GEOMETRIA ANALÍTICA

Gerard Romo Garrido

Toomates Coolección

Los documentos de Toomates son materiales digitales y gratuitos. Son digitales porque están pensados para ser consultados mediante un

ordenador, tablet o móvil. Son gratuitos porque se ofrecen a la comunidad educativa sin coste alguno. Los libros de texto pueden ser digitales o

en papel, gratuitos o en venta, y ninguna de estas opciones es necesariamente mejor o peor que las otras. Es más: Suele suceder que los mejores docentes son los que piden a sus alumnos la compra de un libro de texto en papel, esto es un hecho. Lo que no es aceptable, por inmoral y

mezquino, es el modelo de las llamadas "licencias digitales" con las que las editoriales pretenden cobrar a los estudiantes, una y otra vez, por

acceder a los mismos contenidos (unos contenidos que, además, son de una bajísima calidad). Este modelo de negocio es miserable, pues impide el compartir un mismo libro, incluso entre dos hermanos, pretende convertir a los estudiantes en un mercado cautivo, exige a los

estudiantes y a las escuelas costosísimas líneas de Internet, pretende pervertir el conocimiento, que es algo social, público, convirtiéndolo en un

producto de propiedad privada, accesible solo a aquellos que se lo puedan permitir, y solo de una manera encapsulada, fragmentada, impidiendo el derecho del alumno de poseer todo el libro, de acceder a todo el libro, de moverse libremente por todo el libro.

Nadie puede pretender ser neutral ante esto: Mirar para otro lado y aceptar el modelo de licencias digitales es admitir un mundo más injusto, es

participar en la denegación del acceso al conocimiento a aquellos que no disponen de medios económicos, en un mundo en el que las modernas tecnologías actuales permiten, por primera vez en la historia de la Humanidad, poder compartir el conocimiento sin coste alguno, con algo tan

simple como es un archivo "pdf". El conocimiento no es una mercancía.

El proyecto Toomates tiene como objetivo la promoción y difusión entre el profesorado y el colectivo de estudiantes de unos materiales didácticos libres, gratuitos y de calidad, que fuerce a las editoriales a competir ofreciendo alternativas de pago atractivas aumentando la calidad

de unos libros de texto que actualmente son muy mediocres, y no mediante retorcidas técnicas comerciales.

Este documento se comparte bajo una licencia “Creative Commons”: Se permite, se promueve y se fomenta cualquier uso, reproducción y edición de todos estos materiales siempre que sea sin ánimo de lucro y se cite su procedencia. Todos los documentos se ofrecen en dos

versiones: En formato “pdf” para una cómoda lectura y en el formato “doc” de MSWord para permitir y facilitar su edición y generar versiones

parcial o totalmente modificadas. Se agradecerá cualquier observación, comentario o colaboración a toomates@gmail.com

La biblioteca Toomates Coolección consta de los siguientes libros:

Bloques temáticos: Problem-solving Libros de texto (en catalán)

Geometría Axiomática pdf 1 2 ... 23

Problemas de Geometría pdf 1 2 3 4 5 6 7 8 9

Introducción a la Geometría pdf doc

Teoría de números

pdf 1 2 3

Trigonometría pdf doc pdf doc

Desigualdades pdf doc

Números complejos pdf doc pdf doc

Álgebra pdf doc pdf 1 2 3 4

Combinatoria

pdf doc

Probabilidad

pdf doc

Guía del estudiante de Olimpiadas Matemáticas

pdf

Combinatòria i Probabilitat pdf doc

Estadística pdf doc

Funcions pdf doc

Geometria analítica pdf 1 2

Àlgebra Lineal 2n batxillerat pdf doc

Geometria Lineal 2n batxillerat pdf doc

Càlcul Infinitesimal 2n batxillerat pdf 1 2

Programació Lineal 2n batxillerat pdf doc

Recopilaciones de pruebas PAU:

Catalunya TEC , Catalunya CCSS , Galicia , Portugal A , Portugal B

Recopilaciones de problemas olímpicos y preolímpicos (España):

OME , OMEFL , OMEC , OMEM , Canguro , Cangur

Recopilaciones de problemas olímpicos y preolímpicos (Internacional):

IMO , OMI , USAMO , AIME , AMC 8 , AMC12 (2008-2020) , SMT , Kangourou, Kangaroo

Versión de este documento: 05/04/2021

Todos estos documentos se actualizan constantemente. ¡No utilices una versión anticuada! Descarga totalmente gratis la última versión de los documentos en los enlaces superiores.

www.toomates.net

Índex 1 Punts i vectors: El pla cartesià IR

2. →

1.1 Punts.

1.2 Vectors. Suma de vectors.

1.3 Producte d'un nombre per un vector.

1.4 Combinació lineal de vectors. Bases.

1.5 Operacions entre punts i vectors.

1.6 Divisió de segments.

1.7 Mòdul d'un vector. Distància entre punts.

1.8 Producte escalar. Angle entre vectors.

1.9 La història dels vectors.

2 Rectes. → 2.1 Punts alineats.

2.2 Les equacions d'una recta. El pendent d'una recta.

2.3 Relació entre punt i recta. Distància d'un punt a una recta.

2.4 Intersecció de rectes. Posició relativa.

2.5 Angle entre dues rectes.

2.6 Rectes paral·leles.

2.7 Rectes perpendiculars.

2.8 Projecció ortogonal. Punt simètric.

2.9 Distància entre dues rectes paral·leles.

2.10 Exercicis de repàs.

2.11 Problemes PAU de geometria analítica.

3 Circumferències. → 3.1 Equació de la circumferència.

3.2 Posició relativa entre recta i circumferència.

3.3 Posició relativa entre dues circumferències.

3.4 Circumcircle, circumcentre i circumradi.

3.5 Recta tangent a una circumferència.

4 Paràboles. → 4.1 Definició de paràbola. Propietats.

4.2 Paràboles verticals.

4.3 Intersecció recta-paràbola.

4.4 Intersecció paràbola-circumferència.

4.5 Paràboles horitzontals.

4.6 Recta tangent a una paràbola.

5 El·lipses. → 5.1 Definició d'el·lipse. Propietats.

5.2 El·lipses amb l'eix focal horitzontal.

5.3 Punts de tall de l'el·lipse amb els eixos. Vèrtexs.

5.4 Excentricitat d'una el·lipse.

5.5 El·lipses no centrades en l'origen.

5.6 El·lipses amb l'eix focal vertical.

6 Hipèrboles. → 6.1 Definició de hipèrbola. Propietats.

6.2 Hipèrboles amb l'eix focal horitzontal.

6.3 Punts i rectes notables de la hipèrbola.

6.4 Excentricitat d'una hipèrbola.

6.5 Hipèrboles amb l'eix focal vertical.

Solucions. →

1 Punts i vectors: El pla cartesià IR2.

Punts.

Definim el pla cartesià IR2 com el conjunt de totes les parelles ),( yx de nombres reals,

presentat de la forma convencional: El primer nombre x és la columna, positius cap a la

dreta i negatius cap a l'esquerra, i el segon nombre y és la fila, positius cap a dalt i

negatius cap a baix.

L'origen )0,0( queda al centre.

Eixos i quadrants.

S'anomena eix horitzontal, o d'abscisses, el conjunt de punts de la forma )0,(x

S'anomena eix vertical, o d'ordenades, el conjunt de punts de la forma ),0( y .

Fora dels eixos, els punts es divideixen en quatre quadrants, en funció del signe de les

seves components:

1.1.1 Determina les coordenades dels següents punts:

1.1.2 Determina el quadrant al què pertanyen els següents punts:

a) (3, 5) b) (22, 23) c) (1, 24) d) (23, 1) e) (3, 23) f) (21, 23).

1.2 Vectors. Suma de vectors.

Si els punts representen posicions, els vectors representen direccions, moviments.

Els vectors es designen generalment amb una lletra minúscula coronada amb una petita

fletxa al capdamunt, per a evitar confusions amb els punts.

Per exemple: )2,3(v

és un vector, una direcció, jo vaig en la direcció )2,3( .

)2,3(P és un punt, una posició, jo estic en la posició )2,3( .

La suma de vectors.

Dos vectors es poden sumar sumant els seus components corresponents.

2211

21

21,

,

,wvwvwv

www

vvv

Propietats de la suma de vectors.

a) Propietat commutativa: vwwv

b) Propietat associativa: wvuwvu

c) Existència d'element neutre: )0,0(0

: vvv

00

d) Existència d'element invers:

Donat 2121 ,, vvvvvv

compleix 0)(

vv

Exemple resolt.

Donats els vectors )5,3(a

, )7,4( b

i )3,1( c

, calcula:

a) ba

b) cb

c) cba

Solucions:

a) )2,7())7(5,43()7,4()5,3( ba

b) )10,3())3(7,)1(4()3,1()7,4( cb

c) )5,6())3()7(5,)1(43()3,1()7,4()5,3( cba

1.3 Producte d'un nombre per un vector. Per a multiplicar un nombre per un vector s’ha de multiplicar cada component del vector per

aquest nombre. És fàcil comprovar que aquesta operació multiplica la longitud del vector pel

nombre. Si el signe del nombre és negatiu, s’obté un vector de la mateixa longitud però en

sentit contrari.

21

21,

,vkvkvk

IRk

vvv

Exercici resolt.

Donat )1,2(v

, determina v

3 i v

2 , i representa aquests vectors gràficament.

Solució:

)3,6()13,23()1,2(33 v

)2,4()12,22()1,2(22 v

Propietats del producte d'un vector per un nombre.

a) Propietat distributiva (I): vbvavba

)(

b) Propietat distributiva (II): wkvkwvk

c) Propietat associativa: vbavba

Vectors paral·lels.

Direm que dos vectors v

i w

són paral·lels, i

escriurem wv

// , quan siguin proporcionals, és a

dir, quan existeixi un escalar k tal que wkv

.

wkvwv

//

Exercici resolt.

Demostra que els vectors )6,9(v

i )10,15(w

són vectors paral·lels.

Solució:

3

5

6

10106

3

5

9

15159

)10,15()10,15()6,9(

kk

kk

kkkwkv

Per tant hem trobat un escalar 3

5k de forma que wkv

, i per tant són vectors

proporcionals, és a dir, paral·lels.

Exercici resolt.

Demostra que els vectors )15,8(v

i )53,28(w

no són vectors paral·lels.

Solució.

53

155315

7

2

28

8288

)53,28()53,28()15,8(

kk

kk

kkkwkv

53

15

7

2 , per tant no són vectors proporcionals, és a dir, paral·lels.

1.4 Combinació lineal de vectors. Bases.

Combinació lineal de vectors.

Una combinació lineal dels vectors nvvvv

,...,,, 321 és qualsevol vector que es pugui escriure de

la forma

nnvvvvv

...332211

para qualsevol grup d'escalars n ...,,,, 321 .

Exercici resolt.

Donats els vectors )1,2(u

, )2,3( v

i )4,5( w

, trobeu els escalars i

tals que vuw

Solució:

24

325

)2,32()2,3(),2()2,3()1,2()4,5(vuw

Arribem a un sistema lineal 22x que hem de resoldre:

264324

358

834853)24(252424

325

Per tant, vuw

32

Vectors linealment independents.

Direm que un conjunt de vectors nvvvv

,...,,, 321 és linealment dependent si almenys un

d'ells es pot escriure com a combinació lineal dels altres. En cas contrari, direm que es

tracta d'un conjunt de vectors linealment independent.

Equivalentment, un conjunt de vectors nvvvv

,...,,, 321 és linealment dependent quan

existeixi un conjunt d'escalars n ...,,,, 321 , no tots zero, tal que

0...332211 nnvvvv

Bases.

