 1 ALIMENTO 21 40 20 42 10 30 23 20 40 34 30 10 6

Costo $/ Kilo 0.5 0.3

gastos, los cuales se estima en S/. 3.00 por hora gastada en hacer visitas. El trabaja solo una parte del tiempo y debe trabajar hasta un máximo de 80 horas/mes. El producto “A” se vende en S/. 150.00 por unidad y requiere un promedio de 1.5 horas por cada visita, la probabilidad de hacer una venta es 50 % El producto “B” se vende en S/. 70.00 por unidad y requiere un promedio de 30 minutos por cada visita, la probabilidad de hacer una venta es 60 %. ¿Cuantas visitas mensuales debe hacer a los clientes de cada producto?

11. Una madre desea hacer unos pastelillos para la fiesta de su hija. Para ello domina la elaboración de tres tipos de pastelillos (A, B y C), los cuales tienen los mismos ingredientes: mantequilla, nata y crema, de los que posee 232, 300 y 720 gramos. Un pastelillo del tipo A requiere 5 gramos de mantequilla, 9 de crema y 8 de nata. Uno del tipo B de 5 gramos de nata, 8 gramos de crema y 6 gramos de mantequilla.; y uno del tipo C de 12 gramos de crema, 4 de mantequilla y 6 de nata. La madre quiere optimizar la cantidad de pastelillos a elaborar antes que cualquier otra consideración. Formule usted el problema de programación lineal.

12. Una compañía naviera dispone de dos barcos A y B para realizar un determinado crucero. El barco A debe tener tantos viajes o más que el barco B, pero no puede sobrepasar 12 viajes. Entre los dos barcos deben hacer no menos de 6 viajes y no más de 20. La naviera obtiene un beneficio de 18.000 € por cada viaje del barco A y 12.000 € por cada viaje del B. Se desean que las ganancias sean máximas.

a. Expresar la función objetivo.b. Describir mediante inecuaciones las restricciones del problema y representar gráficamente el recinto

obtenido.c. Hallar el número de viajes que debe efectuar cada barco para obtener el máximo beneficio.

Calcular dicho beneficio máximo.

13.Una compañía de transporte de carga, tiene 10 camiones con capacidad de 40 toneladas y 5 camiones de 30 toneladas de capacidad. Los camiones grandes tiene costos de operación de S/. 1.80 por kilometro y los pequeños de S/. 1.30 por kilometro. En la próxima semana la compañía debe transportar 400 toneladas de malta para un recorrido de 800 kilómetros. La posibilidad de otros compromisos significa que por cada dos camiones pequeños mantenidos en reserva debe quedarse por lo menos uno de los grandes.¿Cuál es el número óptimo de camiones de ambas clases que debe movilizarse para transportar la malta?

14.Un cierto producto final, consiste de tres partes que puede ser producidos en cuatro diferentes departamentos, disponiendo cada departamento de un número limitado de horas de producción. El objetivo es determinar el número de horas de cada departamento a ser asignadas a cada parte, para maximizar el número de unidades completas del producto final. La tabla 2.4 nos muestra las tasas de producción de cada parte asignada a su respectivo departamento. Formular y construir el modelo de P.L.

Tasa de producción ( números/Horas)Departamento Capacidad

(horas)Parte 1 Parte 2 Parte 3

1 100 10 15 52 150 15 10 53 80 20 5 104 200 10 15 20

15.Supóngase que el banco de crédito el agricultor, tiene dos planes de inversión: el primero en el programa de tierras de riego y el segundo en el programa de tierras de temporal. El primer programa regresa un 30 % de la inversión anualmente, mientras que el segundo plan regresa un 65 % de la inversión, pero al termino de 2 años, los interés recibidos de ambos planes son reinvertidos de nuevo en cualquiera de ambos planes. Formule u construya un programa lineal que le permita al Banco maximizar la inversión total en un sexenio ( 6 años ),si la inversión anual es de 100 millones de soles.

16.Una Cía. XYZ produce tornillos y clavos especiales. La materia prima para los tornillos cuesta S/. 2.00 por unidad, mientras que la materia prima para cada clavo cuesta S/. 2.50. Un clavo requiere dos horas de mano de obra en el departamento # 1 y tres horas en el departamento # 2, mientras que un tornillo requiere cuatro horas en el departamento # 1 y dos horas en el departamento # 2. El jornal por hora en ambos departamentos es de S/.2.00. Si ambos productos se venden a S/ 18 .00, y el numero de horas de mano de obra disponible por semana en los departamentos es de 160 y 180 respectivamente, expresar el problema propuesto como un programa lineal, tal que maximice las utilidades.

