REDES
description
Transcript of REDES
-
Ing. Rosmeri Mayta H. 31/08/2015
Investigacion Operativa II 1
31/08/2015 Rosmeri Mayta H. Investigacion Operativa 1
INVESTIGACIN
OPERATIVA II
MG. ROSMERI MAYTA H2015
31/08/2015 Rosmeri Mayta H. Investigacion Operativa 2
REDESHoy en da podemos ver muchas cosas que nospueden parecer de lo mas cotidianas, como:
Carreteras Lneas telefnicas Lneas de televisin por cable El transporte colectivo metro Circuitos elctricos de nuestras casas,automviles, y tantas cosas mas; lo que nopensamos frecuentemente es que estos formanparte de algo que en matemticas se denominacomo grafos o redes
31/08/2015 Rosmeri Mayta H. Investigacion Operativa 3
APLICACIONES
Se utiliza para modelar diversassituaciones tales como:
Sistemas de aeropuertos
Flujo de trfico
y responder a preguntas como: Qutiempo es ms corto?, Cmo es msbarato?, o Qu camino es ms corto?. .
31/08/2015 Rosmeri Mayta H. Investigacion Operativa 4
RED DEL CAMINO MAS CORTO
31/08/2015 Rosmeri Mayta H. Investigacion Operativa 5
APLICACIONES DE REDES
Realizar planificacin de actividades
Minimizar tiempo de ejecucin. Qutarea debo hacer primero?
Para representar circuitos elctricos, deaguas etc... , y preguntar, estn todas lascomponentes conectadas
31/08/2015 Rosmeri Mayta H. Investigacion Operativa 6
RED ELECTRICO
-
Ing. Rosmeri Mayta H. 31/08/2015
Investigacion Operativa II 2
31/08/2015 Rosmeri Mayta H. Investigacion Operativa 7
DISEO DE UNA RED DE LNEAS DE TRANSMISIN DE
ENERGA ELCTRICA DE ALTO VOLTAJE.
31/08/2015 Rosmeri Mayta H. Investigacion Operativa 8
DISEO DE REDES DE TRANSPORTE
PARA MINIMIZAR EL COSTO TOTAL
31/08/2015 Rosmeri Mayta H. Investigacion Operativa 9
RED DE DISTRIBUCINLa empresa ABC S.A. Utiliza la red de
distribucin para hacer llegar sus deproductos a los diversos departamentos,mediante el uso de transportes, de unaflota de vehculos y transportes de cargapara hacerlos llegar desde las plantasindustriales hacia las oficinas de ventas,pasando antes por los almacenes ydistribuidoras.
31/08/2015 Rosmeri Mayta H. Investigacion Operativa 10
DISEO DE UNA RED DE DISTRIBUCIN
31/08/2015 Rosmeri Mayta H. Investigacion Operativa 11
DISEO DE UNA RED DE TUBERAS DE GAS NATURAL, CON EL OBJETIVO DE MINIMIZAR EL COSTO DE CONSTRUCCIN
En la siguiente figura se da el millaje de loseslabones factibles que conectan 9 pozos de gasnatural mar adentro con un punto de entrega cercade la orilla. Debido a que la ubicacin del pozo 1 esla ms cercana a la playa, est equipado consuficiente capacidad de bombeo y almacenamientopara bombear la produccin de los 8 pozosrestantes al punto de entrega. Determine la redmnima de ductos que vinculen los pozos con elpunto de entrega.
31/08/2015 Rosmeri Mayta H. Investigacion Operativa 12
DETERMINE LA RED MNIMA DE DUCTOS QUE VINCULEN LOS POZOS CON EL PUNTO DE ENTREGA.
-
Ing. Rosmeri Mayta H. 31/08/2015
Investigacion Operativa II 3
31/08/2015 Rosmeri Mayta H. Investigacion Operativa 13
Otras aplicaciones
Diseo de redes de telecomunicacin (redes defibra ptica, de computadores, telefnicas, detelevisin por cable, etc.)
Determinacin de la ruta ms corta que unedos ciudades en una red de caminos existentes.
Diseo de una red de cableado en equipo elctrico (como sistemas de computo) para minimizar la longitud total del cable.
31/08/2015 Rosmeri Mayta H. Investigacion Operativa 14
DEFINICIN._Una red consiste en un conjunto de puntos y un conjunto de lneas que unen ciertos pares de puntos. Los puntos se llaman nodos ( o vrtices ).