En el pla 2IR qualsevol conjunt de més de dos vectors segur que serà linealment

dependent, i anomenarem base a qualsevol conjunt de dos vectors linealment

independents.

En l'espai 3IR qualsevol conjunt de més de tres vectors segur que serà linealment

dependent, i anomenarem base a qualsevol conjunt de tres vectors linealment

independents.

En general, a nIR qualsevol conjunt de més de n vectors segur que serà linealment

dependent, i anomenarem base a qualsevol conjunt de n vectors linealment

independents.

Caracterització de les bases mitjançant un determinant.

Dos vectors ),( 21 vvv

i ),( 21 www

de IR2 són linealment independents, i per tant

formen una base, si i només si el seu determinant és diferent de zero:

01221

22

11 wvwv

wv

wv

1.5 Operacions entre punts i vectors.

Els punts i els vectors es relacionen única i exclusivament amb dues operacions:

"Punt menys punt és igual a vector" i "punt més vector és igual a punt"

Punt menys punt és igual a vector. (El vector de desplaçament)

Dos punts qualssevol ),( 21 ppP i ),( 21 qqQ

determinen un vector, anomenat vector de

desplaçament:

2211 , pqpqPQPQ

de forma que PQPQ .

Exercici resolt.

Determina i representa gràficament el vector de desplaçament de )2,1(P a )4,6(Q

Solució:

2,524,16 PQPQ

Punt més vector és igual a punt.

Si P és un punt i v

és un vector, la suma del punt P

més el vector v

és un altre punt, Q, de manera que

PQv

.

La suma s'expressa així: vPQ

Propietats.

a) Si P és un punt i v

i w

són dos vectors, llavors: wvPwvP

b) Si P és un punt, llavors: PP 0

c) Si P i Q són punts, hi ha un únic vector v

que compleix vPQ

, i aquest vector

és, precisament, PQv

1.6 Divisió de segments.

Punt mig d'un segment.

Donat dos punts ),( 21 ppP i ),( 21 qqQ , el

punt mig M del segment PQ el trobarem a meitat

de camí anant de P a Q, és a dir:

2,

22

1 2211 qppqPQPM

En efecte:

2,

22

2,

2

2

2,

2,

2

1),(

2

1

2211222111

222

111221121

qppqpqppqp

pqp

pqppqpqppPQPM

Exercici resolt.

Determina el punt mig del segment PQ , on )2,4( P i )1,6(Q

Solució:

2

1,1

2

1,

2

2

2

12,

2

64

2,

2

2211 qpqpM

1.6.1

Determina el punt mig del segment AB :

a) A=(2, 4) i B=(6, 2) b) A=(-3, 7) i B=(1, 5) c) A=(2, -21) i B=(-4, 3)

d) A=(22, 4) i B=(7, 11)

Divisió de segments en general.

Exercici resolt.

Donat el segment d'extrems )9,2(P i )3,11(Q , trobeu les coordenades dels punts

que divideixen aquest segment en tres parts iguals.

Solució:

)5,8()4,6()9,2()6,9(3

2)9,2(

3

2

)7,5()2,3()9,2()6,9(3

1)9,2(

3

1

)6,9()9,2()3,11(

PQPB

PQPA

PQPQ

Fora de programa.

Quins són els punts del segment AB , amb )4,7(A i )16,27(B amb coordenades

enteres?

Per exemple, el punt )7,12(P té coordenades enteres i pertany a AB . N’hi ha més?

Quants són? Com els podem trobar? Aquí entra un vell amic nostre de l’aritmètica.

El trobareu al Tema 3 de AR.

1.7 Mòdul d'un vector. Distància entre punts.

La norma d'un vector.

La norma d'un vector és igual a la seva longitud:

2

2

2

121 , vvvvvv

Propietats de la norma d'un vector.

a) 0v

per a qualsevol vector.

b) 00 vv

c) vkvk

d) wvwv

(Desigualtat "Cauchy-Schwarz")

Distància entre dos punts.

Donats dos punts del pla, ),( 21 ppP i

),( 21 qqQ , la distància entre aquests dos punts,

QPd , , es el mòdul del vector desplaçament que

determinen:

222

2

11, pqpqPQQPd

Exercici resolt.

Determina la distància entre els punts )2,1(P i )1,2( Q

Solució:

24.42318993321)1(2,2222

PQQPd

Exercici resolt.

Demostra que els punts )3,4( , )1,7( i )3,9( són els vèrtexs d'un triangle isòsceles.

Solució:

5)33()94(

20)31()97(

5)13()74(

22

22

22

AC

BC

AB

Per tant ACAB , el triangle té dos costats iguals.

Exercici resolt.

Demostra que els punts )6,6(A , )3,2(B i )7,4(C formen un triangle rectangle.

Solució:

Apliquem el Teorema de Pitàgores: ABC és rectangle en C 222 ABBCAC

514)76()46(

20164)73()42(

25916)36()26(

222

222

222

AC

BC

AB

i, efectivament, 25520 .

1.7.1 Determina la distància entre les següents parelles de punts:

a) (2, 1) i (3, 4) b) (1, 5) i (2, -3) c) (-2, -4) i (3, 6) d) (3, -2) i (-5, 7)

1.7.2

a) Demostra que els punts )9,7( , )7,3( i )3,3( formen un triangle isòsceles rectangle.

b) Demostra que els punts )4,4( , )4,4( i 34,34 formen un triangle equilàter.

c) Demostra que els punts )1,2( , )0,1( , )3,4( i )2,1( són els vèrtexs d'un

paral·lelogram.

d) Demostra que els punts )2,2( , )4,8( , )7,5( i )1,1( són els vèrtexs d'un rectangle.

e) Demostra que els punts )2,3( , )4,5( , )6,3( i )4,1( són els vèrtexs d'un quadrat.

1.8 Producte escalar. Angle entre vectors.

Producte escalar de dos vectors.

El producte escalar de dos vectors wv

és igual a la suma dels productes de les

coordenades corresponents:

2211

21

21

,

,wvwvwv

www

vvv

Exercici resolt.

Calcula el producte escalar de )3,5(v

i )6,2(w

Solució:

81810632)5( wv

Angle entre dos vectors.

Es defineix l'angle entre els vectors v

y w

com

l'angle el cosinus del qual és:

wv

wv

cos

Els vectors v

y w

són perpendiculars (formen un

angle de 90º) quan el seu producte escalar sigui 0:

0 wvwv

Vectors paral·lels.

Els vectors v

y w

són paral·lels (formen un angle de 0º o 180º) quan

wvwvwv

wvwv

cos1//

Exercici resolt.

Determina l'angle entre els vectors )4,3(v

i )1,2(w

Solució:

º57.26)894.0arccos(

894.055

10

1243

1423

)1,2()4,3(

)1,2()4,3(cos

1222

wv

wv

1.8.1

Determina els angles interns del triangle ABC , on )3,3( A , )2,2( B i

)6,4( C

Exercici resolt.

Donats els vectors )12,5(a

i ),1( kb

, determineu el valor de k de forma que

determinin un angle de 60º.

Solució.

kkba

kkb

a

1251215

11

13169125

222

22

Per tant, hem de resoldre l'equació:

31.1

13.0

4072

694074480480

069480407

069480407

0576480100169169

5764801002410113

1252113

1252113

113

125º60cos

2

1

2

2

2

22

2222

22

2

2

2

k

kk

kk

kk

kkk

kkkk

kk

kk

k

k

wv

wv

El valor 31.1k no és acceptable perquè no satisfà l'equació original, per tant, la

resposta és 13.0k

1.9 La història dels vectors.

La llei del paral·lelogram per a l’addició de vectors és tan intuïtiva que el seu origen és

desconegut. Podria haver aparegut en un treball ara perdut d’Aristòtil (384-322 aC), i es

troba en la Mecànica de Hieró d’Alexandria (segle I dC). Va ser, també, un dels primers

resultats del Principia Mathematica (1687) d’Isaac Newton (1642-1727). En els

Principia, Newton va tractar de manera extensa el que ara es consideren les entitats

vectorials (per exemple, velocitat, força), però mai el concepte de vector. L’estudi i l’ús

de vectors no es va sistematitzar fins als segles XIX i XX.

Els vectors van sorgir a les primeres dues dècades del segle XIX amb les

representacions geomètriques de nombres complexos. Caspar Wessel (1745-1810), Jean

Robert Argand (1768-1822) i Carl Friedrich Gauss (1777-1855) van concebre nombres

complexos com a punts en el pla de dues dimensions, és a dir, com a vectors de dues

dimensions. En 1837, William Rowan Hamilton (1805-1865) va demostrar que els

nombres complexos es podrien considerar parells de nombres (a, b). Aquesta idea era

una part de la campanya de molts matemàtics, incloent-hi el mateix Hamilton, per a

buscar una manera d’ampliar els "nombres de dues dimensions" a tres dimensions.

En 1827, August Ferdinand Möbius va publicar un llibre curt, Càlcul baricèntric, en el

qual va introduir el segment dirigit que va denotar amb les lletres de l’alfabet; ja eren

vectors, encara que no tenien aquest nom. En el seu estudi de centre de gravetat i la

geometria descriptiva, Möbius va desenvolupar el càlcul amb aquests segments dirigits;

els va sumar i va demostrar com es multiplicaven per un nombre.

William Rowan Hamilton (1805-1865)

Finalment, el mateix Hamilton va introduir en 1843 en concepte de vector, precisament

com un segment orientat de l’espai.

El desenvolupament de l’àlgebra de vectors i de l’anàlisi de vectors tal com el coneixem

avui va ser fet per primera vegada per J. Willard Gibbs (1839-1903) en les classes per

als seus estudiants en la Universitat de Yale. Gibbs va intuir que els vectors

proporcionarien una eina més eficient per al seu treball en la física. Així, doncs,

començant el 1881, Gibbs va imprimir en privat notes sobre anàlisi dels vectors per als

seus estudiants, que van ser distribuïts extensament entre els erudits dels Estats Units i

d’Europa.

Font: Document "Iniciació a les Matemàtiques per a l’enginyeria".

2 Rectes.

Les rectes apareixen també quan estudiem...

La funció de primer grau (Tema 1 del Llibre de Funcions)

2.1 Punts alineats.

Exercici resolt.

Demostra que els punts )7,3(A , )5,6(B i )1,15( C estan alineats.

Solució:

A,B,C estan alineats AB i AC són proporcionals.

)8,12(

)2,3(

ACAC

ABAB

i clarament ABAC 4

2.1.1 Dels quatre punts indicats, només tres pertanyen a una mateixa recta. Representa

gràficament els punts i indica quin del quatre punts no hi pertany.

a) 4,11 P )1,3(2 P )5,7(3 P 3,54 P

b) 6,21 P )10,5(2 P )7,3(3 P 1,14 P

c) 1,11 P )7,3(2 P )1,0(3 P 4,24 P

2.2 Les equacions d'una recta.

Equació vectorial d'una recta.

Donat un punt Q i un vector )0,0(v

, definim recta determinada per Q i v

com el

conjunt de punts

IRkvkQvQ ,

El punt Q s'anomena punt base de la recta. El vector v

s'anomena vector director de

la recta.

Equació paramètrica de la recta.

Sigui 21 ,qqQ i 21 ,vvv

, llavors, els punts ),( yxP de la recta estan

caracteritzats per

IRkambvkqy

vkqx

22

11

Equació contínua de la recta.

Aïllem k a l'equació paramètrica anterior:

2

222

1

111

v

qykvkqy

v

qxkvkqx

i igualant les k arribem a:

2

2

1

1

v

qy

v

qx

Equació general de la recta.

