programa estadistica 11º

Profesora:

SARA JUDITH NOGUERA HERNNDEZLicenciada en Matemticas y Fsica Especialista en Computacin Para la Docencia Maestra en Educacin con nfasis en Cognicin

ESTADSTICA - UNDCIMO GRADO Instituto Tcnico Nacional de Comercio

PLANEACIN DE LA ASIGNATURA ESTADSTICAPROFESORA:

SARA JUDITH NOGUERA HERNNDEZ INTENSIDADES SEMANALESUNDCIMO A B C D TOTAL: JORNADA: VESPERTINA REA: Tecnologa e Informtica NIVEL: Media Horas Semanales 1 1 1 1 4 Horas Anuales 40 40 40 40 160

AO: 2008 ASIGNATURA: Estadstica GRADO: Undcimo

COBERTURA UNDCIMOA Nmero de estudiantes por curso 35 B 35 C 34 D 35

TOTAL: 139 Estudiantes



JUSTIFICACINUna tendencia actual en los currculos de matemticas es la de favorecer el desarrollo del pensamiento aleatorio, el cual ha estado presente a lo largo de este siglo, en la ciencia, en la cultura y an en la forma de pensar cotidiana. La teora de la probabilidad y su aplicacin a los fenmenos aleatorios, han construido un andamiaje matemtico que de alguna manera logra dominar y manejar acertadamente la incertidumbre. Fenmenos que en un comienzo parecen caticos, regidos por el azar, son ordenados por la estadstica mediante leyes aleatorias de una manera semejante a como actan las leyes determinsticas sobre otros fenmenos de las ciencias. Los dominios de la estadstica han favorecido el tratamiento de la incertidumbre en ciencias como la biologa, la medicina, la economa, la psicologa, la antropologa, la lingstica..., y an ms, han permitido desarrollos al interior de la misma matemtica. Las investigaciones de Shanghnessy (1985) le han llevado a establecer que en las matemticas escolares el desarrollo del pensamiento aleatorio, mediante contenidos de la probabilidad y la estadstica debe estar imbuido de un espritu de exploracin y de investigacin tanto por parte de los estudiantes como de los docentes. Debe integrar la construccin de modelos de fenmenos fsicos y del desarrollo de estrategias como las de simulacin de experimentos y de conteos. Tambin han de estar presentes la comparacin y evaluacin de diferentes formas de aproximacin a los problemas con el objeto de monitorear posibles concepciones y representaciones erradas. De esta manera el desarrollo del pensamiento aleatorio significa resolucin de problemas. La bsqueda de respuestas a preguntas que sobre el mundo fsico se hacen los nios resulta ser una actividad rica y llena de sentido si se hace a travs de recoleccin y anlisis de datos. Decidir la pertinencia de la informacin necesaria, la forma de recogerla, de representarla y de interpretarla para obtener las respuestas lleva a nuevas hiptesis y a exploraciones muy enriquecedoras para los estudiantes. Estas actividades permiten adems encontrar relaciones con otras reas del currculo y poner en prctica conocimientos sobre los nmeros, las mediciones, la estimacin y estrategias de resolucin de problemas. En la tarea de buscar y recoger datos es importante mantener claros los objetivos, las actitudes, los intereses que la indujeron, prever qu tipos de respuestas se pueden encontrar, las dificultades que podran presentarse, las distintas fuentes como consultas, entrevistas, encuestas, observaciones, la evaluacin de su veracidad, distorsiones, sesgos, lagunas, omisiones y la evaluacin de la actitud tica de quien recoge los datos y su responsabilidad social1. Cuando se habla de datos, es importante una reflexin sobre su naturaleza. Ellos no seran comprensibles sin considerar que tienen un mnimo de estructura, el formato y seguramente un orden, por ejemplo el estar unos a continuacin de otros, el orden alfabtico si son palabras, el orden aditivo si se trata de nmeros. En este sentido podra considerarse que no hay datos sino sistemas de datos. La enseanza de las matemticas convencionales ha enfatizado la bsqueda de la respuesta correcta nica y los mtodos deductivos. La introduccin de la estadstica y la probabilidad en el currculo de matemticas crea la necesidad de un mayor uso del pensamiento inductivo al permitir, sobre un conjunto de datos, proponer diferentes inferencias, las cuales a su vez van a tener diferentes posibilidades de ser ciertas. Este carcter no determinista de la probabilidad hace necesario que su enseanza se aborde en contextos significativos, en donde la presencia de problemas abiertos con cierta carga de indeterminacin permitan exponer argumentos estadsticos, encontrar diferentes interpretaciones y tomar decisiones. Explorar e interpretar los datos, relacionarlos con otros, conjeturar, buscar configuraciones cualitativas, tendencias, oscilaciones, tipos de1

Carlos E. Vasco, Sistemas de datos. Documento (en prensa).



crecimiento, buscar correlaciones, distinguir correlacin de causalidad, calcular correlaciones y su significacin, hacer inferencias cualitativas, diseos, pruebas de hiptesis, reinterpretar los datos, criticarlos, leer entre lneas, hacer simulaciones, saber que hay riesgos en las decisiones basadas en inferencias 2 son logros importantes en el aprendizaje de la estadstica.Entonces habr de tenerse especial cuidado para que la enseanza de conceptos, de mtodos, de representaciones del mundo estadstico y probabilstico como camino hacia la construccin de una teora matemtica no cause la prdida de su carcter aleatorio. Heinz Steinbring, en su artculo La interaccin entre la prctica de la enseanza y las concepciones tericas, presenta un modelo basado en un anlisis epistemolgico de la naturaleza de la probabilidad, el cual considera tres niveles. El primero tiene que ver con la estructura del contenido, el segundo tiene en cuenta el estudiante que aprende significativamente y el tercero considera al docente quien planifica, organiza, apoya y desarrolla esta forma de aprendizaje. La figura muestra cmo se interrelacionan estos tres niveles. La probabilidad y la estadstica son ramas de las matemticas que desarrollan procedimientos para cuantificar, proponen leyes para controlar y elaboran modelos para explicar situaciones que por presentar mltiples variables y de efectos impredecibles son consideradas como regidas por el azar, y por tanto denominadas aleatorias. El carcter globalizante de la probabilidad y la estadstica est en la presencia del pensamiento aleatorio para la comprensin de fenmenos de la vida cotidiana y de las ciencias. Particularmente en el conocimiento matemtico escolar este carcter globalizante se asume cuando el nfasis se hace en el tratamiento de situaciones no deterministas, en donde la recoleccin, la organizacin y la representacin de los datos obedece a una intencionalidad que les d sentido, que gue su interpretacin para la toma de decisiones y posteriores predicciones; el desarrollo de la intuicin sobre la probabilidad mediante valoraciones cualitativas y mediante la exploracin de problemas reales que permitan la elaboracin de modelos de probabilidad.

En el anlisis hecho por el autor, la relacin entre los dos primeros niveles considerados en el modelo trata de responder a dos preguntas centrales: Cmo es posible introducir los conceptos de aleatoriedad y de indeterminacin y utilizarlos con ayuda de conceptos matemticos de naturaleza determinante?, Cmo pueden2

Ibdem.



hacerse predicciones relativas a situaciones inciertas y aleatorias bajo forma de proposiciones matemticas y cul es el carcter especfico de estas predicciones? As por ejemplo las proporciones estadsticas como frecuencias relativas, probabilidades, valores esperados, valores medios, entre otras, se dan mediante definiciones formales, reglas de clculo o funciones matemticas, pero estos valores exactamente calculados solos no reflejan la naturaleza especfica de la aleatoriedad, para ello es necesario un marco de significacin que haga posible la comprensin del carcter aleatorio de esos valores, tales como aplicaciones concretas en situaciones de la vida real, encuestas estadsticas. En los cursos de la educacin bsica las representaciones grficas como las circulares, histogramas, diagramas de rbol son marcos matemticos que permiten captar la aleatoriedad y la incertidumbre tanto en forma cuantitativa como cualitativa, sobre los cuales los estudiantes pueden hacer evaluaciones y tomar decisiones, sin recurrir a un esquema nico de clculo que los llevara a encontrar valores deterministas definidos. El proyecto del Consejo Escolar de Educacin Estadstica 3 presenta tres principios que pueden tenerse en cuenta al introducir los conceptos:

Los conceptos y las tcnicas deben introducirse dentro de un contexto prctico. No es necesario desarrollar completamente las tcnicas en el momento en que se presentan por primera vez. No es necesario ni deseable una justificacin terica completa de todos los temas, algunos de ellos se tratarn dentro de un problema particular, otros se considerarn mediante experiencias y no se justificarn tericamente.

Los docentes, adems de considerar situaciones de aplicacin reales para introducir los conceptos aleatorios, deben preparar y utilizar situaciones de enseanza abiertas, orientadas hacia proyectos y experiencias en el marco aleatorio y estadstico, susceptibles de cambios y de resultados inesperados e imprevisibles. Los proyectos y experiencias estadsticos que resultan interesantes y motivadores para los estudiantes generalmente consideran temas externos a las matemticas lo cual favorece procesos interdisciplinarios de gran riqueza. Elementos de un diseo curricular para la enseanza del anlisis combinatorio A ttulo de ejemplo, describimos, a continuacin, los principales elementos de una propuesta de desarrollo curricular sobre un tpico matemtico, la Combinatoria, presentada con detalle en Batanero y cols. Las actitudes matemticas y la apreciacin del quehacer matemtico por parte de los estudiantes se lograrn como consecuencia del diseo global del currculo y de las relaciones personales y afectivas que el profesor cultive en el aula. La enseanza de la Combinatoria ha estado aislada del resto de los temas del currculo matemtico, excepto de su relacin con la probabilidad. Esta enseanza se ha centrado en el aprendizaje de frmulas combinatorias y en la realizacin de ejercicios de clculo de expresiones combinatorias, o en la identificacin de la operacin combinatoria contenida en un enunciado verbal. Posiblemente debido a este planteamiento, el tema ha sido considerado como uno de los ms difciles por los profesores, quienes con frecuencia, han preferido omitir su enseanza. Incluso, en los nuevos diseos curriculares, el tema se ha suprimido prcticamente, siendo reducido a una tmida mencin al conteo y a los diagramas en rbol dentro del bloque de la probabilidad.3

