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Bloque 1

Uso del código algebraico para expresar las reglas que gobiernan los patrones numéricos

Desarrollo del pensamiento algebraico

Tenoch Cedillo y Valentín Cruz

Bloque 1 Uso del código algebraico para expresar las reglas que gobiernan los patrones

numéricos

Presentación Este bloque de actividades tiene dos propósitos: (i) Presentarte un

acercamiento alternativo para el estudio del álgebra con la finalidad de reavi-var los conocimientos matemáticos que adquiriste en tus estudios en el bachi-llerato y (ii) Sujetar a tu análisis una propuesta didáctica en la que se aplican las facilidades que ofrece un procesador algebraico para favorecer el aprendi-zaje del álgebra como un lenguaje que permite expresar y justificar generali-zaciones sobre el comportamiento de patrones numéricos.

Las actividades de este bloque, y los demás que conforman este libro,

están diseñadas de acuerdo con un precepto teórico desarrollado por el psicó-logo Jerome Bruner. Este precepto teórico consiste en el establecimiento de un formato de comunicación entre el que enseña con el que va a aprender de él, este formato, aunque aparentemente es rígido, ofrece una flexibilidad que permite introducir sutilmente nuevos elementos del código de comunicación, en nuestro caso, del código algebraico. La presentación de las actividades pa-rece repetitiva, sin embargo no lo es, siempre hay algún nuevo elemento ma-temático al pasar de una hoja de trabajo a otra, ya sea el tipo de valores numéricos que se emplean o algún nuevo elemento en la estructura algebraica de las expresiones que se inducen en cada actividad. Por ejemplo, se transita de las funciones de la forma f(x)=x+a, f(x)=ax y f(x)=ax+b, a las inversas de esas funciones. Se transita del ámbito de las funciones lineales al de las ecua-ciones lineales con una incógnita; del ámbito de la producción de expresiones algebraicas para expresar la regla que gobierna el comportamiento de un patrón numérico al ámbito de la lectura de esas expresiones.

Te invitamos que analices estas actividades bajo la perspectiva del tipo

de aprendizaje matemático que los alumnos de educación básica pueden des-arrollar si ellos las realizan. Nuestra mayor expectativa es que tu análisis se vea enriquecido cada vez que concluyas un bloque de actividades, con lo que estarás propiciando el desarrollo de competencias docentes que en un futuro cercano pondrás en práctica como docente de educación básica.



HOJA DE TRABAJO 1 Patrones numéricos: Valores de entrada y salida

Un estudiante tecleó en su calculadora una expresión al-gebraica que produce lo si-guiente: Si el valor de entrada es 1 el programa da por resultado 5; si introduce 2, da por resulta-do 6, y así sucesivamente.

Valor de entrada

Valor de salida

1 5 2 6 3 7 4 8 5 9

1. ¿Qué resultado va a dar la calculadora tecleas 6 como valor de entrada? __________

¿Si es 10 ? __________ ¿Si el valor de entrada es 0? _______________________ ¿Qué operación hiciste para obtener esos resultados? __________________________ ___________________________________________________________________ 2. ¿Puedes construir una expresión algebraica para que tu calculadora produzca los mis-

mos resultados que la de ese estudiante? Escribe tu expresión en el cuadro de abajo.

3. Usa el programa que hiciste para encontrar los números que faltan en la tabla.

Valor de entrada

17

35.02 89.73 107.06 299.1 307.09

Valor de salida

511 613.03

¿Qué operaciones aritméticas hiciste para obtener los valores asociados a 511 y 613.03? ___________________________________________________________________ ___________________________________________________________________ 5. ¿Cómo puedes comprobar que el valor que obtuviste para 511 es el correcto?

________________________________________________________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________



HOJA DE TRABAJO 2 Valores proporcionales (1)

Valor de entrada

Valor de salida

1. Se tecleó en la calculadora una expresión algebraica que produce esta tabla de valores.

7 14

8 16

9 18

15 30

18 32

2. ¿Qué resultado dará la calculadora si el valor de entrada es 5? _________________

¿ Si es 25? ___________________ ¿Si es 17? ____________________________ ¿Qué operaciones aritméticas hiciste para obtener esos resultados? ________________ ___________________________________________________________________ 3. ¿Puedes programar tu calculadora para que haga produzca la misma tabla de valores?

