PROGRAMACIÓN DIDÁCTICA ‘ECUACIONES LINEALES Y …tauja.ujaen.es › bitstream › 10953.1 ›...

Ce

ntr

o d

e E

stu

dio

s d

e P

ostg

rado

UNIVERSIDAD DE JAÉN Centro de Estudios de Postgrado

Trabajo Fin de Máster

PROGRAMACIÓN DIDÁCTICA ‘ECUACIONES LINEALES Y

CUADRÁTICAS’

MATEMÁTICAS ORIENTADAS A LAS ENSEÑANZAS ACADÉMICAS

3º ESO

BLOQUE 2: NÚMEROS Y ÁLGEBRA

Alumno/a: Castro Rodríguez, Fernando

Tutor/a: Prof. D. Manuel García Armenteros

Dpto: Didáctica de las Matemáticas

Junio, 2019

TFM – ECUACIONES LINEALES Y CUADRÁTICAS. MATEMÁTICAS 3º ESO Alumno: Fernando Castro Rodríguez - Tutor: Manuel García Armenteros

Junio 2019

2

Índice de Contenido

1. Resumen y palabras clave ............................................................................................... 4

2. Introducción ....................................................................................................................... 5

3. Objetivos ............................................................................................................................. 6

4. Fundamentación didáctica .............................................................................................. 7

5. Fundamentación epistemológica: .................................................................................. 8

5.1. Introducción ............................................................................................................... 8

5.2. Antecedentes .............................................................................................................. 8

5.3. Planteamiento .......................................................................................................... 16

5.3.1. Definición ............................................................................................................ 16

5.3.2. Clasificación ........................................................................................................ 17

5.3.3. Equivalencia ........................................................................................................ 19

5.3.4. Resolución de ecuaciones .................................................................................. 20

5.3.4.1. Resolución de ecuaciones de 1er grado .......................................................... 20

5.3.4.2. Resolución de ecuaciones de 2º grado .......................................................... 21

5.3.4.3. Resolución de ecuaciones de 3er grado .......................................................... 22

5.4. Utilidades y aplicabilidad ...................................................................................... 23

5.5. Perspectivas de futuro y conclusiones ................................................................ 24

6. Fundamentación curricular. ......................................................................................... 25


Junio 2019

3

7. Proyección didáctica ....................................................................................................... 28

7.1. Título .......................................................................................................................... 28

7.2. Justificación .............................................................................................................. 28

7.3. Contextualización del centro y del aula. ............................................................. 30

7.4. Objetivos ................................................................................................................... 36

7.5. Competencias clave ................................................................................................. 41

7.6. Contenidos ................................................................................................................ 42

7.7. Metodología .............................................................................................................. 46

7.8. Actividades y recursos............................................................................................ 49

7.9. Atención a la diversidad ......................................................................................... 50

7.10. Temporalización .................................................................................................. 56

7.11. Evaluación ............................................................................................................. 58

8. Conclusiones ..................................................................................................................... 61

9. Referencias bibliográficas ............................................................................................. 62

*Índice de figuras .............................................................................................................. 64

10. ANEXOS .......................................................................................................................... 65

ANEXO I: TABLA RESUMEN – ELEMENTOS CURRICULARES UD DIDÁCTICA ............. 65

ANEXO II: ACTIVIDADES ..................................................................................................... 66

ANEXO III: PRUEBA DE EVALUACIÓN FINAL ................................................................... 76

ANEXO IV: RÚBRICAS .......................................................................................................... 77


Junio 2019

4

1. Resumen y palabras clave

El presente Trabajo Fin de Máster describirá la implantación de la unidad didáctica

‘Ecuaciones lineales y cuadráticas’ en la asignatura Matemáticas orientadas a las

enseñanzas académicas, de 3º de ESO. Se implantará en el centro I.E.S. Sierra Sur, de

Valdepeñas de Jaén, durante 3 semanas del curso académico.

En primer lugar, se recopilará y analizará bibliografía relativa al tema en cuestión,

escogiendo las publicaciones que resulten de mayor interés y mencionando los

aspectos básicos de cada una.

En segundo lugar, se determinarán los fundamentos teóricos y contenidos, principios y

métodos sobre los que se apoya el conocimiento relativo a las ecuaciones en general.

Posteriormente, se realizará un estudio de la normativa actual y del tratamiento que

realizan los diversos libros de texto sobre el tema, para seleccionar aquellos

contenidos que se tratarán en la unidad didáctica.

Finalmente, se realizará una programación didáctica, que pretende implantar una

metodología activa, para conseguir un aprendizaje significativo y mejorar el proceso

enseñanza-aprendizaje.

-PALABRAS CLAVE: Ecuación, lineal, cuadrática, matemáticas, secundaria, docencia.

ABSTRACT

The present Master’s Thesis will describe the implementation of the didactic unit ‘Linear

and quadratic equations’ in the subject Mathematics oriented to academic teachings, third

year of Compulsory Secondary Education. It will be implemented in Sierra Sur high school,

in Valdepeñas de Jaén, for 3 weeks.

Firstly, bibliography related to the subject in question will be compiled and analyzed,

choosing the publications that are of most interesting and mentioning the basic aspects of

each one.

Secondly, the theoretical foundations and contents, principles and methods on which the

knowledge related to the equations in general will be based will be determined.

Subsequently, a study of the current regulations and the treatment carried out by the

various textbooks on the subject will be carried out, in order to select those contents that

will be dealt with in the didactic unit.

Finally, didactic programming will be carried out, which aims to implement an active

methodology, to achieve meaningful learning and improve the teaching-learning process.

-KEY WORDS: Equation, linear, quadratic, mathematics, high school, teaching.


Junio 2019

5

2. Introducción

Este documento forma parte del Trabajo Fin de Máster correspondiente al “Máster

Universitario en Profesorado de Educación Secundaria Obligatoria y Bachillerato,

Formación Profesional y Enseñanza de Idiomas” realizado en la Universidad de Jaén

durante el curso 2018/2019, en la especialidad de Matemáticas.

La finalidad de este Trabajo Fin de Máster, es el diseño de una unidad didáctica con los

elementos curriculares necesarios para su desarrollo. La unidad didáctica que se ha

elegido es: ‘Ecuaciones lineales y cuadráticas’, dentro del bloque de contenidos 2:

Números y álgebra.

La normativa de referencia que se ha seguido durante la confección de esta unidad

didáctica es, principalmente: Ley Orgánica 2/2006 (LOE), Ley Orgánica 8/2013 (LOMCE)

y en particular, se han seguido las disposiciones de los decretos: R.D. 1105/2014 y

Decreto 111/2016.

A continuación, a lo largo del presente trabajo, se desarrollarán las siguientes partes:

-Fundamentación didáctica. La primera parte del trabajo consistirá en la recopilación y

análisis de bibliografía y publicaciones relacionadas con las ecuaciones, principalmente

con la enseñanza de ecuaciones lineales y cuadráticas en la educación secundaria

obligatoria. Se escogerán las dos publicaciones consideradas de mayor interés para

este trabajo.

-Fundamentación epistemológica. En ella, se desarrollará el estado de la cuestión en el

estudio de las ecuaciones, comenzando con los antecedentes. Se realizará una breve

evolución histórica, desde la aparición de los primeros problemas relacionados con las

ecuaciones hasta la actualidad. Se presentarán los distintos tipos de ecuaciones y el

método de resolución de algunas de ellas, y finalmente se concluirá con la aplicabilidad

de las ecuaciones y perspectivas de futuro.

-Fundamentación curricular. En esta parte se definirá la normativa vigente tanto a nivel

nacional como autonómico, así como los libros de texto que han servido de referencia

para la concreción de los elementos curriculares de la unidad didáctica.

-Proyección didáctica. A esta parte corresponde el desarrollo de la unidad didáctica

‘Ecuaciones lineales y cuadráticas’, que es el principal objetivo del trabajo. Es la parte

más importante de este trabajo.

Tras ello, para finalizar este trabajo, se recogerán las principales conclusiones y la

bibliografía consultada.


Junio 2019

6

3. Objetivos

El principal objetivo del presente trabajo es el diseño de una unidad didáctica

completa, particularizando cada uno de sus elementos a la normativa vigente, al tema

escogido y tanto al centro como al aula elegidos para su implantación. Por tanto, el

hecho de trabajar con la normativa vigente, los elementos curriculares y todos los

elementos de centro y aula servirán como preparación para una futura actividad

docente.

Con este trabajo, también se pretende poner de manifiesto los conocimientos

adquiridos durante la realización del máster, y demostrar la adquisición de las

competencias necesarias recogidas en la guía docente.

Además de los objetivos principales mencionados, el presente trabajo también

persigue conseguir los siguientes objetivos:

-Conocer las características de los alumnos que se tendrán en un futuro, sus contextos

sociales, problemas y motivaciones, para poder orientarles y dirigir la enseñanza a su

desarrollo.

-Relacionar la teoría educativa con situaciones prácticas que se puedan encontrar en

un futuro dentro de los distintos contextos: sociales, familiares, culturales, económicos

y normativos.

-Conocer la evolución histórica del sistema educativo, tanto a nivel nacional como

autonómico.

-Diseñar y realizar actividades que contribuyan a la consecución de las competencias

necesarias, así como los métodos de resolución de dichas actividades que resulten más

adecuados para alcanzar dichas competencias.

