PROYECCIONES ESTEREOGRÁFICAS

ELENA ROIBÁS MILLÁN - 04256

MARCOS ANTONIO RODRÍGUEZ JIMÉNEZ - 04249

Métodos Matemáticos IMétodos Matemáticos IBartolo Luque Serrano

INTRODUCCIÓN¿QUÉ SON LAS PROYECCIONES

ESTEREOGRÁFICAS?

Son un estilo de representación con mucha importancia en las cartas de navegación aeronáuticas debido a una serie de propiedades que la hacen especialmente útil respecto a otras.

Básicamente es un sistema ordenado que traslada desde la superficie curva de la Tierra la red de meridianos y paralelos sobre una superficie plana

Una buena proyección debe tener dos características:

• CONSERVAR ÁNGULOS y • CONSERVAR ÁREAS

Desgraciadamente eso no es posible, sería como hallar la cuadratura del círculo, por lo que hay que buscar soluciones intermedias.

(Cuando una proyección conserva los ángulos de los contornos se dice que es

ortomórfica o conforme, pero estas proyecciones no conservan las áreas)

Entran en juego aquí los diferentes métodos de representación cartográficos

De entre las representaciones cartográficas…

PROYECCION AZIMUTAL

Proyecta una porción de la Tierra sobre un disco plano, tangente al globo en un punto seleccionado, obteniéndose la visión que se lograría ya sea desde el centro de la Tierra o desde un punto del espacio exterior.

DESDE EL CENTRO DE LA TIERRA : Proyección Gnómica

DESDE UN PUNTO DEL ESPACIO EXTERIORProyección Ortográfica

De esta forma, la proyección estereográfica sería un caso especial:El foco no se sitúa en el centro del globo ni es punto externo a él, se trata de un foco situado en la superficie del globo, concretamente en las antípodas del punto de contacto del globo con el plano de proyección .

Tanto los meridianos como los paralelos son círculos. La deformación aumenta simétricamente hacia el exterior a partir del punto central.

Observamos aquí un detalle de las diferentes representaciones cartográficas

Puede realizarse en forma polar, ecuatorial y oblicua. La realización gráfica en su forma polar es muy fácil:

• El círculo meridiano se traza a escala con una línea tangente al polo

• Los ángulos se proyectan sobre la línea tangente a partir del lado opuesto al diámetro polar.

• Donde estas líneas cortan la tangente estarán los radios de cada uno de los paralelos.

Los meridianos son líneas rectas que parten irradiando del centro

los paralelos constituyen los arcos de un círculo

Es una proyección

muy utilizada en las cartas

de navegación.

De ésta deriva la

proyección UPS

Por otro lado:

La proyección ecuatorial tiene por centro del mapa la intersección entre el ecuador y un meridiano.

La proyección oblicua representa un hemisferio como si se viera desde gran distancia. Los paralelos son elipses que mantienen su paralelismo, y los meridianos coinciden en los polos. La deformación en la periferia, aunque importante, no se nota a primera vista.

Proyección oblícua

Las proyecciones estereográficas tienen la ventaja de se conformes, es decir, que conservan los ángulos.Veamos como puede demostrarse de una forma muy sencilla.Suponemos que PT = P'T, entonces los ángulos UTP y UTP' son iguales. Se obtiene que los triángulos UTP y UTP' son iguales y por lo tanto los ángulos rojos son iguales. De manera similar se muestra que los dos ángulos VPT y VP'T son iguales. El ángulo UPV es la suma de los dos ángulos UPT y VPT (o la diferencia dependiendo de la posición de U y V ) y similarmente el ángulo UP'V es la suma de los dos ángulos UP'T y VP'T (o la diferencia). Por lo tanto los dos ángulos UPV y UP'V son iguales. Esto muestra que es suficiente con demostrar que PT=P’T para acabar con la demostración.

De los planos tangentes sólo vemos líneas: la recta PT y la recta P'S, que se intersectan en T. P y N se encuentran en la superficie de la esfera (que vemos como una circunferencia), Luego

│CP│=│CN│ Triángulo NCP isóscelesLuego los dos ángulos rojos son iguales.

Como PT y SP' son tangentes a la tierra tenemos que los ángulos CPT y CSP' son ángulos rectos (amarillos en el dibujo).

Nos fijamos en el triángulo NSP‘:Ángulos rojo + amarillo + verde = 180ºPor otro lado, el ángulo NPP' mide también 180º, podemos verlo como la suma de un ángulo rojo, uno amarillo y otro azul. Si rojo + amarillo + azul = 180ºy rojo + amarillo + verde = 180ºentonces verde = azul

Reducimos el problema en el espacio a un problema en el plano

Centro de la proyección

Proyección de P

Plano tangente

Al crear una proyección estereográfica conseguimos una representación de una esfera sobre un plano infinito de tal forma que:

• La circunferencia del ecuador cuyo eje pase por el foco (C1) se proyecta en el plano como una circunferencia C1’. Al quedar colocado el plano en las antípodas del foco, cualquier punto entre el foco y C1 se proyecta fuera de C1’ mientras que los puntos pertenecientes al hemisferio comprendido entre C1 y el plano de proyección lo hacen dentro.

C1

C1’

• Sea P un punto de la superficie de la esfera, para cualquier P1, P2… que pertenezca al haz FP su proyección será P1’=P2’=…=P’, si bien esto no tiene más que interés teórico puesto que al representar mapas cartográficos no es necesario más que conocer la proyección de la superficie del globo. Al ser los Pi’ cortes con un plano de la secante a una circunferencia, si queremos proyectar F (tangente en F) la recta cortará en el infinito al plano de proyección.