Escribe tu programa en el cuadro de abajo.

3. Teclea en tu calculadora el programa que hiciste para encontrar los valores que faltan en esta tabla.

Valor de entrada

25 37.03 59.83 117.18 136.1 200.79

Valor de salida

551 653.38

4. ¿Qué operaciones aritméticas hizo tu programa para obtener los valores de entrada pa-ra 551 y 653.38? ______________________________________________________ 5. ¿Cómo puedes comprobar que el valor de entrada que obtuviste para 653.38 es correc-

to? _____________________________________________________________ ________________________________________________________________ ________________________________________________________________



HOJA DE TRABAJO 3 Valores proporcionales (2)

1. Completa la siguiente tabla. Valor de entrada

Valor de salida

2.5 7.5

3.1 9.3

4 12

5.3

6.2

47.4

73

3. ¿Qué operaciones aritméticas hiciste para obtener los valores que faltan en la tabla? ________________________________________________________________________________________________________________________________

4. ¿Puedes programar tu calculadora para encontrar los valores de salida? Escribe tu programa en el cuadro de abajo.

5. Comprueba que tu programa permite obtener los mismos valores que se muestran en la

tabla.

6. Completa la tabla de abajo usando el programa que construiste.

9 17 18.04 47.01 50.4 63.9 89.1 92.4

6. ¿Qué operaciones aritméticas hizo tu programa para obtener los valores de entrada asociados a 89.1 y 92.4? ________________________________________________ ___________________________________________________________________

7. ¿Cómo puedes comprobar que el valor de entrada que obtuviste para 92.4 es correcto? ________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________



HOJA DE TRABAJO 4 Reglas de dos pasos (1)

Valor de entrada

Valor de salida

Un estudiante produjo la tabla de la izquierda usando un pro-grama.

1.1 3.2

2.6 6.2

3 7

4.3 9.6

5 11

1. ¿Qué valor de salida va a dar la calculadora si el valor de entrada es 50?

_________________ ¿Si es 81? _____________ ¿Y si es 274? ______________ 2. ¿Qué operaciones aritméticas hizo el programa para obtener esos valores de salida?

________________________________________________________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________

3. ¿Puedes programar tu calculadora para que haga produzca la misma tabla de valores?

Escribe tu programa en el cuadro de abajo.

4. Usa el programa que hiciste para completar la siguiente tabla.

Valor de en-trada

12 16 19.05 48.02 51.45 62.7

Valor de sali-

da

88.2 95.4

5. Ese estudiante afirma que puede usar el programa que hiciste para comprobar que 88.2 es el valor de salida correcto ¿Estás de acuerdo con él? _________________ Indica con la mayor precisión posible cómo puedes usar tu programa para comprobar que el valor que obtuviste para 95.4 es el correcto. ________________________________________ ___________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________




Un estudiante construyó un programa que hace lo siguiente:

Valor de entrada

Valor de salida

1 1 2 3 3 5 4 7 5 9

1. ¿Qué resultado dará la calculadora si el valor de entrada es 6? ____________ ¿Si es

7? __________________ ¿Si es 15? ______________________________ 2. ¿Qué operaciones aritméticas hizo el programa para obtener esos valores? ________

________________________________________________________________________________________________________________________________

3. Programa tu calculadora para que produzca la

misma tabla que hizo ese estudiante. Escribe tu programa en el cuadro de la derecha.

Comprueba que tu programa produce los mismos

valores de salida que se muestran en la tabla.

4. Usa tu programa para completar la siguiente tabla.

Valor de entrada

10 11 15 27 259.14

Valor de salida

25 137

5. ¿Cómo puedes comprobar que el valor de entrada que obtuviste para 137 es correcto?

_____________________________________________________________________ _____________________________________________________________________ _____________________________________________________________________ _____________________________________________________________________ _____________________________________________________________________



HOJA DE TRABAJO 6 Patrones con valores negativos (1)

1. Completa la siguiente tabla.

-10 -9.7 -7.8 -6.2 -5.3 -4.6 -0.7 0 1.3 12.4 -9.5 -9.2 - 7.3 -5.7

2. ¿Puedes programar tu calculadora para que haga el trabajo de completar la tabla?. Escribe tu programa en el cuadro de la de-recha. Usa el programa que hiciste para obtener los valores que se muestran en la tabla ante-rior. ¿Pudiste obtener los mismos valores? _____________ Si no es así, modifica tu programa e intenta de nuevo.

