PROF: JAIME QUISPE CASASI.E.P.Nº 2874 Ex 451

2013

SISTEMAS DE MEDIDAS ANGULARES

TEORÍA Y EJERCICIOS RESUELTOS

SISTEMAS DE MEDIDAS ANGULARES

En este campo de la trigonometría para expresar la medida de los ángulos se emplean los siguientes sistemas:

1.- El sistema sexagesimal o sistema ingles

2.- El sistema centesimal o sistema francés

3.- El sistema radial o sistema circular

SISTEMA SEXAGESIMAL (S)

Llamado también ingles, es aquel sistema cuya unidad de medida angular es el grado sexagesimal (º) que es igual a la 360 ava parte de una vuelta ( circunferencia)

nciaCircunfere 360

1

O

A

B

1º

NOTACIÓN:1º: un grado sexagesimal1’: un minuto sexagesimal1’’: un segundo sexagesimal

Equivalencias: Una vuelta 360º1º 60’1’ 60’’1º 3600’’

Ejercicios de aplicación

1) Expresar 3945’ en grados sexagesimales

Resolución

''60

'1''30

Usando las equivalencias respectivas tenemos

º75,65

2) Expresar 45º25’30’’ a grados sexagesimales

Primero pasamos los 30’’ a minutos

'60

º1'3945

'5,0

Ahora tenemos 45º25,5’

'60

º1'5,25 º425,0

Sumamos: 45º + 0,425º

45,425º

45º25’30’’ 45,425º

Ejercicios de aplicación

3) Expresar 87,32º en grados, minutos y segundos sexagesimales

Resolución

º1

'60º32,0

87º + 0,32º

'2,19

87º + 19’ + 0,2’

'1

''60'2,0 ''12

87º +19’ + 12’’ 87,32º 87º19’12’’

Ejercicios de aplicación

4) Expresar 4058’’ en grados, minutos y segundos sexagesimales

Resolución

4058’’ 4058’’ 1º7’38’’60’’6458 7’

38’’

67’ 60’1º7’

5.- Expresa la medida de cada ángulo en grado, minutos y segundo

13,45º=

4600’’ =

7884’’ =

15,23º =

189º =

13º26’60’’

1º16’40’’

188º59’60’’

15º13’48’’

2º11’24’’

SISTEMA CENTESIMAL (C)

Llamado también sistema francés, es aquel sistema que tiene como unidad de medida angular el grado centesimal (g), que es igual a la 400 ava parte del ángulo de una vuelta

nciaCircunfere 400

1

NOTACIÓN:1g: un grado centesimal1m :un minuto centesimal1s :un segundo centesimal

Equivalencias: Una vuelta 400g

1g 100m

1m 100s

1g 10000s

O

A

B

1g

Ejercicios de aplicación

1) Expresar 50g 25m 45s a grados centesimales

Resolución

m

gm

100

125

g0045,0

Primero pasamos los 45s a grados centesimales

s

gs

10000

145

g25,0

La expresión 50g 25m 45s podemos escribirla

50g +25m +45s 50g +0,0045g +0,25g

50g +25m +45s 50,2545g

Ejercicios de aplicación

2) Expresar 20,3465g a grados , minutos y segundo centesimales

Resolución

g

mg

1

1003465,0

La expresión 20,3465g se puede escribir así

m65,34

La expresión 20,3465g podemos escribirla

20g +34m +65s 20g 34m 65s

20g + 0,3465g

m

sm

1

10065,0

s65

mm 65,034

SISTEMA RADIAL (R)

Llamado también sistema circular , es aquel sistema que tiene por unidad de medida el radián(rad), que es el ángulo en el centro de la circunferencia cuya longitud de arco es igual a la longitud del radio de la circunferencia.

Equivalencias: Una vuelta 2rad

1/2 /2 radO

A

B

1 ra

dr

r

r

RELACION ENTRE SISTEMAS DE MEDIDAS ANGULARES

Sean S,C y R los números que representan la medida de un mismo ángulo, en los sistemas sexagesimales, centesimal y radial respectivamente.

rad 2

R

400

C

º360

Sg

rad

R

200

C

º180

Sg

De la relación se deduce

g10

C

º9

S rad

R

º180

S

rad

R

º200

C

Ejercicios de aplicación

1) Convertir 72º a grados centesimales y radianes

Resolución

g10

C

º9

S g10

C

º9

º72 9

)10(72C g80C

rad

R

º180

S

rad

R

º180

º72

º180

)rad (º72R

rad5

2R

Ejercicios de aplicación

2) Convertir 120g a grados sexagesimales y radianes

Resolución

g10

C

º9

S g

g

10

120

º9

S g

g

10

)º9(120S º108S

rad

R

200

Cg

rad

R

200

120g

g

g

g

200

)rad (120R

rad5

3R

Ejercicios de aplicación

Resolución

rad

R

º180

S

rad

rad4

5

º180

S

rad

rad4

5º180

S

º225S

escentesimaly lessexagesima grados a rad4

5 Expresar )3

rad

R

º200

C

rad

rad4

5

º200

C

rad

rad4

5º200

S

g250S

Ejercicios de aplicación

4) Convertir 24,5g a grados sexagesimales y radianes

Resolución

g10

C

º9

S g

g

10

5,24

º9

S 10

)9(5,24S º5,22S

rad

R

º200

C

rad

R

200

5,24g

g

200

)rad (5,24R

rad400

49R

Ejercicios de aplicación

5) Hallar la medida de un ángulo expresado en radianes, si se cumple que: C – S = 4

Resolución

4SC 4rad

R180

rad

R200

rad5

R

rad

R

º200

C

rad

R200C

rad

R180S

rad

R

º180

S

4rad

R20

6) Calcular la medida de un ángulo expresado en radianes si:

Resolución

rad10

R

10

5x3

9

7x5

S = 5x - 7 C = 3x + 5y

Calculando el valor de “x”

g10

C

º9

S 45x2770x50

7045x27x50 115x23 5x S = 5x - 7

S = 18Calculando “R”

rad

R

º180

S

rad

R

º180

º18

S = 5(5) - 7

Ejercicios propuestos

1) Expresar el complemento de 30º en el Sistema Circular.

a) rad3

rad

6

rad4

rad

5

rad

8

c)b) d) e)

2) Determinar la medida de un ángulo en radianes sabiendo que 2

8

CR

20

SR

a) rad6

rad

8

rad4

rad

5

rad

10

c)b) d) e)

3) Los ángulos congruentes de un triangulo isósceles son ( 8x – 3 ) º y ( 9x – 4 )g hallar la medida del ángulo desigual expresado en radianes

a) rad3

rad

5

2 rad10

rad

5

4rad

2

c)b) d) e)

Ejercicios propuestos

4) Hallar la medida de un ángulo expresado en radianes si se cumple que 3S – 2C = 14

a) rad9

rad

10

rad2

rad

5

rad

8

c)b) d) e)

5) Determinar la medida de un ángulo en radianes sabiendo que

m

mg

1

11

'1

'1º1E

a) rad rad 2 rad4

rad 5 rad

10

c)b) d) e)

6) Calcular el valor de

a) 160 171 162 163 174c)b) d) e)

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CRSR5