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Ejercicios de CalculoFunciones de varias variablesFundamentos Matematicos de la Arquitectura
1. Determinar el dominio de las siguientes funciones:
a) f(x, y) =xy
x2 + y2.
b) f(x, y) = (x2 9y2)2.
c) f(x, y) =y2
x+ y2.
d) f(x, y) = x2 y24 + y.e) f(x, y) = ln(x+ y).
f ) f(x, y) = e2xpy2 1.
g) f(x, y) =
25 x2y 5 .
h) f(x, y) =xy.
i) f(x, y) =p
(1 x2)(y2 4).j ) f(x, y) =
pln(y x+ 1).
k) f(x, y) = exy+1.
En cada caso, hacer un dibujo del dominio.
2. Dibuja, usando matlab, las graficas de las siguientesfunciones:
a) z = x.
b) z = y2.
c) z =px2 + y2.
d) z =p
9 x2 3y2.e) z =
p16 x2 y2.
3. Dibujar, usando matlab, algunas curvas de nivel de lassiguientes funciones:
a) f(x, y) = x+ 2y.
b) f(x, y) = y2 x.c) f(x, y) =
px2 y2 1.
d) f(x, y) =p
36 4x2 9y2.e) f(x, y) = eyx
2.
f ) f(x, y) = arctg(y x).g) f(x, y) = sen(x+ y).
h) f(x, y) = cos(2x+ y).
Con ayuda de las curvas de nivel, intentar esbozar lasgraficas.
4. Estudiar los lmites propuestos y discutir la continuidadde las correspondientes funciones:
a) lm(x,y)(2,1)
(x+ 3y2).
b) lm(x,y)(2,4)
x+ y
x y .
c) lm(x,y,z)(2,0,1)
xeyz.
d) lm(x,y)(0,0)
sen(xy)
xy.
e) lm(x,y)(0,0)
xy
x2 + y2.
f ) lm(x,y)(0,0)
y
9x2 y2 .
g) lm(x,y)(1,3)
6x 2yx2 + y2
.
h) lm(x,y)(0,0)
2x y22x2 + y
.
i) lm(x,y)(2,1)
ln(x2 + y2).
j ) lm(x,y)(0,0)
x3y
x6 + y2.
5. Calcular zx
y zy
en los siguientes casos:
a) z = x.
b) z = y2.
c) z =4x
3y2 + 1.
d) z = (x3 y2)1.e) z = cos2(5x) + sen2(5y).
f ) z = xex3y .
g) z = xy ln(y).
6. Para cada una de las siguientes funciones, senalar enque puntos no existe z
x:
a) f(x, y) = |x|.b) f(x, y) = |x|+ |y|.c) f(x, y) = |x|y.d) f(x, y) =
px2 + y2.
7. Calcular la pendiente de la recta tangente a la graficaz = 4x3y4 en el punto (1,1, 4) y en la direccion de losejes x e y.
8. Para las siguientes funciones, calculese la derivada par-cial que se indica:
a) z = exy;2z
x2.
b) z = x4y2;3z
y3.
c) z = 5x2y2 2x3y; 2z
xy,2z
yx.
d) z = ln
x+ y
y2
;2z
xy,2z
yx.
9. Dada f : D R R, se define el operador de Laplaceo laplaciano como:
f =2f
x2+2f
y2.
Comprobar que las siguientes ecuaciones satisfacen laecuacion de Laplace f = 0:
a) z = ln(x2 + y2).
b) z = ex2y2 cos(2xy).
10. Hallar las diferenciales totales para las siguientes fun-ciones:
a) z = x2y2 + 3xy3 2y4.b) z =
xy
x2 + 2y2.
c) z = ln(x4 y3).d) z = xy
x+y.
e) z =x
y+y
x.
f ) z = cos(x+ ln(y)).
-
g) z = arctg(x+ y).
h) z = xy .
i) w = x2 2xz + y3.11. Se conoce la longitud de la base x y la altura y de un
triangulo, con errores h y k respectivamente. Si h y kson pequenos, estimar mediante la diferencial el ordendel error cometido al calcular el area del triangulo.
12. Se desea determinar la aceleracion de la gravedad gmidiendo el tiempo t de caida en segundos de un cuerpoque se deja caer, partiendo del reposo, desde una alturax. Dar la formula para calcular dicha aceleracion. Six = 1m con un error del orden de 01m, y t = 045 scon un error del orden de 104 s, determinar el valorde g que se obtiene y estimar el error cometido.
