Escuela de Turismo y

Gastronomía

Estadística para los negocios II

Repaso general probabilidad y

distribuciones de probabilidad

La probabilidad

Se utiliza como una herramienta que

permite evaluar la confiabilidad de las

conclusiones, respecto a la población,

cuando se tiene información muestral.

Uso de las probabilidades:

1. Cuando se desconoce la población

2. Con conocimiento de la población

Cuando se conoce la población, la probabilidad

se usa para describir la posibilidad de observar

un resultado muestral en particular.

Cuando se desconoce la población, y sólo está

disponible una muestra de esa población, se

usa la probabilidad para hacer afirmaciones

sobre las características de dicha población

Es decir, hacer inferencias.

Definiciones:

• Variable aleatoria: Aquella variable, cuyos

resultados se pueden obtener de manera

experimental

• Experimento: Es el proceso mediante el cual

se obtiene una observación

• Evento simple: Es el resultado que se observa

en una sola repetición del experimento

• Evento: Colección de eventos simples,

denotados con frecuencia mediante una letra

mayúscula.

• Eventos mutuamente excluyentes: Aquellos

eventos de tal manera que cuando uno ocurre, el otro

no, y viceversa

• Espacio muestral: Conjunto de todos los eventos

simples

• Diagrama de Venn: Ilustración que permite

representar un evento

• Diagrama de árbol: Representación de un

experimento en etapas, donde cada nivel sucesivo de

la ramificación corresponde a un paso requerido para

generar el resultado final

CÁLCULO DE PROBABILIDADES

PARA EVENTOS SIMPLES

La probabilidad de un evento A es una

medida de la posibilidad de que ocurra

un evento A. De forma práctica, se

asocia con el concepto de frecuencia

relativa, entonces:

Frecuencia relativa Probabilidad del evento A

𝐹. 𝑅 =𝐹. 𝐴

𝑛

𝑃 𝐴 = lim𝑛→∞

𝐹𝑟𝑒𝑐𝑢𝑒𝑛𝑐𝑖𝑎

𝑛

Entonces…

Dado que P(A) se comporta como una

frecuencia relativa, P(A) debe ser una

proporción cuyos valores se encuentran

entre 0 y 1.

P(A) = 0 si el evento nunca ocurre

P(A) = 1 si el evento ocurre siempre

Pasos para calcular la

probabilidad de un evento

1. Liste los eventos simples del espacio muestral

2. Asigne una probabilidad apropiada para cada

evento simple

3. Determine qué eventos simples dan como

resultado el evento de interés

4. Sume las probabilidades de los eventos

simples que dan como resultado el evento de

interés

Axiomas de la probabilidad

1. La probabilidad es positiva y menor

o igual que uno 0 ≤ 𝑃 𝐴 ≤ 1

2. La probabilidad de un suceso

seguro es 1 𝑃 𝐸 = 1

3. Si A y B son incompatibles, es decir

𝐴 ∩ 𝐵 = ∅ 𝑃 𝐴 ∪ 𝐵 = 𝑃 𝐴 +𝑃(𝐵)

Propiedades de la probabilidad

1. La suma de las probabilidades de un suceso (𝐴) y su

contrario (𝐵) vale 1, por tanto la probabilidad del

suceso contrario es 𝑃 𝐵 = 1 − 𝑃 𝐴

2. La probabilidad de un suceso imposible es cero

𝑃 ∅ = 0

3. La probabilidad de la unión de dos sucesos es la suma

de sus probabilidades restándole la probabilidad de su

intersección 𝑃 𝐴 ∪ 𝐵 = 𝑃 𝐴 + 𝑃 𝐵 − 𝑃(𝐴 ∩ 𝐵)

4. Si un suceso está incluido en otro, su probabilidad es

menor o igual a la de éste 𝑆𝑖 𝐴 ⊂ 𝐵 → 𝑃 𝐴 ≤ 𝑃(𝐵)

Ejemplo

Un recipiente contiene una balota

amarilla y dos rojas. Usted cierra los

ojos y elige dos balotas del recipiente,

una a la vez, y registra sus colores.

