SISTEMAS ELECTROMECANICOS 1. Introducción 2....

Cátedra de Teoría de Circuitos Apunte de Sistemas Electromecánicos

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SISTEMAS ELECTROMECANICOS 1. Introducción Los sistemas físicos consisten en componentes o elementos interconectados. El primer paso del análisis es obtener un modelo matemático que se forme con los modelos de cada componente. El modelo matemático es una serie de relaciones entre entradas y salidas. El modelo matemático de los componentes se obtiene de observaciones experimentales y/o la ayuda de ciertos postulados fundamentales. Una vez modelado el sistema puede resolverse la salida por técnicas analíticas o computacionales. 2. Clasificación de sistema 2.1. Una representación esquemática

Figura N° 1

r(t) = G.e(t) Puede haber varias excitaciones y respuestas simultáneas. 2.2. Sistemas continuos o discretos Son continuos si e(t) y r(t) son funciones continuas del tiempo y pueden variar en cualquier instante. Son discretos si e(t) y r(t) sólo pueden cambiar en ciertos instantes discretos 2.3. Sistemas variantes o invariantes con el tiempo Es invariante si: e(t) produce r(t)

y e(t-T) produce r(t-T)

Figura N° 2

e(t) r(t) Sistema G

e(t) r(t) e(t) r(t)

t t t t T T


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2.4. Sistemas lineales o no lineales Son lineales si las excitaciones vector [e]1 produce [r]1 y también:

[e]2 produce [r]2 y se cumple G[a1[e]1 + a2[e]2 ] = a1[r]1 + a2[r]2

y entonces puede aplicarse superposición. 2.5. Sistemas de parámetros concentrados o distribuidos Concentrados si los componentes pueden considerarse en un punto del espacio, o sea que las relaciones matemáticas que describen G no involucran ninguna variable espacial. Por ejemplo una línea de transmisión de 1.000 metros (1 km) puede considerarse concentrada si la frecuencia a la que opera es baja (a 50 Hz la longitud de onda es 6.000 km, o sea que la línea es 6.000 veces más chica). Pero a 10 MHz la longitud de onda es de 30 metros o sea que la línea es algo mayor que 30 veces la longitud de onda y hay que modelarla como distribuida. En este capítulo de la materia se considerarán los sistemas como continuos, lineales, concentrados y casi siempre invariantes. 2.6. Modelos Resulta necesario describir un sistema en términos de un modelo idealizado. Por ejemplo la resistencia eléctrica R ideal satisface la ley de Ohm, pero las resistencias reales sólo la satisface aproximadamente (si la corriente es variable en el tiempo aparecen fenómenos inductivos, además de capacitivos). El cuerpo rígido también es un modelo ideal. 3. Revisión de la representación de sistemas eléctricos 3.1. Resistencia

)(.)( tiRtv = R[Ω] La energía se disipa como calor:

Rtitp ).()( 2= 3.2. Inductancia (ver Figura N°3b)

⇒=dt

tdiLtv )(.)( )0().(1).(1)(0

++== ∫∫ idttvL

dttvL

tit

L[H=Wb/A]


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La energía almacenada será:

dtditLi

dtdWptLitW ).()(

21)( 2 ==⇒=

3.3. Capacitor (ver Figura N°3c)

dttdvCti

dtdqtiytvCtq )()()()(.)( =⇒== C[F=Coul/V]

también:

)0().(1).(1)(0 C

tvdtti

Cdtti

Ctv +== ∫∫

La energía almacenada será:

dttdvtCv

dtdWptCvtW )().()(

21)( 2 ==⇒=

θ

θ

φ

θ

Figura N° 3 : (a) R es Invariante con el tiempo, (b) L es Invariante con el tiempo, (c) C es Invariante con el tiempo


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3.4. Fuentes independientes

Figura N° 4

La fuente vf o if puede o no depender del tiempo, pero es independiente del valor de corriente o tensión 3.5. Fuentes dependientes o controladas

