RELACIONES Y FUNCIONES EN R2

Veamos un ejemplo:Sean los conjuntos A={2,4,6} y B={1,3,5} y sea el enunciado abierto p:x < y, donde x∈ A e y∈B Como 2∈ A y 3∈B yademás2<3 , entonces (2,3)∈ pComo 6∈ A y 5∈B y además6≮� 5 , entonces (6,5)∉ p

PAR ORDENADO:Intuitivamente, un par ordenado es un conjunto de dos elementos en el cual cada elemento tiene un lugar fijo. Si los elementos son a y b, el par ordenado se simboliza por (a, b)= {{a}, {a, b}}, donde {a} determina que a es el primer elemento, componente o coordenada del par ordenado y (a, b) determina que b es el segundo elemento del paro ordenado.

Propiedad: (a ,b )=(c ,d )⟺a=c∧b=d

PRODUCTO CARTESIANO:Dados dos conjuntos A y B, se llama producto cartesiano de A por B, en ese orden, al conjunto formado por todos los pares ordenados (a, b) tales que a∈ A y b∈B. Se denota por AxB.

AxB= {(a ,b )∈ AxB/a∈ A∧b∈B }ó (a ,b)∈ AxB⟺a∈ A∧b∈B

RELACIÓN BINARIASe llama Relación Binaria entre dos conjuntos A y B a todo sub conjunto del producto cartesiano AxB. A es llamado el conjunto de partida y B es llamado el conjunto de llegada.

R={(x , y)∈ AxB ∕ p(x , y)⊂AxB }o también R :A⟶B⟺ R⊂AxB

DOMINIO DE UNA RELACIÓNSe llama dominio de una relación R de A en B al conjunto de todas las primeras componentes de los pares ordenados de la relación; se denota por Dom(R) y se simboliza por:

Dom (R )= {x∈ A /∃ y∈B ,(x , y )∈ R } , también x∈Dom (R )⟺∃ y∈B ∕ (x , y)∈R

RANGO DE UNA RELACIÓNSe llama rango de una relación R de A en B al conjunto de todas las segundas componentes de los pares ordenados de la relación; se denota por Ran(R) y se simboliza por:

Ran (R )={ y∈B/∃ x∈ A ,(x , y)∈R }, también y∈Ran (R )⟺∃ x∈ A ∕ (x , y )∈ R

EL PLANO CARTESIANO O SISTEMAS DE COORDENADAS RECTANGULARES

Este sistema consiste en dos rectas numéricas, llamadas ejes de coordenadas, cortadas perpendicularmente en un punto llamado el origen de coordenadas, denotada por O, el eje horizontal o eje de las X o eje de las abscisas y el eje vertical o eje de las Y o eje de las ordenadas. Los puntos a la derecha de O tienen coordenadas positivas, los de la izquierda de O tienen coordenadas negativas; los puntos arriba de O tienen coordenadas positivas y los puntos debajo de O tienen coordenadas negativas. Las rectas X e Y dividen al plano coordenado en cuatro regiones llamadas cuadrantes y se enumeran con números romanos en sentido anti horario. Y II I

P(a,b) b

X O a

III IV

DISTANCIA ENTRE DOS PUNTOSSean los puntos P1(x1, y1) y P2(x2,y2), entonces la distancia d entre P1 y P2 está dada por la expresión

d (P1 ,P2 )=√( x2−x1 )2+( y2− y1 )2. En efecto

Desde P1(x1, y1) trazamos perpendiculares a los ejes coordenados, igualmente con el punto P2(x2,y2). Como vemos en la figura, esto genera un triángulo rectángulo y la distancia d (P1 ,P2 ) queda determinada al encontrar la hipotenusa del triangulo rectángulo así formado.El cateto horizontal del triángulo rectángulo tendrá longitud x2−x1, mientras que el cateto vertical tendrá longitud y2− y1.

Ejemplo: determine la distancia entre los puntos del plan P(-2,1) y Q(3,5)

d (P ,Q )=√(3+2)2+(5−1)2+√52+42=√41≈6,4

GRAFICAS DE RELACIONES

dd

d

Ejemplos: en R2, hallar el dominio, rango y construir le gráfica de:

1. R={( x , y )∈R2/ ( x+2 ) ( y−3 )=0}

Para construir la gráfica de esta relación aplicamos: ab=0⟷(a=0∨b=0)x+2=0∨ y−3=0⟷x=−2∨ y=3

X=-2

Y=3

2. Hallar el dominio, el rango y trazar la gráfica de la relación

R1= {( x , y )∈R2/ x2+ y2=4 }

Dadas R1= {( x , y )∈R2/ x2+ y2=r2 } y R2=¿ tienen por gráfica una circunferencia de radio r y de centro C1(0,0) y C2(h,k) respectivamente, además, las relaciones de la forma

R❑= {( x , y )∈R2/ x2+ y2+Dx+Ey+F=r2 } tienen por gráfica una circunferencia o uno de sus casos especiales. Completando cuadrados para x e y tenemos:

¿, ocurre:

1. Si t>o, entonces la gráfica de la relación es una circunferencia de radio (−D2

,−E2 ) y radio r =t.

