REGRESIÓN LINEALPara cada uno de los siguientes problemas debe ajustar un modelo de regresión lineal utilizando el procedimiento visto en clase, indicando e interpretando valores de interés como los coeficientes de regresión (pendiente e intercepto) y el coeficiente de determinación. Realice comentarios acerca de la significancia estadística (validez) del modelo.

1. Considere los siguientes datos:x 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50y 16 25 32 33 38 36 39 40 42 42

Use regresión por mínimos cuadrados para ajustar: a) una línea recta, b) un modelo de potencias, c) una parábola. Indique el mejor modelo justificando su elección.

2. La presión P de un gas que corresponde a varios volúmenes V se registra como sigue:V ( ) 50 60 70 90 100

P ( ) 64.7 51.3 40.5 25.9 7.8

De acuerdo con las leyes de los gases ideales la presión y el volumen de un gas están relacionados mediante la expresión funcional . (Modelo de potencias)

3. En la fabricación de productos comerciales de madera es importante estimar la relación entre la densidad y la dureza de la madera. El siguiente estudio es una tesis de maestría del Departamento de Administración de Silvicultura y Fauna de la Universidad de Massachusetts. Realice el ajuste de un modelo exponencial para los siguientes 30 tableros de aglomerado:

Densidad, x Dureza, y Densidad, x Dureza, y9.50 14,814.00 15.40 25,312.008.40 17,502.00 15.00 26,222.009.80 14,007.00 14.50 22,148.0011.00 19,443.00 14.80 26,751.008.30 7,573.00 13.60 18,036.009.90 14,191.00 25.60 96,305.008.60 9,714.00 23.40 104,170.006.40 8,076.00 24.40 72,594.007.00 5,304.00 23.30 49,512.008.20 10,728.00 19.50 32,207.0017.40 43,243.00 21.20 48,218.0015.00 25,319.00 22.80 70,453.0015.20 28,028.00 21.70 47,661.0016.40 41,792.00 19.80 38,138.0016.70 49,499.00 21.30 53,045.00

4. El concreto sin finos, hecho de un agregado grueso clasificado uniformemente y una pasta de cemento y agua, es benéfico en áreas proclives a la lluvia excesiva como resultado de sus excelentes propiedades de drenado. En el siguiente estudio se desea analizar la relación existente entre el peso unitario, x ( ) y la porosidad, y (%) en especímenes de concreto.

x 99.0 101.1 102.7 103.0 105.4 107.0 108.7 110.8 112.1 112.4y 28.8 27.9 27.0 25.2 22.8 21.5 20.9 19.6 17.1 18.9

x 113.6 113.8 115.1 115.4 120.0y 16.0 16.7 13.0 13.6 10.8

5. La corrosión de las barras de acero de refuerzo es el problema de durabilidad más importante para estructuras de concreto reforzado. La carbonatación del concreto resulta de una reacción química que disminuye el valor de pH lo suficiente para iniciar la corrosión de las barras. A continuación se ilustran los datos representativos de x= profundidad de la carbonatación (mm) y y= resistencia (MPa) para una muestra de especímenes base tomados de un determinado edificio:

x 8.0 15.0 16.5 20.0 20.0 27.5 30.0 30.0 35.0 38.0y 22.8 27.2 23.7 17.1 21.5 18.6 16.1 23.4 13.4 19.5

x 40.0 45.0 50.0 50.0 55.0 55.0 59.0 65.0y 12.4 13.2 11.4 10.3 14.1 9.7 12.0 6.8

6. En su tesis para obtener el grado de PhD, H. Behbahani (Universidad de la Florida, 1977) estudió el efecto de la variación de la razón agua/cemento en la resistencia de concreto después de 28 días. Para concreto con un contenido de cemento de 200 libras por yarda cúbica se obtuvieron los siguientes datos. Sea y la resistencia (100 pie/libra) y x la razón de agua/cemento:

x 1.21 1.29 1.37 1.46 1.62 1.79y 1.302 1.231 1.061 1.040 0.803 0.711

7. Se realizó un estudio para determinar la relación existente entre la resistencia a la ruptura, y, de vigas de madera y la densidad, x, de la madera. Diez vigas seleccionadas al azar, de las mismas dimensiones en la sección transversal, se sometieron a esfuerzo hasta la ruptura. En la siguiente tabla se muestran los resultados del experimento:

x 0.499 0.558 0.604 0.441 0.550 0.528 0.418 0.480 0.406 0.467y 11.14 12.74 13.13 11.51 12.38 12.60 11.13 11.70 11.02 11.41

8. Estudios empíricos han permitido comprobar que la duración de la herramienta, y, en función del tiempo de corte, x, sigue un modelo de potencias. En el artículo “The effect of experimental error on the determination of optimum metal cutting conditions” (J. Engr. for Industry, 1967) se reporta el siguiente estudio:

x 600 600 600 600 500 500 500 500 400 400y 2.350

02.650

03.000

03.600

06.400

07.800

09.800

016.500

021.500

024.500

0

x 400 400y 26.000

033.000

0

9. Las fallas en los motores de las turbinas de gas de aviones debidas a la fatiga de ciclo alto es un problema general. En el siguiente estudio se desea ajustar un modelo de regresión que permita predecir la amplitud de esfuerzo de los ciclos hasta que se presenta la falla. Ajuste un modelo apropiado y prediga la amplitud cuando los ciclos hacia la falla son 5000. Considere x= ciclos hasta la falla, y= amplitud del esfuerzo.

x 1326 1593 4414 5673 29516 26 843 1016y 0.01495 0.01470 0.01100 0.01190 0.00873 0.01819 0.00810 0.00801

x 3410 7101 7356 7904 79 4175 34676 114789y 0.00600 0.00575 0.00576 0.00580 0.01212 0.00782 0.00596 0.00600

x 2672 7532 30220y 0.00880 0.00883 0.00676

10. Se suelta una pelota desde la terraza de un edificio que se encuentra a 450 metros sobre el nivel de la calle. La altura de la pelota se registra cada segundo y los resultados aparecen en la siguiente tabla. Ajuste un polinomio cuadrático y úselo para predecir el instante en que la pelota toca el suelo.

x 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9y 450 445 431 408 375 332 279 216 143 61

Rta/. El modelo es . La pelota golpea el suelo a los 9.7 segundos.