Ensayo mecánico de tracción-elongación para el ligamento ...
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1
Relacioacuten de problemas Tema 4
1-Un oscilador armoacutenico del tipo bloque-muelle con k=23 Nm y m=047 kg tiene una
energiacutea mecaacutenica de 25 mJ
a) iquestCuaacutel es la amplitud del movimiento
b) iquestCuaacutel es la velocidad maacutexima del bloque
c) iquestCuaacutel es la velocidad del bloque cuando x=11 mm
d) iquestCuacuteal es la distancia del bloque al centro cuando el moacutedulo de su velocidad es de
025 ms
a)
2
Datos
23
047
25 0025
1 2 2 0025004662
2 23
004662
k N m
m kg
E mJ J
EE kA A m
k
A m
=== =
sdot= rarr = = =
=
b)
2
2max max max
max
1
2
1 2 2 00250326
2 047
0326
c
c
E mv
EE mv E v m s
m
v m s
=
sdot= = rarr = = =
=
c)
2 2
2
1 1
2 2
2 2 0025 23 0011
047
031695
E mv kx
E kxv
m
v m s
= +
minus sdot minus sdot= =
=
2
d)
2
2 2
2
1 1
2 2
2 2 0025 047 025
23
002994
E mv kx
E mvx
k
x m
= +
minus sdot minus sdot= =
=
2-Un reloj de peacutendulo que ha sido cuidadosamente ajustado para marcar el tiempo
correcto en un lugar donde g= 9823 ms2 retrasa 40 s por diacutea cuando se lleva a otro
lugar geograacutefico iquestCuaacutento vale g en ese lugar
En un diacutea retrasa 40 s Luego el reloj con la nueva g tarda 360024T+40 segundos en
marcar un diacutea donde T es su periodo (en segundos) Luego
3600 24 40
3600 24T
sdot +=sdot
Sabemos que para un peacutendulo
1
2 2
1 1
2
Si con g T=1s1
Entonces
g
1 T 1 3600 24+40 = = =
g g 3600 24
g 9814
lT
g
l
T
g l
m s
=
rarr =
sdotsdot
=
3-Un muelle tiene una longitud natural de 15 cm Cuando le colgamos una masa de 50
g queda en reposo con una longitud de 17 cm Si ahora lo estiramos 5 cm calcular
a) La ecuacioacuten del movimiento (en la forma cosenoidal) si ponemos en marcha el
cronoacutemetro cuando la masa pasa por primera vez por la posicioacuten de equilibrio
b) Los valores de la elongacioacuten para los cuales la aceleracioacuten valga amax2
c) El trabajo realizado por el resorte para elevar la masa desde su posicioacuten maacutes baja
hasta la primera de las posiciones anteriores
3
3
22
0
50 98 10245
2 10
mgk kg s
x
minus
minussdot sdot= = =
∆ sdot
a)
( )
( )
2con
ya que en 0 pasa por la posicioacuten de equilibrio
Amplitud o elongacioacuten maacutexima =
2214
0
A= 5 cm
x=5sen t+0
5
t
k kx Asen t rad s
m m
x sen t
ω φ ω ω
φ
ωω
=
= + = = =
=
=
b)
( )
( ) ( )2 2 2max
2max
maxelongacioacuten correspondiente a
cos
0
1 15 5
2 2 2 2
25
a ( )= 25
2 2
dxv A t
dt
dva Asen t Asen t a a
dta A
a sen t x sen t
x cm
Ax cm
ω ω φ
ω ω φ ω ω ω
ω ω ω
= = +
= = minus + = minus + rarr = minus
= = minus rarr = rarr = =
=
plusmn = plusmn
4
c)
22 2 22
22 2
1 1 1
2 2 2 2
1 1 30023
2 2 4 8
0023
A A A
AA A
AW Fdx kxdx kx k kA
AkA k kA J
W J
minus minus minus
minusminus minus
asymp
= = minus =minus = minus minus + =
= minus =
=
int int
4-Con un muelle colgado de uno de sus extremos se observa lo siguiente
(1) Al colgar de su extremo libre un cuerpo de 500 g su longitud inicial aumenta 15 cm
(2) Al colgar de dicho extremo un peso de 2 kg y separarlo 20 cm de su posicioacuten de
equilibrio el sistema efectuacutea un mas
Calcular para la situacioacuten (2)
a) El periodo de oscilacioacuten
b) La velocidad maacutexima alcanzada por el cuerpo
c) La aceleracioacuten maacutexima
d) La aceleracioacuten y la velocidad del cuerpo cuando se encuentra a la mitad del camino
entre la posicioacuten de equilibrio y una de sus posiciones extremas
e) El tiempo necesario para alcanzar el citado punto partiendo de la posicioacuten de
equilibrio
( )
( )( )
( ) ( ) ( )
1
2
2
2
max max
2
1
05 981327
015
2
2 2 155
155
)
sin cos
081
F kx
m gk N m
x
a
mkT s
m k
T s
b
dx dvx A t v A t a Asen t
dt dt
kv A A v m s
m
πω πω
ω φ ω ω φ ω ω φ
ω
= minussdot= = =
= = = =
=
= + = = + = = minus +
= = =
5
( )
2 2max max
2
22
2
)
327
)
10 30ordm
2 2
cos 0866 0699 2 2
1635 2 2 2
)
1013
2 6 6 6
c
ka A A a m s
m
d
AAsen t sen t t
A Av A t A v m s
A A Aa a m s
e
msen t t t t s
k
ω
ω φ ω ω
ω ω ω
ω
π π πω ω ω
= = =
= = = rarr =
= = sdot =
= =
= rarr = rarr = = =
5- Si la Tierra fuese una esfera homogeacutenea y se hiciese un pequentildeo conducto recto de
polo a polo al dejar caer por eacutel un cuerpo eacuteste adquiririacutea un mas iquestPor queacute Calcule
el periodo de ese movimiento
Si se aplica la ley de Gauss para un punto en el interior de la
Tierra RltRT
2 3
3
44 4
43
3
T
T
Mg R G R
R
π π ππ
= minus
Simplificando queda
3
T
T
GMg RR
R= minus
Siendo g el campo gravitatorio a una distancia R del centro de la Tierra
Si se deja caer un cuerpo de masa m
6
2
2 2
2
2 3
3
T T
3
T T
es decir
Luego es un mas
GM R2con una = y 2
R GM
T
T
T
T
F ma
GM d RmR ma m
R dt
GMd RR
dt R
Tπω π
ω
=
minus = =
= minus rArr
= =
sum
3
GT
πρ
=
6-Un bloque cuacutebico de madera de arista a =5 cm y masa m= 100 g estaacute flotando en un
estanque Lo empujamos ligeramente hacia abajo y despueacutes lo soltamos iquestCuaacutel seraacute el
periodo de sus oscilaciones
2 30
Bloque flotando en equilibrio
Densidad agua
Volumen del cubo sumergido
F 0
a
cs
a cs c c
a cs c c
a c
V
V g V g
V V
y a a
ρ
ρ ρρ ρρ ρ
= minus ==
=
sum
7
( )20
20
Bloque oscilando
F 0a cs c c
a c cresul
aresul
V g V g
F a y y g V g
F a y g
ρ ρρ ρ
ρ
prime= minus ne
= + minus
=
sum
c cV gρminus 2
2
22 22
2 2
2
2 2
El signo se debe a que el sentido es contrario a y
con
1 1 1 5 980249
2 2 2 100
04
a
recup a
aa
a
a
a yg
F a yg
a gd y d ya yg m y
mdt dt
a gmas
m
a gHz
m
T s
ρρ
ρρ
ρω
ρωυ π π π
+
= minus
minus = rarr = minus
=
sdot sdot= = = =
=
7-Un reloj regulado por un peacutendulo simple de periodo 011 s se coloca en un ascensor
a) iquestCuaacutel es el periodo cuando el ascensor es acelerado hacia arriba con una aceleracioacuten
de moacutedulo 05 g
b) iquestCuaacutel es el periodo cuando el ascensor baja con una aceleracioacuten de moacutedulo 05 g
c) iquestCuaacutel es el periodo cuando el ascensor sube a una velocidad constante de 51 ms
d) Al empezar el diacutea el reloj de peacutendulo se encuentra dentro del ascensor en el piso
correspondiente al vestiacutebulo y se ajusta a la misma hora del reloj del vestiacutebulo El reloj
del peacutendulo y el del vestiacutebulo estaacuten calibrados de tal forma que marcan la misma hora si
permanecen inmoacuteviles Despueacutes de muchos viajes de subida y bajada del ascensor
durante el diacutea el reloj pendular vuelve a estar en el vestiacutebulo iquestMarcan lo mismo los
relojes
a)
( )
1
11
1
Ascensor hacia arriba2
3
2 2
2 23
2
2 2 2011
3 3 3
008981
T T
ga
gF mg ma F m g a m g mg
l lT T
g g
TT T
T
T s
π π
uarr =
minus = rarr = + = + =
= rarr =
= rarr = =
=
8
b)
( )
2
22
2
Ascensor baja2
1
2 2
2
2
2 2 011 2
01556
T T
ga
gmg F ma F m g a m g mg
lT
g
TT T
T
T s
π
darr =
minus = rarr = minus = minus =
=
= rarr = =
=
c) A velocidad constante la aceleracioacuten es nula y el periodo no variacutea
0 011a T s= rarr =
d)
T= 011 s
- Reloj cuando el ascensor sube T1 = 008981 s
- Reloj cuando el ascensor baja T2 = 01556 s
Al bajar T2gtT y no compensa cuando sube (T1ltT)
2
1
00456el reloj se retrasa en total 00456 - 002019 002541
002019
Al acabar el diacutea el reloj habraacute retrasado respecto al del vestiacutebulo
T T ss
T T s
minus = =minus =
8-Un aro delgado de 1 m de radio y densidad lineal uniforme oscila libremente en torno
a un eje perpendicular a su plano que pasa por un punto de su borde
a) iquestCuaacutel es el periodo para oscilaciones pequentildeas
b) Un pegote de cera cuya masa es igual al 12 por ciento de la masa del aro se coloca en
el punto de borde diametralmente opuesto al de suspensioacuten iquestcuaacutel es ahora el periodo de
las pequentildeas oscilaciones
9
a)
2
2
2
2
2 2
Plano de giro = plano del anillo
distancia del cm al centro de oscilacioacuten O
momento de inercia del aro respecto a O
1
2T=
sin
2
cm
R m
dM mgR mgR I
dt
d mgR mgR
I Idt
IT
mgR
R
I
I r dm R d
πω
θθ θ
θ θ ω
π
==
=
= minus minus =
= minus rarr =
=
= =
sum
int
≃
2 2
2 2
2
Por Steiner 2
2 22 2
2 12 283845
98
cm
m R dm mR
I I mR mR
mR RT
mgR g
T T s
π π
π
= =
= + =
= =
sdot= rarr =
int int
b)
( )( )2 2 2 2
2
2
012 112
012 2 2 048 248
012 2 124
012 112
248 22 2
124112
112
c
cm
IT
m gR
m m m m m m
I I m R mR mR mR
mR m RR y R
m m
mR RT T T
gmg R
π
π π
prime=primeprime prime
= + = + =prime
= + = + =prime+prime= = =prime+
= = rarr =prime prime
10
9- Una regla uniforme de longitud L=1 m estaacute suspendida de un extremo
a) Determine el periodo de oscilacioacuten Te para pequentildeos desplazamientos angulares
compare el resultado obtenido con el periodo de oscilacioacuten que se tendriacutea si toda la
masa se localizara
i) En el centro de masas (Tcm)
ii) En el extremo inferior (TL)
iii) iquestCuaacutel de los tres periodos es mayor iquestpor queacute
b) Determine el periodo de oscilacioacuten (TP) si estaacute suspendida de un punto P a una
distancia x del centro de masas
Calcule el periodo de oscilacioacuten para x=L6 (TL6) y para x=L2 (TL2)
Comente los resultados obtenidos
c) Determine el valor de x para que el periodo sea miacutenimo
a)
2
2
Peacutendulo fiacutesico
con d=distancia del cm al punto de suspensioacuten
Colgada del extremo e
1
2
2 1232 223
1 23
1638
ee
e
e
e
L m
IT
mgd
IT
L mLmg LT
gLmg
I mL
T s
π
π
π π
=
=
=
= =
=
=
ai)
2
2
2
m localizada en el cm 2
periodo del peacutendulo simple de longitud L2
2
1
2 4
1
4 22 2 1419
2
cmcm
cm
cm cm
cm
IT
Lmg
LI m mL
LmLT T s
gLmg
T
π
π π
rarr =
= =
= = rarr =
=
11
aii)
2
2
m localizada en el extremo L
periodo del peacutendulo simple de longitud L
2
2 2 2007
LL
L
cmL
L
IT
mgL
I mL
mL LT T s
mgL g
T
π
π π
rarr =
=
= = rarr =
=
aiii)
debido a que Icm e L cm e LT T T I Ilt lt lt lt
b)
22
2 2 2
2 2
6 6
2 2
2 2
6 2
2122
1
12
6 6
12 36 412 362 2 26 6
6
2 2
12 4 412 42 2 22 6
2
1639
PP
P
cmP
L L
L L
L L
I LT xmgx T
gxI I mx mL mx
L L LL L
x T TL g gg
L L LL L
x T TL g gg
T T s
ππ
π π π
π π π
= +=
= + = +
++= rarr = = rarr =
++= rarr = = rarr =
= =
c)
1 22 2 2
2
2 2
22 2
22
0
2121 122 0
2
2 012
029912 12
PP miacutenimo
TT
x
LL xgx g xx
gx g x
Lx x
L Lx x m
π
minus
part= rarr =part
minus ++=
minus + =
= rarr = =
12
10-El peacutendulo de un reloj normalmente oscila describiendo un arco de longitud 135
mm El mecanismo funciona gracias a una pesa que cae hacia abajo Una vez que la
pesa ha llegado a la base del reloj a las 917 horas la longitud del arco disminuye hasta
95 mm a las 922 horas Teniendo en cuenta que el reloj se para si la longitud del arco es
inferior a 50 mm Determinar
a) La constante γ para este movimiento
b) La hora a la que se para el reloj
a)
5 1
arco normal
arco menor
En 917 tomamos y
Pasados 5 minutos
917 135
922 95
0 135
95 135 007028min
tA Ae
mm
mm
t A mm
e
γ
γ γ
minus
minus minus
=primerarrrarr
= =
= rarr =
b)
El reloj se para a los 50 mm
El reloj se para a las
50ln13550 135 141328min
917 141328min 931
te t
horas
γγ
minus= rarr = minus =
+ ≃
11-Una moneda permanece en reposo sobre una plataforma horizontal que realiza un
movimiento armoacutenico simple de amplitud A y frecuencia ν
a) Si la plataforma oscila verticalmente iquestcuaacutel es el valor maacuteximo de A que permite a la
moneda permanecer en contacto permanente con la plataforma
b) Supongamos ahora que la plataforma oscila horizontalmente y que micro es el coeficiente
de rozamiento estaacutetico entre la moneda y la plataforma iquestCuaacutel es el valor maacuteximo de A
que permite a la moneda permanecer en reposo respecto a la plataforma
13
a)
2
max
2max
maxmax 2 2
La aceleracioacuten maacutexima corresponderaacute a
En el oscilador armoacutenico luego
0
A4
P N ma
N a g
a A
a g
ω
ω π υ
minus == rarr =
=
= =
b)
max
max 2 2En el oscilador armoacutenico implicaraacute
4
r
r
F N mga g
F ma
gA
micro micro micro
microπ υ
= ==
=
=
12-Por la garganta de una polea cuya masa m = 800 g puede considerarse concentrada
en su periferia pasa un hilo inextensible y sin masa De uno de los extremos del hilo
cuelga una masa M = 200 g y el otro extremo del hilo estaacute atado a un resorte vertical de
constante elaacutestica K = 16middot105 dinas cm que a su vez estaacute fijo al suelo por su otro
extremo Calcule el periodo de las pequentildeas oscilaciones de M
(Paacutegina 223 del Tebar-Flores)
Debe ser un movimiento armoacutenico simple
Cuando el sistema estaacute en reposo la fuerza que actuacutea sobre el resorte es Mg y debe
cumplirse
0 (1)Mg kx=
Donde hemos llamado x0 al alargamiento del resorte en esta posicioacuten de equilibrio
14
Si desplazamos ligeramente la masa M y tiramos de ella hacia abajo
( )2 0 (2)T k x x= +
Y en la masa M
( )1 3Mg T Maminus =
Aplicando a la polea la ecuacioacuten fundamental de la dinaacutemica de la rotacioacuten
21 2
I
aT R T R I mR mRa
Rα
αminus = = =
Dividiendo todo por R queda
( )1 2 4T T maminus =
De las ecuaciones (1) (2) (3) y (4) se deduce
2a x
k ka x
m M m Mωω
=minus= minus rarr =
+ +
y el periodo
3M+m 10T=2 2
k 16 10
0157T s
π π=sdot
=
13-Un peacutendulo estaacute constituido por dos esferas pequentildeas e iguales de 1 kg de masa
unidas a los extremos de una varilla riacutegida de 1 m de longitud y masa despreciable
Determinar el periodo de las pequentildeas oscilaciones de este peacutendulo si se suspende
a) De un extremo
b) Del otro extremo
c) De un punto situado a un tercio de distancia entre uno y otro extremo
d) Del punto medio
a) y b)
2
2
lT
g
T s
π=
=
c)
15
( )
( )
1 2
2 2 2
1 2 1 2
1 2
2 5
3 3 9
52 2 26
3
26
z
d d d
d d mdI m m
I mgd sen mgd sen mg d d
I dT s
gmg d d
T s
α θ θ θ
π π
= +
= + =
= minus + minus minus
= = =minus
=
≃
d)
1 2 0d d Tminus = rarr = infin
Modo 2
2 2 22 5
2 3 3 3 9
52 2 26
3
d d d d mdL I m m
I dT s
mgL gπ π
= minus = + =
= = =
14-Cuando la plomada de un peacutendulo coacutenico describe una trayectoria circular el hilo
de longitud L barre un cono de semiaacutengulo θ a) Calcular el periodo del movimiento circular de la plomada en funcioacuten de L g y θ Si la circunferencia anterior estaacute en el plano xy con el centro en el origen
b) demuestre que cada coordenada x e y sigue un
mas y compare su periodo con el que tendriacutea el
mismo sistema oscilando en un plano vertical
16
N
2 2N
2 2
N
Sobre la masa A actuacutea su peso y la tensioacuten de la cuerda
Su resultante debe ser F es decir justamente la fuerza centriacutepeta
necesaria para describir el ciacuterculo
F
F
Fv R
R Lsen
m R m Lsen
mv Rm
R ω
θ
ω ω θω
=
=
= =
= =2
2
2 2N
22
F
coscos cos cos
m RR
m Lsen Lsentg
mg mg g
sen g g gtg
L LL
ω
ω θ ω θθ
θθ θ ω ωθ θ θω
=
= = =
= rarr = rarr = rarr =
2
1
2 cos
1 cos2
f
gf
L
Lf T
T g
ω π
π θθπ
=
=
= rarr =
b)
P coacutenico 2
2
2
4 tan costan 2c
g lR g T
T lsen g
π θ θω θ πθ
= = =
P Plano
2p
lT
gπ=
Relacioacuten 0
cos 1c
p
T
T θθ
rarr
= rarr
En coordenadas rectangulares (x y) horizontales
P coacutenico 2 2 2 x y R v R Cteω+ = = =
P planos
( )0 sinx y R tω φ= +
Composicioacuten
( ) ( ) ( )
2 2 2 2 2 2 2
2 2 22 2 2
sin cos
cos sin
x y R t R t R
v R t R t R v R
ω ω
ω ω ω ω ω ω
+ = + = = + = =
17
15-Determine las frecuencias de oscilacioacuten correspondientes a cada uno de los sistemas
representados en las figuras siguientes suponiendo que el bloque de masa m estaacute
situado sobre una superficie horizontal lisa y que las constantes elaacutesticas son k1 y k2
para cada uno de los dos resortes unidos al bloque
a)
( )
( )1 2
1 2
1 2
1 1 11 2
2 2 2
1 21 2
1 2
1 2
1 2 1 2
1 2
1 2
1 1 1
1
2a
k k
m k k
x x x
F k xF F F
F k x
F FFF kx x x x
k k k
k kk
k k k k k
k kk
m m k kω
υ π
+
= += minus
= == minus
= minus rarr = minus = + = minus minus
rarr = + rarr =+
= =+
rarr =
a b c
18
b)
( )
1 2
1 1 11 2
2 2 2
1 1 2 2 1 2
1 2
1 2 1 21
2b
x x x
F k xF F F
F k x
kx k x k x k k x
k k k
k k k kk
m m mω υ π
= == minus
= += minus
minus = minus minus = minus += +
+ += = rarr =
c)
( )
1 2
1 2
1 1 2 2 1 2 1 2
Lo que se estira el muelle 1 es igual
a lo que se comprime el muelle 2
c b
x x
F F F
kx k x k x k k x k k k
υ υ
=
= +minus = minus minus = minus + rarr = +
=
16-Un tubo en forma de U y de seccioacuten recta constante A estaacute abierto a la atmoacutesfera
Estaacute lleno hasta un nivel de un liacutequido incompresible que fluye a traveacutes del tubo con
rozamiento despreciable Demostrar que si se hace descender la superficie del liacutequido en
uno de los brazos de la U y luego se deja libre el periodo de las oscilaciones de la
columna liacutequida es T=2π(L2g)12
( )2
2
Fuerza recuperadora
2
2
rec
rec
F
F g y A
d yg yA m
dtm V AL
ρ
ρ
ρ ρ
ρ
=
= minus
minus =
= =
minus 2g y A ρ= A2
2
2
2Movimiento armoacutenico simple
con
2
2 22
2
d yL
dt
d y gy
Ldt
g LT T
L g
πω πω
= minus rarr
= rarr = rarr =
19
17-Un bloque de masa 25 kg estaacute conectado a un muelle de constante elaacutestica 1250
Nm el movimiento del bloque estaacute amortiguado con b=50 kgs Estaacute sometido a una
fuerza externa sinusoidal de frecuencia angular ω=25 rads y moacutedulo maacuteximo 12 N
Determinar
a) La amplitud y la constante de fase para el movimiento en estado estacionario
b) La amplitud del sistema cuando estaacute en resonancia de amplitud
25
25
1250
50
12
t
o
rad s
m kg
k N m
b kg s
F N
ω ====
=
( )
2 2
1
2
22 2 2 2
2 2
3
Resonancia
1250500
25
5010
2 2 2512
48 25
4
2
9313 10
2 10 257596 1326
500 625
962
96
o
o
o
o
o t t
e
o t
o
o
o
t ot
o
ks
m
bs
mF
m sm
F
mA
tg
A m
arctg rad
F
mA mm
A mm
ω
γ
ω ω γ ω
γωδω ω
δ δ
ω ω γω
minus
minus
minus
= = =
= = =sdot
= =
=minus +
=minus
= sdotsdot sdot= = minus rarr = minus
minus
= rarr = =
=
18-Un cuerpo de 2 kg descansa sobre un tablero horizontal y estaacute unido al extremo libre
de un muelle de constante elaacutestica k= 200 Nm En un instante dado sus oscilaciones
presentan una amplitud de 30 cm pero debido al rozamiento dicha amplitud se reduce a
la mitad cuando han transcurrido 25 segundos Determinar
a) El valor del paraacutemetro de amortiguamiento β y del tiempo de relajacioacuten τ
b) La frecuencia y el periodo de las oscilaciones no amortiguadas
c) Lo mismo para las oscilaciones amortiguadas
20
d) El tiempo que debe transcurrir para que se disipe la mitad de la energiacutea del oscilador
e) Lo mismo para que se disipe el 99 de la energiacutea del oscilador iquestCuaacutel seraacute entonces
la amplitud de las oscilaciones
( )2
0
0 cos
2
200
03
1
2
mt
m kg kF kx ma
mk N m
A m
x A e tβ
ω
ω δ
τ β
minus
= = minus = rarr ===
= minus
=
a)
( ) ( )2
252
0
1
En 25
2 ln 225 ln 2
2 25
1
225
2
011
1803
1803
m
m
t
tt
m
m
A A ee
At s A
kgs
ms
s
β
βδ
β β
β
τ βτ
minusminus
minus
+
=
==
= rarr =
rarr =
=
= =
=
b)
( ) ( )0
10 210
2 10
1591549
062831
rad s Hz T s
Hz
T s
πω ν πν
= rarr = =
==
c)
2 20 2
159
0628
Hz
T s
ωω ω β ν πν
= minus rarr =
==
d)
21
La energiacutea se disipa de acuerdo con la expresioacuten 0
t
E E e τminus
=
T1 es el tiempo necesario para que se disipe la mitad ( )1
01 0
2
TE
E T E e τminus
= =
1 ln 2 126T sτ= =
1 126 sT =
e)
( )2
2 0 0001
T
E T E E e τminus
= =
T2 es el tiempo necesario para que se disipe el 99
( )2 ln 001 838E T sτ= minus =
2 838 sT =
La amplitud viene dada por
( )( )
2 20 0
2
0
Bt t
m
t
A t A e A e
A te
A
τ
τ
minus minus
minus
= =
=
Al transcurrir T2 tendremos
( ) ( )2 001 1ln
2 2 2 2
0
001 01
TA Te e
Aτ
minus= = = =
Ha decaiacutedo al 90 de la amplitud inicial
19-Los aacutetomos de un soacutelido ejecutan oscilaciones armoacutenicas independientes alrededor
de posiciones fijas de equilibrio dispuestas seguacuten una red cuacutebica de lado a = 11middot10-11m
Estos aacutetomos tienen una masa de 10-22 g y vibran con frecuencia de 10
13 Hz Seguacuten la
mecaacutenica estadiacutestica la energiacutea total de cada oscilador es κT donde κ =RN0 es la
constante de Boltzman
a) Calcular la constante de recuperacioacuten
b) iquestCuaacutel es la amplitud de las oscilaciones a temperatura ambiente (17ordmC)
c) Imaginando que el soacutelido fundiese cuando la amplitud de las oscilaciones alcanzase
un valor de a10 iquesta queacute temperatura fundiriacutea el soacutelido
Datos R = 831 JKmol N0 = 60231023 moleacuteculasmol
22
13
22
0
10 2
10
f Hz E T f
Rm g
N
κ ω π
κminus
= = =
= =
a)
( )22 22 3 13 25 26 2
2
10 10 2 10 10 4 10
40
k m kg Hz kg s
k N m
ω π π
π
minus minus minus= = sdot sdot sdot = sdot
=
b)
( )232
2
12
8312 273 17
1 2 2 6023 102 40
1672 10
E TE kA A
k k
A m
κπ
minus
+sdot= rarr = = =
= sdot
c)
( )
2
2
2 11 2322 20
0
1 1
10 2 2 10
40 51 10 6023 10
2 100 200 200 831200
37209 9909ordm
fuioacuten
fuioacuten
fuioacuten
a aA E kA k T
ka Nka kaT
R RN
T K C
κ
πκ
minus
= = = =
sdot sdot= = = =
sdot
= =
20- Consideramos un pequentildeo objeto de masa m que tan soacutelo puede moverse a lo
largo de una recta unido a un extremo de un muelle de constante elaacutestica k y de
longitud l0 El otro extremo del muelle estaacute unido a un punto fijo A situado a una
distancia l=l0 de la recta sobre la que se mueve el pequentildeo objeto como se muestra en
la figura Calcular la frecuencia de las pequentildeas oscilaciones del sistema
23
( )( )
0
0
20
0 2
0
0 0 0 0 0
0
cos
1
1
x
x
k l
l l
xF F F
Llx d x
L l l F k L l k x mL L dt
F k L l
l l l l l lk k
L l l l m l m l
l lk
m l
θ
ω
ω
asymp
gt
= =
= + ∆ = minus minus = minus minus == minus minus
minus= rarr = minus =+ ∆
minus=
2
d)
2
2 2
2
1 1
2 2
2 2 0025 047 025
23
002994
E mv kx
E mvx
k
x m
= +
minus sdot minus sdot= =
=
2-Un reloj de peacutendulo que ha sido cuidadosamente ajustado para marcar el tiempo
correcto en un lugar donde g= 9823 ms2 retrasa 40 s por diacutea cuando se lleva a otro
lugar geograacutefico iquestCuaacutento vale g en ese lugar
En un diacutea retrasa 40 s Luego el reloj con la nueva g tarda 360024T+40 segundos en
marcar un diacutea donde T es su periodo (en segundos) Luego
3600 24 40
3600 24T
sdot +=sdot
Sabemos que para un peacutendulo
1
2 2
1 1
2
Si con g T=1s1
Entonces
g
1 T 1 3600 24+40 = = =
g g 3600 24
g 9814
lT
g
l
T
g l
m s
=
rarr =
sdotsdot
=
3-Un muelle tiene una longitud natural de 15 cm Cuando le colgamos una masa de 50
g queda en reposo con una longitud de 17 cm Si ahora lo estiramos 5 cm calcular
a) La ecuacioacuten del movimiento (en la forma cosenoidal) si ponemos en marcha el
cronoacutemetro cuando la masa pasa por primera vez por la posicioacuten de equilibrio
b) Los valores de la elongacioacuten para los cuales la aceleracioacuten valga amax2
c) El trabajo realizado por el resorte para elevar la masa desde su posicioacuten maacutes baja
hasta la primera de las posiciones anteriores
3
3
22
0
50 98 10245
2 10
mgk kg s
x
minus
minussdot sdot= = =
∆ sdot
a)
( )
( )
2con
ya que en 0 pasa por la posicioacuten de equilibrio
Amplitud o elongacioacuten maacutexima =
2214
0
A= 5 cm
x=5sen t+0
5
t
k kx Asen t rad s
m m
x sen t
ω φ ω ω
φ
ωω
=
= + = = =
=
=
b)
( )
( ) ( )2 2 2max
2max
maxelongacioacuten correspondiente a
cos
0
1 15 5
2 2 2 2
25
a ( )= 25
2 2
dxv A t
dt
dva Asen t Asen t a a
dta A
a sen t x sen t
x cm
Ax cm
ω ω φ
ω ω φ ω ω ω
ω ω ω
= = +
= = minus + = minus + rarr = minus
= = minus rarr = rarr = =
=
plusmn = plusmn
4
c)
22 2 22
22 2
1 1 1
2 2 2 2
1 1 30023
2 2 4 8
0023
A A A
AA A
AW Fdx kxdx kx k kA
AkA k kA J
W J
minus minus minus
minusminus minus
asymp
= = minus =minus = minus minus + =
= minus =
=
int int
4-Con un muelle colgado de uno de sus extremos se observa lo siguiente
(1) Al colgar de su extremo libre un cuerpo de 500 g su longitud inicial aumenta 15 cm
(2) Al colgar de dicho extremo un peso de 2 kg y separarlo 20 cm de su posicioacuten de
equilibrio el sistema efectuacutea un mas
Calcular para la situacioacuten (2)
a) El periodo de oscilacioacuten
b) La velocidad maacutexima alcanzada por el cuerpo
c) La aceleracioacuten maacutexima
d) La aceleracioacuten y la velocidad del cuerpo cuando se encuentra a la mitad del camino
entre la posicioacuten de equilibrio y una de sus posiciones extremas
e) El tiempo necesario para alcanzar el citado punto partiendo de la posicioacuten de
equilibrio
( )
( )( )
( ) ( ) ( )
1
2
2
2
max max
2
1
05 981327
015
2
2 2 155
155
)
sin cos
081
F kx
m gk N m
x
a
mkT s
m k
T s
b
dx dvx A t v A t a Asen t
dt dt
kv A A v m s
m
πω πω
ω φ ω ω φ ω ω φ
ω
= minussdot= = =
= = = =
=
= + = = + = = minus +
= = =
5
( )
2 2max max
2
22
2
)
327
)
10 30ordm
2 2
cos 0866 0699 2 2
1635 2 2 2
)
1013
2 6 6 6
c
ka A A a m s
m
d
AAsen t sen t t
A Av A t A v m s
A A Aa a m s
e
msen t t t t s
k
ω
ω φ ω ω
ω ω ω
ω
π π πω ω ω
= = =
= = = rarr =
= = sdot =
= =
= rarr = rarr = = =
5- Si la Tierra fuese una esfera homogeacutenea y se hiciese un pequentildeo conducto recto de
polo a polo al dejar caer por eacutel un cuerpo eacuteste adquiririacutea un mas iquestPor queacute Calcule
el periodo de ese movimiento
Si se aplica la ley de Gauss para un punto en el interior de la
Tierra RltRT
2 3
3
44 4
43
3
T
T
Mg R G R
R
π π ππ
= minus
Simplificando queda
3
T
T
GMg RR
R= minus
Siendo g el campo gravitatorio a una distancia R del centro de la Tierra
Si se deja caer un cuerpo de masa m
6
2
2 2
2
2 3
3
T T
3
T T
es decir
Luego es un mas
GM R2con una = y 2
R GM
T
T
T
T
F ma
GM d RmR ma m
R dt
GMd RR
dt R
Tπω π
ω
=
minus = =
= minus rArr
= =
sum
3
GT
πρ
=
6-Un bloque cuacutebico de madera de arista a =5 cm y masa m= 100 g estaacute flotando en un
estanque Lo empujamos ligeramente hacia abajo y despueacutes lo soltamos iquestCuaacutel seraacute el
periodo de sus oscilaciones
2 30
Bloque flotando en equilibrio
Densidad agua
Volumen del cubo sumergido
F 0
a
cs
a cs c c
a cs c c
a c
V
V g V g
V V
y a a
ρ
ρ ρρ ρρ ρ
= minus ==
=
sum
7
( )20
20
Bloque oscilando
F 0a cs c c
a c cresul
aresul
V g V g
F a y y g V g
F a y g
ρ ρρ ρ
ρ
prime= minus ne
= + minus
=
sum
c cV gρminus 2
2
22 22
2 2
2
2 2
El signo se debe a que el sentido es contrario a y
con
1 1 1 5 980249
2 2 2 100
04
a
recup a
aa
a
a
a yg
F a yg
a gd y d ya yg m y
mdt dt
a gmas
m
a gHz
m
T s
ρρ
ρρ
ρω
ρωυ π π π
+
= minus
minus = rarr = minus
=
sdot sdot= = = =
=
7-Un reloj regulado por un peacutendulo simple de periodo 011 s se coloca en un ascensor
a) iquestCuaacutel es el periodo cuando el ascensor es acelerado hacia arriba con una aceleracioacuten
de moacutedulo 05 g
b) iquestCuaacutel es el periodo cuando el ascensor baja con una aceleracioacuten de moacutedulo 05 g
c) iquestCuaacutel es el periodo cuando el ascensor sube a una velocidad constante de 51 ms
d) Al empezar el diacutea el reloj de peacutendulo se encuentra dentro del ascensor en el piso
correspondiente al vestiacutebulo y se ajusta a la misma hora del reloj del vestiacutebulo El reloj
del peacutendulo y el del vestiacutebulo estaacuten calibrados de tal forma que marcan la misma hora si
permanecen inmoacuteviles Despueacutes de muchos viajes de subida y bajada del ascensor
durante el diacutea el reloj pendular vuelve a estar en el vestiacutebulo iquestMarcan lo mismo los
relojes
a)
( )
1
11
1
Ascensor hacia arriba2
3
2 2
2 23
2
2 2 2011
3 3 3
008981
T T
ga
gF mg ma F m g a m g mg
l lT T
g g
TT T
T
T s
π π
uarr =
minus = rarr = + = + =
= rarr =
= rarr = =
=
8
b)
( )
2
22
2
Ascensor baja2
1
2 2
2
2
2 2 011 2
01556
T T
ga
gmg F ma F m g a m g mg
lT
g
TT T
T
T s
π
darr =
minus = rarr = minus = minus =
=
= rarr = =
=
c) A velocidad constante la aceleracioacuten es nula y el periodo no variacutea
0 011a T s= rarr =
d)
T= 011 s
- Reloj cuando el ascensor sube T1 = 008981 s
- Reloj cuando el ascensor baja T2 = 01556 s
Al bajar T2gtT y no compensa cuando sube (T1ltT)
2
1
00456el reloj se retrasa en total 00456 - 002019 002541
002019
Al acabar el diacutea el reloj habraacute retrasado respecto al del vestiacutebulo
T T ss
T T s
minus = =minus =
8-Un aro delgado de 1 m de radio y densidad lineal uniforme oscila libremente en torno
a un eje perpendicular a su plano que pasa por un punto de su borde
a) iquestCuaacutel es el periodo para oscilaciones pequentildeas
b) Un pegote de cera cuya masa es igual al 12 por ciento de la masa del aro se coloca en
el punto de borde diametralmente opuesto al de suspensioacuten iquestcuaacutel es ahora el periodo de
las pequentildeas oscilaciones
9
a)
2
2
2
2
2 2
Plano de giro = plano del anillo
distancia del cm al centro de oscilacioacuten O
momento de inercia del aro respecto a O
1
2T=
sin
2
cm
R m
dM mgR mgR I
dt
d mgR mgR
I Idt
IT
mgR
R
I
I r dm R d
πω
θθ θ
θ θ ω
π
==
=
= minus minus =
= minus rarr =
=
= =
sum
int
≃
2 2
2 2
2
Por Steiner 2
2 22 2
2 12 283845
98
cm
m R dm mR
I I mR mR
mR RT
mgR g
T T s
π π
π
= =
= + =
= =
sdot= rarr =
int int
b)
( )( )2 2 2 2
2
2
012 112
012 2 2 048 248
012 2 124
012 112
248 22 2
124112
112
c
cm
IT
m gR
m m m m m m
I I m R mR mR mR
mR m RR y R
m m
mR RT T T
gmg R
π
π π
prime=primeprime prime
= + = + =prime
= + = + =prime+prime= = =prime+
= = rarr =prime prime
10
9- Una regla uniforme de longitud L=1 m estaacute suspendida de un extremo
a) Determine el periodo de oscilacioacuten Te para pequentildeos desplazamientos angulares
compare el resultado obtenido con el periodo de oscilacioacuten que se tendriacutea si toda la
masa se localizara
i) En el centro de masas (Tcm)
ii) En el extremo inferior (TL)
iii) iquestCuaacutel de los tres periodos es mayor iquestpor queacute
b) Determine el periodo de oscilacioacuten (TP) si estaacute suspendida de un punto P a una
distancia x del centro de masas
Calcule el periodo de oscilacioacuten para x=L6 (TL6) y para x=L2 (TL2)
Comente los resultados obtenidos
c) Determine el valor de x para que el periodo sea miacutenimo
a)
2
2
Peacutendulo fiacutesico
con d=distancia del cm al punto de suspensioacuten
Colgada del extremo e
1
2
2 1232 223
1 23
1638
ee
e
e
e
L m
IT
mgd
IT
L mLmg LT
gLmg
I mL
T s
π
π
π π
=
=
=
= =
=
=
ai)
2
2
2
m localizada en el cm 2
periodo del peacutendulo simple de longitud L2
2
1
2 4
1
4 22 2 1419
2
cmcm
cm
cm cm
cm
IT
Lmg
LI m mL
LmLT T s
gLmg
T
π
π π
rarr =
= =
= = rarr =
=
11
aii)
2
2
m localizada en el extremo L
periodo del peacutendulo simple de longitud L
2
2 2 2007
LL
L
cmL
L
IT
mgL
I mL
mL LT T s
mgL g
T
π
π π
rarr =
=
= = rarr =
=
aiii)
debido a que Icm e L cm e LT T T I Ilt lt lt lt
b)
22
2 2 2
2 2
6 6
2 2
2 2
6 2
2122
1
12
6 6
12 36 412 362 2 26 6
6
2 2
12 4 412 42 2 22 6
2
1639
PP
P
cmP
L L
L L
L L
I LT xmgx T
gxI I mx mL mx
L L LL L
x T TL g gg
L L LL L
x T TL g gg
T T s
ππ
π π π
π π π
= +=
= + = +
++= rarr = = rarr =
++= rarr = = rarr =
= =
c)
1 22 2 2
2
2 2
22 2
22
0
2121 122 0
2
2 012
029912 12
PP miacutenimo
TT
x
LL xgx g xx
gx g x
Lx x
L Lx x m
π
minus
part= rarr =part
minus ++=
minus + =
= rarr = =
12
10-El peacutendulo de un reloj normalmente oscila describiendo un arco de longitud 135
mm El mecanismo funciona gracias a una pesa que cae hacia abajo Una vez que la
pesa ha llegado a la base del reloj a las 917 horas la longitud del arco disminuye hasta
95 mm a las 922 horas Teniendo en cuenta que el reloj se para si la longitud del arco es
inferior a 50 mm Determinar
a) La constante γ para este movimiento
b) La hora a la que se para el reloj
a)
5 1
arco normal
arco menor
En 917 tomamos y
Pasados 5 minutos
917 135
922 95
0 135
95 135 007028min
tA Ae
mm
mm
t A mm
e
γ
γ γ
minus
minus minus
=primerarrrarr
= =
= rarr =
b)
El reloj se para a los 50 mm
El reloj se para a las
50ln13550 135 141328min
917 141328min 931
te t
horas