F

PP’

Por último, los paralelos se proyectan como circunferencias concéntricas a C1’ siendo exteriores a esta los paralelos entre F y C1 e interiores el resto. Los meridianos quedan proyectados como radios infinitos y se cortan todos en el centro de C1’, dicho punto es la proyección del polo opuesta a F que llamaremos A’

A’

Dicho fenómenos se produce por la imposibilidad de establecer una biyección entre esfera y plano, fácilmente demostrable al ser la esfera una superficie no desarrollable.

Conseguimos la conservación de los ángulos en el plano de proyección, y por tanto también de las formas del globo a costa de una deformación en las distancias (si seguimos un mismo meridiano, cuanto más se acerquen los Pi pertenecientes a un mismo meridiano al Foco, para una misma distancia entre los Pi se obtienen mayores distancias cada vez entre los Pi’).

Por ejemplo el cono es desarrollable y la distancia mas corta entre dos puntos en diferentes paralelos y meridianos es una línea recta tanto en el cono como en su superficie de desarrollo, sin embargo en una esfera, la distancia más corta es la loxodroma y queda representada en el plano estereográfico por una línea recta que conserva los ángulos con los paralelos y meridianos (línea loxodrómica).

Por consiguiente un avión que despegue de Madrid y quiera aterrizar en Nueva York sólo tiene que seguir la línea que une los puntos de destino y despegue si utiliza cartas estereográficas, aunque las distancias medidas sobre el plano no sean acordes a las navegadas. Si se utilizaran planos que conservasen distancias, el avión acabaría navegando bajo una ruta cuyos ángulos estarían distorsionados de forma proporcional a la latitud en que se encuentre y en lugar de desembarcar en Nueva York, aterrizaríamos en Connecticut. Dichos planos se conocen como transformaciones simplécticas.

Desde un punto de vista matemático, la conversión de una esfera a un plano conforme se puede conseguir aplicando a cada punto del plano del campo complejo Z=x+i·y la función logaritmo: Ln(Z) = LN|Z| + Arg(Z)·i (unievaluado).

El desarrollo de estas proyecciones que conservan los ángulos es una característica que Gauss llamó “conformidad” . Según Gauss, la transformación de una superficie en otra se logra al encontrar una función que transforma un par de modos de determinación en otro, lo que sucede en una proyección estereográfica. Los dos modos de determinación, representados por paralelos y meridianos en la esfera, se transforman sobre el plano en círculos concéntricos y líneas radiales, respectivamente. Gauss descubrió que si una proyección es conforme, tiene que transformar una superficie en otra igualmente en todas direcciones.

Carl Friedrich Gauss (1777-1855)

Imagina una superficie de goma. Si alargamos la superficie de forma proporcional en todas direcciones,

entonces la forma de la imagen será la misma, solo que más grande. Si la alargamos en diferentes proporciones

en diferentes direcciones, la imagen resultará distorsionada. La primera representa una

transformación conforme, la última no.

Esta característica la desarrolló Gauss en 1796 como el principio de los números complejos, en su descubrimiento de la división del círculo y en su teorema fundamental del álgebra.

Según Gauss, un complejo no se definía de modo arbitrario como la solución a una ecuación algebraica. Si consideramos los reales como un caso particular del plano complejo, al buscar soluciones a la ecuación algebraica se puede dar el caso en que se obtengan soluciones que no pertenezcan a la recta real (de hecho es lo más probable). Esta ecuación expresa que la transformación de un número complejo en otro tiene lugar como rotación y contracción o expansión, precisamente la condición necesaria para que la proyección tenga conformidad.

Por esta razón Gauss consideró la representación en el dominio complejo. Cada punto sobre la superficie corresponde a un número complejo, que a su vez está determinado por los modos físicos de determinación de la superficie. El transformar una superficie en otra requiere transformar los modos de determinación de una superficie en los modos de determinación de otra, la cual a su vez transforma cada número complejo de la primera superficie en un número complejo definido de la segunda. Esto es lo que Riemann después llamaría “una función de una variable compleja”.

Superficie de Riemann

Georg Friedrich Bernhard Riemann (1826-1866)

Gottfried Wilhelm Leibniz (1646-1716)

Louis Augustin Cauchy(1789 – 1857)

En su documento, Gauss demostró por qué esta clase de proyecciones tendría conformidad. Esto puede ilustrarse de forma geométrica observando el comportamiento de un pequeño cuadrado sometido a la transformación deseada.

Gauss expresó esta condición geométrica mediante una fórmula en el lenguaje del cálculo de Leibniz.

Uno de los fraudes continuos de las matemáticas modernas, es que a ésta se le conoce como la fórmula “Cauchy–Riemann”, a pesar de que Agustín Cauchy no aportó nada a su desarrollo. Por precisión histórica, y por salud mental, ésta en realidad debería llamarse la relación Gauss–Riemann.

Carl Friedrich Gauss (1777-1855)

Como anécdota, los astrolabios (“El que busca estrellas”) inventados en Grecia por Hiparco de Nicea en el siglo II a.C. han sido fundamentales hasta el siglo XVIII. Su funcionamiento se puede simplificar en un disco giratorio y otro fijo. En el disco fijo se puede leer la hora y la parte del mundo en la que se encuentra el aparato. El disco giratorio tiene representada estereográficamente una esfera celeste.

En el siglo XVIII el astrolabio fue sustituido por el sextante. El sextante, si bien es más preciso, no emplea representaciones del globo ni de la esfera celeste como el astrolabio, en su lugar mide el ángulo entre un punto del horizonte y cualquier astro.

Ver animación del funcionamiento en: http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/f/f7/Using_the_sextant_edit1.gif

http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/f/f7/Using_the_sextant_edit1.gif