EFECTOS RELATIVISTAS EN PLSARES BINARIOS

Diego Hidalgo Soto M ngeles Rodrguez Ruiz

Curso 2009-2010 ndiceIntroduccin3Estrellas de neutrones y plsares...........3Primera deteccin .6

El peculiar plsar en la nebulosa del Cangrejo7Cuntos plsares hay en nuestra galaxia?........................................................8

Plsar Binario y Relatividad General.9

Avance del periastro aplicado a plsares binarios11

Campos gravitacionales...........................................................15Retraso temporal de la seal del plsar.28 Introduccin

Evolucin de las estrellas

Las estrellas son esferas enormes de hidrgeno y helio, con cantidades pequeas de otros elementos, todos ellos en estado gaseoso. En su centro ocurren reacciones de fusin nuclear que generan cantidades inmensas de energa en diversas formas, entre ellas luz y calor. Las diferencias que muestran las estrellas en cuanto a luminosidad, temperatura superficial y masa hacen que no haya dos iguales.

Para explicar la formacin de una estrella, imaginemos una nube densa de polvo y gas hidrgeno a la deriva en el espacio. Esta nube molecular gigante puede sufrir perturbaciones debidas a ondas de choque inducidas por una supernova cercana, o a las irregularidades gravitatorias de la Galaxia. Entonces empieza a suceder cambios: la nube se vuelve ms densa en ciertos lugares, y estas regiones comienzan a fragmentarse y colapsarse bajo la accin de su propia gravedad. A medida que se colapsan estos fragmentos, cada uno de ellos desarrolla un ncleo caliente conocido como protoestrella. Cuanto ms se contrae la protoestrella, ms caliente se torna, hasta que su centro alcanza la temperatura suficiente para desencadenar reacciones de fusin nuclear. A partir de ese momento, la presin de la radiacin detiene el colapso y empieza la vida del astro.Las estrellas con ms de cocho masas solares lucen al principio como astros blancoazulados. Cuando estn agotando el combustible se expanden y enfran hasta que, al consumirlo por completo, el ncleo se colapsa y estalla en una explosin de supernova. Tras ella queda una estrella de neutrones o agujero negro, y un remanente gaseoso en expansin.

Estrellas de neutrones y plsares Las supernovas son explosiones tan colosales que cuesta creer que puedan dejar tras de s algo ms que gas en expansin. Pero en algunos casos sobrevive el ncleo consumido de la estrella que explot, aunque es tan masivo (1.4 veces la masa del Sol) que se colapsa en forma de estrella de neutrones. Los objetos de este tipo son extremadamente densos y compactos, ya que toda su materia se halla comprimida en un dimetro de tal vez 15 Km.

Las estrellas de neutrones son productos residuales de la explosin. La densa materia de que hablamos comienza a rotar con la explosin de la supernova, tal como lo hacen los bailarines artsticos de patinaje en el hielo cuando bajan sus brazos. En la medida que se van despejando los gases y partculas materiales remanentes de la gran explosin, va quedando atrs una estrella de neutrones de entre seis y veinte kilmetros de dimetro que puede girar hasta 30 veces por segundo, sin emitir radiaciones de radio o pulsaciones pticas.Como son astros con un gran campo magntico atrayente y pueden ser provedos de materia acumulada en sus alrededores despus de la explosin de la supernova, cuentan con los ingredientes necesarios para llegar a ser poderosos aceleradores. No todas las estrellas de neutrones tienen estas caractersticas, es decir, hay estrellas de neutrones que rotan con rapidez y emiten ondas radioelctricas. Cuando estas ondas barren la Tierra, se detectan como cclicos semejantes a los destellos de un faro marino. Este tipo de objeto se conoce como plsar.

La mayora de los astrofsicos creen que los plsares se dan solamente en estrellas de neutrones que hayan alcanzado cierto grado de condiciones precisas.

Siendo as, podemos definir un plsar como una estrella de neutrones que rota a gran velocidad con un intenso campo magntico. La radiacin que liberan estas estrellas de neutrones procede de sus polos magnticos, manifestndose como haces de ondas de radio. Debido a la inclinacin del eje magntico con respecto al eje de rotacin, los dos haces forman un cono que barre el cielo una vez por cada rotacin estelar, igual que las seales luminosas de un faro. Cada vez que uno de ellos se proyecta en direccin a la Tierra podemos registrar un pulso de radio.Esto quiere decir que slo vemos los plsares cuyos haces se dirigen hacia nosotros y que hay muchos ms que no vemos.