γγ
minus= rarr = minus =
+ ≃
11-Una moneda permanece en reposo sobre una plataforma horizontal que realiza un
movimiento armoacutenico simple de amplitud A y frecuencia ν
a) Si la plataforma oscila verticalmente iquestcuaacutel es el valor maacuteximo de A que permite a la
moneda permanecer en contacto permanente con la plataforma
b) Supongamos ahora que la plataforma oscila horizontalmente y que micro es el coeficiente
de rozamiento estaacutetico entre la moneda y la plataforma iquestCuaacutel es el valor maacuteximo de A
que permite a la moneda permanecer en reposo respecto a la plataforma
13
a)
2
max
2max
maxmax 2 2
La aceleracioacuten maacutexima corresponderaacute a
En el oscilador armoacutenico luego
0
A4
P N ma
N a g
a A
a g
ω
ω π υ
minus == rarr =
=
= =
b)
max
max 2 2En el oscilador armoacutenico implicaraacute
4
r
r
F N mga g
F ma
gA
micro micro micro
microπ υ
= ==
=
=
12-Por la garganta de una polea cuya masa m = 800 g puede considerarse concentrada
en su periferia pasa un hilo inextensible y sin masa De uno de los extremos del hilo
cuelga una masa M = 200 g y el otro extremo del hilo estaacute atado a un resorte vertical de
constante elaacutestica K = 16middot105 dinas cm que a su vez estaacute fijo al suelo por su otro
extremo Calcule el periodo de las pequentildeas oscilaciones de M
(Paacutegina 223 del Tebar-Flores)
Debe ser un movimiento armoacutenico simple
Cuando el sistema estaacute en reposo la fuerza que actuacutea sobre el resorte es Mg y debe
cumplirse
0 (1)Mg kx=
Donde hemos llamado x0 al alargamiento del resorte en esta posicioacuten de equilibrio
14
Si desplazamos ligeramente la masa M y tiramos de ella hacia abajo
( )2 0 (2)T k x x= +
Y en la masa M
( )1 3Mg T Maminus =
Aplicando a la polea la ecuacioacuten fundamental de la dinaacutemica de la rotacioacuten
21 2
I
aT R T R I mR mRa
Rα
αminus = = =
Dividiendo todo por R queda
( )1 2 4T T maminus =
De las ecuaciones (1) (2) (3) y (4) se deduce
2a x
k ka x
m M m Mωω
=minus= minus rarr =
+ +
y el periodo
3M+m 10T=2 2
k 16 10
0157T s
π π=sdot
=
13-Un peacutendulo estaacute constituido por dos esferas pequentildeas e iguales de 1 kg de masa
unidas a los extremos de una varilla riacutegida de 1 m de longitud y masa despreciable
Determinar el periodo de las pequentildeas oscilaciones de este peacutendulo si se suspende
a) De un extremo
b) Del otro extremo
c) De un punto situado a un tercio de distancia entre uno y otro extremo
d) Del punto medio
a) y b)
2
2
lT
g
T s
π=
=
c)
15
( )
( )
1 2
2 2 2
1 2 1 2
1 2
2 5
3 3 9
52 2 26
3
26
z
d d d
d d mdI m m
I mgd sen mgd sen mg d d
I dT s
gmg d d
T s
α θ θ θ
π π
= +
= + =
= minus + minus minus
= = =minus
=
≃
d)
1 2 0d d Tminus = rarr = infin
Modo 2
2 2 22 5
2 3 3 3 9
52 2 26
3
d d d d mdL I m m
I dT s
mgL gπ π
= minus = + =
= = =
14-Cuando la plomada de un peacutendulo coacutenico describe una trayectoria circular el hilo
de longitud L barre un cono de semiaacutengulo θ a) Calcular el periodo del movimiento circular de la plomada en funcioacuten de L g y θ Si la circunferencia anterior estaacute en el plano xy con el centro en el origen
b) demuestre que cada coordenada x e y sigue un
mas y compare su periodo con el que tendriacutea el
mismo sistema oscilando en un plano vertical
16
N
2 2N
2 2
N
Sobre la masa A actuacutea su peso y la tensioacuten de la cuerda
Su resultante debe ser F es decir justamente la fuerza centriacutepeta
necesaria para describir el ciacuterculo
F
F
Fv R
R Lsen
m R m Lsen
mv Rm
R ω
θ
ω ω θω
=
=
= =
= =2
2
2 2N
22
F
coscos cos cos
m RR
m Lsen Lsentg
mg mg g
sen g g gtg
L LL
ω
ω θ ω θθ
θθ θ ω ωθ θ θω
=
= = =
= rarr = rarr = rarr =
2
1
2 cos
1 cos2
f
gf
L
Lf T
T g
ω π
π θθπ
=
=
= rarr =
b)
P coacutenico 2
2
2
4 tan costan 2c
g lR g T
T lsen g
π θ θω θ πθ
= = =
P Plano
2p
lT
gπ=
Relacioacuten 0
cos 1c
p
T
T θθ
rarr
= rarr
En coordenadas rectangulares (x y) horizontales
P coacutenico 2 2 2 x y R v R Cteω+ = = =
P planos
( )0 sinx y R tω φ= +
Composicioacuten
( ) ( ) ( )
2 2 2 2 2 2 2
2 2 22 2 2
sin cos
cos sin
x y R t R t R
v R t R t R v R
ω ω
ω ω ω ω ω ω
+ = + = = + = =
17
15-Determine las frecuencias de oscilacioacuten correspondientes a cada uno de los sistemas
representados en las figuras siguientes suponiendo que el bloque de masa m estaacute
situado sobre una superficie horizontal lisa y que las constantes elaacutesticas son k1 y k2
para cada uno de los dos resortes unidos al bloque
a)
( )
( )1 2
1 2
1 2
1 1 11 2
2 2 2
1 21 2
1 2
1 2
1 2 1 2
1 2
1 2
1 1 1
1
2a
k k
m k k
x x x
F k xF F F
F k x
F FFF kx x x x
k k k
k kk
k k k k k
k kk
m m k kω
υ π
+
= += minus
= == minus
= minus rarr = minus = + = minus minus
rarr = + rarr =+
= =+
rarr =
a b c
18
b)
( )
1 2
1 1 11 2
2 2 2
1 1 2 2 1 2
1 2
1 2 1 21
2b
x x x
F k xF F F
F k x
kx k x k x k k x
k k k
k k k kk
m m mω υ π
= == minus
= += minus
minus = minus minus = minus += +
+ += = rarr =
c)
( )
1 2
1 2
1 1 2 2 1 2 1 2
Lo que se estira el muelle 1 es igual
a lo que se comprime el muelle 2
c b
x x
F F F
kx k x k x k k x k k k
υ υ
=
= +minus = minus minus = minus + rarr = +
=
16-Un tubo en forma de U y de seccioacuten recta constante A estaacute abierto a la atmoacutesfera
Estaacute lleno hasta un nivel de un liacutequido incompresible que fluye a traveacutes del tubo con
rozamiento despreciable Demostrar que si se hace descender la superficie del liacutequido en
uno de los brazos de la U y luego se deja libre el periodo de las oscilaciones de la
columna liacutequida es T=2π(L2g)12
( )2
2
Fuerza recuperadora
2
2
rec
rec
F
F g y A
d yg yA m
dtm V AL
ρ
ρ
ρ ρ
ρ
=
= minus
minus =
= =
minus 2g y A ρ= A2
2
2
2Movimiento armoacutenico simple
con
2
2 22
2
d yL
dt
d y gy
Ldt
g LT T
L g
πω πω
= minus rarr
= rarr = rarr =
19
17-Un bloque de masa 25 kg estaacute conectado a un muelle de constante elaacutestica 1250
Nm el movimiento del bloque estaacute amortiguado con b=50 kgs Estaacute sometido a una
fuerza externa sinusoidal de frecuencia angular ω=25 rads y moacutedulo maacuteximo 12 N
Determinar
a) La amplitud y la constante de fase para el movimiento en estado estacionario
b) La amplitud del sistema cuando estaacute en resonancia de amplitud
25
25
1250
50
12
t
o
rad s
m kg
k N m
b kg s
F N
ω ====
=
( )
2 2
1
2
22 2 2 2
2 2
3
Resonancia
1250500
25
5010
2 2 2512
48 25
4
2
9313 10
2 10 257596 1326
500 625
962
96
o
o
o
o
o t t
e
o t
o
o
o
t ot
o
ks
m
bs
mF
m sm
F
mA
tg
A m
arctg rad
F
mA mm
A mm
ω
γ
ω ω γ ω
γωδω ω
δ δ
ω ω γω
minus
minus
minus
= = =
= = =sdot
= =
=minus +
=minus
= sdotsdot sdot= = minus rarr = minus
minus
= rarr = =
=
18-Un cuerpo de 2 kg descansa sobre un tablero horizontal y estaacute unido al extremo libre
de un muelle de constante elaacutestica k= 200 Nm En un instante dado sus oscilaciones
presentan una amplitud de 30 cm pero debido al rozamiento dicha amplitud se reduce a
la mitad cuando han transcurrido 25 segundos Determinar
a) El valor del paraacutemetro de amortiguamiento β y del tiempo de relajacioacuten τ
b) La frecuencia y el periodo de las oscilaciones no amortiguadas
c) Lo mismo para las oscilaciones amortiguadas
20
d) El tiempo que debe transcurrir para que se disipe la mitad de la energiacutea del oscilador
e) Lo mismo para que se disipe el 99 de la energiacutea del oscilador iquestCuaacutel seraacute entonces
la amplitud de las oscilaciones
( )2
0
0 cos
2
200
03
1
2
mt
m kg kF kx ma
mk N m
A m
x A e tβ
ω
ω δ
τ β
minus
= = minus = rarr ===
= minus
=
a)
( ) ( )2
252
0
1
En 25
2 ln 225 ln 2
2 25
1
225
2
011
1803
1803
m
m
t
tt
m
m
A A ee
At s A
kgs
ms
s
β
βδ
β β
β
τ βτ
minusminus
minus
+
=
==
= rarr =
rarr =
=
= =
=
b)
( ) ( )0
10 210
2 10
1591549
062831
rad s Hz T s
Hz
T s
πω ν πν
= rarr = =
==
c)
2 20 2
159
0628
Hz
T s
ωω ω β ν πν
= minus rarr =
==
d)
21
La energiacutea se disipa de acuerdo con la expresioacuten 0
t
E E e τminus
=
T1 es el tiempo necesario para que se disipe la mitad ( )1
01 0
2
TE
E T E e τminus
= =
1 ln 2 126T sτ= =
1 126 sT =
e)
( )2
2 0 0001
T
E T E E e τminus
= =
T2 es el tiempo necesario para que se disipe el 99
( )2 ln 001 838E T sτ= minus =
2 838 sT =
La amplitud viene dada por
( )( )
2 20 0
2
0
Bt t
m
t
A t A e A e
A te
A
τ
τ
minus minus
minus
= =
=
Al transcurrir T2 tendremos
( ) ( )2 001 1ln
2 2 2 2
0
001 01
TA Te e
Aτ
minus= = = =
Ha decaiacutedo al 90 de la amplitud inicial
19-Los aacutetomos de un soacutelido ejecutan oscilaciones armoacutenicas independientes alrededor
de posiciones fijas de equilibrio dispuestas seguacuten una red cuacutebica de lado a = 11middot10-11m
Estos aacutetomos tienen una masa de 10-22 g y vibran con frecuencia de 10
13 Hz Seguacuten la
mecaacutenica estadiacutestica la energiacutea total de cada oscilador es κT donde κ =RN0 es la
constante de Boltzman
a) Calcular la constante de recuperacioacuten
b) iquestCuaacutel es la amplitud de las oscilaciones a temperatura ambiente (17ordmC)
c) Imaginando que el soacutelido fundiese cuando la amplitud de las oscilaciones alcanzase
un valor de a10 iquesta queacute temperatura fundiriacutea el soacutelido
Datos R = 831 JKmol N0 = 60231023 moleacuteculasmol
22
13
22
0
10 2
10
f Hz E T f
Rm g
N
κ ω π
κminus
= = =
= =
a)
( )22 22 3 13 25 26 2
2
10 10 2 10 10 4 10
40
k m kg Hz kg s
k N m
ω π π
π
minus minus minus= = sdot sdot sdot = sdot
=
b)
( )232
2
12
8312 273 17
1 2 2 6023 102 40
1672 10
E TE kA A
k k
A m
κπ
minus
+sdot= rarr = = =
= sdot
c)
( )
2
2
2 11 2322 20
0
1 1
10 2 2 10
40 51 10 6023 10
2 100 200 200 831200
37209 9909ordm
fuioacuten
fuioacuten
fuioacuten
a aA E kA k T
ka Nka kaT
R RN
T K C
κ
πκ
minus
= = = =
sdot sdot= = = =
sdot
= =
20- Consideramos un pequentildeo objeto de masa m que tan soacutelo puede moverse a lo
largo de una recta unido a un extremo de un muelle de constante elaacutestica k y de
longitud l0 El otro extremo del muelle estaacute unido a un punto fijo A situado a una
distancia l=l0 de la recta sobre la que se mueve el pequentildeo objeto como se muestra en
la figura Calcular la frecuencia de las pequentildeas oscilaciones del sistema
23
( )( )
0
0
20
0 2
0
0 0 0 0 0
0
cos
1
1
x
x
k l
l l
xF F F
Llx d x
L l l F k L l k x mL L dt
F k L l
l l l l l lk k
L l l l m l m l
l lk
m l
θ
ω
ω
asymp
gt
= =
= + ∆ = minus minus = minus minus == minus minus
minus= rarr = minus =+ ∆
minus=
3
3
22
0
50 98 10245
2 10
mgk kg s
x
minus
minussdot sdot= = =
∆ sdot
a)
( )
( )
2con
ya que en 0 pasa por la posicioacuten de equilibrio
Amplitud o elongacioacuten maacutexima =
2214
0
A= 5 cm
x=5sen t+0
5
t
k kx Asen t rad s
m m
x sen t
ω φ ω ω
φ
ωω
=
= + = = =
=
=
b)
( )
( ) ( )2 2 2max
2max
maxelongacioacuten correspondiente a
cos
0
1 15 5
2 2 2 2
25
a ( )= 25
2 2
dxv A t
dt
dva Asen t Asen t a a
dta A
a sen t x sen t
x cm
Ax cm
ω ω φ
ω ω φ ω ω ω
ω ω ω
= = +
= = minus + = minus + rarr = minus
= = minus rarr = rarr = =
=
plusmn = plusmn
4
c)
22 2 22
22 2
1 1 1
2 2 2 2
1 1 30023
2 2 4 8
0023
A A A
AA A
AW Fdx kxdx kx k kA
AkA k kA J
W J
minus minus minus
minusminus minus
asymp
= = minus =minus = minus minus + =
= minus =
=
int int
4-Con un muelle colgado de uno de sus extremos se observa lo siguiente
(1) Al colgar de su extremo libre un cuerpo de 500 g su longitud inicial aumenta 15 cm
(2) Al colgar de dicho extremo un peso de 2 kg y separarlo 20 cm de su posicioacuten de
equilibrio el sistema efectuacutea un mas
Calcular para la situacioacuten (2)
a) El periodo de oscilacioacuten
b) La velocidad maacutexima alcanzada por el cuerpo
c) La aceleracioacuten maacutexima
d) La aceleracioacuten y la velocidad del cuerpo cuando se encuentra a la mitad del camino
entre la posicioacuten de equilibrio y una de sus posiciones extremas
e) El tiempo necesario para alcanzar el citado punto partiendo de la posicioacuten de
equilibrio
( )
( )( )
( ) ( ) ( )
1
2
2
2
max max
2
1
05 981327
015
2
2 2 155
155
)
sin cos
081
F kx
m gk N m
x
a
mkT s
m k
T s
b
dx dvx A t v A t a Asen t
dt dt
kv A A v m s
m
πω πω
ω φ ω ω φ ω ω φ
ω
= minussdot= = =
= = = =
=
= + = = + = = minus +
= = =
5
( )
2 2max max
2
22
2
)
327
)
10 30ordm
2 2
cos 0866 0699 2 2
1635 2 2 2
)
1013
2 6 6 6
c
ka A A a m s
m
d
AAsen t sen t t
A Av A t A v m s
A A Aa a m s
e
msen t t t t s
k
ω
ω φ ω ω
ω ω ω
ω
π π πω ω ω
= = =
= = = rarr =
= = sdot =
= =
= rarr = rarr = = =
5- Si la Tierra fuese una esfera homogeacutenea y se hiciese un pequentildeo conducto recto de
polo a polo al dejar caer por eacutel un cuerpo eacuteste adquiririacutea un mas iquestPor queacute Calcule
el periodo de ese movimiento
Si se aplica la ley de Gauss para un punto en el interior de la
Tierra RltRT
2 3
3
44 4
43
3
T
T
Mg R G R
R
π π ππ
= minus
Simplificando queda
3
T
T
GMg RR
R= minus
Siendo g el campo gravitatorio a una distancia R del centro de la Tierra
Si se deja caer un cuerpo de masa m
6
2
2 2
2
2 3
3
T T
3
T T
es decir
Luego es un mas
GM R2con una = y 2
R GM
T
T
T
T
F ma
GM d RmR ma m
R dt
GMd RR
dt R
Tπω π
ω
=
minus = =
= minus rArr
= =
sum
3
GT
πρ
=
6-Un bloque cuacutebico de madera de arista a =5 cm y masa m= 100 g estaacute flotando en un
estanque Lo empujamos ligeramente hacia abajo y despueacutes lo soltamos iquestCuaacutel seraacute el
periodo de sus oscilaciones
2 30
Bloque flotando en equilibrio
Densidad agua
Volumen del cubo sumergido
F 0
a
cs
a cs c c
a cs c c
a c
V
V g V g
V V
y a a
ρ
ρ ρρ ρρ ρ
= minus ==
=
sum
7
( )20
20
Bloque oscilando
F 0a cs c c
a c cresul
aresul
V g V g
F a y y g V g
F a y g
ρ ρρ ρ
ρ
prime= minus ne
= + minus
=
sum
c cV gρminus 2
2
22 22
2 2
2
2 2
El signo se debe a que el sentido es contrario a y
con
1 1 1 5 980249
2 2 2 100
04
a
recup a
aa
a
a
a yg
F a yg
a gd y d ya yg m y
mdt dt
a gmas
m
a gHz
m
T s
ρρ
ρρ
ρω
ρωυ π π π
+
= minus
minus = rarr = minus
=
sdot sdot= = = =
=
7-Un reloj regulado por un peacutendulo simple de periodo 011 s se coloca en un ascensor
a) iquestCuaacutel es el periodo cuando el ascensor es acelerado hacia arriba con una aceleracioacuten
de moacutedulo 05 g
b) iquestCuaacutel es el periodo cuando el ascensor baja con una aceleracioacuten de moacutedulo 05 g
c) iquestCuaacutel es el periodo cuando el ascensor sube a una velocidad constante de 51 ms
d) Al empezar el diacutea el reloj de peacutendulo se encuentra dentro del ascensor en el piso
correspondiente al vestiacutebulo y se ajusta a la misma hora del reloj del vestiacutebulo El reloj
del peacutendulo y el del vestiacutebulo estaacuten calibrados de tal forma que marcan la misma hora si
permanecen inmoacuteviles Despueacutes de muchos viajes de subida y bajada del ascensor
durante el diacutea el reloj pendular vuelve a estar en el vestiacutebulo iquestMarcan lo mismo los
relojes
a)
( )
1
11
1
Ascensor hacia arriba2
3
2 2
2 23
2
2 2 2011
3 3 3
008981
T T
ga
gF mg ma F m g a m g mg
l lT T
g g
TT T
T
T s
π π
uarr =
minus = rarr = + = + =
= rarr =
= rarr = =
=
8
b)
( )
2
22
2
Ascensor baja2
1
2 2
2
2
2 2 011 2
01556
T T
ga
gmg F ma F m g a m g mg
lT
g
TT T
T
T s
π
darr =
minus = rarr = minus = minus =
=
= rarr = =
=
c) A velocidad constante la aceleracioacuten es nula y el periodo no variacutea
0 011a T s= rarr =
d)
T= 011 s
- Reloj cuando el ascensor sube T1 = 008981 s
- Reloj cuando el ascensor baja T2 = 01556 s
Al bajar T2gtT y no compensa cuando sube (T1ltT)
2
1
00456el reloj se retrasa en total 00456 - 002019 002541
002019
Al acabar el diacutea el reloj habraacute retrasado respecto al del vestiacutebulo
T T ss
T T s
minus = =minus =
8-Un aro delgado de 1 m de radio y densidad lineal uniforme oscila libremente en torno
a un eje perpendicular a su plano que pasa por un punto de su borde
a) iquestCuaacutel es el periodo para oscilaciones pequentildeas
b) Un pegote de cera cuya masa es igual al 12 por ciento de la masa del aro se coloca en
el punto de borde diametralmente opuesto al de suspensioacuten iquestcuaacutel es ahora el periodo de
las pequentildeas oscilaciones
9
a)
2
2
2
2
2 2
Plano de giro = plano del anillo
distancia del cm al centro de oscilacioacuten O
momento de inercia del aro respecto a O
1
2T=
sin
2
cm
R m
dM mgR mgR I
dt
d mgR mgR
I Idt
IT
mgR
R
I
I r dm R d
πω
θθ θ
θ θ ω
π
==
=
= minus minus =
= minus rarr =
=
= =
sum
int
≃
2 2
2 2
2
Por Steiner 2
2 22 2
2 12 283845
98
cm
m R dm mR
I I mR mR
mR RT
mgR g
T T s
π π
π
= =
= + =
= =
sdot= rarr =
int int
b)
( )( )2 2 2 2
2
2
012 112
012 2 2 048 248
012 2 124
012 112
248 22 2
124112
112
c
cm
IT
m gR
m m m m m m
I I m R mR mR mR
mR m RR y R
m m
mR RT T T
gmg R
π
π π
prime=primeprime prime
= + = + =prime
= + = + =prime+prime= = =prime+
= = rarr =prime prime
10
9- Una regla uniforme de longitud L=1 m estaacute suspendida de un extremo
a) Determine el periodo de oscilacioacuten Te para pequentildeos desplazamientos angulares
compare el resultado obtenido con el periodo de oscilacioacuten que se tendriacutea si toda la
masa se localizara
i) En el centro de masas (Tcm)
ii) En el extremo inferior (TL)
iii) iquestCuaacutel de los tres periodos es mayor iquestpor queacute
b) Determine el periodo de oscilacioacuten (TP) si estaacute suspendida de un punto P a una
distancia x del centro de masas
Calcule el periodo de oscilacioacuten para x=L6 (TL6) y para x=L2 (TL2)
Comente los resultados obtenidos
c) Determine el valor de x para que el periodo sea miacutenimo
a)
2
2
Peacutendulo fiacutesico
con d=distancia del cm al punto de suspensioacuten
Colgada del extremo e
1
2
2 1232 223
1 23
1638
ee
e
e
e
L m
IT
mgd
IT
L mLmg LT
gLmg
I mL
T s
π
π
π π
=
=
=
= =
=
=
ai)
2
2
2
m localizada en el cm 2
periodo del peacutendulo simple de longitud L2
2
1
2 4
1
4 22 2 1419
2
cmcm
cm
cm cm
cm
IT
Lmg
LI m mL
LmLT T s
gLmg
T
π
π π
rarr =
= =
= = rarr =
=
11
aii)
2
2
m localizada en el extremo L
periodo del peacutendulo simple de longitud L
2
2 2 2007
LL
L
cmL
L
IT
mgL
I mL
mL LT T s
mgL g
T
π
π π
rarr =
=
= = rarr =
=
aiii)
debido a que Icm e L cm e LT T T I Ilt lt lt lt
b)
22
2 2 2
2 2
6 6
2 2
2 2
6 2
2122
1
12
6 6
12 36 412 362 2 26 6
6
2 2
12 4 412 42 2 22 6
2
1639
PP
P
cmP
L L
L L
L L
I LT xmgx T
gxI I mx mL mx
L L LL L
x T TL g gg
L L LL L
x T TL g gg
T T s
ππ
π π π
π π π
= +=
= + = +
++= rarr = = rarr =
++= rarr = = rarr =
= =
c)
1 22 2 2
2
2 2
22 2
22
0
2121 122 0
2
2 012
029912 12
PP miacutenimo
TT
x
LL xgx g xx
gx g x
Lx x
L Lx x m
π
minus
part= rarr =part
minus ++=
minus + =
= rarr = =
12
10-El peacutendulo de un reloj normalmente oscila describiendo un arco de longitud 135
mm El mecanismo funciona gracias a una pesa que cae hacia abajo Una vez que la
pesa ha llegado a la base del reloj a las 917 horas la longitud del arco disminuye hasta
95 mm a las 922 horas Teniendo en cuenta que el reloj se para si la longitud del arco es
inferior a 50 mm Determinar
a) La constante γ para este movimiento
b) La hora a la que se para el reloj
a)
5 1
arco normal
arco menor
En 917 tomamos y
Pasados 5 minutos
917 135
922 95
0 135
95 135 007028min
tA Ae
mm
mm
t A mm
e
γ
γ γ
minus
minus minus
=primerarrrarr
= =
= rarr =
b)
El reloj se para a los 50 mm
El reloj se para a las
50ln13550 135 141328min
917 141328min 931
te t
horas
γγ
minus= rarr = minus =
+ ≃
11-Una moneda permanece en reposo sobre una plataforma horizontal que realiza un
movimiento armoacutenico simple de amplitud A y frecuencia ν
a) Si la plataforma oscila verticalmente iquestcuaacutel es el valor maacuteximo de A que permite a la
moneda permanecer en contacto permanente con la plataforma
b) Supongamos ahora que la plataforma oscila horizontalmente y que micro es el coeficiente
de rozamiento estaacutetico entre la moneda y la plataforma iquestCuaacutel es el valor maacuteximo de A
que permite a la moneda permanecer en reposo respecto a la plataforma
13
a)
2
max
2max
maxmax 2 2
La aceleracioacuten maacutexima corresponderaacute a
En el oscilador armoacutenico luego
0
A4
P N ma
N a g
a A
a g
ω
ω π υ
minus == rarr =
=
= =
b)
max
max 2 2En el oscilador armoacutenico implicaraacute
4
r
r
F N mga g
F ma
gA
micro micro micro
microπ υ
= ==
=
=
12-Por la garganta de una polea cuya masa m = 800 g puede considerarse concentrada
en su periferia pasa un hilo inextensible y sin masa De uno de los extremos del hilo
cuelga una masa M = 200 g y el otro extremo del hilo estaacute atado a un resorte vertical de
constante elaacutestica K = 16middot105 dinas cm que a su vez estaacute fijo al suelo por su otro
extremo Calcule el periodo de las pequentildeas oscilaciones de M
(Paacutegina 223 del Tebar-Flores)
Debe ser un movimiento armoacutenico simple
Cuando el sistema estaacute en reposo la fuerza que actuacutea sobre el resorte es Mg y debe
cumplirse
0 (1)Mg kx=
Donde hemos llamado x0 al alargamiento del resorte en esta posicioacuten de equilibrio
14
Si desplazamos ligeramente la masa M y tiramos de ella hacia abajo
( )2 0 (2)T k x x= +
Y en la masa M
( )1 3Mg T Maminus =
Aplicando a la polea la ecuacioacuten fundamental de la dinaacutemica de la rotacioacuten
21 2
I
aT R T R I mR mRa
Rα
αminus = = =
Dividiendo todo por R queda
( )1 2 4T T maminus =
De las ecuaciones (1) (2) (3) y (4) se deduce
2a x
k ka x
m M m Mωω
=minus= minus rarr =
+ +
y el periodo
3M+m 10T=2 2
k 16 10
0157T s
π π=sdot
=
13-Un peacutendulo estaacute constituido por dos esferas pequentildeas e iguales de 1 kg de masa
unidas a los extremos de una varilla riacutegida de 1 m de longitud y masa despreciable
Determinar el periodo de las pequentildeas oscilaciones de este peacutendulo si se suspende
a) De un extremo
b) Del otro extremo
c) De un punto situado a un tercio de distancia entre uno y otro extremo
d) Del punto medio
a) y b)
2
2
lT
g
T s
π=
=
c)
15
( )
( )
1 2
2 2 2
1 2 1 2
1 2
2 5
3 3 9
52 2 26
3
26
z
d d d
d d mdI m m
I mgd sen mgd sen mg d d
I dT s
gmg d d
T s
α θ θ θ
π π
= +
= + =
= minus + minus minus
= = =minus
=
≃
d)
1 2 0d d Tminus = rarr = infin
Modo 2
2 2 22 5
2 3 3 3 9
52 2 26
3
d d d d mdL I m m
I dT s
mgL gπ π
= minus = + =
= = =
14-Cuando la plomada de un peacutendulo coacutenico describe una trayectoria circular el hilo
de longitud L barre un cono de semiaacutengulo θ a) Calcular el periodo del movimiento circular de la plomada en funcioacuten de L g y θ Si la circunferencia anterior estaacute en el plano xy con el centro en el origen
b) demuestre que cada coordenada x e y sigue un
mas y compare su periodo con el que tendriacutea el
mismo sistema oscilando en un plano vertical
16
N
2 2N
2 2
N
Sobre la masa A actuacutea su peso y la tensioacuten de la cuerda
Su resultante debe ser F es decir justamente la fuerza centriacutepeta
necesaria para describir el ciacuterculo
F
F
Fv R
R Lsen
m R m Lsen
mv Rm
R ω
θ
ω ω θω
=
=
= =
= =2
2
2 2N
22
F
coscos cos cos
m RR
m Lsen Lsentg
mg mg g
sen g g gtg
L LL
ω
ω θ ω θθ
θθ θ ω ωθ θ θω
=
= = =
= rarr = rarr = rarr =
2
1
2 cos
1 cos2
f
gf
L
Lf T
T g
ω π
π θθπ
=
=
= rarr =
b)
P coacutenico 2
2
2
4 tan costan 2c
g lR g T
T lsen g
π θ θω θ πθ
= = =
P Plano
2p
lT
gπ=
Relacioacuten 0
cos 1c
p
T
T θθ
rarr
= rarr
En coordenadas rectangulares (x y) horizontales
P coacutenico 2 2 2 x y R v R Cteω+ = = =
P planos
( )0 sinx y R tω φ= +
Composicioacuten
( ) ( ) ( )
2 2 2 2 2 2 2
2 2 22 2 2
sin cos
cos sin
x y R t R t R
v R t R t R v R
ω ω
ω ω ω ω ω ω
+ = + = = + = =
17
15-Determine las frecuencias de oscilacioacuten correspondientes a cada uno de los sistemas
representados en las figuras siguientes suponiendo que el bloque de masa m estaacute
situado sobre una superficie horizontal lisa y que las constantes elaacutesticas son k1 y k2
para cada uno de los dos resortes unidos al bloque
a)
( )
( )1 2
1 2
1 2
1 1 11 2
2 2 2
1 21 2
1 2
1 2
1 2 1 2
1 2
1 2
1 1 1
1
2a
k k
m k k
x x x
F k xF F F
F k x
F FFF kx x x x
k k k
k kk
k k k k k
k kk
m m k kω
υ π
+
= += minus
= == minus
= minus rarr = minus = + = minus minus
rarr = + rarr =+
= =+
rarr =
a b c
18
b)
( )
1 2
1 1 11 2
2 2 2
1 1 2 2 1 2
1 2
1 2 1 21
2b
x x x
F k xF F F
F k x
kx k x k x k k x
k k k
k k k kk
m m mω υ π
= == minus
= += minus
minus = minus minus = minus += +
+ += = rarr =
c)
( )
1 2
1 2
1 1 2 2 1 2 1 2
Lo que se estira el muelle 1 es igual
a lo que se comprime el muelle 2
c b
x x
F F F
kx k x k x k k x k k k
υ υ
=
= +minus = minus minus = minus + rarr = +
=
16-Un tubo en forma de U y de seccioacuten recta constante A estaacute abierto a la atmoacutesfera
Estaacute lleno hasta un nivel de un liacutequido incompresible que fluye a traveacutes del tubo con
rozamiento despreciable Demostrar que si se hace descender la superficie del liacutequido en
uno de los brazos de la U y luego se deja libre el periodo de las oscilaciones de la
columna liacutequida es T=2π(L2g)12
( )2
2
Fuerza recuperadora
2
2
rec
rec
F
F g y A
d yg yA m
dtm V AL
ρ
ρ
ρ ρ
ρ
=
= minus
minus =
= =
minus 2g y A ρ= A2
2
2
2Movimiento armoacutenico simple
con
2
2 22
2
d yL
dt
d y gy
Ldt
g LT T
L g
πω πω
= minus rarr
= rarr = rarr =
19
17-Un bloque de masa 25 kg estaacute conectado a un muelle de constante elaacutestica 1250
Nm el movimiento del bloque estaacute amortiguado con b=50 kgs Estaacute sometido a una
fuerza externa sinusoidal de frecuencia angular ω=25 rads y moacutedulo maacuteximo 12 N
Determinar
a) La amplitud y la constante de fase para el movimiento en estado estacionario
b) La amplitud del sistema cuando estaacute en resonancia de amplitud
25
25
1250
50
12
t
o
rad s
m kg
k N m
b kg s
F N
ω ====
=
( )
2 2
1
2
22 2 2 2
2 2
3
Resonancia
1250500
25
5010
2 2 2512
48 25
4
2
9313 10
2 10 257596 1326
500 625
962
96
o
o
o
o
o t t
e
o t
o
o
o
t ot
o
ks
m
bs
mF
m sm
F
mA
tg
A m
arctg rad
F
mA mm
A mm
ω
γ
ω ω γ ω
γωδω ω
δ δ
ω ω γω
minus
minus
minus
= = =
= = =sdot
= =
=minus +
=minus
= sdotsdot sdot= = minus rarr = minus
minus
= rarr = =
=
18-Un cuerpo de 2 kg descansa sobre un tablero horizontal y estaacute unido al extremo libre
de un muelle de constante elaacutestica k= 200 Nm En un instante dado sus oscilaciones
presentan una amplitud de 30 cm pero debido al rozamiento dicha amplitud se reduce a
la mitad cuando han transcurrido 25 segundos Determinar
a) El valor del paraacutemetro de amortiguamiento β y del tiempo de relajacioacuten τ
b) La frecuencia y el periodo de las oscilaciones no amortiguadas
c) Lo mismo para las oscilaciones amortiguadas
20
d) El tiempo que debe transcurrir para que se disipe la mitad de la energiacutea del oscilador
e) Lo mismo para que se disipe el 99 de la energiacutea del oscilador iquestCuaacutel seraacute entonces
la amplitud de las oscilaciones
( )2
0
0 cos
2
200
03
1
2
mt
m kg kF kx ma
mk N m
A m
x A e tβ
ω
ω δ
τ β
minus
= = minus = rarr ===
= minus
=
a)
( ) ( )2
252
0
1
En 25
2 ln 225 ln 2
2 25
1
225
2
011
1803
1803
m
m
t
tt
m
m
A A ee
At s A
kgs
ms
s
β
βδ
β β
β
τ βτ
minusminus
minus
+
=
==
= rarr =
rarr =
=
= =
=
b)
( ) ( )0
10 210
2 10
1591549
062831
rad s Hz T s
Hz
T s
πω ν πν
= rarr = =
==
c)
2 20 2
159
0628
Hz
T s
ωω ω β ν πν
= minus rarr =
==
d)
21
La energiacutea se disipa de acuerdo con la expresioacuten 0
t
E E e τminus
=
T1 es el tiempo necesario para que se disipe la mitad ( )1
01 0
2
TE
E T E e τminus
= =
1 ln 2 126T sτ= =
1 126 sT =
e)
( )2
2 0 0001
T
E T E E e τminus
= =
T2 es el tiempo necesario para que se disipe el 99
( )2 ln 001 838E T sτ= minus =
2 838 sT =
La amplitud viene dada por
( )( )
2 20 0
2
0
Bt t
m
t
A t A e A e
A te
A
τ
τ
minus minus
minus
= =
=
Al transcurrir T2 tendremos
( ) ( )2 001 1ln
2 2 2 2
0
001 01
TA Te e
Aτ
minus= = = =
Ha decaiacutedo al 90 de la amplitud inicial
19-Los aacutetomos de un soacutelido ejecutan oscilaciones armoacutenicas independientes alrededor
de posiciones fijas de equilibrio dispuestas seguacuten una red cuacutebica de lado a = 11middot10-11m
Estos aacutetomos tienen una masa de 10-22 g y vibran con frecuencia de 10
13 Hz Seguacuten la
mecaacutenica estadiacutestica la energiacutea total de cada oscilador es κT donde κ =RN0 es la
constante de Boltzman
a) Calcular la constante de recuperacioacuten
b) iquestCuaacutel es la amplitud de las oscilaciones a temperatura ambiente (17ordmC)
c) Imaginando que el soacutelido fundiese cuando la amplitud de las oscilaciones alcanzase
un valor de a10 iquesta queacute temperatura fundiriacutea el soacutelido
Datos R = 831 JKmol N0 = 60231023 moleacuteculasmol
22
13
22
0
10 2
10
f Hz E T f
Rm g
N
κ ω π
κminus
= = =
= =
a)
( )22 22 3 13 25 26 2
2
10 10 2 10 10 4 10
40
k m kg Hz kg s
k N m
ω π π
π
minus minus minus= = sdot sdot sdot = sdot
=
b)
( )232
2
12
8312 273 17
1 2 2 6023 102 40
1672 10
E TE kA A
k k
A m
κπ
minus
+sdot= rarr = = =
= sdot
c)
( )
2
2
2 11 2322 20
0
1 1
10 2 2 10
40 51 10 6023 10
2 100 200 200 831200
37209 9909ordm
fuioacuten
fuioacuten
fuioacuten
a aA E kA k T
ka Nka kaT
R RN
T K C
κ
πκ
minus
= = = =
sdot sdot= = = =
sdot
= =
20- Consideramos un pequentildeo objeto de masa m que tan soacutelo puede moverse a lo
largo de una recta unido a un extremo de un muelle de constante elaacutestica k y de
longitud l0 El otro extremo del muelle estaacute unido a un punto fijo A situado a una
distancia l=l0 de la recta sobre la que se mueve el pequentildeo objeto como se muestra en
la figura Calcular la frecuencia de las pequentildeas oscilaciones del sistema
23
( )( )
0
0
20
0 2
0
0 0 0 0 0
0
cos
1
1
x
x
k l
l l
xF F F
Llx d x
L l l F k L l k x mL L dt
F k L l
l l l l l lk k
L l l l m l m l
l lk
m l
θ
ω
ω
asymp
gt
= =
= + ∆ = minus minus = minus minus == minus minus
minus= rarr = minus =+ ∆
minus=
4
c)
22 2 22
22 2
1 1 1
2 2 2 2
1 1 30023
2 2 4 8
0023
A A A
AA A
AW Fdx kxdx kx k kA
AkA k kA J
W J
minus minus minus
minusminus minus
asymp
= = minus =minus = minus minus + =
= minus =
=
int int
4-Con un muelle colgado de uno de sus extremos se observa lo siguiente
(1) Al colgar de su extremo libre un cuerpo de 500 g su longitud inicial aumenta 15 cm
(2) Al colgar de dicho extremo un peso de 2 kg y separarlo 20 cm de su posicioacuten de
equilibrio el sistema efectuacutea un mas
Calcular para la situacioacuten (2)
a) El periodo de oscilacioacuten
b) La velocidad maacutexima alcanzada por el cuerpo
c) La aceleracioacuten maacutexima
d) La aceleracioacuten y la velocidad del cuerpo cuando se encuentra a la mitad del camino
entre la posicioacuten de equilibrio y una de sus posiciones extremas
e) El tiempo necesario para alcanzar el citado punto partiendo de la posicioacuten de
equilibrio
( )
( )( )
( ) ( ) ( )
1
2
2
2
max max
2
1
05 981327
015
2
2 2 155
155
)
sin cos
081
F kx
m gk N m
x
a
mkT s
m k
T s
b
dx dvx A t v A t a Asen t
dt dt
kv A A v m s
m
πω πω
ω φ ω ω φ ω ω φ
ω
= minussdot= = =
= = = =
=
= + = = + = = minus +
= = =
5
( )
2 2max max
2
22
2
)
327
)
10 30ordm
2 2
cos 0866 0699 2 2
1635 2 2 2
)
1013
2 6 6 6
c
ka A A a m s
m
d
AAsen t sen t t
A Av A t A v m s
A A Aa a m s
e
msen t t t t s
k
ω
ω φ ω ω
ω ω ω
ω
π π πω ω ω
= = =
= = = rarr =
= = sdot =
= =
= rarr = rarr = = =
5- Si la Tierra fuese una esfera homogeacutenea y se hiciese un pequentildeo conducto recto de
polo a polo al dejar caer por eacutel un cuerpo eacuteste adquiririacutea un mas iquestPor queacute Calcule
el periodo de ese movimiento
Si se aplica la ley de Gauss para un punto en el interior de la
Tierra RltRT
2 3
3
44 4
43
3
T
T
Mg R G R
R
π π ππ
= minus
Simplificando queda
