43

RÉGIMEN TRANSITORIO ENCIRCUITOS DE PRIMER Y SEGUNDO ORDENPROBLEMAS RESUELTOS

PROBLEMA Nº 01.

En el circuito de la figura se sabe que:

41

2

( ) 200cos(10 45º )

( ) 100g

g

e t t v

e t v

Si en t=0 s, el conmutador pasa de posición 1 a 2, DETERMINAR las expresiones analítica y gráfica de lacorriente en la bobina para todo instante de tiempo.

1º) si t ≤ 0 s.

RESOLUCIÓN:

Antes de t = 0 el circuito está trabajando en régimen permanente y corriente alterna, conlo que el circuitoque estudiaremos será:

Hacemos la siguiente representación:

41

1

( ) 200cos(10 45º )

100 2 45

g

g

e t t v

e

Y para la inductancia que estamos caracterizando tenemos:

4 310 *1*10 10L

L

X L

X

44

Luego:

100 2 45 100 2 4510 90

10 10 10 2 45I

j

Y la expresión de la misma en función del tiempo será:

4( ) 10 2 cos(10 90º ) ; 0I t t A si t

Que en t=0 alcanzará un valor igual a:

4(0) 10 2 cos(10 *0 90º ) 0I A A

2º) si t ≥ 0 s.

La corriente en la bobina en t=0 es nula, por lo tanto, desde el momento de laconmutación se puedeconsiderar el nuevo circuito, desde t=0 s, como un circuito aestado cero excitado por una fuente decorriente continua. Con esta condición elcircuito que tenemos es:

100( ) 2

50(0) 2

vI t A

I A

Además sabemos que

3510

2.10Re 40 10

Ls

q

, por lo tanto el tiempo necesario para que se

alcance el régimen permanente será de 510 10 s y la expresión de la corriente por la bobina será:

45 10 ( ) 2 2 ; 0ti t e si t s

45

Gráficamente la podríamos visualizar:

PROBLEMA Nº 02.

En el circuito de la figura determinar la expresión analítica y gráfica de la tensión en elcondensador en todoinstante de tiempo, teniendo en cuenta que la secuencia de losinterruptores es la siguiente:

k1 se cierra en t = 0 s y permanece cerrado indefinidamente. k2 se cierra en t = 0,3 s y permanece cerrado indefinidamente.

RESOLUCIÓN:

Después de t = 0 el circuito que había estado desconectado se conecta a una fuente dealimentación decorriente continua de 100 V, con lo que nos vamos a encontrar un caso decircuito a estado cero, excitadopor una fuente de C.C., el circuito que vamos a estudiar es:

0 0,3 s t s

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Si tenemos en cuenta que el condensador no admite cambios bruscos de tensión y que en elrégimenpermanente se comportara como un circuito abierto por el que no circularacorriente, en régimenpermanente la corriente que circula por el circuito es nula y toda latensión de la fuente caerá en elcondensador, por ello:

( ) 100 (0) 100U t v y U v

Calculamos la constante de tiempo del circuito, 6 3Re 300 10 55 16,5 10C q s ,y el tiemponecesario para que se alcance el régimen permanente será de 382,5 10 s , luego como se va apermanecer en esta situación durante 0,3 segundos si se alcanzará elrégimen permanente, y tenederosque:

3

1

16,5 10( ) 100 100 0 0,3 t

CU t e para t s

Sea ahora:

0,3 t s

Después de que en t= 0,3 s. se cierre el interruptor 2, vamos a tener un circuito excitadopor fuentes deC.C. y con un elemento a estado distinto de cero. El circuito queestudiaremos será:

En este nuevo circuito en el régimen permanente las tensiones valdrán:

( ) 20 (0,3 ) 20U t v y U s v , siendo la tensión en el instante inicial U(0.3 s)=100v.

Calculamos la nueva constante de tiempo del circuito teniendo en cuenta que ahora havariado la

morfología del mismo y que 40 10Re 15 23

40 10q

, con lo que la nueva

6 3Re 300 10 23 6,9 10C q s y el tiempo necesario para que se alcance el régimenpermanente será de 334,5 10 s , luego el régimen permanente se alcanzará en t=0.3345 s.

47

3 3

1 1( 0,3) ( 0,3)

6,9 10 6,9 10( ) 20 ( 20 100) 20 120t t

CU t e e

, para 0,3t s

Esta deducción podría hacerse notar mediante la siguiente gráfica:

PROBLEMA Nº 03.

En el circuito de la figura el interruptor K lleva en la posición 0 desde un tiempo indefinido, habiéndosealcanzado el régimen permanente.Para el instante de tiempo t = 0 s, el interruptor pasa a la posición 1, permaneciendo en ellaun tiempo iguala 4π ms., instante de tiempo en que pasa a la posición 2, en la quepermanecerá indefinidamente.

Se pide que: siguiendo la secuencia del interruptor, determine las expresiones analítica ygráfica de latensión en bornes del condensador, para todo instante de tiempo.

