CONTROL DIGITAL

PROYECTO FINAL

PRESENTADO POR

AGUSTIN FRANCISCO MONTAÑO. CODIGO: C.C 16.510.542

TUTOR

LEONARDO ANDRES PEREZ

GRUPO 299006-220

UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA (UNAD)

ESCUELA DE CIENCIAS BASICAS, TECNOLOGIA E INGENIERIA

INGENIERIA ELECTRONICA

CEAD – PALMIRA

FECHA DE PRESENTACION

MAYO DEL 2015

INTRODUCCION

En este proyecto final se diseñara un control PID para controlar unas plantas o sistemas a las cuales se les averiguara error en estado estacionario, tiempo de establecimiento, sobreimpulso, diagrama de bode margen de fase, todo esto gracias a cálculos analíticos mediante funciones de transferencia, transformada Z ,las cuales se comprobaran con el software Matlab y se simularan por medio de este.

Cada uno de los integrantes del grupo de trabajo debe ingresar permanentemente y realizar aportes en este espacio (Foro: Aportes al Proyecto Final) durante el período establecido en la agenda del curso para el desarrollo objetivo de la actividad.

Actividad Teórica: Ejercicios que deberán ser desarrollados de forma analítica por cada uno de los estudiantes del grupo colaborativo. Cada estudiante debe realizar al menos un aporte significativo por cada ejercicio propuesto en el tema denominado Aportes al proyecto final.

Para el desarrollo de la primera actividad se propone de la figura No. 8 del anexo de gráficos.

Figura No. 8

(Proyecto Final Actividad Teórica)

Ejercicio 1: Suponga que la función de transferencia de la planta es:

GP ( s )= 10( s+1 )(s+2)

a) Calcule la constante de error de posición K P, el error en estado estacionario ante una entrada escalón unitario y el tiempo de establecimiento para la función de transferencia de la planta discretizada sin controlador en lazo cerrado.

A tener en cuenta:

Ecuacion de error aplicado a una función escalon

Discretizamos función de transferencia G(s) a G ( z )asi:

G(z )=(1−z−1) z {G p ( s)

s}

Ahora reemplazamos:

G(z )=(1−z−1) z {

10( s+1 ) (s+2 )

s}

Aplicamos ley de la oreja en la expresión anterior quedando asi la función:

G(z )=(1−z−1) z { 10s (s+1)(s+2)

}

Mediante la aplicación del método de fracciones parciales hallamos la transformada Z así:10

s (s+1 ) ( s+2 )= A

s+ B

s+1+ C

s+2

10s (s+1 ) ( s+2 )

=A (s+1 ) (s+2 )+Bs ( s+2 )+Cs ( s+1 )

s ( s+1 ) (s+2 )

A=5 ;B=−10 ;C=5

G ( z )=(1−z−1 ) z{5s− 10

(s+1 )+ 5

(s+2 ) }

G ( z )=(1−z−1 ) z ( z

z−1−

10 z

z−e−10 t +5 z

z−e−5 t )

Reemplazamos TS=0.1s

G ( z )= z (22.4299−10.8731 z )−10.8807( z−0.606531 )(ez−1)

A esta función de transferencia Z le aplicamos la retroalimentación o lazo cerrado o sea se le suma 1

Gw ( z )=¿

z (22.4299−10.8731 z )−10.8807( z−0.606531 )(ez−1)

1+z (22.4299−10.8731 z )−10.8807

(z−0.606531 )(ez−1)

Resolviendo la ecuación anterior

Gw ( z )=¿ {z (1.33333 z−2.75051 z )+1.3342z ( z−2.4257 )+1.25989 }

Evaluando G(z) cuando z=1 queda asi:

Gw ( z )=¿¿

Se calcula error en estado estacionario asi:

Formula

e p=1

1+k p

e p= 11+0.500452= 0.6665

Se hallan parámetros de la planta con la función de transferencia igualando con la ecuación general de segundo orden:

