Diciembre 25, 2007

Diciembre 25, 2007

Reglamento: ProblemasSemanalesArchivado en: problemas semanales Jorge Tipe @ 10:42 pm

A continuacin algunas reglas para mantener el orden en este nuevo proyecto. Ya falta poco para subir los primeros problemas!, lean las reglas por favor.

[Hice una modificacin importante en el 9, despus de haber recibido algunas propuestas de problemas]

1) El objetivo de los Problemas Semanales es incentivar la resolucin de problemas matemticos ( no tradicionales ) a nivel escolar, especficamente en nivel secundario, y est dirigido tanto a alumnos como a profesores de todo el Per.

2) El objetivo secundario es que estos problemas sirvan de entrenamiento a los alumnos que se presentarn en la siguiente Olimpiada Nacional Escolar de Matemtica (ONEM).

3) Seguir la divisin de los alumnos en niveles de la ONEM, es decir:

Nivel 1: Primero y segundo de secundaria.

Nivel 2: Segundo y tercero de secundaria.

Nivel 3: Quinto de secundaria.

siguiendo esto, subir tres problemas semanales, uno por cada nivel.

4) La participacin es totalmente abierta, es decir, cualquier persona puede resolver cualquier problema de cualquier nivel. Naturalmente, es recomendable que un alumno se concentre en los problemas correspondientes a su nivel y que los profesores trabajen con los problemas de los tres niveles.

5) (sta si es importante) En los cuatro siguientes das a la publicacin del grupo de tres problemas, pueden hacer consultas (por medio de comentarios) nicamente acerca de los enunciados de los problemas, osea si no entienden que pide el problema, o no conocen alguna definicin que uso en el enunciado. Est prohibido comentar acerca de la solucin de los problemas en el transcurso de los primeros cuatro das.

6) Pasados los cuatro das ya pueden hacer consultas de otro tipo, puede ser para pedir una sugerencia a mi o a uno de ustedes, o quizs preguntar si tal o cual idea funcionar en la solucin del problema. En este perodo de tres das es recomendable que alguno de ustedes escriba su solucin, incluso si no est completa.

7) Pasados los tres das subir las soluciones y las referencias de los problemas (si es que las hay).

8 ) La dificultad de los problemas ser variable y estarn sujetas a mi criterio. Por ejemplo, puede ser que en la semana X el problema del nivel 1 sea fcil y el del nivel 2 difcil, y que en la semana X+1 el problema del nivel 1 sea muy difcil y el del nivel 2 intermedio.

9) Acepto que me sugieran problemas, de preferencia si saben su origen (por ejemplo, problema del pas X del ao Y) y sera mucho mejor si me sugieren problemas que han sido creados por ustedes mismos. Me tienen que hacer llegar los problemas a mi correo jorgetipe(arroba)gmail.com y no mediante un comentario. [modificacin] Cuando me envien problemas, deben estar con su solucin completa por tres motivos: para saber que estan bien propuestos, ver que son elementales (es decir, que pueden ser resueltos por un estudiante de secundaria) y de paso, me dan una ayuda cuando necesite publicar las soluciones. 10) Por ltimo, es importante recalcar que los Problemas Semanales es un proyecto personal con el fin de incentivar la matemtica, no es una obligacin, ni mucho menos me pagan por hacerlo. As que estn sujetos a mi disponiblidad, les aviso que puede ser que alguna semana no suba los problemas o me demore en subirlos, esto podra suceder, por ejemplo, si viajo o si estoy en poca de exmenes. Pero tienen, por parte ma, el compromiso de que voy hacer todo lo posible para que esto funcione, por su parte espero tambin ese compromiso.

Atentamente,

Jorge Tipe

Diciembre 26, 2007

Enunciados, Semana1Archivado en: problemas semanales Jorge Tipe @ 9:43 pm

Si an no han ledo las reglas, lanlas ms abajo, en el post anterior.

Comienzo de esta forma con la primera entrega de los Problemas Semanales, espero que les gusten y se diviertan resolvindolos. No se olviden que los primeros cuatro das, a partir de la hora de publicacin de este post, solo pueden hacer consultas sobrelos enunciados de los problemas.!Qu les vaya bien con los problemas!

