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UNIVERSIDAD COMPLUTENSE DE MADRID FACULTAD DE CIENCIAS FISICAS 25 de Junio de 2014 F´ ısica Cu´ antica I, segunda parte del curso Nombre y Apellidos: Firma y DNI: 1. [2.5 puntos] Una part´ ıcula de masa m incide sobre una barrera de potencial de anchura l y altura V 0 tal y como indica la figura. Suponiendo que E = V 0 /2, donde E = ¯ hk 2 2m es la energ´ ıa cin´ etica de la part´ ıcula incidente, encontrar los coeficientes de reflexi´ on y transmisi´ on de la barrera V (x)= Vo E = V 0 , 0 <x<l, 0, |x| >l Nota: Utilice la condici´ on E = V 0 /2 desde el principio pues simplifica considerablemente los c´ alculos. La barrera va de 0 a l. Los resultados pedidos debe dejarlos en funci´ on de k ′ s. 2. [2.5 puntos] Un rotor se encuentra en el estado ψ = N sin 2 θ cos 2ϕ donde N es una constante de normalizaci´ on, y θ,ϕ son los ´ angulos polar y azimutal, respec- tivamente, de las coordenadas esf´ ericas. Expresar el estado ψ en cartesianas (suponga que trabajamos en la esfera unidad, es decir, que x 2 + y 2 + z 2 = 1) y conteste a las siguientes preguntas: a) En una medida de L 2 , ¿qu´ e valores se pueden obtener y con qu´ e probabilidad? b) Calcular L z ψ. ¿Es ψ funci´ on propia de L z ? c) A la vista del resultado obtenido en el apartado anterior, y si usted conoce de memoria algunos arm´ onicos esf´ ericos famosos ya puede saber exactamente qu´ e combinacion lineal de arm´ onicos esf´ ericos es ψ. Escriba esta combinaci´ on lineal y normalice (ahora, antes no) el estado. d) En una medida de L z , ¿qu´ e valores se pueden obtener y con qu´ e probabilidad? e) Calcular los valores esperados 〈L 2 z 〉 ψ y 〈L z 〉 ψ y deducir Δ ψ L z . Usted puede necesitar (o no) algunos de los siguientes datos: Y −m l (θ,ϕ)=(−1) m Y m l (θ,ϕ) ∗ Asterisco significa el complejo conjugado. Esta relaci´ on viene a decir que la constante de normalizacion de Y −m l es la misma que la de Y m l si m es par y la opuesta si m es impar. Y siempre se toman reales. L + Y m l = l(l + 1) − m(m + 1) ¯ hY m+1 l ,L − Y m l = l(l + 1) + m(−m + 1) ¯ hY m−1 l .
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UNIVERSIDAD COMPLUTENSE DE MADRID
FACULTAD DE CIENCIAS FISICAS
25 de Junio de 2014
Fsica Cuantica I, segunda parte del curso
Nombre y Apellidos:
Firma y DNI:
1. [2.5 puntos] Una partcula de masa m incide sobre una barrera de potencial de anchura l y
altura V0 tal y como indica la figura. Suponiendo que E = V0/2, donde E =hk2
2mes la energa
cinetica de la partcula incidente, encontrar los coeficientes de reflexion y transmision de labarrera
V (x) =
Vo
E
=
{V0, 0 < x < l,0, |x| > l
Nota: Utilice la condicion E = V0/2 desde el principio pues simplifica considerablementelos calculos. La barrera va de 0 a l. Los resultados pedidos debe dejarlos en funcion de ks.
2. [2.5 puntos] Un rotor se encuentra en el estado
= N sin2 cos 2
donde N es una constante de normalizacion, y , son los angulos polar y azimutal, respec-tivamente, de las coordenadas esfericas. Expresar el estado en cartesianas (suponga quetrabajamos en la esfera unidad, es decir, que x2 + y2 + z2 = 1) y conteste a las siguientespreguntas:
a) En una medida de L2, que valores se pueden obtener y con que probabilidad? b) CalcularLz. Es funcion propia de Lz? c) A la vista del resultado obtenido en el apartado anterior,y si usted conoce de memoria algunos armonicos esfericos famosos ya puede saber exactamenteque combinacion lineal de armonicos esfericos es . Escriba esta combinacion lineal y normalice(ahora, antes no) el estado. d) En una medida de Lz, que valores se pueden obtener y conque probabilidad? e) Calcular los valores esperados L2z y Lz y deducir Lz.
Usted puede necesitar (o no) algunos de los siguientes datos:
Y ml (, ) = (1)mY ml (, )
Asterisco significa el complejo conjugado. Esta relacion viene a decir que la constante denormalizacion de Y ml es la misma que la de Y
ml si m es par y la opuesta si m es impar. Y
siempre se toman reales.
L+ Yml =
l(l + 1)m(m+ 1) h Y m+1l , L Y
ml =
l(l + 1) +m(m+ 1) h Y m1l .