µ

α

Figura N° 5

La Figura N°5(a) muestra la representación de una fuente de tensión controlada por corriente, la Figura N°5(b) muestra la representación de una fuente de tensión controlada por tensión, la Figura N°5(c) muestra la representación de una fuente de corriente controlada por tensión y la Figura N°5 (d) muestra la representación de una fuente de corriente controlada por corriente. 4. Analogías entre sistemas de distinto tipo Hay varios sistemas (mecánicos, térmicos, hidráulicos, acústicos, etc. ) que pueden ser reducidos a sistemas eléctricos “análogos” por estar descriptos por iguales ecuaciones diferenciales. Desarrollado el problema eléctrico, sus resultados pueden ser trasladados en forma directa e inmediata al problema real. No debe limitarse sin embargo el interés en este tema a las analogías con la batería de formas de resolución de problemas eléctricos que estudia el Ingeniero Electricista sino comprender conceptualmente el comportamiento físico de los distintos tipos de sistemas, lo que luego facilitará enormemente la interpretación intuitiva de cómo responderán las variables eléctricas del sistema eléctrico que interactúa con el otro.


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El presente estudio se limitará a los sistemas mecánicos (de 2 y 4 terminales, de traslación y de rotación) cuyas variables dependan de una sola dimensión. Los sistemas mecánicos pueden ser: • Traslacionales • Rotacionales • Mixtos 5. Representación de sistemas mecánicos 5.1. Elementos activos Son los que suministran energía al sistema. Normalmente se los reducirá a fuentes o generadores puros o ideales, separando los elementos pasivos que contengan. Fuentes puras de:

Figura N° 6

5.2. Elementos pasivos de dos terminales de traslación Son los que disipan o almacenan energía. 5.2.1. Amortiguador:

vBtf .)( = [1]

v = velocidad relativa entre terminales. B = Constante de fricción viscosa [N.seg/m]. Resistencias al movimiento: ♦ De frotamiento ó roce: f = constante (Ej.: cojinetes al arrancar). ♦ Viscosa (se usará esta): f = B . v (Ej.: cojinetes) [2] ♦ Hidráulica: f = k . v2 (Ej.: ventiladores) ♦ Balística: f = k . vn o f = f(v). (Ej.: proyectiles).

Velocidad

Fuerza o Cupla

No se ven influidas por la carga


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Figura N° 7

Sólo se considerará la fricción viscosa en el presente capítulo:

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −=

dtdx

dtdxBtf 21.)( ; B [N/m/seg]

con f medido en la dirección x, es la fuerza externa aplicada. El amortiguador ejerce una fuerza que se opone a que exista diferente velocidad en cada uno de sus extremos. Potencia instantánea:

Bfv.Bv.f

dtdwp

22 ====

Siempre “ +” o sea que siempre consume energía, es disipativo.

dxfdtdtdxfdw ... =⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛=

y si por ejemplo f fuera constante:

∫ ∫ ====B

tfdtBfxfdww ..

22

Crece con t. 5.2.2. Resorte f = k . x [3] Ley de Hook, f es la fuerza externa aplicada.

21 xxx −= ; k [N/m]


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Figura N° 8 k = constante del resorte. x = “alargamiento”, definido así : x =(x1 – x2) - (x10- x20) = X - X0 Cuando el resorte es extendido, ejerce la fuerza f para recuperar su longitud original.

Figura N° 9

∫= dt.v.kf

dtdXvXX =⇒− 0

entonces:

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=

dtdf.

kv 1

kfkXdxXkdt

dtdXfdtvfw

22......

22

===⎟⎠⎞

⎜⎝⎛== ∫∫ ∫

y como no depende de t, almacena energía ( si x = 0 , w = 0 )


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5.2.3. Masa: Se considera un cuerpo rígido.

).( vmdtdf = , si m es constante

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=== 2

2

dtxd

dtdvm.m.af .m [4]

relaciona la fuerza externa aplicada con la aceleración que produce.

2......

2vmdtvmdtvfW =⎟⎠⎞

⎜⎝⎛== ∫ ∫ dtdv

también almacenador o acumulador de energía.

Figura N° 10

6. Circuito electromecánico

Figura N° 11

Dado el sistema de la Figura Nº11, al plantear las ecuaciones de cuerpo libre tenemos: • Según Newton: F - B . v - k . x = m . a [5] ó


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• Según principio de D’Alambert:

0...0. =−−−⇒=−∑ amxkvBFamf (Kirchoff) [6] comparando con el circuito eléctrico serie (Analogía de malla), tenemos:

FdtdvmdtvkvB =++ ∫ ...

