INVESTIGACIÓN DE OPERACIONES

PROGRAMACIÓN DE METAS

INTEGRANTES:

Heriberto Vargas MercadoJorge Iván SánchezEnrique HerediaErick Leonardo Medina Vargas

Contenido

• Introducción • Modelo de programación lineal: Programación de metas • Algoritmos de programación de metas - Método de valores de ponderación - Método de jerarquías

Introducción

Los modelos de programación lineal que se presentaron en los capítulos anteriores se basan en la optimización de una sola función objetivo. Hay casos en donde lo más adecuado es tener varios objetivos (posiblemente opuestos).

Por ejemplo, los políticos aspirantes pueden prometer reducir la deuda nacional y, al mismo tiempo, ofrecer rebajas de impuesto sobre la renta. En tales casos podrá ser imposible encontrar una solución única que optimice los objetivos contrapuestos.

En lugar de ello se podrá buscar una solución intermedia, o de compromiso basada en la importancia relativa de cada objetivo.

Este capítulo presenta la técnica de programación de metas para resolver modelos con varios objetivos.

La idea principal es convertir los diversos objetivos originales en una sola meta. El modelo resultante produce lo que se suele llamar solución eficiente, porque podrá no ser óptima con respecto a todos los objetivos contrapuestos del problema.

Algoritmos de programación de metas

Existen dos algoritmos para resolver la programación de metas. Ambos métodos convierten las metas múltiples en una sola función objetivo.

En el método de los factores de ponderación la función objetiva única es la suma ponderada de las funciones que representan las metas del problema.

El método de jerarquías comienza dando prioridades a las metas en orden de importancia

Método de factores de ponderación

TopAd es una nueva agencia de publicidad, con 10 empleados; ha recibido un contrato para promover un producto nuevo. La agencia puede anunciarlo por radio y por TV. La tabla siguiente contiene datos sobre la cantidad de personas a las que llega cada tipo de anuncio, y sus requisitos de costo y mano de obra.

El contrato prohíbe a TopAd que use más de 6 minutos en anuncios por radio. Además, los anuncios por radio y TV deben llegar cuando menos a 45 millones de personas. TopAd ha establecido para el proyecto una meta de presupuesto de $100,000. ¿Cuántos minutos de anuncios en radio y TV debe programar TopAd?

Sean x1y x2los minutos asignados a los anuncios por radio y por TV. La formulación de programación de metas para el problema es :

Minimizar G1 = (Satisfacer la meta de exposición)Minimizar G2 = (Satisfacer la meta de presupuesto)

Donde y se llaman variables de desviación porque representan las desviaciones arriba y abajo respecto al lado derecho de la restricción.

Por definición las variables y son dependientes y en consecuencia no pueden ser al mismo tiempo variables básicas. Esto quiere decir que en cualquier iteración simplex, cuando menos una de las dos variables de desviación puede asumir un valor positivo. Si la i-ésima desigualdad original es del tipo <= y su >0 , entonces se satisfará la i-ésima meta; en caso contrario, si >0 , la meta i no se satisfará. En esencia la definición de permite satisfacer o violar la i-ésima meta cuando se desee.

La gerencia de TopAd supone que la meta de exposición tiene dos veces la importancia de la meta de presupuesto. Entonces, la función objetivo combinada se convierte en

Minimizar z = 2G1 + G2 = 2s1 + + s2

La solución óptima (obtenida con TORA) esZ=10x1 = 5 minutos, x2 = 2.5 minutos, s1 + = 5 millones de personas

El hecho que el valor óptimo de z no sea cero indica que no se cumple con al menos una meta. En forma específica, indica que la meta de exposición (de un mínimo de 45 millones de personas) no se cumple por 5 millones de individuos. Al revés, la meta de presupuesto (no excederse de $10,000) no se viola, porque .

La programación de metas sólo produce una solución eficiente del problema, que no necesariamente es la óptima. Por ejemplo, la solución x1= y x2=2 produce la misma exposición( 4x6 + 8x2 = 40 millones de personas), pero cuesta menos(8x6 + 24x2 =$96,000 ).En esencia, lo que hace la programación de metas es determinar una solución que satisfaga sólo las metas del modelo, sin considerar la optimización. Esa “deficiencia” de encontrar una solución óptima causa dudas sobre la viabilidad de la programación de metas como técnica de optimización.

Método de jerarquías

En el método de jerarquías, quien toma las decisiones debe clasificar las metas del problema por orden de importancia. Dado un caso de n metas, los objetivos del problemas se escriben de la siguiente manera:

El procedimiento de solución considera una meta cada vez, comenzando con la máxima prioridad y terminando con la mínima , . El proceso se hace de tal modo que la solución obtenida con una meta de menor prioridad nunca degrade a alguna solución de mayor prioridad.

Paso 0 : Identificar las metas del modelo y clasificarlas en orden de prioridad :

Paso i : Resolver el programa lineal i que minimice a , y hacer que = defina el valor optimo correspondiente de la variable de desviación Si i = n, detenerse; el programa lineal n resuelve el problema de n metas. En caso contrario, aumentar la restricción = a las restricciones del problema ,para asegurar que no se degrade el valor de Igualar i = i+1 y repetir en paso i.

Paso 0: > : Minimizar ( Satisfacer la meta de exposición ) : Minimizar ( Satisfacer la meta de presupuesto ) Paso 1: Resolver el programa lineal 1. Minimizar

La solución óptima (obtenida con TORA) es

x1 = 5 minutos, x2 = 2.5 minutos, = 5 millones de personas.(Las variables restantes son igual a cero).

La solución indica que la meta de exposición, , se viola con 5 millones de personas.En el programa lineal 1 se tiene = , por lo tanto la restricción adicional que se usara con el problema es = 5.

Paso 2: Se debe resolver el problema lineal 2, cuya función objetivo es :

Minimizar

La nueva formulación tiene una variable menos que la del problema lineal 1; es la idea general con la regla de eliminación de columna. En realidad, la optimización del programa lineal 2 no es necesario en este ejemplo, porque la solución optima al problema ya obtiene = 0. Por consiguiente, la solución del programa lineal 1 es optima automáticamente para el programa lineal 2, Heriberto vargas Mercado