17. Una papelería quiere liquidar hasta 78 Kg. de papel reciclado y hasta 138 Kg. de papel normal. Para ello hace dos tipos de lotes, A y B. Los lotes A están formados por 1 Kg. de papel reciclado y 3 Kg. de papel normal y los lotes B por 2 Kg. de papel de cada clase. El precio de venta de cada lote A es de 0,9 € y el de cada lote B es de 1,0 €. ¿Cuántos lotes A y B debe vender para maximizar sus ingresos? ¿A cuánto ascienden estos ingresos máximos?

18.La Cía. de Aéreo líneas Tiene que decidir cuantas azafatas tiene que emplear, entrenar, despedir en los 6 meses que vienen. Los requisitos en hora de vuelo de azafatas son las siguientes:

Mes Julio Agosto Setiembre Octubre Noviembre DiciembreN° Hrs. 2 000 9 000 8 000 10 000 9 000 12 000

Una chica necesita un mes de entrenamiento antes de que pueda usarla en un vuelo regular, por lo tanto, hay que emplearla un mes antes de que sus servicios sean necesarios.También el entrenamiento de una chica nueva requiere el tiempo de una azafata regular ya entrenada.Dicho entrenamiento toma aproximadamente 100 horas de la azafata con experiencia durante el mes de entrenamiento.Entonces por cada chica en entrenamiento hay 100 horas menos disponibles para servicio de las azafatas regulares.Cada azafata regular puede trabajar un máximo de 150 horas cada una, hay 60 azafatas disponibles el primer día de Julio. Si el tiempo máximo disponible de azafata requerido es mayor que la demanda, las regulares pueden trabajar menos de 150 horas o la cía. Puede despedirlas a un costo de $1 000 por cada azafata despedida. Cada mes el 10 % de las azafatas regulares renuncian al trabajo para casarse o por otras razones. Una azafata regular cuesta $ 800 al mes y una chica en entrenamiento recibe $ 400.Formule y construya el modelo en P.L. para minimizar el costo de servicio de azafatas.

19.Un problema de producción. La Swelta Glove Company fabrica y vende dos productos. Dicha compañía obtiene ganancias de $12 por cada unidad que vende de su producto 1, y de $4 por cada unidad de su producto 2. Los requerimientos en términos de horas de trabajo para la fabricación de estos productos en los tres departamentos de producción se enumeran de manera resumida en la siguiente tabla. Los supervisores de estos departamentos han estimado que tendrán las siguientes disponibilidades de horas de trabajo durante el próximo mes: 800 horas en el departamento 1, 600 horas en el departamento 2 y 2 000

horas en el departamento 3. Suponiendo que la compañía este interesada en maximizar las ganancias, desarrolle usted el modelo de programación lineal correspondiente.

Tabla requerimiento de Horas de trabajoDepartamento Producto 1 Producto 2

1 1 22 1 33 2 3

20.Una aerolínea quiere optimizar el número de filas de clase preferente y de clase turista en un avión. La longitud útil del avión para instalar las filas de asientos es de 104 m, necesitándose 2 m para instalar una fila de clase preferente y 1,5 m para la de clase turista. La aerolínea precisa instalar al menos 3 filas de clase preferente y que las filas de clase turista sean como mínimo el triple que las de clase preferente. Los beneficios por fila de clase turista son de 152 euros y de 206 euros para la clase preferente.¿Cuántas filas de clase preferente y cuántas de clase turista se deben instalar para obtener el beneficio máximo? Indicar dicho máximo.

21.Planificación Financiera. Wille Hanes es presidente de una microempresa de inversiones que se dedica a administrar la cartera de acciones de varios clientes. Un nuevo cliente ha solicitado que la compañía se haga cargo de administrar para él una cartera de $100 000. A ese cliente le agradaría restringir la cartera a una mezcla de tres tipos de acciones únicamente, como podemos apreciar en la siguiente tabla. Formule usted un PL para mostrar cuantas acciones de cada tipo tendría que comprar Wille con el fin de maximizar el rendimiento anual total estimado de esa cartera.

22. Un

problema de integración. McNaughton Inc. Produce dos salsa para carne Spicy Diabla y Red Baron (la mas suave). Estas salas se hacen mesclando dos ingredientes, A y B. Se permite cierto nivel de flexibilidad en la formulas de estos productos. Los porcentajes permisibles, así como la información acerca de ingresos y costos, aparecen en la siguiente tabla. Es posible comprar hasta 40 litros de A y 30 de B. McNaughton puede vender toda la salsa que elabore. Formule un modelo PL. cuyo objetivo sea maximizar las ganancias netas obtenidas por la venta de estas salsa.

