Universidad del ValleProbabilidad y estadstica

Problemas de clculo de probabilidades (con la nocin de dependencia estadstica)

1) En una urna se colocan seis balotas numeradas del 1 al 6. Se toman luego, al azar dos, sin sustitucin, y se anotan sucesivamente los nmeros obtenidos.Describa el espacio muestral. Se definen los siguientes eventos: A: sale el 1; B: sale el 6; C: los nmeros son consecutivosa)es un espacio muestral equiprobable?b) Calcule la probabilidad de los siguientes eventos: c) Calcule las siguientes probabilidades condicionales:

2) Un mdico ha recolectado la siguiente informacin acerca de sus pacientes: 5% cree tener cncer y efectivamente lo tiene, 45% creen tenerlo y no lo tienen, 10% creen no tenerlo y lo tienen y el 40% creen no tenerlo y efectivamente no lo tienen. Un paciente tpico de este mdico llega al consultorio a) cul es la probabilidad de que tenga cncer b) Cul es la probabilidad de que no lo tenga dado que l cree tenerlo?

3) En una empresa manufacturera se tiene la siguiente distribucin de salarios:

Salario (Millones)

Nmero detrabajadoresHombresMujeres

5-10321

4-522148

3-4452520

2-3803050

1-21003070

Total250101149

Realizamos el siguiente experimento aleatorio: De esa nmina obtenemos un trabajador al azar y anotamos el sexo y el grupo salarial. Es un espacio muestral equiprobable?Se definen los siguientes eventos: A: El trabajador es hombre B: pertenece a los tres primeros grupos salariales C: pertenece a los dos ltimos grupos salariales

Calcule las siguientes probabilidades:

Elabore un breve comentario sobre la equidad de genero de esta nmina

Nota: Para establecer criterios de equidad se ha establecido la curva de Lorenz y el coeficiente de Gini. Un buen ejercicio en estadstica descriptiva y programacin R es encontrar la curva y el coeficiente para esta nmina. Resolveremos este ejercicio por esta va

4) En una alarma epidemiolgica (ha aparecido un brote de una enfermedad contagiosa) se le solicita a todos los individuos de una comunidad la realizacin de una prueba clnica. Se considera que un tres por ciento de los habitantes de esa comunidad han contraido la enfermedad. La prueba no arroja siempre los resultados correctos; es ms, se ha comprobado que suministra falsos positivos el 5% de los casos y falsos negativos el 4% de los casos. Un conocido nuestro se present al examen y el examen result positivo. Nuestro amigo se encuentra angustiado. Tiene razn de estar tan preocupado? Calcule la probabilidad de tener la enfermedad dado que la prueba result positiva.

5) El sistema elctrico de una ciudad es alimentado por tres lneas de conduccin paralelas A, B, C. En pocas de paz, cada una de las lneas tiene dos aspectos sensibles. La conduccin propiamente dicha y las instalaciones de los transformadores que se encuentran al final de cada lnea. Supngase que todas las instalaciones (lneas y transformadores) operan independientemente. (es una suposicin muy fuerte). Por la lnea 1 se puede transportar el 100 % de carga de la ciudad y por cada una de las lneas dos y tres se pueden transportar el 70 %. Suponga que la probabilidad de funcionamiento normal de cada lnea es de 0.92, y la probabilidad de funcionamiento normal de cada transformador es de 0.94. Cul es la probabilidad de racionamiento de energa en la ciudad ?

6) Suponga que son eventos asociados a un espacio muestral. Diga si las siguientes proposiciones son ciertas o falsas. Justifique su respuesta.

a) Si son excluyentes entonces son independientes

b) Si son independientes y son independientes entonces son independientes

c) Si entonces son dependientes

d) Si la no ocurrencia de implica un aumento en la probabilidad de no ocurrencia de B entonces son dependientes

e ) Para cualesquier sucesos

7) En una fbrica de productos alimenticios el control de calidad se ejerce sobre tres aspectos cruciales del proceso. El peso, la calidad del empaque y el color del producto. Las estadsticas recogidas en el ltimo mes muestran la situacin: el 95% del peso de los artculos producidos est conforme a los estndares que la empresa se ha propuesto. El 92% de los artculos cumplen con el factor de empaque. El 96% de los artculos cumplen las especificaciones del color. Supngase que los tres factores son independientes entre s. (Es una suposicin fuerte, pero en una primera instancia podemos aceptarla). Realizamos el siguiente experimento :De la corriente de productos terminados obtenemos uno de esos artculos. Calcule i) la probabilidad de que este artculo no cumpla con alguno de los estndares de calidad ii) la probabilidad de que tenga exactamente dos factores por fuera de los estndares.

8) Las personas que andaban por la cuadrcula de tamao n, caminando en sentidos opuestos, felizmente se encontraron. Cul es la probabilidad de que se hubiesen encontrado en el centro de la cuadrcula?

9) En esta difcil poca de Seguridad Democrtica la Polica Metropolitana realiza redadas por ciertos puntos calientes de la ciudad de Cali. Las personas que caen en la operacin son llevadas ante un juez que debe dictaminar en un plazo perentorio (aunque a veces no lo es tanto) si el individuo es llevado a una instancia judicial superior o si el individuo debe ser liberado a la maana siguiente (en el caso de ser infractor) o si el individuo debe ser liberado inmediatamente. En las redadas se cometen muchas arbitrariedades. Es as que un analista ha indicado que el 80% de los individuos que caen en la redada son totalmente inocentes, que el 12% son pequeos infractores (no son delincuentes, a lo ms son consumidores de drogas) y slo un 8% son delincuentes. El mismo analista ha estudiado el comportamiento de justicia rpida que realiza ese juez de instruccin y ha elaborado la siguiente tabla de probabilidades condicionales: Declaracin del juez El detenido es : InocenteInfractorJusticia superior

Inocente0.750.150.10

Infractor0.500.350.15

Delincuente0.200.450.35

a) Un individuo cae en una de estas redadas. Cul es la probabilidad de que el juez lo enve a una instancia superior? b) Suponga que el juez decide enviarlo a una instancia superior Cul es ahora la probabilidad de que el individuo detenido sea inocente?

10) El suministro de agua para una ciudad se hace desde dos embalses a y b. A causa de la variacin de la precipitacin durante el ao, la cantidad de agua en cada embalse puede exceder o no exceder la capacidad normal. Sea el evento : la cantidad de agua en el embalse a excede la capacidad normal y sea la correspondiente para el embalse b. Adems se han estimado las siguientes probabilidades: . Se sabe adems, que las probabilidades de que la ciudad tenga un suministro satisfactorio de agua si nicamente un embalse excede la capacidad normal, ambos embalses lo hacen y ninguno lo hace son respectivamente: Cul es la probabilidad de que la ciudad tenga un suministro satisfactorio de agua (problema tomado de Probability for civil engineers)

Daniel ArbelezCali, Septiembre de 2013