P. Holmes, Teaching Statiatics 11-16, Slough, Foulshans Educational, 1980.



Los "Estndares" del NCTM (1989), se afirma que el razonamiento combinatorio es una herramienta til en los esquemas cognitivos de los estudiantes puesto que es la base de la matemtica discreta, cuya enseanza se reclama por numerosas propuestas curriculares (Kenney y Hirsch, 1991). Al mismo tiempo, los problemas combinatorios constituyen un medio excelente para que los estudiantes realicen actividades de matematizacin, dar significado a otras herramientas conceptuales bsicas y relacionar entre s varias ramas de las matemticas. Finalmente, se debe recordar que la capacidad combinatoria es considerada por Inhelder y Piaget (1955) como algo fundamental del razonamiento formal y que Fischbein (1975) seala la necesidad de estimular el desarrollo psicoevolutivo del razonamiento combinatorio mediante una instruccin apropiada. Consideramos que el currculo matemtico debe atender a la estructura de los campos conceptuales y procedimentales correspondientes, su interdependencia con los campos de situaciones-problemas prototpicas de los cuales emergen y a las peculiaridades del lenguaje simblico matemtico. Asumiendo esta idea de currculo y teniendo en cuenta los supuestos epistemolgicos y pedaggicos enunciados en las secciones anteriores, un currculo coherente para la enseanza de la Combinatoria debe incluir los siguientes elementos: a) Una muestra de problemas combinatorios en los que estn sistemticamente representados los distintos tipos de problemas y situaciones de uso y las variables de tarea correspondientes, clasificados segn niveles de complejidad.

b) Los conceptos, modelos y tcnicas combinatorias elementales, que emergen y adquieren sentido a travs de lamuestra de situaciones-problemas y que delimitan el conocimiento matemtico objetivo del anlisis combinatorio elemental. Elementos para la programacin de aula Proponemos que cada unidad se organice alrededor de un contenido matemtico especfico (enumeracin sistemtica, regla del producto, etc.), que es el concepto o procedimiento cuyo aprendizaje se pretende de modo ms especfico. En este mdulo proporcionamos una coleccin de enunciados de "situaciones problemticas" en torno de las cuales debera girar la actividad de la clase y el discurso del profesor y de los estudiantes. Estas actividades las clasificamos en tres grupos: 1) Situaciones introductorias. 2) Situaciones complementarias. 3) Ejercicios y aplicaciones. En las situaciones introductorias y complementarias se proponen actividades en las cuales interviene especficamente el contenido pretendido en la unidad. En ellas se describen situaciones sobre las cuales se plantean varias cuestiones. Constituyen, por tanto, las consignas iniciales para generar en la clase un entorno que promueva el inters de los estudiantes y la actitud investigadora de los mismos. Las diversas situaciones y cuestiones atienden a distintas variables de tarea y niveles de complejidad del contenido pretendido. Por tanto, pueden ser usadas para tener en cuenta la diversidad de capacidades de los estudiantes. Aunque inicialmente todos los estudiantes puedan trabajar sobre una misma situacin introductoria, las cuestiones ms complejas y las situaciones complementarias pueden ser propuestas a los estudiantes ms aventajados.



Los enunciados de los "ejercicios y aplicaciones" responden a la necesidad de que los estudiantes adquieran un cierto dominio de las tcnicas introducidas y las apliquen a nuevas situaciones. c) Anlisis de los contenidos y de la gestin de la clase Como se ha indicado, la Teora de Situaciones Didcticas (Brousseau, 1986) que nos sirve de referencia resalta el papel de las situaciones de accin para que los estudiantes doten de sentido a las nociones y procedimientos matemticos. Pero es ingenuo pensar que "echando" problemas ms o menos ingeniosos a los estudiantes, stos van a reinventar todas las matemticas. As pues, tras de cada situacin de accin, en la que los estudiantes han tratado de encontrar y de formular las respuestas pertinentes (trabajando por grupos, preferentemente) es necesario organizar situaciones (o momentos) de comunicacin de los resultados y de argumentacin o validacin de las soluciones propuestas. De este modo se habr logrado crear unas condiciones propicias para el momento o situacin de institucionalizacin de los conocimientos pretendidos, con el grado de formalizacin que el profesor juzgue pertinente segn el desarrollo de las situaciones previas y el nivel particular de los estudiantes. Asimismo, el profesor deber hacer referencia a otros objetos matemticos ya conocidos por los estudiantes y a problemas previamente trabajados; esto es, ayudar al establecimiento de conexiones matemticas. Todo este trabajo del profesor encierra una notable complejidad y es de suma importancia, ya que pequeos cambios en la gestin de la clase (en el orden de presentacin de las cuestiones, sugerencias que proporcione a los estudiantes en momentos claves de los procesos de resolucin, y en el grado de formalizacin que finalmente exponga) condiciona el aprendizaje logrado por los estudiantes. Soluciones de las situaciones, problemas y ejercicios. Aunque creemos que los profesores estn capacitados para resolver las cuestiones que se proponen en las distintas unidades hemos credo conveniente ofrecer la solucin de las mismas. En algunos casos porque la resolucin puede requerir un tiempo excesivo del que el profesor no dispone habitualmente. Adems, slo mediante un examen pormenorizado de los posibles procesos de resolucin se pueden apreciar los conceptos y procedimientos matemticos que se despliegan en los mismos. Estas reflexiones acerca de los procesos que se desarrollan mediante contenidos matemticos que tienen que ver con el pensamiento aleatorio se tuvieron en cuenta al proponer indicadores de logros curriculares para el rea de matemticas, en la resolucin 2343 de 1996.



CRITERIOS METODOLGICOSEl aprendizaje de las matemticas, al igual que el de otras reas, es ms efectivo cuando el estudiante est motivado. Por ello resulta fundamental que las actividades de aprendizaje despierten su curiosidad y correspondan a la etapa de desarrollo en la que se encuentra. Adems, es importante que esas actividades tengan suficiente relacin con experiencias de su vida cotidiana. Para alimentar su motivacin, el estudiante debe experimentar con frecuencia el xito en una actividad matemtica. El nfasis en dicho xito desarrolla en los estudiantes una actitud positiva hacia la matemtica y hacia ellos mismos. Es importante reconocer que los estudiantes aprenden matemticas interactuando con el entorno fsico y social, lo cual lleva a la abstraccin de las ideas matemticas. Puesto que los estudiantes tambin aprenden investigando, se les dan oportunidades para descubrir y crear patrones, as como para explicar, describir y representar las relaciones presentes en esos patrones. Para el desarrollo de los contenidos programados los estudiantes realizarn en forma manual (11 A y 11 B) y en forma sistematizada (11 C, en Excel y PowerPoint) cada una de las actividades all relacionadas, el trabajo ser en forma individual y en grupo con la finalidad de que el estudiante reconozca y aplique los conocimientos adquiridos en diversas situaciones desde la misma matemtica y en situaciones del entorno. Para as aplicar la nocin de estndar curricular que hace referencia a una meta que expresa, en forma observable, (a) lo que el estudiante debe saber, es decir, los conceptos bsicos de cada rea, as como (b) las competencias, entendidas como el saber hacer, utilizando esos conceptos. La nocin de logro, por otra parte, hace referencia al nivel en el cual los estudiantes alcanzan una determinada meta o estndar.



CRITERIOS DE EVALUACINLos estndares curriculares son criterios que especifican lo que todos los estudiantes de educacin preescolar, bsica y media deben saber y ser capaces de hacer en una determinada rea y grado. Estn sujetos a la verificacin; por lo tanto, tambin son referentes para la construccin de sistemas y procesos de evaluacin interna y externa, consistentes con las acciones educativas. Acogiendo las directrices dadas por el M.E.N, la evaluacin de los educandos ser continua e integral, y se har con referencia a cuatro perodos de igual duracin en los que se dividir el ao escolar con los siguientes objetivos: a. Valorar el alcance y la obtencin de estndares, logros, competencias y conocimientos por parte de los educandos; b. Determinar la promocin o no de los educandos en cada grado de la educacin bsica y media; c. Disear e implementar estrategias para apoyar a los educandos que tengan dificultades en sus estudios; y

d. Suministrar informacin que contribuya a la autoevaluacin acadmica de la institucin y a la actualizacinpermanente de su plan de estudios4. Adems de los sealado el Decreto 0230 del 11 de febrero de 2002 se tendr en cuenta la reglamentacin del Decreto 1860 del 3 de agosto de 1994 que dice en su Artculo 47 En el plan de estudios deber incluirse el procedimiento de evaluacin de los logros del estudiante, entendiendo como el conjunto de juicios sobre el avance en la adquisicin de los conocimientos y el desarrollo de las capacidades de los educandos, atribuibles al proceso pedaggico. Sus finalidades principales son: Definir el avance en la adquisicin de los conocimientos (COGNITIVO O CONCEPTUALES): para este aspecto se tendr en cuenta la Motivacin del estudiante hacia los temas a desarrollar, inters, la Observacin, su atencin, percepcin de estmulos sensoriales, auditivos y visuales, comprensin, memoria, anlisis y sntesis, captar y expresar la informacin en forma original. Estimular el afianzamiento de valores y actitudes (SOCIOAFECTIVOS O ACTITUDINALES): Liderazgo en la ejecucin de trabajos en grupo, cooperacin, respeto por la opinin del otro, autonoma, respeto, seguridad, puntualidad, disciplina, pulcritud, honestidad, sinceridad, creatividad, sentido de amistad, colaboracin, autoestima, responsabilidad. Favorecer en cada estudiante el desarrollo de sus capacidades y habilidades (PSICOMOTORES O PROCEDIMENTALES): manifestado por las mismas habilidades, destrezas y aptitudes que durante la clase, pueda el estudiante expresar de acuerdo al tema que se est desarrollando y a su comportamiento dentro de ella; capacidad de comunicacin e interaccin con los dems miembros del grupo y de su propio entorno; en el mismo manejo del computador y a las herramientas que los diferentes programas le presenten: el dibujo, escritura de textos, manejo de frmulas aprovechamiento de las diversas barras de herramienta, manejo del teclado con precisin y rapidez. Desarrollar en el estudiante las COMPETENCIAS PARA SU DESEMPEO en una sociedad globalizada que lo capaciten para crear conocimiento y para sostener con justificaciones de peso el valor de verdad de lo creado. As se contribuye a la identificacin de las limitaciones o dificultades para consolidar los logros del proceso formativo, para identificar caractersticas personales, intereses, ritmos de desarrollo y estilos de aprendizaje, y, as ofrecer al estudiante oportunidades para aprender del acierto, del error y, en general, de la experiencia y es el computador la herramienta que ms facilita al estudiante este aprendizaje ya que en l puede repetir la accin y realizar el refuerzo que requiera sin que la mquina pierda la paciencia y el grupo se atrase o fastidie por tanto repetir.