3. Completa la siguiente tabla usando el programa que hiciste.

-20 -14.7 -13.8 -12.3 -9.6 2.5 -10.3 0

4. Usa tu programa para comprobar que los valores de entrada que obtuviste para -10.3 y

0 son correctos. ¿Obtuviste los mismos valores? ________ Si no, modifica tu progra-ma e intenta de nuevo.



HOJA DE TRABAJO 7 Patrones con valores negativos (2)

Valor de entrada

Valor de salida

Encuentra los valores que faltan.

-15 -16.5 -14.5 -16 -12.4 -13.9 -10.2 -11.7 -5.8 -4.6 -0.9

0 1. ¿Qué operaciones aritméticas hiciste para encontrar los valores que faltan en la tabla?

Escribe un ejemplo usando uno de los valores de entrada de la tabla. ________________________________________________________________ ________________________________________________________________

2. ¿Puedes programar tu calculadora para reproducir los valores de la tabla? Escribe tu programa en el cuadro de la de-recha. Asegúrate de que tu programa permite en-contrar los mismos valores que se muestran en la tabla.

3. Completa la siguiente tabla usando el programa que hiciste.

-20 -13.8 -10.83 -.05

-17.3 -11.9 -9.72 10

4. Explica cómo usarías tu programa para comprobar que el valor de entrada que obtuvis-te para -9.72 es correcto. ________________________________________________

_____________________________________________________________________ _____________________________________________________________________ _____________________________________________________________________ _____________________________________________________________________



HOJA DE TRABAJO 8

Constante de proporcionalidad fraccionaria (1)

Se construyó la siguiente tabla usando un programa:

Valor de entrada

Valor de salida

10.5 5.25 14.42 7.21 15.3 7.65 16.7 8.35 20.1 10.05

1. ¿Qué resultado producirá la calculadora si el valor de entrada es 6? _____________

¿Si es 19.3? ___________ ¿Si es 56? ___________ ¿Si es 177? ______________ 2. Explica cómo obtuviste esos resultados de manera que cualquiera de tus compañe-

ros(as) pueda entenderte. ____________________________________________ ________________________________________________________________ ________________________________________________________________ ________________________________________________________________

3. ¿Puedes programar tu calculadora para que produzca la misma tabla? Escríbelo en el

cuadro de abajo.

Comprueba que tu programa te permite obtener los mismos valores que se muestran en la tabla.



HOJA DE TRABAJO 9


Valor de entrada

Valor de salida

Se produjo esta tabla usando un programa en la calculadora:

6 9 8 12 14 21 15 22.5 18 27

1. ¿Qué resultado me va a dar la calculadora el valor de entrada es 10?

______________ ¿Si es 13.4? __________________ ¿Si es 15.6? ____________ 2. Explica cómo obtuviste esos resultados de manera que cualquiera de tus compañe-

ros(as) pueda entenderte _____________________________________________ ________________________________________________________________ ________________________________________________________________

3. ¿Puedes programar tu calculadora para que produzca los mismos valores que se mues-

tran n la tabla? Escribe tu programa en el cuadro de abajo.

4. Usa tu programa para completar la siguiente tabla.

Valor de entrada

20 35 44 72

Valor de salida

33 57 75 123

5. Explica cómo usarías tu programa para comprobar que el valor que encontraste para 57

es el correcto. _________________________________________________________ _____________________________________________________________________ _____________________________________________________________________ _____________________________________________________________________ _____________________________________________________________________



HOJA DE TRABAJO 10 Constante de proporcionalidad fraccionaria (3)

4 4.04 ¿Puedes encontrar los valores que faltan?

6 6.06

9 9.09

10 10.1

12 12.12

15.5

17.8

19.2

20.4

50.2

1. Explica cómo encontraste el valor asociado a 15.5 de manera que cualquiera de tus

compañeros(as) pueda entenderte. ______________________________________ ________________________________________________________________ ________________________________________________________________

2. ¿Puedes programar tu calculadora para

obtener los valores de la tabla? Escribe tu programa en el cuadro de la derecha.