La red se puede representar:a) Matemticamente.Si existe un: X = {Xi /i = 1,2,3,,n}A = {(Xi,Xj/ Xi ,Xj X}G = {X,A} Esto es una grfica o red
31/08/2015 Rosmeri Mayta H. Investigacion Operativa 15
b) Grficamente.
31/08/2015 Rosmeri Mayta H. Investigacion Operativa 16
c) Matricialmente.
31/08/2015 Rosmeri Mayta H. Investigacion Operativa 17
DEFINICIONES Arcos dirigidos: Se dice que un arco es dirigido cuando
el arco tiene flujo en una direccin (como en una callede un sentido). La direccin se indica agregando unacabeza de flecha al final de la lnea que representa elarco.
Al etiquetar un arco dirigido con el nombre de los nodosque une, siempre se coloca primero al nodo de dondeviene y despus el nodo a donde va, esto es, un arcodirigido del nodo A al nodo B debe etiquetarse como ABy no como BA. Otra Manera es AB.
Representacin de un Arco Dirigido
A B
31/08/2015 Rosmeri Mayta H. Investigacion Operativa 18
Arcos no dirigidos: Si el flujo a travs de un arco se permite en ambas direcciones (como una tubera que se puede usar para bombear fluido en ambas direcciones), se dice que es un arco no dirigido
. Representacin de un Arco No Dirigido
A B
-
Ing. Rosmeri Mayta H. 31/08/2015
Investigacion Operativa II 4
31/08/2015 Rosmeri Mayta H. Investigacion Operativa 19
Trayectoria dirigida: Una trayectoria dirigidadel nodo i al nodo j, es una sucesin de arcoscuya direccin (si la tienen) es hacia el nodo j,de manera que el flujo del nodo i al nodo j, atravs de esta trayectoria es factible.
Trayectoria no dirigida: Una trayectoria nodirigida del nodo i al nodo j es una sucesin dearcos cuya direccin (si la tienen) pueden serhacia o desde el nodo j. Con frecuencia algunatrayectoria no dirigida tendr algunos arcosdirigidos hacia el nodo j y otros desde l (esdecir, hacia el nodo i).
31/08/2015 Rosmeri Mayta H. Investigacion Operativa 20
Los elementos que participan en una red ensus tres formas anteriores son ;
31/08/2015 Rosmeri Mayta H. Investigacion Operativa 21
Ejemplo:
31/08/2015 Rosmeri Mayta H. Investigacion Operativa 22
( X1, X2 ) es adyacente a ( X2, X4 )( X1, X3 ) es adyacente a ( X3, X4 )
ARCOS ADYACENTESDos arcos son adyacentes si tienen un vrtice en comn.
31/08/2015 Rosmeri Mayta H. Investigacion Operativa 23
VRTICES ADYACENTESDos vrtices son adyacentes si son diferentes y existe al menos un arco que los une.
X1 es adyacente a X4X2 es adyacente a X3X4 no es adyacente a X5
31/08/2015 Rosmeri Mayta H. Investigacion Operativa 24
ARCO INCIDENTE A L INTERIOR DE UN VRTICE.
Es aquel arco cuyo extremo terminal es ese vrtice.Nodo X3 ( Fig. anterior)( X2, X3) es un arco incidente( X3, X4) no es un arco incidente
ARCO INCIDENTE AL EXTERIOR DE UN VRTICE
Es aquel cuyo extremo inicial es el vrtice mismo.
Nodo X3 : ( X3, X4) es A. I. exteriormente.
-
Ing. Rosmeri Mayta H. 31/08/2015
Investigacion Operativa II 5
31/08/2015 Rosmeri Mayta H. Investigacion Operativa 25
SUBGRFICA O SUBREDUna subgrfica de G ={X,A} es un subconjunto
de ptos. de la red original, tal que Y c X y por arcos de A, que unen los vrtices de Y.
Y = {X1, X2, X3, X4}X = {X1, X2, X3, X4, X5, X6, X7}
31/08/2015 Rosmeri Mayta H. Investigacion Operativa 26
CAMINO.Es una sucesin de arcos entre dos vrtices tal
que el extremo final en uno es el extremo inicial del siguiente.
[ X1 , X3, X6, X7 ]LONGITUD DE UN CAMINO.Es el nmero de arco que contiene la
secuencia y se representa por l() .l() = 7
CIRCUITO.Es un camino donde XI = XF , es decir el nodo
inicial coincide con el final.
31/08/2015 Rosmeri Mayta H. Investigacion Operativa 27
LAZO O ANILLO.Es un circuito que contiene un solo arco.