UdtdiLdti

CiR =++ ∫ ..1. [7]

surge una analogía inmediata pero con un inconveniente: Las variables se denominan: • Transvariables o entre 2 puntos: u, x, v, etc. • Pervariables o por 1 punto: i , f , T , etc. y la analogía resultó ser cruzada o inversa: • PER f ⇔ u TRANS • TRANS v ⇔ i PER Comparando en cambio con el circuito paralelo (analogía de nodos o directa) tenemos:

FdtdvmdtvkvB =++ ∫ ...

IdtduCdtu

LRu

=++ ∫ '..'

1'

[8]

Los parámetros van primados porque no tienen el mismo valor numérico que en la analogía anterior (inversa) Resultó ser directa: • PER f ⇔ i PER • TRANS v ⇔ u TRANS


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6.1. Resumen comparativo Para construir el circuito mecánico: a) se identifican los puntos rígidos del sistema (nodos) con un nodo de referencia para

ubicar las masas y que las fuerzas de inercia estén relacionadas con él. b) se ubican los elementos pasivos entre los nodos correspondientes c) se ubican las fuentes prestando atención a su sentido (un incremento de la fuerza

debe producir un incremento de la velocidad).

Figura N° 12

Nota 1: Obsérvese que la fuerza apunta al signo + si v y F son de igual sentido. La analogía de nodos es más natural y es la que se usa en la práctica. Se seguirá con ella a partir de aquí. Las equivalencias básicas son entonces:

dtdQi =

dtdp

dt)v.m(d

dtdv.ma.mf t====

tpQ ≡∴

con pt = m . v = cantidad de movimiento de traslación

dtdu λ=

con λ = flujo concatenado = N.Φ;


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dtdxv =

λ≡∴ x

6.2. Potencias p = u . i; p = v . f 6.3. Energías

∫ ∫ ∫∫ ==== tdp.vdQ.udx.fd.iw λ (relaciones cruzadas, ver más adelante) El sistema es relajado cuando sus condiciones iniciales son nulas: x(0) = 0 v(0) = 0 es decir, cuando el sistema no tiene energía almacenada al aplicarse la excitación. 7. Elementos pasivos de dos terminales de rotación. Procediendo por analogía con el caso de traslación, se cambiará T por f y Ω por v. La validez de las ecuaciones que se obtienen puede verificarse por la aplicación de las leyes de la mecánica. 7.1. Amortiguador rotatorio T = B . Ω [9] T=cupla externa aplicada B = cte = fricción viscosa [N.m.seg]

dtθd

=Ω = velocidad angular

Ω

θ+

θ−

Figura N° 13


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dtdpT r= , con

pr = m.v.r=m.r2 .Ω = J.Ω. (si se tratara de una masa m girando a velocidad tangencial v con un radio de rotación r) pr = momento de la cantidad de movimiento de rotación = momento cinético

La potencia: B

T.BT.p2

2 =Ω=Ω=

Y la energía: ∫∫ Ω=Ω= dt..Bdt..Tw 2 si cte=Ω

t..Bw 2Ω= entonces se ve que es disipativo.

Nota: θ

=⇒=ddwT

dxdwf [10]

7.2. Resorte torsional:

θ.kT = , k [N.m] [11] Luego:

( ) ( )[ ] ( ) ∫Ω=Θ−Θ=−−−= −+−+ dtkkkT .... 000 θθθθ

dtdT.

k1

=Ω∴

con k = rigidez elástica Ej: eje rígido:

∞===0TTk

θ

( )0Θ−Θ= ddθ

⇒==⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=Ω=∴ ∫∫ k

TkdtdtdTdtTw

.22.....