La rpida rotacin los hace poderosos generadores elctricos, capaces de acelerar las partculas cargadas hasta energas de mil millones de millones de Voltios. Estas partculas cargadas son, en alguna forma an desconocida, responsables por el haz de radiacin en radio, luz, rayos-X, y rayos gamma. Su energa proviene de la rotacin de la estrella, que tiene por tanto que estar bajando de velocidad. Esta disminucin de velocidad puede ser detectada como un alargamiento del perodo de los pulsos. Tpicamente, el periodo de rotacin de un pulsar disminuye en una parte por milln cada ao: el Pulsar del Cangrejo, que es el ms joven, y el ms energtico conocido, disminuye en una parte en dos mil cada ao. La regularidad de los pulsos es fenomenal: los observadores pueden ahora predecir los tiempos de llegada de los pulsos con antelacin de un ao, con una precisin mejor que un milisegundo. Cmo puede una estrella comportarse como un reloj tan preciso?. La nica posibilidad para una repeticin tan rpida y precisa, es que la estrella est rotando rpidamente, y emitiendo un haz de radiacin que barre alrededor del cielo como un faro, apuntando hacia el observador una vez por cada rotacin. El nico tipo de estrella que puede rotar suficientemente rpido sin estallar debido a su propia fuerza centrfuga, es una estrella de neutrones. Primera deteccinEl trmino plsar procede de acortar estrella pulsante en ingls: pulsating star, es decir puls(ating st)ar.El primer plsar fue descubierto en 1967 por la estudiante Jocelyn Bell y el astrnomo Antony Hewish mientras trabajaban en el Laboratorio Cavendish en la Universidad de Cambridge (Reino Unido). No estaban buscando plsares cuando en 1967 detectaron seales de radio de corta duracin y de intervalos muy regulares. Hewish, dispuesto a averiguar por qu las estrellas que emitan en radio centelleaban igual que las que lo hacan en el visible, haba descubierto en 1964 el efecto que llam centelleo interplanetario: demostr que las ondas de radio de una fuente de pequeo dimetro sufren difraccin (ligera distorsin de la luz en el borde de un objeto) cuando cruzan las nubes de polvo en el espacio interplanetario, y que las variaciones en intensidad tenan lugar cada segundo.Un radiotelescopio capta seales de procedencias muy distintas, del entorno industrial, de los automviles, de cualquier aparato elctrico. Para los radioastrnomos es, por tanto, difcil distinguir lo que es una seal autntica del exterior de lo que lo es de origen humano. Hewish y sus colaboradores saban que el objeto de donde procedan las seales era muy pequeo, incluso menor que un planeta, por la gran precisin de las pulsaciones que slo duraban varias milsimas de segundo, lo que significaba que el objeto emisor deba ser muy pequeo.

Bell y Hewish pensaron al principio que podran haber establecido contacto con una civilizacin extraterrestre de la galaxia, dada la regularidad de la emisin. Hewish describe este perodo inicial, en el que fueron conscientes de la naturaleza extraterrestre y estelar de las seales, como el ms excitante de su vida. Eran esas seales en realidad algn tipo de mensaje de otra civilizacin?. Stephen Hawking recuerda en su Historia del Tiempo que en el seminario en el que anunciaron el descubrimiento denominaron a las primeras cuatro fuentes encontradas LGM-1, LGM-2, LGM-3 y LGM-4. Las siglas LGM eran las iniciales de Little Green Men (pequeos hombres verdes). Al final, sin embargo, llegaron a la conclusin menos romntica de que estos objetos eran de hecho estrellas de neutrones en rotacin, que emitan pulsos de ondas de radio debido a una complicada interaccin entre sus campos magnticos y la materia de su alrededor. Al poco tiempo empezaron a descubrirse decenas de objetos de este tipo, con distintos periodos de pulsacin, y que se denominaron pulsares. Hoy en da esta interpretacin no solo sigue en pie sino que es plenamente aceptada entre la comunidad cientfica. Se han descubierto poco mas de mil pulsares, algunos con caractersticas nicas como PSR B1913+16. El peculiar plsar en la Nebulosa del CangrejoLa Nebulosa del Cangrejo es el residuo visible de una explosin de supernova observada en el ao 1054.

(Nebulosa del Cangrejo) Son los restos de la explosin de una de las primeras observaciones registradas de una supernova.

Dicha nebulosa an interesa hoy da a los astrnomos, adems de por su espectacular belleza, por albergar un plsar con curiosas propiedades que pueden cambiar drsticamente nuestra comprensin de la fsica de los plsares. Cerca del centro de la Nebulosa est el Plsar del Cangrejo, que es el ms energtico conocido. Gira 30 veces por segundo, y est muy fuertemente magnetizado. Por lo tanto acta como una estacin celeste de generacin de energa, generando la suficiente como para mantener radiando a toda la Nebulosa en prcticamente todo el espectro electromagntico. Su luz visible es suficientemente poderosa como para que el plsar aparezca en las fotografas de la Nebulosa, donde se ve como una estrella de magnitud cercana a 16. Las fotografas normales promedian los pulsos, pero las tcnicas estroboscpicas pueden mostrar la estrella separadamente en sus condiciones 'encendida' y 'apagada'.El plsar del cangrejo en realidad emite dos pulsos distintos; uno es llamado pulso principal, y el otro, que est a unos 160 grados del principal en la rotacin, es llamado interpulso.

