PROPORCIONES_Y_SEMEJANZA
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Proporciones y Semejanza 1
PROPORCIONES Y SEMEJANZA
LA RAZON entre dos cantidades es el cociente indicado entre ellas, la razón de a y b se
escribe b
a y se lee: a es a b.
PROPORCION: Es la igualdad de dos razones. d
c
b
a, y se lee: a es a b como c es a d. a y c
se llaman antecedentes, b y d se llaman consecuentes. c y b se llaman medios; a y d se llaman extremos. Cualquier elemento se llama cuarta proporcional entre las otras tres. Cuando los medios o los extremos son iguales, se llama media proporcional.
x
z
y
x, x es la media proporcional entre y z;
3
6
6
12; 6 es la media proporcional entre 12 y 3
PROPIEDADES DE LAS PROPORCIONES: 1. PROPIEDAD FUNDAMENTAL: En una proporción se cumple que el producto de los
extremos es igual al producto de los medios.
210545
2
10
4;dcba
d
c
b
a
2. En una proporción se pueden intercambiar los medios o los extremos y se obtiene otra proporción
5
15
7
21
21
15
7
5;
8
12
2
3
8
2
12
3;
a
c
b
d
d
c
b
a
d
b
c
a
d
c
b
a
3. En cada proporción se pueden invertir sus elementos y nos da otra proporción.
6
9
2
3
9
6
3
2;
c
d
a
b
d
c
b
a
4. 10
24
5
12
10
1014
5
57
10
14
5
7;
d
dc
b
ba
d
c
b
a
5. 10
4
5
2
10
1014
5
57
10
14
5
7;
d
dc
b
ba
d
c
b
a
6. kb
a
fdb
ecak
f
e
d
c
b
a
Proporciones y Semejanza 2
TEOREMA FUNDAMENTAL DE LA PROPORCIONALIDAD. Si se traza una paralela a un lado de un triangulo, determina segmentos proporcionales en los otros dos lados.
HIPOTESIS: DE AB
A – D – C y B – E – C
TESIS: CD CE
DA EB
1. Sobre CD se toman n segmentos
congruentes de longitud ay sobre DA se
toman msegmentos congruentes de
longitud a
1. Construcción
2. Se trazan paralelas por esos puntos a AB 2. Construcción
3. En CE se determinan n segmentos s de
longitud b y en EB se determinan m
segmentos congruentes de longitud b .
3. De 2. Teorema fundamental de las paralelas
4. ; ; ;CD n a DA m a CE n b EB m b 4. De 1 y 3. Adición de segmentos
5. m
n
am
an
DA
CD
5. De 4
6. m
n
bm
bn
EB
CE
6. De 4
7. EB
CE
DA
CD
7. De 5 y 6. Propiedad transitiva.
COROLARIO 1:
CE
CB
DA
CA
COROLARIO 2:
EB
CB
DA
CA
TEOREMA (RECIPROCO DEL ANTERIOR) Si una recta corta a dos lados de un triangulo y determina segmentos proporcionales en los otros dos lados, entonces la recta es paralela al tercer lado. (Consultar su demostración) TEOREMA DE THALES Si tres o mas rectas paralelas son cortadas por dos transversales, entonces los segmentos de una transversal son proporcionales a sus correspondientes en la otra.
Proporciones y Semejanza 3
HIPOTESIS: m n s
t1 y t2 son transversales
TESIS: AB BC
DE EF
1. Trazamos 1DK t
, tal que B – L – E y
C – K – F
1. Construcción
2. EL KF 2. De 1 y de hipótesis
3. KL
DL
EF
DE
3. De 2. Teorema fundamental de la
proporcionalidad en DKF
4. ABLD y BCKL son paralelogramos 4. De hipótesis y de 1. Definición de paralelogramo
5. AB = DL y BC = KL 5. De 4. Los lados opuestos de un paralelogramo son congruentes
6. BC
AB
EF
DE
6. Sustitución de 5 en 3
7. DE
AB
EF
BC
7. De 6. Propiedad de las proporciones.
TEOREMA En todo triangulo la bisectriz de un ángulo interno divide al lado opuesto en segmentos proporcionales a los lados adyacentes.
HIPOTESIS: CD es bisectriz del ángulo ACB A – D – B
TESIS: AD DB
AC BC
1. Por B se traza BE
, tal que BE DC ;
y BE AC
se cortan en E
1. Construcción
2. CE
DB
AC
AD
2. De 1. Teorema fundamental de las
proporciones en ABE
Proporciones y Semejanza 4
3. 3. De 1. Por ser alternos internos entre paralelas
4. 4. De 1. Por ser correspondientes entre paralelas
5. 5. De Hipótesis. CD es bisectriz
6. 6. De 3, 4 y 5. Propiedad transitiva
7. CE BC 7. De 6. En un triangulo a ángulos s se oponen lados congruentes
8. AD DB
AC BC
8. Sustitución de 7 en 2
TEOREMA: La bisectriz de un ángulo exterior de un triangulo no isósceles, divide a la prolongación del lado opuesto al ángulo en segmentos proporcionales a sus lados adyacentes.
