PROFESORADO EN MATEMÁTICA 3ER AÑO - … · matemático Pitágoras de Samos accede a responder el...
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DIRECCIÓN GENERAL DE CULTURA Y EDUCACIÓN
DIRECCIÓN DE EDUCACIÓN SUPERIOR
INSTITUTO SUPERIOR DE
FORMACIÓN
DOCENTE N° 127
"CIUDAD DEL ACUERDO"
PROFESORADO EN MATEMÁTICA
3ER AÑO
HISTORIA DE LA MATEMÁTICA
TRABAJO DE SÍNTESIS
PROFESOR:
JUAN IGNACIO GAMITO
ALUMNO:
MARÍA FERNANDA BARONI RODRÍGUEZ
CICLO LECTIVO: 2012
Historia de la Matemática Trabajo de síntesis
Baroni Rodríguez María Fernanda 2
Índice:
Lista de consignas que constituyen el trabajo Página
1. Línea del tiempo de la evolución del conocimiento matemático…. 3
2. Situación hipotética: “entrevista a Pitágoras de Samos”………….. 12
3. Historieta de los problemas de la antigüedad clásica……………… 20
4. Análisis filmográfico………………………………………………. 22
5. Club de la hipotenusa……………………………………………… 28
6. Bibliografía………………………………………………………... 31
Historia de la Matemática Trabajo de síntesis
Baroni Rodríguez María Fernanda 3
Consigna 1:
Confeccionar en formato digital una línea de tiempo que describa la evolución del
conocimiento matemático y la aparición de los notables que tuvieron en sus manos la
creación de alguna nueva rama o aporte de la Ciencia Matemática.
En la siguiente línea histórica, los nobles que intervinieron en la evolución del
conocimiento matemático, fueron ubicados de acuerdo a su fecha de nacimiento.
Historia de la Matemática Trabajo de síntesis
Baroni Rodríguez María Fernanda 12
Consigna 2:
Desarrollar la siguiente situación hipotética:
Suponiendo que existiese la posibilidad de entrevistar al siguiente Matemático: Pitágoras de
Samos. Se pide:
a) Confeccionar un cuestionario con veinticinco preguntas que le realizaría al pensador.
b) Redacte las posibles respuestas que el mismo hubiese emitido según su criterio
basándose en lo visto durante el ciclo lectivo.
La siguiente entrevista es formulada bajo el supuesto de que el filósofo y
matemático Pitágoras de Samos accede a responder el cuestionario planteado dejando de
lado una de las fundamentales prácticas atribuidas al pitagorismo: el secretismo.
Pitágoras de Samos
Primer matemático puro
Una tarde del 508 a.C, luego del violento ataque a la escuela de Crotona, se
produjo el encuentro, no casual, con el filósofo y matemático Pitágoras de Samos, en la
ciudad de Metaponto, lugar donde residía.
Para dar comienzo a esta encuesta que tiene por finalidad conocer su obra,
quisiera, en primera instancia, indagar en sus inicios.
1. ¿Quiénes fueron sus profesores?
Mi primer maestro de la niñez fue el filósofo Ferécides de Siros, aunque también
considero influyentes en buena medida en mis posteriores resultados a Tales de Mileto y
Anaximandro.
2. ¿Es decir que de alguna manera ellos tres son responsables de su acercamiento al
mundo de las matemáticas?
Yo no le pondría tal acento. Ferécides fue mi maestro, mi primer maestro, de
quién tomé saberes filosóficos. Durante mi juventud tuve el placer de conocer en persona a
Tales de Mileto, quien logró interesarme por las matemáticas y la astronomía; fue de ese
modo que también comencé a asistir a las lecturas de Anaximandro, quien impartía las
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enseñanzas de Tales y fue quien contribuyó a mis conocimientos en geometría y
cosmología. Entonces si quisiéramos de alguna manera dar la connotación de
responsables, la misma sería dirigida explícitamente a Tales y Anaximandro.
3. ¿Qué cree usted que lo diferencia de sus predecesores en cuanto al desarrollo de la
matemática?
Creo que simplemente logré apartarme de las prácticas puramente empíricas
buscando un camino teórico que permita hacer matemática de una forma diferente, es
decir de manera independiente de la realidad concreta, buscando de esta manera
encontrar expresiones generales a hechos particulares.