GP ( s )= 10( s+1 ) .(s+2) = 10

s2+3 s+2 = ωn2

s2+2 ζ ωn+ωn2

GP ( s )=ωn

2

s2+2 ζ ωn+ωn2 = 5∗1.412

s2+2 (1,06 ) . (1,41 ) s+1.412

Concluimos:ωn=1,41 ; ζ =1,06 ;

Establecimiento del 5%

t s=3

ζ ωn

= 3(1,41 ) .(1,06)

=2.0

Establecimiento del 2%

t s=4

ζ ωn

= 4(1,41 ) .(1,06)

2.67

(b) Diseñe un controlador PID digital para que el sistema en lazo cerrado tenga un sobreimpulso máximo de 20% y un tiempo de establecimiento menor de 2 segundos. Suponga que el tiempo de muestreo es T S= 0.1 seg.

Nuevamente tenemos en cuenta la función de transferencia pulso

Gw ( z )=¿ {z (1.33333 z−2.75051 z )+1.3342z ( z−2.4257 )+1.25989 }

Aplicamos el método de cancelación de polos y ceros, quedando el controlador PI asi:

G ( z )=M (z )E (Z )

=[ k iT +2 kc ] [ z+

k iT−2 kc

k iT +2kc]

2(z−1)

Tenemos en cuenta el error en estado estable ess=¿0.6665 ¿

ess=1k v

k v=1ess

= k v=1

0.6665=1.5

k v=1T

limz →1

( z−1 ) D (z ) Gw (z ) 1.5= 1

Tlimz →1

( z−1 ) [k i T+2 k c] [ z+k iT−2 k c

k iT +2kc]∗z (1.33333 z−2.75051 z )+1.3342

2(z−1)(z−1.6732)(z−0.753377) Sacando el límite con T=0.1s 1.5= 1

0.1 (-4.01803+0.853586 k i) k i=¿4.88296k i T−2kc

k i T+2 k c

=−1.6732

0.488296−2k c

0.488296+2 k c

=−1.6732

k c= -0.969484Conlosdatos hallados anteriormente se reemplazan en la formula vista anteriormente:

G ( z )=

M (z )E (Z )

=[ k iT +2 kc ] [ z+

k iT−2 kc

k iT +2kc]

2(z−1)

D ( z )=[0.488296−1.938968 ][ z+ 0.488296−1.938968

0.488296+1.938968 ]2 (z−1)

D ( z )=0.725336(z−1.6732)z−1

Ejercicio 2: Suponga que la función de transferencia de la planta es:

GP ( s )= 1s ( s+1 )

(a) Calcule la constante de error de velocidad K v , el error en estado estacionario ante una entrada escalón unitario para la función de transferencia de la planta discretizada sin controlador en lazo cerrado; y el margen de fase para la función de transferencia de la planta discretizada sin controlador en lazo abierto.

Pantallazo en Matlab transformando Funcion de transferencia a transformada Z

k v=1T

limz →1

(z−1) HG( z)

HG ( z )=(1−z−1 ) Ζ { 1s ( s+1 )

s }Aplicamos fracciones parciales

HG ( z )=(1−z−1 ) Z { 1

s2+ 1

s+1−1

s }HG ( z )=(1−z−1 )( 0.2 z

( z−1 )2+

z

z−e−0.2−z

z−1 )=0.0187308 (z+0.935525)(z−1)(z−0.818731)

Obtenemos k v

k v=1T

limz →1

(z−1)( 0.0187308 (z+0.935525)( z−1)(z−0.818731) )

k v=1T

limz →1

(z−1)( 0.0187308 (z+0.935525)( z−1)(z−0.818731) )

k v=0.04

Para hallar el error en estado estacionario ante una entrada escalón debemos hallar primero la función de transferencia en lazo cerrado y el error de posición Kp

k p=limz → 1 (

0.0187308(z+0.935525)(z−1)(z−0.818731)

1+0.0187308 (z+0.935525)

(z−1)(z−0.818731))=1

e p=1

1+k p

e p=0.5

(b) Diseñe un compensador digital en adelanto-atraso para que el sistema en lazo cerrado tenga un margen de fase de 50º y la constante de error de velocidad sea K v = 2. Suponga que el tiempo de muestreo es T s = 0.2 segundos.