HIPOTESIS: CP es bisectriz del ángulo exterior BCE
TESIS: AP BP
AC BC
1. Se traza BD PC , que corta a AC en D 1. Construcción
2. DC
AC
BP
AP
2. De 1. Teorema fundamental de la
proporcionalidad en ACP
3. 3. De 1. Por ser alternos internos entre paralelas.
4. 4. De 1. Por ser correspondientes entre paralelas
5. 5. De hipótesis. PC es bisectriz
6. 6. De 3, 4 y 5. Propiedad transitiva
7. DC BC 7. De 6. En un triangulo a ángulos s se oponen lados congruentes
8. BC
AC
BP
AP
8. Sustitución de 7 en 2
9. BC
BP
AC
AP
9. De 8. Propiedad de las proporciones.
Proporciones y Semejanza 5
EJERCICIOS 1)
DE AC (De hipótesis por formar ángulos correspondientes congruentes)
64969624
4 2 ABxxx
xBC
BE
BA
BD
2) Con las siguientes longitudes: BC = 21; EC = 9; AB = 14; BD = 5, será ¿ ED AC ?
Si fueran paralelas se debería cumplir que
14 21
5 12
BA BC
BD BE, lo cual es falso porque no se cumple
que producto de medios es igual a producto de medios y
por lo tanto ED no es paralelo a AC
3)
TESIS: bc
baEC
cb
baDC ;
Proporciones y Semejanza 6
bc
baEC
babcEC
b
bc
EC
a
AC
ACAB
EC
ECBE
AC
AB
EC
BE
AC
EC
AB
BE
cb
baDC
bacbDC
b
bc
DC
a
AC
ACAB
DC
DCBD
AC
AB
DC
BD
.11
)(.10
.9
.8
.7
.6
.5
)(.4
.3
.2
.1
SEMEJANZA DE POLIGONOS. Dos polígonos son semejantes si entre sus vértices existe una correspondencia tal que los ángulos correspondientes son congruentes y los lados correspondientes son proporcionales.
'; '; '; '; 'A A B B C C D D E E
' ' ' ' ' ' ' ' ' '
AB BC CD DE EAk
A B B C C D D E E A
Donde k, se llama constante de proporcionalidad
Se escribe ABCDE A’B’C’D’E’; se lee: “semejante a “ SEMEJANZA DE TRIANGULOS. Dos triángulos son semejantes si tienen igual forma. En los triángulos semejantes se cumple que los ángulos correspondientes son congruentes y lados correspondientes son proporcionales.
Proporciones y Semejanza 7
; ;A D B E C F
AB AC BC
DE DF EF
La semejanza es una relación de equivalencia, o sea que cumple:
1. Propiedad reflexiva: ABC ABC
2. Propiedad simétrica: ABC DEF DEF ABC
3. Propiedad transitiva: y DEF PQR, entonces ABC PQRABC DEF
Las seis condiciones dadas en la definición de triángulos semejantes se pueden reducir a tres TEOREMA DE SEMEJANZA A – A – A Si dos triángulos tienen sus ángulos respectivamente congruentes entonces son semejantes.
HIPOTESIS:
; ;A R B S C T
TESIS: ABC RST
1. Sean D y E, puntos sobre CA y CB ,
tales que y CD TR CE TS
1. Construcción
2. C T 2. De hipótesis
3. CDE TRS 3. De 1 y 2. L – A – L
4. CDE R 4. De 3. Son ángulos correspondientes en
triángulos s 5. R A 5. De hipótesis
6. CDE A 6. De 4 y 5. Propiedad transitiva
7. DE AB 7. De 6. Por formar con una transversal ángulos correspondientes congruentes.
8. CB
CE
CA
CD
8. De 7. Teorema fundamental de la proporcionalidad
9. CB
TS
CA
TR
9. Sustitución de 1 en 8.
10. De igual modo, tomando F y G en AB y
BC , tal que y BF SR BG ST ,
puede demostrarse que
10.
Proporciones y Semejanza 8
AB CB RS TS
RS TS AB CB(hágalo)
11. AB
RS
CB
TS
CA
TR
11. De 9 y 10
12. ; ;A R B S C T 12. De hipótesis
13. ABC RST 13. De 11 y 12. Definición de triángulos semejantes.
COROLARIO 1. Si dos triángulos tienen dos ángulos congruentes entonces son semejantes (A – A) COROLARIO 2. Si dos triángulos rectángulos tienen un ángulo agudo congruente entonces son semejantes. COROLARIO 3. Las alturas correspondientes de dos triángulos semejantes tienen la misma razón que la de dos lados correspondientes.
ST
BC
RS
AB
RT
AC
TH
CE
COROLARIO 4. Si se traza una recta paralela a un lado de un triangulo se determina otro triangulo semejante al primero.
