PROBLEMAS DE PROGRAMACION LINEAL

DE JHONNY CCAPA ALMIRON CARLOS W. SUTTONPROBLEMAS DE PROGRAMACION LINEAL Problemas resueltos de programacin lineal 1

Unos grandes almacenes encargan a un fabricante pantalones y chaquetas deportivas. El fabricante dispone para la confeccin de 750 m de tejido de algodn y 1000 m de tejido de polister. Cada pantaln precisa 1 m de algodn y 2 m de polister. Para cada chaqueta se necesitan 1.5 m de algodn y 1 m de polister. El precio del pantaln se fija en 50 y el de la chaqueta en 40 . Qu nmero de pantalones y chaquetas debe suministrar el fabricante a los almacenes para que stos consigan una venta mxima?1 Eleccin de las incgnitas.

x = nmero de pantalones

y = nmero de chaquetas

2 Funcin objetivo

f(x,y)= 50x + 40y3Restricciones

Para escribir las restricciones vamos a ayudarnos de una tabla:pantalones

chaquetas Disponible algodn 1 1,5 750 polister 2 1 10004 Hallar el conjunto de soluciones factibles

Tenemos que representar grficamente las restricciones.Al ser x 0 e y 0, trabajaremos en el primer cuadrante. Representamos las rectas, a partir de sus puntos de corte con los ejes.

5 Calcular las coordenadas de los vrtices del recinto de las soluciones factibles.La solucin ptima, si es nica, se encuentra en un vrtice del recinto. stos son las soluciones a los sistemas:

2x + 3y = 1500; x = 0 (0, 500)

2x + y = 1000; y = 0 (500, 0)

2x + 3y =1500; 2x + y = 1000 (375, 250)

6 Calcular el valor de la funcin objetivoEn la funcin objetivo sustituimos cada uno de los vrtices.

f(x, y) = 50x + 40y

f(0, 500) = 500 + 40500 = 20000

f(500, 0) = 50500 + 400 = 25000

f(375, 250) = 50375 + 40250 = 28750 Mximo

La solucin ptima es fabricar 375 pantalones y 250 chaquetas para obtener un beneficio de 28750 . 2

Una compaa fabrica y venden dos modelos de lmpara L1 y L2. Para su fabricacin se necesita un trabajo manual de 20 minutos para el modelo L1 y de 30 minutos para el L2; y un trabajo de mquina para L1 y de 10 minutos para L2. Se dispone para el trabajo manual de 100 horas al mes y para la mquina 80 horas al mes. Sabiendo que el beneficio por unidad es de 15 y 10 euros para L1 y L2, respectivamente, planificar la produccin para obtener el mximo beneficio.1Eleccin de las incgnitas.

x = n de lmparas L1

y = n de lmparas L2

2Funcin objetivo

f(x, y) = 15x + 10y3 RESTRICCIONESL1L2TiempoManual1/31/2100Mquina 1/31/6804 Hallar el conjunto de soluciones factibles

Tenemos que representar grficamente las restricciones.Al ser x 0 e y 0, trabajaremos en el primer cuadrante.

Representamos las rectas, a partir de sus puntos de corte con los ejes. Resolvemos grficamente la inecuacin: 1/3 x + 1/2 y 100; para ello tomamos un punto del plano, por ejemplo el (0,0).

1/30 + 1/20 1001/30 + 1/60 80

La zona de interseccin de las soluciones de las inecuaciones sera la solucin al sistema de inecuaciones, que constituye el conjunto de las soluciones factibles.

5 Calcular las coordenadas de los vrtices del recinto de las soluciones factibles.La solucin ptima si es nica se encuentra en un vrtice del recinto. stos son las soluciones a los sistemas:

1/3x + 1/2y = 100; x = 0 (0, 200)

1/3x + 1/6y = 80; y = 0(240, 0)

1/3x + 1/2y = 100; 1/3x + 1/6y = 80(210, 60)

6 Calcular el valor de la funcin objetivoEn la funcin objetivo sustituimos cada uno de los vrtices.

f(x, y) = 15x + 10y

f(0, 200) = 150 + 10200 = 2 000

f(240, 0 ) = 15240 + 100 = 3 600

f(210, 60) = 15210 + 1060 = 3 750 Mximo

La solucin ptima es fabricar 210 del modelo L1 y 60 del modelo L1 para obtener un beneficio de 3 750 . 3

Una empresa de transportes tiene dos tipos de camiones, los del tipo A con un espacio refrigerado de 20 m3 y un espacio no refrigerado de 40 m3. Los del tipo B, con igual cubicaje total, al 50% de refrigerado y no refrigerado. La contratan para el transporte de 3 000 m3 de producto que necesita refrigeracin y 4 000 m3 de otro que no la necesita. El coste por kilmetro de un camin del tipo A es de 30 y el B de 40 . Cuntos camiones de cada tipo ha de utilizar para que el coste total sea mnimo?1Eleccin de las incgnitas.

x = camiones de tipo A

y = camiones de tipo B

2Funcin objetivo

f(x,y) = 30x + 40y 3 RESTRICCIONESABTotalRefrigerado20303 000No refrigerado40304 000 20x + 30y 3 000 40x + 30y 4 000 x 0 y 0

4 Hallar el conjunto de soluciones factibles

5 Calcular las coordenadas de los vrtices del recinto de las soluciones factibles.

6 Calcular el valor de la funcin objetivo

f(0, 400/3) = 30 0 + 40 400/3 = 5 333.332f(150, 0) = 30 150 + 40 0 = 4 500Como x e y han de ser nmeros naturales redondeamos el valor de y.f(50, 67) = 30 50 + 40 67 = 4180

MnimoEl coste mnimo son 4 180 para A = 50 yz B = 67.