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Ministerio de Educacin Nacional. Decreto 0230 del 11 de febrero del 2002. captulo 2. Artculo 4



OBJETIVOS GENERALES DE LA EDUCACIN MEDIA TCNICALa Educacin Media constituye la culminacin, consolidacin y avance en el logro de los niveles anteriores (preescolar y bsica) y comprende dos grados, el dcimo (10) y el undcimo (11). La Educacin Media Tcnica tiene como objetivos generales: 1. Preparar a los estudiantes para el desempeo laboral en uno de los sectores de la produccin y de los servicios, y para la continuacin en la educacin superior. 2. Formar una conciencia educativa para el esfuerzo y el trabajo. 3. Formar la personalidad y la capacidad de asumir con responsabilidad y autonoma sus derechos y deberes. 4. Desarrollar la habilidad de razonar lgica y crticamente. 5. Emplear los conocimientos adquiridos en la solucin de problemas concernientes a la modalidad. 6. Desarrollar en el estudiante el espritu investigativo y de trabajo. 7. Adquirir conocimientos slidos sobre los adelantos de la ciencia y la tecnologa.

OBJETIVOS GENERALES DEL GRADO UNDCIMO1. Proporcionar al estudiante la capacitacin bsica inicial para el trabajo. 2. Preparar al estudiante para vincularse al sector productivo y a las posibilidades de formacin que ste ofrece. 3. Ofrecer la formacin adecuada a los objetivos de Educacin Media Tcnica, que permita al educando el ingreso a la Educacin Superior. 4. Aceptar las habilidades de sus compaeros, para valorar y respetar los aportes de cada uno. 5. Descubrir la necesidad de respetar y actuar de acuerdo con las normas de comportamiento que se establecen, para favorecer un ambiente de trabajo adecuado. 6. Asumir una actitud positiva frente al conocimiento, que se refleje en el inters por aprender, el esfuerzo en sus tareas, el trabajo metdico y la participacin en clase. 7. Captar el sentido directo de una comunicacin verbal, pictrica, simblica, etc., sin necesidad de hallarle otra simplificacin. 8. Coordinar las ideas y expresarlas correctamente en forma escrita.



PROPSITOS GENERALES DEL CURRCULO DE MATEMTICASCualquiera sea el currculo que adopte la institucin dentro de su plan de estudios, as como los mecanismos que opte para implementarlo, la enseanza de las matemticas debe cumplir los propsitos generales siguientes: Generar en todos los estudiantes una actitud favorable hacia las matemticas y estimular en ellos el inters por su estudio. Desarrollar en los estudiantes una slida comprensin de los conceptos, procesos y estrategias bsicas de la matemtica e, igualmente, la capacidad de utilizar todo ello en la solucin de problemas. Desarrollar en los estudiantes la habilidad para reconocer la presencia de las matemticas en diversas situaciones de la vida real. Suministrar a los estudiantes el lenguaje apropiado que les permita comunicar de manera eficaz sus ideas y experiencias matemticas. Estimular en los estudiantes el uso creativo de las matemticas para expresar nuevas ideas y descubrimientos, as como para reconocer los elementos matemticos presentes en otras actividades creativas. Retar a los estudiantes a lograr un nivel de excelencia que corresponda a su etapa de desarrollo.

OBJETIVOS GENERALES DEL REA1. La utilizacin con sentido crtico de los distintos contenidos y formas de informacin y la bsqueda de nuevos conocimientos con su propio esfuerzo. 2. Participar en las actividades grupales con solidaridad, honestidad e inters. 3. Desarrollar habilidades que le permitan razonar lgica, crtica y objetivamente al estudiante. 4. Adquirir independencia en la actividad intelectual. 5. Adquirir perseverancia en la investigacin. 6. Ampliar la capacidad de realizar generalizaciones. 7. Comprender lo que lea y expresarlo con facilidad. 8. Manejar con precisin y velocidad el teclado. 9. Comparar el objeto de estudio con otros ya conocidos. 10.Presentar trabajos en los diferentes procesadores con esttica y excelente contenido.



ESTNDARES DE MATEMTICAS Pensamiento aleatorio y sistemas de datos: Situaciones susceptibles de anlisis a travs de recoleccin sistemtica y organizada de datos. Ordenacin y presentacin de la informacin. Grficos y su interpretacin. Mtodos estadsticos de anlisis. Nociones de probabilidad. Relacin de la aleatoriedad con el azar y nocin del azar como opuesto a lo deducible, como un patrn que explica los sucesos que no son predecibles o de los que no se conoce la causa. Ejemplos en situaciones reales. Tendencias, predicciones, conjeturas. PENSAMIENTO ALEATORIO Y SISTEMAS DE DATOS 1. Describir tendencias que se observan en conjuntos de variables relacionadas. 2. Interpretar nociones bsicas relacionadas con el manejo de informacin (como poblacin, muestra, variable, estadgrafo y parmetro). 3. Clasificar y organizar la presentacin de datos (relativos a objetos reales o eventos escolares) de acuerdo con cualidades o atributos. 4. Comparar e interpretar datos provenientes de diversas fuentes (prensa, revistas, televisin, experimentos, consultas, entrevistas). 5. Interpretar analtica y crticamente informacin estadstica proveniente de diversas fuentes (prensa, revistas, televisin, experimentos, consultas, entrevistas). 6. Representar datos usando tablas y grficas (de barras, diagramas de lneas, diagramas circulares). 7. Resolver y formular problemas a partir de un conjunto de datos presentados en tablas, diagramas de barras, diagramas circulares. 8. Reconocer que, diferentes maneras de presentar la informacin, pueden dar origen a distintas interpretaciones. 9. Resolver y formular preguntas que requieran para su solucin coleccionar y analizar datos del entorno prximo. 10. Representar datos relativos a su entorno usando objetos concretos, pictogramas y diagramas de barras. 11. Comparar diferentes representaciones del mismo conjunto de datos. 12. Reconocer relacin entre un conjunto de datos y su representacin. 13. Usar representaciones grficas adecuadas para presentar diversos tipos de datos (diagramas de barras, diagramas circulares). 14. Resolver y formular problemas seleccionando informacin relevante en conjuntos de datos provenientes de fuentes diversas (prensa, revistas, televisin, experimentos, consultas, entrevistas). 15. Reconocer tendencias que se presentan en conjuntos de variables relacionadas.



16. Identificar regularidades y tendencias en un conjunto de datos. 17. Describir situaciones o eventos a partir de un conjunto de datos. 18. Explicar - desde su experiencia - la posibilidad o imposibilidad de ocurrencia de eventos cotidianos. 19. Predecir si la posibilidad de ocurrencia de un evento es mayor que la de otro. 20. Hacer conjeturas y poner a prueba predicciones acerca de la posibilidad de ocurrencia de eventos. 21. Usar modelos (diagramas de rbol, por ejemplo) para discutir y predecir posibilidad de ocurrencia de un evento. 22. Hacer conjeturas acerca del resultado de un experimento aleatorio usando proporcionalidad y nociones bsicas de probabilidad. 23. Comparar resultados experimentales con probabilidad matemtica esperada. 24. Calcular probabilidad de eventos simples usando mtodos diversos (listados, diagramas de rbol, tcnicas de conteo). 25. Usar conceptos bsicos de probabilidad (espacio muestral, evento, independencia...). 26. Justificar inferencias provenientes de los medios o de estudios diseados en el mbito escolar. 27. Disear experimentos aleatorios (de las ciencias fsicas, naturales o sociales) para estudiar un problema o pregunta. 28. Interpretar conceptos de probabilidad condicional e independencia de eventos. 29. Resolver y formular problemas usando conceptos bsicos de conteo y probabilidad (combinaciones, permutaciones, espacio muestral, muestreo aleatorio, muestreo con reemplazamiento). 30. Proponer inferencias a partir del estudio de muestras probabilsticas. 31. Usar comprensivamente algunas medidas de centralizacin, localizacin, dispersin y correlacin (percentiles, cuartiles, centralidad, distancia, rango, varianza, covarianza y normalidad). 32. Usar medidas de tendencia central (media, mediana, moda) para interpretar el comportamiento de un conjunto de datos. 33. Interpretar conceptos de media, mediana y moda.



UNIDADESUNIDAD 1. UNIDAD 2. 1. COMBINATORIA Permutaciones y combinaciones de los elementos de un conjunto Probabilidad 10 CONCEPTOS ESTADSTICOS BSICOS Poblacin Muestra Variable Caracterstica Frecuencia Tablas de frecuencia Grficas Elaboracin de grficas 10 MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL Estimacin de las medidas de Tendencia Central Media Mediana Moda ESTNDARES PARA LA EXCELENCIA EN LA EDUCACIN: MATEMTICAS No de horas 10 10

1.1 1.2UNIDAD 3. 1.

1.1 1.2 1.3 1.4 1.51.5.1

1.61.6.1 UNIDAD 4. 1.

1.11.1.1 1.1.2 1.1.3

PENSAMIENTO ALEATORIO Y SISTEMAS DE DATOS Encuentra e interpreta algunas medidas de dispersin (rango, desviacin de la media, desviacin estndar, varianza, etc.), de una coleccin de datos. Comprende el concepto de variable aleatoria (discreta o continua). Conoce y aplica las reglas bsicas de la probabilidad y las utiliza para resolver una variedad de problemas. Comprende lo que es una distribucin de probabilidad y conoce las propiedades y aplicaciones fundamentales de las distribuciones binomial y normal. Aplica las medidas de tendencia central y de dispersin en el manejo, interpretacin y comunicacin de informacin.



COMBINATORIA LOGROS:1. Identifica a partir de ejemplos concretos de la vida cotidiana el concepto de permutacin. 2. Demuestra habilidades para aplicar y explicar correctamente el concepto de probabilidad. 3. Da razones para identificar los conceptos bsicos de poblacin, muestra, variables, caractersticas y frecuencia por medio de ejercicios prcticos.

PRERREQUISITOSConjunto de las partes de un conjunto Dado un conjunto A, el conjunto formado por todos los subconjuntos de A, se llama conjunto de las partes de un conjunto. Tambin se le llama Conjunto Potencia.