Des de l'equació contínua sempre podrem arribar a una equació de la forma

0 CByAx

Aquesta expressió s'anomena equació general de la recta.

Observació: Sempre suposem que )0,0(),( BA , perquè si 0 BA , l'equació queda

0C , que o bé és tot el pla si 0C o bé és el conjunt buit si 0C , i en cap cas serà

una recta.

Equació explícita de la recta.

Tota recta que no sigui vertical té associada una equació única de la forma

nxmy

El valor m s'anomena pendent de la recta i queda determinat per l'angle entre la recta

i l'eix X:

tanm

En particular, si 0m es tracta d'una recta horitzontal.

El valor de n és igual a l'ordenada del punt de tall entre la recta i l'eix Y.

Les rectes verticals són les úniques que no s'adapten al model nmxy , i les seves

equacions són de la forma kx

Exercici resolt.

Determina l'equació explícita de la recta que passa pel punt )5,0( i determina un angle

de 50º respecte a l'eix X. Determina el seu punt de tall amb l'eix X.

Solució:

192.1)º50tan( m , 5n . La recta és 5192.1 xy

El seu punt de tall amb l'eix X és 195.4192.1

55192.10 xx

Interpretació visual del pendent d'una recta.

El pendent d'una recta ens diu el nombre d'unitats que puja o baixa la gràfica en vertical

per cada unitat que avança d'esquerra a dreta en horitzontal.

Per exemple, la recta 12 xy té associada la següent gràfica:

I quan en horitzontal passa de B a C (4 unitats), en vertical passa de C a A: 8 unitats.

24

8 és el pendent de la gràfica.

2.2.1

Determina l'equació general de la recta que passa per l'origen i forma un angle de º60

amb l'eix X.

2.2.2 Determina les equacions de les següents rectes, coneixent el pendent i un punt de la seva

gràfica.

a) Pendent = 2 , punt = (3 , 4) b) Pendent = 4 , punt = (1 , 5)

c) Pendent = 5 , punt = (-2 , 3) d) Pendent = -3 , punt = (-2 , 0)

e) Pendent = 2/3 , punt = (3 , -1)

2.2.3

a) Comprova que ( 2 , -5 ) no pertany a la recta 012 yx

b) Comprova que ( 2 , -3) pertany a la recta 5 xy

c) Comprova que ( -3 , 1) no pertany a la recta 013 yx

d) Comprova que ( 2 , 1) pertany a la recta 032 yx

2.2.4

Determina el valor de k si sabem que (1,4) pertany a la recta 02 kyx

2.2.5

Determina el valor de k si sabem que )3,2( pertany a la recta 07 kyx

2.2.6

Representa gràficament les següents rectes:

a) 1243 yx b) 635 yx

c) 2 yx e) 1052 yx

Pendent d'una recta determinada per dos punts.

El pendent m de la recta que passa pels punts ),( 21 aaA i ),( 21 bbB és:

12

12

aa

bbm

2.2.7

Determina el pendent m de la recta AB per als següents punts:

a) A=(3, 1) i B=(5, 3) b) A=(5, -2) i B=(3, 24)

c) A=(-21, 23) i B=(0, -5) d) A=(-3, 0) i B=(-7, -16)

Exercici resolt.

Determineu la recta que passa pels punts )3,2( P i )4,7(Q

Solució:

9

7

)2(7

)3(4

m

La nostra recta serà de la forma nxy 9

7, i com que sabem que passa pel punt )4,7(

9

13

9

494

9

497

9

74

nnn

Així doncs, la recta tindrà per equació explícita 9

13

9

7 xy .

Multiplicant per 9 tota l'equació podem obtenir l'equació general:

0139713799

13

9

7 yxxyxy

L'equació general de la recta és 01397 yx

2.2.8

Determina la recta que passa pels punts )5,2( P i )6,4(Q

2.2.9 Determina l'equació de la recta que passa pels punts (22, 3) i (3, 1).

2.2.10

Determina el pendent de les següents rectes:

2.2.11

Determina el pendent de les rectes sabent que passen per dos punts.

a) (17, −6), (−11, 7) b) (3, 4), (−4, −5)

c) (−20, 14), (17, 15) d) (11, −18), (−1, −7)

2.2.12

Determina el pendent de les següents rectes:

a) 934 yx b) 13 yx c) 1532 yx d) 02 yx

2.2.13 Problema.

Sigui P un punt agafat aleatòriament de l'interior del quadrat unitat de vèrtexs )0,0( ,

)0,1( , )1,1( y )1,0( . Considerem la pendent de la recta determinada per P i el punt

8

3,

8

5. Quina és la probabilitat de què aquesta pendent sigui major que

2

1 ?

AIME II 2020 #2

2.3 Relació entre punt i recta. Distància d'un punt a una recta.

Donat un punt ),( 21 ppP i una recta 0: CByAxr , es poden produir dues

situacions:

- El punt P pertany a la recta r: en aquest cas, les coordenades del punt compleixen

l’equació de la recta, és a dir:

021 CpBpA

- El punt P no pertany a la recta r. Hi ha una fórmula que permet calcular de manera

senzilla la distància d'un punt a una recta:

Distància entre punt i recta:

),( 21 ppP , 0: CByAxr

22

21),(BA

CpBpArPd

Exercici resolt.

Calcula la distància del punt )1,5( P a la recta d'equació 123 xy

Solució:

Escrivim l'equació de la recta de la forma 0 CByAx :

0132123 yxxy

66.113

6

13

6

)3(2

1)1(3)5(2),(

2222

21

BA

CpBpArPd

Exercici resolt.

Determina les coordenades del punt de la recta 03 yx situat a una distància de

5 unitats de la recta 022 yx .

Solució:

Sigui ),( yxP un punt de la recta 03 yx .

Per tant xy 3 , i el punt serà de la forma )3,( xxP .

Apliquem sobre aquest punt la fórmula de la distància:

145545)4(

995445

455

5

4

5

226

21

2)3(25

22

xxx

xxxx

x

xxxxx

)4,1(4131

)6,9(6)9(39

2

1

Pyx

Pyx

2.4 Intersecció de rectes. Posició relativa.

Ara és un bon moment per repassar...

Els sistemes d'equacions lineals amb dues incògnites.

(Tema 16 del Llibre d'Àlgebra)

Determinar el (possible) punt d'intersecció entre dues rectes equival a resoldre un

sistema lineal de dues equacions.

Tenim una correspondència directa Àlgebra-Geometria entre l'estudi d'un sistema lineal

22x i la posició relativa de dues rectes:

ÀLGEBRA GEOMETRIA

Sistema Compatible Determinat SCD:

Una única solució

Dues rectes que es creuen en un únic punt

Sistema Compatible Indeterminat SCI:

Infinites solucions.

Dues rectes coincidents

Sistema Incompatible SI:

Sense cap solució.

Dues rectes paral·leles i no coincidents

Exercici resolt.

Determina el punt d'intersecció entre les rectes 1123: yxr i 325: yxs

Solució:

Hem de resoldre el sistema

325

1123

yx

yx

Sumem les dues equacions:

18

8883112523

325

1123

xxyxyx

yx

yx

42

883112112311213

1

1123

yyyy

x

yx

És un SISTEMA COMPATIBLE DETERMINAT, amb solució 4,1 yx , que

correspon, geomètricament, a dues rectes que es tallen, al punt 4,1

Exercici resolt.

Determina el punt d'intersecció entre les rectes xyr 79: i 6213: xys

Solució:

Hem de resoldre el sistema

6213

79

xy

xy

6276212721621)97(36213

9779

xxxx

xy

xyxy

L'equació 627 no té cap solució. Per tant, estem davant d'un sistema

INCOMPATIBLE, que correspon, geomètricament, a dues rectes paral·leles i no

coincidents.

Exercici resolt.

Determina el punt d'intersecció entre les rectes 762: xyr i xys 24288:

Solució:

Hem de resoldre el sistema

xy

xy

24288

762

xxxxxxxy

xyxy

242424282824

24288

28248762

Qualsevol x satisfà l'equació xx . Estem davant d'un sistema COMPATIBLE

INDETERMINAT, que correspon, geomètricament, a dues rectes coincidents.

Exercici resolt.

Determineu el perímetre del triangle determinat per les rectes

2: xyr , 23

2: xys i 3

2

3: xyt

Solució:

Determinem els seus vèrtexs resolen els tres sistemes d'equacions que apareixen agafant

per parelles les rectes:

)2,0(2

3

2:

2:

Axys

xyr

A

)12,10(3

2

3:

2:

Cxyt

xyr

C

)6,6(

32

3:

23

2:

B

xyt

xys

B

I ara calculem la longitud de cada costat:

210200100100)212()010( 2222 AC

1225246)26()06( 2222 AB

1225264)612()610( 2222 BC

Finalment:

998.27210122122 ACBCABPerímetre

2.4.1

Comprova que les rectes 01027 yx , 01027 yx i 2y determinen un

triangle isòsceles i calcula el seu àrea.

2.4.2 Determina el punt d’intersecció de les rectes r1 i r2, sabent que

r1 passa pels punts P = ( -1 , -7 ) i Q = ( 4 , 8 )

r2 passa pels punts R = ( -2 , 9 ) i S = ( 5 , -5 )

2.4.3 Determina el punt d’intersecció I de les rectes r1 i r2, sabent que

r1 passa pels punts P = ( -2 , -7 ) i Q = ( 3 , 3 )

r2 passa pels punts R = ( -1 , 4 ) i S = ( 4 , -11 )

2.4.4

Determina el valor de de forma que les rectes 01343 yx , 033118 yx

i 032 yx siguin concurrents.

2.4.5 Determina el punt de tall de les següents parelles de rectes:

a)

12

5

yx

yx b)

72

2

yx

yx c)

53

152

yx

yx d)

932

12

yx

yx

e)

72

73

yx

yx f)

83

47

yx

yx g)

832

432

yx

yx h)

034

1723

yx

yx

i)

2152

133

yx

yx

2.5 Angle entre dues rectes.

Primer mètode.

Si dues rectes es tallen en un punt, és possible trobar els angles entre ambdues rectes,

determinant els angles de les dues per separat i calculant la seva diferència.

Segon mètode.

L'angle determinat per dues rectes amb pendents

1m i 2m ve donat per la fórmula

21

12

1tan

mm

mm

Exercici resolt.

Determina l'angle entre les rectes 43 xy i 23

1 xy

Solució:

Primer mètode:

º603arctan343 11 mxy

º303

1arctan

3

12

3

122

mxy

Per tant, l'angle que determinen és de º30º30º60

Segon mètode:

º303

1

11

3

2

3

131

33

1

1tan

21

12

mm

mm

2.5.1 Determina l'angle entre les següents rectes:

a) 053 yx i 073 yx

b) 5)32( xy i 7)32( xy

Exercici resolt.

Donats )1,2(A , )3,2(B i )4,2( C , determina l'angle entre les rectes BA i

BC

Solució:

º69.333

2arctan

3

2

8/15

4/5

4

7

2

11

2

1

4

7

tan

4

7

)2(2

)4(3

2

1

4

2

)2(2

13

2

1

m

m

Exercici resolt.

Determina les rectes que passen pel punt )1,3(P i formen un angle de 45º amb la recta

d'equació 12 xy .

Solució:

Una recta, en general, té associada l'equació bmxy , i si passa pel punt )1,3( ,

llavors

mbbmbm 313131

i l'equació de la recta serà mmxy 31 .

