FACULTAD DE INGENIERÍA QUÍMICA Y TEXTIL

Laboratorio de Análisis Químico CuantitativoQU-527/A

Ciclo 2009-I

     

  

   

  

   

PRACTICA DE LABORATORIO Nº 1

“Tratamiento estadístico de datos”

   PROFESORES DE PRÁCTICA : Ing. Pérez Gálvez, José

Ing. Paucar Cuba, Karin

 REALIZADO POR : Lazon Machado, Andy

Navarro Valdez, DavisSayre Quillas, María Luisa

FECHA DE REALIZACIÓN : lunes, 06 de abril del 2009

FECHA DE PRESENTACIÓN : lunes, 13 de abril del 2009   

 

LIMA – PERÚ

2 009

1

INDICE

I. TEORÍA DE ERRORES1. Definición de error2. Precisión y exactitud3. Tratamiento de datos en series con pocos valores

3.1 Intervalo de confianza3.1.1 Método T-Student3.1.2 Método Cn

3.2 Pruebas de significancia4. Clasificación de errores

4.1 Por su naturaleza4.1.1 Absolutos4.1.2 Relativos

4.2 Por sus origen4.2.1 Crasos4.2.2 Determinados4.2.3 En balanzas del laboratorio 114.2.4 En utensilios volumétricos4.2.5 En instrumentos graduados sin especificación de error4.2.6 Indeterminados4.2.7 Aleatorios

II. REDONDEO1. Cifra siguiente mayor que 52. Cifra siguiente menor que 53. Cifra siguiente igual a 5

3.1 Cifras subsiguientes nulas3.2 Cifras subsiguientes no nulas

III. MANEJOS DE NUMEROS 1. Notación científica

1.1 En sumas y restas1.2 En multiplicaciones y divisiones

2. Cifras significativas 2.1 Concepto2.2 Cifras significativas en una medición

3. Operaciones con cifras significativas3.1 En sumas y restas3.2 En multiplicaciones y divisiones3.3 En potenciación y radicación3.4 En exponenciales y logaritmos3.5 En fórmulas con cifras constantes

IV. PROPAGACIÓN DE ERRORES DETERMINADOS1. En sumas y restas2. En multiplicación y división3. En potenciación y radicación

V. DESCARTE DE VALORES DUDOSOS PARA CÁLCULO DE PROMEDIO

VI. BIBLIOGRAFÍA

2

PRACTICA DE LABORATORIO Nº 1

TRATAMIENTO ESTADISTICO DE DATOS EXPERIMENTALES

I. TEORÍA DE ERRORES:

1. Definición de error. - Cuando se realizan los trabajos de laboratorio es importante darse cuenta que ningún valor registrado de un parámetro dado es perfectamente preciso. Los instrumentos no miden al llamado valor verdadero del parámetro sino que dan un estimado de dicho valor. El error es la incertidumbre en una medición. Nunca se puede medir algo exactamente, por lo tanto se trata de minimizar el error. Si no se conociese el error de una medición no conocemos que tan confiable es el resultado, por eso es que un resultado experimental sin un error asociado no representa nada.

2. Precisión y exactitud .- La diferencia se podría explicar de la siguiente manera:Si un experimento tiene pequeños errores aleatorios (errores que hacen que la medición tenga una cierta distribución es decir que al repetir la operación varié) entonces se dice que tiene alta precisión. Si un experimento tiene pequeños errores sistemáticos (errores que indican una incorrección del método experimental o defectos instrumentales) entonces se dice que tiene alta exactitud.

3. Tratamiento de datos en serie con pocos valores .-

3.1 Intervalo de confianza.-

3.1.1. Método de t-studentsEs un valioso auxiliar estadístico que se utiliza para medir la probabilidad, utilizado principalmente para expresar intervalos de confianza y para comparar los resultados de diferentes experimentos.

3

A partir de un intervalo limitado de mediciones es imposible encontrar la media real de la población (μ) o la desviación estándar real (δ). Lo que si podemos determinar son la media ( ) y la desviación estándar ( ) de la muestra. El intervalo de confianza nos expresa que la media real, μ, debe hallarse a cierta distancia de la media medida . De esta forma se tiene la fórmula siguiente:

Donde: s = desviación estándar medidan = cantidad de observaciones

t = número denominado t-Student, ubicado en una tabla con su correspondiente nivel de confianza y grado de libertad (n-1).