PRODUCTO EN GRANO

INGREDIENTE PRECIO DE VENTA POR

LITRO ($)A B

Spicy Diablo Cuando menos 25 % Cuando menos 50% 3.35Red Baron Cuando mucho 75 % - 2.85Costo por litro $ 1.60 $ 2.59

* No existe un porcentaje máximo o número explicito

23.Se hace un pedido, a una papelería de 800 rollos de papel corrugado de 30 pulgadas de ancho, 500 rollos de 45 pulgadas de ancho, y 1,000 de 50 pulgadas. Si la papelería tienen solamente rollos de 108 ¿Como

ACCIONES PRECIO POR

ACCIÓN

RENDIMIENTO ANUAL ESTIMADO POR ACCIÓN

($)

INVERSIÓN MÁXIMA POSIBLE ($)

Gofer Crude 60 7 60,000Can Oil 25 3 25,000Stoth Petroleun 20 3 30,000

deben cortarse los rollos para surtir el pedido con el mínimo desperdicio de papel, sabiendo que el máximo desperdicio aceptable de papel por rollo es de 22 pulgadas.

24.Una empresa está seleccionando empleados con contrato eventual por un año y con contrato fijo. El sueldo anual (en miles de euros) de cada empleado eventual es 8 y de cada empleado fijo 15. La empresa tiene un tope máximo de 480 (miles de euros) para pagar los sueldos anuales de los empleados que contrate. Los empleados fijos han de ser por lo menos 10, y no más de 24. Además, el número de eventuales no puede superar en más de 14 al de fijos. Plantear el problema y representar gráficamente el conjunto de soluciones.

a. ¿Que combinaciones de empleados fijos y eventuales se pueden contratar? ¿Podría contratar a 24 fijos y ningún eventual?

b. Si el objetivo es contratar al mayor número total de empleados, ¿cuántos ha de contratar de cada tipo?

25.El dueño de un restaurante necesitará en 3 días sucesivos 40, 60 y 70 manteles. El puede adquirir manteles a un costo de $20 cada uno y después de haberlos usado, puede mandar manteles sucios a lavar, para lo cual tiene 2 servicios de lavandería disponibles, uno rápido (el lavado tarda 1 día) que cuesta $ 15 por cada mantel y uno normal (tarda 2 días) que cuesta $8 por mantel. Formule un modelo que permita conocer al dueño del restaurante que número de manteles debe comprar inicialmente y que número debe mandar a lavar cada día para minimizar sus costos.

26. Un barco tiene 3 bodegas: en la proa, en la popa y en el centro. Las capacidades límites son:

BODEGA TONELAJE PIES-CUBICOS

Proa 2,000 100,000

Popa 1,500 30,000

centro 3,000 135,000

Se ha recibido las siguientes ofertas de carga, Las que se pueden aceptar total o parcialmente.

CARGA CANTIDAD PIES CUBICOS/TONELADA

GANANCIA : ($/TONELADA)

A 6,000 Ton 60 6

B 4,000 Ton 50 8

C 2,000 Ton 25 9

¿Cómo se debe distribuir la carga para maximizar la ganancia, sin la preservación del equilibrio obliga a que el peso de cada bodega sea proporcional a la capacidad de toneladas?

27.La empresa XXX produce 2 artículos: cubiertas de carro y tolderos .Para la próxima semana dispone de los siguientes suministros:

400 horas-hombre

1200 metros cuadrados de lino2700 metros cuadrados de lona600 horas-maquina

El precio de venta de las cubiertas de carro es de 150 soles y el de tolderos 500 soles.Si para producir una cubierta de carro requiere 1 hora – hombre, 6 metros cuadrados de lino y 1 hora –maquina, y para producir un toldero requiere 2 horas-hombre, 18 metros cuadrados de lona y 1.5 horas - maquina.Formular y construir el modelo matemático de programación lineal respectivo.

28. Un producto se compone de la mezcla de otros dos A y B. Se tienen 500 Kg. de A y 500 Kg. de B. En la mezcla, el peso de B debe ser menor o igual que 1,5 veces el de A. Para satisfacer la demanda, la producción debe ser mayor o igual que 600 Kg. Sabiendo que cada Kg. de A cuesta 5 euros y cada Kg. de B cuesta 4 euros, calcular los Kg. de A y de B que deben mezclarse para hacer una mezcla de coste mínimo, que cumpla los requisitos anteriores. Calcular dicho coste mínimo por el método gráfico.

29.Una fábrica produce dos tipos de sombreros (tipo A y B), cada sombrero tipo A requiere el doble de

tiempo de mano de obra que de el tipo B. Si todos los sombreros fueran del tipo B, el fabricante puede producir 500 unidades al día. El mercado limita las ventas diarias a 150 y 300 unidades respectivamente, si la ganancia que obtiene por producto es de $8 para el tipo A y $5 para el tipo B. determine el número de sombreros que ha de ser producidos de cada tipo para maximizar las utilidades. Formule y construya el modelo de P.L

30.Una empresa produce dos tipos de barcos: barcos veleros y barcos a motor. Cada barco velero deja un beneficio de 1200 Euros y cada barco a motor un beneficio de 1000 Euros. Los principales recurso materiales que emplea para ello son: tela para velas, fibra de vidrio y motores; disponibles en cantidades limitadas. La empresa se propone diseñar un plan de producción que especifique cuantos barcos se han de producir semanalmente de cada tipo, con el objetivo de maximizar su beneficio.