-Adquirir estrategias para estimular el esfuerzo del alumnado y promover su capacidad

para aprender por sí mismo. Estas estrategias serán de aplicación en un futuro en el

aula.

-Identificar los problemas relativos a la enseñanza y aprendizaje de las materias del

área y plantear alternativas y soluciones.

-Analizar críticamente el desempeño de la docencia, de las buenas prácticas y de la

orientación utilizando indicadores de calidad.

-Conocer y aplicar metodologías y técnicas básicas de investigación y evaluación

educativas y ser capaz de diseñar y desarrollar proyectos de investigación.

-Planificar, desarrollar y evaluar el proceso de enseñanza y aprendizaje durante el

diseño de la unidad didáctica.


Junio 2019

7

4. Fundamentación didáctica

De todas las publicaciones consultadas como trabajo previo a la realización de este

Trabajo Fin de Máster, se destacarán dos a continuación, mencionando aquellos

contenidos que han servido como referencia para desarrollar los siguientes apartados.

En primer lugar, a lo largo del presente trabajo se resalta la importancia de la

motivación en el alumnado a la hora de afrontar problemas matemáticos. Por ello,

cabe destacar el artículo: “La motivación en la resolución de problemas aritmético-

algebraicos. Un estudio con alumnado de educación secundaria”, de (Villamor, 2014).

Este artículo, pone de manifiesto la importancia de la motivación en el aprendizaje de

matemáticas, analizando la motivación que se genera en el alumnado en función de la

estrategia de resolución de problemas empleada. Para ello se ha analizado la

resolución de 3 problemas aritmético-algebraicos por parte de 598 estudiantes de

educación secundaria en el País Vasco. Con este estudio se han obtenido los siguientes

resultados: “El grupo de alumnos con perfil de resolución algebraico obtiene

puntuaciones superiores tanto en valor de la tarea como en la autoeficacia percibida.

Además, el grupo de resolución sin perfil definido declara que el estudio de las

matemáticas supone una mayor pérdida de oportunidades para realizar otras

actividades”.

Por tanto, este estudio es revelador de la necesidad de conducir al alumnado a un

método de resolución algebraico, que les lleve a una interpretación rigurosa de los

problemas y obtengan resultados positivos. En cambio, si no se les facilita las

herramientas de resolución, perderán la motivación no sólo para la resolución del

problema, sino para la materia en general.

En segundo lugar, por su aplicación directa en la enseñanza de ecuaciones lineales y

cuadráticas en las aulas, se destaca el artículo: “Dificultades de los alumnos para

articular representaciones gráficas y algebraicas defunciones lineales y cuadráticas”,

de (Lozano, Haye, Montenegro, & Córdoba, 2013). En este artículo se realiza un

estudio en 109 estudiantes de reciente ingreso a carreras de ingeniería, sobre las

dificultades en la realización de gráficos a partir de ecuaciones lineales o cuadráticas y

viceversa. Los resultados de este estudio revelan que: “en lo que se refiere a las

funciones lineales y cuadráticas, una considerable proporción de los estudiantes

encuestados no logró establecer una articulación espontánea y exenta de errores de

sus representaciones, lo cual proporciona indicadores de la ausencia de una

aprehensión conceptual de los objetos en estudio considerados” (Lozano, Haye,

Montenegro, & Córdoba, 2013).

Es decir, en la educación secundaria, generalmente, se enseña a identificar los distintos

tipos de funciones, hallar sus raíces, o incluso representar gráficamente algunas de


Junio 2019

8

ellas, pero el alumnado no suele identificar claramente a qué corresponde cada

término de la ecuación. Por ejemplo, que el primer término de la ecuación lineal

corresponde a la inclinación de la recta.

5. Fundamentación epistemológica: 5.1. Introducción

Este apartado tiene como finalidad examinar los fundamentos, principios y métodos

sobre los que se apoya el conocimiento en relación al tema de estudio sobre el que se

centra el presente trabajo: “Ecuaciones lineales y cuadráticas”.

Para ello, se realizará una introducción al tema partiendo de los antecedentes sobre

los que se basa el conocimiento actual, desde la aparición de los primeros conceptos

relacionados con las ecuaciones hasta la actualidad. Tras este breve repaso histórico,

se plantearán los conceptos de ecuación, su clasificación, equivalencia y resolución de

ecuaciones de primer y segundo grado. Finalmente, se expondrán algunas

conclusiones y perspectivas de futuro en el estudio de ecuaciones.

5.2. Antecedentes

A continuación, se realizará un repaso de la evolución histórica del concepto de

ecuación, desde los babilonios hasta la actualidad, haciendo hincapié en aquellas

épocas más representativas y los principales descubrimientos y avances. Se tratará de

mencionar de manera somera los problemas matemáticos a los que se tenía que hacer

frente en cada periodo y el método de resolución empleado en ese momento.

Se trata de un repaso muy interesante y totalmente necesario, ya que servirá de

precedente al estado del conocimiento actual, y sentará las bases de todos los

teoremas que conocemos en la actualidad.

Además, analizar esta evolución histórica nos proporciona una visión humana,

tomando conciencia de que se trata de un concepto que ha ido evolucionando,

corrigiéndose, mejorando y que, por supuesto, ha tenido errores que se han debido ir

corrigiendo. Como indica(Guzmán, 1992): “La perspectiva histórica nos acerca a la

matemática como ciencia humana, no endiosada, a veces penosamente reptante y en

ocasiones falible, pero capaz también de corregir sus propios errores”.


Junio 2019

9

Sin duda, repasar la historia evitará que cometamos los mismos errores que

cometieron nuestros antepasados. (Guzmán, 1992) destaca:

“Los diferentes métodos del pensamiento matemático (…) han surgido en

circunstancias históricas muy interesantes y muy peculiares, frecuentemente en la

mente de pensadores muy singulares, cuyos méritos (…) es muy útil resaltar”.

-BABILONIA - SIGLO XVII a. C

De esta época la información que se ha podido recopilar es muy escasa, a través de las

escasas tablillas de arcilla que se han conservado. En ellas aparece información muy

diversa sobre los problemas cotidianos a los que se enfrentaban, como el reparto de

tierras o el comercio.

Los babilónicos tenían un sistema de numeración hexagesimal, en el que empleaban

dos símbolos con los que representaban todos los números. El tipo de problemas que

se resuelven en estas tablillas son del tipo como el que se expone a continuación,

extraído de la tabla YBC 4652, que recoge(Caratini, 2004): “Tengo una piedra, de la que

no sé su peso. Le añado 1/7 de su peso, y después 1/11 del resultado. Este peso final es

una mina. ¿Cuál es el peso de la piedra?”. Si planteamos este problema con las

herramientas matemáticas de las que disponemos en la actualidad, resultaría la

ecuación de primer grado: x +x

7+

1

11 x +

x

7 = 1 mina

Figura 1: Tabla de arcilla YBC 4652. Fuente: Yale Babylonian Collection


Junio 2019

10

Del análisis de la información recopilada, podemos concluir que eran capaces de

resolver ecuaciones de primer y segundo grado, e incluso llegaban a resolver ciertos

sistemas de ecuaciones (2 ecuaciones con 2 incógnitas).

-EGIPTO – SIGLO XVI a. C

En este caso, la información de los problemas matemáticos a los que tuvieron que

hacer frente los egipcios se ha recogido en los antiguos papiros que se conservan de

ese periodo, como el Papiro de Rhind o el Papiro de Ahmes. En ellos encontramos

problemas aritméticos y algebraicos, como los que se muestran en la siguiente figura

extraída del ‘Papiro de Rhind’, recogida por (Pickover, 2011).

Figura 2: Paprio de Rhind. Fuente “El libro de las matemáticas” (Pickover, 2011).

En esta época, a parte de los problemas matemáticos clásicos de repartos de trigo y

tierras, aparecen problemas equivalentes a lo que hoy día sería resolver una ecuación

lineal, del tipo: ‘’ o ‘x + ax + bx = c’. “A la incógnita se le llamaba ‘aha’ o montón,

(Boyer, 1986): “Un montón, sus dos tercios, su mitad, todo junto es trece. ¿Cuál es la

cantidad?”

Si transcribimos el problema anterior al lenguaje matemático actual, bastaría con

resolver la siguiente ecuación de primer grado:

𝑥 +2𝑥

3+𝑥

2= 13 →

13𝑥

6= 13 → 𝑥 = 6


Junio 2019

11

Uno de los métodos utilizados por los egipcios fue el llamado método de la falsa

posición. Es decir, ante un problema matemático, los egipcios atribuían un valor falso

(estimado) a la solución. De este modo, se obtendrá un valor erróneo que, puesto que

trabajaban con ecuaciones lineales, servía para hallar la solución real por regla de tres.

Se trata de la antesala de los métodos iterativos tal y como los conocemos en la

actualidad (bisección, regula-falsi, Newton-Raphson…).

En el ejemplo anterior, puesto que los egipcios aún no dominaban el lenguaje del

álgebra, resolvían este problema atribuyendo un valor estimado (falso) a la incógnita

(o montón). Por ejemplo 12:

12 +2 ∙ 12

3+

12

2= 26

Por tratarse de ecuaciones lineales, una vez obtenido el resultado con el valor falso,

podían calcular el valor real por medio de una regla de 3: “12 es a 26 lo que el valor

real (x) es a 13”.

-GRECIA – 300 a. C. – 300 d. C

Euclídes:

De esta época, destacan los trabajos desarrollados por el matemático Euclídes (325 a.