Si DE AB , entonces ABC DEC
TEOREMA DE SEMEJANZA L – A – L Si en dos triángulos dos lados correspondientes son proporcionales y los ángulos
comprendidos entre ellos son congruentes, entonces los triángulos son semejantes.
HIPOTESIS: CA CB
NE NL
C N
TESIS: ABC ELN
Proporciones y Semejanza 9
1. En CA y en CB , existen los puntos D y
E tales que y CD NE CE NL
1. Construcción
2. C N 2. De hipótesis
3. CDE ELN 3. De 1 y 2. L – A – L
4. NL
CB
NE
CA
4. De hipótesis
5. CE
CB
CD
CA
5. Sustitución de 1 en 4
6. DE AB 6. De 5. Reciproco del teorema fundamental de la proporcionalidad
7. CDE ABC 7. De 6. Una recta paralela a un lado de un triangulo, determina un triangulo semejante al primero.
8. ABC ELN 8. Sustitución de 3 en 7.
COROLARIO Si en dos triángulos rectángulos los catetos son proporcionales, entonces los triángulos son semejantes.
EJERCICIO
HIPOTESIS: , ,AF BD CE son alturas.
TESIS: ABC FCD FEB ADE
1. C C 1. Propiedad reflexiva
2. CFA y CDB son rectángulos 2. De hipótesis. Definición de altura
3. CFA CDB 3. De 1 y 2. Por tener un ángulo agudo congruente
4. AC
BC
CF
CD
4. De 3. Si son semejantes los lados correspondientes son proporcionales
5. FCD ABC 5. De 1 y 4. Por teorema de semejanza L – A – L
6. A A 6. Propiedad reflexiva
7. CAE y DAB son rectángulos 7. De hipótesis. Definición de altura.
8. CAE DAB 8. De 7 y 6. Por tener un ángulo agudo congruente
9. AE
AD
AC
AB
9. De 8. Por ser lados correspondientes de triángulos semejantes
10. ABC ADE 10. De 6 y 9. Teorema de semejanza L – A – L
Proporciones y Semejanza 10
11. B B 11. Propiedad reflexiva
12. AFB y CBE son rectángulos 12. De hipótesis. Definición de altura y de triangulo rectángulo.
13. AFB CBE 13. De 11 y 12. Por tener un ángulo agudo congruente.
14. FB
EB
AB
CB
14. De 13. Por ser lados correspondientes en triángulos semejantes.
15. ABC FEB 15. De 11 y 14. Teorema de semejanza L – A –L
16. ABC FCD FEB ADE 16. De 5, 10 y 15. Propiedad transitiva
NOTA: El triangulo DEF se conoce con el nombre del triangulo del pedal. TEOREMA DE SEMEJANZA L – L – L Si en dos triángulos sus lados correspondientes son proporcionales, entonces los triángulos
son semejantes.
HIPOTESIS: EF
BC
DE
AB
FD
CA
TESIS: ABC DEF
1. En CA existe un punto G, tal que
CG FD y en CB existe H, tal que
CH FE
1. Construcción
2. Se traza GH 2. Construcción
3. EF
BC
FD
CA
3. De hipótesis
4. GH AB 4. De 3. Reciproco del teorema fundamental de la proporcionalidad
5. CGH CAB 5. De 4. Una recta paralela a un lado de un triangulo determina un triangulo semejante al primero.
6. GH
AB
CG
CA
6. De 5. Los lados correspondientes son proporcionales
7. GH
AB
FD
CA
7. Sustitución de 1 en 6.
8. DE
AB
FD
CA
8. De hipótesis.
9. DE
AB
GH
AB
9. Sustitución de 7 en 8.
Proporciones y Semejanza 11
10. DE
GH
AB
AB
10. De 9. Propiedad de las proporciones.
11. 1GH
GH DEDE
11. De 10.
12. CGH DEF 12. De 11 y 1. L – L – L
13. ABC DEF 13. Sustitución de 12 en 5.
COROLARIO 1. Si dos triángulos rectángulos tienen la hipotenusa y un cateto respectivamente proporcionales, entonces son semejantes. COROLARIO 2. Si dos triángulos isósceles tienen un ángulo cualquiera respectivamente congruentes, entonces son semejantes.
EJERCICIOS RESUELTOS
DATOS: ABC es rectángulo en C
DEA es rectángulo en E
HALLAR el valor de x.
ABC DEA por ser rectángulos con un ángulo agudo congruente (A A)
81602020
10
16xx
x
2)
HIPÓTESIS: A CBD
TESIS: ADDCBD2
1. A CBD 2. 1. De hipótesis
3. D D 3. Propiedad reflexiva
4. ADB BDC 4. De 1 y 2. A – A
5. BD
DC
AD
BD
5. De 3. Por ser lados correspondientes en triángulos
semejantes
6. ADDCBD2 6. De 4. Propiedad de las proporciones.
Proporciones y Semejanza 12
3)
HIPOTESIS: y son medianas
ABC HFE
AD HL
TESIS: AD BC
HL FE
1. B F 1. De hipótesis. ABC HFE
2.