31/08/2015 Rosmeri Mayta H. Investigacion Operativa 28
RED SIMTRICA.La red es simtrica G = { X, A } si para todo ( Xi , X j) existe un ( Xj , X i ).Entonces ( Xi , X j ) tambin es un elemento del conjunto A.
31/08/2015 Rosmeri Mayta H. Investigacion Operativa 29
RED ANTISIMTRICA.G es antisimtrica para todo ( Xi , Xj ) porque existe ( Xi,Xj , ) A / ( Xj , Xi ) no pertenece a A.
31/08/2015 Rosmeri Mayta H. Investigacion Operativa 30
GRFICAS NO ORIENTADAS.
-
Ing. Rosmeri Mayta H. 31/08/2015
Investigacion Operativa II 6
31/08/2015 Rosmeri Mayta H. Investigacion Operativa 31
ARISTA.Se define arista de una grfica G a un conjunto
de vrtices ( Xi , Xj ) tales que Xi Xj , (Xi , Xj ) A y/o ( Xj , Xi ) A; o sea es elsegmento que une dos vrtices adyacentes.
CADENA.Es una secuencia de aristas.CICLO.Es una cadena en la que Xi Xj , es decir,
coincide el vrtice inicial con el final.
31/08/2015 Rosmeri Mayta H. Investigacion Operativa 32
MODELOS DE REDESLos problemas de optimizacin de redes sepueden representar en trminos generales atravs de uno de estos cuatro modelos:Modelo de la ruta ms corta.Modelo de minimizacin de redes(Problema del rbol de mnima expansin).Modelo del flujo mximo.Modelo del flujo del costo mnimo.
31/08/2015 Rosmeri Mayta H. Investigacion Operativa 33
MODELO DE LA RUTA MS CORTAEl objetivo es encontrar la ruta ms corta (latrayectoria con la mnima distancia total) delorigen al destino.
Se dispone de un algoritmo bastante sencillopara este problema. La esencia delprocedimiento es que analiza toda la red a partirdel origen; identifica de manera sucesiva la rutams corta a cada uno de los nodos en ordenascendente de sus distancias (ms cortas),desde el origen; el problema queda resuelto enel momento de llegar al nodo destino
31/08/2015 Rosmeri Mayta H. Investigacion Operativa 34
ALGORITMO DEL ETIQUETADO(CAMINO MAS CORTO)
Para determinar el camino mas corto enuna red acclica.
Procedimiento:1. Se asigna la etiqueta m1 = 0 ( pto.
inicial).2. Se asigna una etiqueta mj = min. ( mi
+ dij ) donde dij es la distancia entre i,j( i=1,2,,j-1 ).
31/08/2015 Rosmeri Mayta H. Investigacion Operativa 35
3. Cuando se ha asignado al nodoterminal n, su etiqueta mn. Entoncesmn esLa longitud es la longitud del caminomas corto entre el nodo inicial yterminal.Para hallar el camino mas cortoempezamos en el nodo n yretrocedemos considerando los nodostales que:
mi + dij = mj ; j = n, n-1, n-2, , 1
31/08/2015 Rosmeri Mayta H. Investigacion Operativa 36
PROBLEMA (CAMINO MAS CORTO)
Se tiene la siguiente red que representa la ubicacin de 8 ciudades, los arcos representan distancias. Calcular el camino mas corto para ir de la ciudad 1 a la ciudad 8.
-
Ing. Rosmeri Mayta H. 31/08/2015
Investigacion Operativa II 7
31/08/2015 Rosmeri Mayta H. Investigacion Operativa 37
1. m1 = 02. m2 = m1 + d12 = 0+4 = 43. m3 = m1 + d13 = 0+7 = 74. m4 = m1 + d14 = 0+5 = 55. m5 = min.{ m2 + d25 , m3 + d35 }
{ 4+6 , 7+9 } = 106. m6=min.{ m3 + d36 , m4 + d46 }
{ 7+3 , 5+8 } = 10
31/08/2015 Rosmeri Mayta H. Investigacion Operativa 38
7. m7= min.{ m5 + d57 , m3 + d37 , m6 + d67 }
{ 10+4 , 7 +3 , 10+5 } = 10
8. m8 =min.{ m5 + d58 , m7 + d78 }{ 10+10 , 10+8 } = 18
Sol. : 1-3-7-8
31/08/2015 Rosmeri Mayta H. Investigacion Operativa 39
PROBLEMAAcabo de comprar ( tiempo 0 ) un automvilde $ 12 000, el costo de mantenimiento anualdepende de la edad del automvil al inicio delao. Para evitar los altos costos demantenimiento de un automvil mas viejo,puedo dar como adelanto mi automvil ycomprar uno nuevo. El precio que reciba alcash como adelanto depende de esperar almomento de la transaccin (ver tabla 2).Para simplificar los clculos suponemos queen cualquier momento me cuesta $ 12000 comprar un automvil nuevo. Mi meta esminimizar el costo incurrido durante losprximos 5 aos.