3
T
T
GMg RR
R= minus
Siendo g el campo gravitatorio a una distancia R del centro de la Tierra
Si se deja caer un cuerpo de masa m
6
2
2 2
2
2 3
3
T T
3
T T
es decir
Luego es un mas
GM R2con una = y 2
R GM
T
T
T
T
F ma
GM d RmR ma m
R dt
GMd RR
dt R
Tπω π
ω
=
minus = =
= minus rArr
= =
sum
3
GT
πρ
=
6-Un bloque cuacutebico de madera de arista a =5 cm y masa m= 100 g estaacute flotando en un
estanque Lo empujamos ligeramente hacia abajo y despueacutes lo soltamos iquestCuaacutel seraacute el
periodo de sus oscilaciones
2 30
Bloque flotando en equilibrio
Densidad agua
Volumen del cubo sumergido
F 0
a
cs
a cs c c
a cs c c
a c
V
V g V g
V V
y a a
ρ
ρ ρρ ρρ ρ
= minus ==
=
sum
7
( )20
20
Bloque oscilando
F 0a cs c c
a c cresul
aresul
V g V g
F a y y g V g
F a y g
ρ ρρ ρ
ρ
prime= minus ne
= + minus
=
sum
c cV gρminus 2
2
22 22
2 2
2
2 2
El signo se debe a que el sentido es contrario a y
con
1 1 1 5 980249
2 2 2 100
04
a
recup a
aa
a
a
a yg
F a yg
a gd y d ya yg m y
mdt dt
a gmas
m
a gHz
m
T s
ρρ
ρρ
ρω
ρωυ π π π
+
= minus
minus = rarr = minus
=
sdot sdot= = = =
=
7-Un reloj regulado por un peacutendulo simple de periodo 011 s se coloca en un ascensor
a) iquestCuaacutel es el periodo cuando el ascensor es acelerado hacia arriba con una aceleracioacuten
de moacutedulo 05 g
b) iquestCuaacutel es el periodo cuando el ascensor baja con una aceleracioacuten de moacutedulo 05 g
c) iquestCuaacutel es el periodo cuando el ascensor sube a una velocidad constante de 51 ms
d) Al empezar el diacutea el reloj de peacutendulo se encuentra dentro del ascensor en el piso
correspondiente al vestiacutebulo y se ajusta a la misma hora del reloj del vestiacutebulo El reloj
del peacutendulo y el del vestiacutebulo estaacuten calibrados de tal forma que marcan la misma hora si
permanecen inmoacuteviles Despueacutes de muchos viajes de subida y bajada del ascensor
durante el diacutea el reloj pendular vuelve a estar en el vestiacutebulo iquestMarcan lo mismo los
relojes
a)
( )
1
11
1
Ascensor hacia arriba2
3
2 2
2 23
2
2 2 2011
3 3 3
008981
T T
ga
gF mg ma F m g a m g mg
l lT T
g g
TT T
T
T s
π π
uarr =
minus = rarr = + = + =
= rarr =
= rarr = =
=
8
b)
( )
2
22
2
Ascensor baja2
1
2 2
2
2
2 2 011 2
01556
T T
ga
gmg F ma F m g a m g mg
lT
g
TT T
T
T s
π
darr =
minus = rarr = minus = minus =
=
= rarr = =
=
c) A velocidad constante la aceleracioacuten es nula y el periodo no variacutea
0 011a T s= rarr =
d)
T= 011 s
- Reloj cuando el ascensor sube T1 = 008981 s
- Reloj cuando el ascensor baja T2 = 01556 s
Al bajar T2gtT y no compensa cuando sube (T1ltT)
2
1
00456el reloj se retrasa en total 00456 - 002019 002541
002019
Al acabar el diacutea el reloj habraacute retrasado respecto al del vestiacutebulo
T T ss
T T s
minus = =minus =
8-Un aro delgado de 1 m de radio y densidad lineal uniforme oscila libremente en torno
a un eje perpendicular a su plano que pasa por un punto de su borde
a) iquestCuaacutel es el periodo para oscilaciones pequentildeas
b) Un pegote de cera cuya masa es igual al 12 por ciento de la masa del aro se coloca en
el punto de borde diametralmente opuesto al de suspensioacuten iquestcuaacutel es ahora el periodo de
las pequentildeas oscilaciones
9
a)
2
2
2
2
2 2
Plano de giro = plano del anillo
distancia del cm al centro de oscilacioacuten O
momento de inercia del aro respecto a O
1
2T=
sin
2
cm
R m
dM mgR mgR I
dt
d mgR mgR
I Idt
IT
mgR
R
I
I r dm R d
πω
θθ θ
θ θ ω
π
==
=
= minus minus =
= minus rarr =
=
= =
sum
int
≃
2 2
2 2
2
Por Steiner 2
2 22 2
2 12 283845
98
cm
m R dm mR
I I mR mR
mR RT
mgR g
T T s
π π
π
= =
= + =
= =
sdot= rarr =
int int
b)
( )( )2 2 2 2
2
2
012 112
012 2 2 048 248
012 2 124
012 112
248 22 2
124112
112
c
cm
IT
m gR
m m m m m m
I I m R mR mR mR
mR m RR y R
m m
mR RT T T
gmg R
π
π π
prime=primeprime prime
= + = + =prime
= + = + =prime+prime= = =prime+
= = rarr =prime prime
10
9- Una regla uniforme de longitud L=1 m estaacute suspendida de un extremo
a) Determine el periodo de oscilacioacuten Te para pequentildeos desplazamientos angulares
compare el resultado obtenido con el periodo de oscilacioacuten que se tendriacutea si toda la
masa se localizara
i) En el centro de masas (Tcm)
ii) En el extremo inferior (TL)
iii) iquestCuaacutel de los tres periodos es mayor iquestpor queacute
b) Determine el periodo de oscilacioacuten (TP) si estaacute suspendida de un punto P a una
distancia x del centro de masas
Calcule el periodo de oscilacioacuten para x=L6 (TL6) y para x=L2 (TL2)
Comente los resultados obtenidos
c) Determine el valor de x para que el periodo sea miacutenimo
a)
2
2
Peacutendulo fiacutesico
con d=distancia del cm al punto de suspensioacuten
Colgada del extremo e
1
2
2 1232 223
1 23
1638
ee
e
e
e
L m
IT
mgd
IT
L mLmg LT
gLmg
I mL
T s
π
π
π π
=
=
=
= =
=
=
ai)
2
2
2
m localizada en el cm 2
periodo del peacutendulo simple de longitud L2
2
1
2 4
1
4 22 2 1419
2
cmcm
cm
cm cm
cm
IT
Lmg
LI m mL
LmLT T s
gLmg
T
π
π π
rarr =
= =
= = rarr =
=
11
aii)
2
2
m localizada en el extremo L
periodo del peacutendulo simple de longitud L
2
2 2 2007
LL
L
cmL
L
IT
mgL
I mL
mL LT T s
mgL g
T
π
π π
rarr =
=
= = rarr =
=
aiii)
debido a que Icm e L cm e LT T T I Ilt lt lt lt
b)
22
2 2 2
2 2
6 6
2 2
2 2
6 2
2122
1
12
6 6
12 36 412 362 2 26 6
6
2 2
12 4 412 42 2 22 6
2
1639
PP
P
cmP
L L
L L
L L
I LT xmgx T
gxI I mx mL mx
L L LL L
x T TL g gg
L L LL L
x T TL g gg
T T s
ππ
π π π
π π π
= +=
= + = +
++= rarr = = rarr =
++= rarr = = rarr =
= =
c)
1 22 2 2
2
2 2
22 2
22
0
2121 122 0
2
2 012
029912 12
PP miacutenimo
TT
x
LL xgx g xx
gx g x
Lx x
L Lx x m
π
minus
part= rarr =part
minus ++=
minus + =
= rarr = =
12
10-El peacutendulo de un reloj normalmente oscila describiendo un arco de longitud 135
mm El mecanismo funciona gracias a una pesa que cae hacia abajo Una vez que la
pesa ha llegado a la base del reloj a las 917 horas la longitud del arco disminuye hasta
95 mm a las 922 horas Teniendo en cuenta que el reloj se para si la longitud del arco es
inferior a 50 mm Determinar
a) La constante γ para este movimiento
b) La hora a la que se para el reloj
a)
5 1
arco normal
arco menor
En 917 tomamos y
Pasados 5 minutos
917 135
922 95
0 135
95 135 007028min
tA Ae
mm
mm
t A mm
e
γ
γ γ
minus
minus minus
=primerarrrarr
= =
= rarr =
b)
El reloj se para a los 50 mm
El reloj se para a las
50ln13550 135 141328min
917 141328min 931
te t
horas
γγ
minus= rarr = minus =
+ ≃
11-Una moneda permanece en reposo sobre una plataforma horizontal que realiza un
movimiento armoacutenico simple de amplitud A y frecuencia ν
a) Si la plataforma oscila verticalmente iquestcuaacutel es el valor maacuteximo de A que permite a la
moneda permanecer en contacto permanente con la plataforma
b) Supongamos ahora que la plataforma oscila horizontalmente y que micro es el coeficiente
de rozamiento estaacutetico entre la moneda y la plataforma iquestCuaacutel es el valor maacuteximo de A
que permite a la moneda permanecer en reposo respecto a la plataforma
13
a)
2
max
2max
maxmax 2 2
La aceleracioacuten maacutexima corresponderaacute a
En el oscilador armoacutenico luego
0
A4
P N ma
N a g
a A
a g
ω
ω π υ
minus == rarr =
=
= =
b)
max
max 2 2En el oscilador armoacutenico implicaraacute
4
r
r
F N mga g
F ma
gA
micro micro micro
microπ υ
= ==
=
=
12-Por la garganta de una polea cuya masa m = 800 g puede considerarse concentrada
en su periferia pasa un hilo inextensible y sin masa De uno de los extremos del hilo
cuelga una masa M = 200 g y el otro extremo del hilo estaacute atado a un resorte vertical de
constante elaacutestica K = 16middot105 dinas cm que a su vez estaacute fijo al suelo por su otro
extremo Calcule el periodo de las pequentildeas oscilaciones de M
(Paacutegina 223 del Tebar-Flores)
Debe ser un movimiento armoacutenico simple
Cuando el sistema estaacute en reposo la fuerza que actuacutea sobre el resorte es Mg y debe
cumplirse
0 (1)Mg kx=
Donde hemos llamado x0 al alargamiento del resorte en esta posicioacuten de equilibrio
14
Si desplazamos ligeramente la masa M y tiramos de ella hacia abajo
( )2 0 (2)T k x x= +
Y en la masa M
( )1 3Mg T Maminus =
Aplicando a la polea la ecuacioacuten fundamental de la dinaacutemica de la rotacioacuten
21 2
I
aT R T R I mR mRa
Rα
αminus = = =
Dividiendo todo por R queda
( )1 2 4T T maminus =
De las ecuaciones (1) (2) (3) y (4) se deduce
2a x
k ka x
m M m Mωω
=minus= minus rarr =
+ +
y el periodo
3M+m 10T=2 2
k 16 10
0157T s
π π=sdot
=
13-Un peacutendulo estaacute constituido por dos esferas pequentildeas e iguales de 1 kg de masa
unidas a los extremos de una varilla riacutegida de 1 m de longitud y masa despreciable
Determinar el periodo de las pequentildeas oscilaciones de este peacutendulo si se suspende
a) De un extremo
b) Del otro extremo
c) De un punto situado a un tercio de distancia entre uno y otro extremo
d) Del punto medio
a) y b)
2
2
lT
g
T s
π=
=
c)
15
( )
( )
1 2
2 2 2
1 2 1 2
1 2
2 5
3 3 9
52 2 26
3
26
z
d d d
d d mdI m m
I mgd sen mgd sen mg d d
I dT s
gmg d d
T s
α θ θ θ
π π
= +
= + =
= minus + minus minus
= = =minus
=
≃
d)
1 2 0d d Tminus = rarr = infin
Modo 2
2 2 22 5
2 3 3 3 9
52 2 26
3
d d d d mdL I m m
I dT s
mgL gπ π
= minus = + =
= = =
14-Cuando la plomada de un peacutendulo coacutenico describe una trayectoria circular el hilo
de longitud L barre un cono de semiaacutengulo θ a) Calcular el periodo del movimiento circular de la plomada en funcioacuten de L g y θ Si la circunferencia anterior estaacute en el plano xy con el centro en el origen
b) demuestre que cada coordenada x e y sigue un
mas y compare su periodo con el que tendriacutea el
mismo sistema oscilando en un plano vertical
16
N
2 2N
2 2
N
Sobre la masa A actuacutea su peso y la tensioacuten de la cuerda
Su resultante debe ser F es decir justamente la fuerza centriacutepeta
necesaria para describir el ciacuterculo
F
F
Fv R
R Lsen
m R m Lsen
mv Rm
R ω
θ
ω ω θω
=
=
= =
= =2
2
2 2N
22
F
coscos cos cos
m RR
m Lsen Lsentg
mg mg g
sen g g gtg
L LL
ω
ω θ ω θθ
θθ θ ω ωθ θ θω
=
= = =
= rarr = rarr = rarr =
2
1
2 cos
1 cos2
f
gf
L
Lf T
T g
ω π
π θθπ
=
=
= rarr =
b)
P coacutenico 2
2
2
4 tan costan 2c
g lR g T
T lsen g
π θ θω θ πθ
= = =
P Plano
2p
lT
gπ=
Relacioacuten 0
cos 1c
p
T
T θθ
rarr
= rarr
En coordenadas rectangulares (x y) horizontales
P coacutenico 2 2 2 x y R v R Cteω+ = = =
P planos
( )0 sinx y R tω φ= +
Composicioacuten
( ) ( ) ( )
2 2 2 2 2 2 2
2 2 22 2 2
sin cos
cos sin
x y R t R t R
v R t R t R v R
ω ω
ω ω ω ω ω ω
+ = + = = + = =
17
15-Determine las frecuencias de oscilacioacuten correspondientes a cada uno de los sistemas
representados en las figuras siguientes suponiendo que el bloque de masa m estaacute
situado sobre una superficie horizontal lisa y que las constantes elaacutesticas son k1 y k2
para cada uno de los dos resortes unidos al bloque
a)
( )
( )1 2
1 2
1 2
1 1 11 2
2 2 2
1 21 2
1 2
1 2
1 2 1 2
1 2
1 2
1 1 1
1
2a
k k
m k k
x x x
F k xF F F
F k x
F FFF kx x x x
k k k
k kk
k k k k k
k kk
m m k kω
υ π
+
= += minus
= == minus
= minus rarr = minus = + = minus minus
rarr = + rarr =+
= =+
rarr =
a b c
18
b)
( )
1 2
1 1 11 2
2 2 2
1 1 2 2 1 2
1 2
1 2 1 21
2b
x x x
F k xF F F
F k x
kx k x k x k k x
k k k
k k k kk
m m mω υ π
= == minus
= += minus
minus = minus minus = minus += +
+ += = rarr =
c)
( )
1 2
1 2
1 1 2 2 1 2 1 2
Lo que se estira el muelle 1 es igual
a lo que se comprime el muelle 2
c b
x x
F F F
kx k x k x k k x k k k
υ υ
=
= +minus = minus minus = minus + rarr = +
=
16-Un tubo en forma de U y de seccioacuten recta constante A estaacute abierto a la atmoacutesfera
Estaacute lleno hasta un nivel de un liacutequido incompresible que fluye a traveacutes del tubo con
rozamiento despreciable Demostrar que si se hace descender la superficie del liacutequido en
uno de los brazos de la U y luego se deja libre el periodo de las oscilaciones de la
columna liacutequida es T=2π(L2g)12
( )2
2
Fuerza recuperadora
2
2
rec
rec
F
F g y A
d yg yA m
dtm V AL
ρ
ρ
ρ ρ
ρ
=
= minus
minus =
= =
minus 2g y A ρ= A2
2
2
2Movimiento armoacutenico simple
con
2
2 22
2
d yL
dt
d y gy
Ldt
g LT T
L g
πω πω
= minus rarr
= rarr = rarr =
19
17-Un bloque de masa 25 kg estaacute conectado a un muelle de constante elaacutestica 1250
Nm el movimiento del bloque estaacute amortiguado con b=50 kgs Estaacute sometido a una
fuerza externa sinusoidal de frecuencia angular ω=25 rads y moacutedulo maacuteximo 12 N
Determinar
a) La amplitud y la constante de fase para el movimiento en estado estacionario
b) La amplitud del sistema cuando estaacute en resonancia de amplitud
25
25
1250
50
12
t
o
rad s
m kg
k N m
b kg s
F N
ω ====
=
( )
2 2
1
2
22 2 2 2
2 2
3
Resonancia
1250500
25
5010
2 2 2512
48 25
4
2
9313 10
2 10 257596 1326
500 625
962
96
o
o
o
o
o t t
e
o t
o
o
o
t ot
o
ks
m
bs
mF
m sm
F
mA
tg
A m
arctg rad
F
mA mm
A mm
ω
γ
ω ω γ ω
γωδω ω
δ δ
ω ω γω
minus
minus
minus
= = =
= = =sdot
= =
=minus +
=minus
= sdotsdot sdot= = minus rarr = minus
minus
= rarr = =
=
18-Un cuerpo de 2 kg descansa sobre un tablero horizontal y estaacute unido al extremo libre
de un muelle de constante elaacutestica k= 200 Nm En un instante dado sus oscilaciones
presentan una amplitud de 30 cm pero debido al rozamiento dicha amplitud se reduce a
la mitad cuando han transcurrido 25 segundos Determinar
a) El valor del paraacutemetro de amortiguamiento β y del tiempo de relajacioacuten τ
b) La frecuencia y el periodo de las oscilaciones no amortiguadas
c) Lo mismo para las oscilaciones amortiguadas
20
d) El tiempo que debe transcurrir para que se disipe la mitad de la energiacutea del oscilador
e) Lo mismo para que se disipe el 99 de la energiacutea del oscilador iquestCuaacutel seraacute entonces
la amplitud de las oscilaciones
( )2
0
0 cos
2
200
03
1
2
mt
m kg kF kx ma
mk N m
A m
x A e tβ
ω
ω δ
τ β
minus
= = minus = rarr ===
= minus
=
a)
( ) ( )2
252
0
1
En 25
2 ln 225 ln 2
2 25
1
225
2
011
1803
1803
m
m
t
tt
m
m
A A ee
At s A
kgs
ms
s
β
βδ
β β
β
τ βτ
minusminus
minus
+
=
==
= rarr =
rarr =
=
= =
=
b)
( ) ( )0
10 210
2 10
1591549
062831
rad s Hz T s
Hz
T s
πω ν πν
= rarr = =
==
c)
2 20 2
159
0628
Hz
T s
ωω ω β ν πν
= minus rarr =
==
d)
21
La energiacutea se disipa de acuerdo con la expresioacuten 0
t
E E e τminus
=
T1 es el tiempo necesario para que se disipe la mitad ( )1
01 0
2
TE
E T E e τminus
= =
1 ln 2 126T sτ= =
1 126 sT =
e)
( )2
2 0 0001
T
E T E E e τminus
= =
T2 es el tiempo necesario para que se disipe el 99
( )2 ln 001 838E T sτ= minus =
2 838 sT =
La amplitud viene dada por
( )( )
2 20 0
2
0
Bt t
m
t
A t A e A e
A te
A
τ
τ
minus minus
minus
= =
=
Al transcurrir T2 tendremos
( ) ( )2 001 1ln
2 2 2 2
0
001 01
TA Te e
Aτ
minus= = = =
Ha decaiacutedo al 90 de la amplitud inicial
19-Los aacutetomos de un soacutelido ejecutan oscilaciones armoacutenicas independientes alrededor
de posiciones fijas de equilibrio dispuestas seguacuten una red cuacutebica de lado a = 11middot10-11m
Estos aacutetomos tienen una masa de 10-22 g y vibran con frecuencia de 10
13 Hz Seguacuten la
mecaacutenica estadiacutestica la energiacutea total de cada oscilador es κT donde κ =RN0 es la
constante de Boltzman
a) Calcular la constante de recuperacioacuten
b) iquestCuaacutel es la amplitud de las oscilaciones a temperatura ambiente (17ordmC)
c) Imaginando que el soacutelido fundiese cuando la amplitud de las oscilaciones alcanzase
un valor de a10 iquesta queacute temperatura fundiriacutea el soacutelido
Datos R = 831 JKmol N0 = 60231023 moleacuteculasmol
22
13
22
0
10 2
10
f Hz E T f
Rm g
N
κ ω π
κminus
= = =
= =
a)
( )22 22 3 13 25 26 2
2
10 10 2 10 10 4 10
40
k m kg Hz kg s
k N m
ω π π
π
minus minus minus= = sdot sdot sdot = sdot
=
b)
( )232
2
12
8312 273 17
1 2 2 6023 102 40
1672 10
E TE kA A
k k
A m
κπ
minus
+sdot= rarr = = =
= sdot
c)
( )
2
2
2 11 2322 20
0
1 1
10 2 2 10
40 51 10 6023 10
2 100 200 200 831200
37209 9909ordm
fuioacuten
fuioacuten
fuioacuten
a aA E kA k T
ka Nka kaT
R RN
T K C
κ
πκ
minus
= = = =
sdot sdot= = = =
sdot
= =
20- Consideramos un pequentildeo objeto de masa m que tan soacutelo puede moverse a lo
largo de una recta unido a un extremo de un muelle de constante elaacutestica k y de
longitud l0 El otro extremo del muelle estaacute unido a un punto fijo A situado a una
distancia l=l0 de la recta sobre la que se mueve el pequentildeo objeto como se muestra en
la figura Calcular la frecuencia de las pequentildeas oscilaciones del sistema
23
( )( )
0
0
20
0 2
0
0 0 0 0 0
0
cos
1
1
x
x
k l
l l
xF F F
Llx d x
L l l F k L l k x mL L dt
F k L l
l l l l l lk k
L l l l m l m l
l lk
m l
θ
ω
ω
asymp
gt
= =
= + ∆ = minus minus = minus minus == minus minus
minus= rarr = minus =+ ∆
minus=
5
( )
2 2max max
2
22
2
)
327
)
10 30ordm
2 2
cos 0866 0699 2 2
1635 2 2 2
)
1013
2 6 6 6
c
ka A A a m s
m
d
AAsen t sen t t
A Av A t A v m s
A A Aa a m s
e
msen t t t t s
k
ω
ω φ ω ω
ω ω ω
ω
π π πω ω ω
= = =
= = = rarr =
= = sdot =
= =
= rarr = rarr = = =
5- Si la Tierra fuese una esfera homogeacutenea y se hiciese un pequentildeo conducto recto de
polo a polo al dejar caer por eacutel un cuerpo eacuteste adquiririacutea un mas iquestPor queacute Calcule
el periodo de ese movimiento
Si se aplica la ley de Gauss para un punto en el interior de la
Tierra RltRT
2 3
3
44 4
43
3
T
T
Mg R G R
R
π π ππ
= minus
Simplificando queda
3
T
T
GMg RR
R= minus
Siendo g el campo gravitatorio a una distancia R del centro de la Tierra
Si se deja caer un cuerpo de masa m
6
2
2 2
2
2 3
3
T T
3
T T
es decir
Luego es un mas
GM R2con una = y 2
R GM
T
T
T
T
F ma
GM d RmR ma m
R dt
GMd RR
dt R
Tπω π
ω
=
minus = =
= minus rArr
= =
sum
3
GT
πρ
=
6-Un bloque cuacutebico de madera de arista a =5 cm y masa m= 100 g estaacute flotando en un
estanque Lo empujamos ligeramente hacia abajo y despueacutes lo soltamos iquestCuaacutel seraacute el
periodo de sus oscilaciones
2 30
Bloque flotando en equilibrio
Densidad agua
Volumen del cubo sumergido
F 0
a
cs
a cs c c
a cs c c
a c
V
V g V g
V V
y a a
ρ
ρ ρρ ρρ ρ
= minus ==
=
sum
7
( )20
20
Bloque oscilando
F 0a cs c c
a c cresul
aresul
V g V g
F a y y g V g
F a y g
ρ ρρ ρ
ρ
prime= minus ne
= + minus
=
sum
c cV gρminus 2
2
22 22
2 2
2
2 2
El signo se debe a que el sentido es contrario a y
con
1 1 1 5 980249
2 2 2 100
04
a
recup a
aa
a
a
a yg
F a yg
a gd y d ya yg m y
mdt dt
a gmas
m
a gHz
m
T s
ρρ
ρρ
ρω
ρωυ π π π
+
= minus
minus = rarr = minus
=
sdot sdot= = = =
=
7-Un reloj regulado por un peacutendulo simple de periodo 011 s se coloca en un ascensor
a) iquestCuaacutel es el periodo cuando el ascensor es acelerado hacia arriba con una aceleracioacuten
de moacutedulo 05 g
b) iquestCuaacutel es el periodo cuando el ascensor baja con una aceleracioacuten de moacutedulo 05 g
c) iquestCuaacutel es el periodo cuando el ascensor sube a una velocidad constante de 51 ms
d) Al empezar el diacutea el reloj de peacutendulo se encuentra dentro del ascensor en el piso
correspondiente al vestiacutebulo y se ajusta a la misma hora del reloj del vestiacutebulo El reloj
del peacutendulo y el del vestiacutebulo estaacuten calibrados de tal forma que marcan la misma hora si
permanecen inmoacuteviles Despueacutes de muchos viajes de subida y bajada del ascensor
durante el diacutea el reloj pendular vuelve a estar en el vestiacutebulo iquestMarcan lo mismo los
relojes
a)
( )
1
11
1
Ascensor hacia arriba2
3
2 2
2 23
2
2 2 2011
3 3 3
008981
T T
ga
gF mg ma F m g a m g mg
l lT T
g g
TT T
T
T s
π π
uarr =
minus = rarr = + = + =
= rarr =
= rarr = =
=
8
b)
( )
2
22
2
Ascensor baja2
1
2 2
2
2
2 2 011 2
01556
T T
ga
gmg F ma F m g a m g mg
lT
g
TT T
T
T s
π
darr =
minus = rarr = minus = minus =
=
= rarr = =
=
c) A velocidad constante la aceleracioacuten es nula y el periodo no variacutea
0 011a T s= rarr =
d)
T= 011 s
- Reloj cuando el ascensor sube T1 = 008981 s
- Reloj cuando el ascensor baja T2 = 01556 s
Al bajar T2gtT y no compensa cuando sube (T1ltT)
2
1
00456el reloj se retrasa en total 00456 - 002019 002541
002019
Al acabar el diacutea el reloj habraacute retrasado respecto al del vestiacutebulo
T T ss
T T s
minus = =minus =
8-Un aro delgado de 1 m de radio y densidad lineal uniforme oscila libremente en torno
a un eje perpendicular a su plano que pasa por un punto de su borde
a) iquestCuaacutel es el periodo para oscilaciones pequentildeas
b) Un pegote de cera cuya masa es igual al 12 por ciento de la masa del aro se coloca en
el punto de borde diametralmente opuesto al de suspensioacuten iquestcuaacutel es ahora el periodo de
las pequentildeas oscilaciones
9
a)
2
2
2
2
2 2
Plano de giro = plano del anillo
distancia del cm al centro de oscilacioacuten O
momento de inercia del aro respecto a O
1
2T=
sin
2
cm
R m
dM mgR mgR I
dt
d mgR mgR
I Idt
IT
mgR
R
I
I r dm R d
πω
θθ θ
θ θ ω
π
==
=
= minus minus =
= minus rarr =
=
= =
sum
int
≃
2 2
2 2
2
Por Steiner 2
2 22 2
2 12 283845
98
cm
m R dm mR
I I mR mR
mR RT
mgR g
T T s
π π
π
= =
= + =
= =
sdot= rarr =
int int
b)
( )( )2 2 2 2
2
2
012 112
012 2 2 048 248
012 2 124
012 112
248 22 2
124112
112
c
cm
IT
m gR
m m m m m m
I I m R mR mR mR
mR m RR y R
m m
mR RT T T
gmg R
π
π π
prime=primeprime prime
= + = + =prime
= + = + =prime+prime= = =prime+
= = rarr =prime prime
10
9- Una regla uniforme de longitud L=1 m estaacute suspendida de un extremo
a) Determine el periodo de oscilacioacuten Te para pequentildeos desplazamientos angulares
compare el resultado obtenido con el periodo de oscilacioacuten que se tendriacutea si toda la
masa se localizara
i) En el centro de masas (Tcm)
ii) En el extremo inferior (TL)
iii) iquestCuaacutel de los tres periodos es mayor iquestpor queacute
b) Determine el periodo de oscilacioacuten (TP) si estaacute suspendida de un punto P a una
distancia x del centro de masas
Calcule el periodo de oscilacioacuten para x=L6 (TL6) y para x=L2 (TL2)
Comente los resultados obtenidos
c) Determine el valor de x para que el periodo sea miacutenimo
a)
2
2
Peacutendulo fiacutesico
con d=distancia del cm al punto de suspensioacuten
Colgada del extremo e
1
2
2 1232 223
1 23
1638
ee
e
e
e
L m
IT
mgd
IT
L mLmg LT
gLmg
I mL
T s
π
π
π π
=
=
=
= =
=
=
ai)
2
2
2
m localizada en el cm 2
periodo del peacutendulo simple de longitud L2
2
1
2 4
1
4 22 2 1419
2
cmcm
cm
cm cm
cm
IT
Lmg
LI m mL
LmLT T s
gLmg
T
π
π π
rarr =
= =
= = rarr =
=
11
aii)
2
2
m localizada en el extremo L
periodo del peacutendulo simple de longitud L
2
2 2 2007
LL
L
cmL
L
IT
mgL
I mL
mL LT T s
mgL g
T
π
π π
rarr =
=
= = rarr =
=
aiii)
debido a que Icm e L cm e LT T T I Ilt lt lt lt
b)
22
2 2 2
2 2
6 6
2 2
2 2
6 2
2122
1
12
6 6
12 36 412 362 2 26 6
6
2 2
12 4 412 42 2 22 6
2
1639
PP
P
cmP
L L
L L
L L
I LT xmgx T
gxI I mx mL mx
L L LL L
x T TL g gg
L L LL L
x T TL g gg
T T s
ππ
π π π
π π π
= +=
= + = +
++= rarr = = rarr =
++= rarr = = rarr =
= =
c)
1 22 2 2
2
2 2
22 2
22
0
2121 122 0
2
2 012
029912 12
PP miacutenimo
TT
x
LL xgx g xx
gx g x
Lx x
L Lx x m
π
minus
part= rarr =part
minus ++=
minus + =
= rarr = =
12
10-El peacutendulo de un reloj normalmente oscila describiendo un arco de longitud 135
mm El mecanismo funciona gracias a una pesa que cae hacia abajo Una vez que la
pesa ha llegado a la base del reloj a las 917 horas la longitud del arco disminuye hasta
95 mm a las 922 horas Teniendo en cuenta que el reloj se para si la longitud del arco es
inferior a 50 mm Determinar
a) La constante γ para este movimiento
b) La hora a la que se para el reloj
a)
5 1
arco normal
arco menor
En 917 tomamos y
Pasados 5 minutos
917 135
922 95
0 135
95 135 007028min
tA Ae
mm
mm
t A mm
e
γ
γ γ
minus
minus minus
=primerarrrarr
= =
= rarr =
b)
El reloj se para a los 50 mm
El reloj se para a las
50ln13550 135 141328min
917 141328min 931
te t
horas
γγ
minus= rarr = minus =
+ ≃
11-Una moneda permanece en reposo sobre una plataforma horizontal que realiza un
movimiento armoacutenico simple de amplitud A y frecuencia ν
a) Si la plataforma oscila verticalmente iquestcuaacutel es el valor maacuteximo de A que permite a la
moneda permanecer en contacto permanente con la plataforma
b) Supongamos ahora que la plataforma oscila horizontalmente y que micro es el coeficiente
de rozamiento estaacutetico entre la moneda y la plataforma iquestCuaacutel es el valor maacuteximo de A
que permite a la moneda permanecer en reposo respecto a la plataforma
13
a)
2
max
2max
maxmax 2 2
La aceleracioacuten maacutexima corresponderaacute a
En el oscilador armoacutenico luego
0
A4
P N ma
N a g
a A
a g
ω
ω π υ
minus == rarr =
=
= =
b)
max
max 2 2En el oscilador armoacutenico implicaraacute
4
r
r
F N mga g
F ma
gA
micro micro micro
microπ υ
= ==
=
=
12-Por la garganta de una polea cuya masa m = 800 g puede considerarse concentrada
en su periferia pasa un hilo inextensible y sin masa De uno de los extremos del hilo
cuelga una masa M = 200 g y el otro extremo del hilo estaacute atado a un resorte vertical de
constante elaacutestica K = 16middot105 dinas cm que a su vez estaacute fijo al suelo por su otro
extremo Calcule el periodo de las pequentildeas oscilaciones de M
(Paacutegina 223 del Tebar-Flores)
Debe ser un movimiento armoacutenico simple
Cuando el sistema estaacute en reposo la fuerza que actuacutea sobre el resorte es Mg y debe
cumplirse
0 (1)Mg kx=
Donde hemos llamado x0 al alargamiento del resorte en esta posicioacuten de equilibrio
14
Si desplazamos ligeramente la masa M y tiramos de ella hacia abajo
( )2 0 (2)T k x x= +
Y en la masa M
( )1 3Mg T Maminus =
Aplicando a la polea la ecuacioacuten fundamental de la dinaacutemica de la rotacioacuten
21 2
I
aT R T R I mR mRa
Rα
αminus = = =
Dividiendo todo por R queda
( )1 2 4T T maminus =
De las ecuaciones (1) (2) (3) y (4) se deduce
2a x
k ka x
m M m Mωω
=minus= minus rarr =
+ +
y el periodo
3M+m 10T=2 2
k 16 10
0157T s
π π=sdot
=
13-Un peacutendulo estaacute constituido por dos esferas pequentildeas e iguales de 1 kg de masa
unidas a los extremos de una varilla riacutegida de 1 m de longitud y masa despreciable
Determinar el periodo de las pequentildeas oscilaciones de este peacutendulo si se suspende
a) De un extremo
b) Del otro extremo
c) De un punto situado a un tercio de distancia entre uno y otro extremo
d) Del punto medio
a) y b)
2
2
lT
g
T s
π=
=
c)
15
( )
( )
1 2
2 2 2
1 2 1 2
1 2
2 5
3 3 9
52 2 26
3
26
z
d d d
d d mdI m m
I mgd sen mgd sen mg d d
I dT s
gmg d d
T s
α θ θ θ
π π
= +
= + =
= minus + minus minus
= = =minus
=
≃
d)
1 2 0d d Tminus = rarr = infin
Modo 2
2 2 22 5
2 3 3 3 9
52 2 26
3
d d d d mdL I m m
I dT s
mgL gπ π
= minus = + =
= = =
14-Cuando la plomada de un peacutendulo coacutenico describe una trayectoria circular el hilo
de longitud L barre un cono de semiaacutengulo θ a) Calcular el periodo del movimiento circular de la plomada en funcioacuten de L g y θ Si la circunferencia anterior estaacute en el plano xy con el centro en el origen
b) demuestre que cada coordenada x e y sigue un
mas y compare su periodo con el que tendriacutea el
mismo sistema oscilando en un plano vertical
16
N
2 2N
2 2
N
Sobre la masa A actuacutea su peso y la tensioacuten de la cuerda
Su resultante debe ser F es decir justamente la fuerza centriacutepeta
necesaria para describir el ciacuterculo
F
F
Fv R
R Lsen
m R m Lsen
mv Rm
R ω
θ
ω ω θω
=
=
= =
= =2
2
2 2N
22
F
coscos cos cos
m RR
m Lsen Lsentg
mg mg g
sen g g gtg
L LL
ω
ω θ ω θθ
θθ θ ω ωθ θ θω
=
= = =
= rarr = rarr = rarr =
2
1
2 cos
1 cos2
f
gf
L
Lf T
T g
ω π
π θθπ
=
=
= rarr =
b)
P coacutenico 2
2
2
4 tan costan 2c
g lR g T
T lsen g
π θ θω θ πθ
= = =
P Plano
2p
lT
gπ=
Relacioacuten 0
cos 1c
p
T
T θθ
rarr
= rarr
En coordenadas rectangulares (x y) horizontales
P coacutenico 2 2 2 x y R v R Cteω+ = = =
P planos
( )0 sinx y R tω φ= +
Composicioacuten
( ) ( ) ( )
2 2 2 2 2 2 2
2 2 22 2 2
sin cos
cos sin
x y R t R t R
v R t R t R v R
ω ω
ω ω ω ω ω ω
+ = + = = + = =
17
15-Determine las frecuencias de oscilacioacuten correspondientes a cada uno de los sistemas
representados en las figuras siguientes suponiendo que el bloque de masa m estaacute
situado sobre una superficie horizontal lisa y que las constantes elaacutesticas son k1 y k2
para cada uno de los dos resortes unidos al bloque
a)
( )
( )1 2
1 2
1 2
1 1 11 2
2 2 2
1 21 2
1 2
1 2
1 2 1 2
1 2
1 2
1 1 1
1
2a
k k
m k k
x x x
F k xF F F
F k x
F FFF kx x x x
k k k
k kk
k k k k k
k kk
m m k kω
υ π
+
= += minus
= == minus
= minus rarr = minus = + = minus minus
rarr = + rarr =+
= =+
rarr =
a b c
18
b)
( )
1 2
1 1 11 2
2 2 2
1 1 2 2 1 2
1 2
1 2 1 21
2b
x x x
F k xF F F
F k x
kx k x k x k k x
k k k
k k k kk
m m mω υ π
= == minus
= += minus
minus = minus minus = minus += +
+ += = rarr =
c)
( )
1 2
1 2
1 1 2 2 1 2 1 2
Lo que se estira el muelle 1 es igual
a lo que se comprime el muelle 2
c b
x x
F F F
kx k x k x k k x k k k
υ υ
=
= +minus = minus minus = minus + rarr = +
=
16-Un tubo en forma de U y de seccioacuten recta constante A estaacute abierto a la atmoacutesfera
Estaacute lleno hasta un nivel de un liacutequido incompresible que fluye a traveacutes del tubo con
rozamiento despreciable Demostrar que si se hace descender la superficie del liacutequido en
uno de los brazos de la U y luego se deja libre el periodo de las oscilaciones de la
columna liacutequida es T=2π(L2g)12
( )2
2
Fuerza recuperadora
2
2
rec
rec
F
F g y A
d yg yA m
dtm V AL
ρ
ρ
ρ ρ
ρ
=
= minus
minus =
= =
minus 2g y A ρ= A2
2
2
2Movimiento armoacutenico simple
con
2
2 22
2
d yL
dt
d y gy
Ldt
g LT T
L g
πω πω
= minus rarr
= rarr = rarr =
19
17-Un bloque de masa 25 kg estaacute conectado a un muelle de constante elaacutestica 1250
Nm el movimiento del bloque estaacute amortiguado con b=50 kgs Estaacute sometido a una
fuerza externa sinusoidal de frecuencia angular ω=25 rads y moacutedulo maacuteximo 12 N
Determinar
a) La amplitud y la constante de fase para el movimiento en estado estacionario
b) La amplitud del sistema cuando estaacute en resonancia de amplitud
25
25
1250
50
12
t
o
rad s
m kg
k N m
b kg s
F N
ω ====
=
( )
2 2
1
2
22 2 2 2
2 2
3
Resonancia
1250500
25
5010
2 2 2512
48 25
4
2
9313 10
2 10 257596 1326
500 625
962
96
o
o
o
o
o t t
e
o t
o
o
o
t ot
o
ks
m
bs
mF
m sm
F
mA
tg
A m
arctg rad
F
mA mm
A mm
ω
γ
ω ω γ ω
γωδω ω
δ δ
ω ω γω
minus
minus
minus
= = =
= = =sdot
= =
=minus +
=minus
= sdotsdot sdot= = minus rarr = minus
minus
= rarr = =
=
18-Un cuerpo de 2 kg descansa sobre un tablero horizontal y estaacute unido al extremo libre
de un muelle de constante elaacutestica k= 200 Nm En un instante dado sus oscilaciones
presentan una amplitud de 30 cm pero debido al rozamiento dicha amplitud se reduce a
la mitad cuando han transcurrido 25 segundos Determinar
a) El valor del paraacutemetro de amortiguamiento β y del tiempo de relajacioacuten τ
b) La frecuencia y el periodo de las oscilaciones no amortiguadas
c) Lo mismo para las oscilaciones amortiguadas
20
d) El tiempo que debe transcurrir para que se disipe la mitad de la energiacutea del oscilador
e) Lo mismo para que se disipe el 99 de la energiacutea del oscilador iquestCuaacutel seraacute entonces
la amplitud de las oscilaciones
( )2
0
0 cos
2
200
03
1
2
mt