Comprueba que tu programa produce los mismos números que aparecen en la tabla. Si no, modifícalo e intenta de nuevo. 3. Usa el programa que hiciste para completar la siguiente tabla.

1 3.1 9 32 2.222 4.343 12.12 38.784

4. Explica cómo puedes comprobar que el valor que obtuviste para 38.784 es el correcto.

_____________________________________________________________________

_____________________________________________________________________

_____________________________________________________________________



HOJA DE TRABAJO 11 Lectura de expresiones algebraicas (1)

1. Se va a usar el programa 2+2×b para completar esta tabla. Encuentra los valores que faltan sin usar la calcu-ladora.

Número de entrada

Número de salida

3 9

11.5 12 15 18

Teclea ese programa en tu calculadora y comprueba si tus respuestas son correctas. Si tus respuestas no fueron correcta corrígelas de acuerdo con lo que obtuviste en la calcu-ladora y explica a qué se debió tu error. 2. Observa el programa 3+5×a. Sin usar la calculadora, completa la siguiente tabla de

acuerdo con los valores que ese programa produciría. Valor de entrada

2 4 5 8 12 20

Valor de salida

53 78

3. Teclea el programa en tu calculadora y úsalo para comprobar tus respuestas. ¿Tus res-

puestas coincidieron con los resultados que te da la calculadora? ________________ Si no fue así, ¿a qué crees que se deba que sean distintos tus resultados y los de la calculadora?_______________________________________________________ ________________________________________________________________

4. Teclea en tu calculadora el programa (3+5)×a y completa la siguiente tabla.

Valor de entrada

2 4 5 8 12 20

Valor de salida

53 78

5. Compara los resultados que obtuviste con los de la tabla del inciso (2). ¿A qué crees que se deban las diferencias? Explícalo con un ejemplo _______________________ _______________________________________________________________ _______________________________________________________________ _______________________________________________________________



HOJA DE TRABAJO 12 Lectura de expresiones algebraicas (2)

La siguiente tabla se produjo con un programa en la

calculadora:

7 23 9 29 10 32 12 38 16 50

1. Un estudiante dice que el programa 2+3×b le permite producir los valores de esa tabla.

¿Estás de acuerdo con él? ___________ Escribe un ejemplo que tu justifique tu res-puesta ________________________________________________________

2. Una estudiante dice que el programa 2+b+b×2 también produce los valores de esa ta-

bla. ¿Estás de acuerdo con ella? ________________ Escribe un ejemplo que justifi-que tu respuesta. __________________________________________________

3. Otra estudiante dice que el programa 5×a+2−2×a también produce los valores de esa

tabla. ¿Estás de acuerdo con ella? ___________ Escribe dos ejemplos que justifiquen tu respuesta. ___________________________________________________

4. ¿Puedes encontrar otro programa que permita obtener los valores de esa tabla? Escri-

be todos los programas que encuentres. _____________________________________

_____________________________________________________________________

_____________________________________________________________________

_____________________________________________________________________

_____________________________________________________________________

_____________________________________________________________________

_____________________________________________________________________

_____________________________________________________________________

_____________________________________________________________________




1. Una estudiante hizo un programa que proce la siguiente ta-

bla:

Valor de entrada

Valor de salida

7 20 7.5 21.5 8.2 23.6 9 26

9.6 27.8

2. Si el valor de entrada es 10, ¿qué valor de salida dará la calculadora? _____________

Si el valor de entrada es 12, ¿qué valor de salida dará la calculadora? _____________ 3. La calculadora dio 17.5 como valor de salida. ¿Cuál es el valor de entrada? _________

Explica con detalle qué hiciste para encontrar el valor asociado a 17.5. ______ _____________________________________________________________________ _____________________________________________________________________ _____________________________________________________________________ _____________________________________________________________________


que produzca la tabla del inciso (1)? Es-cribe tu programa en el recuadro.

Usa el programa que hiciste para completar la siguiente tabla.