C – 265 a. C.), conocido como el padre de la geometría. Planteaba problemas

geométricos, con un trasfondo algebraico (se reducían a resolver una ecuación de

primer grado, o segundo en algunos casos). Cada magnitud era representada por un

segmento de longitud igual a dicha magnitud, y el producto entre dos magnitudes se

representaba mediante el rectángulo formado por esas dos magnitudes. Por ejemplo:

“Dados dos segmentos, construir sobre un tercer segmento dado un rectángulo con

área igual al rectángulo formado por los dos primeros” (Dalcín & Olave, 2007).

Para su resolución geométrica, se construye el rectángulo ‘ABDC’, de lados ‘a’ y ‘b’. A

partir del segmento ‘a’, se traza el segmento ‘c’ con la misma dirección. Se une el

extremo del segmento ‘c’ con el vértice del rectángulo ‘ABDC’, prolongando hasta

cortar con la prolongación del segmento ‘b’.La longitud de esta prolongación, será el

segmento ‘x’.


Junio 2019

12

Figura 3: Resolución geométrica problema de Euclides. Fuente: Elaboración propia a partir de ‘Geogebra’

Este problema geométrico, se puede llevar al lenguaje algebraico, mediante la

resolución de esta sencilla ecuación:

𝐴𝑎𝑏 = 𝑎 ∙ 𝑏; 𝐴𝑐𝑥 = 𝑐 ∙ 𝑥

𝐴𝑎𝑏 = 𝐴𝑐𝑥 → 𝑎 ∙ 𝑏 = 𝑐 ∙ 𝑥 → 𝑥 =𝑎 ∙ 𝑏

𝑐

Diofanto:

En contraposición a la resolución geométrica tan extendida y utilizada durante la época

helenística, Diofanto de Alejandría (200-214 d.C – 284-298 d.C) fue el único que utilizó

números para la resolución de problemas. Para ello introdujo algunas notaciones

matemáticas que suponen el inicio de la escritura simbólica actual, por lo que es

considerado el padre del ‘álgebra maestral’.

El problema más conocido planteado por este matemático, es aquel en el que expresa

en forma de fracciones episodios de su vida. El problema se enuncia del siguiente

modo:


Junio 2019

13

“En esta tumba reposa Diofanto. La maravilla es que la tumba cuenta ingeniosamente la duración de su vida. Dios le concedió ser un niño durante una sexta parte de su vida. Añadió una doceava parte antes de vestir sus mejillas con vello. Le encendió la llama del matrimonio después de una séptima parte, y cinco años después de su matrimonio le concedió un hijo. ¡Ay desdichado niño tardío!, tras alcanzar la medida de la mitad de la vida de su padre, la Parca helada se lo

llevó. Y, tras consolar su herida con la ciencia de los números durante cuatro años, acabó su vida”.(Paton, 1919)

Figura 4: Epitafio de Diofanto. Fuente: Paton, 1919.

Gracias a las herramientas de las que disponemos en la actualidad, podemos plantear

este problema como una ecuación algebraica de primer grado, de fácil resolución:

𝑥

6+

𝑥

12+𝑥

7+𝑥

2+ 5 + 4 = 𝑥

Siendo ‘x’ la edad con la que murió Diofanto que, efectivamente, si resolvemos la

ecuación resultan 84 años.

-INDIA – 500 d.C. – 1200 d.C

La matemática india destaca por el empleo del concepto de ‘cero’. Así, Brahamagupta

(598 d.C – 670 d. C) realiza esta interesante definición de cero:

“Una deuda menos cero es una deuda.

Una fortuna menos cero es una fortuna.

Cero menos cero es cero.

Una deuda que se sustrae a cero es una fortuna.

Una fortuna que se sustrae a cero es una deuda.

El producto de cero multiplicado por una deuda o fortuna es cero

El producto de cero multiplicado por cero es cero”. (Ochoviet, 2007)

Figura 5: Definición de cero según Brahamagupta. Fuente: Ochoviet, 2007.

Además del empleo del concepto ‘cero’, la matemática hindú destacó por el empleo de

números negativos, métodos de resolución de regla de tres y método de inversión.

Por todo ello, la matemática hindú supuso un gran avance en el conocimiento

matemático de la época, ya que tenían un concepto más abstracto de los números y

cantidades, lo que les permitió definir conceptos desconocidos hasta la época, que les

sirvieron como base para desarrollar nuevas teorías.


Junio 2019

14

-MATEMÁTICA ÁRABE (SIGLO IX)

Al-Khwarizmi (780 – 850) fue un matemático musulmán considerado por muchos el

padre del álgebra, gracias a su obra ‘Al-jabr wa’l Muqabala’. En ella, este matemático

fue el primero en definir reglas para diferentes resolver diferentes tipos de ecuaciones.

Básicamente, emplea la fórmula de resolución de ecuaciones de segundo grado, pero

aplicada para caso particular. Además, realiza una interesante demostración

geométrica de este resultado.

(Ochoviet, 2007): “Resolver la ecuación, que usando simbología actual es:

𝑥2 + 10𝑥 = 39”

Figura 6: Resolución geométrica ecuación de 2º grado por Al-Khwarizmi. Fuente: De la Resolución de Ecuaciones Polinómicas al Álgebra Abstracta: un paseo a través de la historia.

Cristina Ochoviet (2007).

En la figura, el área del rectángulo ‘AEKF’ es:𝑥2 + 10𝑥 + 25

Para resolver la ecuación anterior, sumamos 25 a cada lado del igual:

𝑥2 + 10𝑥 + 25 = 64

Quedando el área del rectángulo: (𝑥 + 5)2 = 82

Por tanto: 𝑥 + 5 = 8 → 𝑥 = 3


Junio 2019

15

-ECUACIONES CÚBICAS (SIGLO XVI)

Los avances en resolución exacta de ecuaciones polinómicas a partir de una fórmula

general llevaban siglos estancados, desde que se halló la fórmula de resolución de

ecuaciones de segundo grado. Se llegó a pensar que resultaba imposible obtener una

fórmula general para resolver ecuaciones de grado mayor que dos.

Niccolò Fontana Tartaglia (1501 – 1557) fue el primer matemático capaz de encontrar

solución de ecuaciones de tercer grado mediante la utilización de una fórmula general.

Esta fórmula es conocida como la fórmula de Cardano-Tartaglia, ya que aunque se dice

que fue descubierta en primer lugar por Tartaglia, el primero en publicarla fue

Gerolamo Cardano (1501 – 1576), en su obra ‘Ars Magna’ en 1545.

Esta ecuación se describirá con más detalle en el punto ‘5.3.4.3. Resolución de

ecuaciones de 3er grado’.

-MÉTODO CARTESIANO (SIGLO XVII)

René Descartes (1596 – 1650) realizó importantes avances a la hora de afrontar

problemas de la vida cotidiana, estableciendo un método analítico de resolución.

Descartes es considerado el ‘padre de la geometría analítica’, y define en su obra

‘Reglas para la dirección del espíritu (1701)’, las directrices necesarias para transformar

los problemas de la vida real en una ecuación. Se pueden extraer las siguientes reglas

para el método cartesiano (Puig, 2003):

“1) Una lectura analítica del enunciado del problema que lo reduce a una lista de

cantidades y de relaciones entre cantidades.

2) Elección de una cantidad (o varias) que se va a representar con una letra (…).

3) Representación de otras cantidades mediante expresiones algebraicas que

describen la relación que esas cantidades tienen con otras (…).

4) Establecimiento de una ecuación (o tantas como letras distintas se haya

decidido introducir)”.

Figura 7: Método cartesiano. Fuente: Puig, 2003.


Junio 2019

16

5.3. Planteamiento

5.3.1. Definición

A continuación se van a definir una serie de conceptos que serán de utilidad a para el

estudio de ecuaciones en matemáticas:

Ecuación: Se trata de una igualdad matemática entre dos expresiones

algebraicas, que contenga, al menos, una variable (o incógnita). Cada una de las

partes de la igualdad se denomina ‘miembro’. Por ejemplo:

5𝑥 − 3 = 𝑥 + 5

Incógnita: Cada una de las variables que aparecen en una ecuación, de valor

desconocido. Generalmente, cuando tenemos hasta tres incógnitas, se suelen

representar con las letras ‘x, y, z’, y cuando hay un número mayor de incógnitas

se suelen utilizar subíndices, por ejemplo: (x1, x2, x3, x4…).

Miembro: En una ecuación, cada parte de una igualdad, de modo que en una

ecuación habrá dos miembros. De este modo, a la expresión que está en la

parte izquierda del igual se le conoce como ‘primer miembro’, mientras que la

que está a la derecha se la conoce como ‘segundo miembro’.

Identidad: Igualdad entre dos expresiones que es cierta para cualquier valor de

las variables que aparecen.

Solución: Resultado, o valor numérico que, asignado a la variable, verifica una

ecuación. En el ejemplo anterior, el resultado x = 2 es la solución, ya que hace

que cumpla:

5 ∙ 2 − 3 = 2 + 5

7 = 7

Función proposicional: Si partimos de dos conjuntos de valores relacionados

entre sí, una función proposicional es la expresión que relaciona ambos

conjuntos. De modo que una función proposicional deberá contener, al menos,

una variable. Esta variable debe cumplir que, al sustituirla por un elemento del

conjunto, la proposición se cumpla.


