Progr. Contr_proc Clase_1_tema 0 Enero_abril-2015

UNIVERSIDAD NACIONAL EXPERIMENTAL POLITECNICA

“ANTONIO JOSE DE SUCRE”

VICERRECTORADO BARQUISIMETO

DIRECCION DE INVESTIGACION Y POSTGRADO

MAESTRIA EN INGENIERÍA DE CONTROL DE PROCESOS

CONTROL DE PROCESOS

PROF. JESÚS M. ARAQUE R.

CLASE 1

Repaso de teoría de control

continuo y discreto

ALGUNAS CLASIFICACIONES PARA MODELOS MATEMÁTICOS

a

Sistema Lineal La masa m y la

constante

k del resorte, son

independientes

de la fuerza u

aplicada y del

desplazamiento x.

Sistema no lineal

k depende de x

b

Sistema de parámetros concentrados

La masa m es rígida y

el resorte con masa

despreciable

Sistema de parámetros

Distribuidos

Resorte con

constante

k y masa m

c

Sistema estacionario

m y k son invariantes

En el tiempo

Sistema no estacionario

La masa m varia con

el tiempo y k es la

Constante de resorte

Agujero

Repaso

ALGUNAS CLASIFICACIONES PARA MODELOS MATEMÁTICOS, continuación

d

Variables determinísticas Variable aleatoria

e

Señal continua Señal muestreada

Repaso

ALGUNAS CLASIFICACIÓN DE LOS SISTEMAS, continuación Repaso

La serie de Taylor para una función de una variable alrededor de xs está dada por,

Donde:

R es el residuo

xs es el valor en el estado estable (punto de operación).

x-xs = x’ es la desviación de la variable.

La linealización de primer orden consiste en los dos primeros términos de

la expansión. Es decir:

Rxxdx

Fdxx

dx

dFxFxF sxsxs ss

2

2

2

)(!2

1)()()(

)()()( sxs xxdx

dFxFxF

s

Linealización – Serie de Taylor

Sistema no lineal tiempo variante

Sistema lineal tiempo invariante

Sistema no lineal tiempo variante

Sistema lineal tiempo invariante

)),(),(()(

)),(),(()(

ttutxgty

ttutxftx

))(),(()(

))(),(()(

tutxgty

tutxftx

)()()()()(

)()()()()(

tutDtxtCty

tutBtxtAtx

)()()(

)()()(

tDutCxty

tButAxtx

Diferentes formas de descripción de las sistemas Repaso

Transformada de Laplace y Transformada Z. Herramientas matemáticas

Donde es una variable compleja

arbitraria

Ver: Sistemas de Control en Tiempo Discreto. K. Ogata 2da Edic, pág. 24

Tabla de Transformada de Laplace y Transformada Z. Herramientas matemáticas

Un sistema de lazo abierto (directo) funciona sin realimentación y genera

directamente la salida y(t) en respuesta a una señal de entrada r(t)

Sistema sin realimentación (sistema directo).

(a)Grafo de flujo de señal (b)Diagrama de bloques

SISTEMA DE LAZO ABIERTO

Un sistema en lazo cerrado utiliza una medida de la señal de salida y una comparación

con la salida deseada para generar una señal de error que se aplica al actuador (controlador)

SISTEMA EN LAZO CERRADO

Sistema de lazo cerrado

(sistema realimentado)

Ecuaciones que describen el sistema de lazo cerrado:

Esquema de un control de un proceso

(sistema SISO)

Diagrama de bloques del proceso

(SISO)

Sistema SISO = Single Input

Single Output

Figura A

El proceso a ser

controlado ocurre en un

intercambiador de calor.

Todos los elementos del

sistema de Control

neumático son mostrados:

transmisor, controlador,

válvula, entrada (agua

fría), salida (agua

caliente) y vapor.

Figura B

Esquema del proceso

indicando los elementos

señalados en la figura A

INTERCAMBIADOR DE CALOR

ESQUEMA DE UN CONTROL DE UN PROCESO (MIMO)

Diagrama de bloques del sistema (MIMO)

SISTEMA MIMO = Multiple Input

Multiple Output

Sistemas de control automático de nivel con MCN 21 y MCN 21UR para llenado

o vaciado de tanques/pozos/cisternas a Distancia.

