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Material Virtual – Curso de preparación para el Examen de COMIPEMS 2020 – Matemáticas

Tema (s): RAZONAMIENTO MATEMÁTICO

Subtemas: SUCESIONES NUMÉRICAS SERIES ESPACIALES

Un matemático, es como un pintor o poeta, es un fabricante de patrones. —G. H. Hardy, A mathematician’sApology, 1940

A. Sucesiones numéricas

Una de las tareas más importantes de las matemáticas es descubrir y caracterizar patrones regulares, tales como los relacionados con los procesos que se repiten. La principal estructura matemática que se utiliza en el estudio de los procesos que se repiten es la sucesión y la principal herramienta matemática que se usa para comprobar suposiciones acerca de las sucesiones es la inducción matemática. Imagina que una persona te pregunta por tus antepasados. Tú tienes dos padres, cuatro abuelos, ocho bisabuelos y así sucesivamente, estos números se pueden escribir en un renglón como:

2, 4, 8,...

El símbolo “...” se llama puntos suspensivos. Es la abreviatura de “y así sucesivamente”. Para expresar el patrón de los números, suponga que cada uno está etiquetado por un entero que indica su posición en el renglón.

Generación Padres Abuelos Bisabuelos Tatarabuelos …

Posición 1 2 3 4 … n

Número 2 4 8 16 …

Si te preguntan ¿Cuántos tatarabuelos tienes? Y te dan las siguientes opciones:

A. 8

B. 12

C. 16

D. 20

La opción que debes señalar es la C. pues en general las personas tenemos 16 tatarabuelos. Por

otra parte es común que se presenten sucesiones numéricas y se necesite obtener el patrón que

éstas obedecen. En este caso específico el patrón que se obedece es , pues si sustituimos

el valor de la posición n, obtendremos el número de padres, abuelos, bisabuelos, etcétera que

tenemos.

El número de padres,

Abuelos,

Bisabuelos, etcétera.

Es importante que te des cuenta que los números presentados obedecen a una sucesión particular

y de ser posible obtengas el modelo general o patrón del mismo. También es común que debas

encontrar los términos siguientes de una sucesión que se te proporciona, para ello hay varias

técnicas, por ejemplo:

Encontrar el siguiente término de la sucesión: 3, 10, 17, 24, 31, ____


En este caso podemos darnos cuenta de que entre dos términos consecutivos hay siete unidades,

es decir, dado un término de la sucesión, para obtener su sucesor es necesario sumar siete

unidades a éste:

De este modo el término siguiente es 38. Hay casos en los cuales en lugar de sumar hay que

restar, multiplicar, dividir o realizar alguna mezcla de operaciones, puede que los incrementos no

sean constantes, observa el siguiente ejemplo:

Encontrar los siguientes dos términos de la sucesión: 1, 3, 7, 15, 31, ____, _____

Aquí vemos que entre dos términos consecutivos hay un incremento, pero este incremento no es

constante sino que también se va incrementando a cada paso, es decir, observando algunos pasos

podemos encontrar una regularidad y vemos que los incrementos son 2, 4, 8, 16, de esta manera

los dos incrementos siguientes serán 32 y 64 respectivamente:

Los patrones que podemos encontrar en las sucesiones puede que no sean únicos y que haya

alguna manera diferente de resolverlos, en el caso anterior se puede resolver de la siguiente

forma:

Si tenemos una sucesión como la siguiente: 1, 3, 6, 10, 15, 21,… y deseamos obtener (más

concretamente identificar) el patrón que obedece entre una lista de opciones tales como:

A.

B.

C.

D.

Lo que debemos hacer es identificar cada término de la sucesión con el lugar o posición que ocupa

y sustituirlo en las expresiones que se nos muestran como candidatas a ser término general.

N 1 2 3 4 5 6

1 3 6 10 15 21

0 1 3 6 10 16

½ 2 9/2 8 25/2 18

0 3/2 4 15/2 12 35/2

De aquí podemos observar que la opción A es la correcta.


Si la pregunta por el contrario fuera: “Dada la siguiente sucesión 1, 3, 6, 10, 16, 21,…, ¿Cuál será el décimo término?” en este caso primero debemos identificar el término general

como ya se vio, al sustituir=10:

Otro caso bastante frecuente es cuando se tienen dos sucesiones que están intercaladas formando

una nueva sucesión, en este caso decimos que cada una de las dos primeras son subsucesiones

de la última. Veamos esto con un ejemplo, indicar cuales son los dos términos siguientes en la

sucesión:

Está compuesta por dos subsucesiones intercaladas, cada término de una subsucesión está

alternado con un término de la otra, así las dos sucesiones componentes son:

Y podemos darnos cuenta que los términos generales de cada una de ellas son y

respectivamente, y también podremos notar que los términos de la sucesión original alternan su

signo, dónde las posiciones pares son negativas. Entonces los términos siguientes de la sucesión

son 32 y -15.

Ahora ha llegado el momento de que pongas en práctica tus razonamientos resolviendo los

ejercicios siguientes.

B. Series espaciales

De la misma manera que se busca encontrar un patrón de comportamiento en sucesiones

numéricas, se pueden presentar series espaciales en las cuales nos piden identificar cuáles son

los siguientes movimientos o estados de la sucesión, por ejemplo:

¿Qué imagen sigue en la siguiente serie?

A. B. C. D.

Podremos darnos cuenta de que la opción correcta es el inciso B.

En otras ocasiones vamos a encontrar problemas que no nos piden el estado inmediato sino cierta

característica de éste o de un estado mucho más adelante:

¿Cuántos cuadros se requieren para construir

una pirámide de 10 niveles?

A. 50

B. 45

C. 66

D. 55


Aquí debes notar que cada nivel agrega tantos cuadros como el mismo nivel nos indica, así para el

primer nivel tenemos 1 cuadro, para construir una pirámide de dos niveles necesitamos 1+2

cuadros, para una de tres 1+2+3 cuadros, de esta forma una de diez niveles requerirá

1+2+3+…+8+9+10=55 cuadros.

BIBLIOGRAFIA Y REFERENCIAS

Epp, Susana, (2012), Matemáticas Discretas Con Aplicaciones, CENGAGE LEARNING, México.

Stewart, James (2012): "Precálculo, matemáticas para el cálculo". 6ª edición. Cengage Learning Editores.

Larson, Ron. (2012) Precálculo. 8ª edición. Cengage Learning Editores.

https://es.slideshare.net/augustocabrerabecerril/habilidad-matemtica-series-espaciales

http://roa.uveg.edu.mx/repositorio/bachillerato2015/171/Seriesespacialesynumricas.pdf

https://www.youtube.com/watch?v=Vlmgmlt7t9U

http://profe-alexz.blogspot.mx/2012/10/series-numericas-razonamiento.html


Tema (s): RAZONAMIENTO MATEMÁTICO

Subtemas: IMAGINACIÓN ESPACIAL

Imaginación espacial

Capacidad del individuo de analizar y visualizar objetos en su mente

Rotación de

imágenes

Construcción de

figuras

Descubrir

semejanzas


METODOLOGIA PARA UNA MEJOR COMPRENCIÓN DE PROBLEMAS DE RAZONAMIENTO

Para resolver problemas de razonamiento, debemos tener una organización al momento de

comprender, analizar, clasificar y entender el resultado, puesto que si nos guiamos por conjeturas,

podemos llegar a un resultado erróneo, por lo anterior se han dado a conocer estrategias o

procesos para resolver problemas de razonamiento matemático. Con base al método de cuatro

pasos de George Polya:

Paso 1. Comprenda el problema. Entender que piden calcular (el objetivo). Analizar y leer

cuidadosamente el problema. Finalmente preguntar ¿Qué debo calcula?

Paso 2. Elabore un plan. Primero identificar los datos que nos proporciona el problema, clasificar

los datos, elaborar un Plan o estrategia utilizando (diagramas, esquemas, operación matemática,

sentido común).

Paso 3. Aplique un Plan. Una vez que ha clasificado el problema, ponga en práctica la estrategia.

Paso 4. Revise y Verifique. Revisar la respuesta para ver si es razonable. Preguntar: ¿Satisface

las condiciones del problema?, ¿Se han contestado todas las preguntas del problema?, ¿Es

posible resolver de otra manera y llegar al mismo resultado?

Ejemplo 1

1.- Observando la figura:

¿Cuál de las siguientes figuras corresponde a la anterior después de haberla girado 90 ˚a la IZQUIERDA?

a) b) c) d)

Resolución:

Primero observa detenidamente la figura:

Toma un solo punto de referencia en este caso tomaremos el 2, ahora imagina en qué posición

debe de quedar al girarlo 90°, como lo pide el ejercicio:

Valida que en las opciones aparezca la forma de la referencia que tomamos


Una vez que validaste que la referencia si corresponde con una de las opciones debes validar que

las demás referencias coincidan:

Una vez encontrada la respuesta regresamos al problema:

1.- Observando la figura:

¿Cuál de las siguientes figuras corresponde a la anterior después de haberla girado 90 ˚a la derecha?

a) b) c) d)

Ejemplo 2

¿Qué opción contiene los números de la siguiente figura?

a) 9, 36

b) 11,44

c) 10, 40

d) 12,48

Primero observa detenidamente las figuras. En este caso se debe tomar en cuenta que el tipo de

problema es de sucesiones numéricas, por lo tanto se analizará buscando patrones de diferencias

entre cada cifra:

Por lo tanto la respuesta

correcta debe de ser “C”

2 5 8

8 32 20


Notarás que en el caso de la sucesión de arriba existe una diferencia de 3 y en la sucesión de

abajo existe una diferencia de 12, por lo tanto siguiendo esa lógica la siguiente sucesión deberá

quedar como:

Una vez encontrada la respuesta regresamos al problema: ¿Qué opción contiene los números de

la siguiente figura?

a) 9, 36

b) 11,44

c) 10, 40

d) 12,48


https://books.google.com.mx/books?id=0F_pWjrT1CYC&pg=PA63&lpg=PA63&dq=razonamiento+a

ritmetico&source=bl&ots=vYzMXi9xbY&sig=1Ip4liJ7SKNIh9xIS4mmqXcehNs&hl=es-

419&sa=X&ved=0ahUKEwjytIDwuqHXAhUe0IMKHVtECU0Q6AEIVzAJ#v=onepage&q=razonamie

nto%20aritmetico&f=false

https://www.tropaymarineria.es/test/Tropa%20y%20Mariner%C3%ADa%20-

%20Ejemplo%20Test%20Razonamiento%20Espacial.pdf

2 5 8

8 32 20

Por lo tanto la respuesta correcta debe de ser “b”


Tema (s): NÚMEROS NATURALES Y ENTEROS

Subtemas: NÚMEROS NATURALES Y ENTEROS, OPERACIONES BASICAS

Cuando pensamos en números, lo que escribimos es ⁄ ¿y qué hay de los números

negativos o de √ o el número ? Todos ellos pertenecen a un conjunto de números llamados

los Números Reales. A continuación se muestra la clasificación y a qué conjunto pertenecen estos números.