Junio 2019

17

5.3.2. Clasificación

Podemos clasificar las ecuaciones según el número de incógnitas, su grado o su

naturaleza. En función de su naturaleza, podemos clasificar las ecuaciones en:

ECUACIONES ALGEBRAICAS: También llamadas ecuaciones polinómicas, son

aquellas ecuaciones en las que en la incógnita aparece sólo en expresiones

polinómicas. Se podrían definir como aquellas ecuaciones formadas por un

número finito de operaciones de suma/resta, multiplicación/división,

potencia/raíz.

Estas ecuaciones se podrán clasificar en función de su grado, es decir, del

mayor exponente al que se encuentre la incógnita.

-Ecuaciones de primer grado (lineales).

-Ecuaciones de segundo grado (cuadráticas).

Dentro de este tipo de ecuaciones, debemos distinguir en caso de existir raíces

si la incógnita se encuentra o no dentro de una raíz, de modo que también

podemos diferenciar:

o Ecuaciones racionales: Aquellas ecuaciones algebraicas que no tienen

ninguna incógnita en el radical.

Enteras: No hay ninguna incógnita operando como divisor. Por

ejemplo: −5𝑥 +6𝑥

4= 12𝑥 + 3

Fraccionarias: Alguna de las incógnitas actúa aparece en el

denominador. Por ejemplo: 3𝑥+2

𝑥+ 6𝑥 = 0

o Ecuaciones irracionales: Ecuaciones algebraicas que tienen alguna

incógnita en un radical. Por ejemplo: 𝑥 + 3𝑥 − 5 = 27

ECUACIONES TRASCENDENTES: O ecuaciones no algebraicas. Todas aquellas

ecuaciones que no se corresponden con la definición anterior. Es decir,

aparece alguna incógnita en alguna operación matemática que no se

corresponda con las algebraicas. Por ejemplo: 𝑥𝑥 + 2 sin 𝑥 = 0

Para la resolución de este tipo de ecuaciones habrá que emplear otras

herramientas distintas a las propias del álgebra.

Dentro de esta tipología, podremos encontrar:

o Ecuaciones exponenciales: La incógnita aparecerá en el exponente en

forma de potencia. Por ejemplo: 26𝑥−3 = 5

o Ecuaciones logarítmicas: Aquellas ecuaciones en las que una o más

variables aparecen dentro de la función logaritmo. Para la resolución de

este tipo de ecuaciones, será necesario utilizar las diferentes

propiedades de los logaritmos. Un ejemplo de este tipo de función es:

ln(𝑥2 + 5𝑥) = 0


Junio 2019

18

o Ecuaciones trigonométricas: En las ecuaciones trigonométricas, las

variables aparecen dentro de alguna función trigonométrica. Puesto que

este tipo de funciones son periódicas, es frecuente encontrar soluciones

infinitas para este tipo de funciones. Un ejemplo puede ser: cos 𝑥 +

sin 𝑥2 = 0

o Ecuaciones diferenciales: En este tipo de ecuaciones aparecen

derivadas de una o varias funciones. Este tipo de ecuaciones, junto con

las integrales, son ampliamente utilizadas en el campo de la ingeniería.

Por ejemplo, una de las más conocidas es la ecuación de onda, que

describe cómo se propagan las ondas : 𝜕2𝑦

𝜕𝑥2=

1

𝑣2𝜕2𝑦

𝜕𝑡2

o Ecuaciones integrales: La incógnita aparece dentro de una integral.

Están relacionadas con las ecuaciones diferenciales. Un ejemplo de

ecuación integral puede ser: 𝑥 ∙ sin 𝑥 𝑑𝑥 = 0

A continuación se incluye un gráfico resumen con esta clasificación de ecuaciones:

Figura 8: Clasificación de ecuaciones. Fuente: Elaboración propia.


Junio 2019

19

5.3.3. Equivalencia

La condición general que deben cumplir dos o más ecuaciones para que se puedan

considerar equivalentes, es que las soluciones de una de estas ecuaciones también

deberán ser válidas para el resto.

En el caso particular de las ecuaciones algebraicas, serán ecuaciones equivalentes

todas aquellas ecuaciones que sean una combinación lineal de otra. Por lo que, por

ejemplo, si multiplicamos una ecuación por una constante, la ecuación resultante será

equivalente a la primera (tendrá las mismas soluciones).

De este modo, se podrán crear ecuaciones equivalentes partiendo de una ecuación,

realizando las transformaciones que se consideren oportunas siempre que se realicen

las mismas operaciones en los dos miembros de la ecuación. Por ejemplo, se podrán

realizar las transformaciones que se indican a continuación:

1. Al sumar un mismo número en ambos lados de la ecuación (en los dos

miembros), la ecuación resultante es equivalente. Esta propiedad tiene una

interesante aplicación, ya que derivada de esta transformación podemos

realizar el conocido paso: “un término sumando en un miembro puede pasar

al otro restando”, muy utilizado para simplificación de ecuaciones.

Por ejemplo:

2𝑥 + 5 = 3 → 2𝑥 + 5 − 5 = 3 − 5

2𝑥 = 3 − 5

2. Al multiplicar (o dividir) por un número distinto de cero los dos miembros de la

ecuación, la ecuación resultante es equivalente. Al igual que en el caso anterior,

gracias a esta propiedad se puede realizar el siguiente paso para simplificar

ecuaciones: “un término multiplicando en un miembro, pasa al otro miembro

dividiendo”.

Por ejemplo:

5(𝑥 − 3) = 1 →5

5(𝑥 − 3) =

1

5

𝑥 − 3 =1

5

3. Elevar a la misma potencia los dos miembros de la ecuación. En este caso,

resultará otra ecuación con las mismas raíces que la anterior, y posiblemente

aparezcan nuevas raíces fruto de esta transformación, como se ve en el

siguiente ejemplo:


Junio 2019

20

𝑥 − 4 = 1 → 𝑆𝑜𝑙: 𝑥 = 5

En la ecuación anterior, si elevamos los dos miembros al cuadrado, tenemos:

𝑥 − 4 2 = 12

𝑥2 − 8𝑥 + 15 = 0 → 𝑆𝑜𝑙: 𝑥 = 5; 𝑥 = 3

Como vemos en el ejemplo anterior, con esta transformación ha surgido una

nueva raíz.

Este paso puede resultar muy útil en la resolución de ecuaciones bicuadradas,

reduciendo el grado de la ecuación gracias a esta propiedad.

5.3.4. Resolución de ecuaciones

A continuación, se pasarán a describir distintos métodos de resolución para hallar las

raíces exactas de las ecuaciones polinómicas de primer, segundo y tercer grado, con la

utilización de una fórmula general.

5.3.4.1. Resolución de ecuaciones de 1er grado

Toda ecuación polinómica de primer grado, sometida a las transformaciones y

simplificaciones indicadas en el apartado anterior, podrá expresarse de la forma

genérica:

𝑎𝑥 + 𝑏 = 0 𝑐𝑜𝑛 𝑎 ≠ 0

Por tanto, a partir de esta expresión general de la ecuación polinómica de primer

grado, se podrá despejar la incógnita, obteniendo de este modo su fórmula general de

resolución:

𝑥 =−𝑏

𝑎

Si se analiza este resultado, se puede concluir que para, este tipo de ecuaciones, la

solución general será solución única.


Junio 2019

21

5.3.4.2. Resolución de ecuaciones de 2º grado

Del mismo modo que en el caso anterior, siempre que se tenga una ecuación

polinómica de segundo grado, se podrán realizar las transformaciones descritas en el

punto anterior para expresarla de la forma:

𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 = 0 𝑐𝑜𝑛 𝑎 ≠ 0

En este caso, la técnica de resolución consistirá en realizar las transformaciones

necesarias para que todos los términos que contengan la incógnita se puedan agrupar

como una suma de cuadrados, de modo que se nos simplifique. Las transformaciones

son las siguientes:

-Multiplicamos los dos miembros por ‘4a’:

4𝑎2𝑥2 + 4𝑎𝑏𝑥 + 4𝑎𝑐 = 0

-Para que el término ‘4𝑎2𝑥2 + 4𝑎𝑏𝑥’ sea el desarrollo de una suma de cuadrados, sólo

le falta sumarle ‘b2’, por lo que sumamos (y por consiguiente, para mantener la misma

ecuación, restamos a continuación) este término:

4𝑎2𝑥2 + 4𝑎𝑏𝑥 + 𝑏2 − 𝑏2 + 4𝑎𝑐 = 0

Ahora sí tenemos el desarrollo de una suma de cuadrados, por lo que podemos

agrupar y la expresión anterior queda como:

(2𝑎𝑥 + 𝑏)2 − 𝑏2 + 4𝑎𝑐 = 0

(2𝑎𝑥 + 𝑏)2 = 𝑏2 − 4𝑎𝑐

2𝑎𝑥 + 𝑏 = ± 𝑏2 − 4𝑎𝑐

𝑥 =−𝑏 ± 𝑏2 − 4𝑎𝑐

2𝑎

Como las soluciones dependen del término “𝑏2 − 4𝑎”, a este término se le denomina

el discriminante de la ecuación, y se le denota con el símbolo: ‘Δ’

Se podrán encontrar tres tipos de soluciones distintas, en función del valor del

discriminante:

1. ∆= 𝑏2 − 4𝑎𝑐 = 0 → Soluciones: Una raíz real doble, que será: 𝑥 =−𝑏

2𝑎

2. ∆= 𝑏2 − 4𝑎𝑐 > 0 → Soluciones: Dos raíces reales distintas. 3. ∆= 𝑏2 − 4𝑎𝑐 < 0 → Soluciones: Dos raíces complejas distintas y conjugadas.


