RAIZ CUADRADA

230

SolucioneS

SugerenciaS didácticaS

Página 198

la raíz cuadrada

16 u2

4 u

8

6

4 = 16

52 o bien 5 = 25

9 = 81

72 o bien 7 =49

198

TEMA 2

La raíz cuadrada

Si un cuadrado tiene 5 unidades de longitud por lado, su área es 25 o de manera opuesta si 25 es el área de un cuadrado, entonces su lado es de longitud 5.

Si un cuadrado tiene 4 unidades de longitud por lado, su área es de , de manera inversa, si el área es 16, la longitud del lado es de

Si el área es de 64, la longitud de cada lado es de

Si un cuadrado tiene unidades de longitud por lado, su área es de 36.

Si el área de un cuadrado es 4 unidades cuadradas, entonces podemos decir que cada lado mide 2 unidades de longitud.

Así, 4 está relacionado con 2, pues la raíz cuadrada de 4 es 2 y 4 es 2 al cuadrado. De manera análoga 9 es 3 al cuadrado y 3 es la raíz cuadrada de 9.

Usamos el símbolo para denotar la raíz cuadrada.

Así escribimos: 4 = 22 o bien 2 =

Completa

16 = 42 o bien =

25 = o bien 5 =

81 = 92 o bien =

49 = o bien 7 =

Raíz cuadrada y potencias

raíz cuadrada y potEncias

investiga quién inventó el símbolo para escribir la raíz cuadrada.

4

BLoquE 4

81

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Explique a los alumnos (quienes tienen cierta aver-sión por la raíz cuadrada) que es recomendable esta dinámica para que ellos se familiaricen con el tema. Dígales un número, de preferencia que sea máximo de dos cifras para facilitar la comprensión, y pída-les que lo eleven al cuadrado sin dejar de advertirles que tienen que recordar el número que usted les dio inicialmente. Por ejemplo, 15 elevado al cuadrado es 225. Después de preguntarles a cuatro alumnos los cuadrados, dígales el resultado para que lo verifi-quen y pregúnteles cuál fue el número con el que em-pezaron. Haga esto varias veces. Luego pregúntele a un escolar el cuadrado de un número que usted les dé e inmediatamente después solicite a otro el núme-ro inicial. Repita esto con cada dos alumnos. (Es im-portante que no deje de preguntar el número inicial ni de decir el resultado para que lo verifiquen).

Comente que, por comodidad, al número inicial se le llama “raíz cuadrada”. Insista en que buscar la raíz cuadrada de un número significa “encontrar el número inicial”. Pídales que ahora escriban una lista de cinco números en su cuaderno y que los eleven al cuadrado. Haga una cadena oral de esta manera: un alumno dirá un número, le pedirá a otro compañero que el número lo eleve al cuadrado y este alumno le preguntará a otro el número inicial o la raíz cuadra-da, quien a su vez dirá un número, le pedirá a otro compañero que lo eleve al cuadrado y este alumno le preguntará a otro el número inicial o la raíz cuadra-da, y así sucesivamente.

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Página 199

∙∙ 5 se encuentra entre 2 y 3∙∙29 se encuentra entre 5 y 6∙∙58 se encuentra entre 7 y 8

∙∙14 está entre 3 y 4 ∙∙18 está entre 4 y 5

199

Si 2 está entre 1 y 4, 2 está entre 1 y 4 , es decir,

1< 2< 4

Otro ejemplo, 7 se encuentra entre 4 y 9, 7 está entre 4 y 9, es decir, 7 está entre 2 y 3, 2 < 7< 3.

Completa: 5 se encuentra entre y

29 se encuentra entre y

58 se encuentra entre y

Para saber entre qué números está 22 en un tablero como el de la figura, colocamos en orden 22 fichas empezando por rellenar el cuadrado de lado 1 luego el de lado 2, después el de lado 3 y así hasta quedarnos sin fichas.

En nuestro ejemplo el mayor cuadrado obtenido es de lado 4 y sobraron 6 puntos; no alcanzamos a completar el cuadrado 5, así que 22 está entre 4 y 5, pues 22 está entre los cuadrados de lados 4 y 5, es decir, 22 está entre 16 y 25.

Repite este procedimiento para ver entre qué números se encuentran 14 y 18 .

