Resdes de Tuberías Gradiente Hidráulico Red con Bomba
46
U.N.S.C.H Escuela Profesional de Ingeniería Civil “Diseño de una Red de Abastecimiento de agua – Método del Gradiente Hidráulico” Curso : Abastecimiento de Agua Potable y Alcantarillado Profesor : Ing. Joel Oré Iwanaga Estudiante : CANCHARI GUTIÉRREZ, Edmundo. Cod. Est. : 16005011
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U.N.S.C.H
Escuela Profesional de Ingeniería Civil
“Diseño de una Red de Abastecimiento de agua – Método del Gradiente Hidráulico” Curso : Abastecimiento de Agua Potable y Alcantarillado Profesor : Ing. Joel Oré Iwanaga Estudiante : CANCHARI GUTIÉRREZ, Edmundo. Cod. Est. : 16005011
Ejemplo #02: (Resolución del examen) Solución: El primer paso es dividir el sistema en una serie de elementos finitos identificando sus puntos extremos como “nudos”, una tubería debe estar plenamente identificada en la red por su nudo inicial y final estableciendo implícitamente la dirección del flujo del caudal en la tubería. Se debe enumerar nudos y tubería como se muestra.
Donde:
- Número de tuberías
- Numeración de nudos
- Dirección flujo de caudal. La solución se realizará en dos etapas: Etapa 1: Analizando el sistema sin la intervención de la bomba en la red, con la finalidad de obtener la presión en el nudo #6. Etapa #2: dependiendo de la presión obtenida en la primera etapa. Si la presión es mayor o igual a cero entonces no es necesario la inclusión de la bomba en la red y el proceso culmina, caso contrario se vuelve a realizar los cálculos de presiones y caudales considerando el aporte de la bomba en el sistema. La presión (negativo) que resulta en el nudo #6 de la primera etapa es lo que debe elevar la bomba en esta etapa #2. Realizando los cálculos. Etapa #1:
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Abastecimiento de Agua Potable Y AlcantarilladoAnálisis y Diseño de Redes de Agua PotableMétodo del Gradiente Hidráulico
Método del Gradiente Hidráulico - Argumentos
2.0 Argumentos
2.1 Definiendo la Red (RED)
Cada fila representa la conectividad de la tubería en la red.
Donde:
Columna #1: Número del nudo inicial
Columna #2: Número del nudo final
Columna #3: Longitud de la tubería en metros [m]
Columna #4: Diámetro de la tubería en milímetros [mm]
Columna #5: Sumatoria de los coeficientes de pérdidas locales
RED1 2 3 4 5
12
3
4
5
6
7
1 2 300 254 02 3 300 254 0
2 4 400 254 0
3 4 500 254 0
4 5 400 254 0
3 5 300 254 0
5 6 350 254 0
:=
2.2 Cota Topográfica del terreno (CT) [msnm]
2.3 Demanda en nudos(Qd) [lt/s]
2.4 Rugosidad absoluta de latubería [m]
CT1
12
3
4
5
6
500470
470
470
470
530
:= Qd1
12
3
4
5
6
040
40
20
10
35
:=ks 0.06 10 3−
⋅:=
2.5 Viscocidad cinemática [m2/s]
ν 1.14 10 6−⋅:=
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2.6 Reservorios que abastecen a la red (RSV)
Son los nudos de cota piezométrica conocida y los argumentos son:
Donde:
Columna #1: Número de nudo de cota piezométrica conocida
Columna #2: Cota piezométrica [m]
RSV1 2
1 1 500
:=
2.7 Definiendo bombas en la red (BMB)
Se debe definir el número de la tubería y la altura de agua(presión de agua) adicional con la cualcolabora la bomba a la red
Donde:
Columna #1: Número de tubería
La ecuación de la bomba es de la forma: γ = a(Qac^2) + b(Qac) + c, se debe ingresar:
Columna #2: Coeficiente "a" de la ecuación siempre negativo
Columna #3: Coeficneinte "b" de la ecuación de la bomba
Columna #4: Coeficiente "c" de la ecuación de la bomba
BMB1 2 3 4
1 7 0 0 0
:=
Método del Gradiente Hidráulico - Argumentos
Método del Gradiente Hidráulico - Resultados Generales
Método del Gradiente Hidráulico - Iteraciones
Método del Gradiente Hidráulico - Resultados
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Método del Gradiente Hidráulico - Argumentos
Método del Gradiente Hidráulico - Resultados Generales
3. Proceso de cálculo
Para realizar el cálculo de presiones y caudales en la red, es necesario el siguiente planteamiento dematrices y vectores teniendo en ceunta que:
Número de nudos de cota piezométrica desconocida:NN rows CT( ) rows RSV( )−:= NN 5=
Número de tuberías (tramos)NT rows RED( ):= NT 7=
Número de nudos de cota piezométrica conocidaNS rows RSV( ):= NS 1=
3.1 Resultados generales
Todas las matrices obtenidas en esta sección se mantienen constante en todo el procedimeinto dediseño.