Se discretiza función de transferencia de la planta:

G ( z )=(1−z−1)Z { k

s2(s+1)}G ( z )=(1−z−1)k 0.01873+0.01752 z−1 ¿ z−1 ¿

( 1−z−1 )2(1−0.81871−z−1)

G ( z )=k(0.01873 z+0.01752)(z−1)(z−0.81871)

Comprobamos con matlab el resultado obtenidoPantallazo en Matlab transformando Funcion de transferencia a transformada Z

Debemos pasar la función de trasferencia pulso a la función de transferencia G(w) mediante la transformación bilineal, por lo cual:

z= 1+0.5 Tw1−0.5 Tw

= 1+0.1 w1−0.1 w

G (w )=k0.01873

1+0.1 w1−0.1 w

+0.01752

(1+0.1 w1−0.1 w

−1)(1+0.1 w1−0.1 w

−0.81871)

G (w )=k−0.000332653 w2−0.096332 w+0.996585

w2+0.996805 w

si se tinen k v=2 Asumimos la función de transferencia para el controlador digital asi:

GD (w )= 1+τw1−αw

k v=limw → 0 ( 1+τw

1−αw )(k −0.000332653 w2−0.096332 w+0.996585w2+0.996805 w )=2

k= 20.999779

k=2

Comprobamos en matlab la respuesta en frecuencia reemplazando k

Código matlab:

n= [-0.000665306 -0.192664 1.99317];d= [1 0.996805 0];sistema= tf(n,d)margin(sistema)grid on

Hay que diseñar un controlador que adicione un ángulo de 500 sin afectar a k, entonces: 50 - 31.6 =18.4, teniendo en cuenta que se aconseja un margen de más de entre 8 y 12 grados considerando el corrimiento de la ganancia en la frecuencia de cruce, dejaremos en 280 el ángulo máximo de adelanto de fase. Para calcular el factor de atenuación:

sen∅m=1−α1+α

Se reemplaza por el ángulo en la ecuación anterior:

sen28=1−α1+α

(1+α ) sen28=1−α

α=0.361

Se busca el punto donde no está compensada su magnitud y se reemplaza w=jv en la función de transferencia G(w):

−20 log1

√0.361=−4.425

vertG ( jv)=2√1+( v

300 )2

∗√1+( v10 )

2

v √1+v2

La frecuencia ficticia es = 1.7

La frecuencia de cruce es:

vc=1

√ατ=1.7

Se halla τ=0.9790Sehalla ατ=0.3534

El compensador quedaría asi:

GD (w )= 1+τw1+ατw

=1+0.9790 w1+0.3534 w

Procedemos a tomar la función de transferencia completa y analizarla en el diagrama de bode:

GD (w ) G (w )=(−0.000332653 w2−0.096332 w+0.996585w2+0.996805 w )( 1+0.9790 w

1+0.3534 w )Se pasa La función de transferencia del compensador a términos de z por medio de la transformada bilineal donde T=0.2, quedando asi:

w=10z−1z+1

GD (z )=1+0.9790 (10

z−1z+1 )

1+0.35340 (10z−1z+1 )

=¿

GD (z )=2.3798 z−1.93869z−0.558888

ACTIVIDAD SIMULACIÓN:

Ejercicios que deberán ser desarrollados utilizando la herramienta de software MATLAB®. Cada estudiante debe realizar al menos un aporte significativo por cada ejercicio propuesto en el tema denominado Aportes al proyecto final. Para el desarrollo de la segunda actividad se utilizará el mismo esquema de control de la primera actividad.

Ejercicio 1: Con los valores del Ejercicio 1 de la Actividad Teórica, utilice MATLAB® para: (a) Dibujar la respuesta de la planta GP ( s ) en lazo cerrado sin controlador ante una entrada escalón unitario ¿Los valores de ess y t scorresponden a los encontrados en el inciso (a)?