Ahora, con ayuda de los números Naturales, N={ }, podemos identificar los números COMPUESTOS y los número PRIMOS.

Números Compuestos

4=2x2 10=5x2

111=11x11

Números Naturales

Números Primos 2,3,5,7,11

,13,17,…


Calcula el mínimo común múltiplo de los siguientes números: Ej. 1. m.c.m (8,10)= 40

8 10 2

4 5 2 2 5 2 1 5 5 1

Ej. 2. m.c.m (9, 15)=

9 15 3

3 5 3 1 5 5 1

Ej. 3. ¿Cuál es la menor capacidad de un estanque que se pueda llenar en un número exacto de segundos por cualquiera de tres llaves que vierten: la 1ra, 2 litros por segundos; la 2da, 30 litros en 2 segundos y la tercera 48 litros en 3 segundos?

2 30 48 2

1 15 24 2 15 12 2 15 6 2 15 3 3 5 1 5 1

Para operar números con signos, se requiere de la aplicación de la Ley de los Signos:

Multiplicación: Ej. 1. Ej. 2. Ej. 3. Ej. 4.

División: Ej. 1.

Ej. 2.

Ej. 3.

Ej. 4.

2(2)(2)(2)(3)(5)=240 litros


Suma o Adición: Para efectuar la suma o adición de números enteros tenemos los siguientes casos.

1) Reducción de números con signo: en este tipo de operación se recomienda sumar primero los términos positivos, sumar luego los términos negativos y por último restar las dos sumas:

Ej. 1. Ej. 2. Ej. 3.

2) Uso de paréntesis: cuando el signo exterior del paréntesis es positivo, los términos dentro del paréntesis no cambian su signo. Cuando el signo exterior del paréntesis es negativo, los términos del paréntesis cambian su signo.

Ej. 1. Ej. 2. Ej. 3. Nota 1: Cuando existe un paréntesis y dentro de este se encuentra una operación, primero deberá de realizar la operación. Ej. 4. Ej. 5. [ ]

Ej. 6. 10)8267()3248(

)9548()]6824(13[


Aritmética Teórico practica A Baldor Décima cuarta impresión 1998 Publicaciones Cultural. Cuadernillo gratuito de Habilidad matemática. PLANEA 2016 y 2017 INEE (Instituto Nacional para la Evaluación de la Educación en México)


Numerador

Denominador

Tema (s): NÚMEROS FRACCIONARIOS Y DECIMALES

Subtemas: OPERACIONES CON NÚMEROS FRACCIONARIOS

NÚMEROS FRACCIONARIOS

El concepto matemático de fracción corresponde a la idea intuitiva de dividir una totalidad en partes

iguales.

Numerador: Indica las partes que se toman.

Denominador: Indica las partes iguales en que se divide la unidad.

Tipos de fracciones

Las fracciones se clasifican de acuerdo al denominador, estas son:

Fracciones Propias: son aquellas cuyo numerados es menor que el denominador. Su valor

comprendido esta entre 0 y 1.

Ejemplos:

Fracciones Impropias: son aquellas cuyo numerador es mayor que el denominador. Su valor es

mayor que 1.

Ejemplos:

Fracciones mixtas: están compuestas de una parte entera y una fraccionaria.

Ejemplos:

Convertir fracciones mixtas a impropias. Las fracciones mixtas pueden representar el mismo valor que una fracción impropia, es decir, son fracciones equivalentes. Por esta razón podemos convertir una fracción mixta a impropia. Para convertir lo primero que hay que hacer es multiplicar el entero por el denominador de la fracción, después sumar el numerador por el resultado de la multiplicación anterior. Todo esto sobre el denominador de la fracción.


Convertir fracciones impropias a mixtas

Para realizar la conversión de una fracción impropia a mixta se efectúa la división del numerador entre el denominador, el cociente es la parte entera, el residuo es el numerador de la fracción y el divisor es el denominador.

Fracciones decimales

Las fracciones decimales tienen como denominador una potencia de 10.

Ejemplos:

Suma de fracciones

Para sumar fracciones que tienen el mismo denominador, se suman los numeradores,

conservando el mismo denominador.

Ejemplos:

Para realizar una suma con distinto denominador, se sigue el procedimiento de productos

cruzados.

Ejemplo:

Resta de fracciones

Para restar fracciones que tienen el mismo denominador, se suman los numeradores, conservando

el mismo denominador.

Ejemplos:

2

1


Multiplicación de fracciones

Para multiplicar fracciones se realiza lo siguiente: se multiplican los numeradores, se multiplican los

denominadores y se simplifica la fracción.

Ejemplo:

División de fracciones

Para dividir dos o más fracciones, se multiplican en cruz. Es decir, el numerador de la primera

fracción por el denominador de la segunda fracción (se obtiene el numerador), y el denominador de

la primera fracción por el numerador de la segunda fracción (este es el denominador).

Ejemplo:

BIBLIOGRAFÍA Y REFERENCIAS

https://www.matematicasonline.es/cidead/libros/1eso/temas/05-Fracciones.pdf

http://www.clarionweb.es/5_curso/matematicas/tema506.pd

https://matesyciencias.files.wordpress.com/2012/10/apuntes-de-fracciones.pdf


Tema (s): RAZONES, PROPORCIONES Y PORCENTAJES

Subtemas: RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS

RAZONES, PROPORCIONES Y PORCENTAJES

RAZÓN Es la comparación entre dos cantidades por medio del cociente entre ellas.

Se lee “a es b”.

No se trata de repartir al azar, por ejemplo si al grupo de 15 alumnos le doy 36 libros y al grupo de

10 alumnos le doy 14 libros, el reparto no es proporcional. En cambio, si al grupo de 15 alumnos le

doy 30 libros y al segundo grupo le doy 24 libros, el reparto es proporcionalmente directo.

Si el total de estudiantes que hay es 25 y el total de libros es 50.

La Razón correspondiente es

PROPORCIÓN Es una comparación entre dos razones, esta relación puede ser de forma directa e

inversa.

Un primer grupo tiene 15 estudiantes y se necesita conocer el número de libros que le corresponde

Primera razón 50

25 = Segunda razón

x

15

PROPORCIÓN DIRECTA Dos magnitudes son directamente proporcionales si al aumentar o

disminuir una de ellas la otra también aumenta o disminuye en la misma proporción.

Con estas dos razones planteamos la proporción y resolvemos.

Acabamos de averiguar que al grupo de 15 alumnos le corresponde 30 libros.


PROPORCIÓN INVERSA Dos cantidades son inversamente proporcionales cuando haciéndose

mayor o menor la primera cantidad, la segunda por el contrario se hace menor o mayor

respectivamente el mismo número de veces. Observa la tabla:

Primera magnitud 1 2 3 4 5 6

Segunda magnitud 120 60 40 30 24 20

Un grupo de 18 alumnos ha ganado un premio por un trabajo realizado y han recibido $ 200 cada

uno. ¿Cuánto recibirían si hubieran participado sólo 10 alumnos?

Alumnos dinero

18 200

10 x

Por tanto se aplica el inverso multiplicativo

x

200

10

18

x = 10

)200(18

200

x

10

18 x = 360

· Recibirían $ 360 cada uno de los 10 alumnos

Una de las aplicaciones de las razones y proporciones es el porcentaje.

PORCENTAJE Un porcentaje es una forma de expresar una proporción como una fracción de

denominador 100, en otras palabras es el número de unidades que se toma de cada cien. Es de

utilidad para realizar comparaciones entre cantidades.

8 por ciento es lo mismo que la fracción 8 % = 08.0100

8

35 % = 35.0100

35 15.8 % = 158.0

100

8.15

Existen los siguientes tipos de porcentaje.

PORCENTAJE DE AUMENTO

El precio final, aplicando un porcentaje se calcula sumando el AUMENTO al precio inicial.

PORCENTAJE DE DESCUENTO

El precio final del, aplicando un porcentaje se calcula restando el DESCUENTO del precio inicial.

a + alumnos – dinero

a – alumnos + dinero

Proporcionalidad inversa


Ejemplos En una escuela que tiene una población de 30 alumnos el 30 % fue de visita al

museo, ¿cuántos alumnos no fueron al museo? Considera:

Fueron al museo 30 %

No fueron al museo: 70 %

En un almacén de ropa, hay un descuento en los artículos para caballero. Calcula el descuento que me hicieron en un artículo si pague $105 cuyo precio normal es de $150.00.

Considera:

Pago: $105

Costo normal: $150

Resuélvelo


http://lasmatematicas.eu/matematicas-y/algebra/porcentajes

http://www.disfrutalasmatematicas.com/numeros/porcentajes.html

http://www.clarionweb.es/6_curso/matematicas/tema10.pdf

http://www.clarionweb.es/6_curso/matematicas/tema10.pdf


Tema (s): POTENCIACIÓN Y RADICACIÓN

Subtemas: LEYES DE LOS EXPONENTES OPERACIONES COMBINADAS JERARQUIA DE OPERACIONES

POTENCIACIÓN Y RADICACIÓN

Potenciación:

Las potencias o exponentes se utilizan para denotar la multiplicación repetida de un número por sí

mismo; por ejemplo:

24 = (2)(2)(2)(2) = 16 y 6

3 = (6)(6)(6) = 216

En estas expresiones, 2 y 6 son la base y 4 y 3 son el exponente.

Reglas de los exponentes: A continuación se mencionan algunas reglas. En cada regla se da por

hecho que x y y son bases y números reales mayores a cero. También, que los exponentes a y b

son enteros, a menos que se especifique lo contrario.

Regla 1 :

Ejemplo 1:

Ejemplo 2:

Regla 2 :

Ejemplo 1: Ejemplo 2:

Regla 3:

Ejemplo 1:

Ejemplo 2:

Regla 4: ;

Ejemplo 1: 50 = 1Ejemplo 2: (-5)0 = 1

* 00 no está definido.

Regla 5:


Regla 6:

Ejemplo 1:

Ejemplo 2:

Regla 7:



Radicación:

La raíz cuadrada de un número positivo n es un número m, por lo tanto m2 = n. Donde m es la raíz,

2 es el orden y n es el radicando.

Por ejemplo, 5 es la raíz cuadrada de 25 dado que 52

= 25. También, la raíz cuadrada de 25 es -5

dado que (-5)2 = 25 ya que todos los números positivos tienen una raíz cuadrada positiva y otra

negativa. Una raíz cuadrada es una raíz de orden 2, órdenes mayores, por ejemplo 3 y 4 se

escriben de la siguiente manera: 3m y

4n. A continuación se muestran algunos ejemplos de

raíces.