El controlador MCN 21 Verifica el nivel del tanque y mediante su salida de datos y un enlace

inalámbrico envía información a un controlador remoto MCN 21 UR, el cuál utiliza estos datos para

activar o desactivar la salida a Relay con la cuál se controla el circuito de potencia de la bomba de agua

DIAGRAMA DE BLOQUES DE UN SISTEMA DE CONTROL (SISO)

N(s), n(t)

FORMA REDUCIDA DEL DIAGRAMA DE BLOQUES DE UN SISTEMA DE CONTROL

FORMA CANÓNICA DEL DIAGRAMA DE BLOQUES DE UN SISTEMA DE CONTROL

FORMA CANÓNICA DEL DIAGRAMA DE BLOQUES DE UN SISTEMA DE CONTROL . Continuación

Dinámica de un sistema de control de lazo cerrado

Componentes básicos de un sistema de

control:

1.- Sensor, conocido también como elemento

primario.

2.- Transmisor, se conoce como elemento

secundario.

3.- Controlador, se considera el “cerebro” del

sistema de control.

4.- Elemento final de control, generalmente

se trata de válvulas de control, pudiendo ser

también bombas de velocidad variable,

transportadores, motores eléctricos entre otros.

Las operaciones que realizan estos componentes

Son:

1.- Medición (variable controlada, sensor-transmisor).

2.- Decisión (controlador).

3.- Acción (generalmente, elemento final de control)

ALGUNAS CARACTERISTICAS DE LOS SISTEMAS DE CONTROL

CON RETROALIMENTACIÓN

Control anticipativo (feedforward) más control realimentado (feedback)

Señales básicas de prueba para un sistema de control: función escalón, rampa y parabólica

Función escalón Función rampa

Función parabólica

ANÁLISIS DEL ERROR EN EL ESTADO ESTABLE (ess) PARA UN SISTEMA DE CONTROL

CONTINUO EN EL TIEMPO

E(s)

N define el tipo de sistema (sistema tipo 0, 1, 2, ..., N). p mayor o igual a m para que

sistema sea realizable

La función de transferencia de lazo cerrado y la señal de error, E(s), para un sistema de

control retroalimentado (SISO) en su forma canónica están dadas por:

T(s) =

Análisis del error en el estado estable (ess), continuación

Como el sistema se asume que es estable, el teorema del valor final puede ser aplicado

para así obtener el valor ess, el cual se puede obtenerse de la siguiente forma:

Errores típicos en el estado estable de un sistema de control debido a una entrada de

referencia: Escalón, rampa y parábola

Análisis del error en el estado estable (ess), continuación

TIPOS DE SISTEMAS Y ERROR EN EL ESTADO ESTABLE

lim ( ) lim ( )t s

y t sY s

0

Teorema del valor final

Teorema del valor inicial

y sY ss

( ) lim ( )0

Análisis del ess

Ver: Sistemas de control moderno de R. Dorf y R. Bishop 10ma Edición Págs 194, 195 … ,

SENSIBILIDAD DE LOS SISTEMAS DE CONTROL A VARIACIONES DE LOS

PARÁMETROS

Ver: Sistemas de control moderno de R. Dorf y R. Bishop 10ma Edición Pág 194, …

,

Sensibilidad de los sistemas de control a variaciones de los parámetros, continuación

COMPORTAMIENTO DE LOS SISTEMAS DE

CONTROL DE PRIMER ORDEN

Comportamiento de los sistemas de control de 1r orden con retroalimentación

Sistema de primer orden

1)(

,

)(

)(

00

1

00

1

01

s

KsG

Ka

b

a

a

tfa

by

dt

dy

a

a

tbfyadt

dya

p

p

Donde

G(s) = Y(s)/F(s)

τ: constante de tiempo

Kp: ganancia en el estado estable

Ejemplo

1

1G s

s

21 1( 1)

1 1

jG j j

j j

2 2

0

1

1

arctan

as , 90

G

Haciendo s = jw se tiene que:

2 2 2 2

1

1 1G j j

Donde

Sea

Respuesta al escalón unitario de un sistema de 1r orden

Como la transformada de Laplce de una función escalón unidad es 1/s se tiene que

Desarrollando C(s) en fracciones parciales simples, se obtiene

Tomando la transformada inversa de Laplace se determina que

comportamiento de un sistemas de control de 1r orden con retroalimentación

Gráfica de la respuesta de un sistema de 1r orden a un escalón unidad (transitoria y estacionaria)

Respuesta a una rampa unitaria de un sistema de 1r orden (r(t) = t, r(s) = 1/s)

¿Qué significa y en la

dinámica de un sistema de control?