4. ¿Cuándo toma contacto con los desarrollos en Egipto y Babilonia?
En uno de mis encuentros con Tales, él me aconsejó conocer estos lugares para
poder profundizar mis conocimientos en matemática y astronomía; y fue más o menos
cuando tenía treinta años que decidí viajar allí, donde realmente tomé mis mayores
enseñanzas, no solo en geometría como en aritmética, sino también en lo religioso y
místico.
5. ¿Cuál o cuáles fueron los motivos que lo llevaron a fundar la escuela en Crotona?
Bueno la verdad que es extenso el abordaje de este tema pero voy a ser lo más
sintético posible.
Durante mis viajes aprendí de los egipcios que las formas de las figuras
geométricas se ajustaban a números y proporciones, de los Babilonios, que los
movimientos de los astros estaban regidas por leyes numéricas y de mi propia experiencia,
que la armonía musical también estaba regida por el número, por lo que comencé a
investigar sobre dichas vinculaciones y fue a partir de ahí que descubrí que ciertamente los
aspectos matemáticos estaban ligados a los religiosos en forma mística.
Me llevó a fundarla mis creencias y ansiedad por encontrar métodos deductivos
para demostrar en forma general cuestiones que hasta el momento solo tenían solución
empírica.
6. ¿Estaría errada si en vez de llamarla escuela pitagórica la llamara logia o cofradía
pitagórica?
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No para nada, en realidad estaría más acertada su afirmación ya que dicha
comunidad se trataba de una escuela filosófica y religiosa en donde la actividad científica
fue consecuencia de la doctrina impartida.
7. Entonces, ¿Usted dice que en su esencia la escuela posee una connotación más
religiosa y mística en vez de científico?
Efectivamente. La iniciación fue puramente filosófica-religiosa. La escuela fue un
lugar donde los conocimientos eran desarrollados mediante especulaciones filosóficas y
matemáticas con la finalidad de adquirir armonía con el mundo que nos rodea como así
también ser beneficiarios de armonía interior.
Es decir que la base moral para la dirección de la vida era precisamente la
persecución de los estudios filosóficos y matemáticos.
8. ¿Qué debía cumplir cada miembro que deseara pertenecer a tal culto?
Principalmente se les imponía un régimen vegetariano, debido a mi adherencia a
la doctrina de la trasmigración de las almas; es decir, considero que no debe ser
sacrificado ningún animal ya que este podría ser la nueva morada de un amigo muerto.
Además practicar el secretismo, con lo cual todo conocimiento debía ser
compartido únicamente a los miembros de la comunidad y no se podría atribuir ninguno de
ellos a un miembro concreto de la escuela.
9. ¿Qué papel juega el número en la doctrina pitagórica?
El número es el origen de todas las cosas. Lo encontramos por ejemplo cuando
queremos ordenar sujetos, o cuando queremos encontrar la relación entre dos cosas
expresándola por medio de una proporción numérica. Pero lo que más aún me llevó a
confirmar la existencia del mismo en el cosmos fue haber hallado que los intervalos
musicales que hay entre las notas pueden expresarse numéricamente. De esta manera pude
demostrar que lo cualitativo se denomina en lo cuantitativo.
10. ¿Cómo fue que se dio cuenta de que esos intervalos tenían relación matemática?
En realidad, un día mientras caminaba pasé por un lugar donde se encontraba
trabajando un herrero y al oír los golpes que le daba a un yunque me di cuenta que las
notas que producían esos golpes sonaban en perfecta; y pensé que debía tener alguna
explicación racional ya que sonaban muy atractivas.
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Para poder demostrarlo experimenté con un instrumento de cuerda. Primero
toqué una nota con la cuerda al aire, después pulsada hasta la mitad del mástil, y la nota
casi sonaba igual que la primera. Luego a un tercio de la longitud, dando otra nota que
sonaba armónicamente con las dos primeras, pero no ocurría lo mismo si tomaba un largo
de cuerda que no esté en un número entero.
Y fue así como descubrí que los intervalos de las notas armónicas estaban
representados siempre a una razón de números enteros, siendo esas razones las más
sencillas que se pueden formar con los números de la sagrada Tetractys 1, 2, 3 y 4
11. ¿Qué significado tiene para los pitagóricos la sagrada Tetractys?