Valor de entrada

3 5.1 9.4 22

Valor de salida

17 15.2 32.6 80



HOJA DE TRABAJO 14


Valor de entrada

Valor de salida

1. Una estudiante hizo un programa que produce lo si-guiente:

10 2.5

15 3.75

20 5

25 6.25

30 7.5

2. Si el valor de entrada es 56, ¿qué valor de salida arrojará la calculadora? ________ 3. Si la calculadora da 87 como valor de salida. ¿Cuál es el valor de entrada? _________ 4. Explica con detalle qué hiciste para encontrar el valor asociado a 87 ____________

____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________




Valor de entrada

3 5.1 9.4 22

Valor de salida

1 1.65 2.7 8.75



HOJA DE TRABAJO 15

1. Un estudiante hizo un programa que produce la siguiente

tabla:

2 5

3 7.5

4 10

5 12.5

2. Si el valor de entrada es 6, ¿qué valor de salida va a dar la calculadora? __________ 3. ¿Si el valor de entrada es 7? _______________ ¿Si es 55? __________________

4. La calculadora dio 35 como valor de salida. ¿Cuál es el valor de entrada? __________

5. ¿Qué operaciones aritméticas hiciste para encontrar el valor asociado a 35? _________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________


que haga produzca la tabla del inciso (1)? Escribe tu programa en el recuadro.

7.


Valor de entrada

3 5.1 9.4 12.2

Valor de salida

8.5 15.5 23.5 35



HOJA DE TRABAJO 16 Constante de proporcionalidad fraccionaria (5)

0.15 0.015 1. Esta tabla se hizo utilizando un programa.

0.27 0.027

0.3 0.03

1.5 0.15

2.03 0.203

2. Si el valor de entrada es 10 ¿qué valor de salida dará la calculadora? ____________ 3. La calculadora dio 37 como valor de salida, ¿cuál es el valor de entrada? __________ 4. ¿Qué operaciones aritméticas hiciste para encontrar el valor asociado a 37? _______

________________________________________________________________ ________________________________________________________________ 4. ¿Cómo puedes comprobar que el valor que asociado a 37 es el correcto? Explícalo con

detalle. ______________________________________________________________ _____________________________________________________________________ _____________________________________________________________________ _____________________________________________________________________ _____________________________________________________________________




3 5.1 9.4 12.2 0.4 0.63 1.18 35



Actividades que se sugieren para el futuro docente

1. Con base en la experiencia que has vivido al realizar las actividades de este blo-que explica el papel que desempeñan las tablas de valores en este acercamiento didáctico. ¿Puede sustituirse ese papel con otro tipo de recurso? Discute amplia-mente tu respuesta con tus compañeros(as) y tu profesor.

2. Con base en la experiencia que has vivido al realizar las actividades de este blo-que explica el papel que desempeña el uso de un procesador algebraico en este acercamiento didáctico. ¿Puede sustituirse ese papel con otro tipo de recurso? Discute ampliamente tu respuesta con tus compañeros(as) y tu profesor.

3. En la presentación de este bloque de actividades se afirma que a través de ellas se transita del ámbito de las funciones lineales al de las ecuaciones lineales con una incógnita. Identifica en qué parte de las actividades se puede encontrar sus-tento para esa afirmación. Discute tu respuesta con tus compañeros(as) y tu pro-fesor.

4. En la presentación de este bloque de actividades se afirma que a través de ellas “se transita de las funciones de la forma f(x)=x+a, f(x)=ax y f(x)=ax+b, a las in-versas de esas funciones”. Identifica en qué parte de las actividades se puede en-contrar sustento para esa afirmación. Discute tu respuesta con tus compañeros(as) y tu profesor.

5. En la presentación de este bloque de actividades se afirma que a través de ellas

“se transita del ámbito de la producción de expresiones algebraicas para expresar la regla que gobierna el comportamiento de un patrón numérico, al ámbito de la lectura de esas expresiones”. Identifica en qué parte de las actividades se puede encontrar sustento para esa afirmación. Discute tu respuesta con tus compañe-ros(as) y tu profesor.

6. En la presentación de este bloque de actividades se mencionan las funciones de la

forma f(x)=x+a, f(x)=ax y f(x)=ax+b. Indaga en fuentes bibliográficas o en Inter-net cuáles son las definiciones de los siguientes conceptos:

(i) Dominio de una función. (ii) Contradominio de una función. (iii) Imagen de una función. (iv) Regla de correspondencia de una función. Ejemplifica esos conceptos con extractos de las actividades que has realizado en este bloque.

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