P.D. Seguir la siguiente numeracin de los problemas:M.N indica el problema del nivel N de la Semana M.1.1 Consideremos la siguiente expresin: | 1#2#3#4##2006#2007 |tenemos que reemplazar cada smbolo# por un + o por un - . Cul es el menor nmero que se puede conseguir luego de hacer estos reemplazos?

Aclaracin: Las barras | | indican valor absoluto.1.2 Quince elefantes estn en una fila. Sus pesos estn expresados por un nmero entero de kilogramos. La suma del peso de cada elefante (a excepcin del que est ms adelante) con el doble del peso del elefante que estdelante de les exactamente 15 toneladas. Determine el peso de cada elefante.1.3 Halle el mayor nmero d, que divide a todos los nmeros de la forma n(n+1)(2n+1996), donde n es un nmero natural.

Soluciones, Semana11.1 Demostraremos que el menor valor posible es 0, como la expresin pedida es un valor absoluto, bastar dar un ejemplo para garantizar que el mnimo es 0.

Sea INCLUDEPICTURE "http://l.wordpress.com/latex.php?latex=n%5Cgeq+2&bg=ffffff&fg=000000&s=0" \* MERGEFORMATINET

un nmero entero. Podemos cambiar adecuadamente los signos # delante de los nmeros para conseguir 0, de la siguiente forma

comenzamos la construccin del ejemplo con:

luego, a los otros 2004 nmeros los dividimos en cuaternas:

como la suma para cada cuaterna da 0, el resultado total tambin es 0.

(Este problema es clsico, de hecho si cambian el 2007 por otro nmero se obtiene un problema similar. Por ejemplo, pueden analizar el problema cambiando el 2007 por un 2006)

_____________________________________________

1.2 Sean los pesos de los elefantes (expresados en kilos). Notemos que cada es entero y adems, . Tenemos las siguentes ecuaciones:

: :

Vamos a hacer los siguientes cambios de variables: Para cada sea . Notemos que cada es un nmero entero (aunque no necesariamente positivo), luego de reemplazar obtenemos

: :

de donde deducimos que . Como entonces , ahora, como es mltiplo de , necesariamente . Finalmente, es fcil deducir que todos los son iguales a 0, y en consecuencia todos los son iguales a 5000.

(Problema propuesto en el Torneo de las Ciudades, 1989)

_______________________________________1.3 En particular, debe dividir a los nmeros:

luego, divide al M.C.D de estos dos nmeros, que es . Con esto tenemos que .

Demostremos que el mayor valor posible de es 12, para esto, tenemos que demostrar que todos los nmeros de la forma: son divisibles por 12.

Sea . Como es siempre par, entonces es mltiplo de 4.

Sea , como el producto de tres enteros consecutivos es siempre mltiplo de 3, entonces es mltiplo de 3. Notemos que:

es siempre mltiplo de 3. Con esto deducimos que es siempre mltiplo de 3. Finalmente, como ya vimos, es siempre mltiplo de 4, por lo tanto, es siempre mltiplo de 12. Como queramos demostrar.

(Este problema fue propuesto en la Olimpiada de Moldvia, 1996)

Enero 6, 2008

Enunciados, Semana2Archivado en: problemas semanales Jorge Tipe @ 3:34 pm

Disculpen si no les pude contestar a sus comentarios estos dos ltimos das, me encuentro ahora en el IMPA, en Brasil, as que desde ahora seguir con el blog pero desde otra ciudad, espero que sigan con el mismo entusiasmo que he notado en las siguientes ediciones de los problemas semanales.

He recibido algunos problemas para ser incluidos en los problemas semanales, pero me he dado cuenta que me falto poner algo en el reglamento, que me envien no solo el enunciado si no tambin la solucn, pueden ver la modificacin que hice en Reglamento, Problemas Semanales ms abajo, ahi tambin pongo los motivos de la modificacin.

Ahora, los enunciados, pero se darn cuenta que en el fondo se trata de un solo problema, ms general.

La funcin es estrictamente creciente (es decir, ), adems, para todo nmero natural se cumple que .

