UNIVERSIDAD NACIONAL AUTNOMA

DE MXICO

FACULTAD DE INGENIERA

SISTEMAS ELECTROMECNICOS

PROYECTO: MODELADO EN VARIABLES DE

ESTADO Y SIMULACIN

INTEGRANTES:

Corona Rivera ngel de Jess

Linares Cisneros Daniel Brandon

Mata Gallosso Ramn Snchez Chvez Eric

7 de mayo de 2015

ESQUEMA DEL MODELO

Primera parte:

Modelar el sistema en variables de estado, considerando los estados y entradas

que sean necesarios.

Considerar como salidas a las posiciones de cada masa.

ECUACIONES DE EQUILIBRIO

() = 1 + 3 + 1

1 = 2 + 2

1 = 3 + 2 + 1

Ecuaciones

1 = 11

2 = 22

3 = 33

1 = 11

2 = 22

1 = 11

2 = 22

3 = 33

2 = 3 = 1

1 = 3 1

1 = 3 2

2 = 2

2 = 1 2

Variables de estado

1 = 1

2 = 2

3 = 3

4 = 3

5 = 2

6 = 1

Salidas

1 = 1

2 = 2

3 = 3

Comenzando por las entradas

1 = 1 =1

1[1 3 2] =

1

111

1

133

1

122

1 =1

11(3 1)

1

131

1

12(1) =

1

11(4 6)

1

136

1

121

=

+

(

+

)

2 = 2 =1

2[1 2] =

1

111

1

222 =

1

11(3 2)

1

22(2)

2 =1

213

1

22

1

22(2)

2 = 1

212 +

1

223

1

225

3 = 3 =1

3[() 1 1] =

1

3()

1

311

1

311

3 =1

3()

1

21(3 1)

1

31(3 2)

3 =1

3()

1

21(4 6)

1

31(3 2)

3 =1

3()

1

214 +

1

216

1

313 +

1

312

3 =1

312

1

313

1

214 +

1

216 +

1

3()

4 = 3 = 3

4 = 3

5 = 2 = 2

5 = 2

6 = 1 = 1

6 = 1

Ahora las salidas

1 = 1 = 6

2 = 2 = 5

3 = 3 = 4

[ 123456]

=

[

1

12

00001

0

1

21

1

31

010

01

21

1

31

100

1

11

0

1

31

000

0

1

22

0000

(1+3

1)

01

31

000 ]

[ 123456]

+

[ 001

3

000 ]

[

123

] = [000

000

000

001

010

100 ]

[ 123456]

+ [000]

Se decidieron tomar las variables de estado ya mostradas debido a que,

primeramente, tienen una dependencia lineal, pues si se hubieran elegido las

posiciones de los resortes no cumpliran dicha condicin, ya que se pueden obtener

por una combinacin lineal de las posiciones de las masas, pues los resortes al

estar acoplados con las masas dependern de la posicin en la que se ubican las

masas

Segunda parte:

Considere los siguientes valores para los parmetros fsicos:

m1=40 m2=20 m3=5 k1=10 k2=20 k3=5

b1=10 b2=15

Realizar un programa en Matlab que permita obtener las grficas de las trayectorias

de TODOS los estados. El programa debe permitir fcilmente definir la magnitud y

forma de las entradas as como las condiciones iniciales de los estados.

Realizar las siguientes simulaciones:

a) Considerando a la entrada F(t) como un escaln de magnitud 20 en el

tiempo cero. Todas las condiciones iniciales son nulas.

Estado X2: Velocidad de la masa 2

Estado X1: Velocidad de la masa 1

Estado X4: Posicin de la masa 1

Estado X3: Velocidad de la masa 3

Todas las masas tienen un comportamiento estable, pues llegan al final a velocidades nulas, lo cual

es correcto, pues llegar un momento en el que el sistema dejar de oscilar y quedar en reposo.

Estado X5: Posicin de la masa 2

Estado X6: Posicin de la masa 3

Como se observa, el comportamiento de la masa 1 y la 3 es muy similar, ya que tienen

curvas parecidas y estn sintiendo efectos similares de amortiguacin porque estn

conectadas a un resorte y a un amortiguador, lo que hace que disminuya ms rpidamente

su movimiento.

b) Con la misma entrada, usar las siguientes condiciones iniciales:

X1= 0, X2=0, X3=0, X4 = 4, X5 = 0 X6 = 6

Estado X1: Velocidad de la masa 1

Estado X2: Velocidad de la masa 2

Estado X3: Velocidad de la masa 3

Estado X4: Posicin de la masa 1

Como era de esperarse, las tres velocidades se asientan en cero y por las condiciones iniciales, todas

las velocidades tambin inician en 0. La masa 1 es quien tiene menores oscilaciones por sus

condiciones en que se encuentra en el sistema.

Estado X5: Posicin de la masa 2

Estado X6: Posicin de la masa 3

Todas las posiciones, a pesar de que comienzan en otras condiciones iniciales y no de cero, toman el

mismo valor que en el inciso a), pero con diferente inicio y diferente reaccin por las fuerzas, sin

embargo su posicin final es la misma.

c) Entrada cero y condiciones iniciales de uno en posiciones y cero en

velocidades.

Estado X1: Velocidad de la masa 1

Estado X2: Velocidad de la masa 2

Estado X3: Velocidad de la masa 3

Estado X4: Posicin de la masa 1

En este caso, debido a que no hay una fuerza de entrada en el sistema, ste estar sujeto solo a la

accin de los pesos de las masas, lo que hace que sean oscilaciones ms tranquilas a comparacin

de cuando se ejerce una fuerza de entrada. Al igual que en los casos anteriores, la velocidad al final

es de cero para las tres masas.

Estado X5: Posicin de la masa 2

Estado X6: Posicin de la masa 3

Con las posiciones ocurre algo interesante, al comenzar las tres del reposo y no ejercer ninguna

fuerza externa sobre ellas, al final terminan en la posicin cero, esto por la propia accin de los pesos

de las masas.

d) Mismas condiciones iniciales del inciso b) y como entrada un escaln de

magnitud 20 aplicado en el tiempo t=5 [s].

Estado X1: Velocidad de la masa 1

Estado X2: Velocidad de la masa 2

Estado X3: Velocidad de la masa 3

Estado X4: Posicin de la masa 1

En este caso, hay un tiempo de retraso en la aplicacin de la fuerza, por eso se ve en las grficas un

cambio importante en su comportamiento, pues durante los primeros segundos actan bajo la

accin de los propios pesos y en t=5 se aplica una entrada de 20, lo que hace que se produzcan

oscilaciones ms fuertes en el sistema, al igual que en las anteriores, la velocidad final es de cero

para las tres masas.

Estado X5: Posicin de la masa 2

Estado X6: Posicin de la masa 3

Al igual que ocurre con las velocidades, las posiciones sufren una perturbacin diferente a la que se

estaba llevando a cabo durante los primeros segundos, lo que hace slo son oscilaciones ms

fuertes, pero la posicin final es la misma que en los casos anteriores, slo sufre un mayor

movimiento por la entrada de 20.