22θθ Acumulador


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Θ

Ω

Ω+ Ω

Figura N° 14

7.3. Volante

γ=Ω==•

.J.Jdt

dpT r [12]

∫=Ω dt.T.J1

θθθ

θθ ddtd

ddJd

dtdJdTdtTw ........ ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ Ω

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ Ω

==Ω= ∫∫∫∫

2.Jd..Jw

2Ω=ΩΩ= ∫

ó ⇒Ω=Ω⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ Ω=Ω= ∫∫ 2

.Jdt..dtd.Jdt..Tw

2

Acumulador

Figura N° 15 La analogía con la traslación es inmediata, poniendo:

θ→x Θ→X Tf → Ω→v Jm → 7.4. Ecuaciones dinámicas

∑=θ

i2

2

Tdtd.J (Newton)


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ó

0Tdtd.J i2

2

=−θ ∑ (D’Alambert) [13]

Los circuitos equivalentes mecánico y eléctrico son iguales con el solo cambio en el mecánico de T, Ω y J. También se emplea la analogía paralelo, cuyo resumen de variables y magnitudes derivadas se expresa por las siguientes relaciones cruzadas:

λ

Ω

θ

--- - --- - ---> Potencia --------------> Energía

O Variables “Per” ó a través de un punto

Variables “Trans” ó entre dos puntos

Figura N° 16 8. RELACIONES CIRCUITALES 8.1. Impedancia:

Es la relación entre las variables derivadas Trans y Per. Admitancia es la relación

inversa. En mecánica tenemos: 8.1.1. Traslación:

fvZt =

vfYt =

8.1.2. Rotación:

TZr

Ω=

Ω=

TYr

Empleando el operador:


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dtdp =

∫∞−

=t

dt p1

La impedancia operacional para la traslación será: Amortiguador:

v.Bf = B1)p(Zt =∴ B)p(Yt =

Resorte:

∫ ==pv.kdt.v.kf

kp)p(Zt =∴

pk)p(Yt =

Masa:

v.p.mdtdv.mf ==

p.m1)p(Zt =∴ p.m)p(Yt =

para la rotación igual salvo el intercambio de m por J. En resumen:

ο vΩ

Ω

θ

Figura N° 17

m).p ó J(pkB)p(Y ++= p.C

p.L1G)p(Y ++=

m).p ó J(1

kp

B1)p(Z ++=

p.C1p.LR)p(Z ++=


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Para la traslación, si actúa la fuerza de gravedad:

Figura N° 18

Las masas definen los nodos en el circuito. Cuando f y v coinciden en su sentido, f apunta al nodo +. 9. Leyes de Kirchoff Se cumplen sin limitaciones. Dado, por ejemplo, un sistema de traslación, valen las siguientes leyes de equilibrio: • 0f

ii =∑ en todo nodo (o sea en las masas, por el principio de D’Alambert)

• 0vi

i =∑ en toda malla.

10. Variables de estado Si en un sistema con parámetros concentrados las ecuaciones diferenciales se escriben como una función matricial de la forma:

( )[ ]ttUtxftxdtd ),(),()( =⎥⎦

⎤⎢⎣⎡ , donde

[x] es un vector de n componentes [U] es un vector de m componentes que representa el conjunto de excitaciones t es el tiempo Se dice que las ecuaciones son ecuaciones de estado. El vector [x] representa el estado del sistema y sus componentes son las variables de estado. Una colección de datos puede llamarse estado de un sistema si satisface las condiciones siguientes:


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a) para cada instante t1 el estado en t1 y el conocimiento de la forma de onda de la excitación entre t1 y t permite calcular el nuevo estado en t> t1 b) el conocimiento del estado en t y de la excitación en t debe permitir calcular en forma única el valor de las variables del sistema en t Si se considera al estado como un vector, las componentes de ese vector se llaman variables de estado. Este sistema de ecuaciones diferenciales tiene varias ventajas: - se puede aplicar el método de análisis a circuitos diversos - se establece un marco teórico para el estudio de sistemas lineales y no lineales - facilita el cálculo digital - el concepto de variable de estado tiene fuertes bases físicas Las variables de estado definen el estado energético de los elementos que acumulan energía y que en consecuencia pueden tener condiciones iniciales. Por ejemplo:

• 2.

.22.

.22. 22222 θk

kTxk

kfiL

=→=→ , donde i, f, x, T, θ son variables de estado

• 2.J

2v.m

2u.C 222

c Ω→→ , donde uc, v, Ω son variables de estado

La ventaja de su empleo radica en que las ecuaciones sólo tienen derivadas de primer orden (existen numerosas rutinas de resolución) y permiten determinar las constantes de integración fácilmente a través de las condiciones iniciales. En efecto, dado que : w(0-) = w(0+), (el caso contrario sería imposible:

∞== =0tdtdwp ), o sea que w(t) debe ser continua), se cumple que:

• il(0-) = il(0+), también serán continuas fk y Tk • uc(0-) = uc(0+), también serán continuas vm y ΩJ 10.1. Ejemplo introductorio

i.p.LR.iu +=

u.L1i.