3.1.2. Método Cn:Otro modo de determinar intervalos de confianza para un conjunto de datos es utilizando el rango (R = xmáx-xmín) acompañado de un multiplicador (Cn), de este modo obtenemos la fórmula siguiente para determinar un intervalo de confianza:

Donde: μ = media real

= media calculadaCn = multiplicador característico, depende del número de mediciones (n) y del, nivel de

confianza

3.2 Pruebas de significancia:Al realizar dos pruebas diferentes, algunas veces, se obtienen datos que aparentemente son “diferentes”, y nos llevan a pensar en que uno de los métodos, o ambos, utilizados durante la medición es ineficaz y no representa bien al valor real que queremos hallar. Para determinar si los resultados de estos dos métodos son “iguales” o “diferentes”, aplicamos la prueba t utilizando la t-Student, para ello asumiremos que la desviación estándar de la población (δ) para cada método es esencialmente la misma.

Para dos conjuntos de datos, calculamos el valor

,

Donde:

Este valor de s es una desviación estándar combinada de las dos series de datos. El valor calculado de t debe ser comparado con el obtenido de la tabla con un grado de libertad de (n1+n2-2). Si el ttabulado es mayor que el tcalculado, las dos series de resultados no son significativamente diferentes para el nivel de confianza considerado.

4

Pero este método sólo puede ser utilizado cuando s1 y s2 no son significativamente diferentes; para ello hacemos uso de la prueba F o de

relación de varianza:

Se coloca como numerador la varianza con el mayor valor numérico, de tal forma que la relación F siempre sea mayor que 1. Comparando este valor de F con los tabulados en un cuadro con cierto nivel de probabilidad. Si el valor Ftabulado es mayor que el Fcalculado cualquier diferencia entre s1 y s2 no es significativa.

4. Clasificación de errores .- Vamos observar dos formas de clasificarlos, por: su naturaleza y su origen.

4.1 Por su naturaleza, en primer lugar aclararemos que se dividen en los siguientes errores, es decir, error absoluto, error relativo, y otro que deriva de estos dos anteriores, el error relativo porcentual.

4.1.1. Error absoluto, se presenta el error en las mismas unidades que la cantidad medida. Por ejemplo:

Lo que indica que la masa puede variar dentro del intervalo de:

4.1.2. Error relativo, se expresa como una cantidad relativa a la medida obtenida.

Por ejemplo:

4.2 Por su origen:4.2.1 Crasos

La palabra “CRASO” se aplica a un error o equivocación que es muy grave y no tiene disculpa.

4.2.2 DeterminadosLlamado también error sistemático, se puede detectar y corregir; siempre afecta los resultados de la medición en el mismo sentido. Una mala calibración del instrumento de medida es un buen ejemplo de este tipo de error.

4.2.3 En balanzas del laboratorio 11La balanza digital del Laboratorio 11 puede mostrar valores hasta la cuarta cifra decimal. La exactitud de la medida es bastante buena, pero

5

una mala calibración o mal uso (falta de limpieza) pueden incrementar el error de la medida.La incertidumbre absoluta está dada por la menor medida dividida entre dos, en este caso es de:

4.2.4 En utensilios volumétricosTales como buretas, probetas, pipetas; en todos estos casos el error generalmente se produce cuando no se calibran estos instrumentos. Por ejemplo, la tolerancia del fabricante para una bureta Clase A de 50 mL es de

4.2.5 En instrumentos graduados sin especificación de errorCon estos instrumentos es necesario determinar la incertidumbre que tiene, de esa forma obtener una medición más confiable y acorde con la real, una manera de corregir esto es trazando una curva de calibración experimental; por ejemplo, en el caso de una bureta sin calibrar, vertemos agua en un recipiente que se pesa, conociendo la densidad, el volumen se determina mediante la masa de agua. Esto nos ayudará a encontrar un factor de corrección para cada lectura que hagamos con dicho instrumento.

4.2.6 IndeterminadosSe debe a las limitaciones naturales para realizar mediciones físicas. Siempre existe, no puede ser detectado y mucho menos corregido, es la limitante en definitiva de las determinaciones experimentales. Por ejemplo, al momento de realizar una lectura del voltaje en un circuito, las fluctuaciones provenientes de la inestabilidad del instrumento hacen que la medida varíe y no sea estable.

4.2.7 AleatoriosSon mediciones que fluctúan alrededor de cierto valor, es causado por variables no controladas durante el experimento, pero que bajo ciertos procedimientos estadísticos podemos cuantificarlos, son difíciles de controlar. El ejemplo típico de este error se comete cuando una persona o un grupo lee en una medida en escala.