Adems:Ejemplo: Sea A = {a , b , e } , entonces:

P (A) = {X: X A} # P (A) = 2 # A

P(A) = { , { a } , { b } , { e } , { a , b } , { a , e } , { b , e } , A}. M = { 1, 2} 2M = { {1}, {2}, {1, 2}, } El conjunto M tiene 2 elementos entonces 22 = 4 elementos El conjunto M tiene 3 elementos entonces 23 = 8 elementos

M = { 1, 2, 2M = { {1}, {2}, {3}, {1, 2}, {1, 3}, {2, 3}, {1, 2, 3}, } 3}

Si un conjunto M es finito con "n" elementos, entonces su conjunto potencia 2M tendr 2n elementos.

Recubrimiento Dado un conjunto A y cualquier serie de subconjuntos de A, se llama recubrimiento. Particin Una particin es un recubrimiento en el que se cumple que A es igual a la unin de la serie de subconjuntos que forman el recubrimiento. Realiza la siguiente actividad escribiendo en cada solucin su respectiva explicacin: Sea el conjunto C= {1, 3, 5, 7} Determina: 1. 2. El conjunto de partes de C Dos Recubrimientos de C



3.

La Particin de C

TEMA: NOCIONES DE ESTADSTICA Conceptos bsicos de la estadstica descriptiva. Variables discretas. Tablas de frecuencia Frecuencia absoluta Frecuencia relativa Medidas de tendencia central Media Mediana Moda Grficos estadsticos Diagrama de barras Diagrama circular

Comprende conceptos fundamentales de la estadstica (poblacin muestra, datos, rango, variables cualitativas, variables cuantitativas y variables discretas). Organiza datos utilizando tablas de frecuencia y grficos de barra y circulares. Utiliza medidas de tendencia central para interpretar el comportamiento de un conjunto de datos Saca conclusiones a partir de los resultados obtenidos en tablas , medidas de tendencia central y grficos

NOTA: Los siguientes criterios de evaluacin se utilizan para evaluar todas las habilidades. Ejercicio a partir de un grfico estadstico trado por los estudiantes y sus preconceptos sobre la informacin arrojada por el grfico. Exposicin sobre los conceptos bsicos de estadstica descriptiva. Lecturas y talleres del texto de apoyo. Correccin y aclaracin de dudas. Participacin activa en la clase: Toma de apuntes, aportes importantes a la clase, trabajo individual en talleres y ejercicios , trabajo y aportes realizados en pequeos proyectos realizados en grupo, uso correcto de los instrumentos de geometra , lectura del texto. Tareas: Presentacin de tareas, verificacin de tareas mediante quices y/o desarrollo en el tablero, correcciones a su tarea en la clase.



ESTADSTICAEstadstica es la ciencia de recolectar, describir e interpretar datos. Un objetivo tpico en estadstica es describir "la poblacin" con base en informacin obtenida mediante la observacin de relativamente pocos elementos individuales. Cuando coloquialmente se habla de estadstica, se suele pensar en una relacin de datos numricos presentada de forma ordenada y sistemtica. Esta idea es la consecuencia del concepto popular que existe sobre el trmino y que cada vez est ms extendido debido a la influencia de nuestro entorno, ya que hoy da es casi imposible que cualquier medio de difusin, peridico, radio, televisin, etc., no nos aborde diariamente con cualquier tipo de informacin estadstica sobre accidentes de trfico, ndices de crecimiento de poblacin, turismo, tendencias polticas, etc. Podramos, desde un punto de vista ms amplio, definir la estadstica como la ciencia que estudia cmo debe emplearse la informacin y cmo dar una gua de accin en situaciones prcticas que entraan incertidumbre. La Estadstica se ocupa de los mtodos y procedimientos para recoger, clasificar, resumir, hallar regularidades y analizar los datos, siempre y cuando la variabilidad e incertidumbre sea una causa intrnseca de los mismos; as como de realizar inferencias a partir de ellos, con la finalidad de ayudar a la toma de decisiones y en su caso formular predicciones. Qu es Estadstica Descriptiva? Es aquella que organiza, resume y simplifica la informacin. Qu es Estadstica Inferencial? Consiste en el anlisis e interpretacin de una muestra de datos. ALGUNOS TRMINOS BSICOS:

Poblacin: Es la coleccin, o conjunto, de individuos, objetos o eventos cuyas propiedades sern analizadas.Hay dos tipos de poblacin:

o o

Poblacin finita: Cuando es posible enumerar (contar) fsicamente los elementos que pertenecen a una poblacin. Poblacin infinita: Cuando no es posible enumerar (contar) fsicamente los elementos que pertenecen a una poblacin. Dicho de otra manera, cuando los elementos de una poblacin son ilimitados. Muestra: Es un subconjunto de una poblacin. Muestreo: Mide una porcin pequea, pero tpica de alguna poblacin y la usa para inferir que caracterstica tiene la poblacin total. Unidades elementales: Son cada uno de los elementos de una poblacin o muestra. Es decir, las personas u objetos que poseen las caractersticas que interesan a los estadsticos. Dato: Es el valor de la variable asociada a un elemento de una poblacin o una muestra. Este valor puede ser un nmero, una palabra o un smbolo. Datos: Conjunto de valores de la variable respuesta medidos a partir de cada uno de los elementos de una poblacin o muestra. Experimento: Es la actividad realizada segn un plan definido cuyos resultados producen un conjunto de datos.



Parmetro: Es la caracterstica numrica de una poblacin. Tambin puede decirse que es el valor numrico que resume todos los datos de una poblacin completa. Estadstica: Caracterstica numrica de una muestra. O bien, el valor numrico que resume los datos de la muestra. Se dice que la estadstica describe a la muestra de la misma manera en que el parmetro describe a la poblacin.

Variable o variable de respuesta: Es la caracterstica de inters acerca de cada elemento de una poblacin o una muestra.

o

Tipos de variables:

Las variables se clasifican en Cualitativas (o atributos) y Cuantitativas (o numricas).

Variables Cualitativas o Atributos: Es el resultado de un proceso que categoriza (clasifica) o describe unelemento de una poblacin. Las operaciones aritmticas, como sumar y obtener promedios, no son significativas para datos que resultan de una variable cualitativa. Generalmente de este tipo de variables se describe normalmente en palabras y no en forma numrica, porque difiere en clase y no en grado entre unidades elementales. Las variables cualitativas pueden ser a su vez, binomiales o multinomiales. Variable Cualitativa Binomial: Se pueden hacer observaciones sobre este tipo de variables en slo dos categoras; por ejemplo, hombre o mujer, empleado o desempleado, correcto o incorrecto, defectuoso o satisfactorio, elegido o no elegido, ausente o presente. Variable Cualitativa Multinomial: Se pueden hacer observaciones en ms de dos categoras. Por ejemplo puesto, colores, idiomas, religiones, tipos de negocios, etc.

Variable Cuantitativa: Es el resultado de un proceso que cuantifica, es decir que cuenta o mide a un elemento de una poblacin. Es decir, es una variable que de ordinario se expresa numricamente, porque difiere en grado y no en clase entre las unidades elementales bajo estudio. Las variables cuantitativas pueden ser a su vez, discretas y continuas: Variable Cuantitativa Discreta: Estas variables pueden tomar valores slo en puntos especficos de una escala, con intervalos entre ellos; tales datos difieren entre s por pasos definidos claramente. Consideremos observar: el nmero de hijos en las familias, de empleados en empresas, de estudiantes en grupos, de recmaras en casas, de carros en existencia, de vacas en pastizales. De modo invariable, los datos individuales estn desconectados uno de otro por intervalos en la escala de valores; se vern como nmeros enteros pero nunca como decimales. Es imposible tener 3.28 hijos en una familia o ver 20.13 vacas en un campo. Variable Cuantitativa Continua: Una variable de este tipo pueden tomar valores en todos los puntos de una escala, sin intervalos entre valores posibles. Tales como la altura, longitud, volumen o peso, temperatura, tiempo, sueldo de un empleado. El peso podra reportarse como 45 o 48 Kg., pero tambin como 45.8 Kg o incluso como 48.855 Kg., dependiendo de la sensibilidad del aparato de medicin de que se trate. No importa qu tan cerca estn dos valores entre s, pues siempre es posible, con un aparato ms preciso, hallar otro valor entre ellos.

Ejemplos de Poblacin, muestra y conceptos



Ejemplo 1: Determine si se trata de poblacin finita o infinita: a) Poblacin de libros de la biblioteca del Instituto Tcnico Nacional de Comercio. Poblacin finita, porque el nmero de libros se puede contar. b) Poblacin de varones de Colombia entre 18 y 22 aos. La poblacin es muy grande pero se puede contar por lo tanto es finita. Para contabilizar el nmero de varones entre 18 y 22 aos se puede recurrir al DANE, que es la oficina de censo de la poblacin y la vivienda y se podra obtener la informacin requerida. c) Poblacin de todas las personas que podran tomar aspirinas. La poblacin es infinita. d) Poblacin de todos los focos de 40 watts que sern producidos por la compaa Sylvania. La poblacin es infinita, no puede predecirse cual ser la produccin. Ejemplos 2: Escribe mnimo 3 ejemplos de variables cualitativas o atributivas (VA), de variables cuantitativas continuas (VCC), y variables cuantitativas discretas (VCD): VA ===> Personalidad, carcter, paciencia, I.D. de cada estudiante (aunque es un nmero entero es atributo de una persona), nmero de empleado. VCC ===> Edad, peso, altura, estatura, temperatura, calificaciones, promedio, medida de inteligencia. VCD ===> Hijos, propiedades, 1 ao, nmero de parientes, nmero de produccin de autos, nmero de estudiantes, nmero de calculadoras vendidas, carreras, universidades, unidades de las materias

b)

Una muestra que consta de 4 personas en un gimnasio fue cuestionada sobre "el color de short que gustaba vestir para hacer ejercicio", la "marca" y la "talla" que usa. Los datos recolectados fueron: Short de color rojo, verde, negro y azul. Estos datos fueron reescritos con clave: Verde = 2, lila = 3 y azul = 3, rojo = 4 Las tallas fueron: 38, 32, 36, 34 Las marcas fueron: Cristian Dyor, Guess, Love y Patito respectivamente. Detectar las variables, el promedio de cada variable y el tipo de variable.