Es la clave de la doctrina, esta figura demuestra que el diez, número perfecto,
resulta de sumar los cuatro primeros números enteros (1+2+3+ 4). Es el más sagrado de
todos los números por simbolizar a la creación universal por tener este el sentido de la
totalidad, de final.
12. Usted afirma que se trata de una figura ¿Podría representarla y mostrar sus
características?
Sí, como podrá observar se trata de un triángulo de diez
puntos colocados en cuatro líneas. La unidad simboliza lo divino. El
origen de las cosas; la díada, el desdoblamiento del punto, el origen
de la pareja masculino-femenino. La tríada, los tres niveles del
mundo, es decir, los niveles celeste, terrestre, infernal y todas las trinidades. Y por último
el cuaternario, simboliza los cuatro elementos, tierra, aire, fuego y agua, y con ello la
multiplicidad del universo material.
13. He sentido asociar a su escuela con un pentagrama que dicen llamar místico
¿Podría hablar de ello?
Usted se referirá al símbolo pitagórico que no es el pentagrama en sí mismo, sino
la estrella de cinco puntas que surge de trazar las diagonales de éste.
Ahora bien, estaría en lo cierto si dicha vinculación también viene dada al
profundo estudio de esta figura geométrica, tanto a lo que a su construcción se refiera
como así también a sus propiedades.
14. ¿Cuáles serían esas propiedades del pentagrama a las usted hace referencia?
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Son varias, entre ellas podría mencionar la unicursalidad, es decir, que la estrella
pentagonal inscripta en el pentágono regular puede ser dibujada
realizando un solo trazo continuo, sin pasar dos veces por el mismo
lugar. Si usted me lo permite podría dibujarla.
Otra propiedad mística es ser considerada como el
anagrama supremo de la salud por vincular dicha palabra con ella.
Como sabemos salud es υγιεια de donde deriva higiene y se puede
reflejar en el mismo haciendo una contracción de una letra.
Puede apreciarse también que el dicho pentagrama
aparece también en la Tetractys.
15. Regresando a los números. Usted respondió a la pregunta acerca de ellos
afirmando que los mismos son el todo. ¿Esto significaría que un papiro, por ejemplo,
representaría un número?
Por supuesto, cuando digo que el número es el origen de todas las cosas, me estoy
refiriendo por ejemplo también a un papiro. Son las representaciones de los números la
base para poder asegurar mi afirmación.
Precisamente, por la yuxtaposición de puntos podemos obtener una línea, y por
yuxtaposición de estas una superficie, obteniendo el cuerpo por la combinación de
superficies. Y como son los puntos, las líneas y las superficies los elementos que conforman
todos los cuerpos, estoy en condiciones de afirmar que todo cuerpo es un número.
16. Entonces según sus declaraciones existirían distintos números qué puedan ser
asociados a diferentes cosas. ¿Cuáles serían?
La verdad que muy acertada su conclusión. Yo comencé afirmando que las cosas
son en esencia números, pero así también los números para nosotros son concebidos como
cosas; que no sería más que su concluida afirmación.
Estos números “místicos” son los llamados números poligonales, y surgen como
consecuencia de las investigaciones matemáticas. Cada número recibe el nombre del
polígono que represente, así por ejemplo se tiene los números triangulares, cuya
disposición es en forma de triángulos, que pueden generar la secuencia (1, 3, 6, 10, 15,….),
los números cuadrados que se disponen formando cuadrados y sus secuencias producidas
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serian (1, 4, 9, 16, 25,….) y de forma análoga los números rectangulares, pentagonales,
etc.
17. ¿Qué otras cuestiones pueden abordarse desde estos números poligonales y su
representación geométrico?
A partir de ellos, desde una perspectiva geométrico-visual, se puede constatar las
diferentes características que presentarán los números según sus formas, sus disipaciones
geométricas, así como también las diferentes propiedades y relaciones entre ellos.
Estas serían, a modo de ejemplo, algunas de las propiedades aritméticas de los
números enteros:
18. El teorema que lleva su nombre ¿Fue descubierto en su totalidad por usted o posee
algunas contribuciones de sus antepasados?
El descubrimiento en su totalidad recae sobre mi escuela. Como respondí a una de
sus preguntas, mi finalidad fue encontrar una expresión general de algunos problemas
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desarrollados en otras civilizaciones anteriores. En este caso en particular, sé que en
Mesopotamia y en antiguo Egipto se conocían ternas de valores que se correspondían a los
lados de un triángulo rectángulo y que se utilizaban para resolver problemas frecuentes;
ahora bien, yo encontré una expresión que sirve para resolver cualquier triángulo
rectángulo, no solo para una terna en particular.