Junio 2019

22

5.3.4.3. Resolución de ecuaciones de 3er grado

Para las ecuaciones de tercer grado, al igual que en apartados anteriores, en primer

lugar, habrá que realizar las transformaciones necesarias para que la ecuación quede

en su forma genérica:

𝑎𝑥3 + 𝑏𝑥2 + 𝑐𝑥 + 𝑑 = 0 𝑐𝑜𝑛 𝑎 ≠ 0

Para la resolución de esta ecuación, el primer paso será realizar el cambio de variable:

𝑥 = 𝑥′ −𝑎

3

No se desarrollarán los cálculos intermedios por simplicidad y no resultar de interés

para esta etapa. El objetivo de este cambio de variable es simplificar la ecuación, de

modo que se pueda expresar de la siguiente forma:

𝑥3 + 𝑝𝑥 = 𝑞

La fórmula general de resolución para esta ecuación, encontrada por Tartaglia y

publicada por primera vez por Cardano, es:

𝑥 = 𝑞

2±

𝑞

2

2

+ 𝑝

3

33

− −𝑞

2±

𝑞

2

2

+ 𝑝

3

33

Para este tipo de ecuaciones, el discriminante es:

∆= 𝑏2𝑐2 − 4𝑎𝑐3 − 4𝑏3𝑑 − 27𝑎2𝑑2 + 18𝑎𝑏𝑐𝑑

En función del signo del discriminante, las soluciones serán:

1. ∆ = 0 → Soluciones: Dos soluciones reales (una simple y una doble) 2. ∆ > 0 → Soluciones: Una solución real y dos complejas. 3. ∆ < 0 → Solución: Tres soluciones reales (aunque para hallarlas habrá que

utilizar números complejos.

-Ecuaciones de grado superior a tres:

Aunque no serán objeto del presente trabajo, se pueden encontrar fórmulas generales

de resolución de ecuaciones de 4º grado, propuestas en los trabajos de Tartaglia,

Ferrari, Cardano y Ferro en el siglo XVI. Sin embargo, pese a los numerosos intentos de

los matemáticos, resultó imposible encontrar soluciones de ecuaciones de grado

mayor que 4 mediante una fórmula. Para este tipo de ecuaciones será necesario

emplear métodos de ‘aproximación numérica de raíces’.


Junio 2019

23

5.4. Utilidades y aplicabilidad

En función del tipo de ecuación que se esté resolviendo, se podrá aplicar a distintos

ámbitos. Como recogía Descartes en su obra, prácticamente todos los fenómenos y

problemas de la vida cotidiana pueden plantearse como ecuaciones(Puig, 2003),

aunque en ocasiones puede resultar complicado o poco acertado transcribir ciertos

sucesos de la vida cotidiana en forma de ecuación. Así, se podrán destacar para los

siguientes tipos de ecuaciones estas aplicaciones:

Ecuaciones lineales: Por su simplicidad, este tipo de ecuaciones son las que más

nos encontramos en nuestra vida cotidiana. Están presentes, en problemas

básicos, como problemas de edades, crecimiento lineal demográfico o

movimientos uniformes.

Ecuaciones cuadráticas. Son de utilidad para resolver problemas de

crecimientos poblacionales (no lineales), movimientos uniformemente variados

(lanzamiento oblicuo, caída libre, tiro vertical y horizontal…) o cálculo de áreas

de polígonos.

Ecuaciones exponenciales y logarítmicas. Este tipo de ecuaciones son muy

utilizadas en medicina (para cálculo de dosis de medicamentos), en demografía

y problemas de difusión.

Ecuaciones trigonométricas. No solo se utilizan en problemas en los que

aparezcan movimientos circulares, también son ampliamente utilizados para

describir problemas de movimientos cíclicos.

Ecuaciones integrales. Fundamentales para el cálculo de áreas y volúmenes de

figuras complejas.

Ecuaciones diferenciales. Son las más utilizadas en campos como la ingeniería.

Se podrían describir ecuaciones fundamentales, como la Ecuación de Navier-

Stokes que describe el movimiento de los fluidos, o la Ecuación de Onda, que

describe la propagación de cualquier tipo de onda.

Si nos centramos en el aspecto didáctico de las ecuaciones, podemos remarcar que

están estrechamente relacionadas con la heurística. Es decir, por tratarse de

herramientas matemáticas que modelan comportamientos de la realidad, pueden ser

de gran utilidad para que el alumnado relacione los conceptos matemáticos con

elementos de su vida cotidiana, lo que ayudará a fijar mejor los conocimientos. Así,

define (Guzmán, 1992): “La enseñanza por resolución de problemas pone el énfasis en

los procesos de pensamiento, en los procesos de aprendizaje y toma los contenidos

matemáticos cuyo valor no se debe en absoluto dejar a un lado, como campo de

operaciones privilegiado para la tarea de hacerse con formas de pensamiento

eficaces”.


Junio 2019

24

5.5. Perspectivas de futuro y conclusiones

El presente y futuro de las investigaciones relativas a las ecuaciones, no reside en tanta

media en la resolución exacta de las mismas, sino en los métodos de aproximación

numérica de raíces. Los avances en ciencia computacional y programación permiten

aproximar por métodos numéricos las soluciones de un gran número de ecuaciones

que no se pueden resolver mediante la aplicación de alguna fórmula directa.

Aunque hay que tener en cuenta, tal y como recoge (Moreno, 2011): “Un computador

produce resultados de respuesta a cálculos programados que posiblemente difieren

ligeramente de los valores exactos esperados. Ello es consecuencia de que trabajan con

una aritmética discreta que no coincide plenamente con la aritmética exacta de los

números enteros”.

En relación a la didáctica de las matemáticas, hay numerosas investigaciones que

resaltan la importancia de la motivación en el alumnado. Por tanto, sería muy

interesante hacer uso de las ecuaciones de primer y segundo grado, que están tan

presentes en la vida cotidiana, para crear vínculos cognitivos entre las ecuaciones y la

vida real, ya que esto promoverá la motivación y se producirá un aprendizaje

significativo. (Villamor, 2014): “El alumnado que emplea el método algebraico de

resolución está más motivado por el aprendizaje de las matemáticas (…). Por

consiguiente, ejercitar y dominar el álgebra en Educación Secundaria puede acarrear

implicaciones educativas de gran relevancia”.

Se concluirá este apartado con una cita que da claro ejemplo de la importancia de las

investigaciones y avances en el campo de las matemáticas. (Dalcín & Olave, 2007): “Los

que hoy consideramos grandes matemáticos también tuvieron sus dudas y errores,

incertidumbres y aciertos. (…). La matemática como producto final –como aparece en

general en los libros- puede ser muy diferente al hacer matemático (…). Cuando un

problema ha sido resuelto la solución se transforma en una teoría que los profesores

enseñan sin ninguna referencia al problema que les dio origen”.


Junio 2019

25

6. Fundamentación curricular.

Para determinar el alcance de los contenidos que se deberán incluir en el siguiente

apartado, partiremos de un análisis de la legislación española en materia educativa.

En primer lugar, se realizará un repaso breve de la evolución histórica de las leyes

educativas en el país, para conocer los puntos de partida de la legislación actual:

1º) LEY MOYANO (1857): Fue la primera ley española de educación, creada con el

propósito de disminuir los altos niveles de analfabetismo en la sociedad española. Sus

principales características eran la regularización de la enseñanza obligatoria hasta los

12 años y la gratuidad en la educación. Aunque sufrió numerosas modificaciones, tanto

en las dos repúblicas como en los años de dictadura, consiguió estar vigente durante

más de 100 años.

2º) LGE (1970) - LEY GENERAL DE EDUCACIÓN: Tras más de 100 años de Ley Moyano,

la necesidad de un cambio en el sistema educativo era muy evidente. Por ello se

implantó el 4 de agosto de 1970 la Ley General de Educación, impulsada por José Luis

Villar Palasí. En ella se distinguen las etapas: infantil, primaria, secundaria, universitaria

y formación profesional, además de la educación especial. El principal logro de esta ley

fue la escolarización de todos los niños en las etapas de educación obligatoria, hasta

los 14 años, con la Educación General Básica (EGB). Tras ella, el alumnado podía

acceder al Bachillerato Unificado Polivalente (BUP) o a la Formación Profesional (FP).

3º) LODE (1985) – LEY ORGÁNICA REGULADORA DEL DERECHO A LA EDUCACIÓN: La

Ley Orgánica 8/1985, entró en vigor el 3 de julio de 1985. Estableció la educación como

un derecho, según lo recogido en la Constitución española. También determinó una

doble red de centros: una pública (escuelas e institutos) y una privada, mantenida con

fondos públicos (colegios concertados). En esta ley apareció por primera vez la figura

del Consejo Escolar, que permitió a los padres, además de profesores y alumnos,

participar en la gestión de centros públicos.

4º) LOGSE (1990) – LEY ORGÁNICA GENERAL DEL SISTEMA EDUCATIVO: Entró en vigor

el 3 de octubre de 1990, promulgada por el PSOE. Tenía como principal objetivo

reducir el fracaso escolar. Destaca la ampliación de la educación obligatoria hasta los

16 años, estructurada en: educación infantil (de 0 a 6 años), educación primaria (de 6 a

12 años) y educación secundaria (de 12 a 16 años).