√ = 3 ya que el cuadrado de 3 es 9, la raíz de 9 es igual a 3.

√ = 5 √ = 9√ = 10 √ = 11√ = 12

√ = 13√ = 14√ = 15√ = 25

Las raíces más comunes con órdenes mayores son:

√

= 2 ya que 23 = 8 por lo tanto la raíz cúbica es 2, 3 es el orden y 8 es el radicando.

√

= 3√

= 3

Jerarquía de operaciones:

Para realizar operaciones mixtas, utilizando sumas, restas, divisiones, multiplicaciones, paréntesis

y potencias se debe seguir el siguiente orden:

Operaciones combinadas:

Operaciones con sumas y restas:

2 + 3 – 5 – 2 + 6 = 4


Cuando existen dos o más operaciones de la misma jerarquía juntas se resuelven por orden de

aparición.

Operaciones con sumas, restas, multiplicaciones y divisiones:

2x4-5-6/3+7 = 7

Se resuelve primero la multiplicación, después la división y la sumas y restas de izquierda a

derecha.

Operaciones con sumas, restas, divisiones, multiplicaciones, paréntesis y potencias:

-(5x3)+2-9/3+32 = -7

Se resuelven utilizando la jerarquía de operaciones y de izquierda a derecha cuando poseen la

misma jerarquía.

Nunca olvides la ley de los signos para resolver estas operaciones.


Arias Cabezas, José María y MazaSáez Ildefonso. 2008. Aritmética y Álgebra. En Carmona

Rodríguez, Manuel y Díaz Fernández Francisco Javier. Matemáticas 1. Madrid: Grupo Editorial

Bruño, Sociedad Limitada. p. 19.

http://www.eplc.umich.mx/salvadorgs/matematicas1/contenido/CapI/1_6_3_rad.htm (Se consultó el

05/11/2017)

http://www.eplc.umich.mx/salvadorgs/matematicas1/contenido/CapI/1_6_3_pot.htm (Se consultó el

05/11/2017)

http://ciencias.udea.edu.co/semilleros/Semilleros%202009/Taller%207/PDF/Taller%207%20grado

%207.pdf(Se consultó el 05/11/2017)

https://www.ditutor.com/numeros_naturales/jerarquia_operaciones (Se consultó el 11/11/2017)


Tema (s): EXPRESIONES ALGEBRAICAS

Subtemas: LENGUAJE ALGEBRAICO, OPERACIONES CON EXPRESIONES ALGEBRAICAS

EXPRESIONES ALGEBRAICAS

Es una combinación de números y letras que representan números (variables) cualesquiera.

Algunas ocasiones se sugiere que las últimas letras del alfabeto para las variables (x, y, z) y las

primeras (a, b, c) para las constantes.

Por ejemplo:

3 2-7 y + 2y3, (√5 y +2

(3 a2+2k

LENGUAJE ALGEBRAICO

En algebra es la parte de la matemática que estudia la relación entre números, letras y signos. Por

lo tanto, el lenguaje algebraico es aquel que emplea símbolos y letras para representar números.

Dicho en otras palabras, permite expresar números desconocidos y realizar operaciones

matemáticas con ellos; siendo más preciso al expresarse en forma breve.

EL lenguaje algebraico tiene como finalidad, establecer y diseñar un idioma que ayude a

generalizar las diferentes operaciones que se desarrollen dentro de la aritmética donde sólo se

emplean los números y sus operaciones básicas.

Ejemplo

El sucesor de n

El antecesor de n

Entero siempre par

Entero siempre impar

Dos pares consecutivos y

Dos impares consecutivos y

TÉRMINO INDEPENDIENTE

Sólo consta de un valor numérico

TÉRMINOS SEMEJANTES

Son aquellos que sólo se diferencian en su coeficiente. Por ejemplo, -2xy, 4xy son términos

semejantes, mientras que 2ab, no lo son.

POLINOMIO

Es una expresión algebraica de más de un término.

Por ejemplo.

a) es un monomio, ya que sólo consta de un término.

b) es llamado binomio, por constar de dos términos.

c) – recibe el nombre de trinomio pues es una expresión algebraica de tres

términos.


OPERACIONES CON EXPRESIONES ALGEBRAICAS.

1.-SUMA Se efectúa agrupando los términos semejantes.

; ;

=

=

2.- RESTA Se lleva a cabo efectuando la suma de la expresión del minuendo con el inverso aditivo

del sustraendo, la cual se obtiene cambiando el signo de todos sus términos.

Restar

( ) - – =

=

3.- MULTIPLICACIÓN Hay tres casos y debemos recordar:

i) Producto de dos o más monomios. Para

realizarlo se aplican las leyes de los exponentes

=

[ ][ ][ ][ ]=

ii) Producto de un monomio por un polinomio.

Se efectúa multiplicando el monomio por todos y cada uno de los términos del polinomio y sumando los productos.

=

i) Producto de un polinomio por un polinomio.

Se multiplican todos y cada uno de los términos de un polinomio por todos y cada uno de los términos del otro y sumando los productos obtenidos.

+( -( + =


4.- DIVISION Hay dos casos:

Monomio entre monomio. Se inicia la división aplicando leyes de los signos, los coeficientes se dividen y para las letras que son iguales se aplican las leyes de los exponentes.

=

=

Polinomio entre monomio Cada uno de los términos de polinomio se divide entre el monomio (que se encuentra en el denominador)


PiotrWisniewski, Marian y Gutiérrez Banegas, Ana Laura, s.f., Introducción a las matemáticas

Universitarias, México, D.F., Ed. Mc Graw Hill- Schaum,

Earl w. Swokowski y Jeffery A. Cole, Diciembre de 2007, Algebra y Trigonometría con Geometría

Analítica, , México, D.F., Ed. CengajeLearning.

http://maralboran.org/wikipedia/index.php/Expresiones_algebraicas

https://www.youtube.com/watch?v=IN_CIbJF0-s

https://es.khanacademy.org/math/algebra-basics/alg-basics-algebraic-expressions

http://www.estoy-aprendiendo.com/algebra.html

https://www.google.com.mx/search?q=que+es+el+lenguaje+algebraico&oq=QUE+ES+EL+LENGU

AJE&aqs=chrome.1.69i57j0l5.7048j0j8&sourceid=chrome&ie=UTF-8

http://conceptodefinicion.de/lenguaje-algebraico/


Tema (s): PRODUCTOS NOTABLES

Subtemas: BINOMIO: AL CUADRADO, CONJUGADOS, TÉRMINO COMÚN

PRODUCTOS NOTABLES

Tanto en la multiplicación algebraica como en la aritmética se sigue un algoritmo cuyos pasos

conducen al resultado. Sin embargo, existen productos algebraicos que responden a una regla

cuya aplicación simplifica la obtención del resultado. Estos productos reciben el nombre de

productos notables.

Se llama producto notable al que puede ser obtenido sin efectuar la multiplicación término a

término.

CUADRADO DE UN BINOMIO

El producto de un binomio por sí mismo recibe el nombre de cuadrado de un binomio. El desarrollo

del cuadrado del binomio a + b se puede obtener multiplicando término a término

El cuadrado de un binomio a + b es

igual al cuadrado del primer término

más el doble del producto delos términos más el cuadrado del segundo término.

Ej.

PRODUCTO DE DOS BINOMIOS CONJUGADOS

Dos binomios son conjugados si difieren sólo por el signo de uno de sus términos.

Al efectuar el producto de un binomio a + b por su conjugado a - b , se tiene:

Es decir, Dos binomios son conjugados si difieren sólo por el signo de uno de sus términos

Ej.

PRODUCTO DE DOS BINOMIOS CON UN TÉRMINO COMÚN

El producto de binomios con un término común es el cuadrado del término común, más la suma de

los términos distintos multiplicada por el término común y más el producto de los términos distintos.


Para representar el producto de dos binomios con un término común se utiliza un cuadrado de lado

x . A uno de los lados se le agrega una cantidad a y a otro se le agrega una cantidad b , por lo que

se forma una superficie con cuatro regiones

Ej.

Esto significa que el producto de binomios con un término común es el cuadrado del término

común, más la suma de los términos distintos multiplicada por el término común y más el producto

de los términos distintos.

BINOMIO CON TÉRMINO SEMEJANTE

Son aquellos términos que solo difieren en el coeficiente. En el caso del producto de dos binomios

con términos semejantes (2x + 3) (3x + 4) cuando el coeficiente del término semejante en cada

binomio sea el mismo, se tiene el caso de binomios con un término común.

Para obtener el producto de dos binomios con términos semejantes, se puede hacer la

multiplicación directamente.

El polinomio que se obtiene como producto de dos binomios con términos semejantes se forma

con un término que es el producto de los dos términos semejantes, otro termino que es el producto

de los otros dos términos, y la suma del producto de los extremos (el termino semejante del primer

binomio con el otro término del segundo binomio) con el producto de los medios (el otro término del

primer binomio con el termino semejante del segundo binomio).


Los términos semejantes se separan de acuerdo al producto de dichos términos más el producto e

los otros dos términos.


https://www.youtube.com/watch?v=OP_WX8TjeI4

http://www.profesorenlinea.com.mx/matematica/AlgebraProductosnotables.htm

http://www.escolares.net/matematicas/productos-notables/


Tema (s): FACTORIZACION

Subtemas: POR TERMINO COMUN, TRINOMIO CUADRADO PERFECTO, DIFERENCIA

DE CUADRADOS, TRINOMIO CON TERMINO COMUN, BINOMIO CON

TERMINO SEMEJANTE

FACTORIZACIÓN

Un factor es cada uno de los números que se multiplican para formar un producto. Nótese como el

número 2 aparece como factor común de 6, 10 y 30 porque cada uno de estos números se divide

exactamente entre dicho factor común. Cuando una expresión algebraica está contenida

exactamente en todos y cada uno de los términos de un polinomio, se dice que es factor común de

ellos.

(3)(2)= 6 , por lo que factores de son 3 y 2.

(5)(2)=10 , por lo que factores de son 5 y 2 .

(5)(3)(2)= 30, por lo que factores de 30 son 5, 3 y 2 .

Para encontrar el factor común de los términos de un polinomio se busca el máximo común divisor

(MCD)de los coeficientes de todos los términos, y de las literales que aparezcan en todos los

términos, se escogen las que tengan el menor exponente.

TRINOMIO CUADRADO PERFECTO

Una cantidad es cuadrado perfecto cuando es el producto de dos factores iguales, es decir, es el

cuadrado de otra cantidad. Por ejemplo, 9 es cuadrado perfecto, ya que es el cuadrado de 3a.Se

conoce como trinomio cuadrado perfecto (TCP) al resultado que se obtiene de elevar al cuadrado

un binomio.