Apliquem la fórmula de l'angle entre dues rectes:

m

m

mxy

mmxy

21

2)º45tan(1

212

31

1

Una equació amb valor absolut té dues possibles solucions:

3

113122221

21

21

mmmmmm

m

m

312222121

21

mmmmm

m

m

0113

131

3

1

bm , i la recta és xy

3

1

10913313 bm , i la recta és 103 xy

2.5.2 Problema.

Un rayo de luz sale del origen, rebota en un espejo (con forma de recta) en el punto

)8,4(A , y su reflejo pasa por el punto )12,8(B . Determina la inclinación del espejo.

ARML 2002

Solució: PG/#6.79

2.6 Rectes paral·leles.

Condició de paral·lelisme.

Dues rectes seran paral·leles o coincidents quan

determinin un angle de 0º:

2112

21

12 00º0tan1

mmmmmm

mm

Exercici resolt.

Determina la recta que passa pel punt )3,2( i és paral·lela a la recta 0543 yx

Solució:

Determinem el pendent de la recta 0543 yx

4

3

4

5

4

3

4

535340543 1

mx

xyxyyx

Volem una recta 22 nxmy , paral·lela a la primera, per tant 4

312 mm

Finalment determinem el valor de 2n :

2

3

2

33

2

332

4

33 222 nnn

La recta buscada és 6342

3

4

3 xyxy

2.6.1

Determina la recta que passa per la intersecció de 82 yx i yx 273 i és

paral·lela a la recta 114 yx .

2.6.2

Determina la recta que és paral·lela a 0523 yx i passa pel punt )6,5(

2.6.3

Quina és l'única recta paral·lela a 043 yx ?

A) 23 xy B) 43

1 xy C) 0726 yx D) 023 yx

2.6.4

Per a quin valor de k les rectes 3 mxy i 4)12( xmy no tenen cap punt en

comú?

2.6.5

Determina l'equació de la recta que passa pel punt )3,2(A i presenta un angle de 45º

respecte de l'eix X.

2.6.6

A la recta que passa pels punts )0,2(A i )1,3(B li apliquem una rotació de 15º en

sentit antihorari. Determina l'equació de la recta en la nova posició.

2.6.7 Determina les següents rectes:

a) Passa per (−5, −3), i és paral·lela a 25

2 xy

b) Passa per (−1, 2), i és paral·lela a 22

3 xy

c) Passa per (−3, −5), i és paral·lela a 22 xy

d) Passa per (5, −1), i és paral·lela a 5 xy

e) Passa per (−2, −1), i és paral·lela a 33 xy

f) Passa per (2, 3), i és paral·lela a 43

8 xy

2.7 Rectes perpendiculars.

Condició de perpendicularitat.

Dues rectes seran perpendiculars quan determinin

un angle de 90º:

121 mm

Exercici resolt.

Demostra que les rectes 12: xr i 0542: yxs són perpendiculars.

Solució: La primera recta ja està en forma explícita: 212: 1 mxr

Passem la segona recta a forma explícita:

2

1

4

5

2

1

4

5

4

2

4

525240542: 2

mxx

xyxyyxs

i, clarament, srmm 1

2

1221

Exercici resolt.

Determina la recta perpendicular a 32: xyr que passa pel punt )2,5(

Solució:

Passem l'equació de la recta a forma explícita:

2

1

2

3

2

1

2

33232: 1

mx

xyxyxyr

Volem una recta amb pendent 2m tal que 22/1

111

1

221

m

mmm

I per tant, la recta perpendicular tindrà com a equació nxy 2 , on el valor de n el

podem determinar perquè sabem que passa pel punt )2,5(

121025)2(2 nn

Per tant, la recta perpendicular buscada serà 122 xy , i el seu punt de tall amb l'eix

X serà:

62

122121220

xxx , es a dir, el punt )0,6(

Exercici resolt.

Donats els punts )1,4(A , )4,7(B i )2,5( C , determina la recta perpendicular a

BC que passa per A.

Solució:

No cal trobar l'equació de la recta BC , només cal conèixer la seva pendent:

32

6

75

421

m

La recta que busquem és perpendicular a BC , per tant 3

11

1

2

mm

La recta que busquem és de la forma bxy

3

1

i com que sabem que passa per )1,4(A ,

3

7

3

414

3

11

bb .

L'equació és, doncs, 73733

7

3

1

yxxyxy

2.7.1

Siguin )4,6(A i )12,2(B . Determina el pendent de la recta perpendicular a AB .

2.7.2

Determina la recta que passa pel punt )5,4( i és perpendicular a la recta 1527 yx .

2.7.3

Determina la recta que talla l'eix Y en )4,0( i és perpendicular a la recta que passa per

)3,2( i )2,4(

2.7.4

Determina la recta que passa pel punt )4,3( i és perpendicular a la recta 0523 yx

2.7.5 Donats els següents punts del pla: A=(21, 0), B=(3, 2), C=(21, 4) i D=(2, 22) , demostra

que CDAB .

2.7.6 Determina les següents rectes:

a) Passa per (−2, −4), i és perpendicular a 49

2 xy

b) Passa per (3, −4), i és perpendicular a xy 7

c) Passa per (−2, −4), i és perpendicular a xy2

1

d) Passa per (4, 5), i és perpendicular a 2 xy

e) Passa per (−5, 3), i és perpendicular a 15 xy

f) Passa per (−1, 1), i és perpendicular a 1 xy

Exercici resolt.

Determina l'equació de la mediatriu del segment d'extrems )3,2(A i )5,6( B

Solució: La mediatriu d'un segment és la recta que passa perpendicularment pel seu punt

mig.

Punt mig: 1,42

)5(3,

2

62

2

BAM

Pendent de la recta AB : 24

8

26

35

m

Pendent perpendicular: 2

1

2

112

mm

Per tant, la mediatriu serà de la forma nxy 2

1, i com que sabem que passa per

)1,4( tenim que 6232

13214

2

11 xyxynn

2.7.7

Determina l'equació de la mediatriu del segment determinat pels punts )6,2( i )6,4(

2.7.8

Donat el triangle de vèrtexs )1,4(A , )4,7(B i )2,5( C , determina l'equació de

l'altura pel vèrtex A.

2.7.9

Determina la recta que passa per la intersecció de les rectes 1743 yx i 824 yx i

és perpendicular a la recta 1257 yx

2.7.10

Determina l'ortocentre del triangle de vèrtexs )2,5( , )2,1( i )4,1(

2.7.11

Determina les equacions de les medianes del triangle de vèrtexs )5,2(A , )9,4(B i

)1,2( C

2.7.12

Determina les altures del triangle de vèrtexs )1,7( A , )8,2(B i )2,1(C .

Determina el seu ortocentre.

Problema proposat: PG/7.42

2.8 Projecció ortogonal. Punt simètric.

Exercici resolt.

Determina la projecció ortogonal del punt )2,1( A en la recta 12 xy

Solució:

La projecció ortogonal d'un punt sobre una recta és la intersecció entre aquesta recta i la

seva perpendicular que passa pel punt.

En primer lloc trobem la perpendicular a 12 xy que passa per )2,1(

nxymmxy

2

1

2

1212 21

2

3

2

1

2

3

2

121

2

12

xynn

Punt d'intersecció entre 12 xy i 2

3

2

1

xy

Hem de resoldre el sistema:

12

5

2

51

2

3

2

12

2

3

2

112

2

3

2

1

12

xxxxxxxy

xy

11)1(21 yx

La projecció ortogonal és )1,1( P

2.8.1

Determina la projecció ortogonal del punt )4,2( en la recta 1 yx .

Punt simètric respecte a una recta.

2.8.2

Determina el punt simètric de )12,8(A respecte de la recta 01374 yx .

2.8.3

Determina el punt simètric de )13,4( respecte de la recta 065 yx

2.9 Distància entre dues rectes paral·leles.

Si dues rectes són paral·leles, es pot trobar de manera senzilla la distància entre aquestes

dues rectes, si es considera que qualsevol punt de la primera recta està a la mateixa

distància de l’altra recta. Podem aprofitar la fórmula de la distància d'un punt a una

recta prenent qualsevol punt de la primera recta.

Exercici resolt.

Trobeu la distància entre les rectes paral·leles 0843 yx i 0986 yx

Solució:

Trobem un punt qualsevol de la primera recta:

)2,0(24

8084030

Pyyx

La distància entre les dues rectes serà la distància entre el punt P i la segona recta:

10

7

100

7

)8(6

92806

22

dist

Exercici resolt.

Determina la raó per la qual la recta 093 yx divideix el segment d'extrems

)3,1(A i )7,2(B

Solució:

Sigui P el punt de tall entre la recta i el segment.

Aquest punt determinarà una raó k amb el segment si i només si

kkkABkAP 43,1)4,1()3,1(

Però P també pertany a la recta, per tant:

7

3073

094333

09)43()1(3

kk

kk

kk

Per tant el punt de tall divideix el segment en una raó de 4:3

2.10 Exercicis de repàs.

2.10.1

a) Determina la recta paral·lela a y = 3x + 4 i que passa pel punt P = ( 3 , 1 )

b) Determina la recta perpendicular a y = 2x – 3 i que passa pel punt P = ( -3 , 2 )

c) Determina l’angle que forma la recta 34

1 xy amb l’eix X.

d) Determina la recta que forma un angle de 30º amb l’eix X i que passa pel punt

P = ( 2 , 1 )

2.11 Problemes PAU de geometria del pla. (Long time ago...)

2.11.1

Cadascuna de les rectes del gràfic passa, almenys, per dos punts de coordenades enteres.

a) Trobeu les equacions de les dues rectes.

b) Determineu el punt d’intersecció P. Solució PAU CAT CCSS JUNY 2008 5.1

2.11.2

a) Dibuixeu el gràfic de les rectes 3x –y –1 = 0 i x +3y –12 = 0.

b) Demostreu que les dues rectes anteriors són perpendiculars.

c) Calculeu el punt d’intersecció de les dues rectes.

d) Considereu el triangle format per les dues rectes anteriors i per l’eix d’ordenades.

Calculeu-ne l’àrea. Solució PAU CAT CCSS SET 2003 3.6

2.11.3

Expliqueu quina condició han de verificar A i B si les rectes d’equacions

Ax + By + C = 0 i 3

2

2

1

yx

a) són paral·leles;

b) són perpendiculars.

Solució PAU CAT CCSS JUNY 2003 2.4

2.11.4

Un triangle rectangle té el vèrtex A, corresponent a l’angle recte, a l’origen de

coordenades. Un altre dels seus vèrtexs és el punt B(2,4), i la hipotenusa té per equació

la recta x = 2. Calculeu:

a) les equacions dels costats AB i AC;

b) el tercer vèrtex C;

c) l’àrea del triangle. Solució PAU CAT CCSS JUNY 2003 2.6

2.11.5

Considereu els punts del pla A(2,–1) i B(0,3) i la recta r d’equació x + y – 2 = 0.

Calculeu les coordenades d’un punt C de r que estigui alineat amb A i B.

Solució PAU CAT CCSS JUNY 2003 5.3

2.11.6

Calculeu el perímetre del triangle rectangle ABC, sabent que la longitud del segment CP

és 32 .

Solució PAU CAT CCSS JUNY 2003 5.4

2.11.7

El costat BC d'un triangle està sobre la recta d'equació 3x –2y +1 = 0. El vèrtex A té

coordenades (2, –1). Determineu el peu de l'altura relativa a A.

Solució PAU CAT CCSS SET 2002 1.2

2.11.8

Un triangle té dos vèrtexs A i B en els punts A = (0, 0) i B = (2, 0). L'àrea val 3. Sabent

que el tercer vèrtex C té ordenada positiva i està situat sobre la recta 2x –y –5 = 0,

calculeu les coordenades de C i el perímetre del triangle. Feu-ne la gràfica corresponent.