m kg kF kx ma
mk N m
A m
x A e tβ
ω
ω δ
τ β
minus
= = minus = rarr ===
= minus
=
a)
( ) ( )2
252
0
1
En 25
2 ln 225 ln 2
2 25
1
225
2
011
1803
1803
m
m
t
tt
m
m
A A ee
At s A
kgs
ms
s
β
βδ
β β
β
τ βτ
minusminus
minus
+
=
==
= rarr =
rarr =
=
= =
=
b)
( ) ( )0
10 210
2 10
1591549
062831
rad s Hz T s
Hz
T s
πω ν πν
= rarr = =
==
c)
2 20 2
159
0628
Hz
T s
ωω ω β ν πν
= minus rarr =
==
d)
21
La energiacutea se disipa de acuerdo con la expresioacuten 0
t
E E e τminus
=
T1 es el tiempo necesario para que se disipe la mitad ( )1
01 0
2
TE
E T E e τminus
= =
1 ln 2 126T sτ= =
1 126 sT =
e)
( )2
2 0 0001
T
E T E E e τminus
= =
T2 es el tiempo necesario para que se disipe el 99
( )2 ln 001 838E T sτ= minus =
2 838 sT =
La amplitud viene dada por
( )( )
2 20 0
2
0
Bt t
m
t
A t A e A e
A te
A
τ
τ
minus minus
minus
= =
=
Al transcurrir T2 tendremos
( ) ( )2 001 1ln
2 2 2 2
0
001 01
TA Te e
Aτ
minus= = = =
Ha decaiacutedo al 90 de la amplitud inicial
19-Los aacutetomos de un soacutelido ejecutan oscilaciones armoacutenicas independientes alrededor
de posiciones fijas de equilibrio dispuestas seguacuten una red cuacutebica de lado a = 11middot10-11m
Estos aacutetomos tienen una masa de 10-22 g y vibran con frecuencia de 10
13 Hz Seguacuten la
mecaacutenica estadiacutestica la energiacutea total de cada oscilador es κT donde κ =RN0 es la
constante de Boltzman
a) Calcular la constante de recuperacioacuten
b) iquestCuaacutel es la amplitud de las oscilaciones a temperatura ambiente (17ordmC)
c) Imaginando que el soacutelido fundiese cuando la amplitud de las oscilaciones alcanzase
un valor de a10 iquesta queacute temperatura fundiriacutea el soacutelido
Datos R = 831 JKmol N0 = 60231023 moleacuteculasmol
22
13
22
0
10 2
10
f Hz E T f
Rm g
N
κ ω π
κminus
= = =
= =
a)
( )22 22 3 13 25 26 2
2
10 10 2 10 10 4 10
40
k m kg Hz kg s
k N m
ω π π
π
minus minus minus= = sdot sdot sdot = sdot
=
b)
( )232
2
12
8312 273 17
1 2 2 6023 102 40
1672 10
E TE kA A
k k
A m
κπ
minus
+sdot= rarr = = =
= sdot
c)
( )
2
2
2 11 2322 20
0
1 1
10 2 2 10
40 51 10 6023 10
2 100 200 200 831200
37209 9909ordm
fuioacuten
fuioacuten
fuioacuten
a aA E kA k T
ka Nka kaT
R RN
T K C
κ
πκ
minus
= = = =
sdot sdot= = = =
sdot
= =
20- Consideramos un pequentildeo objeto de masa m que tan soacutelo puede moverse a lo
largo de una recta unido a un extremo de un muelle de constante elaacutestica k y de
longitud l0 El otro extremo del muelle estaacute unido a un punto fijo A situado a una
distancia l=l0 de la recta sobre la que se mueve el pequentildeo objeto como se muestra en
la figura Calcular la frecuencia de las pequentildeas oscilaciones del sistema
23
( )( )
0
0
20
0 2
0
0 0 0 0 0
0
cos
1
1
x
x
k l
l l
xF F F
Llx d x
L l l F k L l k x mL L dt
F k L l
l l l l l lk k
L l l l m l m l
l lk
m l
θ
ω
ω
asymp
gt
= =
= + ∆ = minus minus = minus minus == minus minus
minus= rarr = minus =+ ∆
minus=
6
2
2 2
2
2 3
3
T T
3
T T
es decir
Luego es un mas
GM R2con una = y 2
R GM
T
T
T
T
F ma
GM d RmR ma m
R dt
GMd RR
dt R
Tπω π
ω
=
minus = =
= minus rArr
= =
sum
3
GT
πρ
=
6-Un bloque cuacutebico de madera de arista a =5 cm y masa m= 100 g estaacute flotando en un
estanque Lo empujamos ligeramente hacia abajo y despueacutes lo soltamos iquestCuaacutel seraacute el
periodo de sus oscilaciones
2 30
Bloque flotando en equilibrio
Densidad agua
Volumen del cubo sumergido
F 0
a
cs
a cs c c
a cs c c
a c
V
V g V g
V V
y a a
ρ
ρ ρρ ρρ ρ
= minus ==
=
sum
7
( )20
20
Bloque oscilando
F 0a cs c c
a c cresul
aresul
V g V g
F a y y g V g
F a y g
ρ ρρ ρ
ρ
prime= minus ne
= + minus
=
sum
c cV gρminus 2
2
22 22
2 2
2
2 2
El signo se debe a que el sentido es contrario a y
con
1 1 1 5 980249
2 2 2 100
04
a
recup a
aa
a
a
a yg
F a yg
a gd y d ya yg m y
mdt dt
a gmas
m
a gHz
m
T s
ρρ
ρρ
ρω
ρωυ π π π
+
= minus
minus = rarr = minus
=
sdot sdot= = = =
=
7-Un reloj regulado por un peacutendulo simple de periodo 011 s se coloca en un ascensor
a) iquestCuaacutel es el periodo cuando el ascensor es acelerado hacia arriba con una aceleracioacuten
de moacutedulo 05 g
b) iquestCuaacutel es el periodo cuando el ascensor baja con una aceleracioacuten de moacutedulo 05 g
c) iquestCuaacutel es el periodo cuando el ascensor sube a una velocidad constante de 51 ms
d) Al empezar el diacutea el reloj de peacutendulo se encuentra dentro del ascensor en el piso
correspondiente al vestiacutebulo y se ajusta a la misma hora del reloj del vestiacutebulo El reloj
del peacutendulo y el del vestiacutebulo estaacuten calibrados de tal forma que marcan la misma hora si
permanecen inmoacuteviles Despueacutes de muchos viajes de subida y bajada del ascensor
durante el diacutea el reloj pendular vuelve a estar en el vestiacutebulo iquestMarcan lo mismo los
relojes
a)
( )
1
11
1
Ascensor hacia arriba2
3
2 2
2 23
2
2 2 2011
3 3 3
008981
T T
ga
gF mg ma F m g a m g mg
l lT T
g g
TT T
T
T s
π π
uarr =
minus = rarr = + = + =
= rarr =
= rarr = =
=
8
b)
( )
2
22
2
Ascensor baja2
1
2 2
2
2
2 2 011 2
01556
T T
ga
gmg F ma F m g a m g mg
lT
g
TT T
T
T s
π
darr =
minus = rarr = minus = minus =
=
= rarr = =
=
c) A velocidad constante la aceleracioacuten es nula y el periodo no variacutea
0 011a T s= rarr =
d)
T= 011 s
- Reloj cuando el ascensor sube T1 = 008981 s
- Reloj cuando el ascensor baja T2 = 01556 s
Al bajar T2gtT y no compensa cuando sube (T1ltT)
2
1
00456el reloj se retrasa en total 00456 - 002019 002541
002019
Al acabar el diacutea el reloj habraacute retrasado respecto al del vestiacutebulo
T T ss
T T s
minus = =minus =
8-Un aro delgado de 1 m de radio y densidad lineal uniforme oscila libremente en torno
a un eje perpendicular a su plano que pasa por un punto de su borde
a) iquestCuaacutel es el periodo para oscilaciones pequentildeas
b) Un pegote de cera cuya masa es igual al 12 por ciento de la masa del aro se coloca en
el punto de borde diametralmente opuesto al de suspensioacuten iquestcuaacutel es ahora el periodo de
las pequentildeas oscilaciones
9
a)
2
2
2
2
2 2
Plano de giro = plano del anillo
distancia del cm al centro de oscilacioacuten O
momento de inercia del aro respecto a O
1
2T=
sin
2
cm
R m
dM mgR mgR I
dt
d mgR mgR
I Idt
IT
mgR
R
I
I r dm R d
πω
θθ θ
θ θ ω
π
==
=
= minus minus =
= minus rarr =
=
= =
sum
int
≃
2 2
2 2
2
Por Steiner 2
2 22 2
2 12 283845
98
cm
m R dm mR
I I mR mR
mR RT
mgR g
T T s
π π
π
= =
= + =
= =
sdot= rarr =
int int
b)
( )( )2 2 2 2
2
2
012 112
012 2 2 048 248
012 2 124
012 112
248 22 2
124112
112
c
cm
IT
m gR
m m m m m m
I I m R mR mR mR
mR m RR y R
m m
mR RT T T
gmg R
π
π π
prime=primeprime prime
= + = + =prime
= + = + =prime+prime= = =prime+
= = rarr =prime prime
10
9- Una regla uniforme de longitud L=1 m estaacute suspendida de un extremo
a) Determine el periodo de oscilacioacuten Te para pequentildeos desplazamientos angulares
compare el resultado obtenido con el periodo de oscilacioacuten que se tendriacutea si toda la
masa se localizara
i) En el centro de masas (Tcm)
ii) En el extremo inferior (TL)
iii) iquestCuaacutel de los tres periodos es mayor iquestpor queacute
b) Determine el periodo de oscilacioacuten (TP) si estaacute suspendida de un punto P a una
distancia x del centro de masas
Calcule el periodo de oscilacioacuten para x=L6 (TL6) y para x=L2 (TL2)
Comente los resultados obtenidos
c) Determine el valor de x para que el periodo sea miacutenimo
a)
2
2
Peacutendulo fiacutesico
con d=distancia del cm al punto de suspensioacuten
Colgada del extremo e
1
2
2 1232 223
1 23
1638
ee
e
e
e
L m
IT
mgd
IT
L mLmg LT
gLmg
I mL
T s
π
π
π π
=
=
=
= =
=
=
ai)
2
2
2
m localizada en el cm 2
periodo del peacutendulo simple de longitud L2
2
1
2 4
1
4 22 2 1419
2
cmcm
cm
cm cm
cm
IT
Lmg
LI m mL
LmLT T s
gLmg
T
π
π π
rarr =
= =
= = rarr =
=
11
aii)
2
2
m localizada en el extremo L
periodo del peacutendulo simple de longitud L
2
2 2 2007
LL
L
cmL
L
IT
mgL
I mL
mL LT T s
mgL g
T
π
π π
rarr =
=
= = rarr =
=
aiii)
debido a que Icm e L cm e LT T T I Ilt lt lt lt
b)
22
2 2 2
2 2
6 6
2 2
2 2
6 2
2122
1
12
6 6
12 36 412 362 2 26 6
6
2 2
12 4 412 42 2 22 6
2
1639
PP
P
cmP
L L
L L
L L
I LT xmgx T
gxI I mx mL mx
L L LL L
x T TL g gg
L L LL L
x T TL g gg
T T s
ππ
π π π
π π π
= +=
= + = +
++= rarr = = rarr =
++= rarr = = rarr =
= =
c)
1 22 2 2
2
2 2
22 2
22
0
2121 122 0
2
2 012
029912 12
PP miacutenimo
TT
x
LL xgx g xx
gx g x
Lx x
L Lx x m
π
minus
part= rarr =part
minus ++=
minus + =
= rarr = =
12
10-El peacutendulo de un reloj normalmente oscila describiendo un arco de longitud 135
mm El mecanismo funciona gracias a una pesa que cae hacia abajo Una vez que la
pesa ha llegado a la base del reloj a las 917 horas la longitud del arco disminuye hasta
95 mm a las 922 horas Teniendo en cuenta que el reloj se para si la longitud del arco es
inferior a 50 mm Determinar
a) La constante γ para este movimiento
b) La hora a la que se para el reloj
a)
5 1
arco normal
arco menor
En 917 tomamos y
Pasados 5 minutos
917 135
922 95
0 135
95 135 007028min
tA Ae
mm
mm
t A mm
e
γ
γ γ
minus
minus minus
=primerarrrarr
= =
= rarr =
b)
El reloj se para a los 50 mm
El reloj se para a las
50ln13550 135 141328min
917 141328min 931
te t
horas
γγ
minus= rarr = minus =
+ ≃
11-Una moneda permanece en reposo sobre una plataforma horizontal que realiza un
movimiento armoacutenico simple de amplitud A y frecuencia ν
a) Si la plataforma oscila verticalmente iquestcuaacutel es el valor maacuteximo de A que permite a la
moneda permanecer en contacto permanente con la plataforma
b) Supongamos ahora que la plataforma oscila horizontalmente y que micro es el coeficiente
de rozamiento estaacutetico entre la moneda y la plataforma iquestCuaacutel es el valor maacuteximo de A
que permite a la moneda permanecer en reposo respecto a la plataforma
13
a)
2
max
2max
maxmax 2 2
La aceleracioacuten maacutexima corresponderaacute a
En el oscilador armoacutenico luego
0
A4
P N ma
N a g
a A
a g
ω
ω π υ
minus == rarr =
=
= =
b)
max
max 2 2En el oscilador armoacutenico implicaraacute
4
r
r
F N mga g
F ma
gA
micro micro micro
microπ υ
= ==
=
=
12-Por la garganta de una polea cuya masa m = 800 g puede considerarse concentrada
en su periferia pasa un hilo inextensible y sin masa De uno de los extremos del hilo
cuelga una masa M = 200 g y el otro extremo del hilo estaacute atado a un resorte vertical de
constante elaacutestica K = 16middot105 dinas cm que a su vez estaacute fijo al suelo por su otro
extremo Calcule el periodo de las pequentildeas oscilaciones de M
(Paacutegina 223 del Tebar-Flores)
Debe ser un movimiento armoacutenico simple
Cuando el sistema estaacute en reposo la fuerza que actuacutea sobre el resorte es Mg y debe
cumplirse
0 (1)Mg kx=
Donde hemos llamado x0 al alargamiento del resorte en esta posicioacuten de equilibrio
14
Si desplazamos ligeramente la masa M y tiramos de ella hacia abajo
( )2 0 (2)T k x x= +
Y en la masa M
( )1 3Mg T Maminus =
Aplicando a la polea la ecuacioacuten fundamental de la dinaacutemica de la rotacioacuten
21 2
I
aT R T R I mR mRa
Rα
αminus = = =
Dividiendo todo por R queda
( )1 2 4T T maminus =
De las ecuaciones (1) (2) (3) y (4) se deduce
2a x
k ka x
m M m Mωω
=minus= minus rarr =
+ +
y el periodo
3M+m 10T=2 2
k 16 10
0157T s
π π=sdot
=
13-Un peacutendulo estaacute constituido por dos esferas pequentildeas e iguales de 1 kg de masa
unidas a los extremos de una varilla riacutegida de 1 m de longitud y masa despreciable
Determinar el periodo de las pequentildeas oscilaciones de este peacutendulo si se suspende
a) De un extremo
b) Del otro extremo
c) De un punto situado a un tercio de distancia entre uno y otro extremo
d) Del punto medio
a) y b)
2
2
lT
g
T s
π=
=
c)
15
( )
( )
1 2
2 2 2
1 2 1 2
1 2
2 5
3 3 9
52 2 26
3
26
z
d d d
d d mdI m m
I mgd sen mgd sen mg d d
I dT s
gmg d d
T s
α θ θ θ
π π
= +
= + =
= minus + minus minus
= = =minus
=
≃
d)
1 2 0d d Tminus = rarr = infin
Modo 2
2 2 22 5
2 3 3 3 9
52 2 26
3
d d d d mdL I m m
I dT s
mgL gπ π
= minus = + =
= = =
14-Cuando la plomada de un peacutendulo coacutenico describe una trayectoria circular el hilo
de longitud L barre un cono de semiaacutengulo θ a) Calcular el periodo del movimiento circular de la plomada en funcioacuten de L g y θ Si la circunferencia anterior estaacute en el plano xy con el centro en el origen
b) demuestre que cada coordenada x e y sigue un
mas y compare su periodo con el que tendriacutea el
mismo sistema oscilando en un plano vertical
16
N
2 2N
2 2
N
Sobre la masa A actuacutea su peso y la tensioacuten de la cuerda
Su resultante debe ser F es decir justamente la fuerza centriacutepeta
necesaria para describir el ciacuterculo
F
F
Fv R
R Lsen
m R m Lsen
mv Rm
R ω
θ
ω ω θω
=
=
= =
= =2
2
2 2N
22
F
coscos cos cos
m RR
m Lsen Lsentg
mg mg g
sen g g gtg
L LL
ω
ω θ ω θθ
θθ θ ω ωθ θ θω
=
= = =
= rarr = rarr = rarr =
2
1
2 cos
1 cos2
f
gf
L
Lf T
T g
ω π
π θθπ
=
=
= rarr =
b)
P coacutenico 2
2
2
4 tan costan 2c
g lR g T
T lsen g
π θ θω θ πθ
= = =
P Plano
2p
lT
gπ=
Relacioacuten 0
cos 1c
p
T
T θθ
rarr
= rarr
En coordenadas rectangulares (x y) horizontales
P coacutenico 2 2 2 x y R v R Cteω+ = = =
P planos
( )0 sinx y R tω φ= +
Composicioacuten
( ) ( ) ( )
2 2 2 2 2 2 2
2 2 22 2 2
sin cos
cos sin
x y R t R t R
v R t R t R v R
ω ω
ω ω ω ω ω ω
+ = + = = + = =
17
15-Determine las frecuencias de oscilacioacuten correspondientes a cada uno de los sistemas
representados en las figuras siguientes suponiendo que el bloque de masa m estaacute
situado sobre una superficie horizontal lisa y que las constantes elaacutesticas son k1 y k2
para cada uno de los dos resortes unidos al bloque
a)
( )
( )1 2
1 2
1 2
1 1 11 2
2 2 2
1 21 2
1 2
1 2
1 2 1 2
1 2
1 2
1 1 1
1
2a
k k
m k k
x x x
F k xF F F
F k x
F FFF kx x x x
k k k
k kk
k k k k k
k kk
m m k kω
υ π
+
= += minus
= == minus
= minus rarr = minus = + = minus minus
rarr = + rarr =+
= =+
rarr =
a b c
18
b)
( )
1 2
1 1 11 2
2 2 2
1 1 2 2 1 2
1 2
1 2 1 21
2b
x x x
F k xF F F
F k x
kx k x k x k k x
k k k
k k k kk
m m mω υ π
= == minus
= += minus
minus = minus minus = minus += +
+ += = rarr =
c)
( )
1 2
1 2
1 1 2 2 1 2 1 2
Lo que se estira el muelle 1 es igual
a lo que se comprime el muelle 2
c b
x x
F F F
kx k x k x k k x k k k
υ υ
=
= +minus = minus minus = minus + rarr = +
=
16-Un tubo en forma de U y de seccioacuten recta constante A estaacute abierto a la atmoacutesfera
Estaacute lleno hasta un nivel de un liacutequido incompresible que fluye a traveacutes del tubo con
rozamiento despreciable Demostrar que si se hace descender la superficie del liacutequido en
uno de los brazos de la U y luego se deja libre el periodo de las oscilaciones de la
columna liacutequida es T=2π(L2g)12
( )2
2
Fuerza recuperadora
2
2
rec
rec
F
F g y A
d yg yA m
dtm V AL
ρ
ρ
ρ ρ
ρ
=
= minus
minus =
= =
minus 2g y A ρ= A2
2
2
2Movimiento armoacutenico simple
con
2
2 22
2
d yL
dt
d y gy
Ldt
g LT T
L g
πω πω
= minus rarr
= rarr = rarr =
19
17-Un bloque de masa 25 kg estaacute conectado a un muelle de constante elaacutestica 1250
Nm el movimiento del bloque estaacute amortiguado con b=50 kgs Estaacute sometido a una
fuerza externa sinusoidal de frecuencia angular ω=25 rads y moacutedulo maacuteximo 12 N
Determinar
a) La amplitud y la constante de fase para el movimiento en estado estacionario
b) La amplitud del sistema cuando estaacute en resonancia de amplitud
25
25
1250
50
12
t
o
rad s
m kg
k N m
b kg s
F N
ω ====
=
( )
2 2
1
2
22 2 2 2
2 2
3
Resonancia
1250500
25
5010
2 2 2512
48 25
4
2
9313 10
2 10 257596 1326
500 625
962
96
o
o
o
o
o t t
e
o t
o
o
o
t ot
o
ks
m
bs
mF
m sm
F
mA
tg
A m
arctg rad
F
mA mm
A mm
ω
γ
ω ω γ ω
γωδω ω
δ δ
ω ω γω
minus
minus
minus
= = =
= = =sdot
= =
=minus +
=minus
= sdotsdot sdot= = minus rarr = minus
minus
= rarr = =
=
18-Un cuerpo de 2 kg descansa sobre un tablero horizontal y estaacute unido al extremo libre
de un muelle de constante elaacutestica k= 200 Nm En un instante dado sus oscilaciones
presentan una amplitud de 30 cm pero debido al rozamiento dicha amplitud se reduce a
la mitad cuando han transcurrido 25 segundos Determinar
a) El valor del paraacutemetro de amortiguamiento β y del tiempo de relajacioacuten τ
b) La frecuencia y el periodo de las oscilaciones no amortiguadas
c) Lo mismo para las oscilaciones amortiguadas
20
d) El tiempo que debe transcurrir para que se disipe la mitad de la energiacutea del oscilador
e) Lo mismo para que se disipe el 99 de la energiacutea del oscilador iquestCuaacutel seraacute entonces
la amplitud de las oscilaciones
( )2
0
0 cos
2
200
03
1
2
mt
m kg kF kx ma
mk N m
A m
x A e tβ
ω
ω δ
τ β
minus
= = minus = rarr ===
= minus
=
a)
( ) ( )2
252
0
1
En 25
2 ln 225 ln 2
2 25
1
225
2
011
1803
1803
m
m
t
tt
m
m
A A ee
At s A
kgs
ms
s
β
βδ
β β
β
τ βτ
minusminus
minus
+
=
==
= rarr =
rarr =
=
= =
=
b)
( ) ( )0
10 210
2 10
1591549
062831
rad s Hz T s
Hz
T s
πω ν πν
= rarr = =
==
c)
2 20 2
159
0628
Hz
T s
ωω ω β ν πν
= minus rarr =
==
d)
21
La energiacutea se disipa de acuerdo con la expresioacuten 0
t
E E e τminus
=
T1 es el tiempo necesario para que se disipe la mitad ( )1
01 0
2
TE
E T E e τminus
= =
1 ln 2 126T sτ= =
1 126 sT =
e)
( )2
2 0 0001
T
E T E E e τminus
= =
T2 es el tiempo necesario para que se disipe el 99
( )2 ln 001 838E T sτ= minus =
2 838 sT =
La amplitud viene dada por
( )( )
2 20 0
2
0
Bt t
m
t
A t A e A e
A te
A
τ
τ
minus minus
minus
= =
=
Al transcurrir T2 tendremos
( ) ( )2 001 1ln
2 2 2 2
0
001 01
TA Te e
Aτ
minus= = = =
Ha decaiacutedo al 90 de la amplitud inicial
19-Los aacutetomos de un soacutelido ejecutan oscilaciones armoacutenicas independientes alrededor
de posiciones fijas de equilibrio dispuestas seguacuten una red cuacutebica de lado a = 11middot10-11m
Estos aacutetomos tienen una masa de 10-22 g y vibran con frecuencia de 10
13 Hz Seguacuten la
mecaacutenica estadiacutestica la energiacutea total de cada oscilador es κT donde κ =RN0 es la
constante de Boltzman
a) Calcular la constante de recuperacioacuten
b) iquestCuaacutel es la amplitud de las oscilaciones a temperatura ambiente (17ordmC)
c) Imaginando que el soacutelido fundiese cuando la amplitud de las oscilaciones alcanzase
un valor de a10 iquesta queacute temperatura fundiriacutea el soacutelido
Datos R = 831 JKmol N0 = 60231023 moleacuteculasmol
22
13
22
0
10 2
10
f Hz E T f
Rm g
N
κ ω π
κminus
= = =
= =
a)
( )22 22 3 13 25 26 2
2
10 10 2 10 10 4 10
40
k m kg Hz kg s
k N m
ω π π
π
minus minus minus= = sdot sdot sdot = sdot
=
b)
( )232
2
12
8312 273 17
1 2 2 6023 102 40
1672 10
E TE kA A
k k
A m
κπ
minus
+sdot= rarr = = =
= sdot
c)
( )
2
2
2 11 2322 20
0
1 1
10 2 2 10
40 51 10 6023 10
2 100 200 200 831200
37209 9909ordm
fuioacuten
fuioacuten
fuioacuten
a aA E kA k T
ka Nka kaT
R RN
T K C
κ
πκ
minus
= = = =
sdot sdot= = = =
sdot
= =
20- Consideramos un pequentildeo objeto de masa m que tan soacutelo puede moverse a lo
largo de una recta unido a un extremo de un muelle de constante elaacutestica k y de
longitud l0 El otro extremo del muelle estaacute unido a un punto fijo A situado a una
distancia l=l0 de la recta sobre la que se mueve el pequentildeo objeto como se muestra en
la figura Calcular la frecuencia de las pequentildeas oscilaciones del sistema
23
( )( )
0
0
20
0 2
0
0 0 0 0 0
0
cos
1
1
x
x
k l
l l
xF F F
Llx d x
L l l F k L l k x mL L dt
F k L l
l l l l l lk k
L l l l m l m l
l lk
m l
θ
ω
ω
asymp
gt
= =
= + ∆ = minus minus = minus minus == minus minus
minus= rarr = minus =+ ∆
minus=
7
( )20
20
Bloque oscilando
F 0a cs c c
a c cresul
aresul
V g V g
F a y y g V g
F a y g
ρ ρρ ρ
ρ
prime= minus ne
= + minus
=
sum
c cV gρminus 2
2
22 22
2 2
2
2 2
El signo se debe a que el sentido es contrario a y
con
1 1 1 5 980249
2 2 2 100
04
a
recup a
aa
a
a
a yg
F a yg
a gd y d ya yg m y
mdt dt
a gmas
m
a gHz
m
T s
ρρ
ρρ
ρω
ρωυ π π π
+
= minus
minus = rarr = minus
=
sdot sdot= = = =
=
7-Un reloj regulado por un peacutendulo simple de periodo 011 s se coloca en un ascensor
a) iquestCuaacutel es el periodo cuando el ascensor es acelerado hacia arriba con una aceleracioacuten
de moacutedulo 05 g
b) iquestCuaacutel es el periodo cuando el ascensor baja con una aceleracioacuten de moacutedulo 05 g
c) iquestCuaacutel es el periodo cuando el ascensor sube a una velocidad constante de 51 ms
d) Al empezar el diacutea el reloj de peacutendulo se encuentra dentro del ascensor en el piso
correspondiente al vestiacutebulo y se ajusta a la misma hora del reloj del vestiacutebulo El reloj
del peacutendulo y el del vestiacutebulo estaacuten calibrados de tal forma que marcan la misma hora si
permanecen inmoacuteviles Despueacutes de muchos viajes de subida y bajada del ascensor
durante el diacutea el reloj pendular vuelve a estar en el vestiacutebulo iquestMarcan lo mismo los
relojes
a)
( )
1
11
1
Ascensor hacia arriba2
3
2 2
2 23
2
2 2 2011
3 3 3
008981
T T
ga
gF mg ma F m g a m g mg
l lT T
g g
TT T
T
T s
π π
uarr =
minus = rarr = + = + =
= rarr =
= rarr = =
=
8
b)
( )
2
22
2
Ascensor baja2
1
2 2
2
2
2 2 011 2
01556
T T
ga
gmg F ma F m g a m g mg
lT
g
TT T
T
T s
π
darr =
minus = rarr = minus = minus =
=
= rarr = =
=
c) A velocidad constante la aceleracioacuten es nula y el periodo no variacutea
0 011a T s= rarr =
d)
T= 011 s
- Reloj cuando el ascensor sube T1 = 008981 s
- Reloj cuando el ascensor baja T2 = 01556 s
Al bajar T2gtT y no compensa cuando sube (T1ltT)
2
1
00456el reloj se retrasa en total 00456 - 002019 002541
002019
Al acabar el diacutea el reloj habraacute retrasado respecto al del vestiacutebulo
T T ss
T T s
minus = =minus =
8-Un aro delgado de 1 m de radio y densidad lineal uniforme oscila libremente en torno
a un eje perpendicular a su plano que pasa por un punto de su borde
a) iquestCuaacutel es el periodo para oscilaciones pequentildeas
b) Un pegote de cera cuya masa es igual al 12 por ciento de la masa del aro se coloca en
el punto de borde diametralmente opuesto al de suspensioacuten iquestcuaacutel es ahora el periodo de
las pequentildeas oscilaciones
9
a)
2
2
2
2
2 2
Plano de giro = plano del anillo
distancia del cm al centro de oscilacioacuten O
momento de inercia del aro respecto a O
1
2T=
sin
2
cm
R m
dM mgR mgR I
dt
d mgR mgR
I Idt
IT
mgR
R
I
I r dm R d
πω
θθ θ
θ θ ω
π
==
=
= minus minus =
= minus rarr =
=
= =
sum
int
≃
2 2
2 2
2
Por Steiner 2
2 22 2
2 12 283845
98
cm
m R dm mR
I I mR mR
mR RT
mgR g
T T s
π π
π
= =
= + =
= =
sdot= rarr =
int int
b)
( )( )2 2 2 2
2
2
012 112
012 2 2 048 248
012 2 124
012 112
248 22 2
124112
112
c
cm
IT
m gR
m m m m m m
I I m R mR mR mR
mR m RR y R
m m
mR RT T T
gmg R
π
π π
prime=primeprime prime
= + = + =prime
= + = + =prime+prime= = =prime+
= = rarr =prime prime
10
9- Una regla uniforme de longitud L=1 m estaacute suspendida de un extremo
a) Determine el periodo de oscilacioacuten Te para pequentildeos desplazamientos angulares
compare el resultado obtenido con el periodo de oscilacioacuten que se tendriacutea si toda la
masa se localizara
i) En el centro de masas (Tcm)
ii) En el extremo inferior (TL)
iii) iquestCuaacutel de los tres periodos es mayor iquestpor queacute
b) Determine el periodo de oscilacioacuten (TP) si estaacute suspendida de un punto P a una
distancia x del centro de masas
Calcule el periodo de oscilacioacuten para x=L6 (TL6) y para x=L2 (TL2)
Comente los resultados obtenidos
c) Determine el valor de x para que el periodo sea miacutenimo
a)
2
2
Peacutendulo fiacutesico
con d=distancia del cm al punto de suspensioacuten
Colgada del extremo e
1
2
2 1232 223
1 23
1638
ee
e
e
e
L m
IT
mgd
IT
L mLmg LT
gLmg
I mL
T s
π
π
π π
=
=
=
= =
=
=
ai)
2
2
2
m localizada en el cm 2
periodo del peacutendulo simple de longitud L2
2
1
2 4
1
4 22 2 1419
2
cmcm
cm
cm cm
cm
IT
Lmg
LI m mL
LmLT T s
gLmg
T
π
π π
rarr =
= =
= = rarr =
=
11
aii)
2
2
m localizada en el extremo L
periodo del peacutendulo simple de longitud L
2
2 2 2007
LL
L
cmL
L
IT
mgL
I mL
mL LT T s
mgL g
T
π
π π
rarr =
=
= = rarr =
=
aiii)
debido a que Icm e L cm e LT T T I Ilt lt lt lt
b)
22
2 2 2
2 2
6 6
2 2
2 2
6 2
2122
1
12
6 6
12 36 412 362 2 26 6
6
2 2
12 4 412 42 2 22 6
2
1639
PP
P
cmP
L L
L L
L L
I LT xmgx T
gxI I mx mL mx
L L LL L
x T TL g gg
L L LL L
x T TL g gg
T T s
ππ
π π π
π π π
= +=
= + = +
++= rarr = = rarr =
++= rarr = = rarr =
= =
c)
1 22 2 2
2
2 2
22 2
22
0
2121 122 0
2
2 012
029912 12
PP miacutenimo
TT
x
LL xgx g xx
gx g x
Lx x
L Lx x m
π
minus
part= rarr =part
minus ++=
minus + =
= rarr = =
12
10-El peacutendulo de un reloj normalmente oscila describiendo un arco de longitud 135
mm El mecanismo funciona gracias a una pesa que cae hacia abajo Una vez que la
pesa ha llegado a la base del reloj a las 917 horas la longitud del arco disminuye hasta
95 mm a las 922 horas Teniendo en cuenta que el reloj se para si la longitud del arco es
inferior a 50 mm Determinar
a) La constante γ para este movimiento
b) La hora a la que se para el reloj
a)
5 1
arco normal
arco menor
En 917 tomamos y
Pasados 5 minutos
917 135
922 95
0 135
95 135 007028min
tA Ae
mm
mm
t A mm
e
γ
γ γ
minus
minus minus
=primerarrrarr
= =
= rarr =
b)
El reloj se para a los 50 mm
El reloj se para a las
50ln13550 135 141328min
917 141328min 931
te t
horas
γγ
minus= rarr = minus =
+ ≃
11-Una moneda permanece en reposo sobre una plataforma horizontal que realiza un
movimiento armoacutenico simple de amplitud A y frecuencia ν
a) Si la plataforma oscila verticalmente iquestcuaacutel es el valor maacuteximo de A que permite a la
moneda permanecer en contacto permanente con la plataforma
b) Supongamos ahora que la plataforma oscila horizontalmente y que micro es el coeficiente
de rozamiento estaacutetico entre la moneda y la plataforma iquestCuaacutel es el valor maacuteximo de A
que permite a la moneda permanecer en reposo respecto a la plataforma
13
a)
2
max
2max
maxmax 2 2
La aceleracioacuten maacutexima corresponderaacute a
En el oscilador armoacutenico luego
0
A4
P N ma
N a g
a A
a g
ω
ω π υ
minus == rarr =
=
= =
b)
max
max 2 2En el oscilador armoacutenico implicaraacute
4
r
r
F N mga g
F ma
gA
micro micro micro
microπ υ
= ==
=
=
12-Por la garganta de una polea cuya masa m = 800 g puede considerarse concentrada
en su periferia pasa un hilo inextensible y sin masa De uno de los extremos del hilo
cuelga una masa M = 200 g y el otro extremo del hilo estaacute atado a un resorte vertical de
constante elaacutestica K = 16middot105 dinas cm que a su vez estaacute fijo al suelo por su otro
extremo Calcule el periodo de las pequentildeas oscilaciones de M
(Paacutegina 223 del Tebar-Flores)
Debe ser un movimiento armoacutenico simple
Cuando el sistema estaacute en reposo la fuerza que actuacutea sobre el resorte es Mg y debe
cumplirse
0 (1)Mg kx=
Donde hemos llamado x0 al alargamiento del resorte en esta posicioacuten de equilibrio
14
Si desplazamos ligeramente la masa M y tiramos de ella hacia abajo
( )2 0 (2)T k x x= +
Y en la masa M
( )1 3Mg T Maminus =
Aplicando a la polea la ecuacioacuten fundamental de la dinaacutemica de la rotacioacuten
21 2
I
aT R T R I mR mRa
Rα
αminus = = =
Dividiendo todo por R queda
( )1 2 4T T maminus =
De las ecuaciones (1) (2) (3) y (4) se deduce
2a x
k ka x
m M m Mωω
=minus= minus rarr =
+ +
y el periodo
3M+m 10T=2 2
k 16 10
0157T s
π π=sdot
=
13-Un peacutendulo estaacute constituido por dos esferas pequentildeas e iguales de 1 kg de masa
unidas a los extremos de una varilla riacutegida de 1 m de longitud y masa despreciable
Determinar el periodo de las pequentildeas oscilaciones de este peacutendulo si se suspende
a) De un extremo
b) Del otro extremo
c) De un punto situado a un tercio de distancia entre uno y otro extremo
d) Del punto medio
a) y b)
2
2
lT
g
T s
π=
=
c)
15
( )
( )
1 2
2 2 2
1 2 1 2
1 2
2 5
3 3 9
52 2 26
3
26
z
d d d
d d mdI m m
I mgd sen mgd sen mg d d
I dT s
gmg d d
T s
α θ θ θ
π π
= +
= + =
= minus + minus minus
= = =minus
=
≃
d)
1 2 0d d Tminus = rarr = infin
Modo 2
2 2 22 5
2 3 3 3 9
52 2 26
3
d d d d mdL I m m
I dT s
mgL gπ π
= minus = + =
= = =
14-Cuando la plomada de un peacutendulo coacutenico describe una trayectoria circular el hilo
de longitud L barre un cono de semiaacutengulo θ a) Calcular el periodo del movimiento circular de la plomada en funcioacuten de L g y θ Si la circunferencia anterior estaacute en el plano xy con el centro en el origen
b) demuestre que cada coordenada x e y sigue un
mas y compare su periodo con el que tendriacutea el
mismo sistema oscilando en un plano vertical
16
N
2 2N
2 2
N
Sobre la masa A actuacutea su peso y la tensioacuten de la cuerda
Su resultante debe ser F es decir justamente la fuerza centriacutepeta
necesaria para describir el ciacuterculo
F
F
Fv R
R Lsen
m R m Lsen
mv Rm
R ω
θ
ω ω θω
=
=
= =
= =2
2
2 2N
22
F
coscos cos cos
m RR
m Lsen Lsentg
mg mg g
sen g g gtg
L LL
ω
ω θ ω θθ
θθ θ ω ωθ θ θω
=
= = =
= rarr = rarr = rarr =
2
1
2 cos
1 cos2
f
gf
L
Lf T
T g
ω π
π θθπ
=
=
= rarr =
b)
P coacutenico 2
2
2
4 tan costan 2c
g lR g T
T lsen g
π θ θω θ πθ
= = =
P Plano
2p
lT
gπ=
Relacioacuten 0
cos 1c
p
T
T θθ
rarr
= rarr
En coordenadas rectangulares (x y) horizontales
P coacutenico 2 2 2 x y R v R Cteω+ = = =
P planos
( )0 sinx y R tω φ= +
Composicioacuten
( ) ( ) ( )
2 2 2 2 2 2 2
2 2 22 2 2
sin cos
cos sin
x y R t R t R
v R t R t R v R
ω ω
ω ω ω ω ω ω
+ = + = = + = =
17
15-Determine las frecuencias de oscilacioacuten correspondientes a cada uno de los sistemas
representados en las figuras siguientes suponiendo que el bloque de masa m estaacute
situado sobre una superficie horizontal lisa y que las constantes elaacutesticas son k1 y k2
para cada uno de los dos resortes unidos al bloque
a)
( )
( )1 2
1 2
1 2
1 1 11 2
2 2 2
1 21 2
1 2
1 2
1 2 1 2
1 2
1 2
1 1 1
1
2a
k k
m k k
x x x
F k xF F F
F k x
F FFF kx x x x
k k k
k kk
k k k k k
k kk
m m k kω
υ π
+
= += minus
= == minus
= minus rarr = minus = + = minus minus
rarr = + rarr =+
= =+
rarr =
a b c
18
b)
( )
1 2
1 1 11 2
2 2 2
1 1 2 2 1 2
1 2
1 2 1 21
2b
x x x
F k xF F F
F k x
kx k x k x k k x
k k k
k k k kk
m m mω υ π
= == minus
= += minus
minus = minus minus = minus += +
+ += = rarr =
c)
( )
1 2
1 2
1 1 2 2 1 2 1 2
Lo que se estira el muelle 1 es igual
a lo que se comprime el muelle 2
c b
x x
F F F
kx k x k x k k x k k k
υ υ
=
= +minus = minus minus = minus + rarr = +
=
16-Un tubo en forma de U y de seccioacuten recta constante A estaacute abierto a la atmoacutesfera
Estaacute lleno hasta un nivel de un liacutequido incompresible que fluye a traveacutes del tubo con
rozamiento despreciable Demostrar que si se hace descender la superficie del liacutequido en
uno de los brazos de la U y luego se deja libre el periodo de las oscilaciones de la
columna liacutequida es T=2π(L2g)12
( )2
2
Fuerza recuperadora
2
2
rec
rec
F
F g y A
d yg yA m
dtm V AL
ρ
ρ
ρ ρ
ρ
=
= minus
minus =
= =
minus 2g y A ρ= A2
2
2
2Movimiento armoacutenico simple
con
2
2 22
2
d yL
dt
d y gy
Ldt
g LT T
L g
πω πω
= minus rarr
= rarr = rarr =
19
17-Un bloque de masa 25 kg estaacute conectado a un muelle de constante elaacutestica 1250
Nm el movimiento del bloque estaacute amortiguado con b=50 kgs Estaacute sometido a una