19. ¿De qué manera se relacionan esos lados que usted menciona?
El teorema al que llegué expresa que si tomamos cualquier triángulo rectángulo
dibujamos cuadrados sobre todos sus lados; el área del cuadrado más grande será igual a
la suma de las áreas de los cuadrados correspondientes a los lados más pequeños.
20. ¿Cómo llegó a tal enunciado?
Llegué mediante la demostración utilizando semejanza de triángulos. Así por
ejemplo, si tenemos un triángulo de vértices ABC que sea rectángulo en el vértice C, el
segmento CH será la altura relativa del mismo respecto a la
hipotenusa, y los segmentos a’ y b’ son las proyecciones sobre
ella de los catetos a y b. Habiendo hecho ya estas aclaraciones
puedo afirmar que los triángulos ABC, BHC, y AHC son
semejantes, pudiendo establecer de esta manera las siguientes
relaciones de semejanzas:
De la semejanza entre ABC y AHC:
De la semejanza entre ABC y BHC:
Los resultados obtenidos son el teorema del cateto y sumando podemos obtener:
Pero como sabemos que (a’+b’)=c podemos afirmar que:
Quedando de este modo la relación establecida entre los lados de un triángulo
rectángulo.
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21. Además de esta demostración, ¿Existe alguna otra que se haya desarrollado en su
escuela?
Sí, elegí mostrarle una de ellas a modo de ejemplo, pero hay otras como lo es la
demostración basada en las relaciones entre las superficies de figuras semejantes. Pero se
extendería demasiado su explicación.
22. ¿Qué otros aportes podría mencionar que han hecho a la matemática la escuela
pitagórica?
Hemos trabajado sobre sólidos perfectos, la generalización de los acerca de los
ángulos interiores de un triángulo, números perfectos, entre otros.
23. ¿Por qué cree usted qué la escuela de Crotona fue atracada y destruida?
La escuela Pitagórica fue destruida porque nos vimos envueltos en cuestiones
políticas dado que nuestra postura era contraria a la de la aristocracia.
24. Algunos atribuyen lo sucedido a Cilón, por no haber podido formar parte de la
academia ¿Qué opinión tiene usted al respecto?
No creo que pudiera ser tal el motivo. Yo nunca negué la entrada a la escuela
pitagórica a aquellos que estuvieran de acuerdo y cumplieran con las máximas de la
hermandad.
Una última pregunta para finalizar este encuentro
25. ¿Esas generalidades que usted menciona en una de las respuestas, podrían de
alguna manera marcar un antes y un después en las matemáticas?
No sé si podríamos hablar en dichos términos. Sería gratificante estar vinculado
en un futuro, a semejante escala, en lo que al desarrollo de esta disciplina se refiera. Lo
que sí podría decir es que antes de fundar mi escuela, las matemáticas en Grecia estaban
en sus comienzos, se trataba de algo incipiente que ni siquiera tenía ese nombre. Donde sí
tenía mayor desarrollo era en Egipto y Babilonia.
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Consigna 3:
Confeccione una historieta como la que se presentó en la unidad temática que trata
sobre la matemática de los egipcios: Tema Problemas clásicos de la Antigüedad en la
academia de Atenas. El tratamiento del tema queda a criterio del alumno.
Problema clásico de la antigüedad: duplicación del cubo
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Consigna 4:
Análisis filmográfico. Sobre los documentados desarrollados por la BBC sobre la
HISTORIA DE LA MATEMÁTICA facilitados por la cátedra se pide realizar un informe
de síntesis que tienda a responder los siguientes interrogantes:
Historia de las matemáticas 1. El lenguaje del universo
1) ¿Por qué se afirma que comprender la matemática es ver la diferencia entre vivir o
morir?
Se puede asegurar que comprender la matemática es ver la diferencia entre vivir o
morir, porque los conceptos más básicos de la misma, espacio y cantidad, están
predeterminados en nuestro cerebro, incluso los animales tiene una percepción de la
distancia y el número, pueden evaluar cuando su manada es superior en número y decidir
así si es mejor pelear o huir, pueden calcular si su presa está a una distancia alcanzable o
no.