14 está entre y 18 está entre y


6

5

4

3

2

1

6

5

4

3

2

1

6

5

4

3

2

1

6

5

4

3

2

1

En el cuadrado de lado 1, se colocan 3 más para formar uno de lado 2; para completar uno de lado 3 se le agregan 5, y así sucesivamente hasta aproximarse a la raíz buscada.

1< 2 < 2 2 está entre 1 y 2

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Haga notar a los alumnos que existen raíces cua-dradas que a veces son difíciles de calcular porque su resultado es un número decimal; sin embargo, siempre ayuda saber entre qué números está la raíz cuadrada.

Pida a un escolar que le dé el cuadrado de 9 e in-dicarle a otro que le dé el cuadrado de 10. Luego pregúnteles entre qué cantidades está la raíz cua-drada de 82. Hágales notar que la raíz cuadrada de 82 al cuadrado es 82. Por lo tanto, el cuadrado está entre 81 y 100; es decir, está entre 9 eleva-do al cuadrado y 10 elevado al cuadrado. Así, les resulta normal pensar que la raíz cuadrada de 82 está entre la raíz de 81 y la raíz de 100. Repita con el número 89 y luego con otros.

Es muy importante mencionar que la raíz cuadra-da y la elevación al cuadrado de un número se utilizan con números positivos y en cierto sentido son operaciones recíprocas. Indíqueles que para el trabajo que ellos desarrollarán en secundaria, pueden pensar que no existe la raíz cuadrada de un número negativo.

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SolucioneS


200

En la siguiente tabla tenemos una aproximación a centésimos de las raíces cuadradas de los números del 1 al 10.

Hay varios métodos para calcular raíces cuadradas, explicaremos cómo encontrar la raíz cuadrada por ensayo y error. Para entender bien el proceso empecemos por calcular la raíz cuadrada de 625.

Empecemos con un número del cual conozcamos el cuadrado o que éste sea fácil de obtener. Por ejemplo, cuadrados que conocemos:

102 = 100 202 = 400 302 = 900

Nos damos cuenta de que entre éstos, el cuadrado más cercano a 625 es 400.

Aunque con este método podemos empezar por cualquier número cuyo cuadrado sea menor que 625 es conveniente empezar por 22 para llegar antes al resultado.


n 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

n 1.00 1.41 1.73 2.00 2.24 2.45 2.65 2.83 3.00 3.16

1. Verificamos si nuestra suposición es buena ha-ciendo la división de 625 entre 22. Si le atinamos a la raíz cuadrada, el cociente será igual al divisor.

2. En este caso, a pesar de que obtuvimos algo distinto a 22, tenemos como cociente 28 y esto nos hace creer que la raíz cuadrada está entre 22 y 28. Tratemos con 25.

3. Ahora podemos ver que el cociente es igual al divisor y comprobar que:

2822 625 –44

185–176

09

2525 625

–50 125–125 0

25 × 25 = 252 = 625

De manera que:

625 = 25

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Explique a los alumnos que aquí se propone una técnica para calcular la raíz cuadrada. La técnica se apoya en que la raíz cuadrada es la operación inver-sa a la de elevar al cuadrado un número. Los alum-nos deben aplicar las propiedades que desarrollaron en la página anterior y deben darse cuenta de que el número cuya raíz cuadrada quieren obtener está entre otros dos números, los cuales corresponden a números enteros positivos elevados al cuadrado. Luego deben seguir el algoritmo, lo que consiste en ir encasillando la raíz que buscan entre los dos nú-meros cuyas raíces cuadradas conocen.

Dígales que en esta época la calculadora es uno de los mejores instrumentos para obtener de manera rápida y eficiente la raíz cuadrada de un número. Sin embargo, sí es importante que ellos entiendan que este algoritmo reposa en aproximaciones suce-sivas, lo cual resulta muy fácil de recordar, y que lo que están haciendo es simplemente encasillar la raíz que quieren calcular.

La raíz está entre 10 y 15

La raíz se localiza entre 12 y 12.5

Tomemos 12.25 como una aproximación a ∙∙150 .

Página 201

La raíz se ubica entre 31.5 y 31.7.

Se toma como aproximación 31.6. La raíz exacta es 31.62277660168379332

b) La raíz se encuentra entre 7 y 7.7

15 10 150 −10 050 −50 00

12.50 12 150 −12 030 −24 060 −60 000

32 31 1000 −93 70 −62 8

31.7 315 10000 −945 550 −315 2350 −2205 145

7.7 7 54 −49 50 −49 1

actividadeS

1. a) 302 = 900, tomemos 31. La raíz se encuen-tra entre 31 y 32.