2.1 Calcule los valores de y .

2.2 Para cada nmero natural , calcule el valor de . Adems, demuestre que todas las potencias de 3 pertenecen a la imagen de la funcin .

2.3 Calcule el valor de .

Aclaracin: Decimos que el nmero natural pertenece a la imagen de la funcin , si podemos encontrar un nmero natural tal que .

Soluciones, Semana2Es fcil notar que, debido a que es estrictamente creciente, se cumple que , , , , y en general se cumple que , para todo natural.

2.1 Como entonces . Si tendramos que . Si tendramos que , que no es posible. Concluimos que , aplicando en ambos lados obtenemos y aplicando nuevamente: , una vez ms . Notemos que:

y en consecuencia y . Para finalizar notemos que .

_____________________________________________

2.2 [Har algunas modificaciones a la solucin de Virgilio Failoc, que estaba correcta]Demostrar por induccin que , para que es correcto, ahora para demostrar que reemplazaremos n en la ecuacin general por obtenemos , ahora aplicando a ambos lados obtenemos de donde queda demostrado que ; ahora tambin vemos que y sea , por lo tanto que de donde tambin demostramos que cada potencia de tres pertenece a la imagen de la funcin .

_______________________________________2.3 Del problema 2.2 deducimos que y , por lo tanto

de donde notamos que (noten que esto vale no solamente para 9 y 18, sino que en general, para y ). Como tenemos que .

Anlogamente, como y , entonces , es decir, para , en particular .

Concluimos que .

Enero 24, 2008

Enunciados, Semana4Archivado en: problemas semanales Jorge Tipe @ 10:14 am

Es hora de los enunciados de la Semana 4, por ahora no tengo mucho tiempo para subir las soluciones de la Semana 3, en cuanto tenga oportunidad lo hago. Pueden escribir sus soluciones a partir del 28 de enero.4.1 Se tienen 19 pesas distintas de 1 g, 2 g, 3 g, , 19 g. Nueve son de acero, nueve son de bronce y una es de oro. Se sabe que el peso total de las pesas de acero es 90 g superior al peso total de las pesas de bronce. Hallar el peso de la pesa de oro.

4.2 Consideremos el nmero .

a) Demuestre que es un cuadrado perfecto.

b) Determine el resto de dividir entre 9.4.3 Sea la mayor raz de la ecuacin

Calcule el valor de .

Soluciones, Semana33.1 [Solucin de Juan Carlos, un poco modificada] Los nmeros que tienen exactamente dos divisores son primos; los que tienen un nmero impar de divisores son cuadrados perfectos. Con esto es primo y es un cuadrado perfecto, digamos que , entonces . Desarrollamos: como es primo sus factores deben ser el mismo y la unidad, entonces , y . Por lo tanto, reemplazando: , y . Por lo tanto tiene exactamente dos divisores positivos.

(Problema sugerido por el prof. Jery Huamani, propuesto en el Canguro Matemtico)

___________________________________________________________________________________________________________

3.2 [Siguiendo la idea principal de gustavo] Dado , calculemos en funcin de .

notemos que 121 es mltiplo de 11. Como es mltiplo de 11 y entonces tambin es mltiplo de 11. Por el mismo motivo, tambin es mltiplo de 11, en general, todos los nmeros de la forma son mltiplos de 11. Por lo tanto, es mltiplo de 11. Luego, tiene una de las formas: , , .

Por otro lado, como , concluimos que es de la forma .

(Problema modificado a partir de uno de la Olimpiada Matemtica Flanders (Blgica), 1989)

Enero 24, 2008

Enunciados, Semana4Archivado en: problemas semanales Jorge Tipe @ 10:14 am

Es hora de los enunciados de la Semana 4, por ahora no tengo mucho tiempo para subir las soluciones de la Semana 3, en cuanto tenga oportunidad lo hago. Pueden escribir sus soluciones a partir del 28 de enero.

4.1 Se tienen 19 pesas distintas de 1 g, 2 g, 3 g, , 19 g. Nueve son de acero, nueve son de bronce y una es de oro. Se sabe que el peso total de las pesas de acero es 90 g superior al peso total de las pesas de bronce. Hallar el peso de la pesa de oro.