2) ¿Qué relación tuvo el río Nilo con la Matemática?
El río Nilo durante milenios ha sido una fuente de vida para Egipto. Es ahí donde
se han encontrado los primero signos de unas matemáticas como las que conocemos hoy.
El acontecimiento más importante para la agricultura Egipcia era el
desbordamiento anual del Nilo, eso se utilizaba como indicador para comenzar el año
nuevo. Los egipcios registraron que eso sucedía cada cierto tiempo, así que para establecer
un calendario era necesario contar por ejemplo cuantos días pasaban entre las fases lunares
o cuantos días pasaban entre dos desbordamientos del Nilo. A medida que iban creciendo
los asentamientos era necesario encontrar una forma de administrarlos, era necesario medir
las áreas de terreno, predecir las cosechas, cargar los impuestos y recopilarlos, es decir, que
iba a ser necesario contar y medir.
Hubo un vínculo muy fuerte entre la burocracia y el desarrollo de las matemáticas
en el antiguo Egipto. Era vital conocer el área de la que disponía cada agricultor para poder
cobrarles unos impuestos acorde, o si el Nilo inundaba parte de sus tierras, poder solicitar
un descuento. Eso significaba que los aparejadores del faraón tenían que calcular con
frecuencia el área de parcelas irregulares de tierra y para resolver esos problemas prácticos
surgieron las primeras fórmulas matemáticas.
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3) ¿Cómo se describe el papiro de Rhind?
El papiro Rhind, es el documento más importante que tenemos hoy en día y que
revela las matemáticas Egipcias. Nos ofrece una muy buena visión sobre a qué tipos de
problemas matemáticos debían enfrentarse los egipcios. Además nos muestra
explícitamente como se resolvía la multiplicación y la división.
El papiro nos muestra, por ejemplo, como multiplicar dos números grandes. Fue
realizado por un escribano llamado “Afnes” alrededor del 1650 a.C y los problemas estaban
relacionados con encontrar soluciones a los problemas de la vida cotidiana. Varios de los
problemas mencionaban el pan y la cerveza, lo cual no es sorprendente dado que a los
trabajadores egipcios se les pagaba con comida y bebida. Uno de los problemas, por
ejemplo, trataba de cómo dividir equitativamente 9 hogazas de pan entre 10 personas sin
que se provocara una pelea.
4) ¿Qué relación tiene el juego de la Mancala con la Matemática Egipcia?
La relación está en la demostración, mediante el juego de la Mancala, de uno los
problemas del papiro de Rhind:
El papiro de Rhind establecía que un campo circular con un diámetro de nueve
unidades tenía un área igual a un cuadrado con laterales que midiesen ocho. Pero, ¿cómo
pudo descubrirse esta relación? Una de las teorías es que la respuesta está en el antiguo
juego de la Mancala. Los tableros de Mancala se encontraron tallados sobre los techos de
los templos, cada jugador empieza con el mismo número de piedras y el objetivo es
moverse alrededor del tablero capturando las piezas del oponente.
Mientras los jugadores estaban sentados esperando realizar su siguiente
movimiento, es posible que algunos de ellos se dieran cuenta de que a veces las bolas
llenaban los agujeros de la Mancala mejor que otras. Puede que hicieran experimentos
haciendo círculos más grandes; puede que se dieran cuenta que 64 piedras (8 al cuadrado)
se podían utilizar para hacer un círculo con un diámetro de 9 piedras. Al reordenar las
piedras, el círculo se puede convertir en un cuadrado, porque el área de un círculo se
consigue multiplicando el número pi por el radio del círculo al cuadrado. Los cálculos
egipcios nos dan el primer valor exacto del número pi. El área de un circulo es 64 dividido
por el radio del circulo al cuadrado, en este caso cuatro coma cinco al cuadrado y se
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consigue el valor de pi, así que 64 dividido 4,5 al cuadrado es 3,16 justo dos centésimas
más de su valor verdadero.
5) ¿Por qué se dice que los Griegos nos dieron el poder de la “prueba”?
Se dice que nos dieron el poder de la prueba porque de alguna forma decidieron
que tenían que tener un sistema de deducción para sus matemáticas, y el sistema típico de
deducción era empezar con ciertos axiomas que se asumían que eran ciertos, como si se
asume que cierto teorema es verdad pero sin haberlo puesto a prueba; y después utilizaban
métodos lógicos y seguían los pasos cuidadosamente desde esos axiomas para probar los
teoremas, y después de esos teoremas se probaban más teoremas, y así seguía creciendo.