¿Cuál es la probabilidad de que ambas

balotas sean rojas?

Ejercicio

• En un restaurante el jefe de talento humano está encargado de

programar el personal de tal manera que se pueda atender la

demanda de los diferentes servicios ofrecidos. La experiencia muestra

que:

• a. La probabilidad de que un cliente asista en la mañana y sea

atendido a tiempo es de 0.10

• b. La probabilidad de que un cliente visite el restaurante en la tarde

(medio día), y se presenten demoras en la atención es 3 veces la

probabilidad de que sea atendido a tiempo

• c. La probabilidad de atención con demoras en la mañana es de 0.05

• d. Atender un cliente en la noche a tiempo tiene una probabilidad de

0.12

• e. La probabilidad de atender un cliente en la noche (a tiempo o no)

tiene una probabilidad de 0.3

Distribución de probabilidad

para una variable discreta

La distribución de probabilidad de una

variable aleatoria discreta es una

fórmula, tabla o gráfica que da los

posibles valores de 𝑥 y la probabilidad

𝑝(𝑥) asociada con cada valor 𝑥.

Ejemplo lanzamiento monedas

Al lanzar dos monedas, siendo x el número de caras

observadas, la distribución de probabilidades está

dada por:

Eventos simples del lanzamiento de monedas

Histograma de probabilidades

0 1 2

P(x)

P(x)

1/2-

1/4-

Ejercicio

Una variable aleatoria x tiene una distribución de

probabilidad:

a. Encuentre 𝑝(2)

b. Construya el histograma de probabilidad para

𝑥

𝑥 0 1 2 3 4 5

𝑝(𝑥) 0.1 0.3 ? 0.1 0.05 0.05

Distribuciones discretas

1. Binomial: Función donde la variable

toma solamente dos valores. Se

utiliza principalmente(en el caso de

la ATH) para predecir preferencias

de los consumidores

Características de un experimento

binomial:

1. El experimento consta de 𝑛 ensayos idénticos

2. Cada ensayo produce uno de dos resultados

(éxito-fracaso)

3. La probabilidad de éxito en un solo ensayo es

igual a 𝑝 y es la misma de un ensayo a otro.

La probabilidad de fracaso es (1 − 𝑝) = 𝑞

4. Los ensayos son independientes

5. Se está interesado en 𝑥, el número de éxitos

observados durante los 𝑛 ensayos

Distribuciones discretas

2. Poisson: Función apropiada para la

modelación de datos que

representan la frecuencia de un

evento específico en una unidad de

tiempo o espacio. Ejemplo: Número

de llamadas que se reciben durante

cierto tiempo.

Distribuciones continuas

Una variable aleatoria continua puede

tomar cualquier valor de un número infinito

de valores de la recta La distribución de

probabilidad se crea a lo largo de la recta

Atención: Diferencia entre la distribución de

una distribución de probabilidad para una

variable aleatoria continua y una discreta

Distribución de probabilidad

normal

Distribución de probabilidad de una variable continua cuya

forma es similar a la de una campana.

𝑓 𝑥 =

1

𝜎 2𝜋𝑒−𝑥−𝜇 2

2𝜎2

𝑓 𝑥 𝑑𝑥 = 1∞

−∞

Distribución de probabilidad

estándar

Corresponde a la distribución de probabilidad para 𝑧, donde la

media es cero y la desviación estándar 1.

𝑧 =𝑥−𝜇 𝜎

Proceso de estandarización

Ejercicio

Algunos estudios demuestran que el consumo de

servicios de alojamiento en Colombia está

normalmente distribuidos, con un gasto promedio

de $150.000 y una desviación estándar de

$117.350

Cuál es la probabilidad de que turista consuma

más de $380.000 en tal servicio?