FLFEFE
FL
BDBCBC
BD
22
22
2. De hipótesis. D y L son puntos medios
3. FE
BC
HF
AB
3. De hipótesis. Los lados correspondientes en triángulos semejantes son proporcionales
4. FL
BD
HF
AB
2
2
4. Sustitución de 2 en 3
5. FL
BD
HF
AB
5. De 4. Simplificación
6. ABD HFL 6. De 1 y 5. Semejanza L – A – L
7. HF
AB
HL
AD
7. De 6. Lados correspondientes en triángulos semejantes son proporcionales
8. FE
BC
HF
AB
8. De hipótesis. Lados correspondientes en triángulos semejantes
9. FE
BC
HL
AD
9. De 7 y 8. Propiedad transitiva
4) Si dos triángulos isósceles tienen un ángulo cualquiera respectivamente congruente, entonces son semejantes.
HIPÓTESIS: A D
ABC es isósceles con CA CB
DEF es isósceles con FD FE
TESIS: ABC DEF
1. CA CB 1. De hipótesis
2. A B 2. En un triangulo a lados congruentes se oponen ángulos congruentes.
3. FD FE 3. De hipótesis
4. D E 4. De 3. En un triangulo a lados congruentes se oponen
Proporciones y Semejanza 13
ángulos congruentes.
5. A D 5. De hipótesis
6. A B D E 6. De 2, 4 y 5. Propiedad transitiva
7. ABC DEF 7. De 6. A – A
II CASO:
HIPÓTESIS: C F
ABC es isósceles con CA CB
DEF es isósceles con FD FE
TESIS: ABC DEF
1. CA CB 1. De hipótesis
2. m (A) = m (B) 2. De1. En un triangulo a lados congruentes se oponen ángulos congruentes
3. m (A) + m (B) + m (C) = 180º 3. En un triangulo la suma de los ángulos interiores es 180º
4. 2m(A) + m(C) = 180º 4. Sustitución de 2 en 3
5. FD FE 5. De hipótesis.
6. m (D) = m (E) 6. De 5. Ver la razón 2.
7. m (D) + m (E) + m (F) = 180º 7. En un triángulo la suma de los ángulos interiores es 180º
8. 2m (D) + m(F) = 180º 8. Sustitución de 6 en 7
9. 2m(A) + m(C) = 2m (D) + m(F) 9. De 4 y 8. Propiedad transitiva
10. m (C) = m (F) 10. De hipótesis
11. 2m (A) + m (C) = 2m (D) + m (C) 11. Sustitución de 10 en 9
12. 2m (A) = 2m (D) 12. De 11. Propiedad cancelativa.
13. m (A) = m (D) 13. De 12
14. ABC DEF 14. De 13 y 10. A – A
RELACIONES METRICAS EN UNA CIRCUNFERENCIA.
TEOREMA Si dos cuerdas se cortan dentro de una circunferencia, el producto de las medidas de los segmentos de una cuerda es igual al producto de las medidas de los segmentos de la otra.
HIPOTESIS: AB y CD son cuerdas que se cortan en E TESIS: AE EB DE EC
Proporciones y Semejanza 14
1. Se trazan y AD CB 1. Construcción
2. C A 2. Por estar inscritos en el mismo arco BD
3. B D 3. Por estar inscritos en el mismo arco AC
4. CEB AED 4. De 2 y 3. A – A
5. DE
EB
AE
CE
5. De 4. Lados correspondientes en triángulos semejantes
6. DECEEBAE 6. De 5. Propiedad de las proporciones.
DEFINICION: SEGMENTO DE UNA SECANTE
BC : Segmento externo de la secante
AB : Segmento interno de la secante
TEOREMA: Si se trazan una tangente y una secante desde un mismo punto exterior a una circunferencia la medida del segmento tangente es media proporcional entre las medidas de la secante y su segmento externo.
HIPÓTESIS: PA
Tangente.
PC
secante a la circunferencia y la corta en
B y C.
TESIS: PA
PB
PC
PA
1. Se trazan AC y AB 1. Construcción
2. 2
m arcoAB
m C 2. Por ser un ángulo inscrito.
3.
2
m arcoABm BAP
3. Por ser un ángulo semiinscrito.
4. m(C) = m(BAP) 4. De 2 y 3. Propiedad transitiva.
5. m(P) = m(P) 5. Propiedad reflexiva
6. CAP ABP 6. De 4 y 5. A – A
7.PA
PB
PC
PA
7. De 6. En triángulos semejantes los lados correspondientes son proporcionales
Proporciones y Semejanza 15
TEOREMA: Si se trazan secantes desde un mismo punto exterior a una circunferencia, el producto de una secante por su segmento exterior es igual al producto de la otra secante por su segmento exterior.
HIPÓTESIS: PA y PC son secantes
PA corta a la circunferencia en B y A
PC corta a la circunferencia en D y C TESIS: PA PB PC PD
La demostración se deja como tarea.