Solucin: P1) Se detectan las variable V1 = Color del short V2 = Marca V3 = Talla



P2) La V1 (Color del short ) es cualitativa multinomial. P3) Promedio A pesar de que los datos fueron reescritos como 1, 2 , 3, 4, no tendra sentido encontrar el promedio de la muestra sumando y dividiendo entre 4 : (verde + lila + azul + rojo)/4 o como (1 + 2 + 3 + 4 )/4. Esto ltimo a pesar de ser un nmero sigue siendo variable cualitativa y el resultado del promedio no tiene sentido. P4) La V2 (Marca) es cualitativa multinomial. P5) Promedio. Obtener el promedio de las marcas no tiene sentido. P6) La V3 (Talla) es cuantitativa discreta. P7) Promedio. (38 + 32 + 36 + 34)/4 = 35 FORMACIN PSICOMOTORA: Realiza con tu compaero(a) las siguientes actividades. Deben dar todas las respuestas con sus respectivas razones: a. Un fabricante de medicamentos est interesado en la proporcin de personas que padecen hipertensin (presin arterial elevada) cuya condicin pueda ser controlada por un nuevo producto desarrollado por la empresa. Se condujo un estudio en el que participaron 5000 personas que padecen de hipertensin, y se encontr que 80% de las personas pueden controlar su hipertensin con el medicamento. Suponiendo que las 5000 personas son representativas del grupo de hipertensin, conteste las siguientes preguntas: 1) Cul es la poblacin? 2) Cul es la muestra? 3) Identifique el parmetro de inters 4) Identifique la estadstica y proporcione su valor 5) Se conoce el valor del parmetro?

b. Un tcnico de control de calidad selecciona piezas ensambladas de una lnea de montaje y registra lasiguiente informacin de cada pieza: A: Defectuosa o no defectuosa B: El nmero de identificacin del trabajador que ensambl la pieza C: El peso de la pieza 1) Cul es la poblacin? 2) La poblacin es finita o infinita? 3) Cul es la muestra? 4) Clasifique las respuestas para cada una de las tres variables como de variables cualitativas o atributivas (VA), de variables cuantitativas continuas (VCC), y variables cuantitativas discretas (VCD):

c. Se hizo un estudio con 500 estudiantes del Instenalco y se registr la siguiente informacin de cada uno:A: Nmero de identificacin (ID) B: Edad C: Estatura D: Asiste "Si" o "No" a discotecas los jueves en la noche



Suponiendo que los 500 estudiantes son representativos de este estudio, se encontr que el 70 % asiste a discotecas los jueves en la noche. Conteste las siguientes preguntas 1) Cul es la poblacin? 2) Cul es la muestra? 3) Identifique el parmetro de inters. 4) Identifique la estadstica y proporcione su valor. 5) Clasifique las respuestas para cada una de las tres variables como de variables cualitativas o atributivas (VA), de variables cuantitativas continuas (VCC), y variables cuantitativas discretas (VCD).

d. La siguiente tabla representa las caractersticas de todos los empleados de tiempo completo de la fbrica deShampoo "Patito" al 1o. de enero del ao en curso. No. de empleado Empleados Color ojos Sexo1 2 3 4 5 6 7 8 Ana Miguel Andrea Jorge Eva Alejandro Teresa Susana azul caf negro negro azul verde negro caf M H M H M H M M

PuestoIngeniero Comunicador Mecnico Secretario Obrera Vigilante Obrera Conserje

Aos de Servicio Salario Anual en $2 10 23 5 8 10 2 7 7000000 7000000 6500000 2000000 1800000 1400000 1800000 1200000

Diga las razones y responda los siguientes interrogantes: 1) Cul es la poblacin? 2) La poblacin es finita o infinita? 3) Dar una muestra 4) Cul es la(s) variable(s)? 5) Que tipo de variable(s) es (son)? 6) Dar un dato 7) Dar todos los datos de una muestra e. Formular una situacin problema donde puedas determinar elementos tratados en este material.



ALEATORIEDAD - PROBABILIDAD Todos los hechos o sucesos que ocurren se denominan fenmenos. Existen fenmenos cuyo resultado se predice con certeza y a los que se les llama fenmenos deterministas, por ejemplo: al meter un objeto en el agua, ste se mojar; al poner en el fuego un leo ste se quemar; el nmero de meses del ao siempre ser 12, etctera. Pero tambin hay otros fenmenos que tienen varios resultados y estos no se pueden predecir con certeza, estos son llamados fenmenos aleatorios o fenmenos azarosos; por ejemplo: el resultado probable de una rifa; cul ser el equipo ganador de ftbol en el prximo campeonato; qu cara quedar arriba al lanzar un dado, etctera. Los fenmenos aleatorios son estudiados por la probabilidad y mediante ella se determina la posibilidad de obtener un resultado esperado. Existen diagramas como el de rbol que describen grficamente todos los posibles resultados de un fenmeno aleatorio. Obsrvense los siguientes ejemplos: A. Al lanzar una moneda al aire, Cules son los posibles resultados? Son dos los resultados posibles: cara o sello Por lo tanto, la probabilidad de que ocurra uno de ellos es de es decir uno de dos resultados probables en total , B. Al lanzar un dado, cules son los resultados probables? Son 6 los probables resultados: 1, 2, 3, 4, 5, 6; por lo tanto, la PROBABILIDAD de que ocurra uno de ellos es de es decir, uno de seis en , total

C.

Cuando dos equipos juegan ftbol, cules son los resultados posibles por cada equipo?



El diagrama de rbol es un medio bsico de conteo para determinar el total de probables resultados de un fenmeno aleatorio. Problemas: a) Hay slo una bolita roja en cada una de estas bolsas. Si tienes que sacar una bolita de cada bolsa sin mirar dentro, qu bolsa nos ofrece ms posibilidades de sacar la bolita roja? A. La bolsa con 10 bolitas. B. La bolsa con 100 bolitas. C. La bolsa con 1000 bolitas. D. En todas las bolsas tenemos las mismas posibilidades.

10 bolitas

100 bolitas

1000 bolitas

b) Cada una de las seis caras de un cubo estn pintadas de rojo o de azul. Al lanzar el cubo, la probabilidad de que quede una cara roja arriba es .. Cuntas caras son rojas? A. Una. B. Dos. C. Tres. D. Cuatro. E. Cinco.



ANLISIS COMBINATORIOLOGROS: 1. Reconoce y aplica las reglas bsicas de la combinatoria y las utiliza para resolver una variedad de problemas. 2. Identifica los diferentes mtodos de combinatoria (permutaciones, variaciones y combinaciones) en forma analtica y descriptiva. CONOCIMIENTOS PREVIOS: NUMERO FACTORIAL 0! = 1 (n + 1) ! = n! (n Ejemplos: 1! = 0! 1 2! = 1! 2 3! = 2! 3

+ 1);

n N0

= 1 1 = 1 = 1 2 = 2 = 1 2 3 = 6

PRINCIPIO MULTIPLICATIVO Si una operacin puede efectuarse de n maneras diferentes y realizada una cualquiera de ellas, una segunda operacin puede efectuarse de p maneras distintas, entonces el nmero total (N) de maneras diferentes en que pueden realizarse, a la vez, ambas operaciones es: N = n p Ejemplo: Un matrimonio decide comprar un radio y una cocina. Si en el lugar donde harn la compra hay 4 tipos de radio y 2 clases de cocina de cuntas maneras distintas pueden realizar la compra de ambos objetos a la vez? Respuesta: N = 4 2 = 8 Observacin: Este principio puede extenderse a ms de dos operaciones. FORMACIN COGNOSCITIVA: 1. Definicin La combinatoria consiste en estudiar todas las posibles situaciones de agrupacin u ordenacin en los que se puede ver implicado un conjunto de elementos o grupo de elementos. Ejemplo: De cuntas maneras diferentes se pueden ordenar los estudiantes de una clase de tal forma que al menos haya un asiento libre entre cada uno? Regla de Laplace Esta regla es fundamental en el rea de la combinatoria. Nos dice la probabilidad que tiene de ocurrir un suceso. Esto es con el cociente entre el nmero de casos que son favorables partido por el nmero total de casos.

Ejemplo: Si tenemos una clase con 50 estudiantes y queremos saber: Cul es la probabilidad de que al escoger un estudiante este sea rubio? La solucin sera conocer el nmero de estudiantes rubios y dividirlo entre los 50 totales. 2.- Mtodos de combinatoria 2.1.- Permutaciones Se llama "permutaciones de n elementos" a los distintos grupos que se pueden formar con esos n elementos a la vez de manera que estos grupos se diferencien nicamente en el orden de los mismos.



P=n! Ejemplo: Calcular las maneras posibles de colocar las letras a,b,c. P = 3! = 6 abc bac cab acb bca cba

2.2.- Permutaciones con repeticin Se llama "permutaciones con repeticin de n elementos" a los distintos grupos que se pueden formar con esos n elementos, repitiendo alguno/s, a la vez de manera que estos grupos se diferencien nicamente en el orden de los mismos. Es igual que en las permutaciones sin repeticin, pero en este caso los elementos se pueden repetir. Tenemos r elementos diferentes. El primer elemento se repite n1 veces; el segundo n2 veces y el r-simo nr veces, tal que n1+n2+...+nr = n Llamamos permutaciones con repeticin de n elementos de manera que se pueda repetir n1,n2,...,nr veces a las diferentes disposiciones de los n elementos.

2.3.- Variaciones Llamamos "variaciones de n elementos tomadas de r en r" al nmero de grupos de r elementos, r n, que se pueden formar con los n elementos que tenemos, teniendo en cuenta que influye el orden de estos elementos de manera que dos grupos de iguales elementos se pueden diferenciar en el orden de los elementos de los mismos. La situacin es similar a la de las permutaciones, pero aqu no utilizamos todos los elementos.

Ejemplo: En una carrera de carros (50 carros) queremos saber el nmero de formas distintas en que se pueden repartir los premios (1, 2 y 3)... Seran las variaciones de 50 elementos tomados de 3 en 3.

2.4.- Variaciones con repeticin Es exactamente lo mismo que las variaciones pero en este caso se pueden repetir los elementos. Se toman n elementos tomados de r en r. Ejemplo: Calcular las distintas maneras de colocar las tres letras: A, B y C de tal forma que se agrupen de dos en dos. ABBCAC2.5.- Combinaciones BACBCAAA BB CC



Las "combinaciones de n elementos tomadas de r en r" se definen como el nmero de grupos de r elementos que se pueden formar con los n elementos de manera que difieran solamente en alguno de los elementos, de tal forma que no influye el orden (al contrario que en las variaciones), es decir, que AB es el mismo grupo que BA.

Ejemplo: Un alumno puede elegir entre tres de las cinco Pruebas de Conocimientos para seleccionar su carrera universitaria. De cuntas maneras distintas puede elegir esas tres pruebas? Respuesta:C5 3

=

5! 3! 2 !