Recursos Requerimiento / unidad Disponibilidad por semanaBarco velero Barco a motor

Tela para velas 4 0 300Fibra de vidrio 8 4 1500Motor 0 1 120

Formule y construya el problema programación lineal

31.Un carpintero desea lograr el máximo beneficio de sus recursos fabricando muebles de madera: mesas, sillas, escritorio y estantes. Cada mesa, silla, escritorio y estante necesitan respectivamente de 5, 1,9 y 10 pies de madera de tipo A, y de 2, 3,4 y 1 pies de madera de tipo B, su programa de ventas necesita mínimo de 40 mesas, 130 silla, 30 escritorios y un máximo de 10 estantes, El carpintero dispone de 1500 pies de madera tipo A y 1000 pies de madera tipo B, su capital le permite contar hasta 800 horas-hombre. Cada mesa requiere de 3 horas- hombre para ser fabricada y produce una utilidad de $5, cada silla requiere de 2 horas hombre y produce $ 2 de utilidad, cada escritorio requiere 5 horas-hombre y su utilidad es de $ 7, y cada estante requiere de 10 horas-hombre y su utilidad es de $ 4, Formular y construir el modelo de PL.

32.Un almacén desea liquidar 2000 camisa y 1000 pantalones de la temporada anterior. Para ello lanza dos ofertas, A y B. La oferta A consiste en un lote de una camisa y un pantalón que se vende en S/ 90. La oferta B consisten en un lote de tres camisas y un pantalón, que se vende en S/ 150. No se desea ofrecer

menos de 200 lotes de la oferta A, ni menos de 100 de la B. determinar la mejor opción de venta para maximizar los ingresos.

33.Una agencia de viajes vende paquetes turísticos para acudir a la final de un campeonato deportivo. La agencia esta considerando ofrecer dos tipos de paquetes de viajes: El primero de ellos (A) incluye en desplazamiento en autocar para dos personas, una noche de alojamiento en habitación doble y cuatro comidas. El segundo (B) incluye desplazamiento en autocar para una persona, una noche de alojamiento (en habitación doble) y dos comidas. El precio de venta del paquete A es de $ 1 500 y el de B de $ 900. La agencia tiene contratadas un máximo de 30 plazas de autobús, 20 habitaciones dobles y 56 comidas. El numero de paquetes del tipo B no debe superar a los del tipo A .La empresa desea maximizar sus beneficios. Se pide Formular y construir el Modelo de programación lineal.

34.Un hombre de negocios tiene la opción de invertir su dinero en dos planes. El plan A garantiza que por cada sol invertido retornara 70 centavos por año, mientras que el plan B garantiza que por cada sol invertido retornara S2.00 en dos años. En el plan B solo se invierte para periodos que son múltiplos de dos años.

¿Como se invertirá S/.1 000 000 para maximizar los retornos al final de los tres años? Formule el problema como un modelo de P.L.

35.Un hipermercado necesita como mínimo 16 cajas de langostinos, 5 de nécoras y 20 de percebes. Dos mayoristas, A y B, se ofrecen al hipermercado para satisfacer sus necesidades, pero sólo venden dicho marisco en contenedores completos. El mayorista A envía en cada contenedor 8 cajas de langostinos, 1 de nécoras y 2 de percebes. Por su parte, B envía en cada contenedor 2, 1 y 7 cajas respectivamente. Cada contenedor que suministra A cuesta 210.000 Pesetas., mientras que los de B cuestan 300.000 Pesetas, cada uno. ¿Cuántos contenedores debe pedir el hipermercado a cada uno para satisfacer sus necesidades mínimas con el menor coste posible?

36.Una firma productora de detergentes cuenta con dos procesos productivos para fabricarlos. Cada actividad utiliza enzimas, capacidad de planta de producción y capacidad de planta de envasado. Las enzimas se pueden comprar en el mercado en cantidades ilimitadas a $100 por unidad. Las plantas de envasado y producción tienen una capacidad máxima de procesado fija.  El precio del detergente es de $4 por unidad y se puede vender toda la cantidad que se pueda fabricar.El primero de los procesos utiliza dos unidades de enzimas, 4% de la capacidad de la planta de producción y 8% de la de envasado, por cada 100 unidades de detergente. El segundo proceso requiere dos unidades de enzimas, 2% de la capacidad de la planta de producción y 12% de la de envasado, por cada 100 unidades de detergente. Formule usted el Problema de Programación Lineal.