Para identificar si un trinomio es cuadrado perfecto, se debe

cumplir que dos de sus términos sean cuadrados perfectos y

que el otro término corresponda al doble producto de las raíces

cuadradas de los términos cuadráticos.

Ej.


DIFERENCIA DE CUADRADOS

Una diferencia de cuadrados es el resultado del producto de dos binomios conjugados. Esto

implica que para factorizar una diferencia de cuadrados, se extraen las raíces cuadradas de los

términos y se forma un binomio. Finalmente se expresa el producto de este binomio por su

conjugado.

Forma:

Es lo mismo que factor común de binomios solo que con trinomio, porque el procedimiento es

exactamente el mismo, con las mismas reglas.

TRINOMIO CON TÉRMINO COMÚN

El factor común es aquel factor que está presente en cada término del trinomio. El factor común

puede ser numeral, literal, o ambos a la vez. Si es un factor común literal se extrae el de menor

exponente. Si el factor común es numeral se saca el máximo común divisor. El proceso para

aplicar el factor común en trinomio, se realiza igualmente de los binomios.

Producto de dos binomios los cuales sólo tienen en común un sólo término, su forma general es ( a

+ b ) ( a + c ) la cual trata del producto de dos binomios, los cuales tienen en común el término “a”

y los términos NO comunes son los términos “b, c”. El producto de binomios con término común es

un trinomio cuadrado, para lo cual existe una regla de 3 pasos en donde cada paso nos da un

término de dicho trinomio.


1) El cuadrado del término común.

2) La suma de los términos NO comunes, por el término común.

3) El producto de los términos NO comunes.

Ej.


https://www.youtube.com/watch?v=ROGt8u81FxM

https://es.wikiversity.org/wiki/Factorizaci%C3%B3n

http://math.uprm.edu/academic/courses-help/mate0066/m0066_ver09/sol_factorizacion.pdf


Las incógnitas son las literales

que aparecen en la ecuación.

La solución es el valor único

que toma la incógnita para

que la igualdad sea cierta.

El grado de una ecuación es

de primer grado el

exponente de la literal.

Tema (s): ECUACIONES DE PRIMER GRADO

Subtemas: RESOLUCIÓN DE ECUACIONES DE PRIMER GRADO PLANTEAMIENTO DE PROBLEMAS

ECUACIONES DE PRIMER GRADO

ECUACIÓN

Una ecuación es una igualdad que se cumple para algunos valores de las letras.

Los miembros de una ecuación son cada una de las expresiones que aparecen a ambos lados del

signo igual.

Los términos son los sumandos que forman los miembros.

RESOLUCIÓN DE ECUACIONES DE PRIMER GRADO

En general para resolver una ecuación debemos seguir los siguientes pasos:

1º Quitar paréntesis.

2º Quitar denominadores.

3º Agrupar los términos en x en un miembro y los términos independientes en el

otro.

4º Reducir los términos semejantes.

5º Despejar la incógnita.


ECUACIÓN BASICA

Pasamos las x a un lado de la igualdad (izquierda) y los números al otro lado (derecha):

En la derecha, la x está restando. Pasa a la izquierda sumando:

Sumamos los monomios con x:

En la izquierda, el -3 está restando. Pasa a la derecha sumando:

Sumamos los monomios de la derecha:

El coeficiente de la x es 2. Este número está multiplicando a x, así que pasa al otro lado dividiendo:

Por tanto, la solución de la ecuación es x = 3.

ECUACIÓN CON PARENTESIS

Recordamos que los paréntesis sirven para agrupar elementos, para simplificar o para evitar ambigüedades.

El signo negativo de delante del paréntesis indica que los monomios que contiene tienen que cambiar de signo:


Sumamos 3 y -2 en el lado derecho:

Pasamos los monomios con x a la izquierda y los números a la derecha:

Sumamos 1 y -1. Como el resultado es 0, no lo escribimos:

Pasamos 2x a la izquierda restando y sumamos los monomios:

Luego la solución de la ecuación es x = 0.

ECUACIÓN CON FRACCIONES

Tenemos varias formas de proceder con las fracciones:

Sumar las fracciones de forma habitual.

Multiplicar la ecuación por el mínimo común múltiplo de los denominadores.

En esta ecuación aplicaremos la segunda opción. De este modo los denominadores van a desaparecer.


Multiplicamos, pues, por m.c.m. (2, 3) = 6:

Para simplificar, calculamos las divisiones:

Nótese que hemos escrito un paréntesis al eliminar la fracción de la derecha. Esto se debe a que el 3 debe multiplicar al numerador que está formado por una suma.

Calculamos los productos:

Para eliminar el paréntesis, multiplicamos por 3 todos los elementos que contiene:

Pasamos las x a la izquierda:

Sumamos los monomios:

Finalmente, el coeficiente de la x pasa dividiendo al otro lado:

La solución de la ecuación es x = 3/4. La fracción no se puede simplificar más puesto que ya es irreductible (el máximo común divisor del numerador y del denominador es 1).


RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS CON ECUACIONES DE PRIMER GRADO

Para resolver este tipo de problemas, el enunciado se transforma al lenguaje algebraico, de esta

manera se obtiene una ecuación de primer grado.

¿Cuál es el modelo matemático que resuelve el problema: “La suma de 2 números es 60, el mayor e cede al menor en 20”?

Utilizas una literal para generalizar

Número menor :

Número mayor: Se plantea la ecuación:

Número mayor + Número menor =60

Norma tiene 15 años y Aidé 35. ¿Dentro de cuántos años Aidé tendrá el doble de años que Norma?

Edad Actual Dentro de años

Norma

Aidé

Edad de Aidé = 2(edad de Norma)


https://www.matesfacil.com/ESO/Ecuaciones/resueltos-ecuaciones-ec.html

https://www.matesfacil.com/ESO/Ecuaciones/resueltos-ecuaciones-ec.html

http://www.vadenumeros.es/tercero/ecuaciones-de-primer-grado.htm


Tema (s): ECUACIONES DE SEGUNDO GRADO (CUADRÁTICAS)

Subtemas: CLASIFICACION DE ECUACIONES CUADRÁTICAS RESOLUCIÓN POR FACTORIZACIÓN Y FÓRMULA GENERAL INTERPRETACIÓN GEOMETRICA RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS

Se clasifican en

De la forma De la forma

Métodos de Resolución

FÓRMULA GENERAL

√

Para aplicar la fórmula general deben obtenerse los valores de , en el orden de la

ecuación de segundo grado igualada a cero.

Observa:

En la ecuación de la forma: considera En la ecuación de la forma: considera

ECUACIONES COMPLETAS ECUACIONES INCOMPLETAS

𝑎𝑥 𝑏𝑥 𝑐

𝑎𝑥 𝑏𝑥

MIXTAS

𝑎𝑥 𝑐

PURAS

FÓRMULA GENERAL

FACTORIZACIÓN

ECUACIONES DE SEGUNDO GRADO


COMPLETA: contiene el término de segundo grado, el de primer grado y el independiente

Solución: (Formula General)

√

= 1 = 5 c = -6

√

√

√

√

DISCRIMINANTE Solucionar una ecuación de segundo grado consiste en averiguar qué valor o valores al ser sustituidos en la ecuación la convierten en una identidad.

Llamamos discriminante , a partir del signo del discriminante conoceremos el

número de soluciones de la ecuación, así:

Si el discriminante es menor que 0 la ecuación no tiene solución.

Si el discriminante es 0 hay una solución.

Si el discriminante es mayor que 0 hay dos soluciones.

𝑎𝑥 +𝑏𝑥+𝑐=0


Discriminante

Ejemplo Discriminante Carácter de las Raíces

∆> 0

POSITIVO

Dos raíces reales y diferentes

∆= 0

CERO

Reales e iguales

⁄ ⁄

∆< 0

NEGATIVO

Imaginarias No hay solución

PURA: es aquella donde la variable a encontrar esta elevada al cuadrado y carece del término de

primer grado:

Solución:

MIXTA: Es aquella ecuación donde carece del término independiente.

2- = 0

Solución: (Método de Factorización)

𝑎𝑥+c=0

𝑥 -27=0

𝑥 -27=0

𝑥 𝑥 /3

𝑥

𝑥 √

𝑥 𝑥

𝑎𝑥 +𝑏𝑥+𝑐=0


INTERPRETACION GRÁFICA La interpretación geométrica de la ecuación de segundo grado se obtiene a partir de la gráfica de la función y=ax

2+bx+c, que es una parábola; donde la solución de la ecuación ax

2+bx+c=0 son los

puntos de dicha gráfica cuando y=0, es decir, los puntos de corte de la parábola con el eje de abscisas (eje X).

PROBLEMAS QUE IMPLICAN EL USO DE ECUACIONES DE SEGUNDO GRADO

Hallar la suma de dos números es 16 y cuyo producto es 63

Despejamos ( y ) de la ecuación ①.

= 16…① ③

= 63…②

Sustituimos el valor obtenido de la ecuación ③ en ecuación ② para obtener la ecuación con una

sola incógnita.

= 63… ②

= 63… ②

Igualamos esta ecuación a cero y resolvemos.

En la imagen de la izquierda podemos observar la gráfica de y = x2+2x-3 donde los puntos de intersección en el eje de las abscisas son: (-3,0) y (1,0). Por lo tanto la solución de la ecuación cuadrática es:

𝑥 = -3

𝑥 = 1


a = 1 b = -16 c = 63

√

√

√

√

Así, los números cuya suma es 16 y su producto es 63 son 9 y 7.


http://recursostic.educacion.es/eda/web/eda2009/descartes/catalunya/materials/jordi_s

egarra_practica_3/tema5_ccss_eda05/item_2.htm

http://www.allmathwords.org/es/q/quadraticequation.html

http://www.ditutor.com/ecuaciones_grado2/discriminante.html


Tema (s): SISTEMA DE ECUACIONES LINEALES

Subtemas: RESOLUCIÓN DE SISTEMAS DE DOS ECUACIONES SIMULTANEAS

PLANTEAMIENTO DE PROBLEMAS EN CONTEXTO

INTERPRETACIÓN DEL MÉTODO GRAFICO

SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES

Un sistema de ecuaciones lineales es conjunto de ecuaciones lineales (Un sistema de ecuaciones

donde cada ecuación es de primer grado y puede tener más de una incógnita);lo que hacen estas

ecuaciones es relacionar las incógnitas entre sí.

Por ejemplo: A

MÉTODOS DE

SOLUCIÓN.

Reducción.

Consiste en sumar ambas ecuaciones y eliminar una de las variables, obteniendo una ecuación de primer grado con una

incognita.

Igualación

Consiste en despejar la misma incognita de ambas ecuaciones e igualarlas para

obtener una ecuación de primer grado con una incognita.

Gráfico

En este método se dan valores a x para encontrar los valores de y, y formar las

parejas que al gráficar forman la recta que representa la ecuación en el plano cartesiano

y la intersección de ambas rectas será la solución.