31/08/2015 Rosmeri Mayta H. Investigacion Operativa 40
Formule el problema como camino mas corto y calcular la solucin optima.
31/08/2015 Rosmeri Mayta H. Investigacion Operativa 41
SOLUCION:Nro. de nodos ( 1,2,3,4,5,6 ) i
-
Ing. Rosmeri Mayta H. 31/08/2015
Investigacion Operativa II 8
31/08/2015 Rosmeri Mayta H. Investigacion Operativa 43
C16 = 2000 + 4000 + 5000 + 9000 + 12000 + 12000 0 = 44000
C24 = 12000C25 = 21000C26 = 31000C35 = 21000C46 = 12000C23 = 7000C34 = 7000C45 = 7000
31/08/2015 Rosmeri Mayta H. Investigacion Operativa 44
C56 =7000La solucin optimaAplicando el algoritmo la solucin optima es
31,0001-3-4-6Esto quiere decir que el auto se adquiere al inicio
del ao 1, luego remplazar pasado dos aos(nodo 3),luego pasado 1 ao (nodo 4 )reemplazar que desde estar al servicio hasta elfinal del quinto ao.
31/08/2015 Rosmeri Mayta H. Investigacion Operativa 45
PROBLEMAUna empresa est desarrollando un plan dereposicin de automviles para un horizontede planeacin de 4 aos que comienza el 1de enero del 2001 y termina el 31 dediciembre del 2004, al iniciar dicho ao setomo la decisin de que si un auto se debemantener en operacin o se debe sustituir.Un automvil debe estar en servicio durante1-3 aos, la tabla sgte. muestra el costo dereposicin en funcin del ao de adquisicindel vehculo y los aos que tienen enfuncionamiento. Determinar la poltica optimade la empresa.
31/08/2015 Rosmeri Mayta H. Investigacion Operativa 46
Datos del problema
31/08/2015 Rosmeri Mayta H. Investigacion Operativa 47
Construyendo la red
31/08/2015 Rosmeri Mayta H. Investigacion Operativa 48
Aplicando el algoritmo
m1 = 0m2 = min ( m1 + d12 ) = 0 + 4000 = 4000m3 = min ( m2 + d23 , m1 + d13 ) = ( 4000 +
4300 , 0 + 5400 ) = 5400M4 = min ( m3 + d34 , m2 + d24 ) = ( 5400 +
4800 , 4000 + 6200 ) = 9800m5 = min ( m4 + d45 , m3 + d35 , m2 + d25 )
= ( 9800 + 4900 , 5400 + 7100 , 4000 + 8700 ) = 12500
-
Ing. Rosmeri Mayta H. 31/08/2015
Investigacion Operativa II 9
31/08/2015 Rosmeri Mayta H. Investigacion Operativa 49
1 3 5Esto quiere decir que un automvil debe ser
adquirido al inicio de ao 2001,luegoremplazar despus de dos aos, al iniciar elao 2003. El auto en reposicin debe estaral servicio hasta el final del 2004.
El costo total de reposicin es de 12,500
31/08/2015 Rosmeri Mayta H. Investigacion Operativa 50
FORMULACIN DEL PROBLEMA DE LA RUTA MAS CORTA EN PROGRAMACIN LINEAL
F.O. : Max. Z = YF - YIS. A : Yj YI CIJs.r.s. Yi , Yj
La cantidad de restricciones es igual a lacantidad de nodos, el problema del dualtendr tantas variables como cantidad denodos hay en la red.
31/08/2015 Rosmeri Mayta H. Investigacion Operativa 51
Ejemplo.-En la siguiente red formule un P.L para el problema de la ruta mas corta. Teniendo como punto inicial el nodo 1 y el nodo 5 como nodo final
31/08/2015 Rosmeri Mayta H. Investigacion Operativa 52
SOLUCIN.Max. Z = Y5 - Y1S.a : Y2 - Y1 100
Y3 - Y1 30Y3 - Y2 20Y4 - Y2 15Y4 - Y3 10Y5 - Y3 60Y5 - Y4 50
31/08/2015 Rosmeri Mayta H. Investigacion Operativa 53
Realizar un programa en lingo para determinar la ruta mas corta.