5º) LOCE (2002) – LEY ORGÁNICA DE CALIDAD DE LA EDUACIÓN: La ley 10/2002, fue

promulgada el 23 de diciembre de 2002 por el PP, pero no se llegó a aplicar, debido al

cambio de gobierno.


Junio 2019

26

6º) LOE (2006) – LEY ORGÁNICA DE EDUCACIÓN: La ley 2/2006, se implantó por el

gobierno del PSOE en 2006 y sigue vigente hasta la actualidad (aunque con algunas

modificaciones recogidas en la LOMCE). Esta ley organizó los contenidos de las

asignaturas, incorporó la asignatura de ‘Educación para la Ciudadanía’ y las

competencias básicas.

7º) LOMCE (2013) – LEY ORGÁNICA DE MEJORA DE LA CALIDAD EDUCATIVA: Como en

los años anteriores, con la llegada del nuevo gobierno aparece una nueva ley de

educación. Esta ley es una modificación de la LOE, propuesta por el gobierno del PP,

cuyos principales cambios son:

-El Ministerio de Educación fija los contenidos, objetivos y criterios de evaluación en

las asignaturas troncales, competencias que antes pertenecían a las Comunidades

Autónomas. Con esto se consigue una mayor centralización en la educación.

-Se considera la asignatura de ‘Religión’ con el mismo valor que las demás asignaturas

troncales.

-Desdoblamiento en 3º de ESO, donde el alumnado decidirá si seguirá hacia el

bachillerato o estudiará FP.

En el siguiente diagrama, se muestra gráficamente la evolución de las leyes educativas

españolas:

Figura 9: Cronología de las leyes educativas españolas. Fuente: Elaboración propia.

En este ámbito legislativo, aparece el R.D. 1105/2014, de 26 de diciembre, por el que

se establece el currículo básico de la Educación Secundaria Obligatoria y del

Bachillerato, que servirá de referencia para determinar los elementos curriculares de

la unidad didáctica que se diseña en el presente trabajo.

A nivel autonómico, se seguirán las disposiciones del Decreto 111/2016, de 14 de

junio, por el que se establece la ordenación y el currículo de la Educación Secundaria

Obligatoria en la Comunidad Autónoma de Andalucía.


Junio 2019

27

Los libros de texto de Matemáticas de 3º de ESO que se han consultado son de los

siguientes autores (Colera, García, Gaztelu, & Oliveira, 2002) y (Cabezas & Sáez, 2011),

del que se destacan los siguientes aspectos:

-Ambos tienen un orden cronológico similar. Se comienza con una introducción acerca

del concepto de ‘ecuación’ y tipos de ecuaciones. Posteriormente se definen las

ecuaciones de primer grado y su resolución. Tras esto, se definen las ecuaciones de

segundo grado, el número de soluciones y la regla de resolución. Resolución de

ecuaciones de segundo grado incompletas e inecuaciones.

-En el libro de la editorial ‘ANAYA’, se detecta un error. En el apartado de ecuaciones

de 2º grado, al determinar el número de soluciones, el libro indica que si el

discriminante es negativo, la ecuación ‘no tiene solución’, como se muestra en la

siguiente imagen:

Figura 10: Número de soluciones de una ecuación de segundo grado. Fuente: ‘Matemáticas de 3º ESO’, Ed. ANAYA (2002)

Si bien es cierto que en esta etapa es demasiado pronto para introducir al alumnado el

concepto de números complejos, no se debería incurrir en el error de afirmar que en

este caso la ecuación no tiene solución. En este caso, consideraría más correcto indicar

que la ecuación ‘no tiene soluciones reales’, y así dejar abierta para un futuro la

introducción de los números complejos.


Junio 2019

28

7. Proyección didáctica

7.1. Título

En los próximos puntos se desarrollará la unidad didáctica “Ecuaciones lineales y

cuadráticas”, para la materia de Matemáticas orientadas a las enseñanzas académicas,

de tercero de Educación Secundaria Obligatoria (ESO).

Se ha elegido este título para enfatizar ya desde el nombre de la unidad, que las

ecuaciones polinómicas de primer grado también se conocen como “lineales”, por

implicar relaciones entre las variables que varían linealmente, y las ecuaciones

polinómicas de segundo grado se conocen como “cuadráticas”.

7.2. Justificación

En primer lugar, según el Decreto 327/2010, artículo 29, esta unidad didáctica será un

instrumento de planificación, desarrollo y evaluación, para la materia y etapa

seleccionadas. También se deberán tener en cuenta las necesidades y características

específicas del alumnado. Deberá contener, al menos, los siguientes aspectos:

a) Objetivos, contenidos y criterios de evaluación.

b) La contribución a la adquisición de las competencias básicas.

c) La forma en que se incorporan los contenidos transversales al currículo.

d) Metodología aplicada.

e) Procedimientos de evaluación.

f) Medidas de atención a la diversidad.

g) Materiales y recursos.

h) Actividades complementarias y extraescolares.

Además, hay que tener en cuenta que según el Decreto 327/2010, en todas las

materias (no sólo en las relacionadas con lengua y literatura, se incluirán actividades

que contribuyan a la adquisición de la competencia en comunicación lingüística (CCL) y

estimulen el interés y el hábito de lectura, así como la capacidad de expresarse

correctamente en público. Para ello se incluirá en esta unidad didáctica una pequeña

actividad en la que el alumnado realizará una pequeña exposición ante los compañeros

de un tema determinado.


Junio 2019

29

Por otro lado, la presente unidad didáctica también se ajustará a los contenidos

dispuestos en el R.D. 1105/2014, pertenecientes al bloque 2: Números y álgebra.

Según lo dispuesto en el artículo 14.2 del R.D. 1105/2014: “En la opción de enseñanzas

académicas, los alumnos y alumnas deberán cursar las siguientes materias generales

del bloque de asignaturas troncales:

a) Geografía e Historia

b) Lengua Castellana y Literatura

c) Matemáticas Orientadas a las Enseñanzas Académicas

d) Primera Lengua Extranjera”.

Para la elaboración de la presente unidad, se partirá de la base de que el alumnado

tiene ciertos conocimientos previos en resolución de ecuaciones de primer grado,

tratados en el curso anterior (2º ESO). En este curso, por primera vez, encontrarán los

contenidos de ecuaciones de segundo.

Por otro lado, la presente unidad didáctica contribuirá en gran medida a la adquisición

de la competencia matemática por parte del alumnado de 3º de ESO. Por tanto, tras

cursar esta unidad el alumnado será capaz de aplicar el razonamiento matemático y,

de este modo, resolver diversos problemas en situaciones cotidianas, lo que

contribuirá a que los alumnos se desenvuelvan de una mejor manera en el ámbito

personal y social.

Finalmente, se responderá a la pregunta: “¿Por qué la unidad de ecuaciones lineales y

cuadráticas?”. Desde un punto de vista interno, considero que las ecuaciones son una

herramienta fundamental en todos los ámbitos de las Matemáticas, ya que transcriben

situaciones de la vida real en lenguaje matemático. Esto nos permite operar de una

forma mucho más ágil y resolver desde los problemas cotidianos más básicos, hasta

otros problemas mucho más complejos relacionados con el ámbito de la investigación

o la ingeniería. Por ello, uno de los pilares fundamentales de la enseñanza matemática

en la Educación Secundaria Obligatoria debe ser el estudio de las ecuaciones.

En particular, un alumnado que sea capaz de interpretar gráficas de ecuaciones de

primer y segundo grado, será capaz afrontar ciertas situaciones cotidianas de una

forma mucho más rigurosa. Por ejemplo, para algo tan básico como leer una factura de

la luz, tener un conocimiento básico de interpretación de gráficas permitirá que

seamos capaces de ver la tendencia creciente o decreciente del consumo, analizar

posibles anomalías o incluso establecer una relación matemática entre el consumo y el

coste de la factura.


Junio 2019

30

7.3. Contextualización del centro y del aula.

-Contextualización del municipio y análisis socioeconómico:

La presente Unidad Didáctica está ideada para su implantación en el Instituto de

Educación Secundaria Sierra Sur, de Valdepeñas de Jaén.

Los accesos al municipio son a través de la carretera autonómica A-6050, que lo

conecta al norte con Los Villares y la capital, y al suroeste con Castillo de Locubín.

Valdepeñas de Jaén cuenta con 3.799 habitantes (según los datos del Instituto

Nacional de Estadística, en el año 2018), con una edad media de 45,5 años. La

evolución demográfica en los últimos años ha sido decreciente. Como se puede

observar en la figura 3, la tendencia demográfica es negativa:

Figura 11: Evolución demográfica de Valdepeñas de Jaén. Fuente: “Instituto Nacional de Estadística”

En relación a la población inactiva, el número de desempleados en el municipio, según

el Instituto de Estadística y Cartografía, de la Junta de Andalucía, es de 120 parados, lo

que supone una tasa de desempleo del 18,57% de parados entre el total de la

población activa. Aunque es un dato muy elevado, hay que tener en cuenta que se

trata de una población en la que predomina la temporalidad, y gran parte de esta

población alterna los meses de desempleo con temporadas de actividad en el sector

agrícola, tanto en la campaña de recogida de la aceituna en el propio municipio, como

vendimiando en Francia.