Sustitución

Consiste en despejar una incognita de cualquiera de ambas ecuaciones para

sustituir en la ecuación restante y obtener una ecuación de primer grado con una

incognita.

Es un sistema de dos

ecuaciones con dos

incógnitas (x e y).


a) Resolución de sistemas de ecuaciones lineales con dos incógnitas

Resolver un sistema de ecuaciones consiste en encontrar el valor de cada incógnita para que se

cumplan todas las ecuaciones del sistema.

Los métodos de solución para este sistema de ecuaciones son los siguientes:

1. Método de Sustitución

Consiste en despejar una de las variables en una de las ecuaciones del sistema y sustituir su valor

en la otra ecuación.

Suponiendo que tenemos el siguiente sistema de ecuaciones lineales con dos incógnitas:

………….( 1

………….( 2

i. Despejamos en una incógnita de una de las ecuaciones.

En este caso de la ecuación (2 despejamos “y”

ii. Sustituimos en la otra ecuación, la incógnita despejada:

(

)

iii. Resolvemos la ecuación, para encontrar el valor de la incógnita.

iv. Sustituimos el valor obtenido en la ecuación despejada al principio y resolvemos para

obtener el otro valor.

(

)

Los valores de las incógnitas son:


2. Método de Reducción

Consiste en reducir el sistema de ecuaciones a una sola ecuación con una sola incógnita. Para

esto se necesita multiplicar una ecuación y en ocasiones las dos ecuaciones por números

convenientes, para que los coeficientes de una de las incógnitas sean números iguales pero con

signos opuestos, al momento de realizar la suma de las dos ecuaciones, la incógnita quedará

eliminada.


………….( 1)

………….( 2

i. Si queremos eliminar la incógnita x, es necesario tener el mismo número y con signo

contrario los coeficientes de esta incógnita. Para ello multiplicaremos la ecuación (1)

por “-3” y reali amos la sima algebraica de ambas ecuaciones:

……………… (ecuación “1” multiplicada por “-3”

………………. (ecuación “2”

ii. Sustituimos el valor de “y” en cualquiera de las ecuaciones iniciales y resolvemos

despejando la incógnita “ ”.


3. Método de Igualación

Consiste en despejar en despejar una incógnita en ambas ecuaciones e igualar para formar una

ecuación con una sola incógnita.


………….( 1

………….( 2

i. Despejamos “y” en ambas ecuaciones


ii. Igualamos los segundos miembros del paso anterior y resolvemos para la incógnita “ ”.

iii. Ya encontrada la incógnita “ ” la sustituimos en una de las ecuaciones iniciales ya

despejada y resolvemos.


b) Resolución de sistemas de ecuaciones lineales con dos incógnitas

Muchos problemas que requieren la determinación de dos o más cantidades desconocidas pueden

ser resueltos por medio de un sistema de ecuaciones lineales. Las cantidades desconocidas se

representan con letras, por ejemplo: x, y, etc. y se establece un sistema de ecuaciones que

satisfagan las diversas condiciones del problema. La resolución de este sistema conduce a los

valores de las incógnitas.

Ejemplo:

El costo total de 5 libros de texto y 4 lapiceros es de $32.00; el costo total de otros 6 libros de texto

iguales y 3 lapiceros es de $33.00. Hallar el costo de cada artículo.

Solución: Sea x= el costo de un libro en pesos, y y= el costo de un lapicero en pesos. Según el

problema obtenemos las dos ecuaciones:

Utilizando los métodos antes mencionados para este tipo de ecuaciones. Para este caso

utilizaremos igualación.

Despejamos “y”


Igualando y resolviendo para x.

⁄

Sustituyendo “ ” en una de las ecuaciones iniciales encontramos “y”:

La solución de este sistema es de x=4, y y=3, es decir, el costo de cada libro de texto es $4.00 y el

costo de cada lapicero es $3.00. Estos resultados pueden comprobarse fácilmente. Así, el costo de

5 libros de texto y 4 lapiceros es igual a 5(4) +4(3) = $32 y el costo de 6 libros de texto y 3 lapiceros

es igual a 6(4) +3(3) = $33.

a) Interpretación del método gráfico en la solución de un sistema de ecuaciones

lineales con dos incógnitas.

Consiste en graficar las ecuaciones lineales de dos incógnitas, donde el resultado se interpreta

como continúa:

Sistemas de ecuaciones con dos incógnitas compatibles determinados: Dos rectas

que se cortan en un punto.

Ejemplo:

Consideremos el siguiente sistema de ecuaciones:

Representamos ahora gráficamente las dos rectas dadas por las ecuaciones del sistema:


Las dos rectas se cortan en el punto (4/5, 8/5) que es la solución del sistema.

Sistemas de ecuaciones con dos incógnitas compatibles indeterminados: Una recta.

Ejemplo:



En realidad, solo hay una recta, que es la dada por todas las soluciones del sistema.

Sistemas de ecuaciones con dos incógnitas incompatibles: Dos rectas paralelas.

Ejemplo:



Obtenemos dos rectas paralelas. No hay soluciones para el sistema y de igual

forma no hay puntos de corte de las dos rectas.



https://oggisioggino.wordpress.com/2014/02/15/sistemas-de-ecuaciones-lineales-con-dos-incognitas/ http://www.vadenumeros.es/tercero/sistemas-de-ecuaciones.htm http://www.algebra.jcbmat.com/id1252.htm http://recursostic.educacion.es/descartes/web/materiales_didacticos/sistemas_lineales_dos_incognitas_dchg/p5_sde_3.html https://es.khanacademy.org/math/algebra/two-var-linear-equations#solutions-to-two-var-linear-equations http://www.vadenumeros.es/primero/sistemas-graficamente.htm http://www.aprendermatematicas.org/2esomate09sistemas.html


Tema (s): RECTAS Y ÁNGULOS, PROPIEDADES DEL TRIÁNGULO

Subtemas: TIPOS DE RECTAS, CLASIFICACIÓN DE RECTAS FIGURAS PLANAS

RECTAS Y ÁNGULOS

Tipos de rectas

Recta

Línea de puntos sin

principio ni fin, sin curvas

ni ángulos

Paralelas

Rectas que nunca se

cortan aunque se

prolonguen. La

distancia entre ambas

siempre es la misma

Recta Tangente

Recta que toca en un

punto pero sin cortar a

otra recta

Secante

Dos rectas tienen un

punto en común

(VERTICE) se llaman

secantes.

Oblicuas

Si dos rectas tienen un punto de

intersección, y forman ángulos no

todos iguales se llaman rectas

oblicuas

Perpendiculares

Dos rectas tienen un punto de

intersección, y forman cuatro ángulos

iguales y los ángulos se llaman rectos


CLASIFICACIÓN Y RELACION DE ÁNGULOS ENTRE

PARALELAS CORTADAS POR UNA SECANTE

Dos rectas paralelas son cortadas por una recta

secante creando 8 ángulos que reciben distintos

nombres según la posición que ocupan.

La recta “r” corta a las rectas paralelas “m” y “n”

∠𝒂 ∠𝒅 𝟏𝟖𝟎°

∠𝒃 ∠𝒄 𝟏𝟖𝟎°

ÁNGULOS EXTERNOS

Los ángulos externos son aquellos que se

forman al exterior de las rectas paralelas m

y n cuando son cruzadas por una recta

secante r.

Su propiedad es:

∠𝒃 ∠𝒄 𝟏𝟖𝟎°

∠𝒂 ∠𝒅 𝟏𝟖𝟎°

ÁNGULOS INTERNOS

Los ángulos internos son aquellos que se

forman al interior de las rectas paralelas m

y n cuando son cruzadas por una recta

secante r.

Su propiedad es:


ÁNGULOS ALTERNO EXTERNOS

Son los ángulos que están fuera de las líneas paralelas a

distinto lado de ellas y a distinto lado de la secante.

Por un lado los ángulos a y c’, y por otro,

los ángulos b’ y d.

Una de sus propiedades es que estos ángulos son

congruentes, lo cual significa que:

∠𝒂 ∠𝒄′ y ∠𝒅 ∠𝒃′

Ejemplo:

Si el ángulo a es de °, determine el valor del ángulo g

Solución:

Sabemos que por ser ángulos externos ∠𝑎 ∠𝑏 °, por lo tanto:

° 𝑏 °

𝑏 ° °

𝑏 °

Entonces aplicando la propiedad ∠𝑏 ∠𝑔

𝑏 ° por lo tanto 𝑔 °

Ángulos correspondientes:

Son los que se encuentran en el mismo lado de la secante y estos

siempre son iguales.

El ángulo a se corresponde con el ángulo a’

El ángulo b se corresponde con el ángulo b’

El ángulo c se corresponde con el ángulo c’

El ángulo d se corresponde con el ángulo d’

Por lo tanto:

∠𝒂 ∠𝒂′ ∠𝒃 ∠𝒃′ ∠𝒄 ∠𝒄′ ∠𝒅 ∠𝒅′

Figura 1


TRIÁNGULO

Un triángulo es una poligonal cerrada con tres lados y

tres ángulos. La suma de sus ángulos es 180º.

Cada uno de los lados es menor que la suma de los

otros dos, esto es

a < b + c b < a + c c < a + b

Propiedades del Triángulo

ÁNGULOS ALTERNO EXTERNOS

Son los ángulos que están dentro de las líneas paralelas a

distinto lado de ellas y a distinto lado de la secante.

Por un lado los ángulos b y d’, y por otro,

los ángulos c y a’.

Una de sus propiedades es que estos ángulos son

congruentes, lo cual significa que:

∠𝒃 ∠𝒅′ y ∠𝒄 ∠𝒂′

Ejemplo:

Si el ángulo f es de °, determine el valor del ángulo d

Solución:

Sabemos que por ser ángulos externos ∠𝑒 ∠𝑓 °, por lo tanto:

𝑒 ° °

𝑒 ° °

𝑒 °

Entonces aplicando la propiedad ∠𝑒 ∠𝑑

𝑒 ° por lo tanto 𝑑 °


Clasificación de triángulos según sus lados

𝐴𝑟𝑒𝑎 𝑏 ℎ

Triángulos equiláteros

Todos sus lados son iguales

Cada uno de sus ángulos

Para poder encontrar el valor de su altura, hay que proceder a hacer uso

del Teorema de Pitágoras.

El perímetro de este tipo de triángulos puede calcularse multiplicando la

longitud de cualquiera de los lados por tres.

P=3a Suponiendo que a= 24cm entonces P=3(24) por tanto el perímetro queda como P=72cm

La fórmula para calcular el área de un triángulo equilátero es siempre la misma:

Suponiendo que h= 21cm y b=24cm para determinar el Área :


; entonces 𝐴𝑟𝑒𝑎

𝑐𝑚 𝑐𝑚

𝑐𝑚


Triángulos isósceles

El triángulo isósceles es un polígono de tres lados, siendo dos iguales y el otro

desigual.