31/08/2015 Rosmeri Mayta H. Investigacion Operativa 54
PROBLEMA DE CAMINO MAS CORTO
El parque Seervada esta organizado de tal manera quese dispone de una entrada y una serie de caminos quepasan por 5 estaciones intermedias que conducen almirador, el cual representa la estacin terminal.
El administrador del parque debe resolver el problemade determinar la ruta mas corta desde la entrada almirador.
En la figura siguiente se identifican 7 estaciones delparque como nodos, con la entrada en el nodo (o) y elmirador como el nodo (t). La informacin disponible encada arco representa la distancia entre nodos medidosen millas
-
Ing. Rosmeri Mayta H. 31/08/2015
Investigacion Operativa II 10
31/08/2015 Rosmeri Mayta H. Investigacion Operativa 55
PROBLEMA
A
B
C
E
4
D
3
O T
2
5
4
2
7
1
4
4
6
5
5
7
31/08/2015 Rosmeri Mayta H. Investigacion Operativa 56
Resultados con el Storm: LONGITUD MINIMA SHORTEST PATHS FROM NODE 1 Destination Distance Path NODE 2 2.0000 NODE 2 NODE 3 4.0000 NODE 2--NODE 3 NODE 4 4.0000 NODE 4 NODE 5 8.0000 NODE 2--NODE 3--NODE 5 NODE 6 8.0000 NODE 4--NODE 6 NODE 7 13.0000 NODE 2--NODE 3--NODE 5--NODE 7 RESULTADO: De los resultados con el Storm notamos que el camino mas corto
entre la entrada al mirador es de 13 millas y el camino por donde debe pasar es por O A_C D - T.
31/08/2015 Rosmeri Mayta H. Investigacion Operativa 57
A
C
D
3
O T
2
2
45
31/08/2015 Rosmeri Mayta H. Investigacion Operativa 58
Codificacin en lingo
31/08/2015 Rosmeri Mayta H. Investigacion Operativa 59
RESULTADOSGlobal optimal solution found.Objective value:
13.00000Total solver iterations: 9
31/08/2015 Rosmeri Mayta H. Investigacion Operativa 60
RBOL DE EXPANSIN MNIMA
El modelo de minimizacin de redes o problema del rbol de mnima expansin tiene que ver con la determinacin de los ramales que pueden unir todos los nodos de una red, tal que minimice la suma de las longitudes de los ramales escogidos. No se deben incluir ciclos en al solucin del problema
-
Ing. Rosmeri Mayta H. 31/08/2015
Investigacion Operativa II 11
31/08/2015 Rosmeri Mayta H. Investigacion Operativa 61
RBOL DE EXPANSIN MNIMA
Un rbol es un grafico conexo y sin ciclos. Losrboles cumplen que dados cualquier par devrtices, existe un nico camino simple que losconecta.
Un rbol de expansin en un grafico es un rbolque contiene a todos los vrtices del grafo. Si setrata de un grafo pesado, se llama rbol deexpansin mnimo del grafo a aquel rbol deexpansin del mismo cuyo peso sea mnimo.
Se trata de encontrar un camino en el grafopesado que conecte a todos sus vrtices con elmenor peso posible.
31/08/2015 Rosmeri Mayta H. Investigacion Operativa 62
ALGORITMO DEL ARBOL DE EXPANSIN MNIMA
PROCEDIMIENTO:1.-Empiece en cualquier nodo i de la red y
nala con el nodo j que es el mas prximo al nodo i, ahora los nodos i y j pertenecen a C, y el arco i-j formar parte del rbol de expansin mnima. Los nodos restantes pertenecen a un C.
2.-Escoja el nodo de C que est mas prximo a algn nodo conectado. Sea M el nodo de C mas prximo de N, entonces el arco MN formar parte del rbol de expansin mnima y el nodo N pertenecer a C.
31/08/2015 Rosmeri Mayta H. Investigacion Operativa 63
3.-Repetir el paso 2 hasta encontrar el rbol de expansin mnima que une todos los nodos, cualquier empate se puede romper en forma arbitraria. Ejemplo.En la tabla se muestra la distancia entre lasciudades A, B, C, D, E. Es necesario construirun sistema de carreteras que conecte estasciudades. Suponga que por razones polticasno se puede construir carreteras entre A y B ytampoco entre C y E Cul es lo mnimorequerido?