48

RESOLUCIÓN:

Nos encontramos con un circuito cargado inicialmente que en t=0 va a pasar a estaralimentado por unafuente de corriente alterna y que a partir de t=4π ms., será excitadopor una fuente de corriente continua.

La tensión inicial en el condensador la calcularemos a partir del circuito en régimen permanente para t < 0.

( ) 20 3 60CU t A V

Para el tiempo comprendido entre 0 y 4π ms. el conmutador está situado en la posición 1 yel circuito queestudiamos es el siguiente:

Estudiaremos el régimen permanente para ello transformamos la fuente de corriente enfuente de tensiónpara calcular la tensión en el condensador en régimen permanente.

6

1 1( ) 10

1000 100 10200 0º 200 0º

10 2 45º10 10 10 2 45º

10 2 45º 10 90º 100 2 45º

C

C

X tC

I Aj

U V

49

Con lo que podemos sacar la expresión de la tensión en función del tiempo y su valor para elinstante detiempo inicial

3 3( ) 200cos(10 45º ) (0) 200cos(10 0 45º )100 2 C CU t t y U V

Calculamos la constante de tiempo del circuito 6 3Re 10*100 10 1 10C q s .

Y como vamos a permanecer un tiempo igual a 4π ms. Que es mayor que35 10 s , se alcanzará el

régimen permanente.

33 10( ) 200cos(10 45º ) (100 2 60) , 0 4 tCU t t e para t ms .

Cuando se cambie de situación en t = 4π ms., la onda de la tensión estará en un valor igual a:

3 3 3(4 10 ) 200cos(10 (4 10 ) 45º ) 200cos(4 45º ) 200cos( 45º ) 100 2CU V

Este será la tensión inicial 3(4 10 )CU , para el intervalo: 4π ms t.

Una vez que conocemos el valor de tensión inicial en el instante de tiempo t = 4π ms., elnuevo circuito quetenemos que estudiar cuando bascule el conmutador a la posición 2 será:

150 15010

6 9 1510 6 60C

I A

U A V

Calculamos la nueva constante de tiempo del circuito, sabemos que la 6 9Re 5 8,6

6 9q

;

6 3Re 8,6*100 10 8.6 10C q s y como vamos a permanecer en un tiempo indefinido se

alcanzará el régimen permanente, la tensión inicial en el condensador valía3(4 10 ) 100 2CU V

,

con lo que la tensión instantánea será:

5310

( 4 10 )86( ) 60 ( 60 100 2) , 4

t

CU t e V para ms t

50

Una vez calculadas las expresiones analíticas calculamos la expresión gráfica.

PROBLEMA Nº 04.

Para el circuito de la figura la secuencia del interruptor K es la siguiente:

t<0 K está en la posición 0 t=0 K pasa a la posición 1 t=4 ms K pasa a l posición 2 t=6 ms K vuelve a la posición 0

Determínese gráfica y analíticamente los valores de la corriente iL(t) e iC(t) para lasdistintas posiciones deK, durante todo instante de tiempo.

51

RESOLUCIÓN:

Antes de t=0 nos encontramos con una bobina conectada en serie con dos resistencias, una de 10 Ω yotra de 5 Ω, por lo tanto se habrá descargado sobre las mismas, por su parte elcondensador también estáconectado con una resistencia de 6 Ω por lo que cuando seconecte en t=4 ms. estará descargado.

En el intervalo

0 4 t ms

El circuito por el que va a circular corriente será:

Nos encontramos con una bobina a estado cero excitada por una fuente de corrientecontinua, luego en elrégimen permanente la corriente por la bobina valdrá:

10( ) 2

5L

VI t A

, y por la otra parte tendremos (0) 2LI A , con lo que teniendo en cuenta que

la constante de tiempos viene dada como3

35 101 10

Re 5

Ls

q

, ya podemos calcular la

expresión de la corriente en la bobina310( ) 2 2 t

Li t e A ; si el tiempo cumple 0 4 t ms .

Además sabemos que en t= 4 ms. no se ha alcanzado el régimen permanente, por lo tanto3 33 10 4 10(4 10 ) 2 2 1,9634Li e A A

, corriente que será la corriente inicial cuando elconmutador cambie de posición.

4 6 .ms t ms

Ahora nos encontramos con dos circuitos diferenciados, por una parte una bobina cargadaque se va adescargar sobre dos resistencias, y por otra parte un condensador descargado que se cargará.

52

Estudiamos en primer lugar el circuito de la bobina, y tenemos que (0) 0LI A , por lo que

3(4 10 ) 1,9634LI A , y la nueva constante de tiempo será

335 10 1

10Re 15 3

Ls

q

, luego el

tiempo necesario para que se descargue la bobina es de 1,66 ms. Y la bobina habrá descargado antes deque se termine este intervalo de tiempo

3 33 10 ( 4 10 )( ) 1,9634 , 4 6 tLi t e A para ms t ms

.

Estudiamos ahora el comportamiento del condensador, la constante de tiempo será6 64*6

Re *10 10 24 104 6

C q s

, luego como 65 120 10 120s ns tiempomenor que los 2

ms. que permanecemos en esta posición, entonces se alcanzara el régimen permanente y el condensadorse cargara con una tensión de 6 V.