37.Una campaña para promocionar una marca de productos lácteos se basa en el reparto gratuito de yogures con sabor a limón o a fresa. Se decide repartir al menos 30.000 yogures. Cada yogurt de limón necesita para su elaboración 0,5 gr. de un producto de fermentación y cada yogurt de fresa necesita 0,2 gr. de ese mismo producto. Se dispone de 9 Kg de ese producto para fermentación. El coste de producción de un yogurt de fresa es el doble que el de un yogurt de limón. ¿Cuántos yogures de cada tipo se deben producir para que el costo de la campaña sea mínimo?

38.Un sastre tiene 80 m2 de tela de algodón y 120 m2 de tela de lana. Un traje requiere 1 m2 de algodón y 3 m2 de lana, y un vestido de mujer requiere 2 m2 de cada una de las dos telas. Calcular por el método gráfico, el número de trajes y vestidos que debe confeccionar el sastre para maximizar los beneficios si un traje y un vestido se venden al mismo precio.

39. Dos productos se elaboran pasando en forma sucesiva por tres máquinas. El tiempo por máquina asignado a los productos está limitado a 10 horas por día. Formule el Problema de Programación Lineal Primal y Dual, si el tiempo de producción y la ganancia por unidad de cada producto son:

40.las enfermeras de un hospital llegan cada 4 horas y trabajan en turnos de 8 horas continuas. La administración ha decidido la idea de definir 6 cambios de turno al día para minimizar las distracciones y los problemas de comunicación que ocurren en los cambios de turno.

El hospital ha realizado un análisis del trabajo requerido durante cada uno de los seis periodos del día. Las características de cada periodo son las siguientes:

Las enfermeras que empiezan a trabajar en los periodos 2, 3 y 4 gana U$ 40 al día, y aquellas que comienzan en los periodos 1, 5 y 6 gana U$ 50 al día. ¿Cuantas enfermeras deben empezar a trabajar en cada turno para minimizar los costos por salarios?

41.Un proyecto de asfaltado puede llevarse a cabo por dos grupos de una misma empresa: G1 y G2. Se trata de asfaltar tres zonas: A, B y C. En una semana, el grupo G1 es capaz de asfaltar 3 unidades de la zona A, 2 de la zona B y 2 de la zona C. El grupo G2 es capaz de asfaltar semanalmente 2 unidades de la zona A, 3 de la B y 2 de la C. El coste semanal se estima en 3 300 euros para G1 y en 3 500 euros para G2. Se necesita asfaltar mínimo de 6 unidades en la zona A, 12 en la zona B y 10 en la zona C.

¿Cuántas semanas deberá trabajar cada grupo para finalizar el proyecto con el mínimo coste?

42.En una granja se da una dieta “para engordar” con un composición mínima de 14 unidades de una sustancia A y otras 15 de una sustancia B. En el mercado solo se encuentra dos clases de compuestos: el tipo 1 con composición de una unidad de A y cinco de B, y el tipo 2 ,con una composición de cinco

PRODUCTO

Máquina 1

(Min/Unid.)

Máquina 2

(Min/Unid.)

Máquina 3

(Min/Unid.)

GANANCIA

Dólares/Unid.

1 10 6 8 $ 2

2 5 20 15 $ 3

Horas del día Periodo Numero Mínimo de enfermeras

2 a.m. - 6 a.m. 1 25

6 a.m. - 10 a.m. 2 60

10 a.m. - 2 p.m. 3 50

2 p.m. - 6 p.m. 4 35

6 p.m. - 10 p.m. 5 55

10p.m. - 2 a.m. 6 40

unidades de A y una de B .El precio del tipo 1 es de S/. 10 y el de tipo 2 es de S/. 30. Determinar mediante el método grafico la mejor opción de compra para cubrir las necesidades con un costo mínimo.

43.El grupo ANTAR, S.A. esta analizando la posibilidad de diversificar sus inversiones, hacia sectores diferentes de donde se encuentra operando actualmente. El presupuesto disponible para inversiones de esta naturaleza se fijado en $ 100, 000,000. Tomando en cuenta las áreas de inversión actuales, el director de Finanzas ha recomendado que las nuevas inversiones sean en la industria petrolera, siderúrgica y en CETES (certificados de la Tesorería). Específicamente, el director ha identificado siete oportunidades de inversión, así como las tasa de rendimiento esperado de las mismas. Dicha información se da a continuación

Opciones de Inversión Tasa de rendimiento (%)

Petróleo y Derivados ,S.A. 50

Industria Petrolera ,S.A 75

Petróleos del Norte, S.A. 40

Aceros Mondova ,S.A. 70

Siderúrgica nacional ,S.A. 45

Hierros y Acero ,S.A. 55

CETES 60

El consejo de Administración ha impuesto, por su parte, la siguiente estrategia de inversión:

a. No se debe destinar más del 50 % del total de la inversión a una industria en particular

b. La inversión en CETES debe ser por lo menos el 25% del total invertido en siderúrgica.

