Regla del Trapecio - catedras.facet.unt.edu.ar file1 INTEGRACION o CUADRATURA iPuede ocurrir que sea...

1

INTEGRACION o CUADRATURA

Puede ocurrir que sea una función continua fácil de integrar

o una función continua difícil o imposible de integrar directamente

o que no conozcamos la función tabulada, solo un conjunto de valores medidos .

Los métodos se basan en que, dada encontrar una familia de funciones

{ } que aproxime a entonces

Usaremos como funciones de aproximación polinomios 1

b

a

dxxfI

)(xf

)(xf

1, nxfn )(xf

)()( fIdxxfdxxffI n

b

a

n

b

a

E f I f I fn n( ) ( ) ( )

Métodos Numéricos 2016

)!1(

1)(

0

nxf i

n

i

i

Si usamos polinomios interpolantes:

b

a

nn

i

in

b

a

dxn

fxxxpdxxf )

)!1(

)()((

1

0

dxfxx

b

a

nn

i

i

)()( 1

0

ibaxxffIn ii

n

i

i

,,)()(0

2

i

ix

Suma de Cuadratura:

coeficientes de cuadratura

nodos de cuadratura


Regla del Rectángulo

Geométricamente

Corresponde al polinomio de orden 0

Si x0 = a

3

)()( afabIR

),(2

'

2

baab

fER

f(a)

f(b)

a b

0'

0 () xxfxfxf

dxxxfdxxfdxxf 0'

0 ()

2'

2ab

fER

R

b

a

Iafabdxxf )()(

00 xfp


Regla del Trapecio

• Geométricamente

• Corresponde al polinomio de orden 1

• Si x0=a ,x1=b

4

),(12

''

3

baab

fET

dxxxxxfdxxpdxxf )(()''2

1101

T

b

a

Ibfaf

abdxxf

2)(

f(a)

f(b)

a b

1

01

00

10

11 xf

xx

xxxf

xx

xxxp

!2

))(()('' 10

1

xxxxfxpxf

2

bfafabIT

12

''

3ab

fET


2

Regla de Simpson

Corresponde a reemplazar f(x) por el polinomio de orden 2

si x0=a , x1=c =(a+b)/2, x2= b

5

2

0

)(2

x

x

S dxxpI

!3

))()(()(''' 210

2

xxxxxxfxpxf

)()(4)(3

210 xfxfxfh

I S

6

4 bfcfafabIS

45

2880f

ab 45

90

1fhES

dxxxxxxx

fES!3

))()(()(''' 210

h = (b-a)/2


• Es proporcional a la cuarta derivada, ya que el término

del coeficiente de tercer orden se hace cero durante la

integración del polinomio

• En consecuencia esta regla tiene una precisión de

tercer orden aún cuando usa sólo tres puntos

• Da resultados exactos para polinomios cúbicos aún

cuando se deriva de una parábola

6

Si observamos el error en Simpson:

45

90

1fhES


f(x) x2 x4 1/(x + 1) sqrt(1 + x2) sen (x) exp(x)

Valor exacto 2,667 6,400 1,099 2,958 1,416 6,389

Trapecio 4,000 16,000 1,333 3,236 0,909 8,389

De Simpson 2,667 6,667 1,111 2,964 1,425 6,421

Ejemplos:

7 Métodos Numéricos 2016

Fórmulas de Integración de Newton Cotes

8

)(xpn

Dados n+1 puntos equiespaciados de [a,b], xi = a+ih, i=0,...,n

si x0 =a , xn = b y h=(b-a)/n.

definimos b

a

nn dxxpfI )(


3

Fórmula Error

Truncamiento

Trapecio

Simpson

3/8

Boole

6 puntos

2

)]()([)( 21 xfxf

ab

6

)]()(4)([)( 321 xfxfxf

ab

8

)]()(3)(3)([)( 4321 xfxfxfxf

ab

90

)](7)(32)(12)(32)(7[)( 54321 xfxfxfxfxf

ab

288

)](19)(75)(50)(50)(75)(19[)( 654321 xfxfxfxfxfxf

ab

)(90

1 )4(5 fh

)(80

3 )4(5 fh

)(945

8 )6(7 fh

)(12096

275 )6(7 fh

Fórmulas de Newton Cotes Cerradas

)(12

1 )2(3 fh


Fórmulas de Newton-Cotes Abiertas

Son aquellas donde alguno de los extremos o ambos no

son nodos de cuadratura, en general no se utilizan para el

cálculo de integrales definidas.

Se usan para evaluar integrales impropias y en la solución

de ecuaciones diferenciales ordinarias.