Gráfica de la respuesta de un sistema de 1r orden a una rampa unidad (transitoria y estacionaria)

Respuesta a un impulso unitario de un sistema de 1r orden (R(s) = 1)

Gráfica de la respuesta de un

sistema de 1r orden a un impulso

unidad (transitoria y estacionaria)


Propiedad importante de los sistemas lineales e invariantes con el tiempo

Excitación rampa

Excitación escalón

Excitación impulsiva

dc(t)/dt

Propiedad de convolución

R(t)*G(t)

R(s).G(s)

Transformada

de la Laplace

Propiedad de linealidad: aditiva y escalamiento u homogeneidad. ¿Qué significa?

RETARDOS EN TIEMPO (Tiempo muerto – dead time)

EN SISTEMAS DE PRIMER ORDEN

Representación simplificada de un molino de ruedas, con un retardo en tiempo de s/v segundos.

(v = e/t (pulg./seg.) o t = e/v (seg.))

Comportamiento de los sistemas de control con retroalimentación

El tiempo requerido para que la válvula detecte el cambio de presión en el fluido, debida a la

variación del nivel en el tanque, se conoce como tiempo muerto (dead time o lag time, ).

La manipulación de la válvula no se ejecuta simultáneamente con el cambio de nivel

Tiempo Muerto (dead time o lag time)

h Lazo de control

Fi

Fo

RETARDOS EN TIEMPO

Los retardos en tiempo ocurren debido a:

1. Flujo de fluidos en una tubería

2. Transporte de material sólido (e.g., Correa trasportadora )

3. Análisis químico

- Muestreo en línea de retardo

- Tiempo requerido para hacer el análisis (e.g., cromatografía de gas on-line)

Descripción matemática:

Un retardo en tiempo, , entre la entrada u(t) y una salida y(t) se expresa de la siguiente forma:

0 for θ(6-27)

θ for θ

ty t

u t t

F s f t f t e dtst

t

( ) [ ( )] ( )

0

Comportamiento de los sistemas de control

( )( )

( )

s Y sG s e

U s

El efecto de un retardo en tiempo (puro) es una translación de la función en el tiempo

Entrada u(t)

o

Salida y(t)

tiempo

RETARDOS EN TIEMPO

Pero esta función de transferencia no indica cuales son los

ceros y polos de la FT aproximada

Función de transferencia

Muchos sistemas de orden superior pueden ser aproximados por un Modelo de Tiempo Muerto de

Primer Orden (MTMPO), First-order plus dead-time model (FOPDT, por sus siglas en inglés)

El desplazamiento de un fluido a través de una tubería también es llamado retardo de distancia-velocidad, retardo en

transporte o tiempo muerto

Retardos en tiempo

Función de transferencia con tiempo muerto

Proceso de primer orden más tiempo muerto (First order plus dead-time - FOPDT)

Proceso de 2do orden más tiempo muerto (Second order plus dead-time – SOPDT)

Y s e G s U sd s( ) ( ) ( )

U(s)

e d s G s( )

G se K

s

d sp

( )

1

G se K

s s

d sP( )

2 2 2 1

Y(s)

Tiempo muerto

Nota: Algunos autores representan el tiempo muerto por en vez de

donde

Tiempo muerto (retardo)

La mayoría de procesos

presentan de alguna forma

retardo en tiempo

Tiempo muerto es el lapso

de tiempo entre los

cambios de la entrada y la

respuesta del proceso 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5 5.5

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

y/K

M

t/tau

TIEMPO MUERTO

Tiempo muerto

= = 0.5 unidades de tiempo

Padé de 1er orden:

21

21

ST

ST

e ST

APROXIMACIÓN DE PADÉ

La aproximación de Padé de la función exponencial permite hacer esta más manejable (racional).

Recuerde que:

Problema

La aproximación del tiempo muerto hace el análisis (polos y ceros) más difícil.