EJEMPLO
Se traza el radio OF. OA = OF = 0B = X OD = x – 4
40)42(4584)4( xxx
DCADDBFD
Y resolviendo la ecuación se llega a x = 7 PROYECCIONES: La proyección de un punto a una recta es el pie de la perpendicular trazada del punto a la recta.
La proyección de un segmento sobre una recta, es otro segmento sobre la recta, obtenido de las proyecciones de los extremos del segmento.
Proporciones y Semejanza 16
CD es la proyección de AB sobre recta m EL es la proyección de EN sobre la recta n
La proyección de AC sobre AB es AH (sobre la
prolongación de AB )
RELACIONES METRICAS EN EL TRIANGULO TEOREMA DE PITAGORAS: En todo triangulo rectángulo el cuadrado de la medida de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de las longitudes de los catetos.
HIPÓTESIS: ABC es rectángulo en C ; ;AB c BC a AC b
TESIS: c2 = a2 + b2
1. Se traza la altura CH sobre la
hipotenusa.
1. Construcción
2. El complemento de es A 2. De 1. Por ser ángulos agudos del triangulo rectángulo CHA
3. El complemento de B es A 3. De Hipótesis. Por ser ángulos agudos del triangulo rectángulo CHA
4. ACH B 4. Por tener el mismo complemento, el A
5. CHA CHB 5. De 4. Por ser rectángulos con un ángulo agudo congruentes.
6. A A 6. Propiedad Reflexiva.
7. CHA ABC 7. De 1 y de hipótesis y de 6. Por tener un ángulo agudo congruente
8. CHA ABC CHB 8. De 5 y 7. Propiedad transitiva.
Proporciones y Semejanza 17
9. b
c
m
b
9. De 8. Por ser lados correspondientes en los triángulos ABC y CHA
10. b2 = cm 10. De 9. Propiedad de las proporciones
11. a
c
n
a
11. De 8. CHA ABC CHB
12. a2 = nc 12. De 11. Propiedad de las proporciones 13. a2 + b2 = cm + nc 13. Adición de 10 y 12 14. a2 + b2 = c(m + n) 14. De 13. Factor común 15. a2 + b2 = c2 15. De 14. Adición de segmentos.
COROLARIOS: 1. En un triangulo rectángulo la altura trazada sobre la hipotenusa, divide al triangulo en dos
triángulos semejantes entre si y semejantes al original. 2. La altura trazada sobre la hipotenusa es media proporcional entre los segmentos que
determina sobre ella. 3. Todo cateto es media proporcional entre la hipotenusa y su proyección sobre ella. 4. La razón de los cuadrados de los catetos es igual a la razón de sus proyecciones sobre la
hipotenusa 5. La altura sobre la hipotenusa es cuarta proporcional entre los lados del triangulo.
AB
CB
AC
AH
6. El cuadrado de la longitud de un cateto es igual al cuadrado de la hipotenusa menos el cuadrado del otro cateto.
TEOREMA En cualquier triangulo, el producto de un lado por su altura correspondiente, es igual al
producto de otro lado por su altura correspondiente.
HIPOTESIS: CE altura sobre AB , AD altura sobre
CB , CE = h1, AD = h2, AB = c, CB = a
TESIS: 21 hahc
1. y CEBADB son rectángulos. 1. De hipótesis. Definición de altura
2. B B 2. Propiedad reflexiva
3. CEBADB 3. De 1 y 2. Por ser triángulos rectángulos con un ángulo agudo congruente
Proporciones y Semejanza 18
4. 2
1
h
h
c
a
4. De 3. Lados correspondientes en triángulos semejantes son proporcionales
5. 21 hahc 5. De 4. Propiedad de las proporciones
TEOREMA En un triangulo acutángulo el cuadrado de un lado es igual a la suma de los cuadrados de los otros dos lados menos dos veces uno de ellos por la proyección del otro sobre el.
HIPOTESIS: ABC es acutángulo.
AD = m, proyección de AC sobre AB
DB = n, proyección de BC sobre AB
TESIS: 2 2 2 2a b c cm
1. a2 = h2 + n2 1. Pitágoras en CDB 2. a2 = h2 + (c – m)2 2. De 1 y de hipótesis. Resta de segmentos. 3. a2 = h2 + c2 – 2cm + m2 3. De 2. Algebra 4. b2 = h2 + m2 4. Teorema de Pitágoras en CDA 5. a2 = b2 + c2 – 2cm 5. Sustitución de 4 en 3.
TEOREMA: En un triangulo obtusángulo, el cuadrado del lado opuesto al ángulo obtuso es igual a la suma de los cuadrados de los otros dos lados mas dos veces uno de ellos por la proyección del otro sobre el.
TESIS: BDccab 2222 La demostración se deja como tarea.
EJERCICIOS 1)
TESIS: 2222 mnba
Proporciones y Semejanza 19
DEMOSTRACION: 1. a2 = h2 + n2 1. Teorema de Pitágoras en CDB 2. b2 = h2 + m2 2. Teorema de Pitágoras en CDA 3. a2 - b2 = h2 + n2 – (h2 + m2) 3. Igualdad 1 menos igualdad 2. 4. a2 - b2 = n2 – m2 4. De 3. Álgebra. 2)
HIPÓTESIS: ABC cualquiera
CE h es altura
CD d es mediana
n es la proyección de CD sobre AB
CDA es obtuso
A – D - E – B
TESIS: ncab 222
DEMOSTRACION:
1. AD = DB = 2
c.