Ej: Regla del medio punto

10

)2

()(ba

fabdxxf

b

a

),()(

24

''3

2/1 bafab

E

f(a)

f(b)

a b (a+b) / 2


Fórmulas de Cuadratura Compuesta

n

n

x

x

x

x

x

x

b

a

dxxfdxxfdxxfxffI

1

2

1

1

0

)()(

11

Estas fórmulas , en general no dan buenos resultados si [a,b] es grande, pues el En será grande, a menos que usemos polinomios de grado alto (mal condicionados). Esto lleva a las fórmulas de cuadratura compuesta.

Si

sean n+1 puntos igualmente espaciados: a =x0< x1< x2<… <xn = b

entonces xi = a + ih , h = (b-a)/n

b

a

dxxfI

xi

x

n

ii

dxxf

11


Regla del Trapecio Compuesta

Aplicamos la regla del trapecio en cada subintervalo

agrupando

el error

12

n

n

i

iTC xfxfxfh

I1

1

0 22

),()),(12

))()((2

()( 1''

3

1

1

iiiiii

n

i

xxfh

xfxfh

fI

n

i

ii

n

i

TC fn

abf

hE

13

33

1

''12

''12

),()(''

12

2

bafhab

ETC

h

abyTC

2

2


4

Regla de Simpson Compuesta

Agrupando términos

13

n

n

x

x

x

x

x

x

b

a

dxxfdxxfdxxfdxxfI

2

4

2

2

0

)(

3

4

3

4

3

4 12432210 nnn xfxfxfh

xfxfxfh

xfxfxfhI

)24(3

1

1

2

1

120 n

m

i

i

m

i

iS xfxfxfxfh

I

Aplicamos la regla de Simpson en cada subintervalo n>2, n par, n = 2m, xi = a + ih , i = 0, … ,n , h = (b-a)/n = (b-a)/2m

))()(4)((3

( 21222

11

2

22

iii

m

i

x

x

m

i

xfxfxfh

dxxf

i

i


Regla de Simpson Compuesta

14

m

i

ii

m

i

SC fm

abf

hE

1

4

5

54

5

1 )2(9090

),()(

180

44

bafhab

ESC

hSC

1


Integración sobre intervalos no uniformes

222

1212

101

nnn

xfxfh

xfxfh

xfxfhI

15

Si los datos no son igualmente espaciados, puede aplicarse

la regla del trapecio a cada intervalo y sumar los resultados

hi = ancho del intervalo i-ésimo

Si algunos intervalos consecutivos son iguales, se puede

aproximar la integral usando regla de Simpson.

También se podría hacer una partición uniforme interpolando

con alguna función apropiada


EXTRAPOLACIÓN DE RICHARDSON

Sirve para mejorar la estimación de la integral utilizando una combinación de estimaciones para distintos valores del paso de integración, h.

Al usar regla del trapecio, para integrandos finitos con derivadas finitas dentro del intervalo de integración vale

a, b, c ctes que no dependen de f(x)

Usando h1 y h2

Sustituyendo,

16

...642 chbhahhII T

)( 122

2

2

1

2

22 hIhI

hh

hhII

222

211 , ahhIIahhII TT

2

22

1

12

hh

hIhIa

2

22211 ahhIahhI TT

con O(h4)


5

EXTRAPOLACIÓN DE RICHARDSON

21

2

hh

17

Se puede escribir

Si consideramos

122212

1hIhIhII

123

1

3

4hIhII

122

2

1

2

1

1hIhI

hh

hII


Calcular la integral de

En el intervalo: a = 0, b = 0.8

Ej:

n h I

1 0.8 0.1728

2 0.4 1.0688

4 0.2 1.4848

18

5432 400900675200252.0 xxxxxxf

3674.11728.03

10688.1

3

4I

6405.1vI

6235.10688.13

14848.1

3

4I


Integración de Romberg

Es una generalización de la extrapolación de Richardson,

se genera una estimación de la integral dentro de una

tolerancia de error especificada. La idea es hacer sucesivas

estimaciones para valores de h cada vez mas pequeños y

mejorar las aproximaciones a la integral.

Si hi+1 = hi /2

Forma General:

K = 2,…,j , j = 2,3,4,…n

19

14

4

1

1,11,1

,

k

kjkjk

kj

III

Ij,k-1: integral más exacta

Ij-1,k-1: integral menos exacta

Ij,k: integral mejorada

k: nivel de la integración


Calcular la integral de

en [0,0.8]

Ej:

n h O(h2) O(h4) O(h6)

1 0.8 0.1728

2 0.4 1.0688 1.3674

4 0.2 1.4848 1.6235 1.6405

20

5432 400900675200252.0 xxxxxxf

3674.11728.03

10688.1

3

42,2 I

6405.1vI

6235.10688.13

14848.1

3

43,2 I

Ejemplo:

6405.1)3675.1(15

1)6235.1(

15

163,3 I


6

Integración de Romberg

Los sucesivos valores Ij,k se calculan por filas:

I1,1

I2,1 I2,2

I3,1 I3,2 I3,3

I4,1 I4,2 I4,3 I4,4

. … ….. ….. …..