La prueba da a las matemáticas fuerza. El poder de la prueba significa que los
grandes descubrimientos de los griegos, son ciertos hoy en día como lo eran hace 2000
años.
Historia de las matemáticas 2. La sabiduría de oriente
1) ¿Por qué se afirma que cuando comenzó la decadencia griega el proceso matemático
experimentó un retroceso mientras que en oriente la matemática alcanzaría una nueva sima?
Porque los primeros pasos en la matemática se dieron en Grecia (también Egipto y
Mesopotamia), se podría decir que han sido el eje sobre el que se ha fundado la vida
humana. Pero la decadencia griega provocó también un retroceso en las mismas,
“resurgiendo” estas en culturas como china e India.
2) ¿Cómo se muestra la resolución de ecuaciones en china? ¿Este método ya existía en
occidente o es redescubierto?
La resolución de ecuaciones se muestra en el centro de un libro que consta con 246
problemas de área, construido aproximadamente 200 a.C. El mismo era entregado a los
funcionarios de Estado porque consideraban que los mismos debían ser competentes en
matemáticas. Este sistema de resolver ecuaciones no apareció en occidente hasta principios
del siglo XX. En 1809, mientras analizaba una roca llamada Palas en el cinturón de
asteroides, Carl Friedrich Gauss, quien sería conocido como el príncipe de las matemáticas,
redescubrió este método que había sido formulado en la antigua China hacía siglos.
3) ¿Qué relación tuvieron los indios con la teoría de Trigonometría?
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Los matemáticos indios fueron responsables de los nuevos y fundamentales
descubrimientos en la teoría de trigonometría. El poder de la trigonometría es que actúa
como un diccionario trasladando la geometría a los números y viceversa. Aunque fue
desarrollada por primera vez por los antiguos griegos, fue en mano de los matemáticos
indios cuando floreció verdaderamente esta cuestión, y en su base está el estudio de los
triángulos rectángulos. Los astrónomos indios, por ejemplo, utilizaban la trigonometría para
averiguar la distancia relativa entre la tierra y la luna, y, la tierra y el sol. Solo pueden
hacerse esos cálculos cuando la luna está en cuarto creciente porque es cuando está justo en
frente del sol; momento en el que el sol, la luna y la tierra crean un triángulo rectángulo.
Los indios pudieron calcular que el ángulo entre el sol y el observatorio era la séptima parte
de un grado; la función seno de la séptima parte de un grado me da la proporción de 1/400;
lo que significa que el sol está 400 veces más lejos de la tierra que la luna; por lo que al
utilizar la trigonometría los matemáticos indios pudieron explorar el sistema solar sin tener
que abandonar la superficie de la tierra. Los antiguos griegos habían sido los primeros en
explorar la función seno estableciendo valores precisos para algunos ángulos pero no
podían calcular el seno de todos los ángulos. Sin embargo los indios intentaron calcular la
función seno de cualquier ángulo.
Historia de las matemáticas 3. Los límites del espacio.
1) El pueblo francés llamado Descartes ¿recibe ese nombre desde la antigüedad?
No, el pueblo fue rebautizado hace 200 años, en honor al filósofo y matemático
Descartes, quién nació allí en el año 1556.
2) ¿A cuál de los dos matemáticos se le atribuye ser pionero en el diseño cálculo?
Newton pidió a la Royal Society que decidiera entre los dos para dar como pionero
el diseño del cálculo, y esta adjudicó a Newton el mérito de descubrir por primera vez el
cálculo y a Leibniz de publicarlo por primera vez; pero en su dictamen final acusaron a
Leibniz de plagio. Puede que tuviera algo que ver con ello, que el informe lo redactara su
presidente, Isaac Newton.
3) ¿Cómo se relaciona a los Bernoulli con Euler?
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Se relacionan porque Euler era discípulo de Jean Bermoulli. Además Daniel, hijo
de Jean Bermoulli, quién era amigo de Euler, logró conseguirle un trabajo en su universidad
ubicada en Rusia.
Otra relación podría ser la teoría de Euler de calcular sumas infinitas, que había
sido llamado problema de vacilea después de que los Bermoulli no pudieran resolverlo.