c. La inversión en Industria Petrolera S.A., la cual resulta ser la de mayor rendimiento aunque también la de más alto riesgo, no puede exceder al 50 % del total a invertir en el sector petrolero.

d. El total a invertir en siderúrgica debe ser por lo menos igual al invertido en petróleo

44.Para producir 2 toneladas de trigo se requiere ¼ hectárea, 8 bolsas de semillas de trigo por hectárea y 20 horas hombre. Para producir 3 toneladas de centeno se requiere ½ hectárea ,6 bolsas de semillas de centeno por hectárea y 50 horas hombre. El precio del trigo y del centeno por tonelada asciende a S/. 300 y S/.250 soles respectivamente. El costo de la bolsa de semillas de trigo es de S/. 20 y de centeno S/. 30. El propietario dispone de 200 hectáreas y de 2000 horas hombre, Asimismo cuenta de un contrato que le otorga la opción de arrendar un campo colindante de 100 hectáreas a razón de S/. 30 la hectárea utilizada. La ley laboral, por otra parte, le brinda el beneficio de contratar mano de obra adicional a un costo de S/5 la hora hombre, sin limitación. Finalmente, las disposiciones gubernamentales obligan a que la superficie sembrada de centeno sea por lo menos igual al doble de la superficie de trigo. Formule y construya el problema de programación lineal.

45.La empresa Shogun S.A. esta fundamentalmente dedicada a la producción de lentes para maquinas fotográficas, luego de que intentase infructuosamente entrar en el mercado de las maquinas fotográficas de alta sofisticación técnica.

Aprovechando la experiencia en el rubro, ha decidido especializarse en lentes de alta calidad que le permita estar entre los principales exportadores japoneses de lentes para maquinas del tipo réflex. En la actualidad, fabrica tres modelos distintos:

El modelo “KIKU”, zoom de 100-200 mm. Con f 5,6

El modelo “OMI”, zoom de 35 – 105 mm. Con f. 3,5

El modelo “ANGIN”, zoom de 100-300 mm. Con f. 5,6

En su producción, la empresa utiliza dos tipos de insumos (A y B), de los cuales dispone de 4 000 y 6 000 unidades respectivamente. Los requerimientos unitarios de insumos son:

Insumo KIKU OMI ANGIN

A 2 3 5

B 4 2 7

El tiempo destinado a producir cada unidad del modelo KIKU es el doble del destinado al modelo OMI, y el triple del dedicado al modelo ANGIN. Los operarios de la empresa pueden llegar a producir un equivalente a 1 500 lentes KIKU mensualmente.

El departamento de Marketing ha realizado algunas proyecciones de las ventas futuras, y ha indicado que la demanda mínima para los tres modelos es de 200,200 y 150 unidades mensuales, respectivamente.

Con los precios de cada modelo y sus costos unitarios que se indican en el cuadro, formular y construir un modelo de programación lineal que optimice el resultado operacional de la empresa.

Modelo Precio de venta ($)

Costo Producción ($)

KIKU 120 90

OMI 100 80

ANGIN 130 80

46.Una empresa fabrica dos tipos de tarjetas graficas, de 16 Mb y 32 Mb de memoria respectivamente. Se utilizan dos maquinas que emplean 2 minutos en fabricar las de 16 Mb y 3 minutos en fabricar las de 32 Mb. Cada maquina puede funcionar como máximo 300 minutos diarios y tiene una capacidad máxima de fabricación diaria de 125 unidades, entre las cuales no puede haber mas de 90 tarjetas de 16 Mb ni mas de 80 tarjetas de 32 Mb . Si el beneficio por tarjeta de 16 Mb es de 45 dólares y por tarjeta de 32 Mb es de 60 dólares, Determinar la mejor opción de producción.

47.Una compañía de transporte dispone de $ 400,000 para comprar un nuevo equipo y considera la adquisición de 2 tipos de camiones. El camión tipo A puede transportar 10 toneladas y se espera que promedie 35 millas/hr. Su costo es de $ 8,000.El camión tipo B tiene capacidad de 20 toneladas y se espera que promedie 30 millas / hr su costo es de $ 13,000. El camión tipo A requiere de una tripulación de un hombre y si opera en 3 turnos por día puede trabajar en promedio 18 hrs. Diarias. El camión tipo B requiere una tripulación de dos (2) hombres cada uno y en 3 turnos por día puede trabajar un promedio de 18 horas diarias.

La Cía. posee una tripulación de 150 hombres y no tiene posibilidad de obtener más. Las facilidades de mantenimiento restringen la flota a 30 camiones. Se desea saber cuantos camiones de cada tipo debe comprarse si la compañía desea maximizar su capacidad: Ton-millas/día.