LRi.p +⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛−=

Comentario: rev 26-3-07



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Figura N° 19, conexión de circuito RL

En general para un circuito complejo tenemos:

[ ] [ ] [ ] [ ] [ ]111

..mxnxnxUBxAx +=& [16]

expresión simbólica en forma canónica, con [x] vector de estado y [U] vector de excitación. Las matrices [A] y [B] sólo dependen de los parámetros y de la topología. Su solución inmediata es: [ ] [ ] [ ]( ) [ ][ ]UBApx ...1 1−−= [17] Tiene una solución inmediata que depende del valor de [x] en el instante inicial t0 y de la forma de onda de las componentes de [U] en el intervalo. Para el ejemplo anterior es:

( )Rp.Lu

Lu.

LRp

i+

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +

=1

[ ] [ ]( ) 1Ap.1

LRp

1 −−=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +

y BL

=1

Cada una de las variables x = x(p) se halla con los métodos del análisis matemático (homogénea + particular = natural o libre + forzada):

t.pjfnf

je.Axxxx ∑+=+= Para el ejemplo dado: • Forzada:

RU

pLRui

Uupf =

+=

==0.

, con p = 0 por ser CC.

• Natural:


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0u =

0p.LR =+∴ LRp1 −= τ

−−==

tt.LR

n e.ke.ki

Si ⇒= 0)0(i RUk0 += ⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−= τ

−t

e1RUi

11. ELEMENTOS PASIVOS DE 4 TERMINALES Estos elementos también son llamados transductores : cambian unas variables en otras, de igual o distinta naturaleza. Todos ellos pueden ser representados por un transformador ideal con relación de transformación adecuada (var.entre1/var.entre2). 11.1. Palanca de traslación (ver Figura N°20)

∴= 2211 f.Lf.L 1

2

2

1

2

1

ff

LL

vv

== [18]

α

Figura N° 20

Se la puede reemplazar por un transformador ideal (sin consumo interno de energía), en el cual f2 sale por la convención adoptada para los sentidos de x, v, f



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11.2. Torno de traslación- rotación

Tf

R1

v==Ω [19]

Ω

Ω

Figura N° 21

11.3. Engranajes ideales (J=B=0) Sean 2 engranajes de Z1 y Z2 dientes( Figura N° 22), despreciando la fricción viscosa entre ellos y considerándolos sin masa, tenemos:

α2,ω2

α1,ω1

Figura N° 22

1

2

1

2

2

12211

2

1

2

1 ;;22

ZZ

RR

RRRR

ZZ

====αα

ααππ

2

1

1

2

2

12211 ;

ZZ

TT

TT ===αα

αα

Transformador análogo Se puede modelizar el engranaje ideal con el siguiente circuito equivalente (transformador ideal, mallas o nodos):


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Ω1 Ω2

T1 T2

Z2 : Z1 Z2 : Z1

Ω1 Ω2

Ω2

T2

T1

Figura N° 23

11.4. Engranaje no ideal

´1

112

12

11 Tdt

dB

dtd

JT ++=αα

22

222

2

2´2 T

dtd

Bdt

dJT ++=

αα

2

1

1

2´2

´1

ZZ

TT

==αα

de manera que, los circuitos análogos mecánico y eléctrico quedan:

T1

T´1

Ω1

ΩL

T´2

Ω2 TL

i´1

i1

e1

i´2

e2

vL

iL

Figura N° 24


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11.5. Transductor de traslación:

).(___BdLidf ∧= (Ley de Ampere, Figura N°25a)

BLif ..=

)(___BvdLde ∧= • (Ley de Faraday, Figura N°25b)

( ) vLB

dxxLBde ....

==

ve

ifLB ==∴ . (Figura N°25c) [20]

Hay intercambio de energía eléctrica y mecánica pues f.v = e.i Ej.: “Pick up” de los viejos fonógrafos (“tocadiscos”).