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201raíz cuadrada y potEncias

12 150

10 150

acTIVIdadES

12.

1. Empecemos con 30, ya que 302= 900 y 402=1 600.

2. El resultado indica que la raíz está entre 30 y 44. Tratemos con 36.

3. Tratemos con 36.5 ya que la raíz está entre 36 y 37.

3736 1344

–108264

–252 12

4430 1344

–1200144–120

024

36.8365 13440

–10952490

–21903000

–2920 0080

Veamos otro ejemplo: hay que encontrar la medida del lado de un cuadrado de área igual a 1 344. La respuesta se dará con un decimal. La raíz cuadrada de 1 344 será el valor del lado buscado.

4. Así podemos decir que una buena aproximación es 36.6 ya que sabemos que la raíz está entre 36.5 y 36.8 por los cálculos anteriores.

Completa para encontrar la aproximación de 150

La raíz está entre 10 y

Efectúa la división hasta obtener dos decimales en el cociente.

La raíz está entre 12 y

Tomemos como una aproximación a 150.

1. En tu cuaderno obtén una aproximación de:

a) 1000 b) 54

2. Encuentra la medida aproximada del lado de un cuadrado cuya área es:

a) 3 000 b) 154

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Diga a los alumnos que la práctica hace al maes-tro, por lo que deben practicar para poder calcu-lar la mejor aproximación a una raíz cuadrada. Haga varios ejemplos en el pizarrón para que ellos entiendan cómo se efectúa la aproximación.

Es importante que pierdan el temor a equivocar-se, —pues es natural que lo sientan— y que poco a poco vayan afinando la aproximación. Como no están acostumbrados a este tipo de técnica, es conveniente que hagan varios ejercicios para que entiendan y manejen adecuadamente la técnica de aproximación.

Explíqueles que es importante que entiendan el significado de la raíz cuadrada, por lo que una vez que sepan manejar el algoritmo, deben rela-cionarlo con problemas cuya solución se obtiene por medio de la raíz cuadrada; por ejemplo, con problemas en los que es necesario encontrar el lado de un cuadrado cuya área se conoce.

La raíz se encuentra entre 7.3 y 7.39. Se toma como aproximación 7.34. La raíz es 7.348469228349534294592.

longitud del lado del cuadrado es n = 54.77225575051661134569697828008

b) Sea n la medida del lado del cuadrado. n = ∙∙∙154

La longitud del lado se encuentra entre 12 y 12.8

La longitud del lado se encuentra entre 12.4 y 12.41. De manera aproximada n es igual a 12.405. El valor de la longitud del lado del cuadrado es n = 12.409673645990856596133241955449

2. a) Sea n la medida del lado del cuadrado. n = ∙∙3000 .

La longitud del lado se encuentra entre 50 y 60

La longitud del lado se encuentra entre 54 y 55

La longitud del lado se encuentra entre 54.5 y 55. De manera aproximada n es igual a 54.75. El valor exacto de la

7.39 73 540 −511 290 −219 710 −657 53

60 50 3000 −300 00

54 55 3000 −275 250 −220 30

55 545 30000 −2725 2750 −2725 25

12.8 12 154 −12 34 −24 100 −96 4

12.41 124 1540 −124 300 −248 520 −496 240 −124 116

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SolucioneS


Página 202

actividadeS

1. a) 32.012 = 1024.6401 b) 1.252 = 1.5625 c) 51.12 = 2611.21

2. a) ∙∙∙0.81 = 0.9

b)∙∙∙10.1 es aproximadamente 3.18,

ya que 3.17 < ∙∙∙10.1 < 3.18.

c) ∙∙∙6.25 = 2.5

3. a) ∙∙∙4.81 < ∙∙∙6.3 b) (2.2)2 > (1.4)2

202

Decimales, raíces y cuadrados

En los números decimales (2.05)2 significa 2.05 × 2.05 = 4.2025. Ahora, 1.69 es un número tal que elevado al cuadrado es igual a 1.69, es decir que ( 1.69 ) ( 1.69 )= 1.69.

Para encontrar la raíz cuadrada de un número decimal, podemos usar la misma técnica que para los números naturales.

Calculemos 1.69.