1. De hipótesis D es punto medio por definición de mediana
2. b2 = (AD)2 + d2 + 2(AD).n 2. Relaciones métricas en el triangulo obtusángulo ADC
3. ncdc
bnc
dc
b 22
22
2
2
422
2
3. Sustitución de 1 en 2.
4. a2 = (DB)2 + d2 – 2(DB).n 4. Relaciones métricas en el triangulo acutángulo DCB
5. ncdc
anc
dc
a 22
22
2
2
422
2
5. Sustitución de 1 en 4.
6. ncab 222 6. Igualdad 3 menos la igualdad 5.
3)
HIPÓTESIS: CAB rectángulo en A
; ;
; ; ;
AD CB DF AB DE CA
CE p FB q AC b AB c
TESIS: q
p
c
b3
3
1.
En :CDA AEpDEDE
p
AE
DE 2 1. En un triangulo rectángulo la altura sobre la hipotenusa es media proporcional entre
Proporciones y Semejanza 20
los segmentos que determina sobre ella.
2. En :ADB AFQDFDF
q
AF
DF 2 2. En un triangulo rectángulo la altura sobre la hipotenusa es media proporcional entre los segmentos que determina sobre ella.
3. AFq
AEp
DF
DE2
2
3. División de 1 y 2.
4. DE FA 4. De hipótesis por ser perpendiculares a la misma recta AC.
5. CA DF 5. De hipótesis por ser perpendiculares a la misma recta AB
6. EDFA es un paralelogramo. 6. De 4 y 5. Definición de paralelogramo. 7. AE = DF; AF = DE 7. De 6. En un paralelogramo los lados
opuestos son congruentes
8. q
p
DF
DE
q
p
DF
DE
DEq
DFp
DF
DE3
3
3
2
2
8. Sustitución de 7 en 3 y álgebra.
9. El complemento de 3 es 1 9. En un triangulo rectángulo los ángulos agudos son complementarios
10. El complemento de 2 es 1 10. En un triangulo rectángulo los ángulos agudos son complementarios
11. 3 2 11. De 9 y 10. Por tener el mismo complemento.
12. ADB ADC 12. De 11. Triángulos rectángulos con un ángulo agudo congruente.
13. c
b
DF
DE
13. En dos triángulos semejantes la razón entre dos alturas correspondientes es igual a la razón de dos lados correspondientes.
14. q
p
c
b
q
p
c
b3
33
14. Sustitución de 13 en 8.
4)
HIPÓTESIS: BAC es rectángulo en A
FLDE es un cuadrado de lado x, inscrito en el triangulo.
; ; ;AH h BC a AB c AC b
AH es altura; B – F – H – L – C
TESIS: xha
ha
Nota: En la demostración no se olvide de utilizar el teorema: En dos triángulos semejantes la razón entre dos alturas correspondientes es igual a la razón de dos lados correspondientes.
5) Si en un triangulo rectángulo, x y son las medidas de los catetos y z es la medida de la
altura correspondiente a la hipotenusa, demostrar que: 222
111
zyx
Proporciones y Semejanza 21
EJERCICIOS SOBRE SEMEJANZA Y RELACIONES METRICAS EN LA
CIRCUNFERENCIA Y EN EL TRIANGULO.
1.
HIPOTESIS: CD es bisectriz de ACB
;AP CD BQ CD
C – P – D – Q
TESIS: AD DB
AC BC
NOTA: Esta es otra forma de demostrar el teorema de la bisectriz interior de un ángulo de un triangulo.
2.
DE AC
a. Si EB = AD; AB = 6; CE = 8; Hallar DB b. Si DB = 7; EB = 2AD; CE = 14; Hallar CB c. Si CB = 24; EB = AB; DB = 4; Hallar AB
3.
HIPOTESIS: ABCD es un trapecio con AB CD . Las diagonales
se cortan en O.
TESIS: OC OA
OD OB
4.
HIPÓTESIS: ABC es isósceles con CA CB
;EF CB ED AC
TESIS: AD EF ED BF
5.
HIPOTESIS: A – D – B; CD es bisectriz de ACB
2 m ACB m A
; ;AC b AB c BC a
TESIS: 2c a ab
Proporciones y Semejanza 22
6.
HIPÓTESIS: A CBD
TESIS: AB AD
CB DB
7.
HIPÓTESIS: ABC HEF
AD y HL son medianas
TESIS: AD BC
HL FE
8.