= 10

Es decir, que tendramos que echar 13.983.816 apuestas de 6 nmeros para tener la seguridad al 100% de que bamos a acertar. 2.6.- Combinaciones con repeticin Igual que las combinaciones, pero admitiendo elementos repetidos. El nmero de combinaciones con repeticin de k elementos, que pueden formarse a partir de n elementos distintos ( ), es: C n kkCn kk

=

( n + k 1)! k ! ( n 1)!

Ejemplo: Al lanzar tres monedas iguales al aire cuntas opciones distintas existen, si se quiere apostar por una de ellas? 4! Respuesta: = 43 ! 1!

1. SI influye el orden

Esquema rpido sobre mtodos de combinatoria 1.1.1. Permutaciones 1.1. NO se repiten elementos 1.2. SI se repiten elementos

2. NO influye el orden

2.1. NO se repiten elementos 2.2. SI se repiten elementos

1.1.2. Variaciones 1.2.1. Permutaciones con repeticin 1.2.2. Variaciones con repeticin 2.1.1. Combinaciones 2.1.2. Combinaciones con repeticin

EJERCICIOS DE ANLISIS COMBINATORIO Realiza las operaciones necesarias y explica brevemente la situacin dada, es bueno que en algunos casos ejemplifiques 1) Cuntas parejas diferentes compuestas por una mujer y un hombre se podran formar a partir de 6 hombres y 5 mujeres? R: 5 6 = 30 2) Cuntos tros diferentes compuestos por un hombre, una mujer y un nio se pueden formar a partir de 4 hombres, 5 mujeres y 3 nios? R: 4 5 3 = 60



3) En una canasta hay 5 frutas diferentes y en otra canasta hay 3 verduras distintas. De cuntas maneras se puede elegir una fruta y una verdura? R: 5 3 = 15 4) Cuntas palabras diferentes, con o sin significado, se pueden formar con las letras: A, L, E y C, sin que ninguna letra se repita ni falte? R: 4! = 24 5) Cuntas permutaciones simples pueden hacerse con las letras de la palabra LEGAR? R: 5! = 120 6) Cuntas de esas permutaciones comenzarn con una consonante? R: 3 4! = 72 7) Cuntas comenzarn con una vocal? R: 2 4! = 48 8) Cuntas comenzarn con la letra A? R: 4! = 24

9) Se tienen 10 bolitas de igual tamao, 3 son de color rojo, 2 de color azul y 5 de color verde. Decuntas maneras diferentes se pueden ordenar en fila esas 10 bolitas? R: 10! = 2520 3! 2! 5! 10) Cuntas de esas permutaciones comenzar con una bolita verde? R: 9! = 1260 3! 2! 4! 11) Cuntas terminarn con una bolita roja? R: 9! = 756 2! 2! 5! 12) Cuntas comenzarn con una bolita azul y terminarn con una bolita verde? R: 8! = 280 3! 4! 13) Cuntos nmeros de 3 cifras diferentes pueden formarse con los dgitos: 1, 2, 3, 4 y 5? R: 5! = 60 2! 14) Cuntas palabras de 3 letras, con o sin significado, pueden formarse con las letras de la palabra COMA? R: 4! = 24 15) Una empresa ferroviaria tiene 6 estaciones. Cuntos tipos diferentes de boletos, donde se indique la estacin de salida y de llegada, deben imprimirse? R: 6 5 = 30



16) Cuntos nmeros de 3 cifras pueden formarse con los dgitos: 5, 6, 7, 8 y 9? R: 5 3 = 125 17) Cuntos nmeros de dos cifras pueden formarse con los diez dgitos? R: 9 10 = 90 18) De cuntas maneras diferentes se puede elegir una comisin de 5 miembros a partir de 8 de personas? R: 8! = 56 5! 3!

19) Si una persona determinada debe estar siempre incluida? R: 7! = 35 4! 3!

20) Si una persona determinada debe estar siempre excluida? R: 7! = 21 5! 2!

21) Si una persona determinada debe estar siempre incluida y otra siempre excluida? R: 6! = 15 4! 2!

22) Si dos personas determinadas nunca deben estar juntas en esa comisin? R: 8! 6! = 36 5! 3! 3! 3! diagonales pueden trazarse n! n(n3) n = 2! ( n 2 )! 2 en un polgono convexo de n lados?

23) Cuntas R:

24) Cuntas comisiones diferentes, compuestas por 2 hombres y 3 mujeres, pueden formarse, a partir de 10 hombres y 12 mujeres? R: 10! 12! = 9900



2! 8!

3! 9!

25) Cuntas palabras de 7 letras distintas (4 consonantes y 3 vocales), con o sin significado, pueden formarse a partir de 6 consonantes y 5 vocales, todas diferentes? R: 6! 5! 7! = 756000 4! 2! 3! 2!



FRECUENCIA Y GRFICASLOGROS: 1. Maneja y aplica los conceptos de Frecuencia, Frecuencia Relativa, Frecuencia Absoluta, Marca de Clase, Frontera de Clase y Rango en la organizacin de la informacin. 2. Interpreta diagramas, encuestas, grficas y tablas que recojan datos de asuntos cotidianos y hace inferencias y predicciones a partir de stos. FORMACIN COGNOSCITIVA: Tabla de Distribucin de Frecuencias e Histogramas Los listados de grandes conjuntos de datos no presentan una imagen valiosa. Algunas veces se desean condensar los datos en una forma ms manejable. Esto puede lograrse con ayuda de una Distribucin de Frecuencias. Frecuencia: La frecuencia es el nmero de veces que ocurre el valor "x" en la muestra. Frecuencia Relativa: La frecuencia relativa es una medida proporcional de la frecuencia de un evento. Se encuentra al dividir la frecuencia de clase entre el nmero de observaciones (total de datos existentes). La frecuencia relativa puede expresarse como una fraccin comn, en forma decimal o como un porcentaje La suma de frecuencias relativas ser siempre 1. Distribucin de frecuencias: Listado, a menudo expresado en forma de diagrama, que asocia cada valor de una variable con su frecuencia. La distribucin de frecuencias puede ser "no agrupada" y "agrupadas". Distribucin de frecuencias "no agrupadas": En este tipo de distribucin cada valor de x en la distribucin permanece solo. Distribucin de frecuencias "agrupadas": En este tipo de distribucin se agrupan los valores en un conjunto de clases. Una representacin de tallo y hojas muestra en general una distribucin de frecuencias agrupadas, porque cada tallo representa una clase. El nmero de hojas en cada tallo es el mismo que la frecuencia de esa misma clase. Ancho de clase: Es la diferencia entre un lmite inferior y el lmite inferior de la siguiente clase ("no es la diferencia entre los lmites superior e inferior de la misma clase). Marca de clase o punto medio de clase: Se obtienen sumando el lmite superior ms el lmite inferior de una clase y dividindolo entre 2. Como comprobacin de las operaciones aritmticas, las marcas de clase sucesivas deben estar separadas por un ancho de clase. Frontera de clase: Son nmeros que no estn presentes en los datos muestrales, si no que se localizan en medio del lmite superior de una clase y el lmite superior de la siguiente clase. Lineamientos bsicos a seguir en la elaboracin de una distribucin de frecuencias agrupadas: 1) Calcular el rango o amplitud, identificando los datos mximo y mnimo, como Mx y Mn respectivamente, de la siguiente forma: Rango = Mx - Mn 2) Las clases deben estar dispuestas de modo que no se superpongan y que cada porcin de informacin pertenezca exactamente a una clase. 3) Para calcular el nmero de clases representadas por K y N el nmero total de datos, un lineamiento razonable para muestras de menos de 150 datos, es la raz cuadrada del nmero de datos: Otra forma de calcular el nmero de clases es: 4) Cada clase debe ser del mismo ancho (Ac). Esto se calcula como:



5) Elegir un nmero de clases (K) y un ancho de clase (Ac) de modo que el producto KAc sea ligeramente mayor que el rango. Donde KAc es la holgura de la clase, KAc > Rango 6) Utilizar un sistema que aproveche un patrn numrico, para garantizar precisin. 7) Cuando sea conveniente, un ancho de clase par suele ser ventajoso segn Johnson y Kuby, otros autores prefieren ancho de clase impar. Lo que implica que la seleccin del ancho de clase no es una regla establecida. Ejemplo 1: a) Se realiz una investigacin de campo en la cual se obtuvieron los siguientes datos: Datos2 2 0 1 3 2 4 3 2 2 4 1 3 3 4 2 1 2 2 3

1. Elaborar una tabla de distribucin de frecuencias "no agrupadas". 2. Elaborar una tabla de distribucin de frecuencias relativas "no agrupadas". Solucin: 1. Elaborar una tabla de distribucin de frecuencias "no agrupadas". Paso1) Se escriben los nmeros que participan, en este caso del 0 al 4 (columna 1). Paso2) Se van marcando las veces que aparece el nmero (columna 2). Paso3) Se cuentan las marcas de observaciones, para el mismo nmero y sta es la frecuencia correspondiente (columna 3). x 0 1 2 3 4 Marca de Observaciones l=1 lll = 3 lllll lll = 8 lllll = 5 lll = 3 f 1 3 8 5 320

2. Elaborar una tabla de distribucin de frecuencias relativas "no agrupadas". x0 1 2 3 4

f relativa1/20 3/20 8/20 5/20 3/20

20/20 = 1

Ejemplo: I. La siguiente tabla representa las calificaciones de una evaluacin cuantitativa de estadstica:



Calificaciones60 90 77 39 47 77 39 76 82 86 90 84 95 58 63 91 88 64 98 51 72 95 88 75 67 74 49 50 66 72 42 69 68 88 98 56 98 74 70 100

1. Elaborar una tabla de distribucin de frecuencias "agrupadas". 2. Explicar que significa la frecuencia de la clase 4. 3. Explicar que significa la suma de frecuencias. 4. Explicar como se calcul la marca de clase. 5. A partir de la tabla de distribucin de frecuencias "agrupadas", si no conociera los datos, cmo calculara el ancho de clase? Solucin: 1. Elaborar la tabla de distribucin de frecuencias "agrupadas". Paso1) Identifique las calificaciones mxima y mnima (Mx = 98, Mn =39) y determine el rango de entre los N = 40 datos. Rango = Mx - Mn = 98 - 39 = 59 Paso2) Elija el nmero de clases: Paso3) Elija un ancho de clase de modo que el producto KAc sea ligeramente mayor que el rango (KAc > Rango).