Calculamos la corriente por el condensador en este intervalo de tiempo para ello sabemosque en t= 4ms.,para evitar un salto brusco de tensión, el condensador se comporta comoun cortocircuito por lo que

3(4 10 ) 2,5CI A , mientras que en el régimen permanente el condensador se comportará como uncircuito abierto y tenemos que ( ) 0CI t A y por lo tanto también 3(4 10 ) 0CI A

.

Con estos datos podemos decir que

4 34,16 10 ( 4 10 )( ) 2,5 , 4 6 tCi t e A para ms t ms

6 ms t

A partir de este instante de tiempo nos encontramos con que el circuito vuelve a la posición de reposo, y lohace con la bobina descargada y el condensador cargado con una tensión de6 voltios, en este casosolamente nos va a interesar estudiar la parte del condensador para calcular la corriente en el mismodurante el proceso de la descarga, por ello estudiamos:

53

Tenemos un condensador cargado que se descarga sobre la resistencia, la constante detiempo valdrá66 10 10 60RC s ns y el tiempo necesario para descarga es de 5 5*60 0,3ns ms luego

el condensador estará descargado en t=6,3 ms., la tensión en bornes del condensador y por tano de laresistencia es de

4 31,666 10 ( 6 10 )( ) 6 , 6 tCU t e V para ms t

Luego podemos decir que con el sentido de la corriente:4 3

4 31,666 10 ( 6 10 )

1,666 10 ( 6 10 )6 ( ) 1 , 6

6

tt

C

ei t e para ms t

Dando sentido gráfico a todo lo deducido, tenemos:

54

PROBLEMA Nº 05.

En el circuito de la figura el interruptor K se conecta según la siguiente secuencia:

t < 0 s. permanece abierto 0 ≤ t ≤20 ms. está en la posición 1 20 ms. ≤ t ≤30 ms. pasa y permanece en la posición 2 30 ms. ≤t permanece en la posición 3

Determinar para todo instante de tiempo las expresiones analítica y gráfica de la corrienteque atraviesa labobina i L(t).

RESOLUCIÓN:

0t s

La bobina ha estado suficiente tiempo desconectada de fuentes como para habersedescargado.

0 20s t ms

Estudiamos un circuito con elementos a estado inicial cero excitado por fuentes decorriente alterna. Elcircuito que estudiaremos en el régimen permanente es:

330( ) 100 10 3

50 37º 50 37º10 0º

4 3 5 37º

L

L

X t L

I Aj

55

A partir del valor de la corriente en régimen permanente, sacaremos la expresión de lamisma en funcióndel tiempo, el valor que adquiere para t = 0 y finalmente el valor por elque pasa en t =20 ms. cuandocambie la excitación del circuito

( ) 10 2 cos(100 )

(0) 10 2 cos(100 0) 10 2

L

L

i t t A

i A A

Calculamos la constante de tiempo del circuito3

330 10

2,3873 10Re 4

Ls

q

y como vamos a

permanecer un tiempo igual a 20ms. Y 35 11,9366 10 s , se alcanzará el régimen permanente,

valiendo la corriente ese instante de tiempo 3 3(20 10 ) 10 2 cos(100 20 10 ) 10 2Li A A , que

será condición inicial para el siguiente intervalo que estudiemos.

418,879( ) 10 2 cos(100 ) 10 2 0 20 .tLi t t e para t ms

20 30ms t ms

Ahora, estudiamos un circuito con elementos cargados inicialmente excitado por fuentes decorrientecontinua. El circuito que estudiaremos en el régimen permanente es:

644

13 3LI A

3( ) 4 (20 10 ) 4L LI t A e I A

Y como ya conocíamos el valor de la corriente en el instante de tiempo inicial, solamente nosfalta calcular

la nueva constante de tiempo que valdrá:3

330 10

0,5968 10Re 16

Ls

q

y por tanto el tiempo

necesario para alcanzar el régimen permanente es de 2,9842・10-3s quees menor que los 10 ms. quepermanecemos en esta posición, luego se alcanzara el régimen permanente y por tanto cuandocambiemos de posición en t= 30 ms. se habrá alcanzado elrégimen permanente circulando por la bobinauna corriente de -4 A.

1675,516( 20 10 3)( ) 4 ( 4 10 2) ; 20 30tLI t e para ms t ms

56

30ms t

El circuito es en este caso un circuito a entrada cero. El circuito que estudiaremos en elrégimenpermanente es:

3( ) 0 (30 10 ) 0L LI t A e I A

Ya conocíamos el valor de la corriente inicial (-4A), solamente nos falta calcular la nuevaconstante de

tiempo que valdrá3

330 10

1 10Re 30

Ls

q

, por lo tanto se necesita untiempo de 5/π ms. para

que se descargue la bobina. Podemos decir que:

3 310 ( 30 10 )( ) ( 4) ; 30tLI t e para ms t

Una vez calculadas las expresiones analíticas para todo instante de tiempo, dibujaremos las expresionesgráficas.