Aproximación del tiempo muerto por una función racional (polinomial)

La aproximación más común es la de Padé

G se K

s

d sp

( )

1

e G ss

s

e G ss s

s s

s

s

1

2

22

22

12

12

12 12

12 12

( )

( )

Aproximación de Padé

Aproximación de primer orden

Aproximación de segundo orden

En general las aproximaciones de Padé no aproximan el retardo en tiempo en

forma satisfactoria

Las aproximaciones de Padé son mejores cuando se aproxima un proceso de

primer orden más tiempo muerto

La aproximación de Padé introduce una respuesta inversa (cero en el semi-

plano derecho del plano-s) en la función de transferencia

Uso práctico limitado

G se K

s

s

s

K

s

sp p

( )

1

12

12

1

Aproximación de padé


τ

Considere un proceso con N elementos de primer orden en serie como el de la figura.

Cada Elemento tiene una constate de tiempo τ/N. la suma de estas constantes de

tiempo para los N elementos es τ.

Por álgebra de bloques se tiene que

N elementos de primer orden conectados en serie

P. B. Deshpande y R. H. Ash “Elements of computer process control”. ISA

Respuesta a una entrada

escalón unidad de N

elementos de primer orden

conectados en cascada

Cuando una o dos constantes de tiempo son dominantes (i.e., son mayores que las demás), como

es común en muchos procesos, todas las constantes de tiempo menores trabajan juntas para

producir un retardo que se parece mucho a un tiempo muerto. La figura muestra una respuesta un

escalón unidad de N elementos de 1r orden conectados en cascada.

P. B. Deshpande y R. H. Ash “Elements of computer process control”. ISA


SISTEMA DE SEGUNDO ORDEN

Comportamiento de los sistemas de control de 2do orden con retroalimentación

Forma estándar del sistema de segundo orden

Lazo cerrado

Función de trasferencia de lazo cerrado Ecuación característica

Comportamiento de los sistemas de control de 2do orden

Respuesta transitoria de un sistema de 2do orden a un excitación escalón unidad. U(s)=1/s

Donde

y

Comportamiento de los sistemas de control con retroalimentación de 2do

orden

Respuesta a la función escalón unidad

de un sistema de 2do orden para varios

factores de amortiguamiento

Comportamiento de los sistemas de control con retroalimentación de 2do orden

es la distancia radial de las raíces

de al origen del plano s

es la parte real de las raíces de (s)

es la parte imaginaria de

es el coseno del ángulo entre la

línea radial de las raíces de y el eje

negativo cuando la raíces de ella están en

el semiplano izquierdo del plano-s. es

decir:

Frecuencia natural no amortiguada ( )

Relación entre las raíces de la ecuación característica de

un sistema de 2do orden y , , y .


Frecuencia natural no amortiguada ( )

Subamortiguado

Críticamente amortiguado (oscilatorio)

Sobreamortiguado

No amortiguado (oscilatorio)

Amortiguamiento negativo


Lugar geométrico de raíces de la ecuación característica

de un sistema de 2do orden, para constante y

variaciones de desde

Respuesta de un sistema de 2do orden a

una entrada escalón para diferentes valores

del coeficiente de amortiguamiento


Comportamiento estable del sistema Comportamiento inestable del sistema

Comportamiento de los sistemas de control de 2do orden, continuación

Curva de respuesta transitoria de un sistema de 2do orden a una excitación escalón unidad


Máxima sobreelongación

Para n=1


Magnitud de las sobreelongaciones (sobrepasos)

Evaluando en

Para n = 1

Máxima

sobreelongación

Porcentaje máx.

sobreelongación

Se tiene que

Porcentaje de sobeelongación en función del

factor de amortiguamiento relativo para la

respuesta al escalón unidad para un sistema de

2do orden


No es fácil determinar una expresión analítica para calcular el tiempo de retardo (td), tiempo

de levantamiento (tr) y el tiempo de establecimiento o asentamiento (ts).

Evaluando y(t) = 0.5 y conociendo los demás parámetros, se puede calcular td usando la ecuación

Tiempo de retardo (td)

Una forma más sencilla es graficar

versus coef. de amortiguamiento.