Junio 2019

31

Debido a la accidentada orografía de la zona, la red viaria es de montaña, lo que limita

el acceso al municipio. El factor económico queda circundante a una economía agraria-

ganadera, con poca actividad industrial.

Además de las mencionadas actividades de agricultura y ganadería, de acuerdo con el

listado de actividades económicas de Valdepeñas de Jaén, debemos destacar el

crecimiento predominante del sector de la construcción, que abarca un gran

porcentaje de las empresas del municipio. Seguido por éste, la actividad con más

licencias son los bares y restaurantes.

Dentro de la actividad agraria, hay que hacer especial mención al cultivo del olivo, que

destaca sobre el resto de cultivos al igual que ocurre en toda la provincia de Jaén.

Derivada de este cultivo aparece la escasa actividad industrial de la zona (molinos de

aceite). La ganadería sigue en importancia a la agricultura con ganadería ovina y

caprina, principalmente.

El medio socio económico se podía definir de media montaña en el que, derivada de la

actividad de la construcción y albañilería, también aparece una importante industria

de extracción de áridos de una cantera a cielo abierto en la ‘Sierra de la Pandera’.

Situado en una zona rural, los padres y madres de los alumnos/as tienen un nivel

educativo medio, representando un bajo porcentaje aquellos que tienen estudios

superiores. Pese a su nivel educativo, los padres y madres en general manifiestan

mucho interés por la formación de sus hijos/as, aunque su participación en las

estructuras del Centro (como en la Asociación de Madres y Padres o el Consejo

Escolar) es escasa. Dentro de las ocupaciones principales de los padres y madres del

alumnado, como se ha mencionado anteriormente, destacan principalmente los

trabajos como temporeros, tanto en la recogida de la aceituna en el propio municipio y

en zonas periféricas, como pasando temporadas en Francia en la vendimia.

En relación a la inmigración, al tratarse de un pequeño municipio con poca actividad

laboral, el porcentaje de inmigrantes es bajo, representando un 2,39% del total (91

inmigrantes). Hay que tener en cuenta que este porcentaje aumenta durante la

campaña de recogida de aceituna. Al tratarse de trabajadores temporales, no se trata

de habitantes empadronados en el municipio, por lo que no constan en los datos

censados de habitantes. Además, tampoco representan un factor a tener en cuenta

para la presente unidad didáctica, ya que se trata de trabajadores temporales que no

tienen como residencia habitual el municipio, por lo que no escolarizan a sus hijos en

este centro.


Junio 2019

32

-Contextualización del centro:

La Unidad Didáctica, está diseñada para su implementación en el Instituto de

Educación Secundaria Sierra Sur, de Valdepeñas de Jaén. Se encuentra ubicado en la

dirección:

Paseo del Chorrillo, S/N, 23150, Valdepeñas de Jaén (Jaén)

Teléfono: 953 31 10 66

El centro se encuentra en las afueras del municipio pero, al tratarse de un núcleo

urbano pequeño, queda a sólo 9 minutos a pie del centro (700 m) y a menos de 15

minutos a pie de cualquier otra zona urbana del municipio. En esta ubicación, se

encuentra rodeado de un maravilloso entorno natural, ya que está junto al Río Susana

y es colindante al Paraje de las Chorreras, un idílico entorno natural con una cascada,

senderos y puentes que discurren junto al río.

A continuación, se adjunta una imagen de la ubicación del centro dentro del municipio.

Figura 12: Ubicación del centro. Fuente: ‘Google Maps’

Es el único centro de educación secundaria del municipio, por lo que en él confluye el

alumnado de todo el municipio, procedente de los dos únicos colegios (C.E.I.P.

Santiago Apóstol y C.E.I.P San Juan).


Junio 2019

33

Ese trata de un centro en el que, además de la Enseñanza Secundaria Obligatoria, se

imparte el Bachillerato, no existiendo oferta de Formación Profesional.

Según el Plan de Centro del I.E.S. Sierra Sur, el centro cuenta con 295 alumnos y

alumnas, con edades comprendidas entre los 12 y los 20 años, que se distribuyen de la

siguiente forma:

-Educación Secundaria Obligatoria: 117 alumnos y 121 alumnas.

-Bachillerato: 15 alumnos y 42 alumnas.

De estas cifras, se destaca que aunque el número de estudiantes de Educación

Secundaria Obligatoria es elevado, el porcentaje de los que cursan la postobligatoria es

reducido, posiblemente debido a la facilidad de encontrar empleo en el municipio

(aunque de mala calidad).

El horario de funcionamiento del centro es de 8:20 de la mañana a 14:50. Además,

todas las tardes el centro se encuentra abierto para la realización de distintas

actividades extraescolares, como programas de acompañamiento y de deporte en la

escuela.

El centro cuenta con 35 profesores y profesoras, y 3 personas de administración y

servicios (P.A.S). Si a todas ellas sumamos los padres y madres del alumnado,

encontramos una comunidad educativa de más de 800 personas.

Dado que se trata del único centro de educación secundaria del municipio, en él

confluyen todos los alumnos de la localidad, por lo que las características

socioeconómicas de las familias son muy heterogéneas.

El centro cuenta con trece aulas generales asignadas a los grupos de ESO y

Bachillerato, y 10 aulas específicas. Las aulas específicas son:

Taller de Tecnología.

Aula de Educación Especial.

Laboratorio de Física y Química.

Laboratorio de Biología y Geología.

Aula de Informática.

Aula de Apoyo a la Integración.

Aula de Convivencia.

Laboratorio de Idiomas.

Taller de Plástica.

Gimnasio.


Junio 2019

34

En cuanto a la normativa sobre la utilización de teléfonos móviles por parte del

alumnado, en el Plan de Centro del I.E.S. Sierra Sur (2011) se indica lo siguiente:

“Queda prohibida la tenencia de teléfonos móviles y otros aparatos electrónicos en el

centro, constituyendo una falta contraria a las normas de convivencia. Si el uso de

estos aparatos comportase ofensas hacia algún miembro de la comunidad educativa,

la falta sería considerada grave y conllevaría expulsión”.

Finalmente, se destaca la colaboración del centro con la Institución Trinity College

London, con la que tiene un convenio de colaboración en la que el alumnado puede

participar en la obtención de los niveles de inglés ISE0 (nivel A2) e ISE1 (nivel B1).

-Contextualización de la enseñanza:

La Unidad didáctica que se presenta pertenece a la materia de Matemáticas aplicadas

a enseñanzas académicas, de tercero de Educación Secundaria Obligatoria (ESO). Se

trata de la Unidad número 5 de la programación, titulada “Ecuaciones lineales y

cuadráticas” que se encuentra contenida en el bloque 2, Números y Álgebra (R. D

1105/2014).

Se define el siguiente orden cronológico para todas las unidades didácticas de la

asignatura, para el curso indicado:

U.D.1 Números racionales e irracionales

U.D.2 Potencias y raíces

U.D.3 Sucesiones, progresiones y proporcionalidad

U.D.4 El lenguaje algebraico

U.D.5 Ecuaciones lineales y cuadráticas

U.D.6 Sistemas de ecuaciones lineales

U.D.7 Funciones: recta

U.D.8 Funciones: parábola e hipérbola

U.D.9 Teorema de Thales y de Pitágoras

U.D.10 Transformaciones y movimientos en el plano

U.D.11 Cálculo de áreas y volúmenes

U.D.12 Estadística

U.D.13 Probabilidad y azar

Figura 13: Lista de unidades didácticas propuestas para el curso. Fuente: Elaboración propia.


Junio 2019

35

-Contextualización del alumnado:

El alumnado del centro procede, en general, de una ambiente familiar en el que se

valoran los estudios. En cambio, la motivación del alumnado, principalmente en los

niveles inferiores, no es muy alta.

Al mismo tiempo, la mayoría de alumnos no manifiestan especial sensibilidad e interés

por adquirir una cultura que desarrolle todos los aspectos de su personalidad: salud,

ocupación del tiempo libre, cuidado del entorno natural, relaciones interpersonales y

cuestiones sociales. Por ello, además de la adquisición de las competencias clave, la

educación tendrá por objeto revertir esta situación de desinterés por parte del

alumnado.

El grupo de 3º E.S.O al que va dirigida la presente unidad didáctica, estará compuesto

de 22 alumnos y alumnas, entre los que no hay ningún repetidor. En esta etapa se

realiza un desdoblamiento de los cursos en la asignatura de matemáticas, separando

las Matemáticas orientadas a las enseñanzas académicas de las Matemáticas

aplicadas.

Aunque entre el alumnado no hay ningún alumno con necesidades específicas de

apoyo educativo, habrá que tener en cuenta que un alumno necesita una adaptación

curricular no significativa, ya que proviene de Marruecos y, además de haber perdido

una pequeña parte del inicio del curso, no tiene aún un buen dominio del español.

En relación al nivel, aunque se realizará una prueba de evaluación inicial para tener un

análisis cuantitativo del nivel previo, se partirá de la base de que la mayor parte del

alumnado tiene una buena base en la asignatura.

Por último, si analizamos el perfil del alumnado, hay que destacar que los alumnos de

3º de la E.S.O. son adolescentes que, por la etapa en la que se encuentran, se

caracterizan por desarrollar grandes cambios tanto físicos como psíquicos y cognitivos.