Los ángulos también serán dos iguales (α y el otro diferente (β

La altura (h) del triángulo isósceles se puede calcular a partir del teorema de

Pitágoras.

El perímetro de un triángulo isósceles se obtiene como dos veces el lado

repetido (a) más el lado desigual (b).

P=2a * b

fórmula para calcular el área de un triángulo es siempre la misma:

Suponiendo que a=10cm y b=12cm por lo tanto h=8cm, entonces para calcular el área:


; entonces 𝐴𝑟𝑒𝑎

𝑐𝑚 𝑐𝑚

𝑐𝑚


SUMA DE ÁNGULOS INTERIORES

𝛼 𝛽 𝛿

La propiedad 1 nos indica que la suma de todos los ángulos interiores siempre debe de ser igual a 180°.

SUMA DE DOS ÁNGULOS EXTERIORES

La propiedad 4 nos indica que la suma de dos ángulos exteriores X y Y será igual a 180° más el Ángulo interno no adyacente

𝑋 𝑌 ° 𝛿


Triángulo escaleno

Todos sus lados son desiguales 𝑎 ≠ 𝑏 ≠ 𝑐

Cada uno de sus ángulos son diferentes ∠𝛼 ≠ ∠𝛾 ≠ ∠𝛽

La altura (h) del triángulo escaleno se puede calcular a

partir del teorema de Pitágoras.

El área de un triángulo escaleno puede calcularse mediante la fórmula de Herón

si se conocen todos sus lados (a, b y c).

𝐴𝑟𝑒𝑎 √𝑠 𝑠 𝑎 𝑠 𝑏 𝑠 𝑐 donde S es el semiperimetro 𝑆 𝑎 𝑏 𝑐

El área también puede calcularse con la fórmula de siempre si se conoce b y h

Suponiendo que a=2cm y b=5cm y c=4cm calcula el área:

𝑆

𝑐𝑚 entonces 𝐴𝑟𝑒𝑎 √ 𝑐𝑚

Clasificación de triángulos según sus ángulos

ÁNGULOS EXTERIOR

La propiedad 2 nos indica

que 𝜃 será igual a la suma de los ángulos interiores no adyacentes.

𝜃 𝛼 𝛿

SUMA DE LOS ÁNGULOS EXTERIORES

La propiedad 3 nos indica que la suma de los 3 ángulos exteriores X,Y y Z siempre será 360°

X+Y+Z=360°


∠𝐴 ∠𝐵 ∠𝐶 < °

TRIÁNGULO ACUTÁNGULO

Sus 3 ángulos siempre son agudos

Cumplen con las 4 propiedades de los ángulos de los

triángulos

TRIÁNGULO RECTÁNGULO

Su principal característica es que tiene un ángulo de 90°

Sus dos ángulos agudos suman 90º

La hipotenusa es mayor que cualquiera de los catetos


triángulos

∠𝐴 > °

TRIÁNGULO OBTUSÁNGULO

Tiene un ángulo mayor a 90°


triángulos


Ejemplos:

Considera que las rectas PQ y RS son paralelas, calcula y anota las medidas de ángulos que

hacen falta.

∢a = 47° es Opuesto por el vértice

∢b = 47° es Alterno Interno con 47°

∢c = 68° 112° + ∢c = 180°

∢d = 68° es Opuesto por el vértice

∢e =65° Ángulos interiores del Δ

∢f = 115° es Opuesto por el vértice

∢g = 65° 115° + ∢g = 180°

∢h = 133° 47° + ∢h = 180°

Calcular el valor de C, cuando ° y °

Los ángulos ∢a y ∢g suman 180°

∢a + ∢g = 180°

(6x + 15°) + (2x + 5°) = 180°

8x + 20° = 180°

8x = 180° - 20°

8x = 160°

x = 160° ÷ 8 x = 20°

Entonces ∢a = 6(20°) + 15° = 135° y ∢c = 45°


http://diccionariomate.blogdiario.com/1279652640/geometria/ https://sites.google.com/site/eet468conthales/conceptos-basicos/transversales/rectas-oblicuas-2 https://www.edu.xunta.es/espazoAbalar/sites/espazoAbalar/files/datos/1445431865/contido/ud6/22_posiciones_relativas_entre_una_recta_y_una_circunferencia.html http://www.aulafacil.com/cursos/l11136/ciencia/matematicas/geometria/angulos-determinado-por-rectas-paralelas-cortadas-po-una-secante http://galia.fc.uaslp.mx/~medellin/Applets/paralelas/paralelas.htm https://www.ematematicas.net/figurasplanas.php https://es.scribd.com/doc/27590449/Propiedades-basicas-de-los-triangulos


Tema (s): SEMEJANZA Y TEOREMA DE TALES

Subtemas: CONCEPTO Y DEDUCCION DE PROPORCIÓN RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS EN CONTEXTO

SEMEJANZA Y TEOREMA DE TALES

La semejanza de triángulos es una característica que hace que dos o más triángulos sean semejantes. Dos triángulos son semejantes cuando tienen sus ángulos congruentes y sus lados correspondientes (homólogos) son proporcionales. Se les llama lados homólogos los opuestos a ángulos iguales. En los siguientes triángulos se indican los elementos homólogos (ángulos y lados) con la igualdad o congruencia de sus ángulos y la proporcionalidad de los lados:

Para que los triángulos sean semejantes se deben de cumplir las siguientes condiciones:

A r se le denomina razón de semejanza.

Se llama razón de semejanza a la relación que existe entre la relación entre la longitud de uno de

los lados de una figura con la de su homólogo.

Sus lados sean

proporcionales:

Sus ángulos sean iguales:

a = a´

b = b´

c = c´


CRITERIOS DE SEMEJANZA DE TRIÁNGULOS

Para que dos triángulos sean semejantes, deben cumplir alguno de los tres criterios de semejanza,

que se mencionan a continuación.

Criterio AA (ángulo – ángulo). Que tengan dos ángulos iguales.

Si b = b’ y c = c’, entonces los triángulos ABC y A’B’C’ son semejantes.

Criterio LAL (lado – ángulo - lado). Que tengan los lados proporcionales y el ángulo comprendido entre ellos sea igual.

Entonces:

Por lo tanto, los triángulos ABC y A’B’C’ son semejantes.

Criterio LLL (lado – lado – lado). Que tengan sus tres lados correspondientes proporcionales.

Entonces:

Por la tanto los triángulos ABC y A’B’C’ son semejantes.


TEOREMA DE TALES.

El Teorema de Tales afirma: que todo sistema de paralelas divide a dos transversales en

segmentos proporcionales

Cuando dos triángulos tienen un ángulo común y sus lados opuestos a ese ángulo son paralelos

entre sí, entonces esos triángulos son semejantes.

Y, por tanto, se cumple que:


https://www.portaleducativo.net/segundo-medio/41/criterios-de-semejanza-triangulos

http://mimosa.pntic.mec.es/clobo/geoweb/semej3.htm

https://matematica.laguia2000.com/general/semejanza-de-triangulos

http://calculo.cc/temas/temas_trigonometria/trian_semejante/problemas/p_tales.html


Tema (s): POLIGONOS Y CIRCUNFERENCIA

Subtemas: CARACTERISTICAS DE LOS POLIGONOS REGULARES CARACTERISTICAS DE LA CIRCUNFERENCIA

POLÍGONOS Y CIRCUNFERENCIA

POLÍGONOS

Un polígono es una figura cerrada y plana limitada por un mínimo de tres segmentos rectilíneos,

formando una línea poligonal que denominamos contorno del polígono.

Los segmentos que forman el polígono son sus lados, y sus puntos de unión son los vértices.

a) Clasificación

Los polígonos se clasifican de la siguiente manera:

Según su número de lados

Triángulo: polígono con tres lados

Cuadrilátero: polígono con cuatro lados

Pentágono: polígono con cinco lados

Hexágono: polígono con seis lados

Heptágono: polígono con siete lados

Octógono: polígono con ocho lados

Eneágono: polígono con nueve lados

Decágono: polígono con diez lados

Undecágono: polígono con once lados

Dodecágono: polígono con doce lados

Y así sucesivamente…

Según su regularidad

Equilátero: si tienen todos sus lados iguales

Equiángulo: si tiene todos sus ángulos iguales

Polígono regular: si todos los lados son iguales y es equiángulo (todos los ángulos iguales)

Polígono irregular: tiene tanto sus lados como sus ángulos desiguales.

LADO VÉRTICE

Triángul

o

Pentágono


Según sus ángulos

Convexo: Todos sus ángulos interiores tienen menos de 180º.

Cóncavo: algún ángulo interior tiene más de 180º.

Según su complejidad

Simple: ningún lado del polígono intersecta con otro

Complejo: al menos un par de lados se corta

b) Polígonos regulares

El polígono regular consta de tres elementos básicos:

Centro “C”: Punto interior que equidista de cada vértice.

Radio “r”: Es el segmento que va del centro a cada vértice.

Apotema “a”: Distancia del centro al punto medio de un lado.

Ángulo central “α”. Tiene el vértice en el centro del polígono y los lados pasan por

dos vértices consecutivos. En un polígono regular de “N” lados su valor es:

°

Donde “N” es el número de lados que tiene el polígono.


i. Numeró de diagonales

Las diagonales de un polígono son segmentos que unen dos vértices no consecutivos.

La cantidad de diagonales de un polígono se determina por el número de lados que

tiene el polígono y su fórmula es:

Para obtener la cantidad de diagonales de un vértice se utiliza la siguiente formula:

ii. Medida del ángulo interior

Los ángulos interiores de un polígono son los ángulos que forman dos lados contiguos

y que quedan dentro del polígono.

Para calcular el ángulo interior de un polígono regular de "N" lados se utiliza la fórmula:

°

Por ejemplo el ángulo interior de un hexágono (6 lados) es:

°

°

iii. Suma de ángulos interiores

La suma de los ángulos interiores de un polígono regular depende del número de lados

(N) que tiene éste y la fórmula que determina dicha suma (en grados sexagesimales)

es:

°

Por ejemplo la suma de los ángulos interiores de un octágono (8 lados) es:

°

°

Deduciendo la fórmula:

Cualquiera que sea la forma de un triángulo, la suma de sus ángulos interiores vale

180°. Si tenemos un polígono regular y trazamos las diagonales de un vértice,


observamos que el número de triángulos obtenidos en cada polígono es igual al

número de lados menos 2; como los grados de un triángulo valen 180, basta con

multiplicar este valor por el de lados menos 2.

Ejemplo:

Dado un hexágono regular

Número de lados

DIAGONALES =

ÁNGULO INTERIOR = °

°

°

CIRCUNFERENCIA

La circunferencia es una línea plana y cerrada en la que todos los puntos están a igual

equidistantes de un punto llamado centro O.