4.2 Consideremos el nmero .

a) Demuestre que es un cuadrado perfecto.

b) Determine el resto de dividir entre 9.

4.3 Sea la mayor raz de la ecuacin

Calcule el valor de .

Soluciones, Semana44.1 [Solucin de Brian] Sean:: peso total de las pesas de acero: peso total de las pesas de bronce: peso de la pesa de oroEntonces, .El menor peso posible de 9 pesas es: ,por consiguiente, .(1)El mayor peso posible de 9 pesas es: , entonces, .Pero por dato sabemos que , luego, de donde ..(2)De (1) y (2) obtenemos que por lo tanto .RESPUESTA: La pesa de oro pesa 10g.

(Problema del Pretorneo Internacional de las Ciudades, 1999)

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4.2 [Solucin de la parte a) de Alex Aguirre] a) Transformando :

b) Recordemos el criterio de divisin por 9: Si un nmero natural tiene suma de cifras igual a , entonces , es decir, y dejan el mismo resto al ser divididos por 9.Como la suma de cifras del nmero es 15, y 15 deja el mismo resto que 6 al ser divididos por 9, entonces $\sqrt{A}$ dejo resto 6 al ser dividido por 9.

(Problema de la Olimpiada Brasilea (primera Fase), 2002)

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4.3) [Solucin de Roy] Como es raiz de la ecuacion entonces Ahora, debemos hallar , vamos a bajarle el grado reemplazando sucesivamente :

Esto quiere decir que no importaba que sea la mayor raiz de la ecuacion, ya que la respuesta es la misma para ambas raices.

Soluciones, Semana55.1) [Solucin modificada de Virgilio Failoc] tiene 1980 cifras diferentes de cero. Sea tal que la cifra 1 se repita k veces, la cifra 2 se repite 2k veces. la cifra 9 se repite 9k veces, vemos que el numero de cifras es entonces entonces k=44.

Bien, si es mltiplo de 3 entonces es mltiplo de 9 entonces al sumar los dgitos de , si es mltiplo de 3 pero no de 9, concluimos que no puede ser cuadrado perfecto.Sumemos las cifras de N, Que es igual a , notamos que es mltiplo de 3 mas no de 9, por lo tanto no puede ser cuadrado perfecto.

( Problema de la V Olimpiada del Cono Sur, 1994)

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5.2) [Solucin de Alex Aguirre] Primero, si tiene una sola cifra se tendr: , para esta expresin da 0, para otro valor de la expresin toma un valor negativo, luego, si tiene una sola cifra el mximo valor es 0.

Si tiene dos cifras se tiene:

latex n= \overline{ab} $, luego, solo tenemos que maximizar estos dos sumandos que dependen cada uno de una variable., esta expresin se maximiza con y resulta , esta expresin se maximiza con y resulta Luego tenemos que la expresin completa para dos cifras es como mximo Por lo tanto lo pedido se maximiza cuando tiene dos cifras y es igual a .

Observacin: Por la desigualdad entre la media aritmtica y geomtrica sabemos que se cumple que , para todos los reales positivos y y que la igualda se da solamente cuando . En el problema, como y son positivos tenemos que , es decir, , y que la igualda se da solamente cuando $a=10-a$, es decir cuando .

(Problema de la VIII Olimpiada del Cono Sur, 1997 )

____________________________________________________________________________________________________________

5.3) Las fracciones:

sern irreductibles si y solamente si las siguientes fracciones tambin lo son:

si restamos 1 a cada fraccin seguirn siendo irreductibles, es decir, tenemos que hallar el menor para el cual las fracciones:

son irreductibles. Sea ( ), entonces si . Como , tiene algn factor primo .

no puede ser 2, 3, 5, 7, 11, 13 17, porque entre los nmeros 19, 20, 21, 22, , 91 hay al menos un mltiplo de 2, un mltiplo de 3, un mltiplo de 5,, un mltiplo de 17.

Si est entre 19 y 91, tendramos que , que es una contradiccin.

Concluimos que , luego, el mnimo valor de es 97. Como es factor primo de , concluimos tambin que . Finalmente, es fcil notar que es posible (pues 97 no comparte factores con ninguno de los nmeros 19, 20, 21, 22, , 91). Por lo tanto, el mnimo valor de es 95.