Historia de las matemáticas 4. Hacia el infinito y más allá.
1) ¿En qué consistió el congreso matemático que se desarrolló en agosto de 1900?
El congreso que se desarrolló en París en agosto de 1900 será recordado como uno
de los mejores congresos de todos los tiempos, debido a una conferencia realizada por
David Hilbert. Hilbert era un matemático alemán y fue quien expuso en tal congreso lo que
él creía que eran los 26 problemas matemáticos por resolver más importantes. Lo que él
quería era establecer una lista de asuntos pendientes de las matemáticas del siglo XX, lo
cual fue logrado con éxito, ya que éstos problemas de Hilbert definirían la matemática de la
era moderna. De aquellos que intentaron resolver estos problemas de Hilbert, algunos
experimentaron un éxito tremendo mientras que otros sufrieron estrepitosos fracasos.
2) ¿Cómo gana Poincaré el Premio de 2500 coronas al demostrar que el sistema solar
seguirá girando en el sentido de las agujas del reloj o si podría cambiar de dirección?
Poicaré gana el premio gana el premio de las 2500 coronas no por haber llegado a
resolver dicho problema si más bien, debido a las importantes y sostificadas técnicas
utilizadas para demostrarlo.
3) ¿Qué relación tiene el acertijo de los siete puentes de colinver (hoy Kaliningrado) con
Euler?
Acertijo del siglo XVIII: ¿hay una ruta que cruce todos y cada uno de estos siete
puentes pasado por solo una vez?
La relación existente es que este acertijo finalmente fue resuelto por el matemático
Leonhard Euler, quien en 1735 demostró que no era posible. No podía haber una ruta que
no pasara al menos por uno de los puentes dos veces. Resolvió el problema dando un salto
conceptual, se dio cuenta de que realmente no importaba la distancia que había entre los
puentes, sino, que lo que realmente importaba era cómo estos puentes estaban conectados.
Este es un problema de una nueva geometría de posición, un problema de topología.
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4) ¿Cómo se presenta a Nicolás Bourbaki?
Se presenta como una persona que nació en 1943, escribió libros de análisis,
geometría, topología (todos eran nuevos fundamentos). Solicitó ser miembro de la sociedad
norteamericana de matemática, pero se le denegó alegando que él no existía; es que en
realidad no existía, Nicolás Bourbaki es un seudónimo que le dieron a un grupo de
matemáticos franceses liderado por André Weil que decidió escribir un informe coherente
sobre las matemáticas del siglo XX. La mayoría de las veces a los matemáticos les gusta
firmar los teoremas con su nombre auténtico, pero en los objetivos del proyecto del grupo
Boubaki superaban cualquier deseo de gloria personal.
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Consigna 5:
Respecto del libro “El club de la hipotenusa”:
a) Tomar tres anécdotas que sirvan como introducción al tratamiento de tres contenidos en
la escuela secundaria.
b) Redactar el modo en que se presentará al curso y como se pasará de esta anécdota al
proceso de formalización de los contenidos seleccionados.
Primera anécdota:
MORIR POR UNA RAÍZ CUADRADA
Muchos hombres y mujeres han dado su vida por causas nobles, por ideales
irrenunciables, por ayudar solidariamente a otros, por defender su patria… Lo que ya no es
tan común, afortunadamente, es morir por una raíz cuadrada. Este fue el caso de Hippasus
de Metapontum, griego de la escuela pitagórica, que tuvo la mala suerte de invertir su
talento matemático en descubrir que la diagonal de un cuadrado y el lado de éste no podían
ser medidos a la vez al repetir una misma unidad un número entero de veces en cada caso.
Por tanto mientras cría inocentemente en la conmensurabilidad de segmentos, y que con
números enteros y fraccionarios de enteros se podría describir el universo, su seguidor
Hippasus puso en evidencia que esto no era así, es decir, que la raíz cuadrada de dos ( ) no
podía ser una fracción, es decir, tener decimales finitos o periódicos. Pero lo que realmente
condenó a Hippasus no fue el descubrimiento, sino que su hallazgo trascendiera al exterior
del grupo pitagórico. A partir de ese punto, abundantes leyendas describen la muerte del
pobre Hippasus con diferentes finales trágicos, siendo su ahogamiento en el mar la versión
menos cruenta.