Recuerda que al elevar un número al cuadrado su significado geo-métrico sería un cuadrado cuyo lado es el número; así que si un número es menor que otro, al elevarlo al cuadrado sigue siendo menor, por ejemplo 0.53 < 0.54, por tanto (0.53)2 < (0.54)2.

Si un número es menor que otro, su raíz cuadrada también será menor. Como 25.032 < 25.12, entonces 25.032 < 25.12.

No es necesario calcular la raíz cuadrada o el cuadrado para saber qué número es mayor.

1. Calcula en tu cuaderno:

a) (32.01)2 b) (1.25)2 c) (51.1)2

2. Calcula en tu cuaderno. Aproxima con dos números decimales.

a) 0.81 b) 10.1 c) 6.25

3. Coloca el símbolo adecuado < o >.

a) 4.81 6.3 b) (2.2)2 (1.4)2


acTIVIdadES

1.Empecemoscon1. 2.Despuéstomamosunnúmeroentre1y1.69,porejemplo1.5

3.Comopuedesver,necesitamoscontinuar,asíqueahoratomamos1.3queestáentre1.1y1.5

4.Comoeldivisoryelcocientesoniguales,en-contramoslarespuesta.

1.115 16.9

01 94

1.69 = (1.3)2

de donde 1.69 = 1.3

1.691 1.69

0 6090

1.313 16.9

390

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Explique a los alumnos que deben repetir la misma técnica, pero ahora deben aproximar las raíces cua-dradas con números decimales, lo cual es un poco más complicado para ellos, sobre todo para aquellos que no manejan bien la aproximación con números enteros positivos.

Repita algunas actividades de las páginas anterio-res pero ahora con números decimales. Por ejemplo, empiece con un número decimal y pídales que calcu-len su cuadrado.

Dígales que es muy usual que ellos tengan problemas con el punto decimal, por lo que les pedirá que le den una aproximación de la raíz cuadrada de 0.9 (una aproximación es 0.94). Seguramente le contes-tarán que es 0.3, sin darse cuenta de su error. En este caso pídales que eleven 0.3 al cuadrado y que tengan cuidado con el punto decimal.

3.3 3 10.1 −9 11 −9 2

3.2 315 1010 −945 650 −630 20

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Página 203

c) ∙∙∙75.82 > ∙∙∙75.62 d) (32.12)2 > (23.21)2

e) (0.04)2 < (0.4)2 f) ∙∙∙0.04 < ∙∙∙ 0.4

203

c) 75.82 75.62 d) (32.12)2 (23.21)2

e) (0.04)2 (0.4)2 f) 0.04 0.4

Potencias

Un biólogo logra aislar una célula. Al cabo del primer minuto, hay dos células, al segundo minuto ya hay cuatro células. ¿Cuántas habrá después de 5 minutos?

Observa que a partir del diagrama anterior es fácil predecir que al cabo de 5 minutos, habrá 32 células; basta observar que el número de células en cada minuto transcurrido es una potencia de 2, es decir, 1= 20, 2 = 21, 4 = 22, 8 = 23, 16 = 24, 32 = 25, etcétera.

En el ejemplo de las células:

Al 2 se le llama base y al 5 se le llama exponente. En el cálculo de áreas de cuadrados y volúmenes de cubos aparecen potencias con exponente 2 y 3, respectivamente, llamadas cuadrados y cubos; por ejemplo, el área de un cuadrado de lado l se expresa como l2 y el volumen de un cubo de lado a como a3 .

Si al 2 lo multiplicamos por él mismo n veces, lo escribimos como:

Lo mismo sucede con cualquier otro número:


En suma

En general, la potencia de un número es la multiplicación de éste por sí mismo, tantas veces como indica el exponente.

Cápsula

célula minutos

1 0

2 1

4 2

8 3

25 = 2 × 2 × 2 × 2 × 2 5 veces

{

2 × 2 × 2 × … 2 = 2n

n veces

{

(1.5) × (1.5) × …(1.5) = (1.5)n

nveces

{

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Digaa los alumnos que los problemas como el si-guiente pueden resultar muy divertidos. Si en un frasco una célula se duplica cada minuto y está lleno de esas células después de 1 hora, ¿en qué minuto estaba a la mitad? Explíqueles que si en determinado minuto hay cierto número de células, entonces en el minuto anterior a ése había la mitad de éstas, ya que las células se duplican cada minuto. Pregúnteles qué pasa con células que se triplican. Si el frasco está lleno al cabo de 1 hora, ¿en qué tiempo estaba a un tercio de su capacidad?