(Problema de la X Olimpiada del Cono Sur, 1999 )

Febrero 16, 2008

Enunciados, Semana7Archivado en: problemas semanales Jorge Tipe @ 3:48 pm

Como veo que no le hicieron mucho caso a los retos anteriores, no voy a desaprovecharlos. Por otro lado, espero ver ms soluciones para esta semana, han estado disminuyendo el nmero de soluciones enviadas, no se porque motivo, pero definitivamente hay menos personas participando de los que vi en la Convocatoria que hice al inicio, en ese entonces haba mucha gente animada qu pas ?

Recuerden que no es necesario que resuelvan los tres problemas a la vez. Pueden subir sus soluciones a partir del 20 de febrero.Decimos que un nmero natural es suma de dos cuadrados, si se puede expresar como la suma de dos cuadrados perfectos ( los cuadrados perfectos son ).

En los siguientes problemas quizs les es conveniente usar la identidad de Lagrange:

7.1) a) Demuestre que el nmero 57744 es suma de dos cuadrados.

b) Se tiene nmeros naturales consecutivos, donde cada uno de ellos es suma de dos cuadrados. Halle el mayor valor posible de .

7.2) a) Demuestre que es suma de dos cuadrados si y solamente si es suma de dos cuadrados.

b) El nmero 2008 es suma de dos cuadrados ?

7.3) Las diagonales y de un cuadriltero convexo cclico se intersectan en el punto . Dadas las longitudes , , y , determine la longitud de .

1. Estas son mis soluciones:Parte a)

Arreglando el nmero:

Parte b)

Esta parte considero que es la ms interesante y lo mejor que se haya puesto hasta ahora. Empiezo explicando que los nmeros enteros positivos , que pueden ser expresados como la suma de dos cuadrados son de tres formas las cuales son:

De donde es directo que no podr ser expresado como la suma de dos cuadrados.Es directo tambien, que solo podran existir tres nmeros consecutivos que pueden ser expresados como la suma de dos cuadrados.

7.2Todas las variables que mencionare se refieren a enteros positivos.

Parte a)

Primera parte si entero positivo, se puede expresar como la suma de dos cuadrados demostrare que , tambien se puede expresar como la suma de dos cuadradosSea , expresable como Entonces , lo cual es equivalente a:

si se puede expresar como la suma de dos cuadrados , tambien se podra expresar como la suma de dos cuadrados.

De donde es directo si se puede expresar como la suma de dos cuadrados , tambien se podra expresar como la suma de dos cuadrados.

Segunda parte si entero positivo, se puede expresar como la suma de dos cuadrados demostrare que , tambien se puede expresar como la suma de dos cuadradosSea , expresable como la suma de dos cuadrados puede ser de dos formas viendo en la parte b) de 7.1 las formas pares las cuales son:

Primero asumiendo la primera forma par

Entonces:

Asumiendo la segunda forma par

Entonces:

si se puede expresar como la suma de dos cuadrados , tambien se podra expresar como la suma de dos cuadrados.

De donde es directo si se puede expresar como la suma de dos cuadrados, tambien se podra expresar como la suma de dos cuadrados.

Parte b)

Entonces por la parte a) de este mismo apartado que dice:

Si se puede expresar como la suma de dos cuadrados , tambien se podra expresar como la suma de dos cuadrados.

Entonces solo basta analizar Analizando:

Como ya he demostrado anteriormente estos nmeros no pueden ser expresados como la suma de dos cuadrados.

Si no se puede expresar como la suma de dos cuadrados , tampoco se podr expresar como la suma de dos cuadrados.

7.3

Todo cuadrilatero ciclico se puede inscribir en una circunferenciaDe esto se tiene:

Luego los triangulos y son semejantes, tambien los triangulos y son semejantes.

Aplicando semejanza

Reemplazando valores: Aplicando ley de cosenos en los triangulos y

Reemplazando valores: Aplicando semejanza

Reemplazando valores:

Comentario por ALEX AGUIRRE Febrero 21, 2008 @ 9:35 am