31/08/2015 Rosmeri Mayta H. Investigacion Operativa 64
31/08/2015 Rosmeri Mayta H. Investigacion Operativa 65
A, B, C, D, EC = {} C = {A, B, C, D, E}C = {A} C = { B, C, D, E}C = {A, E} C = { B, C, D}C = {A, E, B} C = { C, D,}C = {A, E, B, D} C = { C}C = {A, E, B, D, C} C = {}La longitud mnima de carreteras para unir las
ciudades es de 409.
31/08/2015 Rosmeri Mayta H. Investigacion Operativa 66
PROBLEMA Una determinada provincia del pas posee 5 distritos
(A,B,C,D,E) que an no cuenta con luz elctrica, el gobierno regional desea realizar un proyecto para electrificar dichos poblados, conectndolos con la hidroelctrica que se encuentra en la capital de la provincia P. Un estudio tcnico ha recomendado que los cables elctricos deban seguir las rutas de los caminos que unen dichos poblados.
En la siguiente tabla se da las longitudes en (km.) de los caminos que unen en forma directa a 2 poblados:
-
Ing. Rosmeri Mayta H. 31/08/2015
Investigacion Operativa II 12
31/08/2015 Rosmeri Mayta H. Investigacion Operativa 67
Se desea que la luz llegue al poblado de manera que la longitud total de cable sea mnima.
31/08/2015 Rosmeri Mayta H. Investigacion Operativa 68
31/08/2015 Rosmeri Mayta H. Investigacion Operativa 69
SOLUCIN C = {} C= {P, A, B, C, D, E} C = {P} C= {A, B, C, D, E} C = {P, A} C= {B, C, D, E} C = {P, A, D} C= {B, C, E} C = {P, A, D, E} C= {B, C} C = {P, A, D, E, B} C= {C} C = {P, A, D, E, B, C} C= {} La distancia mnima para la red hidroelctrica segn el Mtodo rbol
de expansin es 86 Km. Lo cual se puede establecer mediante la grfica el camino:
Segn el camino: (P-A), (A-D), (D-E), (A-B), (E-C) La suma de las distancias: 20 + 15 + 15 + 18 + 18 = 86 Distancia: 86 Km.
31/08/2015 Rosmeri Mayta H. Investigacion Operativa 70
31/08/2015 Rosmeri Mayta H. Investigacion Operativa 71
CORRIDO EN LINGO Y SOFTWARE 86 KM
31/08/2015 Rosmeri Mayta H. Investigacion Operativa 72
ALGORITMO DE DIJKSTRA
Se utiliza para hallar el camino mas corto de en una red dirigidaProcedimiento
1) Para comenzar, poner al nodo 1, la etiqueta permanente igual a cero
2) A cada nodo i conectado al nodo 1, ponemos una etiqueta temporal igual a la longitud del arco que une al nodo y al nodo i.
El resto de nodos tendra una etiqueta temporal igual a infinito
-
Ing. Rosmeri Mayta H. 31/08/2015
Investigacion Operativa II 13
31/08/2015 Rosmeri Mayta H. Investigacion Operativa 73
3) Escoge el nodo con la etiqueta temporal mas pequea y convierta esta etiqueta en permanente.
4) Para cada nodo j que ahora tiene una etiqueta temporal y que esta conectado al nodo i con un arco, remplazamos la etiqueta temporal del nodo j por
31/08/2015 Rosmeri Mayta H. Investigacion Operativa 74
Nueva etiqueta=min [etiq.temporal actual del nodo j, etiq. Permanente del nodo i + longitud del arco(i,j)]
5) Convertir la etiqueta mas pequea e una etiqueta permanente.
6) Continuar con este proceso hasta que todos los nodos tenga una etiqueta permanente.
31/08/2015 Rosmeri Mayta H. Investigacion Operativa 75
ALGORITMO DE DIJKSTRA
PROBLEMA Juan Carlos quiere llegar lo ms rpido
posible a su trabajo para ello deberescoger la ruta que debe tomar elautobs para recorrer la menor distancia yllegar a tiempo a su trabajo. El diagramade las rutas es el siguiente. Las distanciasestn dadas en km.