Si QR MN completar:
) b) c)
) e) f)
PM PQ QMa
PQ PM PM
PR PQ PNd
RN PR PM
9. Demostrar que el triangulo cuyos vértices son los puntos medios de los lados de un
triángulo dado es semejante al triangulo dado. 10. Las longitudes de los lados de un triangulo son 15, 20, y 28. ¿Cuáles son las longitudes
de los segmentos en que la bisectriz del ángulo mayor divide al lado opuesto?. Contestar la misma pregunta para el caso del ángulo menor.
11. Demostrar que las bisectrices de dos ángulos correspondientes cualesquiera de
triángulos semejantes están en la misma razón que los lados correspondientes.
12. Se da un paralelogramo ABCD. Una recta que pasa por B corta a AC en E, a DC en G y
a la prolongación de AD en F. Demostrar: 1) AEF CEB 2) EB es media proporcional
entre EG y EF . 13. Se da un triangulo rectángulo ABC con CD como altura a la hipotenusa AB. Demostrar
que: AC2 – BC2 = AD2 – BD2
Proporciones y Semejanza 23
14. Para cuales conjuntos de longitudes será ED AC
15.
HIPÓTESIS: ABC es rectángulo en C
EFHD es un cuadrado TESIS: EDA CHD FBH
16.
HIPÓTESIS: y AE BD son alturas
TESIS: 1) AEC BDC
2) ACB ECD
3) AC DC BC CE
17.
HIPÓTESIS: ; ; ;DF AB CB AB CE DF AC CD
TESIS: 1) DEC ABC
2) AB DC
DEAC
18.
HIPÓTESIS: AB es bisectriz de CAF
DE CF ; C – B – F
TESIS: CB DE
AC AE
Proporciones y Semejanza 24
19.
HIPÓTESIS:
rectangulo en A
bisectriz de CAB
;
ABC
AD
EB AD
AC b AB c
TESIS:
2
2
BE c
b cAD
b c
20.
HIPÓTESIS: ABC rectángulo en A
AF es bisectriz
KB AF
TESIS: 2b c
AFb c
21.
HIPOTESIS: ABCD es un paralelogramo
;MF AD ME AB ; A – M – C
TESIS: ME AD
MF AB
AYUDA: Trazar y ML AB HM AD
22.
HIPOTESIS: ADEF es un cuadrado TESIS: 29x a
CAB es rectángulo 4 ; 3 ;AB a AC a CE x
F es punto medio de AB
23.
HIPOTESIS: ABCD es un trapecio con AD = DC = a;
m( A) = 60° ; ; 3
:
DN NC AM MB AB a
NM y CB x
TESIS: 3;x a y a
Proporciones y Semejanza 25
24.
HIPOTESIS:
; ;
y son medianas perpendiculares.
BC a AC b BA c
BE AD
TESIS:
2 22
5
a bc
25.
26.
a) Si m = 5; h = 15; hallar el valor de a, b, c, n
b) Si 4 3, 4b m ; hallar el valor de a, c, h, n.
c) Si 6 2, 4c m ; hallar el valor de a, b, h, n.
d) Si 3 10, 13b n ; hallar el valor de a, c, h, m.
e) Si b = n = 8; hallar el valor de a, c, h, m.
27.
DATO: CAD CBA
HALLAR el valor de x.
28.
Proporciones y Semejanza 26
29.
AC es bisectriz de DAB .
24; 25; 20; 16; ?AD AB AE BE DC x
30. Se da un triangulo ABC, se traza la mediana CD . CDB es agudo. Si AC = 7, AB = 8,
CD = 5.15, HALLAR el valor de BC. 31.
32.
33. En cada una de las figuras, hallar los triángulos semejantes:
CDB BDA es un diametro
es tangente en A
AD
BA
Proporciones y Semejanza 27
34.
HIPÓTESIS: AB es un diámetro A – O – B – D
DE DA TESIS: ADE ACB
35.
36. Desde un punto P exterior a una circunferencia se trazan una tangente PT y una secante
que corta a la circunferencia en los puntos R y S. Demostrar que 2
PT PS PR
37. Sea ABC un triangulo isósceles con BA BC y D un punto de AC tal que 3AC AD . Se
traza por D la perpendicular a AC que corta a al lado AB en E y a la prolongación de CB
en F. Demostrar que DE EF 38. ABC es un triangulo inscrito en una circunferencia, la bisectriz del ángulo C corta al lado
AB en D y su prolongación corta a la circunferencia en P. Demostrar que 2CA CB AD DB CD
39.
ABCD es un rectángulo. Se trazan las bisectrices de los cuatro ángulos del rectángulo. 1) Demostrar que EFGH es un cuadrado
2) Si 7 2AB cm y 3 2BC cm . Hallar el perímetro del cuadrado EFGH
Proporciones y Semejanza 28
SOLUCION DEL 38: Colocar las razones.