Considerar la diversificación de los tipos de camiones a tres introduciendo una modificación al camión de tipo B al que llamaremos tipo C. La modificación consiste en adaptarle una caseta para que duerma el chofer, lo que reduce su capacidad a 18 toneladas, eleva su costo a S/ 15,000 y amplia su capacidad de trabajo a 21 horas /día trabajando en 3 turnos. Las limitaciones de capital, mantenimiento y personal se mantienen invariantes.

48.Una escuela prepara una excursión para 400 alumnos. La empresa de transporte tiene 8 buses de 40 pasajeros y 10 buses de 50 pasajeros, pero solo dispone de 9 conductores. El alquiler de un bus grande cuesta 80 Euros y el de un bus pequeño 60 Euros. Determinar por el método gráfico la mejor opción económica de transporte para la excursión.

49.Las restricciones pesqueras de la CEE obligan a cierta empresa a pescar como máximo 2000 toneladas de merluza y 2000 toneladas de anchoas, además el total de captura de las dos especies no puede pasar de 3000 toneladas. Si el beneficio de la merluza es de 10 Euros /Kg y el beneficio de las anchoas es de 15 Euros/ Kg. Determinar la mejor alternativa de pesca para obtener el máximo beneficio, aplicando el método gráfico.

50.Una empresa dispone de un millón de dólares para invertir. Con la siguiente información formule usted un modelo de Programación Lineal que defina la mejor inversión para la empresa, teniendo en cuenta que al elegir un proyecto la empresa debe pagar el costo total del mismo.

Proyecto 1 2 3 4 5

Costo (Miles $) 500 200 195 303 350

Utilidad Miles ($) 325 122 95 111 150

51. El señor Martínez tiene un camión con capacidad interior de 20 m³ en el cual transporta mercancía para una empresa de la ciudad desde la planta de producción hacia los puntos de distribución. La mercancía está empacada en cajas de 3 tamaños diferentes. Cada caja tipo A mide 1 m³ y produce una ganancia de 1000 dólares, cada caja tipo B mide 1.2 m³ y produce una ganancia de 1120 dólares, y cada caja tipo C mide 0.8 m³ y produce una ganancia de 900 dólares. Formule usted el Problema de Programación Lineal para optimizar las ganancias por viaje, si tiene que transportar como mínimo 8 cajas tipo A y 5 cajas tipo C en cada viaje.

52.Heladerías “El Polo” fabrica helados A y B, su capacidad le permite producir un máximo de 1000 kilos

por día. La fabricación de un kilo de A cuesta $1,8 y uno de B $1,5. Determinar la mejor alternativa de producción diaria de helados A y B, sabiendo que la casa dispone de $ 2700/día; y que un kilo de A deja un beneficio igual al 90% del que deja un kilo de B.

53. A una persona le tocan 10 millones de soles en una lotería y le aconsejan que las invierta en dos tipos de acciones, A y B. Las de tipo A tienen más riesgo pero producen un beneficio del 10 %. Las de tipo B son más seguras, pero producen sólo el 7% anual. Después de varias deliberaciones decide invertir como máximo 6 millones en la compra de acciones A y por lo menos, 2 millones en la compra de acciones B. Además, decide que lo invertido en A sea por lo menos igual a lo invertido en B. Formular el Problema de Programación Lineal.

54.Se ha contratado una consultora para dirigir entrevistas personales puerta a puerta para obtener la información de casas con y sin niños para un estudio de mercado.  Además, las entrevistas se realizaran mañana y tarde para permitir incluir una variedad de actividades de trabajo de la casa.   La empresa debe dirigir 1,000 entrevistas bajo las pautas siguientes: 

1. Por lo menos se entrevistarán 400 casas con los niños.  2. Por lo menos 400 casas se entrevistarán sin niños.  3. El número total de entrevistas de la tarde será por lo menos tan grande como el número total de

entrevistas de la mañana.  4. Por lo menos se dirigirán 40% de entrevistas para las casas con niños durante la tarde.  5. Por lo menos 60% de entrevistas para las casas sin niños durante la tarde.   

Los costes de la entrevista son $20 durante niño-mañana, $25 por niño-tarde, $18 durante ningún niño-mañana, y $20 durante ningún niño-tarde.  Formule el Problema de Programación Lineal.