fuerza externa sinusoidal de frecuencia angular ω=25 rads y moacutedulo maacuteximo 12 N
Determinar
a) La amplitud y la constante de fase para el movimiento en estado estacionario
b) La amplitud del sistema cuando estaacute en resonancia de amplitud
25
25
1250
50
12
t
o
rad s
m kg
k N m
b kg s
F N
ω ====
=
( )
2 2
1
2
22 2 2 2
2 2
3
Resonancia
1250500
25
5010
2 2 2512
48 25
4
2
9313 10
2 10 257596 1326
500 625
962
96
o
o
o
o
o t t
e
o t
o
o
o
t ot
o
ks
m
bs
mF
m sm
F
mA
tg
A m
arctg rad
F
mA mm
A mm
ω
γ
ω ω γ ω
γωδω ω
δ δ
ω ω γω
minus
minus
minus
= = =
= = =sdot
= =
=minus +
=minus
= sdotsdot sdot= = minus rarr = minus
minus
= rarr = =
=
18-Un cuerpo de 2 kg descansa sobre un tablero horizontal y estaacute unido al extremo libre
de un muelle de constante elaacutestica k= 200 Nm En un instante dado sus oscilaciones
presentan una amplitud de 30 cm pero debido al rozamiento dicha amplitud se reduce a
la mitad cuando han transcurrido 25 segundos Determinar
a) El valor del paraacutemetro de amortiguamiento β y del tiempo de relajacioacuten τ
b) La frecuencia y el periodo de las oscilaciones no amortiguadas
c) Lo mismo para las oscilaciones amortiguadas
20
d) El tiempo que debe transcurrir para que se disipe la mitad de la energiacutea del oscilador
e) Lo mismo para que se disipe el 99 de la energiacutea del oscilador iquestCuaacutel seraacute entonces
la amplitud de las oscilaciones
( )2
0
0 cos
2
200
03
1
2
mt
m kg kF kx ma
mk N m
A m
x A e tβ
ω
ω δ
τ β
minus
= = minus = rarr ===
= minus
=
a)
( ) ( )2
252
0
1
En 25
2 ln 225 ln 2
2 25
1
225
2
011
1803
1803
m
m
t
tt
m
m
A A ee
At s A
kgs
ms
s
β
βδ
β β
β
τ βτ
minusminus
minus
+
=
==
= rarr =
rarr =
=
= =
=
b)
( ) ( )0
10 210
2 10
1591549
062831
rad s Hz T s
Hz
T s
πω ν πν
= rarr = =
==
c)
2 20 2
159
0628
Hz
T s
ωω ω β ν πν
= minus rarr =
==
d)
21
La energiacutea se disipa de acuerdo con la expresioacuten 0
t
E E e τminus
=
T1 es el tiempo necesario para que se disipe la mitad ( )1
01 0
2
TE
E T E e τminus
= =
1 ln 2 126T sτ= =
1 126 sT =
e)
( )2
2 0 0001
T
E T E E e τminus
= =
T2 es el tiempo necesario para que se disipe el 99
( )2 ln 001 838E T sτ= minus =
2 838 sT =
La amplitud viene dada por
( )( )
2 20 0
2
0
Bt t
m
t
A t A e A e
A te
A
τ
τ
minus minus
minus
= =
=
Al transcurrir T2 tendremos
( ) ( )2 001 1ln
2 2 2 2
0
001 01
TA Te e
Aτ
minus= = = =
Ha decaiacutedo al 90 de la amplitud inicial
19-Los aacutetomos de un soacutelido ejecutan oscilaciones armoacutenicas independientes alrededor
de posiciones fijas de equilibrio dispuestas seguacuten una red cuacutebica de lado a = 11middot10-11m
Estos aacutetomos tienen una masa de 10-22 g y vibran con frecuencia de 10
13 Hz Seguacuten la
mecaacutenica estadiacutestica la energiacutea total de cada oscilador es κT donde κ =RN0 es la
constante de Boltzman
a) Calcular la constante de recuperacioacuten
b) iquestCuaacutel es la amplitud de las oscilaciones a temperatura ambiente (17ordmC)
c) Imaginando que el soacutelido fundiese cuando la amplitud de las oscilaciones alcanzase
un valor de a10 iquesta queacute temperatura fundiriacutea el soacutelido
Datos R = 831 JKmol N0 = 60231023 moleacuteculasmol
22
13
22
0
10 2
10
f Hz E T f
Rm g
N
κ ω π
κminus
= = =
= =
a)
( )22 22 3 13 25 26 2
2
10 10 2 10 10 4 10
40
k m kg Hz kg s
k N m
ω π π
π
minus minus minus= = sdot sdot sdot = sdot
=
b)
( )232
2
12
8312 273 17
1 2 2 6023 102 40
1672 10
E TE kA A
k k
A m
κπ
minus
+sdot= rarr = = =
= sdot
c)
( )
2
2
2 11 2322 20
0
1 1
10 2 2 10
40 51 10 6023 10
2 100 200 200 831200
37209 9909ordm
fuioacuten
fuioacuten
fuioacuten
a aA E kA k T
ka Nka kaT
R RN
T K C
κ
πκ
minus
= = = =
sdot sdot= = = =
sdot
= =
20- Consideramos un pequentildeo objeto de masa m que tan soacutelo puede moverse a lo
largo de una recta unido a un extremo de un muelle de constante elaacutestica k y de
longitud l0 El otro extremo del muelle estaacute unido a un punto fijo A situado a una
distancia l=l0 de la recta sobre la que se mueve el pequentildeo objeto como se muestra en
la figura Calcular la frecuencia de las pequentildeas oscilaciones del sistema
23
( )( )
0
0
20
0 2
0
0 0 0 0 0
0
cos
1
1
x
x
k l
l l
xF F F
Llx d x
L l l F k L l k x mL L dt
F k L l
l l l l l lk k
L l l l m l m l
l lk
m l
θ
ω
ω
asymp
gt
= =
= + ∆ = minus minus = minus minus == minus minus
minus= rarr = minus =+ ∆
minus=
8
b)
( )
2
22
2
Ascensor baja2
1
2 2
2
2
2 2 011 2
01556
T T
ga
gmg F ma F m g a m g mg
lT
g
TT T
T
T s
π
darr =
minus = rarr = minus = minus =
=
= rarr = =
=
c) A velocidad constante la aceleracioacuten es nula y el periodo no variacutea
0 011a T s= rarr =
d)
T= 011 s
- Reloj cuando el ascensor sube T1 = 008981 s
- Reloj cuando el ascensor baja T2 = 01556 s
Al bajar T2gtT y no compensa cuando sube (T1ltT)
2
1
00456el reloj se retrasa en total 00456 - 002019 002541
002019
Al acabar el diacutea el reloj habraacute retrasado respecto al del vestiacutebulo
T T ss
T T s
minus = =minus =
8-Un aro delgado de 1 m de radio y densidad lineal uniforme oscila libremente en torno
a un eje perpendicular a su plano que pasa por un punto de su borde
a) iquestCuaacutel es el periodo para oscilaciones pequentildeas
b) Un pegote de cera cuya masa es igual al 12 por ciento de la masa del aro se coloca en
el punto de borde diametralmente opuesto al de suspensioacuten iquestcuaacutel es ahora el periodo de
las pequentildeas oscilaciones
9
a)
2
2
2
2
2 2
Plano de giro = plano del anillo
distancia del cm al centro de oscilacioacuten O
momento de inercia del aro respecto a O
1
2T=
sin
2
cm
R m
dM mgR mgR I
dt
d mgR mgR
I Idt
IT
mgR
R
I
I r dm R d
πω
θθ θ
θ θ ω
π
==
=
= minus minus =
= minus rarr =
=
= =
sum
int
≃
2 2
2 2
2
Por Steiner 2
2 22 2
2 12 283845
98
cm
m R dm mR
I I mR mR
mR RT
mgR g
T T s
π π
π
= =
= + =
= =
sdot= rarr =
int int
b)
( )( )2 2 2 2
2
2
012 112
012 2 2 048 248
012 2 124
012 112
248 22 2
124112
112
c
cm
IT
m gR
m m m m m m
I I m R mR mR mR
mR m RR y R
m m
mR RT T T
gmg R
π
π π
prime=primeprime prime
= + = + =prime
= + = + =prime+prime= = =prime+
= = rarr =prime prime
10
9- Una regla uniforme de longitud L=1 m estaacute suspendida de un extremo
a) Determine el periodo de oscilacioacuten Te para pequentildeos desplazamientos angulares
compare el resultado obtenido con el periodo de oscilacioacuten que se tendriacutea si toda la
masa se localizara
i) En el centro de masas (Tcm)
ii) En el extremo inferior (TL)
iii) iquestCuaacutel de los tres periodos es mayor iquestpor queacute
b) Determine el periodo de oscilacioacuten (TP) si estaacute suspendida de un punto P a una
distancia x del centro de masas
Calcule el periodo de oscilacioacuten para x=L6 (TL6) y para x=L2 (TL2)
Comente los resultados obtenidos
c) Determine el valor de x para que el periodo sea miacutenimo
a)
2
2
Peacutendulo fiacutesico
con d=distancia del cm al punto de suspensioacuten
Colgada del extremo e
1
2
2 1232 223
1 23
1638
ee
e
e
e
L m
IT
mgd
IT
L mLmg LT
gLmg
I mL
T s
π
π
π π
=
=
=
= =
=
=
ai)
2
2
2
m localizada en el cm 2
periodo del peacutendulo simple de longitud L2
2
1
2 4
1
4 22 2 1419
2
cmcm
cm
cm cm
cm
IT
Lmg
LI m mL
LmLT T s
gLmg
T
π
π π
rarr =
= =
= = rarr =
=
11
aii)
2
2
m localizada en el extremo L
periodo del peacutendulo simple de longitud L
2
2 2 2007
LL
L
cmL
L
IT
mgL
I mL
mL LT T s
mgL g
T
π
π π
rarr =
=
= = rarr =
=
aiii)
debido a que Icm e L cm e LT T T I Ilt lt lt lt
b)
22
2 2 2
2 2
6 6
2 2
2 2
6 2
2122
1
12
6 6
12 36 412 362 2 26 6
6
2 2
12 4 412 42 2 22 6
2
1639
PP
P
cmP
L L
L L
L L
I LT xmgx T
gxI I mx mL mx
L L LL L
x T TL g gg
L L LL L
x T TL g gg
T T s
ππ
π π π
π π π
= +=
= + = +
++= rarr = = rarr =
++= rarr = = rarr =
= =
c)
1 22 2 2
2
2 2
22 2
22
0
2121 122 0
2
2 012
029912 12
PP miacutenimo
TT
x
LL xgx g xx
gx g x
Lx x
L Lx x m
π
minus
part= rarr =part
minus ++=
minus + =
= rarr = =
12
10-El peacutendulo de un reloj normalmente oscila describiendo un arco de longitud 135
mm El mecanismo funciona gracias a una pesa que cae hacia abajo Una vez que la
pesa ha llegado a la base del reloj a las 917 horas la longitud del arco disminuye hasta
95 mm a las 922 horas Teniendo en cuenta que el reloj se para si la longitud del arco es
inferior a 50 mm Determinar
a) La constante γ para este movimiento
b) La hora a la que se para el reloj
a)
5 1
arco normal
arco menor
En 917 tomamos y
Pasados 5 minutos
917 135
922 95
0 135
95 135 007028min
tA Ae
mm
mm
t A mm
e
γ
γ γ
minus
minus minus
=primerarrrarr
= =
= rarr =
b)
El reloj se para a los 50 mm
El reloj se para a las
50ln13550 135 141328min
917 141328min 931
te t
horas
γγ
minus= rarr = minus =
+ ≃
11-Una moneda permanece en reposo sobre una plataforma horizontal que realiza un
movimiento armoacutenico simple de amplitud A y frecuencia ν
a) Si la plataforma oscila verticalmente iquestcuaacutel es el valor maacuteximo de A que permite a la
moneda permanecer en contacto permanente con la plataforma
b) Supongamos ahora que la plataforma oscila horizontalmente y que micro es el coeficiente
de rozamiento estaacutetico entre la moneda y la plataforma iquestCuaacutel es el valor maacuteximo de A
que permite a la moneda permanecer en reposo respecto a la plataforma
13
a)
2
max
2max
maxmax 2 2
La aceleracioacuten maacutexima corresponderaacute a
En el oscilador armoacutenico luego
0
A4
P N ma
N a g
a A
a g
ω
ω π υ
minus == rarr =
=
= =
b)
max
max 2 2En el oscilador armoacutenico implicaraacute
4
r
r
F N mga g
F ma
gA
micro micro micro
microπ υ
= ==
=
=
12-Por la garganta de una polea cuya masa m = 800 g puede considerarse concentrada
en su periferia pasa un hilo inextensible y sin masa De uno de los extremos del hilo
cuelga una masa M = 200 g y el otro extremo del hilo estaacute atado a un resorte vertical de
constante elaacutestica K = 16middot105 dinas cm que a su vez estaacute fijo al suelo por su otro
extremo Calcule el periodo de las pequentildeas oscilaciones de M
(Paacutegina 223 del Tebar-Flores)
Debe ser un movimiento armoacutenico simple
Cuando el sistema estaacute en reposo la fuerza que actuacutea sobre el resorte es Mg y debe
cumplirse
0 (1)Mg kx=
Donde hemos llamado x0 al alargamiento del resorte en esta posicioacuten de equilibrio
14
Si desplazamos ligeramente la masa M y tiramos de ella hacia abajo
( )2 0 (2)T k x x= +
Y en la masa M
( )1 3Mg T Maminus =
Aplicando a la polea la ecuacioacuten fundamental de la dinaacutemica de la rotacioacuten
21 2
I
aT R T R I mR mRa
Rα
αminus = = =
Dividiendo todo por R queda
( )1 2 4T T maminus =
De las ecuaciones (1) (2) (3) y (4) se deduce
2a x
k ka x
m M m Mωω
=minus= minus rarr =
+ +
y el periodo
3M+m 10T=2 2
k 16 10
0157T s
π π=sdot
=
13-Un peacutendulo estaacute constituido por dos esferas pequentildeas e iguales de 1 kg de masa
unidas a los extremos de una varilla riacutegida de 1 m de longitud y masa despreciable
Determinar el periodo de las pequentildeas oscilaciones de este peacutendulo si se suspende
a) De un extremo
b) Del otro extremo
c) De un punto situado a un tercio de distancia entre uno y otro extremo
d) Del punto medio
a) y b)
2
2
lT
g
T s
π=
=
c)
15
( )
( )
1 2
2 2 2
1 2 1 2
1 2
2 5
3 3 9
52 2 26
3
26
z
d d d
d d mdI m m
I mgd sen mgd sen mg d d
I dT s
gmg d d
T s
α θ θ θ
π π
= +
= + =
= minus + minus minus
= = =minus
=
≃
d)
1 2 0d d Tminus = rarr = infin
Modo 2
2 2 22 5
2 3 3 3 9
52 2 26
3
d d d d mdL I m m
I dT s
mgL gπ π
= minus = + =
= = =
14-Cuando la plomada de un peacutendulo coacutenico describe una trayectoria circular el hilo
de longitud L barre un cono de semiaacutengulo θ a) Calcular el periodo del movimiento circular de la plomada en funcioacuten de L g y θ Si la circunferencia anterior estaacute en el plano xy con el centro en el origen
b) demuestre que cada coordenada x e y sigue un
mas y compare su periodo con el que tendriacutea el
mismo sistema oscilando en un plano vertical
16
N
2 2N
2 2
N
Sobre la masa A actuacutea su peso y la tensioacuten de la cuerda
Su resultante debe ser F es decir justamente la fuerza centriacutepeta
necesaria para describir el ciacuterculo
F
F
Fv R
R Lsen
m R m Lsen
mv Rm
R ω
θ
ω ω θω
=
=
= =
= =2
2
2 2N
22
F
coscos cos cos
m RR
m Lsen Lsentg
mg mg g
sen g g gtg
L LL
ω
ω θ ω θθ
θθ θ ω ωθ θ θω
=
= = =
= rarr = rarr = rarr =
2
1
2 cos
1 cos2
f
gf
L
Lf T
T g
ω π
π θθπ
=
=
= rarr =
b)
P coacutenico 2
2
2
4 tan costan 2c
g lR g T
T lsen g
π θ θω θ πθ
= = =
P Plano
2p
lT
gπ=
Relacioacuten 0
cos 1c
p
T
T θθ
rarr
= rarr
En coordenadas rectangulares (x y) horizontales
P coacutenico 2 2 2 x y R v R Cteω+ = = =
P planos
( )0 sinx y R tω φ= +
Composicioacuten
( ) ( ) ( )
2 2 2 2 2 2 2
2 2 22 2 2
sin cos
cos sin
x y R t R t R
v R t R t R v R
ω ω
ω ω ω ω ω ω
+ = + = = + = =
17
15-Determine las frecuencias de oscilacioacuten correspondientes a cada uno de los sistemas
representados en las figuras siguientes suponiendo que el bloque de masa m estaacute
situado sobre una superficie horizontal lisa y que las constantes elaacutesticas son k1 y k2
para cada uno de los dos resortes unidos al bloque
a)
( )
( )1 2
1 2
1 2
1 1 11 2
2 2 2
1 21 2
1 2
1 2
1 2 1 2
1 2
1 2
1 1 1
1
2a
k k
m k k
x x x
F k xF F F
F k x
F FFF kx x x x
k k k
k kk
k k k k k
k kk
m m k kω
υ π
+
= += minus
= == minus
= minus rarr = minus = + = minus minus
rarr = + rarr =+
= =+
rarr =
a b c
18
b)
( )
1 2
1 1 11 2
2 2 2
1 1 2 2 1 2
1 2
1 2 1 21
2b
x x x
F k xF F F
F k x
kx k x k x k k x
k k k
k k k kk
m m mω υ π
= == minus
= += minus
minus = minus minus = minus += +
+ += = rarr =
c)
( )
1 2
1 2
1 1 2 2 1 2 1 2
Lo que se estira el muelle 1 es igual
a lo que se comprime el muelle 2
c b
x x
F F F
kx k x k x k k x k k k
υ υ
=
= +minus = minus minus = minus + rarr = +
=
16-Un tubo en forma de U y de seccioacuten recta constante A estaacute abierto a la atmoacutesfera
Estaacute lleno hasta un nivel de un liacutequido incompresible que fluye a traveacutes del tubo con
rozamiento despreciable Demostrar que si se hace descender la superficie del liacutequido en
uno de los brazos de la U y luego se deja libre el periodo de las oscilaciones de la
columna liacutequida es T=2π(L2g)12
( )2
2
Fuerza recuperadora
2
2
rec
rec
F
F g y A
d yg yA m
dtm V AL
ρ
ρ
ρ ρ
ρ
=
= minus
minus =
= =
minus 2g y A ρ= A2
2
2
2Movimiento armoacutenico simple
con
2
2 22
2
d yL
dt
d y gy
Ldt
g LT T
L g
πω πω
= minus rarr
= rarr = rarr =
19
17-Un bloque de masa 25 kg estaacute conectado a un muelle de constante elaacutestica 1250
Nm el movimiento del bloque estaacute amortiguado con b=50 kgs Estaacute sometido a una
fuerza externa sinusoidal de frecuencia angular ω=25 rads y moacutedulo maacuteximo 12 N
Determinar
a) La amplitud y la constante de fase para el movimiento en estado estacionario
b) La amplitud del sistema cuando estaacute en resonancia de amplitud
25
25
1250
50
12
t
o
rad s
m kg
k N m
b kg s
F N
ω ====
=
( )
2 2
1
2
22 2 2 2
2 2
3
Resonancia
1250500
25
5010
2 2 2512
48 25
4
2
9313 10
2 10 257596 1326
500 625
962
96
o
o
o
o
o t t
e
o t
o
o
o
t ot
o
ks
m
bs
mF
m sm
F
mA
tg
A m
arctg rad
F
mA mm
A mm
ω
γ
ω ω γ ω
γωδω ω
δ δ
ω ω γω
minus
minus
minus
= = =
= = =sdot
= =
=minus +
=minus
= sdotsdot sdot= = minus rarr = minus
minus
= rarr = =
=
18-Un cuerpo de 2 kg descansa sobre un tablero horizontal y estaacute unido al extremo libre
de un muelle de constante elaacutestica k= 200 Nm En un instante dado sus oscilaciones
presentan una amplitud de 30 cm pero debido al rozamiento dicha amplitud se reduce a
la mitad cuando han transcurrido 25 segundos Determinar
a) El valor del paraacutemetro de amortiguamiento β y del tiempo de relajacioacuten τ
b) La frecuencia y el periodo de las oscilaciones no amortiguadas
c) Lo mismo para las oscilaciones amortiguadas
20
d) El tiempo que debe transcurrir para que se disipe la mitad de la energiacutea del oscilador
e) Lo mismo para que se disipe el 99 de la energiacutea del oscilador iquestCuaacutel seraacute entonces
la amplitud de las oscilaciones
( )2
0
0 cos
2
200
03
1
2
mt
m kg kF kx ma
mk N m
A m
x A e tβ
ω
ω δ
τ β
minus
= = minus = rarr ===
= minus
=
a)
( ) ( )2
252
0
1
En 25
2 ln 225 ln 2
2 25
1
225
2
011
1803
1803
m
m
t
tt
m
m
A A ee
At s A
kgs
ms
s
β
βδ
β β
β
τ βτ
minusminus
minus
+
=
==
= rarr =
rarr =
=
= =
=
b)
( ) ( )0
10 210
2 10
1591549
062831
rad s Hz T s
Hz
T s
πω ν πν
= rarr = =
==
c)
2 20 2
159
0628
Hz
T s
ωω ω β ν πν
= minus rarr =
==
d)
21
La energiacutea se disipa de acuerdo con la expresioacuten 0
t
E E e τminus
=
T1 es el tiempo necesario para que se disipe la mitad ( )1
01 0
2
TE
E T E e τminus
= =
1 ln 2 126T sτ= =
1 126 sT =
e)
( )2
2 0 0001
T
E T E E e τminus
= =
T2 es el tiempo necesario para que se disipe el 99
( )2 ln 001 838E T sτ= minus =
2 838 sT =
La amplitud viene dada por
( )( )
2 20 0
2
0
Bt t
m
t
A t A e A e
A te
A
τ
τ
minus minus
minus
= =
=
Al transcurrir T2 tendremos
( ) ( )2 001 1ln
2 2 2 2
0
001 01
TA Te e
Aτ
minus= = = =
Ha decaiacutedo al 90 de la amplitud inicial
19-Los aacutetomos de un soacutelido ejecutan oscilaciones armoacutenicas independientes alrededor
de posiciones fijas de equilibrio dispuestas seguacuten una red cuacutebica de lado a = 11middot10-11m
Estos aacutetomos tienen una masa de 10-22 g y vibran con frecuencia de 10
13 Hz Seguacuten la
mecaacutenica estadiacutestica la energiacutea total de cada oscilador es κT donde κ =RN0 es la
constante de Boltzman
a) Calcular la constante de recuperacioacuten
b) iquestCuaacutel es la amplitud de las oscilaciones a temperatura ambiente (17ordmC)
c) Imaginando que el soacutelido fundiese cuando la amplitud de las oscilaciones alcanzase
un valor de a10 iquesta queacute temperatura fundiriacutea el soacutelido
Datos R = 831 JKmol N0 = 60231023 moleacuteculasmol
22
13
22
0
10 2
10
f Hz E T f
Rm g
N
κ ω π
κminus
= = =
= =
a)
( )22 22 3 13 25 26 2
2
10 10 2 10 10 4 10
40
k m kg Hz kg s
k N m
ω π π
π
minus minus minus= = sdot sdot sdot = sdot
=
b)
( )232
2
12
8312 273 17
1 2 2 6023 102 40
1672 10
E TE kA A
k k
A m
κπ
minus
+sdot= rarr = = =
= sdot
c)
( )
2
2
2 11 2322 20
0
1 1
10 2 2 10
40 51 10 6023 10
2 100 200 200 831200
37209 9909ordm
fuioacuten
fuioacuten
fuioacuten
a aA E kA k T
ka Nka kaT
R RN
T K C
κ
πκ
minus
= = = =
sdot sdot= = = =
sdot
= =
20- Consideramos un pequentildeo objeto de masa m que tan soacutelo puede moverse a lo
largo de una recta unido a un extremo de un muelle de constante elaacutestica k y de
longitud l0 El otro extremo del muelle estaacute unido a un punto fijo A situado a una
distancia l=l0 de la recta sobre la que se mueve el pequentildeo objeto como se muestra en
la figura Calcular la frecuencia de las pequentildeas oscilaciones del sistema
23
( )( )
0
0
20
0 2
0
0 0 0 0 0
0
cos
1
1
x
x
k l
l l
xF F F
Llx d x
L l l F k L l k x mL L dt
F k L l
l l l l l lk k
L l l l m l m l
l lk
m l
θ
ω
ω
asymp
gt
= =
= + ∆ = minus minus = minus minus == minus minus
minus= rarr = minus =+ ∆
minus=
9
a)
2
2
2
2
2 2
Plano de giro = plano del anillo
distancia del cm al centro de oscilacioacuten O
momento de inercia del aro respecto a O
1
2T=
sin
2
cm
R m
dM mgR mgR I
dt
d mgR mgR
I Idt
IT
mgR
R
I
I r dm R d
πω
θθ θ
θ θ ω
π
==
=
= minus minus =
= minus rarr =
=
= =
sum
int
≃
2 2
2 2
2
Por Steiner 2
2 22 2
2 12 283845
98
cm
m R dm mR
I I mR mR
mR RT
mgR g
T T s
π π
π
= =
= + =
= =
sdot= rarr =
int int
b)
( )( )2 2 2 2
2
2
012 112
012 2 2 048 248
012 2 124
012 112
248 22 2
124112
112
c
cm
IT
m gR
m m m m m m
I I m R mR mR mR
mR m RR y R
m m
mR RT T T
gmg R
π
π π
prime=primeprime prime
= + = + =prime
= + = + =prime+prime= = =prime+
= = rarr =prime prime
10
9- Una regla uniforme de longitud L=1 m estaacute suspendida de un extremo
a) Determine el periodo de oscilacioacuten Te para pequentildeos desplazamientos angulares
compare el resultado obtenido con el periodo de oscilacioacuten que se tendriacutea si toda la
masa se localizara
i) En el centro de masas (Tcm)
ii) En el extremo inferior (TL)
iii) iquestCuaacutel de los tres periodos es mayor iquestpor queacute
b) Determine el periodo de oscilacioacuten (TP) si estaacute suspendida de un punto P a una
distancia x del centro de masas
Calcule el periodo de oscilacioacuten para x=L6 (TL6) y para x=L2 (TL2)
Comente los resultados obtenidos
c) Determine el valor de x para que el periodo sea miacutenimo
a)
2
2
Peacutendulo fiacutesico
con d=distancia del cm al punto de suspensioacuten
Colgada del extremo e
1
2
2 1232 223
1 23
1638
ee
e
e
e
L m
IT
mgd
IT
L mLmg LT
gLmg
I mL
T s
π
π
π π
=
=
=
= =
=
=
ai)
2
2
2
m localizada en el cm 2
periodo del peacutendulo simple de longitud L2
2
1
2 4
1
4 22 2 1419
2
cmcm
cm
cm cm
cm
IT
Lmg
LI m mL
LmLT T s
gLmg
T
π
π π
rarr =
= =
= = rarr =
=
11
aii)
2
2
m localizada en el extremo L
periodo del peacutendulo simple de longitud L
2
2 2 2007
LL
L
cmL
L
IT
mgL
I mL
mL LT T s
mgL g
T
π
π π
rarr =
=
= = rarr =
=
aiii)
debido a que Icm e L cm e LT T T I Ilt lt lt lt
b)
22
2 2 2
2 2
6 6
2 2
2 2
6 2
2122
1
12
6 6
12 36 412 362 2 26 6
6
2 2
12 4 412 42 2 22 6
2
1639
PP
P
cmP
L L
L L
L L
I LT xmgx T
gxI I mx mL mx
L L LL L
x T TL g gg
L L LL L
x T TL g gg
T T s
ππ
π π π
π π π
= +=
= + = +
++= rarr = = rarr =
++= rarr = = rarr =
= =
c)
1 22 2 2
2
2 2
22 2
22
0
2121 122 0
2
2 012
029912 12
PP miacutenimo
TT
x
LL xgx g xx
gx g x
Lx x
L Lx x m
π
minus
part= rarr =part
minus ++=
minus + =
= rarr = =
12
10-El peacutendulo de un reloj normalmente oscila describiendo un arco de longitud 135
mm El mecanismo funciona gracias a una pesa que cae hacia abajo Una vez que la
pesa ha llegado a la base del reloj a las 917 horas la longitud del arco disminuye hasta
95 mm a las 922 horas Teniendo en cuenta que el reloj se para si la longitud del arco es
inferior a 50 mm Determinar
a) La constante γ para este movimiento
b) La hora a la que se para el reloj
a)
5 1
arco normal
arco menor
En 917 tomamos y
Pasados 5 minutos
917 135
922 95
0 135
95 135 007028min
tA Ae
mm
mm
t A mm
e
γ
γ γ
minus
minus minus
=primerarrrarr
= =
= rarr =
b)
El reloj se para a los 50 mm
El reloj se para a las
50ln13550 135 141328min
917 141328min 931
te t
horas
γγ
minus= rarr = minus =
+ ≃
11-Una moneda permanece en reposo sobre una plataforma horizontal que realiza un
movimiento armoacutenico simple de amplitud A y frecuencia ν
a) Si la plataforma oscila verticalmente iquestcuaacutel es el valor maacuteximo de A que permite a la
moneda permanecer en contacto permanente con la plataforma
b) Supongamos ahora que la plataforma oscila horizontalmente y que micro es el coeficiente
de rozamiento estaacutetico entre la moneda y la plataforma iquestCuaacutel es el valor maacuteximo de A
que permite a la moneda permanecer en reposo respecto a la plataforma
13
a)
2
max
2max
maxmax 2 2
La aceleracioacuten maacutexima corresponderaacute a
En el oscilador armoacutenico luego
0
A4
P N ma
N a g
a A
a g
ω
ω π υ
minus == rarr =
=
= =
b)
max
max 2 2En el oscilador armoacutenico implicaraacute
4
r
r
F N mga g
F ma
gA
micro micro micro
microπ υ
= ==
=
=
12-Por la garganta de una polea cuya masa m = 800 g puede considerarse concentrada
en su periferia pasa un hilo inextensible y sin masa De uno de los extremos del hilo
cuelga una masa M = 200 g y el otro extremo del hilo estaacute atado a un resorte vertical de
constante elaacutestica K = 16middot105 dinas cm que a su vez estaacute fijo al suelo por su otro
extremo Calcule el periodo de las pequentildeas oscilaciones de M
(Paacutegina 223 del Tebar-Flores)
Debe ser un movimiento armoacutenico simple
Cuando el sistema estaacute en reposo la fuerza que actuacutea sobre el resorte es Mg y debe
cumplirse
0 (1)Mg kx=
Donde hemos llamado x0 al alargamiento del resorte en esta posicioacuten de equilibrio
14
Si desplazamos ligeramente la masa M y tiramos de ella hacia abajo
( )2 0 (2)T k x x= +
Y en la masa M
( )1 3Mg T Maminus =
Aplicando a la polea la ecuacioacuten fundamental de la dinaacutemica de la rotacioacuten
21 2
I
aT R T R I mR mRa
Rα
αminus = = =
Dividiendo todo por R queda
( )1 2 4T T maminus =
De las ecuaciones (1) (2) (3) y (4) se deduce
2a x
k ka x
m M m Mωω
=minus= minus rarr =
+ +
y el periodo
3M+m 10T=2 2
k 16 10
0157T s
π π=sdot
=
13-Un peacutendulo estaacute constituido por dos esferas pequentildeas e iguales de 1 kg de masa
unidas a los extremos de una varilla riacutegida de 1 m de longitud y masa despreciable
Determinar el periodo de las pequentildeas oscilaciones de este peacutendulo si se suspende
a) De un extremo
b) Del otro extremo
c) De un punto situado a un tercio de distancia entre uno y otro extremo
d) Del punto medio
a) y b)
2
2
lT
g
T s
π=
=
c)
15
( )
( )
1 2
2 2 2
1 2 1 2
1 2
2 5
3 3 9
52 2 26
3
26
z
d d d
d d mdI m m
I mgd sen mgd sen mg d d
I dT s
gmg d d
T s
α θ θ θ
π π
= +
= + =
= minus + minus minus
= = =minus
=
≃
d)
1 2 0d d Tminus = rarr = infin
Modo 2
2 2 22 5
2 3 3 3 9
52 2 26
3
d d d d mdL I m m
I dT s
mgL gπ π
= minus = + =
= = =
14-Cuando la plomada de un peacutendulo coacutenico describe una trayectoria circular el hilo
de longitud L barre un cono de semiaacutengulo θ a) Calcular el periodo del movimiento circular de la plomada en funcioacuten de L g y θ Si la circunferencia anterior estaacute en el plano xy con el centro en el origen
b) demuestre que cada coordenada x e y sigue un
mas y compare su periodo con el que tendriacutea el
mismo sistema oscilando en un plano vertical
16
N
2 2N
2 2
N
Sobre la masa A actuacutea su peso y la tensioacuten de la cuerda
Su resultante debe ser F es decir justamente la fuerza centriacutepeta
necesaria para describir el ciacuterculo
F
F
Fv R
R Lsen
m R m Lsen
mv Rm
R ω
θ
ω ω θω
=
=
= =
= =2
2
2 2N
22
F
coscos cos cos
m RR
m Lsen Lsentg
mg mg g
sen g g gtg
L LL
ω
ω θ ω θθ
θθ θ ω ωθ θ θω
=
= = =
= rarr = rarr = rarr =
2
1
2 cos
1 cos2
f
gf
L
Lf T
T g
ω π
π θθπ
=
=
= rarr =
b)
P coacutenico 2
2
2
4 tan costan 2c
g lR g T
T lsen g
π θ θω θ πθ
= = =
P Plano
2p
lT
gπ=
Relacioacuten 0
cos 1c
p
T
T θθ
rarr
= rarr
En coordenadas rectangulares (x y) horizontales
P coacutenico 2 2 2 x y R v R Cteω+ = = =
P planos
( )0 sinx y R tω φ= +
Composicioacuten
( ) ( ) ( )
2 2 2 2 2 2 2
2 2 22 2 2
sin cos
cos sin
x y R t R t R
v R t R t R v R
ω ω
ω ω ω ω ω ω
+ = + = = + = =
17
15-Determine las frecuencias de oscilacioacuten correspondientes a cada uno de los sistemas
representados en las figuras siguientes suponiendo que el bloque de masa m estaacute
situado sobre una superficie horizontal lisa y que las constantes elaacutesticas son k1 y k2
para cada uno de los dos resortes unidos al bloque
a)
( )
( )1 2
1 2
1 2
1 1 11 2
2 2 2
1 21 2
1 2
1 2
1 2 1 2
1 2
1 2
1 1 1
1
2a
k k
m k k
x x x
F k xF F F
F k x
F FFF kx x x x
k k k
k kk
k k k k k
k kk
m m k kω
υ π
+
= += minus
= == minus
= minus rarr = minus = + = minus minus
rarr = + rarr =+
= =+
rarr =
a b c
18
b)
( )
1 2
1 1 11 2
2 2 2
1 1 2 2 1 2
1 2
1 2 1 21
2b
x x x
F k xF F F
F k x
kx k x k x k k x
k k k
k k k kk
m m mω υ π
= == minus
= += minus
minus = minus minus = minus += +
+ += = rarr =
c)
( )
1 2
1 2
1 1 2 2 1 2 1 2
Lo que se estira el muelle 1 es igual
a lo que se comprime el muelle 2
c b
x x
F F F
kx k x k x k k x k k k
υ υ
=
= +minus = minus minus = minus + rarr = +
=
16-Un tubo en forma de U y de seccioacuten recta constante A estaacute abierto a la atmoacutesfera
Estaacute lleno hasta un nivel de un liacutequido incompresible que fluye a traveacutes del tubo con
rozamiento despreciable Demostrar que si se hace descender la superficie del liacutequido en
uno de los brazos de la U y luego se deja libre el periodo de las oscilaciones de la
columna liacutequida es T=2π(L2g)12
( )2
2
Fuerza recuperadora
2
2
rec
rec
F
F g y A
d yg yA m
dtm V AL
ρ
ρ
ρ ρ
ρ
=
= minus
minus =
= =
minus 2g y A ρ= A2
2
2
2Movimiento armoacutenico simple
con
2
2 22
2
d yL
dt
d y gy
Ldt
g LT T
L g
πω πω
= minus rarr
= rarr = rarr =
19
17-Un bloque de masa 25 kg estaacute conectado a un muelle de constante elaacutestica 1250
Nm el movimiento del bloque estaacute amortiguado con b=50 kgs Estaacute sometido a una
fuerza externa sinusoidal de frecuencia angular ω=25 rads y moacutedulo maacuteximo 12 N
Determinar
a) La amplitud y la constante de fase para el movimiento en estado estacionario
b) La amplitud del sistema cuando estaacute en resonancia de amplitud
25
25
1250
50
12
t
o
rad s
m kg
k N m
b kg s
F N
ω ====
=
( )
2 2
1
2
22 2 2 2
2 2
3
Resonancia
1250500
25
5010
2 2 2512
48 25
4
2
9313 10
2 10 257596 1326
500 625
962
96
o
o
o
o
o t t
e
o t
o
o
o
t ot
o
ks
m
bs
mF
m sm
F
mA
tg
A m
arctg rad
F
mA mm
A mm
ω
γ
ω ω γ ω
γωδω ω
δ δ
ω ω γω
minus
minus
minus
= = =
= = =sdot
= =
=minus +
=minus
= sdotsdot sdot= = minus rarr = minus
minus
= rarr = =
=
18-Un cuerpo de 2 kg descansa sobre un tablero horizontal y estaacute unido al extremo libre
de un muelle de constante elaacutestica k= 200 Nm En un instante dado sus oscilaciones
presentan una amplitud de 30 cm pero debido al rozamiento dicha amplitud se reduce a
la mitad cuando han transcurrido 25 segundos Determinar
a) El valor del paraacutemetro de amortiguamiento β y del tiempo de relajacioacuten τ
b) La frecuencia y el periodo de las oscilaciones no amortiguadas
c) Lo mismo para las oscilaciones amortiguadas
20
d) El tiempo que debe transcurrir para que se disipe la mitad de la energiacutea del oscilador
e) Lo mismo para que se disipe el 99 de la energiacutea del oscilador iquestCuaacutel seraacute entonces
la amplitud de las oscilaciones
( )2
0
0 cos
2
200
03
1
2
mt
m kg kF kx ma
mk N m
A m
x A e tβ
ω
ω δ
τ β
minus
= = minus = rarr ===
= minus
=
a)
( ) ( )2
252
0
1
En 25
2 ln 225 ln 2
2 25
1
225
2
011
1803
1803
m
m
t
tt
m
m
A A ee
At s A
kgs
ms
s
β
βδ
β β
β
τ βτ
minusminus
minus
+
=
==
= rarr =
rarr =
=
= =
=
b)
( ) ( )0
10 210
2 10
1591549
062831
rad s Hz T s
Hz
T s
πω ν πν
= rarr = =
==
c)
2 20 2
159
0628
Hz
T s
ωω ω β ν πν
= minus rarr =
==
d)
21
La energiacutea se disipa de acuerdo con la expresioacuten 0
t
E E e τminus
=
T1 es el tiempo necesario para que se disipe la mitad ( )1
01 0
2
TE
E T E e τminus
= =
1 ln 2 126T sτ= =
1 126 sT =
e)
( )2
2 0 0001
T
E T E E e τminus
= =
T2 es el tiempo necesario para que se disipe el 99
( )2 ln 001 838E T sτ= minus =
2 838 sT =
La amplitud viene dada por
( )( )
2 20 0
2
0
Bt t
m
t
A t A e A e
A te
A
τ
τ
minus minus
minus
= =
=
Al transcurrir T2 tendremos
( ) ( )2 001 1ln
2 2 2 2
0
001 01
TA Te e
Aτ
minus= = = =
Ha decaiacutedo al 90 de la amplitud inicial
19-Los aacutetomos de un soacutelido ejecutan oscilaciones armoacutenicas independientes alrededor
de posiciones fijas de equilibrio dispuestas seguacuten una red cuacutebica de lado a = 11middot10-11m
Estos aacutetomos tienen una masa de 10-22 g y vibran con frecuencia de 10
13 Hz Seguacuten la
mecaacutenica estadiacutestica la energiacutea total de cada oscilador es κT donde κ =RN0 es la
constante de Boltzman
a) Calcular la constante de recuperacioacuten
b) iquestCuaacutel es la amplitud de las oscilaciones a temperatura ambiente (17ordmC)
c) Imaginando que el soacutelido fundiese cuando la amplitud de las oscilaciones alcanzase
un valor de a10 iquesta queacute temperatura fundiriacutea el soacutelido