2. Si t=0, entonces la gráfica de la relación es un punto (−D2

,−E2 ).

3. Si t<0, entonces no existe la gráfica de la relación.

En nuestro ejemplo la gráfica de la relación es una circunferencia de centro el origen y radio 2.

Para determinar el dominio despejamos x en función de y y vemos a continuación para que valores de x existe y.

y=±√4−x2⟶∃ y⟺ 4−x2≥0⟺ x2≤4⟺−2≤ x≤2

Análogamente, para determinar el rango se despeja y en función de x y vemos para que valores de y existe x.

x=±√4− y2⟶∃ x⟺4− y2≥0⟺ y2≤4⟺−2≤ y ≤2

∴Dom (R )=Ran (R )=[−2,2 ].

3. Hallar el dominio, rango y construir la gráfica de la relación R:

R3= {( x , y )∈R2/ 4 x2+4 y2−12 x+24 y+9=0}

Completando cuadrados para x e y se tiene:

4 (x2−3 x+ 94 )+4 ( y2+6 y+9 )=−9+9+36⟹ (x−3

2 )2

+( y+3 )2=9⟹h=32, k=−3

La gráfica de R3 es una circunferencia de centro en ( 32,−3) y radio r=-3

Dom(R ¿¿3)⟹ y+3=±√9−(x−32 )

2

⟶∃ y⟺9−(x−32 )

2

≥0⟺−32≤x ≤

92= [h−r , h+r ]¿

Ran(R¿¿3)⟹ x−32=±√9−( y+3 )2⟶∃ x⟺9−( y+3 )2≥0⟺−6≤ y ≤0=[k−r , k+r ] ¿

c

4. Construir la gráfica de la relación: R={( x , y )∈R2/2 x+ y<4 }

5. Construir la gráfica de la relación: R={( x , y )∈R2/2 x− y+2≥0}

6. Construir la gráfica de la relación: R=¿

7. Hallar el Dominio, Rango y construir la gráfica de: R={( x , y )∈R2/ x2−2 x−3− y≤0}

Si desarrollamos la ecuación y=x2−2 x−3⟺ y+4= (x−1 )2 , entoncesh=1 ;k=−4 ecuación que corresponde a una parábola cuyo vértice está en el punto V(1, -4) que se abre hacia arriba y los puntos que corresponden a la relación están en el interior de la parábola dada.Por lo que Dom (R )=R y Ran (R )=¿

8. Hallar el Dominio, el rango y construir la gráfica de la relación:

R={( x , y )∈R2/ y−x2+10 x≥24 ; x+ y−6<0 }

- 3 o

o

- -1

Dom (R )=¿3,6¿

FUNCIONESSean A y B dos conjuntos no vacíos y sea f una relación de A en B; llamamos función de A en B y lo denotamos por f: A B si y sólo si satisface las siguientes condiciones:

i) f⊂ AxBii) Si ( x , y ) f ∈∧ ( x , z ) f ⟹ y=z

DEFINICIÓN: Sean A, B dos conjunto no vacíos.f de A en B ( f : A→B ), es una función sí y sólo sí a un elemento del conjunto A le corresponde únicamente un elemento en el conjunto B a través de f . Si (a ,b ) pertenece a la función f , se escribe b=f (a )se lee: “f evaluado en a”. El valor de b=f (a ) se llama imagen de a mediante f

Si a una función f se expresa por una relación del tipo y=f ( x ) , entonces x se denomina la

variable independiente o argumento def e y se conoce como la variable dependiente.

DOMINIO DE UNA FUNCIÓN:

Dom( f )={x∈ A /∃ y∈B; y=f ( x )}⊂ A

RANGO DE UNA FUNCIÓN:

Ran( f )= {y∈B/∃ x∈ A ; y=f ( x )}⊂B

Observación:1. No puede haber dos pares ordenados distintos en f con la misma primera componente (a).2. Puede existir en f varios pares ordenados con la misma segunda componente. (b)

Ejemplos:

(a) No es función (b) sí es función (c) sí es función

Cuando los conjuntos de partida y de llegada A y B de una función f son conjuntos de números reales, ésta función es llamada una función (de valor) Real de una variable real.

fBA

2

4

5

7

– 1

0

2

3

5

fBA

2

4

5

7

– 1

0

2

3

5

fBA

2

4

5

7

– 1

0

2

3

5

DEFINICIÓN: Sif :R→R es una función, el dominio de f es el conjunto de todos los números

reales x tales que f ( x ) es un número real. Simbólicamente:Dom( f )={x∈R / f ( x )∈R }

DEFINICIÓN: Sif :R→R es una función, la imagen de f (Rango de f ) es el conjunto de todos

los resultados de f ( x ) . Simbólicamente:Ran( f )= {f ( x )∈R/ x∈Dom( f )}

DEFINICIÓN: Si f :R→R es una función, la gráfica de f es el conjunto de todos los pares ordenados que pueden representarse en el plano cartesiano.