KAc >Rango ===> KAc = 7(9) = 63 > 59, esto es correcto porque 63 es ligeramente mayor que 59, sin embargo segn de la teora, es conveniente un ancho de clase par, por lo que se recomienda que el Ac=10. Ahora con, nmero de clases = K =7 y ancho de clase = Ac = 10: KAc = 70; 70 > 59, 70 es ligeramente mayor que el rango. Paso4) Elija un punto inicial, que debe ser algo menor que el puntaje ms bajo (Mn). Suponga que se empieza en 35; al contar a partir de ah de 10 en 10 (el ancho de la clase) se obtienen 35, 45, 55, 65,.., 95, 105. Estos nmeros se denominan lmites de clase. Las observaciones que caen en los lmites de clase se colocan en el intervalo de clase a la derecha, excepto por el intervalo ms alejado a la derecha, donde se colocan en el intervalo a la izquierda.

Lmite de clase Ancho de clase (10)



Clases1 2 3 4 5 6 7

Lmite inferior35 45 55 65 75 85 95 105

Lmite superior44 54 64 74 84 94 104

Marca de clase39.5 49.5 59.5 69.5 79.5 89.5 99.5

Frecuencia3 4 5 9 6 6 7 40

2. Explicar que significa la frecuencia de la clase 4. La frecuencia de la clase 4 es 9, sto significa que hay 9 nmeros entre 3. Explicar que significa la suma de frecuencias. La suma de frecuencias, representada por manera la cantidad de datos que hay. 40, significa que hay 40 calificaciones o dicho de otra

4. Explicar como se calcul la marca de clase. Esta se calcula de la siguiente forma Marca de clase = (Lmite inferior + Lmite superior) / 2 Por ejemplo: Marca de clase(1) = (35 + 44) / 2 = 39.5 Marca de clase(2) = (45 + 54) / 2 = 49.5, etc. 5. A partir de la tabla de distribucin de frecuencias "agrupadas", si no conocieran los datos, cmo calculara el ancho de clase?. Esta se calcula como la diferencia entre un lmite inferior y el lmite inferior de la clase siguiente: Ancho de clase = Lmite inferior de clase (i + 1) - Lmite inferior de clase (i) Por ejemplo: Si i = 1 Ancho de clase = Lmite inferior de clase (2) - Lmite inferior de clase (1) = 45 35 = 10 Si i = 6 Ancho de clase = Lmite inferior de clase (7) - Lmite inferior de clase (6) = 95 85 = 10 Es suficiente con calcular una vez, sin embargo se calcul dos veces para verificar. FORMACIN PSICOMOTORA:A) De la siguiente tabla de distribucin de frecuencias, calcule el ancho de clase, marca de clase, explique que significa 20.


ESTADSTICA - UNDCIMO GRADO Instituto Tcnico Nacional de Comercio Lmite de clase Ancho de clase (5) Clases1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Lmite inferior50 55 60 65 70 75 80 85 90 95

Lmite superior54 59 64 69 74 79 84 89 94 99

Marca de clase52 57 62 67 72 77 82 87 92 97

Frecuencia1 1 1 2 3 5 3 2 1 1

20

B) Para los datos del ejercicio (A) elaborar la tabla de distribucin de frecuencias relativas y fronteras de clase: Histograma: Grfica de barras que representa una distribucin de frecuencias de una variable cuantitativa. Un histograma est integrado por los siguientes componentes: 1. Un ttulo, que identifica la poblacin o la muestra de inters. 2. Una escala vertical, que identifica las frecuencias que hay en las diversas clases. 3. Una escala horizontal, que identifica la variable x. Los valores de los lmites de clase o de las marcas de clase deben identificarse a lo largo del eje x. El empleo de cualquier mtodo para identificar el eje representa mejor a la variable. Ejemplos: a) Elabora el histograma de la tabla de distribucin de frecuencias del ejercicio (A)

b) En una calle de la ciudad se midieron con radar las velocidades (mts/seg) de 55 automviles: 2 2 2 3 4 Datos 2 3 2 2 1 20



7 2 5 2 9 2 6 2 1

3 2 3 2 8 3 3 2 3

2 2 2 2 7 2 5 2 4

8 5 2 2 5 2 7 1 8

3 3 1 2 9 2 5 4 8

4 3 0 2 8 3 4 2 3

5 4 1 2 4 3 2 1 6

6 4 5 3 7 3 6 3 8

8 2 9 2 8 3 2 2 6

8 2 7 2 9 3 2 2 1

43 18 33 23

Usando un ancho de clase impar. 1. Elaborar la tabla de distribucin de frecuencias "agrupadas". Paso1) Nmero total de datos N = 55. Paso2) Identifique las calificaciones mxima y mnima (Mx = 52, Mn =16) y determine el rango. Rango = Mx - Mn = 52 - 16 = 36 Paso3) Elija el nmero de clases:Paso4) Elija un ancho de clase de modo que el producto KAc (holgura de la clase) sea ligeramente mayor que el rango.

KAc > Rango ===> KAc = 8(5) = 40 > 36, esto es correcto porque 40 es ligeramente mayor que 36. Adems el problema establece usar un ancho de clase impar por lo que Ac = 5 es el adecuado. Paso5) Elija un punto inicial, que debe ser algo menor que el puntaje ms bajo (Mn = 16). Por lo que se empieza en 15; al contar a partir de ah de 5 en 5 (ancho de la clase) se obtienen 15, 20, 25, 30, 35, 40, 45, 50 (lmites de clase). Paso6) Con estos clculos, se procede a elaborar la tabla de distribucin de frecuencias "agrupadas": Lmite de clase Ancho de clase (5) Fronteras de claseLmite inferior Lmite superior 14.5 19.5 19.5 24.5 24.5 29.5 29.5 34.5 34.5 39.5 39.5 44.5 44.5 49.5 49.5 54.5 Clases Lmite inferior Lmite superior Marca de clase Frecuencia Frecuencia Relativa 1 15 19 17 4 4/55 2 20 24 22 13 13/55 3 25 29 27 19 19/55 4 30 34 32 8 8/55 5 35 39 37 5 5/55 6 40 44 42 3 3/55 7 45 49 47 2 2/55 8 50 54 52 1 1/55

55

55/55=1

2. Calcular la marca de clase. Marca de clase = (Lmite inferior + Lmite superior)/2 Por ejemplo para la clase(1) Marca de clase = (15 + 19)/2 = 17 clase(2) Marca de clase = (20 + 24)/2 = 22, etc. 3. Calcular las fronteras de clase. Frontera de clase = Son nmeros que se localizan en medio del lmite superior de una clase y el lmite inferior de la siguiente clase.



Por ejemplo para la clase(1) Frontera de clase = (19 + 20)/2 = 19.5 clase(2) Frontera de clase = (24 + 25)/2 = 24.5, etc. 4. Elaborar el histograma.

DIAGRAMAS Y REPRESENTACIN DE TALLO Y HOJASLas grficas se utilizan para resumir datos de atributo. Algunos de los tipos de grficas que hay son: GRFICA DE PASTEL (PAY): Muestran la cantidad de datos que pertenecen a cada categora como una parte proporcional de un crculo.

HISTOGRAMA (DIAGRAMA DE BARRAS) O DIAGRAMA DE TALLO Y HOJA: Muestran la cantidad de datos que pertenecen a cada categora como reas rectangulares de tamao proporcional.

OJIVAS O LNEAS: Muestran la cantidad de datos que pertenecen a cada categora como lneas de tamao proporcional.



REPRESENTACIN O DIAGRAMA DE TALLO Y HOJAS Presenta los datos de una muestra mediante el empleo de los dgitos que constituyen los valores de los datos. Cada dato numrico se divide en dos partes : el(los) dgito(s) principal(es) se convierte(n) en el tallo, y el (los) dgito(s) posterior(es) se convierte(n) en la(s) hoja(s). Los tallos se escriben a lo largo del eje principal, y por cada porcin de datos se escribe una hoja para mostrar la distribucin de los datos. Ejemplos: a) Se le pregunt a 5 estudiantes de Undcimo C, qu tiempo en minutos tardan en comer? Y las respuestas respectivas fueron: 12, 58, 33, 46, 29 1.- Construya el diagrama de tallo y hojas correspondiente. Solucin: Paso1) Se ordenan los datos de menor a mayor 12, 29, 33, 46, 58 Paso2) Se construye el diagrama de Tallo y hojas. El tallo son las decenas, hoja las unidades: Tallo1 2 3 4 5

Hoja2 9 3 6 8

FORMACIN PSICOMOTORA:

a) Se pregunt a 8 nios (entre 6 a 10 aos) qu tiempo (en minutos) vean televisin? Y las respuestas respectivas fueron: 12, 14, 15, 26, 29, 33, 39, 40 1.- Construya el diagrama de tallo y hojas correspondiente. 2.- Detecte dnde hubo mayor y menor frecuencia y mrquelo en el diagrama de tallo y hojas. b) Se pregunt a 7 estudiantes de Idiomas qu costo (en pesos) le daran a un libro de Pierre Guiraud sobre "La Semiologa" de 133 pginas? Y las respuestas respectivas fueron: 104, 209, 327, 328, 449, 464, 500 1.- Construya el diagrama de tallo y hojas correspondiente.



2.- Detecte dnde hubo mayor y menor frecuencia y mrquelo en el diagrama de tallo y hojas. c) Construir una representacin tallo-hoja para el siguiente conjunto de 20 calificaciones: 82, 74, 88, 66, 58, 74, 78, 84, 96, 76, 62, 68, 72, 92, 86, 76, 52, 76, 82, 78 d) Elaborar el diagrama tallo-hoja agrupando 5 valores para cada tallo, para el ejercicio del inciso (c).



MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRALLOGROS: 1.

Comprende y aplica las medidas de tendencia central en el anlisis de datos de diversa ndole.