Datos R = 831 JKmol N0 = 60231023 moleacuteculasmol
22
13
22
0
10 2
10
f Hz E T f
Rm g
N
κ ω π
κminus
= = =
= =
a)
( )22 22 3 13 25 26 2
2
10 10 2 10 10 4 10
40
k m kg Hz kg s
k N m
ω π π
π
minus minus minus= = sdot sdot sdot = sdot
=
b)
( )232
2
12
8312 273 17
1 2 2 6023 102 40
1672 10
E TE kA A
k k
A m
κπ
minus
+sdot= rarr = = =
= sdot
c)
( )
2
2
2 11 2322 20
0
1 1
10 2 2 10
40 51 10 6023 10
2 100 200 200 831200
37209 9909ordm
fuioacuten
fuioacuten
fuioacuten
a aA E kA k T
ka Nka kaT
R RN
T K C
κ
πκ
minus
= = = =
sdot sdot= = = =
sdot
= =
20- Consideramos un pequentildeo objeto de masa m que tan soacutelo puede moverse a lo
largo de una recta unido a un extremo de un muelle de constante elaacutestica k y de
longitud l0 El otro extremo del muelle estaacute unido a un punto fijo A situado a una
distancia l=l0 de la recta sobre la que se mueve el pequentildeo objeto como se muestra en
la figura Calcular la frecuencia de las pequentildeas oscilaciones del sistema
23
( )( )
0
0
20
0 2
0
0 0 0 0 0
0
cos
1
1
x
x
k l
l l
xF F F
Llx d x
L l l F k L l k x mL L dt
F k L l
l l l l l lk k
L l l l m l m l
l lk
m l
θ
ω
ω
asymp
gt
= =
= + ∆ = minus minus = minus minus == minus minus
minus= rarr = minus =+ ∆
minus=
10
9- Una regla uniforme de longitud L=1 m estaacute suspendida de un extremo
a) Determine el periodo de oscilacioacuten Te para pequentildeos desplazamientos angulares
compare el resultado obtenido con el periodo de oscilacioacuten que se tendriacutea si toda la
masa se localizara
i) En el centro de masas (Tcm)
ii) En el extremo inferior (TL)
iii) iquestCuaacutel de los tres periodos es mayor iquestpor queacute
b) Determine el periodo de oscilacioacuten (TP) si estaacute suspendida de un punto P a una
distancia x del centro de masas
Calcule el periodo de oscilacioacuten para x=L6 (TL6) y para x=L2 (TL2)
Comente los resultados obtenidos
c) Determine el valor de x para que el periodo sea miacutenimo
a)
2
2
Peacutendulo fiacutesico
con d=distancia del cm al punto de suspensioacuten
Colgada del extremo e
1
2
2 1232 223
1 23
1638
ee
e
e
e
L m
IT
mgd
IT
L mLmg LT
gLmg
I mL
T s
π
π
π π
=
=
=
= =
=
=
ai)
2
2
2
m localizada en el cm 2
periodo del peacutendulo simple de longitud L2
2
1
2 4
1
4 22 2 1419
2
cmcm
cm
cm cm
cm
IT
Lmg
LI m mL
LmLT T s
gLmg
T
π
π π
rarr =
= =
= = rarr =
=
11
aii)
2
2
m localizada en el extremo L
periodo del peacutendulo simple de longitud L
2
2 2 2007
LL
L
cmL
L
IT
mgL
I mL
mL LT T s
mgL g
T
π
π π
rarr =
=
= = rarr =
=
aiii)
debido a que Icm e L cm e LT T T I Ilt lt lt lt
b)
22
2 2 2
2 2
6 6
2 2
2 2
6 2
2122
1
12
6 6
12 36 412 362 2 26 6
6
2 2
12 4 412 42 2 22 6
2
1639
PP
P
cmP
L L
L L
L L
I LT xmgx T
gxI I mx mL mx
L L LL L
x T TL g gg
L L LL L
x T TL g gg
T T s
ππ
π π π
π π π
= +=
= + = +
++= rarr = = rarr =
++= rarr = = rarr =
= =
c)
1 22 2 2
2
2 2
22 2
22
0
2121 122 0
2
2 012
029912 12
PP miacutenimo
TT
x
LL xgx g xx
gx g x
Lx x
L Lx x m
π
minus
part= rarr =part
minus ++=
minus + =
= rarr = =
12
10-El peacutendulo de un reloj normalmente oscila describiendo un arco de longitud 135
mm El mecanismo funciona gracias a una pesa que cae hacia abajo Una vez que la
pesa ha llegado a la base del reloj a las 917 horas la longitud del arco disminuye hasta
95 mm a las 922 horas Teniendo en cuenta que el reloj se para si la longitud del arco es
inferior a 50 mm Determinar
a) La constante γ para este movimiento
b) La hora a la que se para el reloj
a)
5 1
arco normal
arco menor
En 917 tomamos y
Pasados 5 minutos
917 135
922 95
0 135
95 135 007028min
tA Ae
mm
mm
t A mm
e
γ
γ γ
minus
minus minus
=primerarrrarr
= =
= rarr =
b)
El reloj se para a los 50 mm
El reloj se para a las
50ln13550 135 141328min
917 141328min 931
te t
horas
γγ
minus= rarr = minus =
+ ≃
11-Una moneda permanece en reposo sobre una plataforma horizontal que realiza un
movimiento armoacutenico simple de amplitud A y frecuencia ν
a) Si la plataforma oscila verticalmente iquestcuaacutel es el valor maacuteximo de A que permite a la
moneda permanecer en contacto permanente con la plataforma
b) Supongamos ahora que la plataforma oscila horizontalmente y que micro es el coeficiente
de rozamiento estaacutetico entre la moneda y la plataforma iquestCuaacutel es el valor maacuteximo de A
que permite a la moneda permanecer en reposo respecto a la plataforma
13
a)
2
max
2max
maxmax 2 2
La aceleracioacuten maacutexima corresponderaacute a
En el oscilador armoacutenico luego
0
A4
P N ma
N a g
a A
a g
ω
ω π υ
minus == rarr =
=
= =
b)
max
max 2 2En el oscilador armoacutenico implicaraacute
4
r
r
F N mga g
F ma
gA
micro micro micro
microπ υ
= ==
=
=
12-Por la garganta de una polea cuya masa m = 800 g puede considerarse concentrada
en su periferia pasa un hilo inextensible y sin masa De uno de los extremos del hilo
cuelga una masa M = 200 g y el otro extremo del hilo estaacute atado a un resorte vertical de
constante elaacutestica K = 16middot105 dinas cm que a su vez estaacute fijo al suelo por su otro
extremo Calcule el periodo de las pequentildeas oscilaciones de M
(Paacutegina 223 del Tebar-Flores)
Debe ser un movimiento armoacutenico simple
Cuando el sistema estaacute en reposo la fuerza que actuacutea sobre el resorte es Mg y debe
cumplirse
0 (1)Mg kx=
Donde hemos llamado x0 al alargamiento del resorte en esta posicioacuten de equilibrio
14
Si desplazamos ligeramente la masa M y tiramos de ella hacia abajo
( )2 0 (2)T k x x= +
Y en la masa M
( )1 3Mg T Maminus =
Aplicando a la polea la ecuacioacuten fundamental de la dinaacutemica de la rotacioacuten
21 2
I
aT R T R I mR mRa
Rα
αminus = = =
Dividiendo todo por R queda
( )1 2 4T T maminus =
De las ecuaciones (1) (2) (3) y (4) se deduce
2a x
k ka x
m M m Mωω
=minus= minus rarr =
+ +
y el periodo
3M+m 10T=2 2
k 16 10
0157T s
π π=sdot
=
13-Un peacutendulo estaacute constituido por dos esferas pequentildeas e iguales de 1 kg de masa
unidas a los extremos de una varilla riacutegida de 1 m de longitud y masa despreciable
Determinar el periodo de las pequentildeas oscilaciones de este peacutendulo si se suspende
a) De un extremo
b) Del otro extremo
c) De un punto situado a un tercio de distancia entre uno y otro extremo
d) Del punto medio
a) y b)
2
2
lT
g
T s
π=
=
c)
15
( )
( )
1 2
2 2 2
1 2 1 2
1 2
2 5
3 3 9
52 2 26
3
26
z
d d d
d d mdI m m
I mgd sen mgd sen mg d d
I dT s
gmg d d
T s
α θ θ θ
π π
= +
= + =
= minus + minus minus
= = =minus
=
≃
d)
1 2 0d d Tminus = rarr = infin
Modo 2
2 2 22 5
2 3 3 3 9
52 2 26
3
d d d d mdL I m m
I dT s
mgL gπ π
= minus = + =
= = =
14-Cuando la plomada de un peacutendulo coacutenico describe una trayectoria circular el hilo
de longitud L barre un cono de semiaacutengulo θ a) Calcular el periodo del movimiento circular de la plomada en funcioacuten de L g y θ Si la circunferencia anterior estaacute en el plano xy con el centro en el origen
b) demuestre que cada coordenada x e y sigue un
mas y compare su periodo con el que tendriacutea el
mismo sistema oscilando en un plano vertical
16
N
2 2N
2 2
N
Sobre la masa A actuacutea su peso y la tensioacuten de la cuerda
Su resultante debe ser F es decir justamente la fuerza centriacutepeta
necesaria para describir el ciacuterculo
F
F
Fv R
R Lsen
m R m Lsen
mv Rm
R ω
θ
ω ω θω
=
=
= =
= =2
2
2 2N
22
F
coscos cos cos
m RR
m Lsen Lsentg
mg mg g
sen g g gtg
L LL
ω
ω θ ω θθ
θθ θ ω ωθ θ θω
=
= = =
= rarr = rarr = rarr =
2
1
2 cos
1 cos2
f
gf
L
Lf T
T g
ω π
π θθπ
=
=
= rarr =
b)
P coacutenico 2
2
2
4 tan costan 2c
g lR g T
T lsen g
π θ θω θ πθ
= = =
P Plano
2p
lT
gπ=
Relacioacuten 0
cos 1c
p
T
T θθ
rarr
= rarr
En coordenadas rectangulares (x y) horizontales
P coacutenico 2 2 2 x y R v R Cteω+ = = =
P planos
( )0 sinx y R tω φ= +
Composicioacuten
( ) ( ) ( )
2 2 2 2 2 2 2
2 2 22 2 2
sin cos
cos sin
x y R t R t R
v R t R t R v R
ω ω
ω ω ω ω ω ω
+ = + = = + = =
17
15-Determine las frecuencias de oscilacioacuten correspondientes a cada uno de los sistemas
representados en las figuras siguientes suponiendo que el bloque de masa m estaacute
situado sobre una superficie horizontal lisa y que las constantes elaacutesticas son k1 y k2
para cada uno de los dos resortes unidos al bloque
a)
( )
( )1 2
1 2
1 2
1 1 11 2
2 2 2
1 21 2
1 2
1 2
1 2 1 2
1 2
1 2
1 1 1
1
2a
k k
m k k
x x x
F k xF F F
F k x
F FFF kx x x x
k k k
k kk
k k k k k
k kk
m m k kω
υ π
+
= += minus
= == minus
= minus rarr = minus = + = minus minus
rarr = + rarr =+
= =+
rarr =
a b c
18
b)
( )
1 2
1 1 11 2
2 2 2
1 1 2 2 1 2
1 2
1 2 1 21
2b
x x x
F k xF F F
F k x
kx k x k x k k x
k k k
k k k kk
m m mω υ π
= == minus
= += minus
minus = minus minus = minus += +
+ += = rarr =
c)
( )
1 2
1 2
1 1 2 2 1 2 1 2
Lo que se estira el muelle 1 es igual
a lo que se comprime el muelle 2
c b
x x
F F F
kx k x k x k k x k k k
υ υ
=
= +minus = minus minus = minus + rarr = +
=
16-Un tubo en forma de U y de seccioacuten recta constante A estaacute abierto a la atmoacutesfera
Estaacute lleno hasta un nivel de un liacutequido incompresible que fluye a traveacutes del tubo con
rozamiento despreciable Demostrar que si se hace descender la superficie del liacutequido en
uno de los brazos de la U y luego se deja libre el periodo de las oscilaciones de la
columna liacutequida es T=2π(L2g)12
( )2
2
Fuerza recuperadora
2
2
rec
rec
F
F g y A
d yg yA m
dtm V AL
ρ
ρ
ρ ρ
ρ
=
= minus
minus =
= =
minus 2g y A ρ= A2
2
2
2Movimiento armoacutenico simple
con
2
2 22
2
d yL
dt
d y gy
Ldt
g LT T
L g
πω πω
= minus rarr
= rarr = rarr =
19
17-Un bloque de masa 25 kg estaacute conectado a un muelle de constante elaacutestica 1250
Nm el movimiento del bloque estaacute amortiguado con b=50 kgs Estaacute sometido a una
fuerza externa sinusoidal de frecuencia angular ω=25 rads y moacutedulo maacuteximo 12 N
Determinar
a) La amplitud y la constante de fase para el movimiento en estado estacionario
b) La amplitud del sistema cuando estaacute en resonancia de amplitud
25
25
1250
50
12
t
o
rad s
m kg
k N m
b kg s
F N
ω ====
=
( )
2 2
1
2
22 2 2 2
2 2
3
Resonancia
1250500
25
5010
2 2 2512
48 25
4
2
9313 10
2 10 257596 1326
500 625
962
96
o
o
o
o
o t t
e
o t
o
o
o
t ot
o
ks
m
bs
mF
m sm
F
mA
tg
A m
arctg rad
F
mA mm
A mm
ω
γ
ω ω γ ω
γωδω ω
δ δ
ω ω γω
minus
minus
minus
= = =
= = =sdot
= =
=minus +
=minus
= sdotsdot sdot= = minus rarr = minus
minus
= rarr = =
=
18-Un cuerpo de 2 kg descansa sobre un tablero horizontal y estaacute unido al extremo libre
de un muelle de constante elaacutestica k= 200 Nm En un instante dado sus oscilaciones
presentan una amplitud de 30 cm pero debido al rozamiento dicha amplitud se reduce a
la mitad cuando han transcurrido 25 segundos Determinar
a) El valor del paraacutemetro de amortiguamiento β y del tiempo de relajacioacuten τ
b) La frecuencia y el periodo de las oscilaciones no amortiguadas
c) Lo mismo para las oscilaciones amortiguadas
20
d) El tiempo que debe transcurrir para que se disipe la mitad de la energiacutea del oscilador
e) Lo mismo para que se disipe el 99 de la energiacutea del oscilador iquestCuaacutel seraacute entonces
la amplitud de las oscilaciones
( )2
0
0 cos
2
200
03
1
2
mt
m kg kF kx ma
mk N m
A m
x A e tβ
ω
ω δ
τ β
minus
= = minus = rarr ===
= minus
=
a)
( ) ( )2
252
0
1
En 25
2 ln 225 ln 2
2 25
1
225
2
011
1803
1803
m
m
t
tt
m
m
A A ee
At s A
kgs
ms
s
β
βδ
β β
β
τ βτ
minusminus
minus
+
=
==
= rarr =
rarr =
=
= =
=
b)
( ) ( )0
10 210
2 10
1591549
062831
rad s Hz T s
Hz
T s
πω ν πν
= rarr = =
==
c)
2 20 2
159
0628
Hz
T s
ωω ω β ν πν
= minus rarr =
==
d)
21
La energiacutea se disipa de acuerdo con la expresioacuten 0
t
E E e τminus
=
T1 es el tiempo necesario para que se disipe la mitad ( )1
01 0
2
TE
E T E e τminus
= =
1 ln 2 126T sτ= =
1 126 sT =
e)
( )2
2 0 0001
T
E T E E e τminus
= =
T2 es el tiempo necesario para que se disipe el 99
( )2 ln 001 838E T sτ= minus =
2 838 sT =
La amplitud viene dada por
( )( )
2 20 0
2
0
Bt t
m
t
A t A e A e
A te
A
τ
τ
minus minus
minus
= =
=
Al transcurrir T2 tendremos
( ) ( )2 001 1ln
2 2 2 2
0
001 01
TA Te e
Aτ
minus= = = =
Ha decaiacutedo al 90 de la amplitud inicial
19-Los aacutetomos de un soacutelido ejecutan oscilaciones armoacutenicas independientes alrededor
de posiciones fijas de equilibrio dispuestas seguacuten una red cuacutebica de lado a = 11middot10-11m
Estos aacutetomos tienen una masa de 10-22 g y vibran con frecuencia de 10
13 Hz Seguacuten la
mecaacutenica estadiacutestica la energiacutea total de cada oscilador es κT donde κ =RN0 es la
constante de Boltzman
a) Calcular la constante de recuperacioacuten
b) iquestCuaacutel es la amplitud de las oscilaciones a temperatura ambiente (17ordmC)
c) Imaginando que el soacutelido fundiese cuando la amplitud de las oscilaciones alcanzase
un valor de a10 iquesta queacute temperatura fundiriacutea el soacutelido
Datos R = 831 JKmol N0 = 60231023 moleacuteculasmol
22
13
22
0
10 2
10
f Hz E T f
Rm g
N
κ ω π
κminus
= = =
= =
a)
( )22 22 3 13 25 26 2
2
10 10 2 10 10 4 10
40
k m kg Hz kg s
k N m
ω π π
π
minus minus minus= = sdot sdot sdot = sdot
=
b)
( )232
2
12
8312 273 17
1 2 2 6023 102 40
1672 10
E TE kA A
k k
A m
κπ
minus
+sdot= rarr = = =
= sdot
c)
( )
2
2
2 11 2322 20
0
1 1
10 2 2 10
40 51 10 6023 10
2 100 200 200 831200
37209 9909ordm
fuioacuten
fuioacuten
fuioacuten
a aA E kA k T
ka Nka kaT
R RN
T K C
κ
πκ
minus
= = = =
sdot sdot= = = =
sdot
= =
20- Consideramos un pequentildeo objeto de masa m que tan soacutelo puede moverse a lo
largo de una recta unido a un extremo de un muelle de constante elaacutestica k y de
longitud l0 El otro extremo del muelle estaacute unido a un punto fijo A situado a una
distancia l=l0 de la recta sobre la que se mueve el pequentildeo objeto como se muestra en
la figura Calcular la frecuencia de las pequentildeas oscilaciones del sistema
23
( )( )
0
0
20
0 2
0
0 0 0 0 0
0
cos
1
1
x
x
k l
l l
xF F F
Llx d x
L l l F k L l k x mL L dt
F k L l
l l l l l lk k
L l l l m l m l
l lk
m l
θ
ω
ω
asymp
gt
= =
= + ∆ = minus minus = minus minus == minus minus
minus= rarr = minus =+ ∆
minus=
11
aii)
2
2
m localizada en el extremo L
periodo del peacutendulo simple de longitud L
2
2 2 2007
LL
L
cmL
L
IT
mgL
I mL
mL LT T s
mgL g
T
π
π π
rarr =
=
= = rarr =
=
aiii)
debido a que Icm e L cm e LT T T I Ilt lt lt lt
b)
22
2 2 2
2 2
6 6
2 2
2 2
6 2
2122
1
12
6 6
12 36 412 362 2 26 6
6
2 2
12 4 412 42 2 22 6
2
1639
PP
P
cmP
L L
L L
L L
I LT xmgx T
gxI I mx mL mx
L L LL L
x T TL g gg
L L LL L
x T TL g gg
T T s
ππ
π π π
π π π
= +=
= + = +
++= rarr = = rarr =
++= rarr = = rarr =
= =
c)
1 22 2 2
2
2 2
22 2
22
0
2121 122 0
2
2 012
029912 12
PP miacutenimo
TT
x
LL xgx g xx
gx g x
Lx x
L Lx x m
π
minus
part= rarr =part
minus ++=
minus + =
= rarr = =
12
10-El peacutendulo de un reloj normalmente oscila describiendo un arco de longitud 135
mm El mecanismo funciona gracias a una pesa que cae hacia abajo Una vez que la
pesa ha llegado a la base del reloj a las 917 horas la longitud del arco disminuye hasta
95 mm a las 922 horas Teniendo en cuenta que el reloj se para si la longitud del arco es
inferior a 50 mm Determinar
a) La constante γ para este movimiento
b) La hora a la que se para el reloj
a)
5 1
arco normal
arco menor
En 917 tomamos y
Pasados 5 minutos
917 135
922 95
0 135
95 135 007028min
tA Ae
mm
mm
t A mm
e
γ
γ γ
minus
minus minus
=primerarrrarr
= =
= rarr =
b)
El reloj se para a los 50 mm
El reloj se para a las
50ln13550 135 141328min
917 141328min 931
te t
horas
γγ
minus= rarr = minus =
+ ≃
11-Una moneda permanece en reposo sobre una plataforma horizontal que realiza un
movimiento armoacutenico simple de amplitud A y frecuencia ν
a) Si la plataforma oscila verticalmente iquestcuaacutel es el valor maacuteximo de A que permite a la
moneda permanecer en contacto permanente con la plataforma
b) Supongamos ahora que la plataforma oscila horizontalmente y que micro es el coeficiente
de rozamiento estaacutetico entre la moneda y la plataforma iquestCuaacutel es el valor maacuteximo de A
que permite a la moneda permanecer en reposo respecto a la plataforma
13
a)
2
max
2max
maxmax 2 2
La aceleracioacuten maacutexima corresponderaacute a
En el oscilador armoacutenico luego
0
A4
P N ma
N a g
a A
a g
ω
ω π υ
minus == rarr =
=
= =
b)
max
max 2 2En el oscilador armoacutenico implicaraacute
4
r
r
F N mga g
F ma
gA
micro micro micro
microπ υ
= ==
=
=
12-Por la garganta de una polea cuya masa m = 800 g puede considerarse concentrada
en su periferia pasa un hilo inextensible y sin masa De uno de los extremos del hilo
cuelga una masa M = 200 g y el otro extremo del hilo estaacute atado a un resorte vertical de
constante elaacutestica K = 16middot105 dinas cm que a su vez estaacute fijo al suelo por su otro
extremo Calcule el periodo de las pequentildeas oscilaciones de M
(Paacutegina 223 del Tebar-Flores)
Debe ser un movimiento armoacutenico simple
Cuando el sistema estaacute en reposo la fuerza que actuacutea sobre el resorte es Mg y debe
cumplirse
0 (1)Mg kx=
Donde hemos llamado x0 al alargamiento del resorte en esta posicioacuten de equilibrio
14
Si desplazamos ligeramente la masa M y tiramos de ella hacia abajo
( )2 0 (2)T k x x= +
Y en la masa M
( )1 3Mg T Maminus =
Aplicando a la polea la ecuacioacuten fundamental de la dinaacutemica de la rotacioacuten
21 2
I
aT R T R I mR mRa
Rα
αminus = = =
Dividiendo todo por R queda
( )1 2 4T T maminus =
De las ecuaciones (1) (2) (3) y (4) se deduce
2a x
k ka x
m M m Mωω
=minus= minus rarr =
+ +
y el periodo
3M+m 10T=2 2
k 16 10
0157T s
π π=sdot
=
13-Un peacutendulo estaacute constituido por dos esferas pequentildeas e iguales de 1 kg de masa
unidas a los extremos de una varilla riacutegida de 1 m de longitud y masa despreciable
Determinar el periodo de las pequentildeas oscilaciones de este peacutendulo si se suspende
a) De un extremo
b) Del otro extremo
c) De un punto situado a un tercio de distancia entre uno y otro extremo
d) Del punto medio
a) y b)
2
2
lT
g
T s
π=
=
c)
15
( )
( )
1 2
2 2 2
1 2 1 2
1 2
2 5
3 3 9
52 2 26
3
26
z
d d d
d d mdI m m
I mgd sen mgd sen mg d d
I dT s
gmg d d
T s
α θ θ θ
π π
= +
= + =
= minus + minus minus
= = =minus
=
≃
d)
1 2 0d d Tminus = rarr = infin
Modo 2
2 2 22 5
2 3 3 3 9
52 2 26
3
d d d d mdL I m m
I dT s
mgL gπ π
= minus = + =
= = =
14-Cuando la plomada de un peacutendulo coacutenico describe una trayectoria circular el hilo
de longitud L barre un cono de semiaacutengulo θ a) Calcular el periodo del movimiento circular de la plomada en funcioacuten de L g y θ Si la circunferencia anterior estaacute en el plano xy con el centro en el origen
b) demuestre que cada coordenada x e y sigue un
mas y compare su periodo con el que tendriacutea el
mismo sistema oscilando en un plano vertical
16
N
2 2N
2 2
N
Sobre la masa A actuacutea su peso y la tensioacuten de la cuerda
Su resultante debe ser F es decir justamente la fuerza centriacutepeta
necesaria para describir el ciacuterculo
F
F
Fv R
R Lsen
m R m Lsen
mv Rm
R ω
θ
ω ω θω
=
=
= =
= =2
2
2 2N
22
F
coscos cos cos
m RR
m Lsen Lsentg
mg mg g
sen g g gtg
L LL
ω
ω θ ω θθ
θθ θ ω ωθ θ θω
=
= = =
= rarr = rarr = rarr =
2
1
2 cos
1 cos2
f
gf
L
Lf T
T g
ω π
π θθπ
=
=
= rarr =
b)
P coacutenico 2
2
2
4 tan costan 2c
g lR g T
T lsen g
π θ θω θ πθ
= = =
P Plano
2p
lT
gπ=
Relacioacuten 0
cos 1c
p
T
T θθ
rarr
= rarr
En coordenadas rectangulares (x y) horizontales
P coacutenico 2 2 2 x y R v R Cteω+ = = =
P planos
( )0 sinx y R tω φ= +
Composicioacuten
( ) ( ) ( )
2 2 2 2 2 2 2
2 2 22 2 2
sin cos
cos sin
x y R t R t R
v R t R t R v R
ω ω
ω ω ω ω ω ω
+ = + = = + = =
17
15-Determine las frecuencias de oscilacioacuten correspondientes a cada uno de los sistemas
representados en las figuras siguientes suponiendo que el bloque de masa m estaacute
situado sobre una superficie horizontal lisa y que las constantes elaacutesticas son k1 y k2
para cada uno de los dos resortes unidos al bloque
a)
( )
( )1 2
1 2
1 2
1 1 11 2
2 2 2
1 21 2
1 2
1 2
1 2 1 2
1 2
1 2
1 1 1
1
2a
k k
m k k
x x x
F k xF F F
F k x
F FFF kx x x x
k k k
k kk
k k k k k
k kk
m m k kω
υ π
+
= += minus
= == minus
= minus rarr = minus = + = minus minus
rarr = + rarr =+
= =+
rarr =
a b c
18
b)
( )
1 2
1 1 11 2
2 2 2
1 1 2 2 1 2
1 2
1 2 1 21
2b
x x x
F k xF F F
F k x
kx k x k x k k x
k k k
k k k kk
m m mω υ π
= == minus
= += minus
minus = minus minus = minus += +
+ += = rarr =
c)
( )
1 2
1 2
1 1 2 2 1 2 1 2
Lo que se estira el muelle 1 es igual
a lo que se comprime el muelle 2
c b
x x
F F F
kx k x k x k k x k k k
υ υ
=
= +minus = minus minus = minus + rarr = +
=
16-Un tubo en forma de U y de seccioacuten recta constante A estaacute abierto a la atmoacutesfera
Estaacute lleno hasta un nivel de un liacutequido incompresible que fluye a traveacutes del tubo con
rozamiento despreciable Demostrar que si se hace descender la superficie del liacutequido en
uno de los brazos de la U y luego se deja libre el periodo de las oscilaciones de la
columna liacutequida es T=2π(L2g)12
( )2
2
Fuerza recuperadora
2
2
rec
rec
F
F g y A
d yg yA m
dtm V AL
ρ
ρ
ρ ρ
ρ
=
= minus
minus =
= =
minus 2g y A ρ= A2
2
2
2Movimiento armoacutenico simple
con
2
2 22
2
d yL
dt
d y gy
Ldt
g LT T
L g
πω πω
= minus rarr
= rarr = rarr =
19
17-Un bloque de masa 25 kg estaacute conectado a un muelle de constante elaacutestica 1250
Nm el movimiento del bloque estaacute amortiguado con b=50 kgs Estaacute sometido a una
fuerza externa sinusoidal de frecuencia angular ω=25 rads y moacutedulo maacuteximo 12 N
Determinar
a) La amplitud y la constante de fase para el movimiento en estado estacionario
b) La amplitud del sistema cuando estaacute en resonancia de amplitud
25
25
1250
50
12
t
o
rad s
m kg
k N m
b kg s
F N
ω ====
=
( )
2 2
1
2
22 2 2 2
2 2
3
Resonancia
1250500
25
5010
2 2 2512
48 25
4
2
9313 10
2 10 257596 1326
500 625
962
96
o
o
o
o
o t t
e
o t
o
o
o
t ot
o
ks
m
bs
mF
m sm
F
mA
tg
A m
arctg rad
F
mA mm
A mm
ω
γ
ω ω γ ω
γωδω ω
δ δ
ω ω γω
minus
minus
minus
= = =
= = =sdot
= =
=minus +
=minus
= sdotsdot sdot= = minus rarr = minus
minus
= rarr = =
=
18-Un cuerpo de 2 kg descansa sobre un tablero horizontal y estaacute unido al extremo libre
de un muelle de constante elaacutestica k= 200 Nm En un instante dado sus oscilaciones
presentan una amplitud de 30 cm pero debido al rozamiento dicha amplitud se reduce a
la mitad cuando han transcurrido 25 segundos Determinar
a) El valor del paraacutemetro de amortiguamiento β y del tiempo de relajacioacuten τ
b) La frecuencia y el periodo de las oscilaciones no amortiguadas
c) Lo mismo para las oscilaciones amortiguadas
20
d) El tiempo que debe transcurrir para que se disipe la mitad de la energiacutea del oscilador
e) Lo mismo para que se disipe el 99 de la energiacutea del oscilador iquestCuaacutel seraacute entonces
la amplitud de las oscilaciones
( )2
0
0 cos
2
200
03
1
2
mt
m kg kF kx ma
mk N m
A m
x A e tβ
ω
ω δ
τ β
minus
= = minus = rarr ===
= minus
=
a)
( ) ( )2
252
0
1
En 25
2 ln 225 ln 2
2 25
1
225
2
011
1803
1803
m
m
t
tt
m
m
A A ee
At s A
kgs
ms
s
β
βδ
β β
β
τ βτ
minusminus
minus
+
=
==
= rarr =
rarr =
=
= =
=
b)
( ) ( )0
10 210
2 10
1591549
062831
rad s Hz T s
Hz
T s
πω ν πν
= rarr = =
==
c)
2 20 2
159
0628
Hz
T s
ωω ω β ν πν
= minus rarr =
==
d)
21
La energiacutea se disipa de acuerdo con la expresioacuten 0
t
E E e τminus
=
T1 es el tiempo necesario para que se disipe la mitad ( )1
01 0
2
TE
E T E e τminus
= =
1 ln 2 126T sτ= =
1 126 sT =
e)
( )2
2 0 0001
T
E T E E e τminus
= =
T2 es el tiempo necesario para que se disipe el 99
( )2 ln 001 838E T sτ= minus =
2 838 sT =
La amplitud viene dada por
( )( )
2 20 0
2
0
Bt t
m
t
A t A e A e
A te
A
τ
τ
minus minus
minus
= =
=
Al transcurrir T2 tendremos
( ) ( )2 001 1ln
2 2 2 2
0
001 01
TA Te e
Aτ
minus= = = =
Ha decaiacutedo al 90 de la amplitud inicial
19-Los aacutetomos de un soacutelido ejecutan oscilaciones armoacutenicas independientes alrededor
de posiciones fijas de equilibrio dispuestas seguacuten una red cuacutebica de lado a = 11middot10-11m
Estos aacutetomos tienen una masa de 10-22 g y vibran con frecuencia de 10
13 Hz Seguacuten la
mecaacutenica estadiacutestica la energiacutea total de cada oscilador es κT donde κ =RN0 es la
constante de Boltzman
a) Calcular la constante de recuperacioacuten
b) iquestCuaacutel es la amplitud de las oscilaciones a temperatura ambiente (17ordmC)
c) Imaginando que el soacutelido fundiese cuando la amplitud de las oscilaciones alcanzase
un valor de a10 iquesta queacute temperatura fundiriacutea el soacutelido
Datos R = 831 JKmol N0 = 60231023 moleacuteculasmol
22
13
22
0
10 2
10
f Hz E T f
Rm g
N
κ ω π
κminus
= = =
= =
a)
( )22 22 3 13 25 26 2
2
10 10 2 10 10 4 10
40
k m kg Hz kg s
k N m
ω π π
π
minus minus minus= = sdot sdot sdot = sdot
=
b)
( )232
2
12
8312 273 17
1 2 2 6023 102 40
1672 10
E TE kA A
k k
A m
κπ
minus
+sdot= rarr = = =
= sdot
c)
( )
2
2
2 11 2322 20
0
1 1
10 2 2 10
40 51 10 6023 10
2 100 200 200 831200
37209 9909ordm
fuioacuten
fuioacuten
fuioacuten
a aA E kA k T
ka Nka kaT
R RN
T K C
κ
πκ
minus
= = = =
sdot sdot= = = =
sdot
= =
20- Consideramos un pequentildeo objeto de masa m que tan soacutelo puede moverse a lo
largo de una recta unido a un extremo de un muelle de constante elaacutestica k y de
longitud l0 El otro extremo del muelle estaacute unido a un punto fijo A situado a una
distancia l=l0 de la recta sobre la que se mueve el pequentildeo objeto como se muestra en
la figura Calcular la frecuencia de las pequentildeas oscilaciones del sistema
23
( )( )
0
0
20
0 2
0
0 0 0 0 0
0
cos
1
1
x
x
k l
l l
xF F F
Llx d x
L l l F k L l k x mL L dt
F k L l
l l l l l lk k
L l l l m l m l
l lk
m l
θ
ω
ω
asymp
gt
= =
= + ∆ = minus minus = minus minus == minus minus
minus= rarr = minus =+ ∆
minus=
12
10-El peacutendulo de un reloj normalmente oscila describiendo un arco de longitud 135
mm El mecanismo funciona gracias a una pesa que cae hacia abajo Una vez que la
pesa ha llegado a la base del reloj a las 917 horas la longitud del arco disminuye hasta
95 mm a las 922 horas Teniendo en cuenta que el reloj se para si la longitud del arco es
inferior a 50 mm Determinar
a) La constante γ para este movimiento
b) La hora a la que se para el reloj
a)
5 1
arco normal
arco menor
En 917 tomamos y
Pasados 5 minutos
917 135
922 95
0 135
95 135 007028min
tA Ae
mm
mm
t A mm
e
γ
γ γ
minus
minus minus
=primerarrrarr
= =
= rarr =
b)
El reloj se para a los 50 mm
El reloj se para a las
50ln13550 135 141328min
917 141328min 931
te t
horas
γγ
minus= rarr = minus =
+ ≃
11-Una moneda permanece en reposo sobre una plataforma horizontal que realiza un
movimiento armoacutenico simple de amplitud A y frecuencia ν
a) Si la plataforma oscila verticalmente iquestcuaacutel es el valor maacuteximo de A que permite a la
moneda permanecer en contacto permanente con la plataforma
b) Supongamos ahora que la plataforma oscila horizontalmente y que micro es el coeficiente
de rozamiento estaacutetico entre la moneda y la plataforma iquestCuaacutel es el valor maacuteximo de A
que permite a la moneda permanecer en reposo respecto a la plataforma
13
a)
2
max
2max
maxmax 2 2
La aceleracioacuten maacutexima corresponderaacute a
En el oscilador armoacutenico luego
0
A4
P N ma
N a g
a A
a g
ω
ω π υ
minus == rarr =
=
= =
b)
max
max 2 2En el oscilador armoacutenico implicaraacute
4
r
r
F N mga g
F ma
gA
micro micro micro
microπ υ
= ==
=
=
12-Por la garganta de una polea cuya masa m = 800 g puede considerarse concentrada
en su periferia pasa un hilo inextensible y sin masa De uno de los extremos del hilo
cuelga una masa M = 200 g y el otro extremo del hilo estaacute atado a un resorte vertical de
constante elaacutestica K = 16middot105 dinas cm que a su vez estaacute fijo al suelo por su otro
extremo Calcule el periodo de las pequentildeas oscilaciones de M
(Paacutegina 223 del Tebar-Flores)
Debe ser un movimiento armoacutenico simple
Cuando el sistema estaacute en reposo la fuerza que actuacutea sobre el resorte es Mg y debe
cumplirse
0 (1)Mg kx=
Donde hemos llamado x0 al alargamiento del resorte en esta posicioacuten de equilibrio
14
Si desplazamos ligeramente la masa M y tiramos de ella hacia abajo
( )2 0 (2)T k x x= +
Y en la masa M
( )1 3Mg T Maminus =
Aplicando a la polea la ecuacioacuten fundamental de la dinaacutemica de la rotacioacuten
21 2
I
aT R T R I mR mRa
Rα
αminus = = =
Dividiendo todo por R queda
( )1 2 4T T maminus =
De las ecuaciones (1) (2) (3) y (4) se deduce
2a x
k ka x
m M m Mωω
=minus= minus rarr =
+ +
y el periodo
3M+m 10T=2 2
k 16 10
0157T s
π π=sdot
=
13-Un peacutendulo estaacute constituido por dos esferas pequentildeas e iguales de 1 kg de masa
unidas a los extremos de una varilla riacutegida de 1 m de longitud y masa despreciable
Determinar el periodo de las pequentildeas oscilaciones de este peacutendulo si se suspende
a) De un extremo
b) Del otro extremo
c) De un punto situado a un tercio de distancia entre uno y otro extremo
d) Del punto medio
a) y b)
2
2
lT
g
T s
π=
=
c)
15
( )
( )
1 2
2 2 2
1 2 1 2
1 2
2 5
3 3 9
52 2 26
3
26
z
d d d
d d mdI m m
I mgd sen mgd sen mg d d
I dT s
gmg d d
T s
α θ θ θ
π π
= +
= + =
= minus + minus minus
= = =minus
=
≃
d)
1 2 0d d Tminus = rarr = infin
Modo 2
2 2 22 5
2 3 3 3 9
52 2 26
3
d d d d mdL I m m
I dT s
mgL gπ π
= minus = + =
= = =
14-Cuando la plomada de un peacutendulo coacutenico describe una trayectoria circular el hilo
de longitud L barre un cono de semiaacutengulo θ a) Calcular el periodo del movimiento circular de la plomada en funcioacuten de L g y θ Si la circunferencia anterior estaacute en el plano xy con el centro en el origen
b) demuestre que cada coordenada x e y sigue un
mas y compare su periodo con el que tendriacutea el
mismo sistema oscilando en un plano vertical
16
N
2 2N
2 2
N
Sobre la masa A actuacutea su peso y la tensioacuten de la cuerda
Su resultante debe ser F es decir justamente la fuerza centriacutepeta
necesaria para describir el ciacuterculo
F
F
Fv R
R Lsen
m R m Lsen
mv Rm
R ω
θ
ω ω θω
=
=
= =
= =2
2
2 2N
22
F
coscos cos cos
m RR
m Lsen Lsentg
mg mg g
sen g g gtg
L LL
ω
ω θ ω θθ
θθ θ ω ωθ θ θω
=
= = =
= rarr = rarr = rarr =
2
1
2 cos
1 cos2
f
gf
L
Lf T
T g
ω π
π θθπ
=
=
= rarr =
b)
P coacutenico 2
2
2
4 tan costan 2c
g lR g T
T lsen g
π θ θω θ πθ
= = =
P Plano
2p
lT
gπ=
Relacioacuten 0
cos 1c
p
T
T θθ
rarr
= rarr
En coordenadas rectangulares (x y) horizontales
P coacutenico 2 2 2 x y R v R Cteω+ = = =
P planos
( )0 sinx y R tω φ= +
Composicioacuten
( ) ( ) ( )
2 2 2 2 2 2 2
2 2 22 2 2
sin cos
cos sin
x y R t R t R
v R t R t R v R
ω ω
ω ω ω ω ω ω
+ = + = = + = =
17
15-Determine las frecuencias de oscilacioacuten correspondientes a cada uno de los sistemas
representados en las figuras siguientes suponiendo que el bloque de masa m estaacute
situado sobre una superficie horizontal lisa y que las constantes elaacutesticas son k1 y k2
para cada uno de los dos resortes unidos al bloque
a)
( )
( )1 2
1 2
1 2
1 1 11 2
2 2 2
1 21 2
1 2
1 2
1 2 1 2
1 2
1 2
1 1 1
1
2a
k k
m k k
x x x
F k xF F F
F k x
F FFF kx x x x
k k k
k kk
k k k k k
k kk
m m k kω
υ π
+
= += minus
= == minus
= minus rarr = minus = + = minus minus