Propiedad Fundamental de las Funciones Reales de una variable real:f :R→R es una función si toda recta vertical corta a su gráfica de f a lo más en un punto.

Sí es función no es función

Gráfica de f

Dominio de f

Rango de f

Ejemplo: Considérese la función y calcúlese:

a) b) c) Solución:

a) = =

b)

c) =

CÁLCULO DEL DOMINIO UNA FUNCIÓNEn general, al determinar el dominio de una función debemos tener en mente dos condiciones:

- Cualquier expresión dentro de una raíz de índice par no puede ser negativa.- El denominador de cualquier fracción no puede ser cero.

Ejemplo: Determinar el dominio de:

a)f ( x )= x+3

x−2

Solución: Es claro que f ( x )no es un número real bien definido six=2 . Para cualquier otro

valor de x , f ( x )es un número real bien definido. En consecuencia: Dom( f )=R− {2 }

b) g( x )=√x−4Solución: El dominio de g es l conjunto de todos los valores para los cuales la expresión dentro

del radical no es negativa. Esto es: x−4≥0 o x≥4

Si x<4 g( x )no s un número real, dado que la cantidad a la que se extrae raíz cuadrada,x−4es negativa.

c)h( x )= x

(x−2 ) √x−1

Aquí el radical solo es positivo para x≥1 . Pero el denominador es cero si x=1 o x=2 de modo que estos dos puntos deben excluirse del dominio. Así: Dom (h )=¿1,+∞¿

En problemas prácticos, con frecuencia es necesario construir una función algebraica a partir de cierta información verbal.

Ejemplos: 1) Función de costo de electricidad: la electricidad se cobra a los consumidores a una tarifa de S/.

10 por unidad para las primeras 50 unidades y a S/. 3 por unidad para cantidades que excedan

las 50 unidades. Determine la función C ( x ) que da el costo de usar x unidades de electricidad.

Solución:

- Si x≤50 , cada unidad tiene un costo de S/. 10, de modo que el costo total de x unidades es

de S/. 10 x . Así que:

C ( x )=10 x , x≤50

- Cuando x=50 , obtenemos:C (50)=500 el costo de las primeras 50 unidades es igual a S/. 500.

- Si x>50 , el costo total es igual al de las primeras 50 unidades (esto es S/.500) más el costo del resto de las unidades usadas. El número de éstas unidades que sobrepasan a 50 es x−50 , y cuestan S/.3 cada una, por lo que su costo es de 3( x−50 ) nuevos soles. Así que la

tarifa total cuando x>50 es: C ( x )=500+3 (x−50)=350+3 x , x>50

Podemos escribir C ( x )en la forma: C ( x )=¿ {10 x , x≤50 ¿ ¿¿¿

2) Utilidades. El fabricante de cierto producto puede vender todo lo que produce al precio de S/. 20 cada uno. Le cuesta S/. 12.50 producir cada artículo por los materiales y la mano de obra, y tiene un costo adicional de S/. 7 000 al mes con el fin de operar la planta. Si el número de artículos producidos se designa por x .

a) Represente en una gráfica los ingresos como una función I ( x )

b) Represente en una gráfica los costos como una función C ( x )

c) Represente en una gráfica las ganancias como una función G( x )d) ¿Cuál es el número de unidades que deben producirse y venderse para no obtener perdidas

ni ganancias (punto de equilibrio)?

e) ¿Cuál es el número de unidades que deben producirse y venderse para obtener una utilidad de S/. 5 000 al mes?

Solución: siendo x el número de artículos producidos, se tiene:

a) I ( x )=20 x , la función que representa el total de ingresos obtenidos al vender x artículos.

b) C ( x )=12 .50 x+7000 , la función que representa el costo total para que opere la planta.

c) G( x )=I ( x )−C( x )=20 x−(12 .50 x+7000)=7 .5 x−7000

d) El punto de equilibrio ocurre cuando: I ( x )=G( x )esto es:

I ( x )=G( x )20 x=12 .50 x+70007 .5x=7000x=933 . 3

Es decir cuando se produce aproximadamente 933 unidades del producto no se obtiene pérdida ni ganancia

e) Si se quiere que la utilidad sea de S/. 5000 al mes entonces se tiene: G( x )=7 .5 x−7000=5000= 7 .5 x=12000⇒ x=1600

esto significa que debe producirse 1600 unidades del producto si se quiere obtener una ganancia de S/.5000

FUNCIONES ESPECIALES

1. FUNCIÓN CONSTANTE:

Es la función f :R→R , definida por f(x)=c, x∈ R , donde c es una constante real.Dominio: RRango: c

c

2. FUNCIÓN IDENTIDAD:

Es la función f :R→R , definida por f ( x )=xDominio: RRango: R

a) ndo el nivel de monóxido de carbono alcanzará 6.8 partes por millón?