Solució PAU CAT CCSS JUNY 2002 3.6

2.11.9

Considereu els punts del pla A(3, 2), B(–1, 8) i C( k, k+4 ), k real. Calculeu el valor de

k perquè A, B i C estiguin alineats.

Solució PAU CAT CCSS JUNY 2002 2.3

2.11.10

a) Determineu l'equació de la recta paral·lela a la bisectriu del segon i quart quadrant

que passa pel punt (0, a).

b) Determineu el valor de a perquè la recta anterior determini en el primer quadrant un

triangle d'àrea 8 amb els eixos.

c) Quina és la distància d'aquesta recta a l'origen de coordenades?

d) Quina és la distància d'aquesta recta al punt (–4, 0)?

Solució PAU CAT CCSS JUNY 2002 2.5

2.11.11

Sigui r la recta d'equació 6x –15y +4 = 0. Trobeu les equacions de les rectes paral·lela i

perpendicular a r que passen pel punt (4, 1) i feu un esquema gràfic.

Solució PAU CAT CCSS SET 2001 4.3

2.11.12

Siguin r i s les dues rectes del pla d'equacions

032: yxr , 2

2

4

1:

yxs

Calculeu l'equació de la recta que passa pel punt d'intersecció de r i s i que és paral·lela

a la recta d'equació 3x + 5y – 1 = 0.

Solució PAU CAT CCSS JUNY 2001 2.3

2.11.13

Al triangle de vèrtexs A = (0, 3), B = (3, 7) i C = (6, 0) determineu

a) el perímetre;

b) l'equació de la recta perpendicular al segment BC que passa per A, és a dir, l'altura

del triangle des del vèrtex A;

c) la distància del punt A a la recta que conté el segment BC;

d) la superfície.

Solució PAU CAT CCSS JUNY 2001 2.6

2.11.14

Sigui r la recta d'equació 3x –5y +2 = 0. Trobeu les equacions de les rectes paral·lela i

perpendicular a r que passen pel punt (–15, 4).

Solució PAU CAT CCSS JUNY 2001 5.3

2.11.15

Els punts A = (2, 5), B = (6, 8) i C = (22, d) estan alineats. Calculeu d.

Solució PAU CAT CCSS JUNY 2001 5.4

2.11.16

Considereu la recta d'equació y = –2x + 2. Trobeu les coordenades del punt d'intersecció

d'aquesta recta amb la recta perpendicular a ella que passa pel punt (6, 3).

PAU CAT CCSS SET 2000 2.3

2.11.17

Considereu la recta d'equació 4x + y – 3 = 0.

a) Calculeu l'equació de la recta paral·lela i de la recta perpendicular a l'anterior que

passen pel punt A = (3, –1).

b) Dibuixeu la gràfica de la recta 4x + y – 3 = 0 i de les que heu trobat a l'apartat a).

Solució PAU CAT CCSS SET 2000 6.1

2.11.18

Determineu el valor que ha de tenir el paràmetre a perquè les tres rectes d'equacions 3x

+ y = 5, x – 3y = –5 i x + ay = a es tallin en un punt.

Solució PAU CAT CCSS SET 2000 6.2

2.11.19

D'un rombe ABCD coneixeu les coordenades de tres vèrtexs. A és l'origen de

coordenades, B = (4, 1) i D = (1, 4).

a) Calculeu les coordenades del quart vèrtex C.

b) Comproveu analíticament que les diagonals són perpendiculars i que es tallen en el

seu punt mitjà.

Solució PAU CAT CCSS JUNY 2000 1.5

2.11.20

Determineu el valor de a perquè la recta x – 2ay = 1 i la recta x + 3y = 8 siguin:

a) paral·leles

b) perpendiculars

Solució PAU CAT CCSS JUNY 2000 3.3

2.11.21

Considereu dos eixos perpendiculars de coordenades. Considereu els punts O i A de

coordenades O = (0, 0) i A = (9, 12). Una persona situada al punt O inicia un viatge en

línia recta cap a A.

a) Quina distància haurà de recórrer per anar de O a A?

b) Escriviu l'equació de la recta que haurà de seguir per anar de O a A.

c) Digueu quines seran les coordenades del punt P on es trobarà la persona quan hagi

recorregut la tercera part de la distància de l'apartat anterior (sempre sobre la recta que

uneix O amb A).

d) Si després d'haver recorregut el segment OP, quan arribi a P decideix dirigir-se cap al

punt Q = (7, 1), quin angle haurà de girar cap a la dreta? (Angle respecte a la trajectòria

OP que havia seguit fins ara.)

Solució PAU CAT CCSS JUNY 2000 3.5

2.11.22

a) Considereu el triangle de vèrtexs A = (2, 1), B = (4, 3) i C = (0, 3). Dibuixeu-lo.

Comproveu després per algun raonament matemàtic (no només gràficament) que és un

triangle rectangle.

b) Calculeu la seva àrea.

PAU CAT CCSS SET 1999 2.2

2.11.23

Considereu el rectangle del pla representat en el dibuix (recordeu que rectangle és un

quadrilàter en què els quatre angles són rectes).

a) Sabent que les coordenades de A són (0, 0) i les de B són (3, 4), calculeu la longitud

del costat AB.

b) Escriviu l'equació de la recta determinada per C i A.

c) Determineu les coordenades del vèrtex C sabent que la longitud del costat CA és

doble de la del costat AB.

d) Calculeu les coordenades del vèrtex D.

PAU CAT CCSS SET 1999 5.6

2.11.24

Escriviu l'equació de les dues rectes que passen pel punt (3, 2) i formen un angle de 45º

amb l'eix de les x tal com s'indica en el dibuix següent:

Solució PAU CAT CCSS JUNY 1999 1.2

2.11.25

La hipotenusa d'un triangle rectangle és el triple que un catet. Busqueu el valor dels

angles d'aquest triangle i la relació entre la hipotenusa i l'altre catet.

(Useu calculadora per a les raons trigonomètriques. Si no, podeu deixar les operacions

indicades.)

Solució PAU CAT CCSS JUNY 1999 6.1

2.11.26

Els punts A = (1, 2) i D = (5, 4) representen els vèrtexs oposats d'un quadrat, tal com

s'indica a la figura.

a) Calculeu el punt mitjà M de la diagonal AD del quadrat (M serà el centre del

quadrat).

b) Escriviu l'equació de la recta que passa per M i és perpendicular a la diagonal AD

(aquesta recta serà l'altra diagonal del quadrat).

c) Calculeu les coordenades dels altres dos vèrtexs B i C del quadrat.

Solució PAU CAT CCSS JUNY 1999 6.6

2.11.27

Trobeu les coordenades del punt simètric de P= (3, –4) respecte a la recta 0 6 3y 2x

(el punt simètric de P respecte a la recta r és el punt P' , que té la propietat que la recta

determinada per P i P' talla perpendicularment r en el punt mitjà del segment PP').

PAU CAT CCSS SET 1998 5.4

2.11.28

Un triangle ABC té els vèrtexs A i B situats respectivament en els punts de coordenades

(1, 3) i (3, 1). El vèrtex C està situat sobre la recta d'equació 2x –y = 4. Sabent que el

triangle ABC és isòsceles i que AC i BC són els costats iguals, trobeu les coordenades

de C i l'àrea del triangle.

PAU CAT CCSS SET 1998 5.6

2.11.29

Sigui v

el vector de components (1, 0). Considereu els punts del pla que tenen per

coordenades A=(–2, 9) i B=(4, 7).

a) Calculeu els components del vector u

, que va del punt A al punt B.

b) Calculeu el valor del producte escalar vu

c) Calculeu el valor de l'ordenada x del vector ),2( xw

, de manera que el vector

vu

3 sigui perpendicular al vector w

.

PAU CAT CCSS SET 1998 2.3

2.11.30

Considereu els punts A=(–1,3), B=(5,4), C=(4,1) i D=(–2,0). Comproveu que el

quadrilàter ABCD és un paral·lelogram i calculeu-ne les coordenades del centre (és a

dir, del punt mitjà de qualsevol de les dues diagonals).

Solució PAU CAT CCSS JUNY 1998 3.4

2.11.31

Considereu el parell de rectes donades per les equacions

2)2( ayaxa i 3 yax , on a és un paràmetre.

a) Calculeu un vector director de cadascuna d'aquestes.

b) Calculeu els valors de a per als quals les rectes són paral·leles.

c) Calculeu els valors de a per als quals les rectes són perpendiculars.

d) Calculeu la distància que hi ha entre les dues rectes quan a= 2.

Solució PAU CAT CCSS JUNY 1998 3.6

2.11.32

Comproveu que les rectes d'equacions

313 yx i 133 yx

es tallen en el punt (1, 1). Calculeu l'angle que formen.

Solució PAU CAT CCSS JUNY 1998 6.3

3 Circumferències.

Ara és un bon moment per repassar...

Sistemes d’equacions de segon grau (Tema 18 del Llibre d'Àlgebra)

3.1 Equació de la circumferència.

La circumferència és el lloc geomètric dels punts

del pla que es troben a la mateixa distància d'un

punt fix anomenat centre O. La distància constant r

rep el nom de radi de la circumferència.

rOPd ),(

Equació de la circumferència de centre ),( 21 ppO

i radi r :

22

2

2

1 rpypx

Equació general de la circumferència:

022 CByAxyx

Exercici resolt.

Demostra que )3,4(O és el centre de la circumferència que passa pels punts

)3,9(A , )1,7( B i )1,1( C . Determina el seu radi.

Solució:

5)31()41(

5)31()47(

5)33()49(

22

22

22

OC

OB

OA

Per tant, els punts A, B i C equidisten del punt O, o dit d'una altra manera, el punt O és

el centre de la circumferència que passa per aquests tres punts. El seu radi és 5.

Exercici resolt.

Determina l'equació standard i general de la circumferència de centre )2,1(O

i radi 4.

Solució:

Equació standard:

162142)1(22222 yxyx

Equació general:

0942165421621

542441221

44)2(

12)1(

222222

222222

22

22

yxyxyxyxyx

yxyxyyxxyx

yyy

xxx

Exercici resolt.

Determina l'equació de la circumferència de diàmetre AB, on )1,2(A i )3,2(B

Solució:

El centre de la circumferència serà el punt mig del segment AB :

2,02

31,

2

22

O

El radi serà la distància OA :

32.2514)12())2(0( 22 OA

Per tant, aquesta circumferència tindrà com a equació standard:

5)2(5)2()0( 2222 yxyx

i per equació general:

014054444)2(5 22222222 yyxyyxyyxyx

Exercici resolt.

Determina el centre i el radi de la circumferència 9)1()2( 22 yx . Escriu l'equació

general associada a aquesta circumferència.

Solució:

El centre serà )1,2( O i el radi serà 39 r

Equació general:

04249524

5241244)1()2(9

2222

222222

yxyxyxyx

yxyxyyxxyx

Exercici resolt.

Determina el centre i el radi de la circumferència d'equació 0114222 yxyx

Solució:

Per passar d'equació general a equació standard hem de "completar quadrats":

1621

411121

21112412

1142

01142

01142

22

22

222222

2222

22

22

yx

yx

yyxx

yyxx

yyxx

yxyx

3.1.1

Representa gràficament la circumferència 094622 yxyx , determinant el seu

centre i radi amb el mètode de completar quadrats.

3.1.2

Determina l'equació general de la circumferència de centre )2,3( i radi 3.

3.1.3

Escriu la circumferència 25)2()1( 22 yx en forma general.

