QPexsolSep2013
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UNIVERSIDAD COMPLUTENSE DE MADRID FACULTAD DE CIENCIAS FISICAS 9 de Septiembre de 2013 F´ ısica Cu´ antica I, segunda parte del curso Nombre y Apellidos: Firma y DNI: 1. [2.5 puntos] Una part´ ıcula de masa m se halla en el pozo de potencial V (x)= 0, −a/2 <x<a/2, V 0 , |x| >a/2 donde V 0 es una constante positiva. La part´ ıcula se encuentra en el primer estado excitado y tiene energ´ ıa E = V 0 /2. Calcular la probabilidad de encontrar a la particula en la regi´on i) cl´ asicamente permitida, ii) cl´ asicamente prohibida. Nota: Utilice la condici´on E = V 0 /2 desde el principio pues simplifica considerablemente losc´alculos. El pozo va de −a/2a a/2 para que usted imponga una paridad definida a la funci´ on de onda. Los resultados pedidos son n´ umeros. 2. [2.5 puntos] La funci´ on de onda de una part´ ıcula en un potencial central es ψ = 1 4 √ π 2z 2 − x 2 − y 2 r 2 + 3 π xz r 2 , donde x 2 + y 2 + z 2 = r 2 . a) Expresar el estado ψ como combinaci´ on lineal de arm´onicos esf´ ericos (ver datos al final de los enunciados), b) calcular L 2 |ψ〉 y L z |ψ〉, as´ ı como los valores esperados 〈L 2 〉 ψ y 〈L z 〉 ψ , c) Sabiendo que L + Y m l =¯ h (l − m)(l + m + 1) Y m+1 l , calcular 〈ψ|L + |ψ〉. Usted puede necesitar algunos de los siguientes datos: La integral del cuadrado de un seno o del cuadrado de un coseno se calcula pasando al ´ angulo doble. En la siguiente lista de arm´onicos esf´ ericos, θ,ϕ son los ´ angulos polar y azimutal, respectivamente, de las coordenadas esf´ ericas. Asterisco significa el complejo conjugado. Y 0 0 = 1 √ 4π ,Y 0 1 = 3 4 π cos θ, Y 1 1 = − 3 8 π sin θe iϕ ,Y -1 1 = −Y 1 1 * , Y 0 2 = 5 4 π 3 2 cos 2 θ − 1 2 ,Y 1 2 = − 15 8 π sin θ cos θe iϕ ,Y -1 2 = −Y 1 2 * , Y 2 2 = 1 4 15 2 π sin 2 θe 2 iϕ ,Y -2 2 = Y 2 2 * .
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UNIVERSIDAD COMPLUTENSE DE MADRID
FACULTAD DE CIENCIAS FISICAS
9 de Septiembre de 2013
Fsica Cuantica I, segunda parte del curso
Nombre y Apellidos:
Firma y DNI:
1. [2.5 puntos] Una partcula de masa m se halla en el pozo de potencial
V (x) =
{0, a/2 < x < a/2,V0, |x| > a/2
donde V0 es una constante positiva. La partcula se encuentra en el primer estado excitadoy tiene energa E = V0/2. Calcular la probabilidad de encontrar a la particula en la regioni) clasicamente permitida, ii) clasicamente prohibida.
Nota: Utilice la condicion E = V0/2 desde el principio pues simplifica considerablementelos calculos. El pozo va de a/2 a a/2 para que usted imponga una paridad definida a lafuncion de onda. Los resultados pedidos son numeros.
2. [2.5 puntos] La funcion de onda de una partcula en un potencial central es
=1
4pi
(2z2 x2 y2
r2
)+
3
pi
xz
r2,
donde x2 + y2 + z2 = r2. a) Expresar el estado como combinacion lineal de armonicosesfericos (ver datos al final de los enunciados), b) calcular L2| y Lz|, as como los valoresesperados L2 y Lz, c) Sabiendo que
L+ Yml = h
(l m)(l +m+ 1)Y m+1l ,
calcular |L+|.
Usted puede necesitar algunos de los siguientes datos:
La integral del cuadrado de un seno o del cuadrado de un coseno se calcula pasando al angulodoble. En la siguiente lista de armonicos esfericos, , son los angulos polar y azimutal,respectivamente, de las coordenadas esfericas. Asterisco significa el complejo conjugado.
Y 00 =14pi, Y 01 =
3
4picos , Y 11 =
3
8pisin ei , Y 1
1= Y 11 ,
Y 02 =
5
4pi
(3
2cos2 1
2
), Y 12 =
15
8pisin cos ei , Y 1
2= Y 12 ,
Y 22 =1
4
15
2pisin2 e2 i , Y 2
2= Y 22
.