Figura N° 25

11.6. Transductor de rotación

iLBf ..= NDiLBT .2.2

...= con N igual a Nº de espiras, 2 lados (Figura N°26a)

NDLBNvLBe .2.2

....2... Ω== Ω

==∴e

iTDLBN ... (Figura N°26b) [21]

También hay transferencia de energía mecánica y eléctrica. Ej.: Instrumentos de bobina móvil.


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Figura N° 26

11.7. Caso particular: Máquina de rotación de corriente continua

Figura N° 27

Ω= ..φKe iKT ..φ=

iTeK =

Ω=∴ φ [22]


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12. Problemas resueltos 12.1. Problema N°1 Plantear las ecuaciones que representan el sistema mecánico de la Figura N° 28 (a).

Figura N° 28

m1.g f(t)

v1

m2.gm1 m2

Figura N° 29

Primeramente se establece el circuito electromecánico según la Figura N° 29. Luego si se aplica el método de nodos se tiene:

gmtfvpkv

pkpm 12

111

1112 )(.B.BB

:1 nodo

+=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+−⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+++

gmvpk

pkpmv

pk

221

12

211

1 .B.B

:2 nodo

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛++++⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+−

Si se tuviera una fuente de velocidad se la debe convertir a fuente de fuerza para aplicar el método de nodos.


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Estas ecuaciones son íntegro - diferenciales (pues aparecen p y 1/p). 12.2. Problema N°2 Establecer el circuito electromecánico del fonocaptor de tocadiscos (“pick up”) representado en la Figura N° 30.

Figura N° 30(a)

Detalle:

Figura N° 31 (b)

La púa se mueve por el disco y constituye una fuente de velocidad v(t). A través de k2 mueve la bobina respecto al imán permanente. Aparece una f.e.m. y circula una corriente

Pua

v3

B3

v


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i. Esta corriente reacciona con B dando una fuerza f en sentido contrario al movimiento. Es un transductor de traslación; por ello el “transformador” en el modelo circuital. Los elementos elásticos y de amortiguación se han dibujado según el método de los nodos (estos elementos pasivos son lineales y se puede aplicar superposición si hace falta). Las masas tienen cada una, una velocidad v, ellas serán los nodos del sistema (v1, v2. v3 y 0, el último de “referencia”). Las fuentes de fuerza son: m1g: Peso de la púa. Esta fuerza impide que la púa se separe del surco. Va aplicada entre v1 y 0. m3g: Peso del imán, consecuencia de su montaje no rígido. Va aplicado entre v3 y 0. Con estos elementos ya es posible construir el circuito electromecánico como se muestra en la Figura N° 32. El signo de v es arbitrario (es una “CA”); luego debe entrar por el signo “+” de v.

Figura N° 32

Ahora ya se pueden plantear las ecuaciones para resolver este circuito. Las velocidades de los nodos respecto del de referencia equivalen a las tensiones de nodos. En cada nodo la sumatoria de las fuerzas debe ser cero (1º ley de Kirchoff). Habrá tantas ecuaciones de nodos como nodos independientes, es decir la cantidad de nodos sin contar el nodo de referencia, en general sería (N-1), donde N es el número total de nodos del circuito. En nuestro caso particular N=4, entonces habrá tres ecuaciones de nodos.

v2


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12.3. Problema N°3 Un motor eléctrico mueve una carga mecánica según muestra el esquema de la Figura N° 33, se pide: a). Hallar el circuito electromecánico. b). Hallar el circuito eléctrico equivalente. c). La cupla que demanda la carga mecánica si se elimina el eje de transmisión y si se aplica:

1) TM=cte=Tn, con Tn cupla nominal del motor partiendo del reposo. 2) TM=según la Figura N° 34.

d). Potencia absorbida por el motor una vez establecida la velocidad. Datos: Motor: 100 HP, 3x380 V, 50Hz, η=0,9, cosϕ=0,95, n=1450 rpm

JM=30kg.m2, BM=0 Eje de transmisión: KE=1000 Nm/rad, BE=0,08 Ws2, JE=0 Carga mecánica: Jc=25 kg.m2, Bc=1,0 Ws2

Figura N° 33

eje de transmisión


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Figura N° 34

SOLUCION: a)

Primero se adoptan los sentidos de cuplas y velocidades: Figura N° 35. Resulta entonces el circuito de la Figura N° 35.