Observaron pulsos individuales en periodos de tiempo muy cortos para separar sus propiedades, y encontraron que el interpulso difiere en tres formas significativas del pulso principal en ciertas frecuencias de radio: produce luz ms polarizada las longitudes de onda de la luz estn ms alineadas el interpulso dura ms, y la radiacin emitida est ms dispersa.

Es curioso que el interpulso tenga propiedades distintas, dado que se crea que provena del mismo mecanismo que el pulso principal. Esto genera gran cantidad de preguntas sobre nuestro conocimiento de la fsica de los plsares.Cuntos Pulsares Hay En Nuestra Galaxia?

Los pulsares se han encontrado principalmente en la Va Lctea, dentro de cerca de unos 500 aos-luz del plano de la Galaxia. Un escrutinio completo de los pulsares en la Galaxia es imposible, puesto que los pulsares dbiles solo pueden ser detectados si estn cercanos. Los sondeos de radio ya han cubierto casi todo el cielo, y ms de 300 pulsares han sido localizados. Sus distancias pueden medirse a partir de un retardo en los tiempos de llegada de los pulsos observados en las radio frecuencias bajas; el retardo depende de la densidad de los electrones en el gas interestelar, y de la distancia recorrida. Extrapolando a partir de esta pequea muestra de pulsares detectables, se estima que hay al menos 200.000 pulsares en toda nuestra Galaxia. Considerando aquellos pulsares cuyos haces de faro no barren en nuestra direccin, la poblacin total debera alcanzar un milln. Cada pulsar emite durante cerca de cuatro millones de aos; despus de este tiempo ha perdido tanta energa rotacional que no puede producir pulsos de radio detectables. Si conocemos la poblacin total (1.000.000), y el tiempo de vida (4.000.000 de aos), podemos deducir que un nuevo pulsar debe nacer cada cuatro aos (asumiendo que la poblacin permanece estable).

Muy recientemente se han encontrado pulsares en cmulos globulares. Se piensa que han sido formados all por la acrecin de materia en estrellas enanas blancas en sistemas binarios. Otros pulsares nacen en explosiones de supernovas. Si todos los pulsares fuesen nacidos en explosiones de supernovas, podramos predecir que debera haber una supernova en nuestra Galaxia cada cuatro aos. Estas son eventos espectaculares, y esperaramos ver ms de ellos, si uno ocurre cada cuatro aos. La ltima supernova observada directamente en nuestra Galaxia, fue la supernova de Kepler en el ao 1604, pero sabemos que ocurren otras que son menos espectaculares, o que son ocultadas de nosotros por nubes de polvo interestelares. Pulsar Binario y Relatividad General:

Muchas estrellas son miembros de sistemas binarios, en los que dos estrellas orbitan una alrededor de la otra, con perodos de algunos das o aos. Si una de estas estrellas es una estrella de neutrones, el par puede orbitar tan cercanamente que la atraccin gravitacional entre ellas es muy grande, y pueden observarse algunos efectos poco usuales. Se conocen varios sistemas binarios en los que la otra estrella es una gigante; en estos casos la estrella de neutrones puede atraer gas de las regiones exteriores de su compaera, y una corriente de gas cae con gran energa sobre la superficie de la estrella de neutrones. Estos sistemas se observan como fuentes de rayos-X. Algunas de las fuentes de rayos-X muestran variaciones peridicas al rotar la estrella de neutrones: estos son los llamados 'pulsares de rayos-X'.

Un sistema binario, conocido como PSR 1913+16, consiste de dos estrellas de neutrones, tan juntas que su perodo orbital es de slo 775 horas. No hay corrientes de gas entre estas estrellas, que interactan slo por su mutua atraccin gravitacional. La rbita de una de ellas puede ser descrita en gran detalle, debido a que es un pulsar. El perodo de este pulsar es de 59 milisegundos, y produce una muy estable serie de pulsos con un periodo de deceleracin inusualmente baja. Es, de hecho, un preciso reloj movindose muy rpidamente en un fuerte campo gravitatorio, que es la clsica situacin requerida para una comprobacin de la Teora General de la Relatividad de Einstein.