31/08/2015 Rosmeri Mayta H. Investigacion Operativa 76
Grfica
31/08/2015 Rosmeri Mayta H. Investigacion Operativa 77
Solucin
31/08/2015 Rosmeri Mayta H. Investigacion Operativa 78
Formulacin
-
Ing. Rosmeri Mayta H. 31/08/2015
Investigacion Operativa II 14
31/08/2015 Rosmeri Mayta H. Investigacion Operativa 79
Programacin en Lingo
31/08/2015 Rosmeri Mayta H. Investigacion Operativa 80
Corrida en Lingo
31/08/2015 Rosmeri Mayta H. Investigacion Operativa 81
PROBLEMA CAMINO MAS CORTOCuesta $70 comprar un telfono en una gran tiendasupngase que pueda tener un telfono durante a lo mascinco aos, y que el costo estimado de mantenimiento paracada ao de uso es el siguiente: ao1; $30 ao2; $40 ao3; $50 ao4 $70 ao 5 $80. Acabo de comprar un nuevotelfono1.- Formule el problema como un camino mas corto2.- Determine como minimizar el costo total de comprar yusar un telfono durante los prximos 5 aos suponiendoque un telfono se deprecia 10% cada ao del valor de lacompra.
31/08/2015 Rosmeri Mayta H. Investigacion Operativa 82
Solucin:
C01 = 30+70-63 = 37 C02 = 30+40+70-56 = 84 C03 = 30+40+50+70-49 = 141 C04 = 30+40+50+70+70-42 = 218 C05 = 30+40+50+70+80+70-35 = 305
31/08/2015 Rosmeri Mayta H. Investigacion Operativa 83
DIAGRAMA
11
51
21
31
4 61
37 37 37 37 37
305
218
141
84
14184
84
141
84
218
31/08/2015 Rosmeri Mayta H. Investigacion Operativa 84
Corrida en storm
-
Ing. Rosmeri Mayta H. 31/08/2015
Investigacion Operativa II 15
31/08/2015 Rosmeri Mayta H. Investigacion Operativa 85
Programa en lingo
31/08/2015 Rosmeri Mayta H. Investigacion Operativa 86
Corrida en lingo
31/08/2015 Rosmeri Mayta H. Investigacion Operativa 87
PROBLEMA RBOL DE EXPANSIN MNIMA
La ciudad de Saltown consiste en cincosubdivisiones el alcalde Jhon Lin quiereconstruir lneas telefnicas para asegurar quelas subdivisiones se puedan comunicar entre s.Las distancias entre las subdivisiones se dan enla figura Cul es la longitud mnima de la lneatelefnica requerida?
Suponga que entre las subdivisiones 1 y 4 no sepuede construir ninguna lnea telefnica.
31/08/2015 Rosmeri Mayta H. Investigacion Operativa 88
GRFICA
31/08/2015 Rosmeri Mayta H. Investigacion Operativa 89
APLICANDO EL ALGORITMO
1) {1} {2,3,4,5}2) {1,3} {2,4,5}3) {1,3,5} {2,4}4) {1,3,5,4} {2}
LONGITUD: 15
31/08/2015 Rosmeri Mayta H. Investigacion Operativa 90
CORRIDA CON EL SOFTWARE
-
Ing. Rosmeri Mayta H. 31/08/2015
Investigacion Operativa II 16
31/08/2015 Rosmeri Mayta H. Investigacion Operativa 91 31/08/2015 Rosmeri Mayta H. Investigacion Operativa 92
Global optimal solution found at step: 42
Objective value: 15.00000
Branch count:
Resultados de programacin en Lingo
31/08/2015 Rosmeri Mayta H. Investigacion Operativa 93
PROBLEMA
La figura da el millaje de los eslabones factiblesque conectan 9 pozos de gas natural maradentro con un punto de entrega cerca de laorilla . Debido a que la ubicacin del pozo 1 esla ms cercana a la playa, est equipado consuficiente capacidad de bombeo yalmacenamiento para bombear la produccin delos 8 pozos restantes al punto de entrega.Determine la red mnima de ductos quevinculen los pozos con el punto de entrega.
31/08/2015 Rosmeri Mayta H. Investigacion Operativa 94
31/08/2015 Rosmeri Mayta H. Investigacion Operativa 95 31/08/2015 Rosmeri Mayta H. Investigacion Operativa 96
Solucin optima es 41
-
Ing. Rosmeri Mayta H. 31/08/2015
Investigacion Operativa II 17
31/08/2015 Rosmeri Mayta H. Investigacion Operativa 97
PROBLEMA
Un camin debe viajar de Nueva York alos ngeles. Como se ilustra en lafigura, existen varias rutas, el nmeroasociado con cada arco es el nmerode galones de combustible querequiere el camin para atravesar elarco. Hallar la ruta de Nueva York a losngeles que utilice la mnima cantidadde combustible.