Explíqueles que empezarán con una célula un nuevo problema. Pregúnteles cuántas células hay después de 1 minuto si éstas se multiplican por 10 cada mi-nuto. Luego, ¿cuántas hay a los 2, 3 y 4 minutos?

Recuérdeles que en el tema 1 del bloque 1 se utilizó una notación, que es la notación exponencial, para indicar 10 × 10 × 10 × 10 de otra manera. Una vez explicado esto pregúnteles qué pasa si la célula se triplica cada minuto y cuántas hay después de 1, 2 o 3 minutos. Recuérdeles que en el tema 2 del blo-que 1 se usó también una notación exponencial cu-yos exponentes eran 2 y 3. Pregúnteles cómo se les ocurre escribir 3 × 3 × 3 × 3 mediante el uso de un exponente. Explique el significado de esa notación y de un exponente general n.

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SolucioneS


Página 204

a) 34 = 3 × 3 × 3 × 3 = 81

b) 125 = 1 × 1 … × 1 = 1

25 veces

c) (3.2)3 = 3.2 × 3.2 × 3.2 = 32.768

• Volumen = 4.7 × 4.7 × 4.7 = 103.823 cm3

La longitud de la arista es la raíz cúbica del volumen.

La longitud del lado es 3.

64 = 4 × 4 × 4. La longitud del lado es 4.

204

Indica la multiplicación y calcula el resultado:

a) 34 = =

b) 125 = × … × =

veces

c) (3.2)3 = × × =

Para calcular el volumen de un cubo se usa la fórmula:

Volumen = lado × lado × lado = l × l × l = l3

Es decir, la longitud del lado se eleva al cubo; así, para encontrar el volumen de un cubo tenemos que elevar la longitud del lado a la potencia 3.

Calcula el volumen de un cubo cuyo lado tenga longitud 4.7 cm.

volumen =

Ya que para calcular el volumen de un cubo hay que multiplicar la longitud del lado por él mismo tres veces:

¿Cómo crees que podemos encontrar la longitud del lado de un cubo

conociendo su volumen?

27 = 3 × 3 × 3, así que si el volumen de un cubo es 27, la longitud

del lado es

Si el volumen de un cubo es 64, dado que:

64 = × × , la longitud del lado es

Si tenemos que 9 = 32, 3 es la raíz cuadrada de 9.

Si tenemos que 27 = 33, 3 es la raíz cúbica de 27.

Si tenemos que 81 = 34, 3 es la raíz cuarta de 81.

Si tenemos que 243 = 35, 3 es la raíz quinta de 243.


{

l

9 = 3

3 27 = 3

4 81 = 35 243 = 3

l

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Indique a los alumnos que la notación exponencial van a utilizarla en segundo grado, por lo que de-ben familiarizarse con ésta y usarla adecuadamente. Además, es importante que ellos entiendan que esta notación es simplemente una manera de abreviar la representación de un número que se multiplica por sí mismo cierto número de veces.

Pregunte en qué fórmulas se utiliza la notación ex-ponencial y presente ejercicios para que practiquen.

Página 205

4 5 , 4 es la raíz quinta de 1024

7 3

, 7 es la raíz cúbica de 343

Si 729 = 93, 9 es la raíz cúbica de 729

11.1355 es la longitud del lado del cuadrado.©

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205

Calcula.

Si 1 024 = 4 , es la raiz de 1 024

Si 343 = 7 , es la raiz de 343

Si = 93, es la raiz de

Si el área de un cuadrado es 124. Calcula la longitud del lado.

Completa la siguiente tabla y contesta las preguntas.

¿Qué número tiene cuarta potencia 10 000?

¿Qué número tiene raíz cúbica 5?

¿Qué número tiene raíz cuadrada 0.5?

¿Qué número es la raíz cúbica de 3.375?

¿Qué número es la raíz cuadrada de 0.25?

¿Qué número es la raíz cúbica de 140.608?

¿Qué número es la raíz cuarta de 50 625?

¿Qué número tiene tercera potencia igual a 8?

¿Qué número tiene segunda potencia igual a 169?

¿Qué número tiene cuarta potencia igual a 5.0625?

¿Cuál es la raíz cuarta de 10 000?