Segn la teora dinmica no-relativista, o Newtoniana, las rbitas de ambas estrellas deberan ser elipses con una orientacin fija, y el perodo orbital debera ser constante. Las mediciones de los tiempos de llegada de los pulsos han mostrados diferencias significativas con las simples rbitas Newtonianas. La ms obvia es que la rbita precesa por 42 grados al ao.Hay tambin un pequeo, pero muy importante, efecto sobre el perodo orbital, que se sabe est reducindose en 89 nanosegundos (menos de una diez-millonsima de segundo) en cada rbita.

El perodo orbital en reduccin representa una prdida de energa, la que slo puede descontarse por medio de radiacin gravitacional. An cuando la radiacin gravitacional en s misma nunca ha sido observada directamente, las observaciones del PSR 1913+16 descubierto en 1973 por Robert Hulse y Joe Taylor durante un censo sistemtico de pulsares, han provisto buena prueba de su existencia. Al poco tiempo de su descubrimiento Hulse y Taylor se dieron cuenta que se trataba del primer pulsar que se descubra en un sistema binario. Al moverse alrededor de su compaera invisible, era posible ver como variaba la frecuencia del pulso de PSR B1913+16 de acuerdo a un fenmeno fsico conocido como efecto Doppler: cuando el pulsar se mueve hacia nosotros la frecuencia de las pulsaciones que uno mide aumenta, mientras que cuando se aleja disminuye. Los relojes atmicos y dispositivos electrnicos de los radio telescopios pueden medir con exquisita precisin (ms de diez dgitos) la frecuencia de las pulsaciones, permitiendo una estimacin igualmente precisa de la velocidad con que se acercan o se alejan. Las mediciones mostraron que el periodo orbital, es decir el tiempo que tarda cada estrella en girar alrededor de su compaera (el ao) era notablemente corto, menor a ocho horas. Estas dos estrellas giran una alrededor de la otra a velocidades mayores a mil kilmetros por segundo. Hulse y Taylor se dieron cuenta rpidamente del potencial de este objeto en probar la teora general de la relatividad con una precisin sin precedente. Es apropiado que este descubrimiento, que es una confirmacin adicional de las predicciones de la Teora General de la Relatividad, fuera anunciado en 1979, que fue el centenario del nacimiento de Einstein. En 1915, cuando Albert Einstein enunci la teora general de la relatividad, exista el problema del movimiento de mercurio. Mercurio, al igual que todos los planetas, describe una elipse con el Sol en uno de sus focos. A finales del siglo XIX se encontr que esta elipse a su vez giraba alrededor del Sol a razn de diminutos 43 segundos de arco por siglo (es decir una vuelta cada tres millones de aos), movimiento que no era posible explicar dentro del marco de la mecnica de Newton. La teora de la relatividad general explica este movimiento y predice exactamente el valor observado. De hecho un problema era que durante varias dcadas pocos experimentos podan probar la teora de la relatividad general, debido a que los efectos relativistas se manifiestan con campos gravitacionales mucho ms intensos que el del Sol. Con el descubrimiento del pulsar binario PSR B1913+16 los cientficos contaron con un objeto ideal para el estudio de efectos relativistas: bsicamente un reloj (el pulsar) en un campo gravitacional intenso. Al poco tiempo fue posible medir en este objeto la precesin del perihelio (o en este casi el periastro), result ser de poco ms de cuatro grados por ao, es decir 35 mil veces mayor que en el caso de la rbita de Mercurio alrededor del Sol.

El estudio de PSR B1913+16 permiti observar un efecto relativista nunca antes medido: el decaimiento de la rbita del pulsar. Despus de seis aos de medicin se demostr que el periodo orbital de poco ms de siete horas decrece a razn de un segundo cada trece mil aos. Este pequeo efecto se debe a la emisin de ondas gravitacionales, una consecuencia de la teora de Einstein que no hemos podido medir con la tecnologa existente en la actualidad. Aunque indirectamente, el decaimiento de la rbita del pulsar binario es la nica evidencia que tenemos de la existencia de ondas gravitacionales, descubrimiento que les vali el premio Nobel a Hulse y Taylor. El pulsar binario ha dado fuerte evidencia de que la teora de la relatividad general es la mejor teora que contamos para explicar el fenmeno de la gravedad, habiendo cumplido cabalmente con todas las pruebas a las que se le ha sometido. Entre las decenas de pulsares binarios que se han descubierto a la fecha, hay dos sistemas en los que es posible que se puedan eventualmente medir efectos relativistas, PSR B1534+12 y PSR J1518+4904. Sin embargo, dada su relevancia para estos estudios, PSR B1913+16 es normalmente llamado "El" pulsar binario. Avance del periastro aplicado a plsares binarios

Uno de los efectos que predice la Relatividad General, es el avance del periastro (zona, ms alejada en una trayectoria elptica); este efecto de prediccin terica es comprobado es comprobado en el laboratorio experimental ms ideal que se conoce: los plsares binarios.En primer lugar lo que debemos hacer es hallar la ecuacin de la trayectoria en el plano ecuatorial para la mtrica de Schwarzschild: .