De la gráfica se tiene que:

Tiempo de retardo normalizado contra el coeficiente de

amortiguamiento para un sistema de 2do orden


Tiempo de levantamiento (tr)

Es el tiempo para la cual la respuesta del sistema de 2do orden a un escalón unidad logra

Alcanzar del 10% al 90% de su valor final

Graficando versus el coeficiente

de amortiguamiento se obtiene que:

Tiempo de levantamiento normalizado contra el coeficiente

de amortiguamiento para un sistema de 2do orden


Tiempo de asentamiento o de establecimiento ( )

Tiempo de sentamiento de la respuesta a un escalón unidad de un

sistema de 2do orden


Tiempo de asentamiento o de establecimiento (ts)

Tiempo de sentamiento de la respuesta a un escalón unidad de un

sistema de 2do orden


Ver: Sistemas de control moderno de R. Dorf y R. Bishop 10ma Edición

Fórmulas de diseño

Ver: Sistemas de control moderno de R. Dorf y R. Bishop 10ma Edición

Significado de la ubicación de las raíces en el plano-s

Regiones de polos dominantes e insignificantes en el plano-s

SISTEMAS DE CONTROL DISCRETO

Sistema de control de tiempo discreto (SISO)

K. Ogata. Sistemas de control en tiempo discreto. 2da. edición

Diagrama de bloques de un sistema de control digital


Sistema de control de tiempo discreto (MIMO)

Sistema de control de tiempo discreto / Sistema de adquisición de datos

B. Kuo Digital control systems. 2da. Edición

Partes básicas de un convertidor analógico-digital (C/D)

DESCRIPCIÓN DE UN MODELO MATEMÁTICO DE UN SISTEMA DISCRETO

1

Ecuaciones de diferencia y

métodos de solución

-. Definición de diferencia, diferencia en atraso/adelanto

(forward/backward difference).

-. Métodos (Métodos iterativos, transformada Z –

directa e inversa)

2

Respuesta al Impulso (función

de transferencia) definición, propiedades, limitaciones

3

Respuesta al impulso, sistema

de lazo abierto (F de T)

(a) Switches (interuptores) entre bloques.

(b) Sin switches entre bloques.

(c) Con mantenedor (Función de transferencia de pulso

con ZOH – Zero Order Hold, otros)

4

Respuesta al impulso, sistema

de lazo cerrado (a) Método general (forma canónica).

(b) Fórmula de Mason (diagrama de flujo de señales).

PROPIEDADES DE LA TRANSFORMADA Z

MUESTREO, MANTENIMIENTO Y CUANTIZACIÓN DE UNA SEÑAL CONTINUA

r(t)

r*(t)

h(t)

c(t)

Mantenedor y muestreador (por impulsos) de orden cero (Zero-order hold, ZOH)

Muestreo mediante impulsos (modulación)

Función de transferencia,

- - , del ZOH

Proceso de muestreo de una señal continua y recuperación de la misma

X =

* =

=

=

Función de transferencia de pulso de un sistema de control discreto de lazo cerrado

Tomando la transformada de Laplace estrella (asterisco)

Como

Entonces

similarmente

Recuerde que:

Funciones de transferencia de pulso de sistemas de control discreto de lazo cerrado

Constantes de error estático para configuraciones en lazo cerrado, típicas de un

sistema de control discreto en tiempo

Teorema del valor final

Algunas propiedades

Regiones de estabilidad en el plano s y el plano z

T= periodo de

muestreo

Franjas periódicas en el plano s

Correspondencia entre el plano s y plano z

Comparación entre señales

del plano s y el plano z

Comparación entre señales del

plano s y el plano z

ESTABILIDAD DE LOS SISTEMAS LINEALES DE CONTROL EN TIEMPO DISCRETO

Estbilidad en general.

Estabilibad BIBO (entrada acotada-salida acotada).

– CRITERIOS DE ESTABILIDAD (Plano z).

Prueba de estabilidad de Jury

- CRITERIOS DE ESTABILIDAD (Plano w).

Criterio de estabilidad de Routh-Hurwitz.

Metodo de sustitución directa.

Lugar de las raíces (Root locus method)

Criterio de estabilidad de Bode

Margen de ganancia (Gain Margin) y margen de fase (Phase Margin).

Criterios de estabilidad de Nyquist.

Carta de Nichols

Correspondencias entre el plano s y plano z, entre el palnoz y el plano w


Algunas transformaciones

del plano s al plano z

Nota: Estas transformaciones

pueden modificar la región de

estabilidad del plano z y hacer

el sistema inestable

Tabulación de resultados del análisis de las variables de estado para sistemas lineales continuos y discretos

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