Romberg finaliza cuando 𝐼𝑘,𝑘−1 − 𝐼𝑘,𝑘 < 𝜖, para un 𝜖 >0


Cuadratura de Gauss

22

)()()()()(1

fInxfdxxpdxxffI i

n

i

i

b

a

n

b

a


Cuadratura de Gauss

Definición: Dada integral generalizada con

ω(x)≥0 , si la aproximamos con una suma de cuadratura

diremos que la fórmula tiene grado de precisión m

si es exacta siempre que f(x) sea un polinomio de grado ≤m

Sin perdida de generalidad vamos a considerar integrales con ω(x) = 1 en el intervalo [-1,1], o sea

queremos

En(f) =0 para polinomios del mayor grado posible

En(f) =

23

b

a

dxxfxI )()(

)(1

i

n

i

i xf

1

1

)( dxxf

0)(1

i

n

i

i xf

1

1

)( dxxf

)(1

i

n

i

i xf


Cuadratura de Gauss

24

1

1

1

1

dx

11

1

1

xxdx

)0(2)(

1

1

fdxxf

)3

3()

3

3()(

1

1

ffdxxf


7

En general para n ≥ 3

25

)(1

i

n

i

i xf

1

1

dxx j

1

1

j

x j

22,...,2,01

2

12,...,3,10

njj

nj

Sistema de ecuaciones no lineales

Teorema: Las fórmulas de cuadratura pueden tener

un grado máximo de precisión 2n-1, se obtiene sii los n nodos

xi son los ceros de pn(x), polinomio ortogonal sobre [a,b] y la

fórmula es interpolatoria.

Una vez conocidos los nodos, los αi se calculan

)(1

i

n

i

i xf

nidxxx

xp

xp

b

a i

n

in

i ,...,2,1)(

)(´

1

Cuadratura de Gauss


Cuadratura de Gauss

En resumen:

Una fórmula de cuadratura con n nodos es exacta para

polinomios de grado 2n-1 si y sólo si:

la fórmula es interpolatoria, y

los nodos son las raíces del n-ésimo polinomio

ortogonal respecto del producto escalar inducido por

ω(x) en [a,b].

26

n

i

ii

b

axfdxxfx

1

)( )( )(


Fórmulas de Cuadratura de Gauss

27

CUADRATURA INTERVALO F. PESO

Gauss-Legendre [a,b]=[-1,1] w(x)=1

Gauss-Chebyshev [a,b]=[-1,1] w(x)=1/(1-x2)1/2

Gauss-Jacobi [a,b]=[-1,1] w(x)=(x-1)a(x+1)b

Gauss-Laguerre [a,b]=[0,+) w(x)=xae-x

Gauss-Hermite [a,b]=(- , +)

2

)( xexw


Podemos hacer cambio de variable, dado un intervalo a,b

cualquiera:

la fórmula de cuadratura será

En este caso:

Cuadratura de Gauss- Legendre

dtabab

tab

fdxxf

b

a

)2

)(22

()(

1

1

n nodos coeficientes

2 0.5773502692 1.0000000000

3 0.7745966692 0.5555555556

0.0000000000 0.8888888889

4 0.8611361159 0.3478548451

0.3399810436 0.6521451549

b

a

n

i

ii fEab

xab

fab

dxxf1

)(22

2

)(


8

Llevamos de [0, 0.8] a [-1, 1]

29

5432 400900675200252.0 xxxxxxf

6405.1vI

Ejemplo:

Dada en [0, 0.8]

dtab

tab

fab

dxxf

b

a

)22

()2

()(

1

1

dttfdxxf )2

8.0

2

8.0()

2

8.0()(

1

1

8.0

0

b

a

n

i

ii xfdxxf

1

4.04.04.0)( O sea que

Para n = 2, 3/1ix 8226.13058.15167.02 GI1i,

, Para n = 3, 0,5

3ix9

8,9

5i

,

, 6405.13 GI


Error para Cuadratura de Gauss

El error para las fórmulas de Gauss

Esto significa que con n puntos podemos integrar

exactamente hasta un polinomio de grado 2n-1.

30

<ba<

dxxwxpn

ffE

b

an

n

)()(

)!2(

)( )( 2

)2(


Cuadratura de Gauss

- Su mayor ventaja es la eficiencia en el cálculo, el doble

de rápido que las de Newton Cotes

- Además permite calcular integrales con singularidades

- Una limitación de Cuadratura de Gauss es que debe

evaluarse en puntos específicos, es decir que debemos

conocer la función, lo cual muchas veces no ocurre

cuando trabajamos con datos experimentales

- Es difícil de calcular su error


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