Se trata de una etapa de transición entre la infancia y la edad adulta, por lo que es una

etapa muy delicada en la que, además de adquirir las competencias definidas en el

currículo, es de vital importancia que se preste atención a los problemas y dificultades

que se suelen presentar entre el alumnado en esta etapa y que, aunque al docente le

puedan resultar de mínima importancia, será crucial resolver para evitar que el alumno

se disperse y el problema vaya a mayores. De este modo, en resumen, habrá que tener

en cuenta la importancia de un buen plan de acción tutorial.


Junio 2019

36

7.4. Objetivos

En este apartado se definirán los objetivos, que son las metas que se pretende que el

alumnado alcance al final de la unidad didáctica. Para ello, se partirá de un punto de

vista general (según lo dispuesto en la normativa,) y se irá particularizando para definir

los objetivos concretos de esta unidad didáctica. Estos objetivos deberán ser: claros,

concisos, observables, medibles y, sobretodo, alcanzables (realistas).

-OBJETIVOS DE ETAPA (EDUCACIÓN SECUNDARIA OBLIGATORIA):

Según lo dispuesto en el artículo 23 de la LOE, y el artículo 11 del R.D. 1105/2014, los

objetivos de la Educación Secundaria Obligatoria son los siguientes (se marcan en

negrita los más representativos para la presente unidad didáctica):

a) Asumir responsablemente sus deberes, conocer y ejercer sus derechos en el respeto a los demás, practicar la tolerancia, la cooperación y la solidaridad entre las personas y grupos, ejercitarse en el diálogo afianzando los derechos humanos y la igualdad de trato y de oportunidades entre mujeres y hombres, como valores comunes de una sociedad plural y prepararse para el ejercicio de la ciudadanía democrática.

b) Desarrollar y consolidar hábitos de disciplina, estudio y trabajo individual y en equipo como condición necesaria para una realización eficaz de las tareas del aprendizaje y como medio de desarrollo personal.

c) Valorar y respetar la diferencia de sexos y la igualdad de derechos y oportunidades entre ellos. Rechazar la discriminación de las personas por razón de sexo o por cualquier otra condición o circunstancia personal o social. Rechazar los estereotipos que supongan discriminación entre hombres y mujeres, así como cualquier manifestación de violencia contra la mujer.

d) Fortalecer sus capacidades afectivas en todos los ámbitos de la personalidad y en sus relaciones con los demás, así como rechazar la violencia, los prejuicios de cualquier tipo, los comportamientos sexistas y resolver pacíficamente los conflictos.

e) Desarrollar destrezas básicas en la utilización de las fuentes de información para, con sentido crítico, adquirir nuevos conocimientos. Adquirir una preparación básica en el campo de las tecnologías, especialmente las de la información y la comunicación.

f) Concebir el conocimiento científico como un saber integrado, que se estructura en distintas disciplinas, así como conocer y aplicar los métodos para identificar los problemas en los diversos campos del conocimiento y de la experiencia.

g) Desarrollar el espíritu emprendedor y la confianza en sí mismo, la participación, el sentido crítico, la iniciativa personal y la capacidad para aprender a aprender, planificar, tomar decisiones y asumir responsabilidades.

h) Comprender y expresar con corrección, oralmente y por escrito, en la lengua castellana y, si la hubiere, en la lengua cooficial de la Comunidad Autónoma,


Junio 2019

37

textos y mensajes complejos, e iniciarse en el conocimiento, la lectura y el estudio de la literatura.

i) Comprender y expresarse en una o más lenguas extranjeras de manera apropiada.

j) Conocer, valorar y respetar los aspectos básicos de la cultura y la historia propias y de los demás, así como el patrimonio artístico y cultural.

k) Conocer y aceptar el funcionamiento del propio cuerpo y el de los otros, respetar las diferencias, afianzar los hábitos de cuidado y salud corporales e incorporar la educación física y la práctica del deporte para favorecer el desarrollo personal y social. Conocer y valorar la dimensión humana de la sexualidad en toda su diversidad. Valorar críticamente los hábitos sociales relacionados con la salud, el consumo, el cuidado de los seres vivos y el medio ambiente, contribuyendo a su conservación y mejora.

l) Apreciar la creación artística y comprender el lenguaje de las distintas manifestaciones artísticas, utilizando diversos medios de expresión y representación.

Además de estos objetivos generales de etapa a nivel nacional, el Decreto 111/2016

establece en Andalucía los siguientes objetivos:

a) Conocer y apreciar las peculiaridades de la modalidad lingüística andaluza en

todas sus variedades.

b) Conocer y apreciar los elementos específicos de la historia y la cultura

andaluza, así como su medio físico y natural y otros hechos diferenciadores de

nuestra Comunidad, para que sea valorada y respetada como patrimonio

propio y en el marco de la cultura española y universal.

-OBJETIVOS DE MATERIA (MATEMÁTICAS):

Según la Orden de 14 de julio de 2016, los objetivos generales del área de

matemáticas son:

1. Mejorar sus habilidades de pensamiento reflexivo y crítico e incorporar al lenguaje y

modos de argumentación la racionalidad y las formas de expresión y razonamiento

matemático, tanto en los procesos matemáticos, científicos y tecnológicos como en los

distintos ámbitos de la actividad humana.

2. Reconocer y plantear situaciones susceptibles de ser formuladas en términos

matemáticos, elaborar y utilizar diferentes estrategias para abordarlas y analizar los

resultados utilizando los recursos más apropiados.

3. Cuantificar aquellos aspectos de la realidad que permitan interpretarla mejor:

utilizar técnicas de recogida de la información y procedimientos de medida, realizar el


Junio 2019

38

análisis de los datos mediante el uso de distintas clases de números y la selección de

los cálculos apropiados a cada situación.

4. Identificar los elementos matemáticos (datos estadísticos, geométricos, gráficos,

cálculos, etc.) presentes en los medios de comunicación, Internet, publicidad u otras

fuentes de información, analizar críticamente las funciones que desempeñan estos

elementos matemáticos y valorar su aportación para una mejor comprensión de los

mensajes.

5. Identificar las formas y relaciones espaciales que encontramos en nuestro entorno,

analizar las propiedades y relaciones geométricas implicadas y ser sensible a la belleza

que generan, al tiempo que estimulan la creatividad y la imaginación.

6. Utilizar de forma adecuada las distintas herramientas tecnológicas (calculadora,

ordenador, dispositivo móvil, pizarra digital interactiva, etc.) tanto para realizar

cálculos como para buscar, tratar y representar informaciones de índole diversa y

también como ayuda en el aprendizaje.

7. Actuar ante los problemas que surgen en la vida cotidiana de acuerdo con métodos

científicos y propios de la actividad matemática, tales como la exploración sistemática

de alternativas, la precisión en el lenguaje, la flexibilidad para modificar el punto de

vista o la perseverancia en la búsqueda de soluciones.

8. Elaborar estrategias personales para el análisis de situaciones concretas y la

identificación y resolución de problemas, utilizando distintos recursos e instrumentos y

valorando la conveniencia de las estrategias utilizadas en función del análisis de los

resultados y de su carácter exacto o aproximado.

9. Manifestar una actitud positiva ante la resolución de problemas y mostrar confianza

en su propia capacidad para enfrentarse a ellos con éxito, adquiriendo un nivel de

autoestima adecuado que le permita disfrutar de los aspectos creativos,

manipulativos, estéticos, prácticos y utilitarios de las matemáticas.

10. Integrar los conocimientos matemáticos en el conjunto de saberes que se van

adquiriendo desde las distintas áreas de modo que puedan emplearse de forma

creativa, analítica y crítica.

11. Valorar las matemáticas como parte integrante de la cultura andaluza, tanto desde

un punto de vista histórico como desde la perspectiva de su papel en la sociedad

actual, apreciar el conocimiento matemático acumulado por la humanidad y su

aportación al desarrollo social, económico y cultural.


Junio 2019

39

-OBJETIVOS DIDÁCTICOS CONCRETOS:

Según el Decreto 111/2016, se definen los objetivos como: “Referentes relativos a los

logros que el estudiante debe alcanzar al finalizar cada etapa, como resultado de las

experiencias de enseñanza-aprendizaje intencionalmente planificadas a tal fin.”

Por tanto, recopilando lo dispuesto en por la normativa vigente en los apartados

anteriores, y particularizando para esta unidad didáctica (Ecuaciones lineales y

cuadráticas), se definen los siguientes objetivos concretos:

OBJETIVOS DIDÁCTICOS

1. Identificar si una igualdad algebraica es identidad o ecuación.

2. Comprobar si un cierto número es o no solución de una ecuación.

3. Identificar las ecuaciones de primer grado y resolverlas.

4. Plantear problemas que impliquen la resolución de ecuaciones de

primer grado.

5. Identificar las ecuaciones de segundo grado, solucionar ecuaciones

incompletas y completas.

6. Reconocer el número de soluciones de una ecuación de segundo

grado utilizando el discriminante e interpretarlas gráficamente.

7. Descomponer factorialmente una ecuación de segundo grado.

8. Hallar una ecuación de segundo grado conociendo sus raíces.

9. Plantear y resolver problemas de ecuaciones de segundo grado

aplicando una estrategia conveniente.

10. Utilizar las nuevas tecnologí

PROGRAMACIÓN DIDÁCTICA ‘ECUACIONES LINEALES Y …tauja.ujaen.es › bitstream › 10953.1 ›...

Documents

Transcript of PROGRAMACIÓN DIDÁCTICA ‘ECUACIONES LINEALES Y …tauja.ujaen.es › bitstream › 10953.1 ›...