Figura N° 35

Figura N° 36 b) Quedando como se esquematiza en la Figura N° 37:

TM/Tn

Tc


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Figura N° 37

siendo:

30JC MM ==

2508,02

B2R

EE ===

3101000

11 −===E

E kL

111

B1RC

C ===

25JC CC == Todo en unidades MKS. c)

Para resolver este punto debe hallarse ic, por ejemplo según el método de mallas. Este conduce a un sistema de ecuaciones diferenciales. Pero con las condiciones impuestas, el problema se simplifica considerablemente si se aplican estas simplificaciones: Quedando la Figura N°39.

Figura N° 38

Figura N° 39

C1)


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cteIti ==)(

39)N (Figura °+=+=dtduC

RuiiIC

CR .

homogénea:

τ

ττ

τ

t

k.eu t-ln(k)-n(u)

.con y ,0.

−=⇒=∴−=⇒

⇒==+

∫∫ ldtudu

RCCR

udtdu

CC

particular: se ensaya con u=U=cte:

IRCIU

C . U =∴=τ

solución completa o general:

τt

k.e−

+= Uu condiciones de borde

-Uk 1.0)0( =⇒+== kUu ∴

)e1.(utτ

−−= U

ahora se puede calcular ic:

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+==+−=+=

−−−τττ

τ

ttt

e1...e.)e1(..1

M

C

CC

CC

CC C

CRUUC

RU

dtduCu

Ri

o sea

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+Ω=

−τt

e1..M

CnCC J

JBT

reemplazando valores:


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Figura N° 40

Nmsrad

HPWHPPT

T

sradnf

nM

C

mecn

491/152

/746.10055s25)1.(302530C

31) (figura e30251.152.1

152601450..2

60..2..2

55t

≅=Ω

=

=+=⇒+=

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+=

≅===Ω

−

τ

πππ

C2) La curva mostrada en la Figura N° 40 corresponde aproximadamente a la curva cupla - velocidad de un motor asincrónico real. La solución es análoga a la anterior, pero teniendo en cuenta los límites de validez de las Ω. La cupla motora final es TM=Bc . Ωn=152 N.m . d)

Como )0dtdv o( 0

dtdu

== cuando se estabiliza la velocidad, la ecuación diferencial

queda:

kWPPkWB

Ruu

RuuiP

RuiI

MabsorbidaC

CCnMM

CR

7,259,01,231.231.152.

..

22

2

===∴==Ω⇒

===⇒==

η

13. Problemas propuestos 1) Un motor eléctrico acciona un peso y contrapeso según el esquema de la Figura N°

41, se pide: 2) 1. Determinar los esquemas mecánico y eléctrico según la analogía directa o de nodos. 2. Calcular la cupla y la potencia necesarias en el eje del motor en régimen permanente. Datos:

Tacel

Tn=TM


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2

M m.kg2J = rpmnn 1000=

dientes 10Z1 = dientes 200Z1 =

2M W.s1,0B =

2A W.s50B =

m2,0r = kg500m1 = kgm 3002 =

Figura N° 41

3) Un motor de combustión interna tiene su pistón desplazándose según x=l/2.sen(ΩE.t),

y mueve una carga de momento de inercia JC, imponiendo una velocidad angular ΩE=cte. El esquema del dispositivo se muestra en la Figura N° 42.


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Figura N° 42

Determinar: a) Esquema electromecánico equivalente según la analogía directa. Poner en evidencia

que el mecanismo biela - manivela obliga a colocar un transformador de relación de transformación variable con el tiempo a=a(t), y que ello, a su vez, conduce a ecuaciones diferenciales de coeficientes variables.

b) La velocidad de régimen permanente del volante cuando nE=1000rpm si:

1) ∞=Ek 2) radNmkE /103=

14. BIBLIOGRAFIA 1) “Conversión de la Energía Electromecánica” de V. Gourishankar (P18072). 2) “Teoría de Sistemas y Circuitos” de Gerez Murray Lasso. 3) “Manual de uso del programa utilitario PSPICE”.