La circunferencia cuenta con seis elementos que la caracterizan.

• Centro: es el punto situado en su interior que se encuentra a la misma distancia de cualquier

punto de la circunferencia.

• Radio: es el segmento que une cualquier punto de la circunferencia con el centro.

El cuadrado tiene 4 ángulos

interiores que miden 90°, al

sumarlos nos resulta 360°. Al

trazar la diagonal de un vértice se

generan N-2 triángulos = 2, al

multiplicar por 180°(suma de los

ángulos internos del triángulo) nos

resulta 360°


• Cuerda: es el segmento que une dos puntos cualesquiera de la circunferencia, de los dos arcos

que una cuerda determina se le llama arco correspondiente al menor de ellos.

• Diámetro: es la cuerda que pasa por el centro de la circunferencia.

• Arco: es el segmento de circunferencia comprendido entre dos de sus puntos.

• Semicircunferencia: es el arco que abarca la mitad de la circunferencia.

La longitud o perímetro de una circunferencia se determina de la siguiente formula

Donde:

L Es la longitud o perímetro de la circunferencia

D Es el diámetro de la circunferencia

De igual forma se puede determinar por la siguiente formula:

Donde:

r Es el radio de la circunferencia

a) Rectas en la Circunferencia

Una recta que tiene dos puntos comunes con la circunferencia, se dice que es una

secante.


Una recta que tiene un solo punto común con la circunferencia se dice que es tangente, al

punto se le llama punto de tangencia o punto de contacto

Si la recta no tiene punto en común con la circunferencia, se dice que la recta es exterior.

b) Ángulos en la circunferencia y el cálculo de su medida

i. Ángulo central.

Es el ángulo que tiene su vértice en el centro de la circunferencia y los lados son radios de

ella.

La medida del arco AB es la del ángulo central AOB.

Arco AB = ÁNGULO AOB

ii. Ángulo inscrito.

T iene su vért ice en la c ircunferenc ia y sus lados son secant es a e l la.

Mide la mitad del arco que abarca.


iii. Ángulo interior.

Tiene su centro en un punto interior del círculo.

La medida del ángulo interior es la semisuma de los arcos que comprenden él y su

opuesto.

iv. Ángulo exterior.

Tiene su vértice en un punto exterior de la circunferencia, pudiendo ser sus lados,

tangentes o secantes a la misma.

La medida del ángulo exterior es la semidiferencia de los arcos que abarca.

c) Corona Circular

La corona circular es la parte del plano comprendida entre dos circunferencias que tienen

el mismo centro:

La zona coloreada del plano es la corona circular.

Para saber su superficie necesitas conocer las medidas del radio mayor y la del radio

menor.

Primero se calcula el área de un círculo con el radio mayor, seguidamente el área del

círculo con el radio menor y se hallará su diferencia. Esta diferencia representa la corona

circular:


Si e traemos el factor común que es π, la formula será:

Para calcular el perímetro se emplea la siguiente expresión:

Ejemplo:

En un parque de forma circular de 70m de radio hay situada en el centro una fuente,

también de forma circular de 5m de radio. Calcula el área de la zona de paseo.


http://www.universoformulas.com/matematicas/geometria/poligono/

https://www.vitutor.com/geo/eso/s_3.html

http://www.universoformulas.com/matematicas/geometria/angulos-interiores-poligono/#ejemplos

http://www.disfrutalasmatematicas.com/geometria/poligonos-regulares.html

http://calculo.cc/temas/temas_geometria/rectas_angulos/problemas/prob_ang_circun.html

http://roble.pntic.mec.es/jarran2/cabriweb/circunf/anguloscircun.htm

https://www.vitutor.com/geo/eso/ac_4.html


Tema (s): CUERPOS GEOMÉTRICOS: PERÍMETROS, ÁREAS COMBINADAS Y VOLUMEN

Subtemas: CÁLCULO DE PERIMETROS Y ÁREAS CÁLCULO DE SOLIDOS

CUERPOS GEOMETRICOS: PERIMETRO, AREAS COMBINADAS Y

VOLUMEN

¿Qué es el perímetro?

El perímetro es la suma de las medidas de los lados de un rectángulo. Esto

equivale al contorno de la forma a ser calculada. Un ejemplo práctico: si

quisiéramos calcular la cantidad de cerca eléctrica necesaria para delimitar

un terreno que tiene 6 de largo y 8 de ancho, la expresión matemática para

calcular el perímetro será:8 + 8 + 6 + 6.

Calcula el perímetro

Si tenemos una longitud cuyo valor es 10 unidades y un área de 60, ¿cuál es el perímetro del

rectángulo?

Perímetro: ___________


¿Qué es el área?

El área puede ser definida como la medida de la superficie,

y se descubre partir de multiplicar la base por la altura.

Utilizamos esta expresión cuando vamos a calcular la

superficie, por ejemplo, de un campo de fútbol u otro

deporte.

Calcula el área

Si tenemos que el perímetro de un rectángulo es 34 y el ancho de uno de los lados es 5, ¿cuál

es el área de la figura?

Área: ________

¿Qué es el volumen?

El volumen corresponde al espacio que la forma

ocupa, por lo tanto, es la multiplicación de la altura

por el ancho y por el largo. El volumen sirve, por

ejemplo, cuando queremos calcular la cantidad de agua

en una piscina.

Calcula el volumen

SI tenemos una caja cuya altura es 7m, su longitud es de 8m, y el ancho de 6m, ¿cuál es el

volumen?

Volumen: __________


Cálculo de Área


Cálculo de Volumen


http://noticias.universia.com.ar/vida-universitaria/noticia/2014/08/20/1110073/aprende-diferencia-

perimetro-area-volumen-como-calcular-cada.html

https://www.montereyinstitute.org/courses/DevelopmentalMath/TEXTGROUP-1-

8_RESOURCE/U07_L2_T2_text_final_es.html

https://www.varsitytutors.com/hotmath/hotmath_help/spanish/topics/perimeter-area-volume


Tema (s): TEOREMA DE PITÁGORAS

Subtemas: APLICACIÓN DEL TEOREMA DE PITÁGORAS

TEOREMA DE PITÁGORAS

DEMOSTRACIÓN GEOMETRICA

Características:

Los triángulos rectángulos son aquellos que tienen un ángulo recto (90° . “ c ”

El lado mayor recibe el nombre de Hipotenusa. “ a ”

Los Catetos son los ángulos que forman el lado recto. “ b ”

Definición:

El teorema de Pitágoras establece que en todo triángulo rectángulo, el

cuadrado de la longitud de la hipotenusa es igual a la suma de los

cuadrados de las respectivas longitudes de los catetos.

http://www.google.com.mx/url?sa=i&rct=j&q=&esrc=s&source=images&cd=&cad=rja&uact=8&ved=0ahUKEwio06rHy6_XAhUF8CYKHQPLDUMQjRwIBw&url=http://mundoeducacao.bol.uol.com.br/matematica/a-magia-pitagoras.htm&psig=AOvVaw06s4w_heoLDurRTR7NZHEf&ust=1510250532943402

http://www.google.com.mx/url?sa=i&rct=j&q=&esrc=s&source=images&cd=&cad=rja&uact=8&ved=0ahUKEwio06rHy6_XAhUF8CYKHQPLDUMQjRwIBw&url=http://mundoeducacao.bol.uol.com.br/matematica/a-magia-pitagoras.htm&psig=AOvVaw06s4w_heoLDurRTR7NZHEf&ust=1510250532943402


EJEMPLOS:

Determina la hipotenusa.

a2 + b

2 = c

2

52 + 12

2 = c

2

25 + 144 = 169

c2 = 169

c =√ c = 13


https://es.wikipedia.org/wiki/Teorema_de_Pit%C3%A1goras

https://www.um.es/docencia/pherrero/mathis/pitagoras/teorema.htm

https://www.youtube.com/watch?v=ifiHSM6QhYM


Tema (s): TRIGONOMETRÍA

Subtemas: DEFINICIÓN DE LAS RAZONES TRIGONOMÉTRICAS RESOLUCIÓN DE TRIÁNGULOS RECTÁNGULOS

TRIGONOMETRÍA

La trigonometría es la rama de las matemáticas que estudia la relación entre los lados y los ángulos de un triángulo. En este rubro estudiaremos al triángulo rectángulo, este triángulo tiene la característica de tener un ángulo recto (90°); (en el dibujo de este se acostumbra poner un pequeño rectángulo donde está el ángulo recto) y pueden ser isósceles o escalenos. Pitágoras (570 a.c.) en su amor a la geometría determinó los nombres para cada uno de los lados de un triángulo rectángulo:

Cuando en un problema se da como dato un ángulo y un lado, por medio de razones trigonométrica podemos calcular la medida del otro lado faltante, para ello consideremos los siguientes conceptos: Razón: la razón de un número con otro número (este distinto de cero), es el cociente que

resulta de dividir ⁄ ; o sea, razón es el número que resulta de comparar por cociente dos

magnitudes. Las razones que existen entre los lados de un triángulo rectángulo varían al variar el ángulo de que se trate (Fig. 1); es decir, que las razones son funciones del ángulo. A estas razones se les llama Razones Trigonométricas.

Las razones que resultan de comparar los lados del triángulo reciben los nombre de seno, coseno, tangente, cotangente, secante y cosecante; que se expresan en forma abreviada como sen, cos, tan, cot, sec, y csc, respectivamente.

cateto

cateto

hipotenusa


Si nos referimos a la fig. 1, para el ángulo agudo , estas funciones se definen como sigue:

adyacentecateto

opuestocateto

hipotenusa

adyacentecateto

hipotenusa

opuestocatetosen

_

_tan

_cos

_

opuestocateto

adyacentecateto

adyacentecateto

hipotenusa

opuestocateto

hipotenusa

_

_cot

_sec

_csc

Ej. 1 Expresa las 6 funciones trigonométricas correspondientes al ángulo que se indica:

cot

sec

csc

tan

cos

sen

Las razones trigonométricas son muy útiles cuando se necesita calcular alguno de los lados de un triángulo rectángulo, por ejemplo: Ej. 2. El piloto de un avión voló 6 km hacia el oeste de A hasta C, desde C fue hacia el sur 8 km hasta B. Calcula el ángulo de vuelo y la distancia de B a A.

𝑡𝑎𝑛𝜃 𝑐𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜 𝑜𝑝𝑢𝑒𝑠𝑡𝑜

𝑐𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜 𝑎𝑑𝑦𝑎𝑐𝑒𝑛𝑡𝑒

𝜃 𝑡𝑎𝑛

°

Por Teorema de Pitágoras:

𝐴𝐵 √ √ √

Por la razón trigonométrica

Aquí explicar que el ángulo se puede obtener con la inversa de las razones

trigonométricas y hacer hincapié en el planteamiento de la razón.