13. En los siguientes apartados se pide calcular, en el pun-to P que se indica, el gradiente y las derivadas en lasdirecciones dadas por los angulos = pi/4 y = pi/6:
a) f(x, y) = 3x+ 5y; P = (0, 0).
b) f(x, y) = 3x2 + 5y2; P = (1, 1).
c) f(x, y) = x2 y2; P = (1, 2).d) f(x, y) = sen(x) + cos(y); P = (0, 0).
e) f(x, y) = ex cos(y); P = (0, pi).
f ) f(x, y) =p
2x2 + y2; P = (1, 1).
g) f(x, y) = cos(x+ y); P = (0, 0).
14. En los siguientes apartados se pide calcular, en el puntoP que se indica, el gradiente y la derivada direccionalrespecto al vector ~u dado:
a) F (x, y, z) = z2 x2 y2; P = (1, 0, 1),~u = (4, 3, 0).
b) F (x, y, z) = xyz xy yz zx + x + y + z;P = (2, 2, 1), ~u = (2, 2, 0).
c) F (x, y, z) = xz2 + y2 + z3; P = (1, 0,1),~u = (2, 1, 0).
15. En los siguientes apartados, hallar la ecuacion del planotangente a la superficie definida por z = f(x, y) en elpunto P que se indica:
a) f(x, y) = x3 2x2y + 6xy2 + piy2; P = (1, 1).b) f(x, y) = 3x2 + 4y2; P = (1, 2).
c) f(x, y) = 2 cos(x y) + 3 sen(x); P = (pi, pi/2).d) f(x, y) =
px2 + y2; P = (1, 2).
e) f(x, y) = ex cos(y); P = (1, pi/4).
f ) f(x, y) = exy; P = (ln(2), 1).
g) f(x, y) =R x2+y20 e
t2dt; P = (1, 1).
16. Determinar las derivadas parciales que se indican, usan-do la regla de la cadena:
a) z = euv2; u = x3, v = x y2; z
x,z
y.
b) z = u2 cos(4v); u = x2y3, v = x3 + y3;z
x,z
y.
c) z = 4x 5y2; x = u4 8v3, y = (2u v)2;z
u,z
v.
d) z =x yx+ y
; x =u
v, y =
v2
u;z
u,z
v.
e) w = (u2 +v2)3/2; u = et sen(), v = et cos();w
t,w
.
17. Determinar, usando la regla de la cadena, la derivadadzdt
en los siguientes casos:
a) z = ln(u2 + v2); u = t2, v = t2.
b) z = u3v uv4; u = e5t, v = sen(5t).c) z = cos(3u+ 4v); u = 2t+ pi/2, v = t pi/4.
d) z = exy; x =4
2t+ 1, y = 3t+ 5.
e) z =u
2v + w; u = t2, v =
1
t2, w =
t.
f ) z =xy2
w3; x = cos(t), y = sen(t), w = tg(t).
18. La tension electrica en los extremos de un conductoraumenta a razon de 2V/min y la resistencia disminuyea razon de 1 /min. Aplquese la formula I = E/R y laregla de la cadena para evaluar la tasa de variacion dela corriente que pasa por el conductor cuando R = 50 y E = 60V .
19. Si z = f(u) es una funcion derivable de una varia-ble y u = g(x, y) posee primeras derivadas parciales,obtengase z
xy zy
.
20. Aplquese el problema anterior para demostrar que siz = f(x/y), con f derivable, entonces z satisface larelacion:
xz
x+ y
z
y= 0.
21. Se dice que f es homogenea de grado n si:
f(x, y) = nf(x, y).
Probar que si f es homogenea y posee derivadas par-ciales primeras, entonces se verifica:
xf
x+ y
f
y= nf.
22. Para funciones de una variable, se sabe que si f (x) = 0para cada x R, entonces f es una funcion constante.Si para una funcion z = f(x, y) se tiene que z
x= 0 en
todo punto de R2, se puede deducir que f es constante?Y si f = 0 en todo punto?
23. Determinar los extremos relativos de las siguientes fun-ciones:
a) f(x, y) = x2 + y2.
b) f(x, y) = 4x2 + 8y2.
c) f(x, y) = x2 + y2 + 5.
d) f(x, y) = x2 y2 + 8x+ 6y.e) f(x, y) = 3x2 + 2y2 6x+ 8y.f ) f(x, y) = 5x2 + 5y2 + 5xy 10x 5y + 18.g) f(x, y) = (2x 5)(y 4).h) f(x, y) = 2x3 2y3 + 6xy + 10.i) f(x, y) = 3x2y 3xy2 + 36xy.j ) f(x, y) = xex sen(y).
k) f(x, y) = ey23y+x24x.
l) f(x, y) = sen(x) + sen(y).
m) f(x, y) = sen(x) sen(y).
24. Hallar el valor maximo de f(x, y) = 3x2 4y2 + 2xyen los puntos de la region cuadrada de vertices (0, 0),(0, 1), (1, 0) y (1, 1).