3.1.4

Escriu l'equació general de la circumferència de centre )5,1(O i radi 4.

3.1.5 Determina el centre i el radi de les següents circumferències:

a) 132822 yxyx b) 0110622 22 yxyx

c) 051299 22 yyx d) 034106 22 yyxx

3.1.6 Escriu l'equació general de la següent circumferència.

3.1.7

Determina l'equació de la circumferència de centre )3,2( i que passa pel punt )2,2( .

3.1.8

Demostra que la recta 174 yx és un diàmetre de la circumferència

02822 yxyx

Circumferència que passa per tres punts.

Exemple resolt.

Determina la circumferència que passa pels punts )1,1( , )1,2( i )2,3( .

Solució:

L'equació serà de la forma 022 CByAxyx

201101111)1,1( 22 CBACBACBA

5202140)1(2)1(2)1,2( 22 CBACBACBA

13230234902323)2,3( 22 CBACBACBA

Hem de resoldre el sistema 33x següent:

1323

52

2

CBA

CBA

CBA

Restant la segona menys la primera i la tercera menys la segona obtenim un sistema

22x :

451222

5)1(2323

1552383382383

32

ABCCBA

BA

BBBBBBBA

BA

La circumferència és, doncs: 04522 yxyx

Comprovem que, en efecte, passa pels tres punts de l'enunciat:

041511411511)1,1( 22

04110144)1(25)1(2)1,2( 22

0421549423523)2,3( 22

3.1.9

Determina la circumferència que passa pels punts )4,3( , )5,0( i )4,3( . Comprova

que el punt )0,5( pertany a aquesta circumferència. Calcula el seu centre i el seu radi.

3.1.10 Determina la circumferència que passa pels següents punts:

a) )1,2( , )2,1( i )9,8( b) )1,0( , )3,2( i )5,2(

c) )2,5( , )1,2( i )4,1(

3.1.11 Problema.

Sigui c la major solució de l'equació 013202 xx . Determina l'àrea de la

circumferència de centre ),( cc i que passa pel punt )7,13(

Solució: PA/1.4

3.2 Posició relativa entre recta i circumferència.

(a) Exterior: La recta i la circumferència no tenen cap punt de tall.

(b) Tangents: La recta i la circumferència es tallen en un únic punt.

(c) Secants: La recta i la circumferència es tallen en dos punts.

Per determinar els (possibles) punts de tall entre una recta i una circumferència

resoldrem el sistema no lineal format per les seves equacions.

Exercici resolt.

Determina els punts de tall entre la circumferència 16)4()6( 22 yx

i la recta 23 xy

Solució:

Hem de resoldre el sistema:

23

16)4()6( 22

xy

yx

62.0

58.2

102

38432

102

16104)32(320163210

1616816249

16)4()43(16)4()623(2323

22

22

2222

yyy

yyyy

yyyyxyxy

)86.3,62.0(86.32)62.0(362.0

)74.9,58.2(74.92)58.2(358.2

Bxy

Axy

La circumferència i la recta són secants.

3.2.1

Determineu els punts d'intersecció entre la recta r i la circumferència

a) xyr : , 05: 22 yxyx

b) 12: yxr , 0436: 22 yxyx

c) 013: yxr , 0623: 22 yxyx

3.3 Posició relativa de dues circumferències.

(a) Exteriors: Les dues circumferències no tenen cap punt de tall.

(b) Tangents: Les dues circumferències es tallen en un únic punt.

(c) Secants: Les dues circumferències es tallen en dos punts.

Per determinar els (possibles) punts de tall entre dues circumferències resoldrem el

sistema no lineal format per les seves equacions.

Exercici resolt.

Determina els punts de tall entre les equacions 0722 xyx i

043222 yxyx

Solució:

Hem de resoldre el sistema

0432

07

22

22

yxyx

xyx

Restant una la segona menys la primera obtenim

1010333 yxyxyx

i substituint a la primera equació arribem a una equació de segon grau en x:

2/5

1

4

493

22

)5(2433

053207112

071)1(07

2

222

2222

y

yyyyyy

yyyxyx

2

5,

2

32/312/52/5

)1,2(2111

Bxy

Axy

Les circumferències són secants als punts

2

5,

2

3,)1,2( BA

3.4 Circumcircle, circumcentre i circumradi.

Exercici resolt.

Determina les coordenades del circumcentre O associat al triangle de vèrtex )1,5( A ,

)5,1(B i )6,6(C . Determina també el circumradi r.

Solució:

Sigui ),( yxO el circumcentre que volem trobar. Es caracteritza per equidistar dels

tres vèrtexs:

),()0,(),( OCdBdOAd

És a dir:

222222 )6()6()5()1()1()5( yxyxyx

Ens quedem amb la primera igualtat, i la desenvolupem:

yxyxyx

yxyx

yyxxyyxx

yxyx

yxyx

001212

0251012122510

251012122510

)5()1()1()5(

)5()1()1()5(

2222

2222

2222

Ara prenem la segona igualtat, i la desenvolupem, tenint en compte que yx :

8

23

16

4604616

0363625116036123612251012

36123612251012

)6()6()5()1(

)6()6()5()1(

)6()6()5()1(

2222

2222

2222

2222

xx

xxxxx

xxxxxxxx

xxxx

yxyx

yxyx

Circumcentre:

8

23,

8

23O

Circumradi:

42.424

25

32

625

8

31

8

17

8

231

8

235),(

2222

OAdr

3.4.1

Determina les coordenades del circumcentre del triangle de vèrtexs )2,3( A ,

)3,4(B i )5,6(C . Determina també el circumradi.

3.5 Recta tangent a una circumferència.

Ja vam veure a l'apartat 3.2 que una circumferència i una recta són tangents quan tenen un únic

punt en comú.

Exercici resolt.

Determina l'equació de la circumferència que té centre )1,2(O i és tangent a la recta

93 yx .

Solució:

Sigui ),( baP el seu punt de tangència.

Primera condició sobre P: P pertany a la recta, i per tant 93 ba

Segona condició sobre P: El radi OP és perpendicular a la recta tangent

Ja vam veure a l'apartat 2.2 que el pendent de la recta OP és: 2

11

a

bm

El pendent de la recta 93 yx és: 3

1

3

9

3

13993 2 mxyyxyx

Per tant,

7373631

)2(3)1()1(11)2(3

)1(11

3

1

2

1121

ababab

aba

b

a

bmm

Ja tenim les dues condicions sobre el punt P que necessitem per trobar-lo:

210

20201079277)39(3

73

3993

bbbbbb

ab

baba

3)2(39 a

El punt de tangència és, doncs, )2,3( P

El radi de la circumferència serà 10))2(1()32(),( 22 POdistr

L'equació de la circumferència serà 10)1()2( 22 yx , és a dir,

052422 yxyx .

Exercici resolt.

Determina la recta que és tangent a la circumferència 0123222 yxyx en el

punt )1,4(P

Solució:

Coneixem un punt de la recta. Només cal determinar el seu pendent.

Aquesta recta serà perpendicular al radi de la circumferència, per tant, hem de

determinar aquest radi. Ho fem completant quadrats:

4

61

2

3)1(

4/91124/9312

12?3?2

01232

2

2

22

22

22

yx

yyxx

yyxx

yxyx

El centre de la circumferència és

2

3,1O

El pendent de la recta OP serà 6

5

3

2/5

14

)2/3(11

m

Com que la recta tangent és perpendicular al radi, el seu pendent serà

5

6

6/5

11

1

2

mm

I per tant, la seva equació serà

5

29

5

2414

5

61

5

6

bbbxy

296529655

29

5

6

xyxyxy

3.5.1

Determina la recta tangent a la circumferència 046422 yxyx al punt )1,1(

3.5.2

Determina l'equació de la recta tangent a la circumferència 014522 yxyx al

punt )5,2(

Tangència entre dues circumferències.

Exercici resolt.

Demostra que les circumferències 066222 yxyx i 0156522 yxyx

són tangents internes.

Solució:

Primera circumferència:

4)3()1(9169612662 222222 yxyyxxyyxx

Centre: )3,1( , radi: 2

Segona circumferència:

4

1)3(

2

5

94

251596

4

25501565

2

2

2222

yx

yyxxyxyx

Centre:

3,

2

5, radi:

2

1

4

1

Distància entre centres: 2

3

4

9)3(31

2

5 2

2

Diferència entre radis: 2

3

2

12

Veiem que la distància entre centres és igual a la diferència de radis, per tant, les dues

circumferències són tangents internes.

3.5.3

Demostra que les circumferències 04222 yxyx i 04822 yyx són

tangents. Determina el punt de tangència i la recta tangent comú.

3.5.4 Determina l'equació de la circumferència de radi 5 i tangent a la circumferència

0204222 yxyx al punt )5,5(

4 Paràboles.

4.1 Definició de paràbola. Propietats.

La paràbola és el lloc geomètric dels punts del pla que equidisten d'un punt fix F,

anomenat focus, i d'una recta r anomenada directriu.

),(),( FPdrPd

Anomenem eix de simetria de la paràbola a la recta que passa pel focus i és

perpendicular a la directriu.

Anomenem vèrtex de la paràbola al seu punt d'intersecció amb l'eix.

Propietats geomètriques de les formes parabòliques.

4.2 Paràboles verticals.

Direm que una paràbola és vertical quan la seva directriu sigui una recta horitzontal.

Paràboles verticals i que passen per l'origen.

Fixats la directriu de la paràbola com la recta

horitzontal py i el focus ),0( pF , la paràbola

té per equació 2xay

amb a

p4

1

Si 0a la paràbola s'obre cap a dalt, i si 0a

s'obre cap a baix.

Demostració. Sigui ),( yxP un punt d'aquesta paràbola.

Llavors 22 )()0(),( pyxFPdist , i pyrPdist ),( , per tant

p

xypyxppyyppyyxpypyx

pypyxrPdistFPdist

4422)()0(

)()0(),(),(

2222222222

22

Paràboles verticals en general.

Tota paràbola vertical amb vèrtex ),( kh serà de la forma

khxay 2)(

o equivalentment, l'arxiconeguda "fórmula de segon grau":

cbxaxy 2

La distància entre el vèrtex i el focus és igual a a4

1, i també és igual a la distància entre

el vèrtex i la directriu. L'eix de la paràbola és la recta vertical a

bhx

2

Exercici resolt.

Donada la paràbola 562 xxy , determineu el seu vèrtex, l'eix de simetria, focus i

directriu i representeu-la gràficament.

Solució:

5,6,1562 cbaxxy

Eix de simetria: És la recta vertical 32

6

2

a

bx

Vèrtex: Avaluem la funció al seu eix de simetria:

)4,3(453633 2 Vyx

Focus: Sumem 4

1

14

1

4

1

a a l'ordenada del vèrtex:

4

15,3

4

14,3F

Directriu: Restem 4

1

14

1

4

1

a a l'ordenada del vèrtex:

4

17

4

14

y

Exercici resolt.

Representa gràficament la paràbola de equació 3)4(2 2 xy

Solució:

Veiem que aquesta equació s'adapta al format de paràbola vertical amb vèrtex al punt

)3,4(V .

La gràfica tindrà un eix de simetria al voltant de la recta vertical 4x

Però per poder representar-la necessitem algun punt més de la seva gràfica.

Per exemple:

113423)2(23)42(22 22 yx

Per tant, el punt )11,2(A pertany a la gràfica de la paràbola.

113423)2(23)46(26 22 yx

Per tant, el punt )11,6(B pertany a la gràfica de la paràbola.