II. REDONDEO

Se llama redondeo al proceso de eliminación de cifras no significativas de un número. Las reglas que emplearemos en el redondeo de números son las siguientes:

6

1. Cifra siguiente mayor que 5 Cuando se presenta este caso, al digito en tratamiento se le deberá agregar una unidad

4.521859 redondeo a 4 cifras decimales 4.5219

2. Cifra siguiente menor que 5 Cuando se presenta este caso, al digito en cuestión se vera afectado de algún modo

8.156423 redondeo a 3 cifras decimales 8.156

3. Cifra siguiente igual a 5 En este caso, al igual que en el punto 2.1 se que deberá agregar una unidad al digito en tratamiento

9.19247566 redondeo a 5 cifras decimales 9.192476

3.1 Cifra subsiguientes nulasEn este caso si las cifras subsiguientes son nulas, el digito en tratamiento no se vera afectado de algún modo

13.25100 redondeo a 3 cifras decimales 13.251

3.2 Cifra subsiguientes no nulasEn este caso se seguirá un proceso como el descrito en la sección 2.1, 2.2 y 2.3

III. MANEJO DE NÚMEROS.-

1. Notación científica.- En Química es común encontrarse con números que son muy grandes o extremadamente pequeños, por ejemplo, cada átomo del elemento Hidrógeno tiene una masa de apenas 0,00000000000000000000000166 g. El manejo de estos números es engorroso y su uso en los cálculos conlleva a cometer errores. Para manejar mejor estas cantidades muy grandes o muy pequeñas se usa la llamada notación científica. No importa cuál sea la magnitud, todos los números se pueden expresar en la forma

N x 10n

Siendo N un número entre 1 y 10, n es un exponente que puede ser un número entero positivo o negativo.

1.1. En sumas y restas:Para expresar un valor usando notación científica se cuenta el número de lugares que se necesita mover la coma para poder obtener el número N. Si la coma se mueve hacia la izquierda, entonces n es un entero positivo, por ejemplo para el número 560000, se corre la coma cinco lugares hacia la izquierda (n = 5) y se

7

obtiene N = 5,6, por lo tanto este número expresado en notación científica será 5,6 x 105. Sin embargo, si se mueve hacia la derecha n será un entero negativo, por ejemplo 0,0000089 expresado en notación científica será 8,9 x 10-6.

Ejemplos:Expresar los siguientes valores en notación científica:

0,000000000345 3,45 x 10-10

8670340000000000000 8,67034 x 1018

356 3,56 x 102

0,000000000000000002 2 x 10-18

23098 2,3098 x 104

1054678 1,054678 x 106

0,00100034 1,00034 x 10-3

1.2. En multiplicación y división:Resolver las siguientes operaciones expresando los resultados en notación científica:

0,0000035 + 1,24 x 10-4 = 1,275 x 10-4

8567900 * 4,5 x 10-4 = 3,856 x 103

0,0024 / 1230 = 1,95 x 10-6

3,5 x 107 – 8903456 = 2,61 x 107

7,078 x 10-6 * 3,21 x 10-10 = 2,27 x 10-15

0,0012 – 0,0003 = 9 x 10-4

1 / 6,023 x 1023 = 1,66 x 10-24

1,4 x 1035 * 4,7 x 10-45 = 6,58 x 10-10

4560000000000 + 980000000000 = 5,54 x 1012

2. Cifras significativas.-

2.1 Concepto: Se considera que las cifras significativas de un número son aquellas que tienen significado real o aportan alguna información. Las cifras no significativas aparecen como resultado de los cálculos y no tienen significado alguno. Las cifras significativas de un número vienen determinadas por su error. Son cifras significativas aquellas que ocupan una posición igual o superior al orden o posición del error.

2.2 Cifras significativas en una medición:Regla 1: Los resultados experimentales se expresan con sólo una cifra dudosa, e indicando con ± la incertidumbre en la medida.Regla 2: Las cifras significativas se cuentan de izquierda a derecha, a partir del primer dígito diferente de cero y hasta el dígito dudoso.Regla 3: Al sumar o restar dos números decimales, el número de cifras decimales del resultado es igual al de la cantidad con el menor número de ellas.Atención: Un caso de especial interés es el de la resta. Citemos el siguiente ejemplo: 30,3475 – 30,3472 = 0,0003 Observemos que cada una de las cantidades tiene seis cifras significativas y el resultado posee tan solo una. Al restar se han perdido cifras significativas. Esto es importante tenerlo en cuenta cuando se trabaja con calculadoras o

8

computadores en donde haya cifras que se sumen y se resten. Es conveniente realizar primero las sumas y luego las restas para perder el menor número de cifras significativas posible.Regla 4: Al multiplicar o dividir dos números, el número de cifras significativas del resultado es igual al del factor con menos cifras.

3. Operación con cifras significativas

3.1 En suma y restasPara este caso el número de cifras significativas a la derecha del punto decimal en la suma o la diferencia es determinada por el número con menos cifras significativas a la derecha del punto decimal de cualquiera de los números originales.