¿Cuál es la raíz quinta de 100 000?

n n2 n3 n4

0.5 0.125

1.5

16

27

16

125

5.2

10 000

144

169

225

En suma

La raíz cúbica de un número a es 3 a , que al elevarlo a la tercera potencia nos da nuevamente a.

La raíz cuarta de un número b es 4 b , que al elevarlo a la cuarta potencia nos da nuevamente b.

Cápsula


( )3 a 3 = a

( )3 27 3 = 27

( )4 b 4 = b

( )4 256 4 = 256

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Dígales que una manera sencilla de calcular poten-cias en la calculadora es ver al exponente como un número que indica las veces en que se multiplica cierta cantidad por sí misma. Sin embargo, hay cal-culadoras con la tecla yx cuya función es elevar el nú-mero que se quiera a cierta potencia. Indíqueles que si tienen una calculadora con esa tecla, para elevar 23 opriman primero la tecla del número que quieren elevar (en este caso la del 2), luego que presionen la tecla yx, después que aprieten la tecla del número 3 y finalmente que opriman la tecla del signo de igual, con lo cual obtendrán 8, que es lo mismo que 23.

n n2 n3 n4

0.5 0.25 0.125 0.0625

1.5 2.25 3.375 5.0625

2 4 8 16

3 9 27 81

4 16 64 256

5 25 125 625

5.2 27.04 140.608 731.1616

10 100 1 000 10 000

12 144 1 728 20 736

13 169 2 197 28 561

15 225 3 375 50 625

El 10 es el número cuya cuarta potencia es 10 000.El 125 tiene raíz cúbica 5.El 0.25 tiene como raíz cuadrada 0.5El 1.5 es la raíz cúbica de 3.375El 0.5 es la raíz cuadrada de 0.25El 5.2 es la raíz cúbica de 140.608El 15 es la raíz cuarta de 50 625El 2 tiene tercera potencia 8El 13 tiene segunda potencia 169El 1.5 tiene cuarta potencia 5.0625El 10 es la raíz cuarta de 10 000El 10 es la raíz quinta de 100 000

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SolucioneS

Diga a los alumnos que es importante que en el trabajo en equipo de la página siguiente, puedan convertir unidades cuadradas, ya sean grandes o pequeñas. Recuérdeles, por ejemplo, que 1 cm2 equivale a 0.01 m2. Permítales que usen la calcu-ladora para efectuar los cálculos.

206

acTIVIdadES

1. Calcula en tu cuaderno lo que se indica; en el caso de las raíces, aproxímalas con dos decimales:

a) 841 b) 484 c) (37)2

d) 88 e) 3452 f) (32.2)2

g) (4.82)3 h) (0.202)4 i) (49)2

j) 225 k) 2197 l) 64

m) 3.375 n) 1728 o) 1000

2. Calcula.

el volumen de un cubo con lado de longitud 31.2

el volumen de un cubo con lado de longitud 50.653

el área de un cuadrado con lado de longitud 22.22

el área de un cuadrado con lado de longitud 73.12

la longitud del lado de un cuadrado con área de 234 cm2, con una aproximación en milímetros.

La longitud de un cubo con volumen 1.728 cm3

La calculadora se inventó para poder hacer las operaciones de manera más rápida y precisa. En tu calculadora localiza la tecla

. Marca un número y luego oprime la tecla , obtendrás la raíz cuadrada del número que marcaste inicialmente. Usa la calcu-ladora para verificar los resultados del ejercicio 2.


4

4

3

3

3

3

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ActividAdeS

1. a) 29 b) 22 c) (37)2 = 1 369

d) De ∙∙88 es aproximadamente 9.35, ya que

e) De ∙∙3452 es aproximadamente 58.75. Las ope-raciones realizadas para obtener este resultado fueron:

f) (32.2)2 = 1036.84 g) (4.82)3 = 111.980168 h) (0.202)4 = 0.001664966416 i) (49)2 = (72)2 = (7)4 = 2 401 j) 3.87 k) 13 l) 4 m) 1.35 n) 12 o) 10

2. • Volumen = (31.2)3 = 30 371.328

• Volumen = (50.653)3 = 129 961.7398

• Área = (22.22)2 = 493.7284

• Área = (73.12)2 = 5 346.53

• La longitud del lado del cuadrado es ∙∙234 , que es aproximadamente 15.3 cm = 153 mm.