Esta historia nos permite advertir, cuando convenga, que ha habido gente que ha
dado su vida por una raíz cuadrada.
Esta anécdota se utilizará cuando se desarrolle el tema de números irracionales.
Se les entregará a los alumnos luego de haber hecho la introducción al tema, es decir,
después de que ellos sepan definir un número irracional.
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La finalidad es indagar acerca de cómo se fueron presentando los números a lo
largo de la historia, quién descubrió realmente su existencia y bajo que contexto fueron
hallados.
Segunda anécdota:
LOS MAYAS Y EL 20
Más de dos mil años antes de que los mayas descubrieran a Colón y sus
muchachos, la cultura maya fue desarrollando un sistema avanzado de numeración, de
calendario y de cálculo astronómico. A pesar de las insidiosas teorías que hoy insisten en
demostrar que Colón fue el “último” descubridor de América, cuando por allí ya se habían
paseado desde egipcios y nórdicos a chinos y polinesios, lo cierto es que de todas las
denominadas culturas precolombinas, la maya fue sin duda la más desarrollada desde el
punto de vista matemático. Parece que con símbolos originales (puntos para unidades,
barritas para los cincos, marcas para el cero…) desarrollaron algunos principios
posicionales entre cifras, eso sí, siempre trabajando en base 20, lo que obligaba a veinte
cifras de referencia.
Esta anécdota se les presentará a los alumnos de secundaria básica cuando se
desarrolle el tema “cambio de base”, como forma de presentación de la base vigesimal,
aludiendo al tiempo en que esta se desarrolló y la civilización interviniente en la misma.
Se le entregará a cada uno en forma de texto para luego leer y debatir de manera
grupal.
Tercera anécdota:
LA PELOTA DE FÚTBOL
Al mirar hoy una pelota de fútbol se aprecia enseguida una estructura de poliedro
con caras pentagonales rodeadas de caras hexagonales. Pero, como ocurre a menudo, todo
tiene su historia. Ya Arquímedes estudió estos cuerpos donde se combinan polígonos
regulares de varias clases y fue en los libros de Piero della Francesca y de Luca Pacioli
donde aparecieron dibujos de esta figura. Claro que Luca tuvo una suerte inmensa, pues el
que le realizó los dibujitos para su libro fue… Leonardo da Vinci. Ni Piero, ni Luca, ni
Leonardo podían pensar lo que la FIFA haría siglos después con aquella figura.
Tema a tratar: poliedros
Historia de la Matemática Trabajo de síntesis
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La anécdota se les presentará a los alumnos como introducción al tema a tratar.
Luego de hacer una lectura en forma grupal, se comenzará con la definición de poliedros
regulares.
La finalidad es que se informen sobre cuándo estos cuerpos fueron desarrollados
y cómo se pueden apreciar en cosas de la cotidianeidad.
Definición: un poliedro es una porción del espacio limitada por polígonos. Tiene
todos sus ángulos diedros y todos sus ángulos poliedros iguales y sus caras son polígonos
rectangulares iguales.
Por ejemplo las pelotas de fútbol han estado hechas siempre con doce pentágonos
y veinte hexágonos, aunque hoy en día han cambiado por otra forma poliédrica más
redondeada.
Historia de la Matemática Trabajo de síntesis
Baroni Rodríguez María Fernanda 31
Bibliografía
Apuntes de cátedra.
KIMOVSKY G. y BOIDO G. Las desventuras del conocimiento
matemático. Filosofía de la matemática: una introducción. Primera
edición Bs. As. AZ, 2005
Carl B. BOYER. Historia de la matemática: “Ciencia y tecnología”
Alianza editorial. Primera edición en manuales: 1999
Sitios web:
http://www.google.com.ar/search?q=caricaturas+de+la+antig%C3%BCedad&newwindow
=1&site=webhp&tbm=isch&tbo=u&source=univ&sa=X&ei=XCbaUc6zO-
WdiAL39YEI&ved=0CDIQsAQ&biw=1366&bih=705
es.wikipedia.org/wiki/Pitágoras
http://www.google.com.ar/search?q=n%C3%BAmeros+poligonales&newwindow=1&site=
webhp&tbm=isch&tbo=u&source=univ&sa=X&ei=ZyfaUYv2MomdiQKtqoC4BQ&ved=0
CDAQsAQ&biw=1366&bih=705