Amb aquesta informació ja en tenim prou per representar-la:

Equació de la paràbola sabent els seus punts de tall amb l'eix X.

Tota paràbola vertical que talla l'eix X als punts )0,( p i )0,(q serà de la forma

))(( qxpxay

S'anomenen zeros o arrels d'una funció als seus punts de tall amb l'eix X, és a

dir, aquells valors p per als què 0)( pf

Exercici resolt.

Determina l'equació de la paràbola amb zeros a )0,5( i )0,3( i que passa pel punt

)4,1(

Solució:

L'equació de la paràbola serà de la forma 353)5( xxaxxay

Per determinar el valor de a, substituïm el punt conegut )4,1( a l'equació:

4

1

16

4)4(4)31)(51(4

aaa

Per tant, l'equació associada a la nostra paràbola serà: 354

1 xxy

Exercici resolt.

Representa la paràbola 1582 xxy

Solució:

Factoritzem (mentalment!) la seva equació: Volem dos nombres que multiplicats donin

15 i sumats 8. Pensant pensant deduïm que són 5 i 3, és a dir,

)5)(3(1582 xxxxy

Per tant, la nostra paràbola tindrà zeros a )0,3( i )0,5( , i tindrà el seu eix de simetria al

punt mig: 42

8

2

53

x .

El seu vèrtex està situat al punt )1,4(1)1(1)54)(34(4 Vyx

Determinem algun punt extra:

3)3)(1()52)(32(2 yx

3)1)(3()56)(36(6 yx

Amb tota aquesta informació ja en tenim prou per a representar la seva gràfica:

Equació de la paràbola que passa per tres punts.

Exercici resolt.

Determina la paràbola vertical que passa pels punts )0,1(A , )0,5(B i )3,3( C

Solució:

Sabem que la seva equació serà de la forma cbxaxy 2 , per tant només cal

avaluar-la als tres punts anteriors:

cbacbacbaA 0110)0,1( 2

cbacbacbaB 5250525550)0,5( 2

cbacbacbaC 39339333)3,3( 2

Obtenim un sistema 33x que hem de resoldre:

4

15,

2

9,

4

3

339

0525

0

cba

cba

cba

cba

L'equació buscada és 4

15

2

9

4

3 2 xxy

4.3 Intersecció recta-paràbola.

Exercici resolt.

Determina els punts de tall entre la paràbola 82

1 2 xy i la recta 22 xy

Solució:

Hem de resoldre el sistema:

22

82

1 2

xy

xy

Fent substitució:

2

6

2

84

12

644

12

)12(1444

01240416444162282

1

2

2222

x

xxxxxxxx

)6,2(62)2(22

)10,6(102626

Byx

Ayx

4.3.1 Determina els punts de tall entre la paràbola i la recta:

a) 310

9

xy , 342 xxy b) 2 xy , 122 xxy

c) 5y , 322 xxy d) 62 xy , 422 2 xxy

e) 62 xy , 92 xy

4.3.2 Determina els punts de tall:

32

62

yx

yx

4.4 Intersecció paràbola-circumferència.

Exercici resolt.

Determina els punts de tall entre la circumferència 2522 yx i la paràbola

192 yx .

Solució:

Hem de resoldre el sistema

yxyx

yx

1919

25

22

22

Per tant, 06251925 2222 yyyyyx

Factoritem aquesta última equació (sempre intentem factoritzar de cap!)

2

3)2)(3(60 2

y

yxyyyy

Si 3y , llavors

416

416163192 xx

Si 2y llavors

21

2121)2(192 xx

Els únics punts de tall són: )3,4( , )3,4( , )2,21( i )2,21(

4.4.1 Resol els següents sistemes, i interpreta geomètricament les solucions obtingudes:

a)

12

42

xy

xy b)

3

12

yx

xy c)

12

12

yx

xy d)

032

2

yx

xy

e)

3

2

4

2

xy

xy f)

292

1

2

3

yx

yx g)

1232

12

yx

yx h)

0823

02043

yx

yx

i)

25

132

22 yx

yx j)

25

2543

22 yx

yx k)

4

822

xy

yx l)

2543

2522

yx

yx

m)

33

922

xy

yx n)

82

1622

xy

yx o)

42

1622

xy

yx p)

32

122

xy

yx

4.4.2 Resol els següents sistemes, i interpreta geomètricament les solucions obtingues:

a)

1

10)2()1( 22

yx

yx b)

053

2

yx

xy c)

5

2

4

xy

xy

c)

8

3

10

xy

xy

d)

2

2

9

20

xy

xy

e)

1

542

yx

yyx

f)

140169

44

22

22

xy

xy g)

3649

4001625

22

22

xy

xy h)

12

4

22

22

yx

yx

4.5 Paràboles horitzontals.

Direm que una paràbola és horitzontal quan la seva directriu sigui una recta vertical.

Paràboles horitzontals i que passen per l'origen.

Fixats la directriu de la paràbola com la recta vertical

px i el focus )0,( pF , la paràbola té per

equació

a

xyayx 2

amb a

p4

1

Si 0a la gràfica es doblega cap a la dreta.

Si 0a la gràfica es doblega cap a l'esquerra.

Paràboles horitzontals en general.

Tota paràbola horitzontal amb vèrtex ),( kh serà de la forma

hkyax 2)(

Exercici resolt.

Determina el vèrtex, el focus, l'eix de simetria i la directriu de la paràbola d'equació

672 yyx

Solució:

Es tracta clarament d'una paràbola horitzontal. Determinem la seva equació "completant

quadrats":

4

25

2

7

4

496

4

49

2

726?767

2

222

y

yyyyyyx

Veiem que 1a i per tant és una paràbola amb les branques doblegades cap a

l'esquerra, i vèrtex

2

7,

4

25V .

El focus és

2

7,6

4

25,

2

70,

4

1

2

7,

4

250,

4

1

aF

La directriu és la recta vertical 2

13

4

25

4

1

4

25

4

1

ax

L'eix és la recta horitzontal 2

7

2

70 x

4.6 Recta tangent a una paràbola.

Exercici resolt.

Determina les dues rectes tangents a la paràbola 352 2 xxy que passen pel punt

)7,2( . Determina els punts de tangència.

Solució:

Tota recta bmxy que passi pel punt )7,2( complirà la condició:

72)2(7 mbbmbmxy

i per tant serà de la forma 72 mmxy

Per definició de tangència, el sistema paràbola-recta tindrà una única solució:

0723)5(2

0723527235272

352

2

22

2

mxmx

mmxxxmmxxxmmxy

xxy

Hem arribat a una equació de segon grau amb una única solució. Això només passa

quan el seu discriminant és zero:

)723(24)5(0 2 mm

Que és una equació de segon grau en m:

7

1)7)(1(

765616241025)723(24)5(0 222

m

mmm

mmmmmmm

Si 57121 bm obtenim la recta 5 xy

i si 217)7(27 bm obtenim la recta 217 xy

El punt de tangència amb la primera recta s'obté resolent el sistema

)6,1(5

352 2

A

xy

xxy

El punt de tangència amb la segona recta s'obté resolent el sistema

)0,3(217

352 2

B

xy

xxy

5 El·lipses. 5.1 Definició de l'el·lipse. Propietats.

L'el·lipse és el lloc geomètric dels punts del pla que verifica que la suma de les seves

distàncies a dos punts fixos, anomenats focus, és constant.

aFPdFPd 2),(),( 21

La recta que conté els focus s'anomena eix focal o eix major.

El punt mig entre els dos focus s'anomena centre de l'el·lipse.

La recta que passa pel centre de l'el·lipse i és perpendicular a l'eix major s'anomena eix

menor.

La forma més fàcil de dibuixar una el·lipse és amb un tros de fil i dues xinxetes:

5.2 El·lipses amb l'eix focal horitzontal.

Suposarem que els focus són )0,(1 cF i )0,(2 cF .

Per tant, l'eix focal és l'eix X, el centre de l'el·lipse és )0,0(O i l'eix menor és l'eix Y.

La distància entre els dos focus és c2 , per tant, està clar que necessàriament ca 22 , és

a dir, ca .

Sigui ),( yxP un punt de l'el·lipse.

222

222222222

2222222

222222

2222

2222

2222

21

)(444

)(4242

)(4)(4)(

)(4)(4)(2)(

)(2)(

2)()(2),(),(

ycxaacx

ycxayccxxayccxx

ycxaycxaycx

ycxaycxaycxaycx

ycxaycx

aycxycxaFPdFPd

00

022

222

)(

)(

22222222222222

22222222422

222222222222422

22222

222

yaxacayacaacax

yacxacaxacxaaxc

yacxacaxaycxcxacxaaxc

ycxaacx

ycxaacx

Dividint per 222 caa arribem a

22

2

2

2

22

2

2

2

22

2

2

22

1010ca

y

a

x

ca

y

a

x

ca

y

a

xa

Sigui 222 cab (recordem que ja vam justificar que ca )

Arribem, finalment a

Equació de l'el·lipse amb l'eix focal horitzontal i centrada en l'origen:

12

2

2

2

b

y

a

x amb ba

Observem que, si 0c llavors baacab 2222 i l'equació queda

22222

22

2

2

2 11 ayxyx

aa

y

a

x

és a dir, obtenim una circumferència. Podem dir que la circumferència és un cas

particular d'el·lipse quan els dos focus se col·lapsen en un únic punt central.

5.3 Punts de tall de l’el·lipse amb els eixos. Vèrtexs.

(En aquest punt treballarem sempre amb el·lipses horitzontals, és a dir, ba )

Els vèrtexs d'una el·lipse són els seus punts de tall amb els eixos:

Eix X:

Si 12

2

2

2

b

y

a

x i 0y llavors axax

a

x

ba

x 22

2

2

2

2

2

2

110

Per tant, els punts de tall són )0,(a y )0,( a

Els punts de tall d'el·lipse amb l'eix X s'anomenen vèrtexs de l'el·lipse.

Eix Y:

Si 12

2

2

2

b

y

a

x i 0x llavors byby

b

y

b

y

a 22

2

2

2

2

2

2

110

Per tant, els punts de tall són ),0( b y ),0( b

Aquí observem que ababcab 22222 i per tant l'el·lipse sempre està

allargada horitzontalment.

Exercici resolt.

Identifica i representa gràficament el lloc geomètric associat a l'equació

1892 22 yx

Solució:

129

118

9

18

2

18

18

18

921892

2222

2222

yxyx

yxyx

Es tracta d'una el·lipse amb 392 aa i 222 bb .

Els vèrtexs d'aquesta el·lipse són )0,3( , )0,3( , )2,0( i )2,0( .

7729222 cbac , i per tant els focus són )0,7(1 F i )0,7(2 F

5.3.1

Determina les coordenades dels vèrtexs, i dels focus de les següents el·lipses:

a) 14

22

yx

b) 22 22 yx c) 100254 22 yx

d) 44 22 yx

Determinació d'una el·lipse coneixent els focus i els vèrtexs.

Exercici resolt.

Determina l'equació de l'el·lipse de vèrtexs 0,4 i focus 0,2

Solució:

Es dedueix directament que 164 2 aa

124162 222 cabc

L'el·lipse té associada l'equació 11216

22

yx

5.4 Excentricitat d'una el·lipse.

Les el·lipses són circumferències estirades. L'excentricitat mesura el seu grau

d'estirament.

L'excentricitat e d'una el·lipse es defineix com

a

ce

vèrtexal centre del distància

focus al centre del distància

Com que 22222222 bacbaccab i deduïm una fórmula alternativa:

a

bae

22

Observem que l'excentricitat sempre està entre 0 i 1:

122

222222

a

a

a

baeaabaaba , per tant 10 e

Com més gran sigui la separació entre els focus, més s'aproximarà a 1, i l'el·lipse

presentarà un aspecte més allargat. I al contrari, com més pròxims estiguin els focus,

l'excentricitat s'acostarà més a 0 i l'el·lipse s'assemblarà més a una circumferència.