• La longitud del lado del cubo es 3∙∙ 1.728 = 1.2 cm

9.7 9 88 −81 70 −63 7

59 585 34520 −2925 5270 −5265 5

58 59 3452 −295 502 −472 30

69 50 3452 −300 452 −450 2

SugerenciAS didácticAS

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Algunas calculadoras tienen la función para elevar un número a una potencia. Dependiendo de la calculadora es la secuencia de teclas que se tiene que usar para encontrar el resultado. Pide a tu maestro que te ayude a descubrir esa secuencia para poder elevar un número a una potencia.

1. Efectúa los siguientes ejercicios con tu equipo.

Calculen la longitud del lado de un cuadrado con área de 10 km2,con una aproximación a metros.

Calculen la longitud del lado de un cuadrado con área de 149m2, con una aproximación a centímetros.

Si un chisme se propaga de manera que el primer día lo conocen 5 personas y el segundo día cada una se lo cuenta a 5 personas distintas y el tercer día cada una de esas personas a 5 y así sucesivamente, indiquen en cuántos días sabrán el chisme al menos 2 millones de personas.

Comparen las parejas de números, escriban cuál es mayor y den una explicación.

a) (0.05)2 y (0.005)2 b) (12.1)2 y (12)2

c) 121 y 133 d) (23.5)3 y (32.3)3


TraBaJO EN EQuIPO

Seriesdecaramelos

Mariana y Pedro se están repartiendo los caramelos de una bolsa con el procedimiento siguiente:

Pedro toma un caramelo, Mariana dos, Pedro tres, Mariana cuatro y así sucesivamente, cada uno toma en su turno uno más que el otro. Mariana es la última en tomar caramelos. En ese momento Mariana tiene 10 caramelos más que Pedro, ¿cuántos caramelos había en la bolsa?

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Series de caramelos

Indique a los alumnos que después de leer el pro-blema le contesten las siguientes preguntas: cuan-do Mariana toma 2 caramelos, ¿cuántos tiene más que Pedro? Luego haga nuevamente la pre-gunta, pero esta vez diga que Mariana tomó 4, 5 etc. ¿Después de cuántas veces tendrá Mariana 10 caramelos más que Pedro?

Déjelos que traten de resolver el problema, para lo cual ellos deben obtener una solución utilizando un argumento del siguiente tipo: ”Como la bolsa quedó vacía, si los caramelos que tomó Mariana los indicamos subrayando el número, entonces tendremos esto”:

1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10 + 11 + 12 + 13 + 14 + 15 + 16 + 17 + 18 + 19 + 20

Dígales que una forma de calcular rápidamente esta suma es partiéndola en dos y colocándola de la siguiente manera:

1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 1020 + 19 + 18 + 17 + 16 + 15 + 14 + 13 + 12 + 11

Explíqueles que al sumar un número de arriba con uno de abajo obtienen en cada suma 21 cara-melos, que tienen exactamente 10 sumas y que al multiplicar 21 × 10 obtienen el resultado, que es 210 caramelos.

Otra solución es la siguiente:

Sea n el número de turnos que se llevaron a cabo al repartir caramelos. Pedro tiene 1 + 3 + 5 + … 2n − 1 caramelos, mientras que Mariana tiene 2 + 4 + 6 + … + 2n caramelos. En total, Pedro tiene n2 caramelos y Mariana tiene n(n+1) caramelos. Al final, Mariana tiene 10 caramelos más que Pe-dro. n2 + n − n2 = 10, por lo que se repartieron los caramelos en 10 turnos. Lo anterior implica que Pedro tiene 102 = 100 caramelos y Mariana tiene 10 × 11 = 110 caramelos. La bolsa tenía en total 210 caramelos.

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trAbAjo en equipo

1. • La longitud del lado es aproximadamente 3.162 km = 3 162 m.

• La longitud del lado es aproximadamente 12.4 m = 1 240 cm.

• Denotemos por d al número que cumple con la condición de que al menos 2 000 000 de personas se enteren, es decir, 5d > 2 000 000.

51 = 5, 52 = 25…, 58 = 390 625, 59 = 1 953 125, 510 = 9 765 625

De lo anterior, tienen que pasar 10 días para que al menos 2 millones de personas se enteren.

• Basta ver cuál es mayor o menor antes de tomar la raíz cua-drada o elevar a la potencia indicada.

a) (0.05)2 > (0.005)2 b) (12.1)2 > (12)2

c) ∙∙121 < ∙∙133 d) (23.5)3 < (32.3)3

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RAIZ CUADRADA

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