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15. Tabla de Contenidos SISTEMAS ELECTROMECANICOS ...........................................................................................................................1

1. INTRODUCCIÓN...................................................................................................................................................1

2. CLASIFICACIÓN DE SISTEMA .........................................................................................................................1

2.1. UNA REPRESENTACIÓN ESQUEMÁTICA ..................................................................................................................1 2.2. SISTEMAS CONTINUOS O DISCRETOS ......................................................................................................................1 2.3. SISTEMAS VARIANTES O INVARIANTES CON EL TIEMPO..........................................................................................1 2.4. SISTEMAS LINEALES O NO LINEALES ......................................................................................................................2 2.5. SISTEMAS DE PARÁMETROS CONCENTRADOS O DISTRIBUIDOS...............................................................................2 2.6. MODELOS ..............................................................................................................................................................2

3. REVISIÓN DE LA REPRESENTACIÓN DE SISTEMAS ELÉCTRICOS......................................................2

3.1. RESISTENCIA .........................................................................................................................................................2 3.2. INDUCTANCIA........................................................................................................................................................2 3.3. CAPACITOR............................................................................................................................................................3 3.4. FUENTES INDEPENDIENTES ....................................................................................................................................4 3.5. FUENTES DEPENDIENTES O CONTROLADAS ............................................................................................................4

4. ANALOGÍAS ENTRE SISTEMAS DE DISTINTO TIPO .................................................................................4

5. REPRESENTACIÓN DE SISTEMAS MECÁNICOS.........................................................................................5

5.1. ELEMENTOS ACTIVOS ............................................................................................................................................5 5.2. ELEMENTOS PASIVOS DE DOS TERMINALES DE TRASLACIÓN..................................................................................5

5.2.1. Amortiguador:.............................................................................................................................................5 Resistencias al movimiento: ......................................................................................................................................5 5.2.2. Resorte ........................................................................................................................................................6 5.2.3. Masa: ..........................................................................................................................................................8

6. CIRCUITO ELECTROMECÁNICO....................................................................................................................8

6.1. RESUMEN COMPARATIVO ....................................................................................................................................10 6.2. POTENCIAS ..........................................................................................................................................................11 6.3. ENERGÍAS ............................................................................................................................................................11

7. ELEMENTOS PASIVOS DE DOS TERMINALES DE ROTACIÓN.............................................................11

7.1. AMORTIGUADOR ROTATORIO ..............................................................................................................................11 7.2. RESORTE TORSIONAL:..........................................................................................................................................12 7.3. VOLANTE.............................................................................................................................................................13 7.4. ECUACIONES DINÁMICAS.....................................................................................................................................13

8. RELACIONES CIRCUITALES ..........................................................................................................................14

8.1. IMPEDANCIA:.......................................................................................................................................................14 8.1.1. Traslación: ................................................................................................................................................14 8.1.2. Rotación: ...................................................................................................................................................14

9. LEYES DE KIRCHOFF.......................................................................................................................................16

10. VARIABLES DE ESTADO..................................................................................................................................16

10.1. EJEMPLO INTRODUCTORIO ..............................................................................................................................17

11. ELEMENTOS PASIVOS DE 4 TERMINALES ................................................................................................19

11.1. PALANCA DE TRASLACIÓN ..............................................................................................................................19 11.2. TORNO DE TRASLACIÓN- ROTACIÓN ...............................................................................................................20 11.3. ENGRANAJES IDEALES (J=B=0) ......................................................................................................................20 TRANSFORMADOR ANÁLOGO ........................................................................................................................................20 11.4. ENGRANAJE NO IDEAL ....................................................................................................................................21 11.5. TRANSDUCTOR DE TRASLACIÓN: ....................................................................................................................22


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11.6. TRANSDUCTOR DE ROTACIÓN .........................................................................................................................22 11.7. CASO PARTICULAR: MÁQUINA DE ROTACIÓN DE CORRIENTE CONTINUA ........................................................23

12. PROBLEMAS RESUELTOS...............................................................................................................................24

12.1. PROBLEMA N°1 ..............................................................................................................................................24 12.2. PROBLEMA N°2 ..............................................................................................................................................25 12.3. PROBLEMA N°3 ..............................................................................................................................................27

13. PROBLEMAS PROPUESTOS ............................................................................................................................31

14. BIBLIOGRAFIA ...................................................................................................................................................33

15. TABLA DE CONTENIDOS.................................................................................................................................34

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