55.Se va a mezclar mineral proveniente de 4 minas diferentes para fabricar bandas para un nuevo producto de la GMC. Los análisis han demostrado que para producir una banda con las cualidades adecuadas de tensión y los requerimientos mínimos se debe contar con 3 elementos básicos: A, B, C.  En particular, cada tonelada de mineral debe contener, por lo menos, 5 libras de elemento básico A, por lo menos 100 libras del elemento B y al menos 30 libras del elemento C. El mineral de cada una de las 4 minas contiene los 3 elementos básicos, pero en distintas proporciones. La composición en libras/tonelada, y los costos de extracción de los minerales de cada mina son: (Formular el Problema de Programación Lineal)

ELEMENTO

BÁSICO

MINA

1 2 3 4

A 10 3 8 2

B 90 150 75 175

C 45 25 20 37

Costo de Extracción ($/TM de Mineral) 800 400 600 500

56.El jefe de compras de una tienda de informática desea adquirir las siguientes cantidades de componentes informáticos:

Disco Grabadora Samsung Memoria Cámara

Duro

80 GB LG

17”

SM710V

Kingston

Logitech

100 150 60 250 200

En principio, estos componentes se pueden adquirir en tres almacenes de venta al por mayor, A1, A2 y A3. Sin embargo, estos almacenes están sujetos a unas estrictas (y extrañas) normas que les impide suministrar a un mismo cliente más de 220, 180, y 300 componentes, respectivamente. El jefe de ventas ha estimado que los beneficios netos por unidad y almacén que puede conseguir son los expresados en la siguiente tabla:

Los datos faltantes significan que el almacén correspondiente no suministra el respectivo componente.

Formular el modelo de programación lineal que permita determinar el pedido óptimo, el beneficio que se obtendría y los componentes que no se podían adquirir por problemas de suministro.

57.La oficina técnica coordinadora de cultivos (OTCC), tiene a su cargo la administración de 3 parcelas. El rendimiento agrícola de cada parcela está limitado tanto por la cantidad de tierra cultivable como por la cantidad de agua asignada para regadío de la parcela por la comisión de aguas. Los datos proporcionados por este organismo son los siguientes:

PARCELA TIERRA CULTIVABLE (Ha) ASIGNACIÓN DE AGUA (m3)

1 400 600

2 600 800

3 300 375

Las especies disponibles para el cultivo son la remolacha, trigo y maravilla, pero el Ministerio de Agricultura ha establecido un número máximo de hectáreas que pueden dedicarse a cada uno de estos cultivos en las 3 parcelas en conjunto, como lo muestra la siguiente tabla:

Almacén

Disco Duro

80 GB

Grabadora

LG

17” Samsung

SM710V

Memoria

Kingston

Cámara

Logitech

A1 - 12 - 8 10

A2 7 10 8 6 -

A3 5 - 4 7 9

ESPECIE CONSUMODE AGUA

(m3 /Ha)

CUOTA MÁXIMA

(Ha)

GANANCIA NETA

($/Ha)

Remolacha 3 600 400

Trigo 2 500 300

Maravilla 1 325 100

Los dueños de las parcelas, en un acto de solidaridad social, han convenido que en cada parcela se sembrará la misma fracción de su tierra cultivable. Sin embargo, puede cultivarse cualquier combinación en cualquiera de las parcelas.

Formule usted el modelo de programación lineal para maximizar las ganancias.

58.En un almacén de frutas hay 800 kilogramos de naranjas, 800 kilogramos de manzanas y 500 kilogramos de plátanos. Para su venta se hacen dos lotes (A y B). El lote A contiene 1 kilogramo de naranjas, 2 kilogramos de manzanas y 1 kilogramo de plátanos y el lote B se compone de 2 kilogramos de naranjas, 1 kilogramo de manzanas y 1 kilogramo de plátanos. El beneficio que se obtiene con el lote A es de 120 pesetas y con el lote B de 140 pesetas. Resuelva usted el problema de Programación Lineal por el método gráfico.

59. Una fábrica de jeans produce varios modelos de pantalones:

El modelo "basic" (B), que requiere 2 m2 de tela denim, 3 minutos hombre del taller de cortado y 6 minutos hombre del taller de cosido. El empaque se hace en un minuto y cada prenda esta lista para ser despachada previo desembolso de tres pesos por prenda en concepto de caja de embalaje y apliques varios en cada pantalón.

El modelo "basic plus" (BP) no es otra cosa que el modelo anterior al que se le agrega un bordado muy bonito cuya confección requiere de 1 minuto de la utilización del taller de bordado.

El modelo "basic plus ultra" (BPU) es igual al modelo basic plus pero esta confeccionado previo planchado de la tela, que requiere de un lapso de 2 minutos por prenda.

Los modelos B largo, BP largo y BPU largo son variantes de los modelos comunes descritos, pero requieren un 10% más de cada uno y de todos los insumos por prenda. Existe, sin embargo, una limitación debido a que no es posible producir más de 30 de estas prendas en total, limitación que no rige para las prendas comunes.

El costo de la tela por m2 es de $10. La capacidad máxima disponible mensual en horas hombre del taller de cortado 2000; del taller de cosido 800; del taller de bordado 250; del taller de empaque 70; y de planchado 100 horas efectivas mensuales.