Pantallazo simulación en Matlab ejercicio 1ª respuesta GP ( s ) ante ess y t s

Codigo en Matlab utlizado para simulación en Matlab ejercicio 1ª respuesta GP ( s ) ante ess y t s

>> Gp=zpk([],[-1,-2],10) Zero/pole/gain: 10-----------(s+1) (s+2) >> G=feedback(Gp,1) Zero/pole/gain: 10---------------(s^2 + 3s + 12) >> step(G)>> grid on>>

(b) Dibujar la respuesta del sistema con controlador en lazo cerrado ante un escalón unitario. ¿Los valores de tiempo de establecimiento y sobreimpulso corresponden a los encontrados en el inciso (b)?

Pantallazo simulación en Matlab ejercicio 1b respuesta establecimiento y sobreimpulso

Codigo Matlab utlizado para simulación ejercicio 1b respuesta establecimiento y sobreimpulso

>> Gp=zpk([],[-1 -2],10) Zero/pole/gain: 10-----------(s+1) (s+2) >> Gpz=c2d(Gp,0.1,'ZOH') Zero/pole/gain: 0.04528 (z+0.9048)---------------------(z-0.9048) (z-0.8187) Sampling time: 0.1>> G=feedback(Gpz,1) Zero/pole/gain: 0.04528 (z+0.9048)-----------------------(z^2 - 1.678z + 0.7818) Sampling time: 0.1

>> step(G)

Ejercicio 2: Con los valores del Ejercicio 2 de la Actividad Teórica, utilice MATLAB® para: (a) Dibujar el diagrama de Bode de la planta GP ( s ) ¿El margen de fase corresponde al encontrado en el inciso (a)?

Pantallazo simulación Matlab ejercicio 2a diagrama de bode planta y margen de fase

Codigo simulación Matlab ejercicio 2a diagrama de bode planta y margen de fase

>> Gp=tf(1,[1 1 0]) Transfer function: 1-------s^2 + s >> Gpz=c2d(Gp,0.1,'ZOH') Transfer function:0.004837 z + 0.004679----------------------z^2 - 1.905 z + 0.9048 Sampling time: 0.1>> Glc=feedback(Gpz,1) Transfer function:0.004837 z + 0.004679

---------------------z^2 - 1.9 z + 0.9095 Sampling time: 0.1>> margin(Glc)

(b) Dibujar el diagrama de Bode del sistema compensado. ¿El margen de fase corresponde al encontrado en el inciso (b)?

Pantallazo simulación ejercicio 2b diagrama de bode compensado y margen de fase

CONCLUSIONES

Mediante el trabajo realizado se practicaron ejercicios teóricos y practicos con funciones de transferencia, transformada Z, que nos dieron como resultados valores para la realización de diseños de sistemas de control en tiempo discreto.

Mediante el control PID se puede controlar un sistema de control digital haciendo variaciones en el error de estado estacionario.

REFERENCIAS BIBLIOGRAFICAS

http://www.ceduvirt.com/resources/Control%20Digital%20con%20Matlab.pdf

Céspedes, J. Rodríguez, O. Módulo Control Digital. Universidad Nacional Abierta Y A Distancia UNAD. Recuperado de:

http://152.186.37.83/ecbti01/mod/book/view.php?id=5383&chapterid=1520

AUTOEVALUACION

AGUSTIN FRANCISCO MONTAÑO DE LA CRUZ

Nombre del estudiante:FranciscoMontaño

Grupo colaborativo

No._23___

Valoración Baja

Entre 1 y 5

Valoración Media

Entre 6 y 8

Valoración Alta

Entre 9 y 10

Indicadores

¿Participé activamente en la actividad desde el inicio de la

actividad?

9

¿Solucioné el interrogante asignado con todos los requerimientos?

9

¿Demostré interés en el proceso? 9¿Realicé aportes pertinentes y asertivos que condujeran a la

solución del problema?

9

¿Expresé mis puntos de vista con claridad?

9

¿Apoyé mis ideas con argumentos? 9¿Realicé las actividades asignadas

con tiempo suficiente?8

Resultado final: 72