2. Aplica las medidas de tendencia central y de dispersin en el manejo, interpretacin y comunicacin de informacin. MEDIA, MEDIANA Y MODA Las medidas de tendencia Central son los valores numricos que tienden a localizar en algn sentido la parte central de un conjunto de datos. El trmino promedio a menudo es asociado con todas las medidas de tendencia central. Media aritmtica ( ): Se conoce ms comnmente como promedio. Se calcula sumando los valores de un conjunto de datos y dividiendo la suma entre el nmero total de valores. Se calcula como:

Ejemplo: a) Un conjunto de datos consta de cinco valores: 8, 6, 7, 9, 12. Encuentre la media. Solucin: n = nmero total de valores = 5 En consecuencia la media de esta muestra es 8.4. Media aritmtica de frecuencias (X): Se calcula sumando las frecuencias y dividiendo la suma entre el total de frecuencias. Se calcula como:

Ejemplos: a) Se tiene el siguiente diagrama de frecuencias no agrupadas. Encuentre la media aritmtica de frecuencias. x f1 2 3 4 5 9 8 6

Solucin:

La media aritmtica de frecuencias es por lo tanto 2.5. Hay otra forma de trabajar lo mismo y es haciendo una tabla de la siguiente forma: x fi xi fi



1 2 3 4

5 9 8 6 28

5 18 24 24 71

Substituyendo en la frmula de la media aritmtica de frecuencias:

La media aritmtica de frecuencias es por lo tanto 2.5. FORMACIN PSICOMOTORA: a) Se tiene el siguiente diagrama de frecuencias agrupadas. Encuentre la media aritmtica de frecuencias. Lmite de clase Clases1 2 3 4

Lmite de clase Lmite superior19 24 29 34

Lmite inferior15 20 25 30

Ancho de clase (5) Marca de clase17 22 27 32

f3 2 5 9

b) Se tiene el siguiente diagrama de frecuencias agrupadas. Encuentre la media aritmtica de frecuencias. Lmite de clase Clases1 2 3 4

Lmite de clase Lmite superior33 44 55 66

Lmite inferior23 34 45 56

Ancho de clase (11) Marca de clase28 39 50 61

f5 2 3 4

Mediana ( ): Es el valor ocupado por la posicin central cuando los datos se ordenan de acuerdo a su magnitud de menor a mayor. La frmula para encontrar la distancia de la mediana es:

Si la distancia de la mediana no diera un nmero entero (generalmente da entero y un decimal de .5), entonces la mediana est a la mitad de las posiciones que marque el entero y el siguiente entero. Para encontrar el nmero situado a la mitad de dos valores cualesquiera, se suman los dos valores y el resultado se divide entre 2. De esta manera la mediana separa el conjunto de datos ordenados en dos subconjuntos del mismo tamao. Ejemplo: a) Encontrar la mediana de los siguientes datos: 9, 5, 7, 6, 9 Solucin:



Paso1) Se ordenan de menor a mayor: 5, 6, 7, 9, 9 Paso2) Se calcula la distancia de la mediana: n = nmero de datos = 5 Lo que significa que el nmero que se encuentre en el lugar 3 es la mediana:

Moda: Es el valor de x que ocurre ms frecuentemente. Si dos o ms valores de una muestra estn empatados en cuanto a mayor frecuencia) nmero de ocurrencias), se dice que no hay moda. Ejemplos: a) Encontrar la moda del conjunto de datos: 3, 4, 4, 6, 6, 6, 8, 8, 12 Solucin: Moda = 6, porque el 6 es el ms frecuente (3 veces). Centro de Amplitud (C.A.) o Rango Medio: Dentro de un conjunto de datos siempre hay un extremo inferior (L) y un extremo superior (H), el punto medio o centro de amplitud es el nmero situado entre ellos exactamente en la parte central. Este se encuentra promediando los extremos inferior y superior para encontrar el centro. Ejemplo1: a) Encontrar el centro de amplitud de la siguiente muestra: 6, 9, 10, 9, 8, 7 Solucin: Paso1) Se ordenan de menor a mayor: 6, 7, 8, 9, 9, 10 Paso2) Se localizan el extremo inferior (L) y un extremo superior (H): L=6 H = 10 Paso3) Se calcula el centro de amplitud:

Ejemplo2: b) Los siguientes datos son los aumentos de peso (en gr.) de pollos alimentados con una dieta rica en protenas: Lmite de clase Clases1 2

Lmite de clase Lmite superior11.3 11.9

Lmite inferior10.8 11.4

Ancho de clase (0.6) Marca de clase11.05 11.65

f2 6


ESTADSTICA - UNDCIMO GRADO Instituto Tcnico Nacional de Comercio 3 4 5 6 12.0 12.6 13.2 13.8 12.5 13.1 13.7 14.4 12.25 12.85 13.45 14.10 22 24 12 4

Calcular: 1. La media 2. La mediana 3. La moda 4. El centro de amplitud Solucin: 1. La media Se toman los datos que se requieren para los clculos: Clases Marca de clase1 2 3 4 5 6 11.05 11.65 12.25 12.85 13.45 14.10

f2 6 22 24 12 4

xi fi22.1 69.9 269.5 308.4 161.4 56.4 887.7

70

La media aritmtica de frecuencias agrupadas es por lo tanto 12.68. 2. La mediana Paso1) Las marcas de clase ya estn ordenadas de menor a mayor: Paso2) Se calcula la distancia de la mediana: n = nmero de datos = 70 La mediana es el nmero que se encuentre en el lugar 35.5 lo que significa que el nmero se encuentra situado a la mitad de dos valores cualesquiera, por lo que se suma el nmero de la posicin 35 y el de la posicin 36 y el resultado se divide entre dos. Pero en este caso tenemos hasta la clase (3) 2+ 6+ 22 = 30, le sumamos otra frecuencia 30+ 24 = 54, lo que quiere decir la mediana que se encuentra entre la clase (3) y clase(4) con los valores de marca de clase 12.25 y 12.85, as calculamos la mediana como: 3. La moda Moda = 12.85, porque el 12.85 es la marca de clase ms frecuente (24 veces). 4. El centro de amplitud Paso1) Las marcas de clase estn ordenados de menor a mayor Paso2) Se localizan el extremo inferior (L) y un extremo superior (H):



L =11.05 H = 14.10 Paso3) Se calcula el centro de amplitud:

FORMACIN PSICOMOTORA: a) Encontrar la mediana de los siguientes datos: 6, 9, 10, 9, 8, 7, 6, 7, 8, 9, 9, 10 b) Encontrar la moda del conjunto de datos: 3, 3, 3, 4, 4, 6, 6, 6, 8, 8, 12 c) Encontrar la moda del conjunto de datos: 8, 40, 48, 62, 65, 65, 80, 83, 92 d) Encontrar el centro de amplitud de la siguiente muestra: 5, 9, 12, 9, 8, 7, 5, 7, 8, 9, 9, 12 e) Se pidi a los reclutas de va del cuerpo de polica, que se sometieran a una prueba de capacidad de resistencia (minutos), obteniendo la siguiente muestra: 2 3 2 3 3 3 2 3 2 3 3 3 3 3 2 3 3 2 3 31 7 0 5 4 0 2 6 1 9 0 2 0 3 2 5 3 4 7 0Calcular: 1. La media 2. La mediana 3. La moda 4. El centro de amplitud f) Se pidi a 15 estudiantes del Instenalco seleccionados aleatoriamente, que dijeran el tiempo (en horas) que haban dormido la noche anterior. Los datos de la muestra fueron:

6 8 7 4 9 7 6 5 Calcular: 1. La media 2. La mediana 3. La moda 4. El centro de amplitud

1 7 6 8 7 8 1

5



SOLUCIN A PROBLEMASSolucin Problema 6 (pgina 20): Probabilidad: Cuntos nmeros de, al menos 3 cifras diferentes, se pueden formar con los dgitos 2, 3, 7 y 8? a) (pgina 25) 1) Cul es la poblacin? Todas las personas que padecen hipertensin (presin arterial elevada), cuya presin pueda ser controlada por un nuevo producto desarrollado por la empresa. 2) Cul es la muestra? Un estudio de 5000 personas que padecen de hipertensin. 3) Identifique el parmetro de inters. La proporcin de la poblacin que padecen hipertensin y que puede ser controlada por un nuevo producto desarrollado por la empresa. Dicho de otra manera, es la proporcin de la poblacin para la que es eficaz el medicamento. 4) Identifique la estadstica y proporcione su valor. La proporcin de la poblacin para la que es eficaz el medicamento es del 80%. 5) Se conoce el valor del parmetro? No se conoce y difcilmente se puede encontrar. b) (pgina 25) 1) Cul es la poblacin? Todas las piezas ensambladas de una lnea de montaje. 2) La poblacin es finita o infinita?. Infinita. 3) Cul es la muestra?. Las piezas seleccionadas y ensambladas de una lnea de montaje. 4) Clasifique las respuestas para cada una de las tres variables como variables cualitativas o atributivas (VA), de variables cuantitativas continuas (VCC), y variables cuantitativas discretas (VCD): A: Defectuosa o no defectuosa. VA. Variable atributiva binomial. B: El nmero de identificacin del trabajador que ensambl la pieza. VA. Variable atributiva Multinomial. C: El peso de la pieza. VCC. c) (pgina 26) 1) Cul es la poblacin? Todos los estudiantes de Instenalco 2) Cul es la muestra? 500 Nmero de estudiantes de Instenalco. 3) Identifique el parmetro de inters. La proporcin de la poblacin que asiste a una discoteca. 4) Identifique la estadstica y proporcione su valor. La proporcin de la poblacin que asiste a una discoteca cuyo porcentaje es del 70%. 5) Clasifique las respuestas para cada una de las tres variables como de variables cualitativas o atributivas (VA), de variables cuantitativas continuas (VCC), y variables cuantitativas discretas (VCD). A: Nmero de identificacin (ID). VA. Variable atributiva Multinomial. B: Edad. VCC C: Estatura. VCC D: Asiste "Si" o "No" a discotecas los jueves en la noche. Variable atributiva Binomial.



Nmero de estudiantes del Instenalco que va a las discotecas los jueves en la noche. Al contabilizar las respuestas "Si" o "No" asiste a discotecas los jueves en la noche, se convierte en el nmero de estudiantes que va las discotecas. VCD d) (pgina 26) 1) Cul es la poblacin? Es posible obtener en este ejemplo varias poblaciones, dado que hay 6 variables (los encabezados de las columnas), esta tabla contiene 6 poblaciones. Las poblaciones son: Poblacin de empleados por Nmero de empleado , la poblacin de empleados por Color ojos, la poblacin de empleados por Sexo, la poblacin de empleados por Puesto, la poblacin de empleados por Aos de Servicio y la poblacin de empleados por Salario Anual. 2) La poblacin es finita o infinita? Todas las poblaciones constan de 8 empleados por lo que es finita. 3) Dar una muestra Los ltimos 3 salarios de la poblacin de empleados por Salario Anual. 4) Cul es la(s) variable(s)? Los encabezados de las columnas 1 y de la 2 a la 6 muestran algunas caractersticas de las unidades elementales (personas) que son precisamente las variables: nmero de empleado, color de ojos, sexo, puesto, Aos de Servicio y Salario Anual. 5) Que tipo de variable(s) es (son)? Variables Cualitativas: Nmero de empleado, color de ojos, sexo, puesto. Variables Cualitativas Binomial: sexo Variables

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