Exercici resolt.

Determina els vèrtexs d'una el·lipse d'excentricitat 0.8 i amb focus situats als punts

)0,7(

Solució:

Els focus de l'el·lipse són els punts )0,( c , per tant 7c

75.88.0

778.0 a

aa

ce

i els vèrtex són )0,75.8()0,( a

L'excentricitat de les òrbites planetàries.

Després de molts anys analitzant una enorme quantitat de dades empíriques, l'astrònom

alemany Johannes Kepler (1571–1630) va formular tres lleis que descriuen el

moviment dels planetes al voltant del sol. La primera llei de Kepler estableix que

l'òrbita de cada planeta en el sistema solar descriu una el·lipse en la què el Sol està

situat a un del dos focus.

La majoria de les òrbites són molt rodones, i per tant les seves excentricitats s'apropen

molt a 0. Per exemple: La Terra: 017.0e , Mart: 093.0e , Urani: 046.0e . Les

òrbites de Mercuri o Plutó són menys rodones, amb excentricitats 206.0e i

249.0e , respectivament.

Els cometes poden descriure òrbites parabòliques, el·líptiques o hiperbòliques. Molts

cometes presenten òrbites el·líptiques amb el Sol en un dels seus focus. En aquest cas

l'excentricitat s'apropa molt a 1, perquè les seves òrbites són molt planes. Per exemple,

el cometa Halley presenta una excentricitat de 967.0e .

5.5 El·lipses no centrades en l'origen.

Exercici resolt.

Representa gràficament la següent el·lipse:

1

9

4

25

222

yx

Solució:

Aquesta el·lipse està centrada en el punt )4,2(O .

525 a , 39 b

Vèrtex de la dreta: )4,3()4,2()0,5()4,2()0,(1 aV

Vèrtex de l'esquerra: )4,7()4,2()0,5()4,2()0,(2 aV

Vèrtex de dalt: )7,2()4,2()3,0()4,2(),0(1 bB

Vèrtex de baix: )1,2()4,2()3,0()4,2(),0(2 bB

Focus: 41616925222222 cbaccab

4,2)4,2(0,4)4,2()0,(1 cF

4,64,6)4,2(0,4)4,2()0,(2 cF

Amb els vèrtexs podem "tancar" la seva gràfica dintre d'un rectangle:

5.6 El·lipses amb l'eix focal vertical.

Podríem començar de nou i construir el·lipses amb els focus a l'eix vertical i obtindríem

el·lipses allargades verticalment (aquestes el·lipses no són estudiades en aquest llibre):

Equació de l'el·lipse amb l'eix focal vertical i centrada en l'origen :

12

2

2

2

b

y

a

x amb ba

6 Hipèrboles.

Les hiperboles apareixen també quan estudiem...

Funcions de proporcionalitat inversa (Tema 5 del Llibre de Funcions)

6.1 Definició de hipèrbola. Propietats.

La hipèrbola és el lloc geomètric dels punts del pla per als que la diferència entre les

distàncies a dos punts fixos 1F i 2F , anomenats focus, és constant

aFPdFPd 2),(),( 21

6.2 Hipèrboles amb l'eix focal horitzontal.

Amb un desenvolupament semblant al què vam fer amb les el·lipses, situant els focus a

l'eix X:

)0,(1 cF i )0,(2 cF , i definint 222 acb , arribem a l'equació

12

2

2

2

b

y

a

x

i de nou es compleix ac .

6.3 Punts i rectes notables de la hipèrbola.

Punts de tall entre la hipèrbola i l'eix X (vèrtexs de la hipèrbola)

Si fem 0y en 12

2

2

2

b

y

a

x obtenim axax

a

x

ba

x 22

2

2

2

2

2

2

110

Els vèrtexs de la hipèrbola són )0,(1 aV i )0,(2 aV

Punts de tall entre la hipèrbola i l'eix Y

Si fem 0x en 12

2

2

2

b

y

a

x obtenim 111

02

2

2

2

2

2

2

b

y

b

y

b

y

a

i aquesta equació no té solució, perquè un quadrat mai pot ser negatiu. Per tant, les

hipèrboles no tallen amb l'eix Y.

Asímptotes.

Les rectes xa

by i x

a

by són molt útils per dibuixar una hipèrbola perquè

assenyalen la direcció cap a on van les branques.

Focus.

Són )0,(1 cF i )0,(2 cF , on 222 abc

Exercici resolt.

Determina els vèrtexs, els focus i les asímptotes de la hipèrbole d'equació

03694 22 yx

Solució:

En primer lloc hem de reescriure l'equació en la forma 12

2

2

2

b

y

a

x

149

136

9

36

4

36

36

36

94369403694

22

2222

2222

yx

yxyx

yxyx

Per tant, tenim 39 a i 24 b .

Els vèrtexs de la hipèrbola són )0,3()0,(1 aV i )0,3()0,(2 aV

Com que 131349222222 cabcacb

i els focus són )0,13()0,(1 cF i )0,13()0,(2 cF

Finalment, les asímptotes de la hipèrbola són:

xxa

by

3

2 i xx

a

by

3

2

6.3.1

Determina els vèrtexs, els focus i les asímptotes de les següents hipèrboles:

a) 149

22

yx

b) 19144

22

yx

c) 1616 22 yx d) 3649 22 yx

6.4 Excentricitat d'una hipèrbola.

Podem aplicar la mateixa fórmula de l’excentricitat que vam definir per a el·lipses:

a

ce

vèrtexal centre del distància

focus al centre del distància

L'excentricitat d'una hipèrbola sempre serà 1e perquè sempre ac .

Com més petita sigui la separació entre els focus dels vèrtexs, més s'acostarà el valor de

e al valor de a i, per tant, l'excentricitat s'aproximarà a 1. En aquests casos, la hipèrbola

serà molt tancada.

Al contrari, com és allunyats es trobin els focus, més augmentarà el valor de c respecte

de a i, per tant, l'excentricitat s'allunyarà més d''1 i la hipèrbola serà més oberta.

Exercici resolt.

Determina l'excentricitat de la hipèrbola 144169 22 yx

Solució:

1916

1144

16

144

9

144

144

144

169144169

2222

2222

yxyx

yxyx

52591622 bac

4

5

a

ce

6.5 Hipèrboles amb l'eix focal vertical.

Solucions

1.6.1 a) )3,4( b) )6,1( c) )9,1( d)

2

15,

2

29

1.7.1 a) 162.310 b) 062.865 c) 180.1155 d) 042.12145

1.8.1 º74.119A , º39.22B , º87.37C

2.1.1 a) 4P b) 1P c) 4P

2.2.1 03 yx

2.2.2 a) 22 xy b) 14 xy c) 135 xy d) 63 xy

e) 33

2 xy

2.2.4 k = -6

2.2.5 k = 3

2.2.6

2.2.7 a) m=1 b) m= -13 c) m= -4/3 d) m= 4

2.2.8 3

4

6

11

xy , 08116 xy

2.2.9 01152 yx

2.2.10 a) 9/4 b) -7/6 c) 3/4 d) -1/4

2.2.11 a) -13/28 b) 9/7 c) 1/37 d) -11/12

2.2.12 a) -4/3 b) -3 c) -2/3 d) -2

2.2.13 Veure Problema PR/2.4

2.4.1 Àrea=14

2.4.2 r1 : y = 3x - 4 r2 : y = -2x + 5 I = ( 1.8 , 1.4 )

2.4.3 r1 : y = 2x - 3 r2 : y = -3x + 1 I = ( 0.8 , -1.4 )

2.4.4 7

2.4.5 a) ( 2 , 3 ) b) ( 3 , 1 ) c) ( -2 , 1 ) d) (-3 , 1) e) (-2 , 3) f) (-3 , -1)

g) (-1 , -2) h) (3 , -4) i) (-2 , 5)

2.5.1 a) 90º (són perpendiculars) b) º60

2.6.1 74728 yx

2.6.2 02723 yx

2.6.4 m=1

2.6.5 01 yx

2.6.7 a) 15/2 xy b) 2/12/3 xy c) 12 xy d) 4 xy

e) 73 xy f) 3/73/8 xy

2.7.1 2/1

2.7.2 4372 yx

2.7.3 02052 yx

2.7.4 0632 yx

2.7.6 a) 52/9 xy b) 7/317/1 xy c) xy 2 d) 1 xy

e) 45/1 xy f) 2 xy

2.7.7 012 yx

2.7.8 73 yx

2.7.9 175 yx

2.7.10

5

14,

5

1

2.7.11 0235 yx , 0847 yx , 0158 yx

2.7.12 092 yx , 0122 yx , 01 yx

2.8.1 )2/3,2/1(

2.8.2 )2,16(

2.8.3 )14,1(

2.10.1 a) 83)( xxf b) 2

1

2

1)(

xxf c) º04.14 d) 154.0577.0)( xxf

3.1.1 4)2()3( 22 yx Centre=(3, -2) , radi=2

3.1.2 044622 yxyx

3.1.3 204222 yxyx

3.1.4 2010222 yxyx

3.1.5 a) )1,4( O , 2r b) )2/5,2/3( O , 3r c) )3/2,0(O , 1r

d) )5,3( O , 0r (és un punt)

3.1.6 4

532

2

3 2

2

yx

3.1.7 0286422 yxyx

3.1.9 02522 yx . Centre: )0,0( , radi: 5

3.1.10 a) 025101022 yxyx b) 01720233 22 yxyx

c) 0136622 yxyx

3.2.1 a) )0,0( , )2,2( b) )1,0( ,

5

27,

5

16 c) )2,1( ,

10

31,

10

7

3.4.1 Circumcentre:

2

3,

2

3, circumradi:

2

130

3.5.1 34 yx

3.5.2 0439 yx

3.5.3 Punt de tangència: )0,2( , recta tangent comú: 22 yx

3.5.4 25)8()9( 22 yx

4.3.1 a)

100

21,

10

31 , )3,0( b) sense intersecció c) )5,2( , )5,4(

d) )4,1( e) )0,3( , )8,1(

4.3.2 )3,3( , )1,5(

4.4.1 a) (-1,-3), (3,5) b) (-2,5), (1,2) c) (1,0), (-3,2) d)

e) (0,0), (1/8, 1/128) f) (1,0), (737/8,9/2) g) (3,-2) h) (-4,2)

i) (-4,-3), (56/13,33/13) j) (3,-4) k) (-2,2) l) (-3,-4)

m) (-9/5,-12/5) , (0,3) n) (12/5,16/5),(4,0) o) (-4,0),(12/5,16/5) p)

4.4.2 a) (0,1),(4,-3) b) (-2,-1) , (1/3, 6) c) (-6,-1), (-1,4) c) (7,1) , (-2,10)

d) (-2,5), (2,5), 4,5 , 4,5 e) (2,1) , (5,4)

f) 32,2 , 32,2 , 32,2 , 32,2 g)

h) 2,22 , 2,22 , 2,22 , 2,22

5.2.1 a) 0,2 , 1,0 , 0,3 b) 0,2 , 1,0 , 0,1

c) 0,5 , 2,0 , 0,21 d) 0,2 , 1,0 , 0,3

6.3.1 a) 0,3V , 0,13F , xy3

2

b) 0,12V , 0,153F , 4

xy

c) 0,4V , 0,17F , 4

xy

d) 0,2V , 0,13F , xy2

3