rarr = + rarr =+
= =+
rarr =
a b c
18
b)
( )
1 2
1 1 11 2
2 2 2
1 1 2 2 1 2
1 2
1 2 1 21
2b
x x x
F k xF F F
F k x
kx k x k x k k x
k k k
k k k kk
m m mω υ π
= == minus
= += minus
minus = minus minus = minus += +
+ += = rarr =
c)
( )
1 2
1 2
1 1 2 2 1 2 1 2
Lo que se estira el muelle 1 es igual
a lo que se comprime el muelle 2
c b
x x
F F F
kx k x k x k k x k k k
υ υ
=
= +minus = minus minus = minus + rarr = +
=
16-Un tubo en forma de U y de seccioacuten recta constante A estaacute abierto a la atmoacutesfera
Estaacute lleno hasta un nivel de un liacutequido incompresible que fluye a traveacutes del tubo con
rozamiento despreciable Demostrar que si se hace descender la superficie del liacutequido en
uno de los brazos de la U y luego se deja libre el periodo de las oscilaciones de la
columna liacutequida es T=2π(L2g)12
( )2
2
Fuerza recuperadora
2
2
rec
rec
F
F g y A
d yg yA m
dtm V AL
ρ
ρ
ρ ρ
ρ
=
= minus
minus =
= =
minus 2g y A ρ= A2
2
2
2Movimiento armoacutenico simple
con
2
2 22
2
d yL
dt
d y gy
Ldt
g LT T
L g
πω πω
= minus rarr
= rarr = rarr =
19
17-Un bloque de masa 25 kg estaacute conectado a un muelle de constante elaacutestica 1250
Nm el movimiento del bloque estaacute amortiguado con b=50 kgs Estaacute sometido a una
fuerza externa sinusoidal de frecuencia angular ω=25 rads y moacutedulo maacuteximo 12 N
Determinar
a) La amplitud y la constante de fase para el movimiento en estado estacionario
b) La amplitud del sistema cuando estaacute en resonancia de amplitud
25
25
1250
50
12
t
o
rad s
m kg
k N m
b kg s
F N
ω ====
=
( )
2 2
1
2
22 2 2 2
2 2
3
Resonancia
1250500
25
5010
2 2 2512
48 25
4
2
9313 10
2 10 257596 1326
500 625
962
96
o
o
o
o
o t t
e
o t
o
o
o
t ot
o
ks
m
bs
mF
m sm
F
mA
tg
A m
arctg rad
F
mA mm
A mm
ω
γ
ω ω γ ω
γωδω ω
δ δ
ω ω γω
minus
minus
minus
= = =
= = =sdot
= =
=minus +
=minus
= sdotsdot sdot= = minus rarr = minus
minus
= rarr = =
=
18-Un cuerpo de 2 kg descansa sobre un tablero horizontal y estaacute unido al extremo libre
de un muelle de constante elaacutestica k= 200 Nm En un instante dado sus oscilaciones
presentan una amplitud de 30 cm pero debido al rozamiento dicha amplitud se reduce a
la mitad cuando han transcurrido 25 segundos Determinar
a) El valor del paraacutemetro de amortiguamiento β y del tiempo de relajacioacuten τ
b) La frecuencia y el periodo de las oscilaciones no amortiguadas
c) Lo mismo para las oscilaciones amortiguadas
20
d) El tiempo que debe transcurrir para que se disipe la mitad de la energiacutea del oscilador
e) Lo mismo para que se disipe el 99 de la energiacutea del oscilador iquestCuaacutel seraacute entonces
la amplitud de las oscilaciones
( )2
0
0 cos
2
200
03
1
2
mt
m kg kF kx ma
mk N m
A m
x A e tβ
ω
ω δ
τ β
minus
= = minus = rarr ===
= minus
=
a)
( ) ( )2
252
0
1
En 25
2 ln 225 ln 2
2 25
1
225
2
011
1803
1803
m
m
t
tt
m
m
A A ee
At s A
kgs
ms
s
β
βδ
β β
β
τ βτ
minusminus
minus
+
=
==
= rarr =
rarr =
=
= =
=
b)
( ) ( )0
10 210
2 10
1591549
062831
rad s Hz T s
Hz
T s
πω ν πν
= rarr = =
==
c)
2 20 2
159
0628
Hz
T s
ωω ω β ν πν
= minus rarr =
==
d)
21
La energiacutea se disipa de acuerdo con la expresioacuten 0
t
E E e τminus
=
T1 es el tiempo necesario para que se disipe la mitad ( )1
01 0
2
TE
E T E e τminus
= =
1 ln 2 126T sτ= =
1 126 sT =
e)
( )2
2 0 0001
T
E T E E e τminus
= =
T2 es el tiempo necesario para que se disipe el 99
( )2 ln 001 838E T sτ= minus =
2 838 sT =
La amplitud viene dada por
( )( )
2 20 0
2
0
Bt t
m
t
A t A e A e
A te
A
τ
τ
minus minus
minus
= =
=
Al transcurrir T2 tendremos
( ) ( )2 001 1ln
2 2 2 2
0
001 01
TA Te e
Aτ
minus= = = =
Ha decaiacutedo al 90 de la amplitud inicial
19-Los aacutetomos de un soacutelido ejecutan oscilaciones armoacutenicas independientes alrededor
de posiciones fijas de equilibrio dispuestas seguacuten una red cuacutebica de lado a = 11middot10-11m
Estos aacutetomos tienen una masa de 10-22 g y vibran con frecuencia de 10
13 Hz Seguacuten la
mecaacutenica estadiacutestica la energiacutea total de cada oscilador es κT donde κ =RN0 es la
constante de Boltzman
a) Calcular la constante de recuperacioacuten
b) iquestCuaacutel es la amplitud de las oscilaciones a temperatura ambiente (17ordmC)
c) Imaginando que el soacutelido fundiese cuando la amplitud de las oscilaciones alcanzase
un valor de a10 iquesta queacute temperatura fundiriacutea el soacutelido
Datos R = 831 JKmol N0 = 60231023 moleacuteculasmol
22
13
22
0
10 2
10
f Hz E T f
Rm g
N
κ ω π
κminus
= = =
= =
a)
( )22 22 3 13 25 26 2
2
10 10 2 10 10 4 10
40
k m kg Hz kg s
k N m
ω π π
π
minus minus minus= = sdot sdot sdot = sdot
=
b)
( )232
2
12
8312 273 17
1 2 2 6023 102 40
1672 10
E TE kA A
k k
A m
κπ
minus
+sdot= rarr = = =
= sdot
c)
( )
2
2
2 11 2322 20
0
1 1
10 2 2 10
40 51 10 6023 10
2 100 200 200 831200
37209 9909ordm
fuioacuten
fuioacuten
fuioacuten
a aA E kA k T
ka Nka kaT
R RN
T K C
κ
πκ
minus
= = = =
sdot sdot= = = =
sdot
= =
20- Consideramos un pequentildeo objeto de masa m que tan soacutelo puede moverse a lo
largo de una recta unido a un extremo de un muelle de constante elaacutestica k y de
longitud l0 El otro extremo del muelle estaacute unido a un punto fijo A situado a una
distancia l=l0 de la recta sobre la que se mueve el pequentildeo objeto como se muestra en
la figura Calcular la frecuencia de las pequentildeas oscilaciones del sistema
23
( )( )
0
0
20
0 2
0
0 0 0 0 0
0
cos
1
1
x
x
k l
l l
xF F F
Llx d x
L l l F k L l k x mL L dt
F k L l
l l l l l lk k
L l l l m l m l
l lk
m l
θ
ω
ω
asymp
gt
= =
= + ∆ = minus minus = minus minus == minus minus
minus= rarr = minus =+ ∆
minus=
13
a)
2
max
2max
maxmax 2 2
La aceleracioacuten maacutexima corresponderaacute a
En el oscilador armoacutenico luego
0
A4
P N ma
N a g
a A
a g
ω
ω π υ
minus == rarr =
=
= =
b)
max
max 2 2En el oscilador armoacutenico implicaraacute
4
r
r
F N mga g
F ma
gA
micro micro micro
microπ υ
= ==
=
=
12-Por la garganta de una polea cuya masa m = 800 g puede considerarse concentrada
en su periferia pasa un hilo inextensible y sin masa De uno de los extremos del hilo
cuelga una masa M = 200 g y el otro extremo del hilo estaacute atado a un resorte vertical de
constante elaacutestica K = 16middot105 dinas cm que a su vez estaacute fijo al suelo por su otro
extremo Calcule el periodo de las pequentildeas oscilaciones de M
(Paacutegina 223 del Tebar-Flores)
Debe ser un movimiento armoacutenico simple
Cuando el sistema estaacute en reposo la fuerza que actuacutea sobre el resorte es Mg y debe
cumplirse
0 (1)Mg kx=
Donde hemos llamado x0 al alargamiento del resorte en esta posicioacuten de equilibrio
14
Si desplazamos ligeramente la masa M y tiramos de ella hacia abajo
( )2 0 (2)T k x x= +
Y en la masa M
( )1 3Mg T Maminus =
Aplicando a la polea la ecuacioacuten fundamental de la dinaacutemica de la rotacioacuten
21 2
I
aT R T R I mR mRa
Rα
αminus = = =
Dividiendo todo por R queda
( )1 2 4T T maminus =
De las ecuaciones (1) (2) (3) y (4) se deduce
2a x
k ka x
m M m Mωω
=minus= minus rarr =
+ +
y el periodo
3M+m 10T=2 2
k 16 10
0157T s
π π=sdot
=
13-Un peacutendulo estaacute constituido por dos esferas pequentildeas e iguales de 1 kg de masa
unidas a los extremos de una varilla riacutegida de 1 m de longitud y masa despreciable
Determinar el periodo de las pequentildeas oscilaciones de este peacutendulo si se suspende
a) De un extremo
b) Del otro extremo
c) De un punto situado a un tercio de distancia entre uno y otro extremo
d) Del punto medio
a) y b)
2
2
lT
g
T s
π=
=
c)
15
( )
( )
1 2
2 2 2
1 2 1 2
1 2
2 5
3 3 9
52 2 26
3
26
z
d d d
d d mdI m m
I mgd sen mgd sen mg d d
I dT s
gmg d d
T s
α θ θ θ
π π
= +
= + =
= minus + minus minus
= = =minus
=
≃
d)
1 2 0d d Tminus = rarr = infin
Modo 2
2 2 22 5
2 3 3 3 9
52 2 26
3
d d d d mdL I m m
I dT s
mgL gπ π
= minus = + =
= = =
14-Cuando la plomada de un peacutendulo coacutenico describe una trayectoria circular el hilo
de longitud L barre un cono de semiaacutengulo θ a) Calcular el periodo del movimiento circular de la plomada en funcioacuten de L g y θ Si la circunferencia anterior estaacute en el plano xy con el centro en el origen
b) demuestre que cada coordenada x e y sigue un
mas y compare su periodo con el que tendriacutea el
mismo sistema oscilando en un plano vertical
16
N
2 2N
2 2
N
Sobre la masa A actuacutea su peso y la tensioacuten de la cuerda
Su resultante debe ser F es decir justamente la fuerza centriacutepeta
necesaria para describir el ciacuterculo
F
F
Fv R
R Lsen
m R m Lsen
mv Rm
R ω
θ
ω ω θω
=
=
= =
= =2
2
2 2N
22
F
coscos cos cos
m RR
m Lsen Lsentg
mg mg g
sen g g gtg
L LL
ω
ω θ ω θθ
θθ θ ω ωθ θ θω
=
= = =
= rarr = rarr = rarr =
2
1
2 cos
1 cos2
f
gf
L
Lf T
T g
ω π
π θθπ
=
=
= rarr =
b)
P coacutenico 2
2
2
4 tan costan 2c
g lR g T
T lsen g
π θ θω θ πθ
= = =
P Plano
2p
lT
gπ=
Relacioacuten 0
cos 1c
p
T
T θθ
rarr
= rarr
En coordenadas rectangulares (x y) horizontales
P coacutenico 2 2 2 x y R v R Cteω+ = = =
P planos
( )0 sinx y R tω φ= +
Composicioacuten
( ) ( ) ( )
2 2 2 2 2 2 2
2 2 22 2 2
sin cos
cos sin
x y R t R t R
v R t R t R v R
ω ω
ω ω ω ω ω ω
+ = + = = + = =
17
15-Determine las frecuencias de oscilacioacuten correspondientes a cada uno de los sistemas
representados en las figuras siguientes suponiendo que el bloque de masa m estaacute
situado sobre una superficie horizontal lisa y que las constantes elaacutesticas son k1 y k2
para cada uno de los dos resortes unidos al bloque
a)
( )
( )1 2
1 2
1 2
1 1 11 2
2 2 2
1 21 2
1 2
1 2
1 2 1 2
1 2
1 2
1 1 1
1
2a
k k
m k k
x x x
F k xF F F
F k x
F FFF kx x x x
k k k
k kk
k k k k k
k kk
m m k kω
υ π
+
= += minus
= == minus
= minus rarr = minus = + = minus minus
rarr = + rarr =+
= =+
rarr =
a b c
18
b)
( )
1 2
1 1 11 2
2 2 2
1 1 2 2 1 2
1 2
1 2 1 21
2b
x x x
F k xF F F
F k x
kx k x k x k k x
k k k
k k k kk
m m mω υ π
= == minus
= += minus
minus = minus minus = minus += +
+ += = rarr =
c)
( )
1 2
1 2
1 1 2 2 1 2 1 2
Lo que se estira el muelle 1 es igual
a lo que se comprime el muelle 2
c b
x x
F F F
kx k x k x k k x k k k
υ υ
=
= +minus = minus minus = minus + rarr = +
=
16-Un tubo en forma de U y de seccioacuten recta constante A estaacute abierto a la atmoacutesfera
Estaacute lleno hasta un nivel de un liacutequido incompresible que fluye a traveacutes del tubo con
rozamiento despreciable Demostrar que si se hace descender la superficie del liacutequido en
uno de los brazos de la U y luego se deja libre el periodo de las oscilaciones de la
columna liacutequida es T=2π(L2g)12
( )2
2
Fuerza recuperadora
2
2
rec
rec
F
F g y A
d yg yA m
dtm V AL
ρ
ρ
ρ ρ
ρ
=
= minus
minus =
= =
minus 2g y A ρ= A2
2
2
2Movimiento armoacutenico simple
con
2
2 22
2
d yL
dt
d y gy
Ldt
g LT T
L g
πω πω
= minus rarr
= rarr = rarr =
19
17-Un bloque de masa 25 kg estaacute conectado a un muelle de constante elaacutestica 1250
Nm el movimiento del bloque estaacute amortiguado con b=50 kgs Estaacute sometido a una
fuerza externa sinusoidal de frecuencia angular ω=25 rads y moacutedulo maacuteximo 12 N
Determinar
a) La amplitud y la constante de fase para el movimiento en estado estacionario
b) La amplitud del sistema cuando estaacute en resonancia de amplitud
25
25
1250
50
12
t
o
rad s
m kg
k N m
b kg s
F N
ω ====
=
( )
2 2
1
2
22 2 2 2
2 2
3
Resonancia
1250500
25
5010
2 2 2512
48 25
4
2
9313 10
2 10 257596 1326
500 625
962
96
o
o
o
o
o t t
e
o t
o
o
o
t ot
o
ks
m
bs
mF
m sm
F
mA
tg
A m
arctg rad
F
mA mm
A mm
ω
γ
ω ω γ ω
γωδω ω
δ δ
ω ω γω
minus
minus
minus
= = =
= = =sdot
= =
=minus +
=minus
= sdotsdot sdot= = minus rarr = minus
minus
= rarr = =
=
18-Un cuerpo de 2 kg descansa sobre un tablero horizontal y estaacute unido al extremo libre
de un muelle de constante elaacutestica k= 200 Nm En un instante dado sus oscilaciones
presentan una amplitud de 30 cm pero debido al rozamiento dicha amplitud se reduce a
la mitad cuando han transcurrido 25 segundos Determinar
a) El valor del paraacutemetro de amortiguamiento β y del tiempo de relajacioacuten τ
b) La frecuencia y el periodo de las oscilaciones no amortiguadas
c) Lo mismo para las oscilaciones amortiguadas
20
d) El tiempo que debe transcurrir para que se disipe la mitad de la energiacutea del oscilador
e) Lo mismo para que se disipe el 99 de la energiacutea del oscilador iquestCuaacutel seraacute entonces
la amplitud de las oscilaciones
( )2
0
0 cos
2
200
03
1
2
mt
m kg kF kx ma
mk N m
A m
x A e tβ
ω
ω δ
τ β
minus
= = minus = rarr ===
= minus
=
a)
( ) ( )2
252
0
1
En 25
2 ln 225 ln 2
2 25
1
225
2
011
1803
1803
m
m
t
tt
m
m
A A ee
At s A
kgs
ms
s
β
βδ
β β
β
τ βτ
minusminus
minus
+
=
==
= rarr =
rarr =
=
= =
=
b)
( ) ( )0
10 210
2 10
1591549
062831
rad s Hz T s
Hz
T s
πω ν πν
= rarr = =
==
c)
2 20 2
159
0628
Hz
T s
ωω ω β ν πν
= minus rarr =
==
d)
21
La energiacutea se disipa de acuerdo con la expresioacuten 0
t
E E e τminus
=
T1 es el tiempo necesario para que se disipe la mitad ( )1
01 0
2
TE
E T E e τminus
= =
1 ln 2 126T sτ= =
1 126 sT =
e)
( )2
2 0 0001
T
E T E E e τminus
= =
T2 es el tiempo necesario para que se disipe el 99
( )2 ln 001 838E T sτ= minus =
2 838 sT =
La amplitud viene dada por
( )( )
2 20 0
2
0
Bt t
m
t
A t A e A e
A te
A
τ
τ
minus minus
minus
= =
=
Al transcurrir T2 tendremos
( ) ( )2 001 1ln
2 2 2 2
0
001 01
TA Te e
Aτ
minus= = = =
Ha decaiacutedo al 90 de la amplitud inicial
19-Los aacutetomos de un soacutelido ejecutan oscilaciones armoacutenicas independientes alrededor
de posiciones fijas de equilibrio dispuestas seguacuten una red cuacutebica de lado a = 11middot10-11m
Estos aacutetomos tienen una masa de 10-22 g y vibran con frecuencia de 10
13 Hz Seguacuten la
mecaacutenica estadiacutestica la energiacutea total de cada oscilador es κT donde κ =RN0 es la
constante de Boltzman
a) Calcular la constante de recuperacioacuten
b) iquestCuaacutel es la amplitud de las oscilaciones a temperatura ambiente (17ordmC)
c) Imaginando que el soacutelido fundiese cuando la amplitud de las oscilaciones alcanzase
un valor de a10 iquesta queacute temperatura fundiriacutea el soacutelido
Datos R = 831 JKmol N0 = 60231023 moleacuteculasmol
22
13
22
0
10 2
10
f Hz E T f
Rm g
N
κ ω π
κminus
= = =
= =
a)
( )22 22 3 13 25 26 2
2
10 10 2 10 10 4 10
40
k m kg Hz kg s
k N m
ω π π
π
minus minus minus= = sdot sdot sdot = sdot
=
b)
( )232
2
12
8312 273 17
1 2 2 6023 102 40
1672 10
E TE kA A
k k
A m
κπ
minus
+sdot= rarr = = =
= sdot
c)
( )
2
2
2 11 2322 20
0
1 1
10 2 2 10
40 51 10 6023 10
2 100 200 200 831200
37209 9909ordm
fuioacuten
fuioacuten
fuioacuten
a aA E kA k T
ka Nka kaT
R RN
T K C
κ
πκ
minus
= = = =
sdot sdot= = = =
sdot
= =
20- Consideramos un pequentildeo objeto de masa m que tan soacutelo puede moverse a lo
largo de una recta unido a un extremo de un muelle de constante elaacutestica k y de
longitud l0 El otro extremo del muelle estaacute unido a un punto fijo A situado a una
distancia l=l0 de la recta sobre la que se mueve el pequentildeo objeto como se muestra en
la figura Calcular la frecuencia de las pequentildeas oscilaciones del sistema
23
( )( )
0
0
20
0 2
0
0 0 0 0 0
0
cos
1
1
x
x
k l
l l
xF F F
Llx d x
L l l F k L l k x mL L dt
F k L l
l l l l l lk k
L l l l m l m l
l lk
m l
θ
ω
ω
asymp
gt
= =
= + ∆ = minus minus = minus minus == minus minus
minus= rarr = minus =+ ∆
minus=
14
Si desplazamos ligeramente la masa M y tiramos de ella hacia abajo
( )2 0 (2)T k x x= +
Y en la masa M
( )1 3Mg T Maminus =
Aplicando a la polea la ecuacioacuten fundamental de la dinaacutemica de la rotacioacuten
21 2
I
aT R T R I mR mRa
Rα
αminus = = =
Dividiendo todo por R queda
( )1 2 4T T maminus =
De las ecuaciones (1) (2) (3) y (4) se deduce
2a x
k ka x
m M m Mωω
=minus= minus rarr =
+ +
y el periodo
3M+m 10T=2 2
k 16 10
0157T s
π π=sdot
=
13-Un peacutendulo estaacute constituido por dos esferas pequentildeas e iguales de 1 kg de masa
unidas a los extremos de una varilla riacutegida de 1 m de longitud y masa despreciable
Determinar el periodo de las pequentildeas oscilaciones de este peacutendulo si se suspende
a) De un extremo
b) Del otro extremo
c) De un punto situado a un tercio de distancia entre uno y otro extremo
d) Del punto medio
a) y b)
2
2
lT
g
T s
π=
=
c)
15
( )
( )
1 2
2 2 2
1 2 1 2
1 2
2 5
3 3 9
52 2 26
3
26
z
d d d
d d mdI m m
I mgd sen mgd sen mg d d
I dT s
gmg d d
T s
α θ θ θ
π π
= +
= + =
= minus + minus minus
= = =minus
=
≃
d)
1 2 0d d Tminus = rarr = infin
Modo 2
2 2 22 5
2 3 3 3 9
52 2 26
3
d d d d mdL I m m
I dT s
mgL gπ π
= minus = + =
= = =
14-Cuando la plomada de un peacutendulo coacutenico describe una trayectoria circular el hilo
de longitud L barre un cono de semiaacutengulo θ a) Calcular el periodo del movimiento circular de la plomada en funcioacuten de L g y θ Si la circunferencia anterior estaacute en el plano xy con el centro en el origen
b) demuestre que cada coordenada x e y sigue un
mas y compare su periodo con el que tendriacutea el
mismo sistema oscilando en un plano vertical
16
N
2 2N
2 2
N
Sobre la masa A actuacutea su peso y la tensioacuten de la cuerda
Su resultante debe ser F es decir justamente la fuerza centriacutepeta
necesaria para describir el ciacuterculo
F
F
Fv R
R Lsen
m R m Lsen
mv Rm
R ω
θ
ω ω θω
=
=
= =
= =2
2
2 2N
22
F
coscos cos cos
m RR
m Lsen Lsentg
mg mg g
sen g g gtg
L LL
ω
ω θ ω θθ
θθ θ ω ωθ θ θω
=
= = =
= rarr = rarr = rarr =
2
1
2 cos
1 cos2
f
gf
L
Lf T
T g
ω π
π θθπ
=
=
= rarr =
b)
P coacutenico 2
2
2
4 tan costan 2c
g lR g T
T lsen g
π θ θω θ πθ
= = =
P Plano
2p
lT
gπ=
Relacioacuten 0
cos 1c
p
T
T θθ
rarr
= rarr
En coordenadas rectangulares (x y) horizontales
P coacutenico 2 2 2 x y R v R Cteω+ = = =
P planos
( )0 sinx y R tω φ= +
Composicioacuten
( ) ( ) ( )
2 2 2 2 2 2 2
2 2 22 2 2
sin cos
cos sin
x y R t R t R
v R t R t R v R
ω ω
ω ω ω ω ω ω
+ = + = = + = =
17
15-Determine las frecuencias de oscilacioacuten correspondientes a cada uno de los sistemas
representados en las figuras siguientes suponiendo que el bloque de masa m estaacute
situado sobre una superficie horizontal lisa y que las constantes elaacutesticas son k1 y k2
para cada uno de los dos resortes unidos al bloque
a)
( )
( )1 2
1 2
1 2
1 1 11 2
2 2 2
1 21 2
1 2
1 2
1 2 1 2
1 2
1 2
1 1 1
1
2a
k k
m k k
x x x
F k xF F F
F k x
F FFF kx x x x
k k k
k kk
k k k k k
k kk
m m k kω
υ π
+
= += minus
= == minus
= minus rarr = minus = + = minus minus
rarr = + rarr =+
= =+
rarr =
a b c
18
b)
( )
1 2
1 1 11 2
2 2 2
1 1 2 2 1 2
1 2
1 2 1 21
2b
x x x
F k xF F F
F k x
kx k x k x k k x
k k k
k k k kk
m m mω υ π
= == minus
= += minus
minus = minus minus = minus += +
+ += = rarr =
c)
( )
1 2
1 2
1 1 2 2 1 2 1 2
Lo que se estira el muelle 1 es igual
a lo que se comprime el muelle 2
c b
x x
F F F
kx k x k x k k x k k k
υ υ
=
= +minus = minus minus = minus + rarr = +
=
16-Un tubo en forma de U y de seccioacuten recta constante A estaacute abierto a la atmoacutesfera
Estaacute lleno hasta un nivel de un liacutequido incompresible que fluye a traveacutes del tubo con
rozamiento despreciable Demostrar que si se hace descender la superficie del liacutequido en
uno de los brazos de la U y luego se deja libre el periodo de las oscilaciones de la
columna liacutequida es T=2π(L2g)12
( )2
2
Fuerza recuperadora
2
2
rec
rec
F
F g y A
d yg yA m
dtm V AL
ρ
ρ
ρ ρ
ρ
=
= minus
minus =
= =
minus 2g y A ρ= A2
2
2
2Movimiento armoacutenico simple
con
2
2 22
2
d yL
dt
d y gy
Ldt
g LT T
L g
πω πω
= minus rarr
= rarr = rarr =
19
17-Un bloque de masa 25 kg estaacute conectado a un muelle de constante elaacutestica 1250
Nm el movimiento del bloque estaacute amortiguado con b=50 kgs Estaacute sometido a una
fuerza externa sinusoidal de frecuencia angular ω=25 rads y moacutedulo maacuteximo 12 N
Determinar
a) La amplitud y la constante de fase para el movimiento en estado estacionario
b) La amplitud del sistema cuando estaacute en resonancia de amplitud
25
25
1250
50
12
t
o
rad s
m kg
k N m
b kg s
F N
ω ====
=
( )
2 2
1
2
22 2 2 2
2 2
3
Resonancia
1250500
25
5010
2 2 2512
48 25
4
2
9313 10
2 10 257596 1326
500 625
962
96
o
o
o
o
o t t
e
o t
o
o
o
t ot
o
ks
m
bs
mF
m sm
F
mA
tg
A m
arctg rad
F
mA mm
A mm
ω
γ
ω ω γ ω
γωδω ω
δ δ
ω ω γω
minus
minus
minus
= = =
= = =sdot
= =
=minus +
=minus
= sdotsdot sdot= = minus rarr = minus
minus
= rarr = =
=
18-Un cuerpo de 2 kg descansa sobre un tablero horizontal y estaacute unido al extremo libre
de un muelle de constante elaacutestica k= 200 Nm En un instante dado sus oscilaciones
presentan una amplitud de 30 cm pero debido al rozamiento dicha amplitud se reduce a
la mitad cuando han transcurrido 25 segundos Determinar
a) El valor del paraacutemetro de amortiguamiento β y del tiempo de relajacioacuten τ
b) La frecuencia y el periodo de las oscilaciones no amortiguadas
c) Lo mismo para las oscilaciones amortiguadas
20
d) El tiempo que debe transcurrir para que se disipe la mitad de la energiacutea del oscilador
e) Lo mismo para que se disipe el 99 de la energiacutea del oscilador iquestCuaacutel seraacute entonces
la amplitud de las oscilaciones
( )2
0
0 cos
2
200
03
1
2
mt
m kg kF kx ma
mk N m
A m
x A e tβ
ω
ω δ
τ β
minus
= = minus = rarr ===
= minus
=
a)
( ) ( )2
252
0
1
En 25
2 ln 225 ln 2
2 25
1
225
2
011
1803
1803
m
m
t
tt
m
m
A A ee
At s A
kgs
ms
s
β
βδ
β β
β
τ βτ
minusminus
minus
+
=
==
= rarr =
rarr =
=
= =
=
b)
( ) ( )0
10 210
2 10
1591549
062831
rad s Hz T s
Hz
T s
πω ν πν
= rarr = =
==
c)
2 20 2
159
0628
Hz
T s
ωω ω β ν πν
= minus rarr =
==
d)
21
La energiacutea se disipa de acuerdo con la expresioacuten 0
t
E E e τminus
=
T1 es el tiempo necesario para que se disipe la mitad ( )1
01 0
2
TE
E T E e τminus
= =
1 ln 2 126T sτ= =
1 126 sT =
e)
( )2
2 0 0001
T
E T E E e τminus
= =
T2 es el tiempo necesario para que se disipe el 99
( )2 ln 001 838E T sτ= minus =
2 838 sT =
La amplitud viene dada por
( )( )
2 20 0
2
0
Bt t
m
t
A t A e A e
A te
A
τ
τ
minus minus
minus
= =
=
Al transcurrir T2 tendremos
( ) ( )2 001 1ln
2 2 2 2
0
001 01
TA Te e
Aτ
minus= = = =
Ha decaiacutedo al 90 de la amplitud inicial
19-Los aacutetomos de un soacutelido ejecutan oscilaciones armoacutenicas independientes alrededor
de posiciones fijas de equilibrio dispuestas seguacuten una red cuacutebica de lado a = 11middot10-11m
Estos aacutetomos tienen una masa de 10-22 g y vibran con frecuencia de 10
13 Hz Seguacuten la
mecaacutenica estadiacutestica la energiacutea total de cada oscilador es κT donde κ =RN0 es la
constante de Boltzman
a) Calcular la constante de recuperacioacuten
b) iquestCuaacutel es la amplitud de las oscilaciones a temperatura ambiente (17ordmC)
c) Imaginando que el soacutelido fundiese cuando la amplitud de las oscilaciones alcanzase
un valor de a10 iquesta queacute temperatura fundiriacutea el soacutelido
Datos R = 831 JKmol N0 = 60231023 moleacuteculasmol
22
13
22
0
10 2
10
f Hz E T f
Rm g
N
κ ω π
κminus
= = =
= =
a)
( )22 22 3 13 25 26 2
2
10 10 2 10 10 4 10
40
k m kg Hz kg s
k N m
ω π π
π
minus minus minus= = sdot sdot sdot = sdot
=
b)
( )232
2
12
8312 273 17
1 2 2 6023 102 40
1672 10
E TE kA A
k k
A m
κπ
minus
+sdot= rarr = = =
= sdot
c)
( )
2
2
2 11 2322 20
0
1 1
10 2 2 10
40 51 10 6023 10
2 100 200 200 831200
37209 9909ordm
fuioacuten
fuioacuten
fuioacuten
a aA E kA k T
ka Nka kaT
R RN
T K C
κ
πκ
minus
= = = =
sdot sdot= = = =
sdot
= =
20- Consideramos un pequentildeo objeto de masa m que tan soacutelo puede moverse a lo
largo de una recta unido a un extremo de un muelle de constante elaacutestica k y de
longitud l0 El otro extremo del muelle estaacute unido a un punto fijo A situado a una
distancia l=l0 de la recta sobre la que se mueve el pequentildeo objeto como se muestra en
la figura Calcular la frecuencia de las pequentildeas oscilaciones del sistema
23
( )( )
0
0
20
0 2
0
0 0 0 0 0
0
cos
1
1
x
x
k l
l l
xF F F
Llx d x
L l l F k L l k x mL L dt
F k L l
l l l l l lk k
L l l l m l m l
l lk
m l
θ
ω
ω
asymp
gt
= =
= + ∆ = minus minus = minus minus == minus minus
minus= rarr = minus =+ ∆
minus=
15
( )
( )
1 2
2 2 2
1 2 1 2
1 2
2 5
3 3 9
52 2 26
3
26
z
d d d
d d mdI m m
I mgd sen mgd sen mg d d
I dT s
gmg d d
T s
α θ θ θ
π π
= +
= + =
= minus + minus minus
= = =minus
=
≃
d)
1 2 0d d Tminus = rarr = infin
Modo 2
2 2 22 5
2 3 3 3 9
52 2 26
3
d d d d mdL I m m
I dT s
mgL gπ π
= minus = + =
= = =
14-Cuando la plomada de un peacutendulo coacutenico describe una trayectoria circular el hilo
de longitud L barre un cono de semiaacutengulo θ a) Calcular el periodo del movimiento circular de la plomada en funcioacuten de L g y θ Si la circunferencia anterior estaacute en el plano xy con el centro en el origen
b) demuestre que cada coordenada x e y sigue un
mas y compare su periodo con el que tendriacutea el
mismo sistema oscilando en un plano vertical
16
N
2 2N
2 2
N
Sobre la masa A actuacutea su peso y la tensioacuten de la cuerda
Su resultante debe ser F es decir justamente la fuerza centriacutepeta
necesaria para describir el ciacuterculo
F
F
Fv R
R Lsen
m R m Lsen
mv Rm
R ω
θ
ω ω θω
=
=
= =
= =2
2
2 2N
22
F
coscos cos cos
m RR
m Lsen Lsentg
mg mg g
sen g g gtg
L LL
ω
ω θ ω θθ
θθ θ ω ωθ θ θω
=
= = =
= rarr = rarr = rarr =
2
1
2 cos
1 cos2
f
gf
L
Lf T
T g
ω π
π θθπ
=
=
= rarr =
b)
P coacutenico 2
2
2
4 tan costan 2c
g lR g T
T lsen g
π θ θω θ πθ
= = =
P Plano
2p
lT
gπ=
Relacioacuten 0
cos 1c
p
T
T θθ
rarr
= rarr
En coordenadas rectangulares (x y) horizontales
P coacutenico 2 2 2 x y R v R Cteω+ = = =
P planos
( )0 sinx y R tω φ= +
Composicioacuten
( ) ( ) ( )
2 2 2 2 2 2 2
2 2 22 2 2
sin cos
cos sin
x y R t R t R
v R t R t R v R
ω ω
ω ω ω ω ω ω
+ = + = = + = =
17
15-Determine las frecuencias de oscilacioacuten correspondientes a cada uno de los sistemas
representados en las figuras siguientes suponiendo que el bloque de masa m estaacute
situado sobre una superficie horizontal lisa y que las constantes elaacutesticas son k1 y k2
para cada uno de los dos resortes unidos al bloque
a)
( )
( )1 2
1 2
1 2
1 1 11 2
2 2 2
1 21 2
1 2
1 2
1 2 1 2
1 2
1 2
1 1 1
1
2a
k k
m k k
x x x
F k xF F F
F k x
F FFF kx x x x
k k k
k kk
k k k k k
k kk
m m k kω
υ π
+
= += minus
= == minus
= minus rarr = minus = + = minus minus
rarr = + rarr =+
= =+
rarr =
a b c
18
b)
( )
1 2
1 1 11 2
2 2 2
1 1 2 2 1 2
1 2
1 2 1 21
2b
x x x
F k xF F F
F k x
kx k x k x k k x
k k k
k k k kk
m m mω υ π
= == minus
= += minus
minus = minus minus = minus += +
+ += = rarr =
c)
( )
1 2
1 2
1 1 2 2 1 2 1 2
Lo que se estira el muelle 1 es igual
a lo que se comprime el muelle 2
c b
x x
F F F
kx k x k x k k x k k k
υ υ
=
= +minus = minus minus = minus + rarr = +
=
16-Un tubo en forma de U y de seccioacuten recta constante A estaacute abierto a la atmoacutesfera
Estaacute lleno hasta un nivel de un liacutequido incompresible que fluye a traveacutes del tubo con
rozamiento despreciable Demostrar que si se hace descender la superficie del liacutequido en
uno de los brazos de la U y luego se deja libre el periodo de las oscilaciones de la
columna liacutequida es T=2π(L2g)12
( )2
2
Fuerza recuperadora
2
2
rec
rec
F
F g y A
d yg yA m
dtm V AL
ρ
ρ
ρ ρ
ρ
=
= minus
minus =
= =
minus 2g y A ρ= A2
2
2
2Movimiento armoacutenico simple
con
2
2 22
2
d yL
dt
d y gy
Ldt
g LT T
L g
πω πω
= minus rarr
= rarr = rarr =
19
17-Un bloque de masa 25 kg estaacute conectado a un muelle de constante elaacutestica 1250
Nm el movimiento del bloque estaacute amortiguado con b=50 kgs Estaacute sometido a una
fuerza externa sinusoidal de frecuencia angular ω=25 rads y moacutedulo maacuteximo 12 N
Determinar
a) La amplitud y la constante de fase para el movimiento en estado estacionario
b) La amplitud del sistema cuando estaacute en resonancia de amplitud
25
25
1250
50
12
t
o
rad s
m kg
k N m
b kg s
F N
ω ====
=
( )
2 2
1
2
22 2 2 2
2 2
3
Resonancia
1250500
25
5010
2 2 2512
48 25
4
2
9313 10
2 10 257596 1326
500 625
962
96
o
o
o
o
o t t
e
o t
o
o
o
t ot
o
ks
m
bs
mF
m sm
F
mA
tg
A m
arctg rad
F
mA mm
A mm
ω
γ
ω ω γ ω
γωδω ω
δ δ
ω ω γω
minus
minus
minus
= = =
= = =sdot
= =
=minus +
=minus
= sdotsdot sdot= = minus rarr = minus
minus
= rarr = =
=
18-Un cuerpo de 2 kg descansa sobre un tablero horizontal y estaacute unido al extremo libre
de un muelle de constante elaacutestica k= 200 Nm En un instante dado sus oscilaciones
presentan una amplitud de 30 cm pero debido al rozamiento dicha amplitud se reduce a
la mitad cuando han transcurrido 25 segundos Determinar
a) El valor del paraacutemetro de amortiguamiento β y del tiempo de relajacioacuten τ
b) La frecuencia y el periodo de las oscilaciones no amortiguadas
c) Lo mismo para las oscilaciones amortiguadas
20
d) El tiempo que debe transcurrir para que se disipe la mitad de la energiacutea del oscilador
e) Lo mismo para que se disipe el 99 de la energiacutea del oscilador iquestCuaacutel seraacute entonces
la amplitud de las oscilaciones
( )2
0
0 cos
2
200
03
1
2
mt
m kg kF kx ma
mk N m
A m
x A e tβ
ω
ω δ
τ β
minus
= = minus = rarr ===
= minus
=
a)
( ) ( )2
252
0
1
En 25
2 ln 225 ln 2
2 25
1
225
2
011
1803
1803
m
m
t
tt
m
m
A A ee
At s A
kgs
ms
s
β
βδ
β β
β
τ βτ
minusminus
minus
+
=
==
= rarr =
rarr =
=
= =
=
b)
( ) ( )0
10 210
2 10
1591549
062831
rad s Hz T s
Hz
T s
πω ν πν
= rarr = =
==
c)
2 20 2
159
0628
Hz
T s
ωω ω β ν πν
= minus rarr =
==
d)
21
La energiacutea se disipa de acuerdo con la expresioacuten 0
t
E E e τminus
=
T1 es el tiempo necesario para que se disipe la mitad ( )1
01 0
2
TE
E T E e τminus
= =
1 ln 2 126T sτ= =
1 126 sT =
e)
( )2
2 0 0001
T
E T E E e τminus
= =
T2 es el tiempo necesario para que se disipe el 99
( )2 ln 001 838E T sτ= minus =
2 838 sT =
La amplitud viene dada por
( )( )
2 20 0
2
0
Bt t
m
t
A t A e A e
A te
A
τ
τ
minus minus
minus
= =
=
Al transcurrir T2 tendremos
( ) ( )2 001 1ln
2 2 2 2
0
001 01
TA Te e
Aτ
minus= = = =
Ha decaiacutedo al 90 de la amplitud inicial
19-Los aacutetomos de un soacutelido ejecutan oscilaciones armoacutenicas independientes alrededor
de posiciones fijas de equilibrio dispuestas seguacuten una red cuacutebica de lado a = 11middot10-11m
Estos aacutetomos tienen una masa de 10-22 g y vibran con frecuencia de 10
13 Hz Seguacuten la
mecaacutenica estadiacutestica la energiacutea total de cada oscilador es κT donde κ =RN0 es la
constante de Boltzman
a) Calcular la constante de recuperacioacuten
b) iquestCuaacutel es la amplitud de las oscilaciones a temperatura ambiente (17ordmC)
c) Imaginando que el soacutelido fundiese cuando la amplitud de las oscilaciones alcanzase
un valor de a10 iquesta queacute temperatura fundiriacutea el soacutelido
Datos R = 831 JKmol N0 = 60231023 moleacuteculasmol
22
13
22
0
10 2
10
f Hz E T f
Rm g
N
κ ω π
κminus
= = =
= =
a)
( )22 22 3 13 25 26 2
2
10 10 2 10 10 4 10
40
k m kg Hz kg s
k N m
ω π π
π
minus minus minus= = sdot sdot sdot = sdot
=
b)
( )232
2
12
8312 273 17
1 2 2 6023 102 40
1672 10
E TE kA A
k k
A m
κπ
minus
+sdot= rarr = = =
= sdot
c)
( )
2
2
2 11 2322 20
0
1 1
10 2 2 10
40 51 10 6023 10
2 100 200 200 831200
37209 9909ordm
fuioacuten
fuioacuten
fuioacuten
a aA E kA k T
ka Nka kaT
R RN
T K C
κ
πκ
minus
= = = =
sdot sdot= = = =
sdot
= =