Ej. 3. Si el ángulo de elevación del Sol, en un determinado momento, es de 40° y un poste proyecta una sombre de 12m de longitud, calcula la altura del poste. Altura poste

°

°

Despejando x: °

BILIOGRAFIA Y REFERENCIAS

http://www.disfrutalasmatematicas.com/geometria/teorema-pitagoras.html

http://www.ematematicas.net/trigonometria.php

42°

12 m


Tema (s): PROBABILIDAD Y ESTADÍSTICA

Subtemas: INTERPRETACIÓN DE TABLAS DE FRECUENCIA RELATIVA Y ABSOLUTA INTERPRETACIÓN DE GRAFICAS Y POLIGONOS DE FRECUENCIAS CALCULO DE PROBABILIDADES

PROBABILIDAD Y ESTADÍSTICA

Estadística:

A) Interpretación de tablas de frecuencia relativa y absoluta.

Las tablas de frecuencia resumen información acerca del número de veces que se presenta un

valor determinado. Esto, nos permite manipular la información de manera rápida y sencilla.

Frecuencia absoluta: Se define como la cantidad de veces que se presenta un dato. Se denota

como fi. La suma de estas frecuencias absolutas es equivalente al valor total de datos en la tabla y

se representa con la letra N.

Por ejemplo: Se realizó una encuesta a los alumnos del curso COMIPEMS 2017 para determinar

cuál era su primera opción de ingreso al nivel medio superior. Los resultados fueron los siguientes:

Escuela Frecuencia absoluta

CECyT 1 5

CECyT 2 3

CECyT 3 10

CECyT 4 8

CECyT 5 6

CECyT 6 9

Total 41

La frecuencia absoluta en el CECyT 3 es de 10 estudiantes.

Frecuencia absoluta acumulada: Es la suma sucesiva de frecuencias absolutas. Este valor se

conoce como Fi.

Escuela Frecuencia absoluta Frec. absoluta acumulada

CECyT 1 5 5

CECyT 2 3 5+3=8

CECyT 3 10 8+10=18

CECyT 4 8 18+8=26

CECyT 5 6 26+6=32

CECyT 6 9 32+9=41

Total 41 41

Por ejemplo: en el CECyT 3 la frecuencia acumulada es de 18 alumnos (8 de la suma de CECyT 1

y 2 más los 10 estudiantes del CECyT 3).


Frecuencia relativa: Se define como la probabilidad de obtener cierto dato sobre el total. Se

obtiene calculando la razón entre la frecuencia absoluta de un dato con el total. Este valor se

conoce como hi. También, se puede expresar como fracción, decimal y porcentaje.

Para obtenerlo en decimal, se divide la frecuencia absoluta entre el total. Para obtenerlo en

porcentaje, se multiplica el valor decimal por 100.

Escuela Frecuencia absoluta Frec. abs. acumulada

Frecuencia relativa (en fracción)

CECyT 1 5 5 5/41

CECyT 2 3 8 3/41

CECyT 3 10 18 10/41

CECyT 4 8 26 8/41

CECyT 5 6 32 6/41

CECyT 6 9 41 9/41

Total 41 41 41

Por ejemplo: en el CECyT 3 la frecuencia relativa es de 10/41 (fracción) o 0.24 (decimal) o 24%

(porcentaje).

Frecuencia relativa acumulada: Es la suma sucesiva de frecuencias relativas. Este valor se

conoce como Hi. Se obtiene dividiendo la frecuencia absoluta acumulada entre el total. De la

misma manera que la frecuencia relativa, se puede expresar en fracción, decimal y porcentaje.

Escuela Frecuencia absoluta Frec. abs. acumulada

Frecuencia relativa (en fracción)

Frecuencia relativa

acumulada

CECyT 1 5 5 5/41 5/41

CECyT 2 3 8 3/41 8/41

CECyT 3 10 18 10/41 18/41

CECyT 4 8 26 8/41 26/41

CECyT 5 6 32 6/41 32/41

CECyT 6 9 41 9/41 41/41

Total 41 41 41 41

Por ejemplo: la frecuencia relativa acumulada en el CECyT 3 es de 18/41 (fracción), 0.44 (decimal)

o 44 % (porcentaje).


B) Interpretación de polígono de frecuencia, gráfica de barras y gráfica circular.

Polígono de frecuencias: Representa variables de una tabla de forma esquemática, lo que permite

observar de manera más sencilla los cambios. Se forma interpolando los datos variables de x con y

y uniendo estos puntos.

Tomando el ejemplo del punto anterior.

Gráfica de barras: Se forma de la misma manera que el anterior pero añadiendo rectángulos que

representan cada uno de los datos. La altura de la barra indica la frecuencia.


CECyT 1 5

CECyT 2 3

CECyT 3 10

CECyT 4 8

CECyT 5 6

CECyT 6 9

Total 41


CECyT 1 5

CECyT 2 3

CECyT 3 10

CECyT 4 8

CECyT 5 6

CECyT 6 9

Total 41

0

2

4

6

8

10

12

CECyT 1 CECyT 2 CECyT 3 CECyT 4 CECyT 5 CECyT 6

Nú

mer

o d

e es

tud

ian

tes

(fre

c. a

bs.

)

Escuela

Polígono de frecuencia

0

2

4

6

8

10

12


Nú

mer

o d

e es

tud

ian

tes

(Fre

c. a

bs.

)

Escuela

Gráfica de barras


Gráfica circular: Se construye tomando el 100% como el total del círculo (360º) y determinado con

base en la frecuencia el porcentaje correspondiente a cada variable.

Todos estos gráficos pueden calcularse con la frecuencia absoluta y la frecuencia relativa.

c) Cálculo de medidas de tendencia central.

Las medidas de tendencia central sirven para evaluar una serie de variables. Estas son la media

aritmética o promedio que se obtiene mediante la suma de todos los valores numéricos entre el

total de estos y se expresa con el siguiente símbolo ̅ . La mediana es un valor que está en el

centro de la distribución y se representa con las letras Md. La moda es el valor más común entre

las variables y se representa con las letras Mo.

Por ejemplo: Se analizaron los promedios de 10 estudiantes de nuevo ingreso del CECyT 3 y se

obtuvieron los siguientes resultados:

Estudiante Promedio de cada estudiante

1 9.1

2 8.6

3 8.8

4 9.4

5 9.9

6 10

7 10

8 8.3

9 8.6

10 9.7

Determine el valor de la media, la mediana y la moda.

CECyT 1 12%

CECyT 2 7%

CECyT 3 24%

CECyT 4 20%

CECyT 5 15%

CECyT 6 22%

Gráfica circular



1. Media: Se realiza una suma de todos los valores

y se divide entre la frecuencia total (6 grupos de calificaciones):

2. Mediana: Para obtener este valor, se ordenan las variables de menor a mayor o viceversa y se

toma el valor central.

En este caso hay dos valores distintos, por lo que se toman ambos y se obtiene el promedio:

3. Moda: Ya que se tienen los valores ordenados, se observa que valor es el que se repite más

veces. En este caso 8.6 y 10.

Probabilidad:

a) Concepto de probabilidad clásica.

La probabilidad se define como la posibilidad de que suceda un evento de manera aleatoria.

Asumimos que todos los resultados posibles se conocen antes de realizar el experimento pero no

se conoce el resultado. Esto se obtiene mediante la fórmula:

Donde P(E) es la probabilidad de un evento, n(E) es un evento y n(S) es el total de eventos.

Por ejemplo: ¿Cuál es la probabilidad de que salga un frijol de una bolsa que contiene 5 chícharos

y 4 frijoles?

P (frijol) = 4 (frijoles) / 9 (total)

P = 4/9 = 0.44

Nota: Las probabilidades también se pueden expresar en fracción, decimal y porcentaje.

A continuación se mencionan algunos hechos en probabilidad.

Hecho 1: Si es seguro que un evento E ocurra entonces P(E) = 1.

Hecho 2: Si es seguro que un evento E no ocurra entonces P(E) = 0.

Hecho 3: Si es posible pero no seguro que un evento E ocurra entonces 0<P(E)<1.

Hecho 4: La probabilidad de que un evento E no ocurra es igual a 1 - P(E).

Hecho 5: La suma de las probabilidades de todos los posibles resultados del evento E es igual a 1.


Ejemplo:

En una baraja de 52 naipes, hay 13 naipes de cada grupo:

13 tréboles, 13 corazones, 13 diamantes, 13 corazones.

= Una baraja con 52 naipes

¿Cuál es la probabilidad de que al extraer una carta al azar?

Evento A : La carta es de diamantes … 13

Probabilidad (A)

Evento B : La carta es un As … 4

Probabilidad (B)

Evento C : La carta es de color rojo … 26

Probabilidad (C)

Evento D: La carta es menor que 5 y de color negra… 8

Probabilidad (D)

¿Qué evento es más Probable de suceder? El más probable es el evento C.

Existen eventos que son resultados de un evento y que son los únicos resultados posibles se les

conoce como eventos complementarios. Por ejemplo: Lanzar un dado 1 vez y obtener un número

par o un número impar.

Existen eventos que no pueden ocurrir al mismo tiempo y se les llama eventos mutuamente

excluyentes. Todos los eventos complementarios son mutuamente excluyentes.

Por ejemplo: Si un dado de 6 lados es girado una vez, el evento de obtener un número par y un

número impar es complementario y mutuamente excluyente ya que sólo puedes obtener un

resultado u otro.

También, se pueden presentar eventos no mutuamente excluyentes, se le conoce como la regla

de suma. Si dos eventos A y B no son mutuamente excluyentes, es decir que pueda ocurrir A y B a

la vez o uno u otro, se aplica la siguiente regla:

Por ejemplo: en una caja donde se encuentran todas la piezas de un ajedrez (32).

Dado que el evento A es tomar un alfil y el evento B tomar una pieza negra. ¿Cuál es la

probabilidad de obtener un peón negro en la primera pieza tomada?

P(A) = 4/32


P(B) = 16/32

P(A B) = (4/32)(16/32) = 2/32

¿Cuál es la probabilidad de tomar un alfil o una pieza negra?

P (AUB) = (P (A) + P (B) ) - P(A B)

P (AUB) = 4/32 + 16/32 - 2/32 = 18/32 = 9/16


https://www.portaleducativo.net/octavo-basico/786/Interpretacion-de-tablas-de-frecuencias

http://calculo.cc/temas/temas_e.s.o/estadistica/teoria/poligono-frec.html

http://libros.conaliteg.gob.mx/content/restricted/libros

https://es.slideshare.net/liliawhite37/interpretacin-de-la-informacin-en-grafica-de-barras-y-circular

RAZONAMIENTO MATEMÁTICO SUCESIONES ... Virtual2020...Material Virtual – Curso de preparación...

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