1. ACD PCB 2. A P
3. ADP PBC
4. 2
CA CDCA CB CD CP
CP CB
CA CB CD CD DP CA CB CD CD DP
5. CD DP AD DB
6. 2CA CB CD AD DB
40. Las bases mayor y menor de un trapecio miden 20 y 12 cm. respectivamente. Por un
punto de uno de los lados no paralelos se traza un segmento paralelo a las bases. El
segmento divide a los lados en la razón 2
3. Calcular la longitud del segmento.
Se traza AC que corta a EF en R. 2
3
DE CF
EA FBde hipótesis
12 12 12 2
3
AD ER AD EA ER DEER DC ADC AER
ER EA ER EA ER EA
Resolviendo12 2
3
ER
ER, se tiene que
36
5ER
20 20 20 2
3
BC RF BC FB RF CFRF AB ABC RFC
RF FB RF FB RF FB
Resolviendo20 2
3
RF
RF, se tiene que 12RF
De donde se tiene que 36 96
125 5
EF
41. Sea ABCD un rectángulo tal que AB = 2 y BC = 5. Sea P un punto interior al rectángulo de modo que CPD = 90° y CP = DP. Hallar la longitud de PA.
42. Sea ABCD un rectángulo tal que AB = 2 cm y BC = 1 cm. Sea M el punto medio de CD . Hallar la distancia de M a la recta AC
43. Se da un triangulo ABC inscrito en una circunferencia. Se traza la bisectriz CD
que corta
a AB en D y a la circunferencia en E. Demostrar que el producto de los lados que forman
Proporciones y Semejanza 29
el ángulo C es igual al cuadrado de la bisectriz mas el producto de los segmentos
determinados por ella sobre el lado AB . AYUDA. Demuestre primero que: ADC EBC
y después que CDA BDE . Tener en cuenta que CE = CD + DE.
DETERMINAR SI LAS SIGUIENTES PROPOSICIONES SON VERDADERAS O FALSAS 1. Toda Proporción tiene 4 términos diferentes. ( ) 2. Si dos triángulos tienen dos lados correspondientes congruentes, entonces sus ángulos
correspondientes opuestos son congruentes. ( ) 3. Si dos triángulos tienen sus ángulos correspondientes congruentes, entonces sus lados
correspondientes son congruentes. ( ) 4. Si dos triángulos tienen sus lados correspondientes congruentes, entonces sus ángulos
correspondientes son congruentes. ( ) 5. Dos triángulos isósceles son semejantes si tienen un ángulo respectivamente congruente. 6. La altura correspondiente a la hipotenusa de un triangulo es media proporcional entre los
segmentos que determina sobre la hipotenusa. ( ) 7. Cada cateto es media proporcional entre la hipotenusa y su proyección sobre ella. ( ) 8. Si una recta divide proporcionalmente a dos de los lados de un triangulo, es paralela al
tercer lado. ( ) 9. Dos polígonos que tienen sus ángulos respectivamente congruentes son semejantes. 10. Dos triángulos rectángulos isósceles son semejantes. ( ) 11. Si una recta divide proporcionalmente a dos de los lados de un triangulo, mide la mitad
del tercer lado. ( ) 12. Las alturas correspondientes en dos triángulos semejantes son proporcionales a los lados
correspondientes. ( ) 13. Triángulos congruentes son semejantes. ( ) 14. Dos triángulos rectángulos con un ángulo agudo congruente, son semejantes. 15. La semejanza es una relación de equivalencia. ( ) COMPLETAR:
1. Si d
aentoncesdcba ,,
2. La media proporcional entre 9 y 16 es: 3. Una cuarta proporcionalidad entre 5, 3, 2 es:
4. xentocesx
x,,
3
4
4
3
5. ,1
53
2
83
x
x
x
xentonces el valor de x es:
6. Dado el triangulo rectángulo MNP con N recto y NT la altura sobre NP , entonces NP
es la media proporcional entre _____________ y MP. 7. La igualdad de dos razones se llama ____________________ 8. El perímetro de un rombo que tiene las diagonales de 15 cm. y 20 cm. es
________________ cm. 9. El cuadrado de uno de los catetos de un triangulo rectángulo es igual al cuadrado de la
hipotenusa __________ el cuadrado del otro cateto. 10. Una recta paralela a no de los lados de un triangulo lo divide en dos triángulos
_______________ 11. La razón de los cuadrados de los catetos es igual a la razón de sus
______________________ sobre la hipotenusa.
Proporciones y Semejanza 30
12. En un triangulo rectángulo la altura trazada sobre la hipotenusa, divide al triangulo en dos triángulos semejantes entre si y semejante al ___________________________________________
13. La altura trazada sobre la hipotenusa es _______________ proporcional entre los __________________ que determina sobre ella.
14. Cada cateto es _____________________ proporcional entre la _____________________ y su ____________________________ sobre ella.
15. En cualquier triangulo, el producto de un lado por su _____________________ correspondiente, es igual al producto de otro lado por_____________________ correspondiente.
16. Los triángulos que siempre son semejantes son los ________________________.
Ejercicios tomados de los siguientes textos: Geometría Euclidiana de Nelson Londoño Geometría Euclidiana de Hemmerling Curso de Geometría. Reunión de profesores Geometría de Clemens y otros, de la serie Awli Geometría de Edwin E. Moise
Recopilados por: José Manuel Montoya Misas.