20- Consideramos un pequentildeo objeto de masa m que tan soacutelo puede moverse a lo
largo de una recta unido a un extremo de un muelle de constante elaacutestica k y de
longitud l0 El otro extremo del muelle estaacute unido a un punto fijo A situado a una
distancia l=l0 de la recta sobre la que se mueve el pequentildeo objeto como se muestra en
la figura Calcular la frecuencia de las pequentildeas oscilaciones del sistema
23
( )( )
0
0
20
0 2
0
0 0 0 0 0
0
cos
1
1
x
x
k l
l l
xF F F
Llx d x
L l l F k L l k x mL L dt
F k L l
l l l l l lk k
L l l l m l m l
l lk
m l
θ
ω
ω
asymp
gt
= =
= + ∆ = minus minus = minus minus == minus minus
minus= rarr = minus =+ ∆
minus=
16
N
2 2N
2 2
N
Sobre la masa A actuacutea su peso y la tensioacuten de la cuerda
Su resultante debe ser F es decir justamente la fuerza centriacutepeta
necesaria para describir el ciacuterculo
F
F
Fv R
R Lsen
m R m Lsen
mv Rm
R ω
θ
ω ω θω
=
=
= =
= =2
2
2 2N
22
F
coscos cos cos
m RR
m Lsen Lsentg
mg mg g
sen g g gtg
L LL
ω
ω θ ω θθ
θθ θ ω ωθ θ θω
=
= = =
= rarr = rarr = rarr =
2
1
2 cos
1 cos2
f
gf
L
Lf T
T g
ω π
π θθπ
=
=
= rarr =
b)
P coacutenico 2
2
2
4 tan costan 2c
g lR g T
T lsen g
π θ θω θ πθ
= = =
P Plano
2p
lT
gπ=
Relacioacuten 0
cos 1c
p
T
T θθ
rarr
= rarr
En coordenadas rectangulares (x y) horizontales
P coacutenico 2 2 2 x y R v R Cteω+ = = =
P planos
( )0 sinx y R tω φ= +
Composicioacuten
( ) ( ) ( )
2 2 2 2 2 2 2
2 2 22 2 2
sin cos
cos sin
x y R t R t R
v R t R t R v R
ω ω
ω ω ω ω ω ω
+ = + = = + = =
17
15-Determine las frecuencias de oscilacioacuten correspondientes a cada uno de los sistemas
representados en las figuras siguientes suponiendo que el bloque de masa m estaacute
situado sobre una superficie horizontal lisa y que las constantes elaacutesticas son k1 y k2
para cada uno de los dos resortes unidos al bloque
a)
( )
( )1 2
1 2
1 2
1 1 11 2
2 2 2
1 21 2
1 2
1 2
1 2 1 2
1 2
1 2
1 1 1
1
2a
k k
m k k
x x x
F k xF F F
F k x
F FFF kx x x x
k k k
k kk
k k k k k
k kk
m m k kω
υ π
+
= += minus
= == minus
= minus rarr = minus = + = minus minus
rarr = + rarr =+
= =+
rarr =
a b c
18
b)
( )
1 2
1 1 11 2
2 2 2
1 1 2 2 1 2
1 2
1 2 1 21
2b
x x x
F k xF F F
F k x
kx k x k x k k x
k k k
k k k kk
m m mω υ π
= == minus
= += minus
minus = minus minus = minus += +
+ += = rarr =
c)
( )
1 2
1 2
1 1 2 2 1 2 1 2
Lo que se estira el muelle 1 es igual
a lo que se comprime el muelle 2
c b
x x
F F F
kx k x k x k k x k k k
υ υ
=
= +minus = minus minus = minus + rarr = +
=
16-Un tubo en forma de U y de seccioacuten recta constante A estaacute abierto a la atmoacutesfera
Estaacute lleno hasta un nivel de un liacutequido incompresible que fluye a traveacutes del tubo con
rozamiento despreciable Demostrar que si se hace descender la superficie del liacutequido en
uno de los brazos de la U y luego se deja libre el periodo de las oscilaciones de la
columna liacutequida es T=2π(L2g)12
( )2
2
Fuerza recuperadora
2
2
rec
rec
F
F g y A
d yg yA m
dtm V AL
ρ
ρ
ρ ρ
ρ
=
= minus
minus =
= =
minus 2g y A ρ= A2
2
2
2Movimiento armoacutenico simple
con
2
2 22
2
d yL
dt
d y gy
Ldt
g LT T
L g
πω πω
= minus rarr
= rarr = rarr =
19
17-Un bloque de masa 25 kg estaacute conectado a un muelle de constante elaacutestica 1250
Nm el movimiento del bloque estaacute amortiguado con b=50 kgs Estaacute sometido a una
fuerza externa sinusoidal de frecuencia angular ω=25 rads y moacutedulo maacuteximo 12 N
Determinar
a) La amplitud y la constante de fase para el movimiento en estado estacionario
b) La amplitud del sistema cuando estaacute en resonancia de amplitud
25
25
1250
50
12
t
o
rad s
m kg
k N m
b kg s
F N
ω ====
=
( )
2 2
1
2
22 2 2 2
2 2
3
Resonancia
1250500
25
5010
2 2 2512
48 25
4
2
9313 10
2 10 257596 1326
500 625
962
96
o
o
o
o
o t t
e
o t
o
o
o
t ot
o
ks
m
bs
mF
m sm
F
mA
tg
A m
arctg rad
F
mA mm
A mm
ω
γ
ω ω γ ω
γωδω ω
δ δ
ω ω γω
minus
minus
minus
= = =
= = =sdot
= =
=minus +
=minus
= sdotsdot sdot= = minus rarr = minus
minus
= rarr = =
=
18-Un cuerpo de 2 kg descansa sobre un tablero horizontal y estaacute unido al extremo libre
de un muelle de constante elaacutestica k= 200 Nm En un instante dado sus oscilaciones
presentan una amplitud de 30 cm pero debido al rozamiento dicha amplitud se reduce a
la mitad cuando han transcurrido 25 segundos Determinar
a) El valor del paraacutemetro de amortiguamiento β y del tiempo de relajacioacuten τ
b) La frecuencia y el periodo de las oscilaciones no amortiguadas
c) Lo mismo para las oscilaciones amortiguadas
20
d) El tiempo que debe transcurrir para que se disipe la mitad de la energiacutea del oscilador
e) Lo mismo para que se disipe el 99 de la energiacutea del oscilador iquestCuaacutel seraacute entonces
la amplitud de las oscilaciones
( )2
0
0 cos
2
200
03
1
2
mt
m kg kF kx ma
mk N m
A m
x A e tβ
ω
ω δ
τ β
minus
= = minus = rarr ===
= minus
=
a)
( ) ( )2
252
0
1
En 25
2 ln 225 ln 2
2 25
1
225
2
011
1803
1803
m
m
t
tt
m
m
A A ee
At s A
kgs
ms
s
β
βδ
β β
β
τ βτ
minusminus
minus
+
=
==
= rarr =
rarr =
=
= =
=
b)
( ) ( )0
10 210
2 10
1591549
062831
rad s Hz T s
Hz
T s
πω ν πν
= rarr = =
==
c)
2 20 2
159
0628
Hz
T s
ωω ω β ν πν
= minus rarr =
==
d)
21
La energiacutea se disipa de acuerdo con la expresioacuten 0
t
E E e τminus
=
T1 es el tiempo necesario para que se disipe la mitad ( )1
01 0
2
TE
E T E e τminus
= =
1 ln 2 126T sτ= =
1 126 sT =
e)
( )2
2 0 0001
T
E T E E e τminus
= =
T2 es el tiempo necesario para que se disipe el 99
( )2 ln 001 838E T sτ= minus =
2 838 sT =
La amplitud viene dada por
( )( )
2 20 0
2
0
Bt t
m
t
A t A e A e
A te
A
τ
τ
minus minus
minus
= =
=
Al transcurrir T2 tendremos
( ) ( )2 001 1ln
2 2 2 2
0
001 01
TA Te e
Aτ
minus= = = =
Ha decaiacutedo al 90 de la amplitud inicial
19-Los aacutetomos de un soacutelido ejecutan oscilaciones armoacutenicas independientes alrededor
de posiciones fijas de equilibrio dispuestas seguacuten una red cuacutebica de lado a = 11middot10-11m
Estos aacutetomos tienen una masa de 10-22 g y vibran con frecuencia de 10
13 Hz Seguacuten la
mecaacutenica estadiacutestica la energiacutea total de cada oscilador es κT donde κ =RN0 es la
constante de Boltzman
a) Calcular la constante de recuperacioacuten
b) iquestCuaacutel es la amplitud de las oscilaciones a temperatura ambiente (17ordmC)
c) Imaginando que el soacutelido fundiese cuando la amplitud de las oscilaciones alcanzase
un valor de a10 iquesta queacute temperatura fundiriacutea el soacutelido
Datos R = 831 JKmol N0 = 60231023 moleacuteculasmol
22
13
22
0
10 2
10
f Hz E T f
Rm g
N
κ ω π
κminus
= = =
= =
a)
( )22 22 3 13 25 26 2
2
10 10 2 10 10 4 10
40
k m kg Hz kg s
k N m
ω π π
π
minus minus minus= = sdot sdot sdot = sdot
=
b)
( )232
2
12
8312 273 17
1 2 2 6023 102 40
1672 10
E TE kA A
k k
A m
κπ
minus
+sdot= rarr = = =
= sdot
c)
( )
2
2
2 11 2322 20
0
1 1
10 2 2 10
40 51 10 6023 10
2 100 200 200 831200
37209 9909ordm
fuioacuten
fuioacuten
fuioacuten
a aA E kA k T
ka Nka kaT
R RN
T K C
κ
πκ
minus
= = = =
sdot sdot= = = =
sdot
= =
20- Consideramos un pequentildeo objeto de masa m que tan soacutelo puede moverse a lo
largo de una recta unido a un extremo de un muelle de constante elaacutestica k y de
longitud l0 El otro extremo del muelle estaacute unido a un punto fijo A situado a una
distancia l=l0 de la recta sobre la que se mueve el pequentildeo objeto como se muestra en
la figura Calcular la frecuencia de las pequentildeas oscilaciones del sistema
23
( )( )
0
0
20
0 2
0
0 0 0 0 0
0
cos
1
1
x
x
k l
l l
xF F F
Llx d x
L l l F k L l k x mL L dt
F k L l
l l l l l lk k
L l l l m l m l
l lk
m l
θ
ω
ω
asymp
gt
= =
= + ∆ = minus minus = minus minus == minus minus
minus= rarr = minus =+ ∆
minus=
17
15-Determine las frecuencias de oscilacioacuten correspondientes a cada uno de los sistemas
representados en las figuras siguientes suponiendo que el bloque de masa m estaacute
situado sobre una superficie horizontal lisa y que las constantes elaacutesticas son k1 y k2
para cada uno de los dos resortes unidos al bloque
a)
( )
( )1 2
1 2
1 2
1 1 11 2
2 2 2
1 21 2
1 2
1 2
1 2 1 2
1 2
1 2
1 1 1
1
2a
k k
m k k
x x x
F k xF F F
F k x
F FFF kx x x x
k k k
k kk
k k k k k
k kk
m m k kω
υ π
+
= += minus
= == minus
= minus rarr = minus = + = minus minus
rarr = + rarr =+
= =+
rarr =
a b c
18
b)
( )
1 2
1 1 11 2
2 2 2
1 1 2 2 1 2
1 2
1 2 1 21
2b
x x x
F k xF F F
F k x
kx k x k x k k x
k k k
k k k kk
m m mω υ π
= == minus
= += minus
minus = minus minus = minus += +
+ += = rarr =
c)
( )
1 2
1 2
1 1 2 2 1 2 1 2
Lo que se estira el muelle 1 es igual
a lo que se comprime el muelle 2
c b
x x
F F F
kx k x k x k k x k k k
υ υ
=
= +minus = minus minus = minus + rarr = +
=
16-Un tubo en forma de U y de seccioacuten recta constante A estaacute abierto a la atmoacutesfera
Estaacute lleno hasta un nivel de un liacutequido incompresible que fluye a traveacutes del tubo con
rozamiento despreciable Demostrar que si se hace descender la superficie del liacutequido en
uno de los brazos de la U y luego se deja libre el periodo de las oscilaciones de la
columna liacutequida es T=2π(L2g)12
( )2
2
Fuerza recuperadora
2
2
rec
rec
F
F g y A
d yg yA m
dtm V AL
ρ
ρ
ρ ρ
ρ
=
= minus
minus =
= =
minus 2g y A ρ= A2
2
2
2Movimiento armoacutenico simple
con
2
2 22
2
d yL
dt
d y gy
Ldt
g LT T
L g
πω πω
= minus rarr
= rarr = rarr =
19
17-Un bloque de masa 25 kg estaacute conectado a un muelle de constante elaacutestica 1250
Nm el movimiento del bloque estaacute amortiguado con b=50 kgs Estaacute sometido a una
fuerza externa sinusoidal de frecuencia angular ω=25 rads y moacutedulo maacuteximo 12 N
Determinar
a) La amplitud y la constante de fase para el movimiento en estado estacionario
b) La amplitud del sistema cuando estaacute en resonancia de amplitud
25
25
1250
50
12
t
o
rad s
m kg
k N m
b kg s
F N
ω ====
=
( )
2 2
1
2
22 2 2 2
2 2
3
Resonancia
1250500
25
5010
2 2 2512
48 25
4
2
9313 10
2 10 257596 1326
500 625
962
96
o
o
o
o
o t t
e
o t
o
o
o
t ot
o
ks
m
bs
mF
m sm
F
mA
tg
A m
arctg rad
F
mA mm
A mm
ω
γ
ω ω γ ω
γωδω ω
δ δ
ω ω γω
minus
minus
minus
= = =
= = =sdot
= =
=minus +
=minus
= sdotsdot sdot= = minus rarr = minus
minus
= rarr = =
=
18-Un cuerpo de 2 kg descansa sobre un tablero horizontal y estaacute unido al extremo libre
de un muelle de constante elaacutestica k= 200 Nm En un instante dado sus oscilaciones
presentan una amplitud de 30 cm pero debido al rozamiento dicha amplitud se reduce a
la mitad cuando han transcurrido 25 segundos Determinar
a) El valor del paraacutemetro de amortiguamiento β y del tiempo de relajacioacuten τ
b) La frecuencia y el periodo de las oscilaciones no amortiguadas
c) Lo mismo para las oscilaciones amortiguadas
20
d) El tiempo que debe transcurrir para que se disipe la mitad de la energiacutea del oscilador
e) Lo mismo para que se disipe el 99 de la energiacutea del oscilador iquestCuaacutel seraacute entonces
la amplitud de las oscilaciones
( )2
0
0 cos
2
200
03
1
2
mt
m kg kF kx ma
mk N m
A m
x A e tβ
ω
ω δ
τ β
minus
= = minus = rarr ===
= minus
=
a)
( ) ( )2
252
0
1
En 25
2 ln 225 ln 2
2 25
1
225
2
011
1803
1803
m
m
t
tt
m
m
A A ee
At s A
kgs
ms
s
β
βδ
β β
β
τ βτ
minusminus
minus
+
=
==
= rarr =
rarr =
=
= =
=
b)
( ) ( )0
10 210
2 10
1591549
062831
rad s Hz T s
Hz
T s
πω ν πν
= rarr = =
==
c)
2 20 2
159
0628
Hz
T s
ωω ω β ν πν
= minus rarr =
==
d)
21
La energiacutea se disipa de acuerdo con la expresioacuten 0
t
E E e τminus
=
T1 es el tiempo necesario para que se disipe la mitad ( )1
01 0
2
TE
E T E e τminus
= =
1 ln 2 126T sτ= =
1 126 sT =
e)
( )2
2 0 0001
T
E T E E e τminus
= =
T2 es el tiempo necesario para que se disipe el 99
( )2 ln 001 838E T sτ= minus =
2 838 sT =
La amplitud viene dada por
( )( )
2 20 0
2
0
Bt t
m
t
A t A e A e
A te
A
τ
τ
minus minus
minus
= =
=
Al transcurrir T2 tendremos
( ) ( )2 001 1ln
2 2 2 2
0
001 01
TA Te e
Aτ
minus= = = =
Ha decaiacutedo al 90 de la amplitud inicial
19-Los aacutetomos de un soacutelido ejecutan oscilaciones armoacutenicas independientes alrededor
de posiciones fijas de equilibrio dispuestas seguacuten una red cuacutebica de lado a = 11middot10-11m
Estos aacutetomos tienen una masa de 10-22 g y vibran con frecuencia de 10
13 Hz Seguacuten la
mecaacutenica estadiacutestica la energiacutea total de cada oscilador es κT donde κ =RN0 es la
constante de Boltzman
a) Calcular la constante de recuperacioacuten
b) iquestCuaacutel es la amplitud de las oscilaciones a temperatura ambiente (17ordmC)
c) Imaginando que el soacutelido fundiese cuando la amplitud de las oscilaciones alcanzase
un valor de a10 iquesta queacute temperatura fundiriacutea el soacutelido
Datos R = 831 JKmol N0 = 60231023 moleacuteculasmol
22
13
22
0
10 2
10
f Hz E T f
Rm g
N
κ ω π
κminus
= = =
= =
a)
( )22 22 3 13 25 26 2
2
10 10 2 10 10 4 10
40
k m kg Hz kg s
k N m
ω π π
π
minus minus minus= = sdot sdot sdot = sdot
=
b)
( )232
2
12
8312 273 17
1 2 2 6023 102 40
1672 10
E TE kA A
k k
A m
κπ
minus
+sdot= rarr = = =
= sdot
c)
( )
2
2
2 11 2322 20
0
1 1
10 2 2 10
40 51 10 6023 10
2 100 200 200 831200
37209 9909ordm
fuioacuten
fuioacuten
fuioacuten
a aA E kA k T
ka Nka kaT
R RN
T K C
κ
πκ
minus
= = = =
sdot sdot= = = =
sdot
= =
20- Consideramos un pequentildeo objeto de masa m que tan soacutelo puede moverse a lo
largo de una recta unido a un extremo de un muelle de constante elaacutestica k y de
longitud l0 El otro extremo del muelle estaacute unido a un punto fijo A situado a una
distancia l=l0 de la recta sobre la que se mueve el pequentildeo objeto como se muestra en
la figura Calcular la frecuencia de las pequentildeas oscilaciones del sistema
23
( )( )
0
0
20
0 2
0
0 0 0 0 0
0
cos
1
1
x
x
k l
l l
xF F F
Llx d x
L l l F k L l k x mL L dt
F k L l
l l l l l lk k
L l l l m l m l
l lk
m l
θ
ω
ω
asymp
gt
= =
= + ∆ = minus minus = minus minus == minus minus
minus= rarr = minus =+ ∆
minus=
18
b)
( )
1 2
1 1 11 2
2 2 2
1 1 2 2 1 2
1 2
1 2 1 21
2b
x x x
F k xF F F
F k x
kx k x k x k k x
k k k
k k k kk
m m mω υ π
= == minus
= += minus
minus = minus minus = minus += +
+ += = rarr =
c)
( )
1 2
1 2
1 1 2 2 1 2 1 2
Lo que se estira el muelle 1 es igual
a lo que se comprime el muelle 2
c b
x x
F F F
kx k x k x k k x k k k
υ υ
=
= +minus = minus minus = minus + rarr = +
=
16-Un tubo en forma de U y de seccioacuten recta constante A estaacute abierto a la atmoacutesfera
Estaacute lleno hasta un nivel de un liacutequido incompresible que fluye a traveacutes del tubo con
rozamiento despreciable Demostrar que si se hace descender la superficie del liacutequido en
uno de los brazos de la U y luego se deja libre el periodo de las oscilaciones de la
columna liacutequida es T=2π(L2g)12
( )2
2
Fuerza recuperadora
2
2
rec
rec
F
F g y A
d yg yA m
dtm V AL
ρ
ρ
ρ ρ
ρ
=
= minus
minus =
= =
minus 2g y A ρ= A2
2
2
2Movimiento armoacutenico simple
con
2
2 22
2
d yL
dt
d y gy
Ldt
g LT T
L g
πω πω
= minus rarr
= rarr = rarr =
19
17-Un bloque de masa 25 kg estaacute conectado a un muelle de constante elaacutestica 1250
Nm el movimiento del bloque estaacute amortiguado con b=50 kgs Estaacute sometido a una
fuerza externa sinusoidal de frecuencia angular ω=25 rads y moacutedulo maacuteximo 12 N
Determinar
a) La amplitud y la constante de fase para el movimiento en estado estacionario
b) La amplitud del sistema cuando estaacute en resonancia de amplitud
25
25
1250
50
12
t
o
rad s
m kg
k N m
b kg s
F N
ω ====
=
( )
2 2
1
2
22 2 2 2
2 2
3
Resonancia
1250500
25
5010
2 2 2512
48 25
4
2
9313 10
2 10 257596 1326
500 625
962
96
o
o
o
o
o t t
e
o t
o
o
o
t ot
o
ks
m
bs
mF
m sm
F
mA
tg
A m
arctg rad
F
mA mm
A mm
ω
γ
ω ω γ ω
γωδω ω
δ δ
ω ω γω
minus
minus
minus
= = =
= = =sdot
= =
=minus +
=minus
= sdotsdot sdot= = minus rarr = minus
minus
= rarr = =
=
18-Un cuerpo de 2 kg descansa sobre un tablero horizontal y estaacute unido al extremo libre
de un muelle de constante elaacutestica k= 200 Nm En un instante dado sus oscilaciones
presentan una amplitud de 30 cm pero debido al rozamiento dicha amplitud se reduce a
la mitad cuando han transcurrido 25 segundos Determinar
a) El valor del paraacutemetro de amortiguamiento β y del tiempo de relajacioacuten τ
b) La frecuencia y el periodo de las oscilaciones no amortiguadas
c) Lo mismo para las oscilaciones amortiguadas
20
d) El tiempo que debe transcurrir para que se disipe la mitad de la energiacutea del oscilador
e) Lo mismo para que se disipe el 99 de la energiacutea del oscilador iquestCuaacutel seraacute entonces
la amplitud de las oscilaciones
( )2
0
0 cos
2
200
03
1
2
mt
m kg kF kx ma
mk N m
A m
x A e tβ
ω
ω δ
τ β
minus
= = minus = rarr ===
= minus
=
a)
( ) ( )2
252
0
1
En 25
2 ln 225 ln 2
2 25
1
225
2
011
1803
1803
m
m
t
tt
m
m
A A ee
At s A
kgs
ms
s
β
βδ
β β
β
τ βτ
minusminus
minus
+
=
==
= rarr =
rarr =
=
= =
=
b)
( ) ( )0
10 210
2 10
1591549
062831
rad s Hz T s
Hz
T s
πω ν πν
= rarr = =
==
c)
2 20 2
159
0628
Hz
T s
ωω ω β ν πν
= minus rarr =
==
d)
21
La energiacutea se disipa de acuerdo con la expresioacuten 0
t
E E e τminus
=
T1 es el tiempo necesario para que se disipe la mitad ( )1
01 0
2
TE
E T E e τminus
= =
1 ln 2 126T sτ= =
1 126 sT =
e)
( )2
2 0 0001
T
E T E E e τminus
= =
T2 es el tiempo necesario para que se disipe el 99
( )2 ln 001 838E T sτ= minus =
2 838 sT =
La amplitud viene dada por
( )( )
2 20 0
2
0
Bt t
m
t
A t A e A e
A te
A
τ
τ
minus minus
minus
= =
=
Al transcurrir T2 tendremos
( ) ( )2 001 1ln
2 2 2 2
0
001 01
TA Te e
Aτ
minus= = = =
Ha decaiacutedo al 90 de la amplitud inicial
19-Los aacutetomos de un soacutelido ejecutan oscilaciones armoacutenicas independientes alrededor
de posiciones fijas de equilibrio dispuestas seguacuten una red cuacutebica de lado a = 11middot10-11m
Estos aacutetomos tienen una masa de 10-22 g y vibran con frecuencia de 10
13 Hz Seguacuten la
mecaacutenica estadiacutestica la energiacutea total de cada oscilador es κT donde κ =RN0 es la
constante de Boltzman
a) Calcular la constante de recuperacioacuten
b) iquestCuaacutel es la amplitud de las oscilaciones a temperatura ambiente (17ordmC)
c) Imaginando que el soacutelido fundiese cuando la amplitud de las oscilaciones alcanzase
un valor de a10 iquesta queacute temperatura fundiriacutea el soacutelido
Datos R = 831 JKmol N0 = 60231023 moleacuteculasmol
22
13
22
0
10 2
10
f Hz E T f
Rm g
N
κ ω π
κminus
= = =
= =
a)
( )22 22 3 13 25 26 2
2
10 10 2 10 10 4 10
40
k m kg Hz kg s
k N m
ω π π
π
minus minus minus= = sdot sdot sdot = sdot
=
b)
( )232
2
12
8312 273 17
1 2 2 6023 102 40
1672 10
E TE kA A
k k
A m
κπ
minus
+sdot= rarr = = =
= sdot
c)
( )
2
2
2 11 2322 20
0
1 1
10 2 2 10
40 51 10 6023 10
2 100 200 200 831200
37209 9909ordm
fuioacuten
fuioacuten
fuioacuten
a aA E kA k T
ka Nka kaT
R RN
T K C
κ
πκ
minus
= = = =
sdot sdot= = = =
sdot
= =
20- Consideramos un pequentildeo objeto de masa m que tan soacutelo puede moverse a lo
largo de una recta unido a un extremo de un muelle de constante elaacutestica k y de
longitud l0 El otro extremo del muelle estaacute unido a un punto fijo A situado a una
distancia l=l0 de la recta sobre la que se mueve el pequentildeo objeto como se muestra en
la figura Calcular la frecuencia de las pequentildeas oscilaciones del sistema
23
( )( )
0
0
20
0 2
0
0 0 0 0 0
0
cos
1
1
x
x
k l
l l
xF F F
Llx d x
L l l F k L l k x mL L dt
F k L l
l l l l l lk k
L l l l m l m l
l lk
m l
θ
ω
ω
asymp
gt
= =
= + ∆ = minus minus = minus minus == minus minus
minus= rarr = minus =+ ∆
minus=
19
17-Un bloque de masa 25 kg estaacute conectado a un muelle de constante elaacutestica 1250
Nm el movimiento del bloque estaacute amortiguado con b=50 kgs Estaacute sometido a una
fuerza externa sinusoidal de frecuencia angular ω=25 rads y moacutedulo maacuteximo 12 N
Determinar
a) La amplitud y la constante de fase para el movimiento en estado estacionario
b) La amplitud del sistema cuando estaacute en resonancia de amplitud
25
25
1250
50
12
t
o
rad s
m kg
k N m
b kg s
F N
ω ====
=
( )
2 2
1
2
22 2 2 2
2 2
3
Resonancia
1250500
25
5010
2 2 2512
48 25
4
2
9313 10
2 10 257596 1326
500 625
962
96
o
o
o
o
o t t
e
o t
o
o
o
t ot
o
ks
m
bs
mF
m sm
F
mA
tg
A m
arctg rad
F
mA mm
A mm
ω
γ
ω ω γ ω
γωδω ω
δ δ
ω ω γω
minus
minus
minus
= = =
= = =sdot
= =
=minus +
=minus
= sdotsdot sdot= = minus rarr = minus
minus
= rarr = =
=
18-Un cuerpo de 2 kg descansa sobre un tablero horizontal y estaacute unido al extremo libre
de un muelle de constante elaacutestica k= 200 Nm En un instante dado sus oscilaciones
presentan una amplitud de 30 cm pero debido al rozamiento dicha amplitud se reduce a
la mitad cuando han transcurrido 25 segundos Determinar
a) El valor del paraacutemetro de amortiguamiento β y del tiempo de relajacioacuten τ
b) La frecuencia y el periodo de las oscilaciones no amortiguadas
c) Lo mismo para las oscilaciones amortiguadas
20
d) El tiempo que debe transcurrir para que se disipe la mitad de la energiacutea del oscilador
e) Lo mismo para que se disipe el 99 de la energiacutea del oscilador iquestCuaacutel seraacute entonces
la amplitud de las oscilaciones
( )2
0
0 cos
2
200
03
1
2
mt
m kg kF kx ma
mk N m
A m
x A e tβ
ω
ω δ
τ β
minus
= = minus = rarr ===
= minus
=
a)
( ) ( )2
252
0
1
En 25
2 ln 225 ln 2
2 25
1
225
2
011
1803
1803
m
m
t
tt
m
m
A A ee
At s A
kgs
ms
s
β
βδ
β β
β
τ βτ
minusminus
minus
+
=
==
= rarr =
rarr =
=
= =
=
b)
( ) ( )0
10 210
2 10
1591549
062831
rad s Hz T s
Hz
T s
πω ν πν
= rarr = =
==
c)
2 20 2
159
0628
Hz
T s
ωω ω β ν πν
= minus rarr =
==
d)
21
La energiacutea se disipa de acuerdo con la expresioacuten 0
t
E E e τminus
=
T1 es el tiempo necesario para que se disipe la mitad ( )1
01 0
2
TE
E T E e τminus
= =
1 ln 2 126T sτ= =
1 126 sT =
e)
( )2
2 0 0001
T
E T E E e τminus
= =
T2 es el tiempo necesario para que se disipe el 99
( )2 ln 001 838E T sτ= minus =
2 838 sT =
La amplitud viene dada por
( )( )
2 20 0
2
0
Bt t
m
t
A t A e A e
A te
A
τ
τ
minus minus
minus
= =
=
Al transcurrir T2 tendremos
( ) ( )2 001 1ln
2 2 2 2
0
001 01
TA Te e
Aτ
minus= = = =
Ha decaiacutedo al 90 de la amplitud inicial
19-Los aacutetomos de un soacutelido ejecutan oscilaciones armoacutenicas independientes alrededor
de posiciones fijas de equilibrio dispuestas seguacuten una red cuacutebica de lado a = 11middot10-11m
Estos aacutetomos tienen una masa de 10-22 g y vibran con frecuencia de 10
13 Hz Seguacuten la
mecaacutenica estadiacutestica la energiacutea total de cada oscilador es κT donde κ =RN0 es la
constante de Boltzman
a) Calcular la constante de recuperacioacuten
b) iquestCuaacutel es la amplitud de las oscilaciones a temperatura ambiente (17ordmC)
c) Imaginando que el soacutelido fundiese cuando la amplitud de las oscilaciones alcanzase
un valor de a10 iquesta queacute temperatura fundiriacutea el soacutelido
Datos R = 831 JKmol N0 = 60231023 moleacuteculasmol
22
13
22
0
10 2
10
f Hz E T f
Rm g
N
κ ω π
κminus
= = =
= =
a)
( )22 22 3 13 25 26 2
2
10 10 2 10 10 4 10
40
k m kg Hz kg s
k N m
ω π π
π
minus minus minus= = sdot sdot sdot = sdot
=
b)
( )232
2
12
8312 273 17
1 2 2 6023 102 40
1672 10
E TE kA A
k k
A m
κπ
minus
+sdot= rarr = = =
= sdot
c)
( )
2
2
2 11 2322 20
0
1 1
10 2 2 10
40 51 10 6023 10
2 100 200 200 831200
37209 9909ordm
fuioacuten
fuioacuten
fuioacuten
a aA E kA k T
ka Nka kaT
R RN
T K C
κ
πκ
minus
= = = =
sdot sdot= = = =
sdot
= =
20- Consideramos un pequentildeo objeto de masa m que tan soacutelo puede moverse a lo
largo de una recta unido a un extremo de un muelle de constante elaacutestica k y de
longitud l0 El otro extremo del muelle estaacute unido a un punto fijo A situado a una
distancia l=l0 de la recta sobre la que se mueve el pequentildeo objeto como se muestra en
la figura Calcular la frecuencia de las pequentildeas oscilaciones del sistema
23
( )( )
0
0
20
0 2
0
0 0 0 0 0
0
cos
1
1
x
x
k l
l l
xF F F
Llx d x
L l l F k L l k x mL L dt
F k L l
l l l l l lk k
L l l l m l m l
l lk
m l
θ
ω
ω
asymp
gt
= =
= + ∆ = minus minus = minus minus == minus minus
minus= rarr = minus =+ ∆
minus=
20
d) El tiempo que debe transcurrir para que se disipe la mitad de la energiacutea del oscilador
e) Lo mismo para que se disipe el 99 de la energiacutea del oscilador iquestCuaacutel seraacute entonces
la amplitud de las oscilaciones
( )2
0
0 cos
2
200
03
1
2
mt
m kg kF kx ma
mk N m
A m
x A e tβ
ω
ω δ
τ β
minus
= = minus = rarr ===
= minus
=
a)
( ) ( )2
252
0
1
En 25
2 ln 225 ln 2
2 25
1
225
2
011
1803
1803
m
m
t
tt
m
m
A A ee
At s A
kgs
ms
s
β
βδ
β β
β
τ βτ
minusminus
minus
+
=
==
= rarr =
rarr =
=
= =
=
b)
( ) ( )0
10 210
2 10
1591549
062831
rad s Hz T s
Hz
T s
πω ν πν
= rarr = =
==
c)
2 20 2
159
0628
Hz
T s
ωω ω β ν πν
= minus rarr =
==
d)
21
La energiacutea se disipa de acuerdo con la expresioacuten 0
t
E E e τminus
=
T1 es el tiempo necesario para que se disipe la mitad ( )1
01 0
2
TE
E T E e τminus
= =
1 ln 2 126T sτ= =
1 126 sT =
e)
( )2
2 0 0001
T
E T E E e τminus
= =
T2 es el tiempo necesario para que se disipe el 99
( )2 ln 001 838E T sτ= minus =
2 838 sT =
La amplitud viene dada por
( )( )
2 20 0
2
0
Bt t
m
t
A t A e A e
A te
A
τ
τ
minus minus
minus
= =
=
Al transcurrir T2 tendremos
( ) ( )2 001 1ln
2 2 2 2
0
001 01
TA Te e
Aτ
minus= = = =
Ha decaiacutedo al 90 de la amplitud inicial
19-Los aacutetomos de un soacutelido ejecutan oscilaciones armoacutenicas independientes alrededor
de posiciones fijas de equilibrio dispuestas seguacuten una red cuacutebica de lado a = 11middot10-11m
Estos aacutetomos tienen una masa de 10-22 g y vibran con frecuencia de 10
13 Hz Seguacuten la
mecaacutenica estadiacutestica la energiacutea total de cada oscilador es κT donde κ =RN0 es la
constante de Boltzman
a) Calcular la constante de recuperacioacuten
b) iquestCuaacutel es la amplitud de las oscilaciones a temperatura ambiente (17ordmC)
c) Imaginando que el soacutelido fundiese cuando la amplitud de las oscilaciones alcanzase
un valor de a10 iquesta queacute temperatura fundiriacutea el soacutelido
Datos R = 831 JKmol N0 = 60231023 moleacuteculasmol
22
13
22
0
10 2
10
f Hz E T f
Rm g
N
κ ω π
κminus
= = =
= =
a)
( )22 22 3 13 25 26 2
2
10 10 2 10 10 4 10
40
k m kg Hz kg s
k N m
ω π π
π
minus minus minus= = sdot sdot sdot = sdot
=
b)
( )232
2
12
8312 273 17
1 2 2 6023 102 40
1672 10
E TE kA A
k k
A m
κπ
minus
+sdot= rarr = = =
= sdot
c)
( )
2
2
2 11 2322 20
0
1 1
10 2 2 10
40 51 10 6023 10
2 100 200 200 831200
37209 9909ordm
fuioacuten
fuioacuten
fuioacuten
a aA E kA k T
ka Nka kaT
R RN
T K C
κ
πκ
minus
= = = =
sdot sdot= = = =
sdot
= =
20- Consideramos un pequentildeo objeto de masa m que tan soacutelo puede moverse a lo
largo de una recta unido a un extremo de un muelle de constante elaacutestica k y de
longitud l0 El otro extremo del muelle estaacute unido a un punto fijo A situado a una
distancia l=l0 de la recta sobre la que se mueve el pequentildeo objeto como se muestra en
la figura Calcular la frecuencia de las pequentildeas oscilaciones del sistema
23
( )( )
0
0
20
0 2
0
0 0 0 0 0
0
cos
1
1
x
x
k l
l l
xF F F
Llx d x
L l l F k L l k x mL L dt
F k L l
l l l l l lk k
L l l l m l m l
l lk
m l
θ
ω
ω
asymp
gt
= =
= + ∆ = minus minus = minus minus == minus minus
minus= rarr = minus =+ ∆
minus=
21
La energiacutea se disipa de acuerdo con la expresioacuten 0
t
E E e τminus
=
T1 es el tiempo necesario para que se disipe la mitad ( )1
01 0
2
TE
E T E e τminus
= =
1 ln 2 126T sτ= =
1 126 sT =
e)
( )2
2 0 0001
T
E T E E e τminus
= =
T2 es el tiempo necesario para que se disipe el 99
( )2 ln 001 838E T sτ= minus =
2 838 sT =
La amplitud viene dada por
( )( )
2 20 0
2
0
Bt t
m
t
A t A e A e
A te
A
τ
τ
minus minus
minus
= =
=
Al transcurrir T2 tendremos
( ) ( )2 001 1ln
2 2 2 2
0
001 01
TA Te e
Aτ
minus= = = =
Ha decaiacutedo al 90 de la amplitud inicial
19-Los aacutetomos de un soacutelido ejecutan oscilaciones armoacutenicas independientes alrededor
de posiciones fijas de equilibrio dispuestas seguacuten una red cuacutebica de lado a = 11middot10-11m
Estos aacutetomos tienen una masa de 10-22 g y vibran con frecuencia de 10
13 Hz Seguacuten la
mecaacutenica estadiacutestica la energiacutea total de cada oscilador es κT donde κ =RN0 es la
constante de Boltzman
a) Calcular la constante de recuperacioacuten
b) iquestCuaacutel es la amplitud de las oscilaciones a temperatura ambiente (17ordmC)
c) Imaginando que el soacutelido fundiese cuando la amplitud de las oscilaciones alcanzase
un valor de a10 iquesta queacute temperatura fundiriacutea el soacutelido
Datos R = 831 JKmol N0 = 60231023 moleacuteculasmol
22
13
22
0
10 2
10
f Hz E T f
Rm g
N
κ ω π
κminus
= = =
= =
a)
( )22 22 3 13 25 26 2
2
10 10 2 10 10 4 10
40
k m kg Hz kg s
k N m
ω π π
π
minus minus minus= = sdot sdot sdot = sdot
=
b)
( )232
2
12
8312 273 17
1 2 2 6023 102 40
1672 10
E TE kA A
k k
A m
κπ
minus
+sdot= rarr = = =
= sdot
c)
( )
2
2
2 11 2322 20
0
1 1
10 2 2 10
40 51 10 6023 10
2 100 200 200 831200
37209 9909ordm
fuioacuten
fuioacuten
fuioacuten
a aA E kA k T
ka Nka kaT
R RN
T K C
κ
πκ
minus
= = = =
sdot sdot= = = =
sdot
= =
20- Consideramos un pequentildeo objeto de masa m que tan soacutelo puede moverse a lo
largo de una recta unido a un extremo de un muelle de constante elaacutestica k y de
longitud l0 El otro extremo del muelle estaacute unido a un punto fijo A situado a una
distancia l=l0 de la recta sobre la que se mueve el pequentildeo objeto como se muestra en
la figura Calcular la frecuencia de las pequentildeas oscilaciones del sistema
23
( )( )
0
0
20
0 2
0
0 0 0 0 0
0
cos
1
1
x
x
k l
l l
xF F F
Llx d x
L l l F k L l k x mL L dt
F k L l
l l l l l lk k
L l l l m l m l
l lk
m l
θ
ω
ω
asymp
gt
= =
= + ∆ = minus minus = minus minus == minus minus
minus= rarr = minus =+ ∆
minus=
22
13
22
0
10 2
10
f Hz E T f
Rm g
N
κ ω π
κminus
= = =
= =
a)
( )22 22 3 13 25 26 2
2
10 10 2 10 10 4 10
40
k m kg Hz kg s
k N m
ω π π
π
minus minus minus= = sdot sdot sdot = sdot
=
b)
( )232
2
12
8312 273 17
1 2 2 6023 102 40
1672 10
E TE kA A
k k
A m
κπ
minus
+sdot= rarr = = =
= sdot
c)
( )
2
2
2 11 2322 20
0
1 1
10 2 2 10
40 51 10 6023 10
2 100 200 200 831200
37209 9909ordm
fuioacuten
fuioacuten
fuioacuten
a aA E kA k T
ka Nka kaT
R RN
T K C
κ
πκ
minus
= = = =
sdot sdot= = = =
sdot
= =
20- Consideramos un pequentildeo objeto de masa m que tan soacutelo puede moverse a lo
largo de una recta unido a un extremo de un muelle de constante elaacutestica k y de
longitud l0 El otro extremo del muelle estaacute unido a un punto fijo A situado a una
distancia l=l0 de la recta sobre la que se mueve el pequentildeo objeto como se muestra en
la figura Calcular la frecuencia de las pequentildeas oscilaciones del sistema
23
( )( )
0
0
20
0 2
0
0 0 0 0 0
0
cos
1
1
x
x
k l
l l
xF F F
Llx d x
L l l F k L l k x mL L dt
F k L l
l l l l l lk k
L l l l m l m l
l lk
m l
θ
ω
ω
asymp
gt
= =
= + ∆ = minus minus = minus minus == minus minus
minus= rarr = minus =+ ∆
minus=
23
( )( )
0
0
20
0 2
0
0 0 0 0 0
0
cos
1
1
x
x
k l
l l
xF F F
Llx d x
L l l F k L l k x mL L dt
F k L l
l l l l l lk k
L l l l m l m l
l lk
m l
θ
ω
ω
asymp
gt
= =
= + ∆ = minus minus = minus minus == minus minus
minus= rarr = minus =+ ∆
minus=