Esta ecuacin corresponde a la que produce una energa potencial dada por: .El potencial Newtoniano est definido segn estas ecuaciones: .Las posibles trayectorias en el espacio de Schwarzschild se muestran esquemticamente en la siguiente figura:

Para ver los efectos relativistas en la figura, hacemos un cambio de variable: y :

Como vemos est representado , y cuando los efectos relativistas se incluyen, vemos que r ya no tiene lmites y puede tomar cualquier valor, incluido el de colapso cuando r tiende a 0. El potencial toma ahora la forma:,Para radios igual al radio de Schwarzschild me queda el potencial.

Para las partculas quedan atrapadas por el potencial y caen a .

La ecuacin de la rbita se da cuando se conecta a r con . As que el movimiento en el plano ecuatorial para campos dbiles tengo: despejando: Ahora introducimos elsiguiente cambio de variable :

Sustituyendo en la ecuacin energtica de campo, obtengo una ecuacin de la rbita:,Diferencindola sta, podemos llegar a encontrar la siguiente ecuacin:

El ltimo trmino de la derecha es el correspondiente al trmino de correccin relativista. En resumen es la ecuacin de un planeta orbitando alrededor de una estrella.

Esta ecuacin tiene una solucin circular dada por:

, donde .

Con una pequea perturbacin del movimiento circular, cambiamos u por u1, siendo . Para un orden pequeo de , tenemos:

o:

Para , el equilibrio de la rbita es estable y conseguimos soluciones peridicas:

Donde , es una constante de integracin y , es la excentricidad de la rbita. Podemos elegir , y obtener:

Si llamo , tenemos:

Con esta expresin tenemos varios casos, si y despreciamos el trmino relativista, , la expresin se convierte en la ecuacin de la rbita elptica de Kepler. Mientras que si , y tenemos en cuenta el trmino relativista, , llegaramos a una ecuacin de trayectoria elptica no cerrada.

Si damos a r el mismo valor dado en el punto de partida, tiene un incremento de . Entonces el ngulo extra por rotacin viene dado por:

Si tenemos en cuenta el trmino de la Relatividad General, llegamos a:

Llegada a esta conclusin, se aplica a los objetos que podemos observar y medir con precisin, como hemos dicho al principio, lo aplicamos al caso de los plsares binarios. En el caso concreto del plsar PSR 1913+16 (estudios que le valieron en premio nobel de fsica a Hulse y Taylor en 1993), se obtuvieron las siguientes mediciones:

El avance del periastro observado para este plsar es de 4,2 por ao. Como nota llamativa, el avance que realiza su periastro en un da, es mayor que el que se produce en el planeta mercurio en un siglo.

El plsar binario ms relativista de los que conocemos hasta ahora, es el plsar PSR J0737-3039A/B, en el que el periodo de movimiento orbital dura 2,4 horas.Campos gravitacionales

Cuando dedujimos por primera vez la ecuacin de Einstein, comprobamos que stas derivaban a las ecuaciones de Newton en el lmite clsico, esto sugiere que el campo gravitatorio sea muy dbil y esttico, (sin dependencia temporal). Pero ahora supondremos una condicin menos restrictiva, en la cual el campo es an dbil pero ahora s que hay variaciones temporales.El campo gravitatorio dbil se expresa descomponiendo la mtrica, en el espacio plano de Minkowski ms un trmino perturbativo muy dbil:, .Tomaremos restricciones de modo que tome una forma diagonal . La asuncin de que h es muy pequeo, nos permite despreciar cualquier trmino superior al primer orden de modo que podemos escribir:,Podemos pensar en una versin lineal de la Relatividad General (despreciando trminos de orden superior al primero en h), como la descripcin de una teora simtrica en el tensor h, propagndose en el espacio plano. Esta teora es invariante bajo una relatividad especial con el dominio de la transformada de Lorentz dada por:,

La mtrica plana es invariante mientras la transformacin de la perturbacin sea de la forma:.Podemos pues encontrar las ecuaciones de movimiento incluyendo la perturbacin, obteniendo unas ecuaciones de Einstein de primer orden. Los smbolos de Christoffel quedarn del a siguiente forma:,

Despus de operar con los tensores obtenemos el tensor de Ricci para terminar por obtener el tensor de Einstein:.Esta linealidad del tensor de Einstein, puede ser obtenida tambin mediante la derivacin del siguiente Lagrangiano con respecto a h:,

De esta ecuacin obtendremos:

,donde G es el tensor de Einstein y T es el tensor de Energa momento.Con las ecuaciones de campo linealizadas podemos resolverlas. Llegado a este punto tenemos que resolver el problema de la invariancia, para ello debemos hace un cambio en el sistema de coordenadas espacio-temporales de tal manera que la ecuacin de Einstein se simplifica un poquito:

,Donde es el Dlambertiano. Si estuvisemos en el vaco tendramos que R=0 y llegamos a la conclusin que:

,Que es la ecuacin convencional de ondas relativista. Si hacemos un cambio de mtrica hecha por:

,Llegamos a la ecuacin:

,

De esta ecuacin y un estudio previo del lmite Newtoniano, es sencillo llegar a la mtrica del campo dbil para una fuente esfrica estacionaria como la de un planeta o una estrella.Volviendo a la ecuacin anterior de Einstein, sta predice que h00 es la ecuacin de Poisson para el lmite de un campo dbil la cual implica que:

,Donde es el potencial Newtoniano . Ahora sumimos que T00= la densidad de energa, de modo que el resto de las componentes de dicho tensor asumimos menores, de tal forma que de , deducimos: .Los otros trminos del tensor son despreciables, de modo que podemos escribir:

.La mtrica de una estrella o planeta para el lmite del campo dbil queda pues:

.

Esta mtrica del lmite del campo dbil se aplica para la radiacin de ondas gravitatorias. El procedimiento es similar al que se hace en electromagnetismo, empezamos por aplicar al caso ms sencillo, las ecuaciones linealizadas en el vaco.

Desde que el espacio plano Dlambertiano tiene la forma , la ecuacin de campo es de la forma de ecuacin de ondas para . Una solucin bien conocida de esta ecuacin son las ondas planas:

,Siendo C un tensor simtrico de constantes, y k es el tensor vector de onda. Comprobamos la solucin haciendo:

,Una solucin interesante a esta ecuacin es , la ecuacin de ondas es por tanto una solucin de las ecuaciones linealizadas si el vector de onda es nulo. Esto se traduce como ondas gravitacionales propagndose a la velocidad de la luz. La componente temporal del vector de onda est relacionada con la frecuencia de la onda si podemos escribir , entonces la condicin para que el vector de onda sea nulo lo podemos escribir como:

,Esta solucin est lejos de ser una solucin general, ya que cualquier nmero de ondas planas juntas puede ser considerado como una solucin, al poder ser descompuestas como suma lineal de soluciones.

Hay un nmero de parmetros libres para especificar la onda, diez para los coeficientes de C y tres para el vector nulo k, los cuales podemos eliminar algunos haciendo un estudio de las ecuaciones, llegando a la conclusin:

Llegamos pues a un gauge (calibrado) conocido como gauge transversal sin rastro o gauge de radiacin. El nombre le viene de que la perturbacin pasa inadvertida y que es transversal al vector de onda. Hasta ahora hemos estado trabajando con la perturbacin , que es cambio de la verdadera perturbacin , pero como es como es podemos tomar cuando trabajemos con este gauge.Una de las ventajas de este gauge es que dada una onda plana en un gauge arbitrario podemos hacer un cambio simple para convertirlo fcilmente en componentes de una traza sin rastro.Para hacerse una idea de los efectos fsicos, debidos a las ondas gravitacionales, es corriente considerar el movimiento de partculas de prueba en presencia de ondas. Esta suposicin es insuficiente para resolver las ecuaciones de una partcula libre, pero nos dar valores de las coordenadas a lo largo de la lnea de tiempo. Para obtener medidas de la coordenada independiente de los efectos ondulatorios consideraremos el movimiento relativo de partculas movindose una cerca de la otra, que se derivan de la ecuacin de las geodsicas.Consideraremos partculas cercanas con unas cuadri-velocidades descritas por un nico vector de campo , y un vector aparte , tendremos:

,Queremos calcular la parte izquierda del primer orden en . Si consideramos que nuestras partculas se mueven muy despacio una con respecto de la otra, podemos expresar la cuadri-velocidad como un vector unidad en la direccin temporal ms una correccin de orden y superior; pero sabemos que el tensor de Riemann es de primer orden, as que las correcciones de pueden ser ignoradas y escribir:

,as pues, solo tenemos que calcular o lo equivalentemente :

,Por otro lado, como hemos considerado que las partculas se mueven muy despacio, el tiempo propio , as que las ecuaciones de las geodsicas quedan:

As pues, para una onda que viaje en la direccin , implica que solo y se vern afectadas, y que partculas de prueba solo sern perturbadas en direcciones perpendiculares al vector de onda. ste fenmeno tiene un smil en electromagnetismo en el que los campos elctrico y magntico se encuentran en un plano perpendicular al vector de onda.Las ecuaciones de movimiento se caracterizan por dos nmeros , y . Ahora consideramos los efectos por separado, en primer lugar considero y , me quedan unas ecuaciones de movimiento:

,y,As pues, partculas que inicialmente se encuentran separadas en la direccin , oscilan hacia delante y hacia atrs en esta direccin, y lo mismo ocurre con una separacin inicial en . Veamos su efecto en un anillo de partculas estacionarias en el plano x-y:

Ahora hacemos el mismo anlisis para y , obteniendo unas ecuaciones:

,y

,En este caso un anillo de partculas inmviles oscilarn en el mismo plano x-y, pero de la siguiente forma:

La notacin y es clara, estas dos cantidades miden los dos modos independientes de polarizacin lineal de las ondas gravitatorias. Podemos pues definir polarizacin lineal dextrgira o levgira haciendo la siguiente definicin:

y ,Un efecto puro de hace que las partculas se muevan de la siguiente manera:

El efecto contrario tendran para un movimiento puro de . Podemos relacionar los estados de polarizacin de las ondas gravitacionales clsicas a los tipos de partculas que cabra encontrar en cuntica. El campo electromagntico tiene dos estados independientes de polarizacin descritos en el plano x-y por vectores, igualmente, un nico modo de polarizacin es invariante bajo rotaciones de 360 en dicho plano. En cuntica esta teora de campo, de forma general relaciona al spin con el ngulo , bajo el cual los modos de polarizacin son invariantes por la relacin . El campo gravitacional, con ondas gravitacionales, a la velocidad de la luz, deberan de poseer en teora cuntica partculas sin masa. Notar que para las ondas gravitacionales los modos de polarizacin son invariantes bajo rotaciones de 180 por lo que los gravitones deberan de poseer un espn igual a 2. Estamos an lejos de detectar dichas partculas, pero cualquier teora cuntica respetable predice su existencia.Hasta ahora hemos resuelto las ecuaciones linealizadas en el vaco y las ondas planas como soluciones. As que es hora de poder calcular la radiacin de ondas gravitacionales producidas por una fuente. Consideramos materia en nuestras ecuaciones:

,

La solucin a esta ecuacin se obtiene de utilizar la funcin de Green, que es el mismo mtodo que se utiliza en electromagnetismo. Si a la funcin de Green le aplicamos es Dlambertiano, obtenemos como resultado de la ecuacin de ondas la funcin delta de dirac:,Donde es el Dlambertiano de la coordenada . La eleccin de esta funcin reside en que la solucin a la ecuacin , puede ser escrita de la siguiente forma:

,Las soluciones de la ecuacin de ondas de la funcin de Green, ya estn tabuladas y pueden ser interpretadas como un retardo o un avance, dependiendo de si representan ondas viajando hacia delante o hacia detrs en el tiempo; por su inters, nos centraremos en la funcin de Green retardada, que representa los efectos acumulados de seales en el pasado del punto en consideracin, de modo que podemos escribir:

,Siendo , , y . Si llamamos a , la interpretacin de la integral es clara: la perturbacin en el campo gravitatorio en el punto , es la suma de las influencias de fuentes de energa y momento en el punto del cono de luz del pasado:

Dejamos esta solucin a un lado y consideramos la radiacin emitida por una fuente aislada, muy lejana, y compuesta de materia no relativista, de modo que har ms precisa la medida que realizaremos.En primer lugar tomaremos unas consideraciones de las transformadas de Fourier que son siempre muy tiles para tratar fenmenos ondulatorios. Calculamos la transformada inversa dada por:

,Ahora introducimos las aproximaciones que hemos mencionado, de lejana, aislamiento y movimiento no relativista; esto hace considerar a la fuente fija en un punto a una distancia R, con diferentes partes emisoras a distancias R+R siendo RR. Como su movimiento es no relativista, la mayor parte de la radiacin emitida ser a frecuencias suficientemente bajas tal que R -1, esencialmente, la luz atraviesa a la fuente mucho ms rpido que las componentes de dicha fuente a s misma.Bajo estas aproximaciones podemos simplificar la integral de la siguiente manera:

,Bajo la sospecha de que no son necesarias calcular todas las componentes , podemos llegar a la conclusin que la integral se puede escribir de la siguiente manera:

,Si el tensor del momento cuadrupolar de la densidad de energa de una fuente se define como:

,Tensor constante en cada superficie en un tiempo constante. En trminos de la transformada de Fourier del momento cuadrupolar, nuestra solucin toma la forma compacta:

,Que transformada queda:

,Donde como hemos dicho antes . Como conclusin llegamos a que las ondas gravitatorias producidas por objetos no relativistas aislados, son producidas por la derivada segunda del momento cuadrupolar de la densidad de energa, en el punto donde el cono de luz pasada corta a la fuente. Como contraste, tenemos el momento dipolar del electromagnetismo, del que sabemos que irradia momento dipolar cuando el centro de la densidad de energa se mueve, mientras que el momento cuadrupolar se produce por cambios en la densidad de energa. Mientras que no hay nada que pare el centro de oscilacin de una carga en movimiento, la oscilacin del centro de masas de un sistema aislado contradice la conservacin de momento. Pero es que el momento cuadrupolar de forma general, es muchsimo ms pequeo que el momento dipolar, de forma que la radiacin gravitacional es tpicamente muchsimo menor que la radiacin electromagntica.