8.14567 + 3.21 = 11.36

6 C.F. 3 C.F. 4 C.F.

(2 CF a la derecha de la coma decimal)

15.26 - 7.8510 = 7.41

4 C.F 5 C.F. 3 C.F.

(2 CF a la derecha de la coma decimal)

3.2 En multiplicaciones y divisionesPara este caso el número de cifras significativas en el producto final o en el cociente es determinado por el número original que tenga las cifras significativas más pequeñas.

2.4 x 0.000673 = 0.0016 2 C.F. 3 C.F. 2 C.F.

3.3 En potenciación y radicaciónPara este caso se procede de igual manera que la multiplicación y división, quedando la respuesta definida por la cantidad de cifras significativas después de la coma decimal del número con menor cantidad de cifras significativas después de la coma decimal

15.63 2 = 240.30

3.95

3.4 En exponenciales y logaritmosPara este caso se procede de igual manera que la multiplicación, división, potenciación y radicación, quedando la respuesta definida por la cantidad de cifras significativas después de la coma decimal del número con menor cantidad de cifras significativas después de la coma decimal

9

25.662

3.5 En formulas con cifras constantesEn estos casos no se vera mayor problema pues el numero de cifras significativas de la respuesta estará determinada por el numero de cifras significativas de cualquiera de los 2 números operando

IV. PROPAGACIÓN DE ERRORES

1. Propagación de errores en sumas y diferencias.

Datos iniciales:

Sea su suma y su diferencia

¿Cuál es la incertidumbre ?

El error absoluto de la suma y de la diferencia de dos o más magnitudes es la suma de los errores absolutos de dichas magnitudes:

Ejemplo:En un experimento se introducen dos líquidos en un matraz y se quiere hallar la masa total del líquido. Se conocen:M1 = Masa del matraz 1 + contenido = 540 ± 10 gm1 = Masa del matraz 1 = 72 ± 1 gM2 = Masa del matraz 2 + contenido = 940 ± 20 gM2 = Masa del matraz 2 = 97 ± 1 gLa masa de líquido será:

M =M1−m1+M2−m2=1311gSu error:

El resultado se expresará:M =1310±30 g

2. Propagación de errores en multiplicaciones.

10

El error relativo del producto es igual a la suma de los errores relativos:

3. Propagación de errores en divisiones.

Sea su producto q= x/y¿Cuál es la incertidumbre ?

El error relativo del cociente es la suma de los errores relativos:

Ejemplo:Para medir la altura de un árbol, L, se mide la longitud de su sombra, L1, la altura de un objeto de referencia, L2, y la longitud de su sombra, L3. Por semejanza:

11

Realizadas las medidas resultan:L1 = 200 ± 2 cm., L2 = 100.0 ± 0.4 cm., L3 = 10.3 ± 0.2 cm.Por tanto

Su error será

L=2000±70 cm.

4. Propagación de Errores en potencia

¿Cuál es la incertidumbre ?

Aplicando la regla del producto

El error relativo de una potencia es el producto de la potencia por el error relativo de la magnitud.

V. DESCARTE DE VALORES DUDOSOS PARA CALCULO DE PROMEDIO

Este criterio se tiene en cuenta para obtener un mejor resultado de los datos recopilados, así como también obtener un menor porcentaje de error en su análisis.

Para este caso se tiene la prueba de Q, la cual después de ordenar los datos de forma ascendente, se verifica el dato dudoso y se realiza el siguiente procedimiento:

12

Restar al valor dudoso su vecino mas cerca y dividir este valor entre la diferencia del mayor y menor valor, luego se compara este cociente con un valor de tablas para concluir si este dato puede o no ser eliminado

EjemploSe tienen los siguientes datos de masa (g) del producto de una reacción realizada en el laboratorio, sabiendo que el verdadero valor es 25. 70 g

25.56 25.79 26.1024.23 25.48 25.5925.69 25.70 25.60

Se desea saber el valor promedio de estos valores

Sin descarte de valor dudoso

Con descarte de valor dudoso

Haciendo uso de los conceptos para descartar, se toma como primer valor dudoso el valor de 24.23 g y se analiza

Con este valor de Q se puede rechazar el valor de 24.23 g con un nivel de confianza de 99%Con el descarte de este valor dudoso se tiene que el nuevo promedio de estos datos es

Es visible que descartando el valor dudoso se obtuvo un menor porcentaje de error en el valor del promedio de los datos

VI. BIBLIOGRAFIA

Daniel C. Harris. “Análisis Químico Cuantitativo”. Editorial Iberoamericana S.A. Tercera edición. México. 1992. Pág. 34 – 63

Murria R. Spieguel“Estadística” Editorial Mc Graw HillSegunda edición México 1991. Pág. 45-56

www.wikipedia.org/wiki/Error

13