31/08/2015 Rosmeri Mayta H. Investigacion Operativa 98
31/08/2015 Rosmeri Mayta H. Investigacion Operativa 99
Reordenando a travs de nmeros en vez de nombre de ciudades, la estructura seria la misma.
31/08/2015 Rosmeri Mayta H. Investigacion Operativa 100
SOLUCIN CON LINGO:Codificacin del Programa en PL
31/08/2015 Rosmeri Mayta H. Investigacion Operativa 101
Aplicando el Lingo se obtiene que la cantidad mnima de combustible requerida es de 2000 galones de gasolina
31/08/2015 Rosmeri Mayta H. Investigacion Operativa 102
PROBLEMADISEO DE UNA RED TELEFONICA LOCAL.
Una zona de nueva urbanizacin planea el tendido de la lneatelefnica. El esquema de la siguiente figura muestra los puntos en losque es posible situar intercambiadores de lneas y los cables quepueden tenderse entre dichos puntos.El tendido de cada tramo de cable lleva asociado un coste proporcionala la distancia que separa los puntos entre los que se tiende. En lafigura se muestran los costes expresados en millones de soles. Lazona entera quedar comunicada en el momento en que dos puntoscualesquiera estn conectados.El objetivo que se persigue es realizar la intercomunicacin al menorcoste posible.
-
Ing. Rosmeri Mayta H. 31/08/2015
Investigacion Operativa II 18
31/08/2015 Rosmeri Mayta H. Investigacion Operativa 103
SOLUCIN21
4
3
8
7
6 9
10
1
10
5
13
14
8
7
96
7 10
7
6
5
18
12
3
20
8
5
4
9
RED TELEFONICA
31/08/2015 Rosmeri Mayta H. Investigacion Operativa 104
21
4
3
8
7
6
9
10
1
105
7
6
6
5 3
5
4
7
L=10+7+6+3+5+4+6+7+5=53.
31/08/2015 Rosmeri Mayta H. Investigacion Operativa 105
PROBLEMA En el transporte intermodal, los camiones remolque
cargados se mueven entre las terminales de ferrocarrilcolocado la caja en carros especiales (camas bajas).La figura muestra la ubicacin de las principalesterminales de ferrocarril de Estados Unidos, y las vasactuales de FC. El objetivo es decidir cuales vas sedeben revitalizar para manejar el trfico intermodal. Enespecial, se debe unir la terminal de Los ngeles (LA)en forma directa con la de Chicago (CH) para dar cabidaal intenso trfico esperado. Por otra parte, todas losterminales restantes se pueden enlazar, en formadirecta o indirecta, de tal modo que se minimice lalongitud total (en millas) de las vas seleccionadas.Determine los segmentos de vas de ferrocarriles que sedeben incluir en el programa de revitalizacin.
31/08/2015 Rosmeri Mayta H. Investigacion Operativa 106
31/08/2015 Rosmeri Mayta H. Investigacion Operativa 107
Solucin Los nodos sern denotados por nmeros de la siguiente manera: Para asegurar que las Ciudades de Los ngeles y Chicago denotados por los nodos
uno y dos respectivamente, queden necesariamente unidos como condicin delproblema, entonces se empezar incluyndolos en el conjunto C, quedando el restoen el conjunto C.
1) C= {1,2} ; C= {3, 4, 5, 6,7}; 1Iteracin: Min {1100, 2600, 1400, 2000, 1000, 900,800}=800 2) C= {1, 2,5}; C= {3, 4, 6,7} 2Iteracin: Min {1100, 2600, 1400, 200, 1000, 900,200}=200 3) C= {1, 2, 5,6}; C= {3, 4,7} 3Iteracin: Min {1100, 1400, 2000, 1000, 900,1300}=900 4) C= {1, 2, 5, 6,7}; C= {3,4} 4Iteracin: Min {1100, 2000, 1000,780}=780 5) C= {1, 2, 5, 6, 7,4}; C= {3} 5Iteracin: Min {1100, 1300,2000}=1100 4) C={1,2,5,6,7,4,3} ; C={0} El total de es 5780
31/08/2015 Rosmeri Mayta H. Investigacion Operativa 108
-
Ing. Rosmeri Mayta H. 31/08/2015
Investigacion Operativa II 19
31/08/2015 Rosmeri Mayta H. Investigacion Operativa 109
Finalmente a la respuesta obtenida es necesario sumarle ladistancia de 2000 de Los ngeles a Chicago como condicin delproblema, llegando a la misma conclusin obtenida en lasolucin algebraica:3780+2000=5780.
FIN31/08/2015 Rosmeri Mayta H. Investigacion Operativa 110