Es siempre educativo tomar la solucin general y aplicarla a un caso particular. El caso ms interesante de radiacin gravitacional es el de un sistema binario de estrellas (plsares). Para simplificar consideraremos que dichas estrellas orbitan el plano , , separadas una distancia r al punto comn, tal y como se ve en la figura:

Podemos tratar el movimiento de las estrellas con aproximacin Newtoniana, donde su rbita se considerar con un estudio de Keppler. Dicha rbita se caracteriza con la fuerza gravitatoria y la fuerza centrfuga:

,Donde el tiempo que se tarda en dar una vuelta completa est dado por:

,Ms frecuentemente es tomar la frecuencia angular de la rbita, dada por:

,De modo que podemos dar la posicin de las estrellas de forma explcita:

, ,, ,La correspondiente densidad de energa viene dada por:

De sta obtenemos el momento cuadrupolar magntico:

,,,,Sustituyendo las componentes del momento cuadrupolar en la ecuacin de la perturbacin obtenemos:

,

Es el momento de hablar de la energa emitida por la radiacin gravitacional. Pero esta discusin est rodeada de problemas, tanto fsicos como filosficos, ya que no hay verdadera medida local de energa en el campo gravitatorio. En el lmite del campo dbil, cuando pensamos en la gravitacin como un tensor simtrico, podramos pensar en la existencia de otro tensor de energa-impulso para las fluctuaciones de , tal como existe para el electromagnetismo o cualquier otra teora de campo. Hasta cierto punto esto es posible, pero sigue habiendo muchas dificultades.A estas dificultades se le han puesto remedio para sistemas bien definidos, como es el caso resuelto del sistema binario, pero en realidad hemos estado engandonos desde el principio ya que hemos considerado una perturbacin lineal, y una mtrica espacio temporal plana. As que se debera de continuar por hacer el estudio similar pero para perturbaciones de orden superior, de tal forma que si hacemos el estudio de una perturbacin de orden 2, obtendramos algo como:

,De manera que la potencia de radiacin de un sistema binario est dada por:

.Y es lo que realmente ha sido observado. En 1974 Husle y Taylor descubrieron un sistema binario, en el que el periodo de la rbita es de 7.45 horas, extremadamente pequea comparada con los estndares astrofsicos. Como son plsares (provistos de un reloj muy fiable debido a la rotacin de su faro), se observ una disminucin de su periodo por una prdida de energa en muy poco tiempo, y dado que se conoca que para que un plsar aumentase su periodo debern de pasar una media de 108 aos. El resultado es considerado como una prediccin de la teora de la Relatividad General por prdida de energa a travs de las ondas gravitacionales, vase la siguiente grfica:

La lnea horizontal muestra una rbita con separacin orbital constante. Los puntos son observaciones experimentales de Husle y Taylor para el sistema binario antes mencionado, mientras que la lnea continua curva, muestra la prediccin de la Relatividad General.Dicha teora predice que ambas colisionarn dentro de 300 millones de aos, por emisin de ondas gravitacionales. Por estos estudios Husle y Taylor, obtuvieron el premio nobel en 1993.

Retraso temporal de la seal del plsar

Uno de los efectos bien conocidos y estudiados, es el retraso de la seal del plsar cuando ste se acerca a su compaera. Si nos fijamos en el plsar por excelencia PSR 1913+16, su seal se retrase 50 microsegundos cuando ambas estrellas se encuentran una cerca de la otra, este efecto es muy pequeo, pero dada a la exactitud de la seal que recibimos de un plsar, sta puede ser medida perfectamente confirmando as las predicciones de la Teora de la Relatividad General.

Para este efecto partimos nuevamente de la mtrica de Schwarzchild, llegando que para una trayectoria radial:

Donde representa el tiempo estacionario desde el punto de vista del fotn que radia uno de los plsares, es un tiempo registrado por un observador en reposo (la tierra) y M es la masa que crea la fuente de gravedad.

Explicado someramente este efecto, el efecto fsico es que uno de los plsares emite fotones de modo que ya de por s tendr un redshift gravitatorio intrnseco a la masa que lo creo, pero el retraso de 50 micro segundos se debe a la interaccin del fotn con la masa de su compaera cuando entre en la accin de su campo gravitatorio.

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