3.1.1 Obteniendo la matriz de conectividad total (At), su dimensión es NT*(NN+NS) asociada a cauno de los nudos de la red, con solo dos elementos diferentes de cero en la i-ésima fila
"-1" en la columna correspondiente al nodo inicial del tramo i •
"1" en la columna correspondiente al nodo final del tramo i•
At
ni REDi 1, ←
nf REDi 2, ←
Ati ni, 1−←
Ati nf, 1←
i 1 NT..∈for
At
:=
At
1−
0
0
0
0
0
0
1
1−
1−
0
0
0
0
0
1
0
1−
0
1−
0
0
0
1
1
1−
0
0
0
0
0
0
1
1
1−
0
0
0
0
0
0
1
⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝
⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠
=
de la matriz At se obtiene las matrices A12 y A10.
3.1.2 Matriz de conectividad A12 asociada a cada uno de los nudos de la red de cota piezométricadesconocida, de dimensión NT*NN
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Los nudos de cota piezométrica desconocida son(NCPD):
NCPD submatrix NODE rows RSV( ) 1+, rows NODE( ), 1, 1, ( ):=
NCPD
2
3
4
5
6
⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎝
⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎠
=
y la matriz A12 resulta:
A12 A12 AtNCPD1 1, ( )⟨ ⟩
←
i NCPDn 1, ←
A12 augment A12 At i⟨ ⟩, ( )←
n 2 rows NCPD( )..∈for
A12
:=
A12
1
1−
1−
0
0
0
0
0
1
0
1−
0
1−
0
0
0
1
1
1−
0
0
0
0
0
0
1
1
1−
0
0
0
0
0
0
1
⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝
⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠
=
su traspuesta es A21: A21 A12T:=
A21
1
0
0
0
0
1−
1
0
0
0
1−
0
1
0
0
0
1−
1
0
0
0
0
1−
1
0
0
1−
0
1
0
0
0
0
1−
1
⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎝
⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎠
=
3.1.3 Matriz topológica tramo a nodo, que asocia a las tuberías con los nodos de cota piezométricaconocida(Los reservorios) de dimensión NT*NS
Los nudos de cota piezométrica conocida son(NCPC):
NCPC RSV 1⟨ ⟩:=
NCPC 1( )=
la matriz A10 resulta:
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A10 A10 AtNCPC1 1, ( )⟨ ⟩
←
i NCPCn 1, ←
A10 augment A10 At i⟨ ⟩, ( )←
n 2 rows NCPC( )..∈for
A10
rows NCPC( ) 2≥if
A10
:=
A10
1−
0
0
0
0
0
0
⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝
⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠
=
A10 es la matriz topológica tramo a nodo, para los NS nodos de cota piezométrica conocida, sudimensión es NT*NS con un valor igual a -1 en las filas correspondientes a los tramos conectados alos reservorios(Nudos de cota piezométrica conocida)
3.1.4 Vector de Cotas piezométricas fijas, cuya dimensión es NS*1
Ho RSV 2⟨ ⟩:=
Ho 500( )=
3.1.5 Vector de consumo, de dimensión NN*1
En este vector no interviene los nudos de cota piezométrica conocida.
qsubmatrix Qd rows RSV( ) 1+, rows Qd( ), 1, 1, ( )
1000:=
q
0.04
0.04
0.02
0.01
0.035
⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎝
⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎠
= en m3/s
3.1.6 matriz identidad, de dimensión NT*NT 3.1.7 matriz diagonal M, de dimensión NT*NTI identity NT( ):=
Ndw 2 I⋅:=
I
1
0
0
0
0
0
0
0
1
0
0
0
0
0
0
0
1
0
0
0
0
0
0
0
1
0
0
0
0
0
0
0
1
0
0
0
0
0
0
0
1
0
0
0
0
0
0
0
1
⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝
⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠
= Ndw
2
0
0
0
0
0
0
0
2
0
0
0
0
0
0
0
2
0
0
0
0
0
0
0
2
0
0
0
0
0
0
0
2
0
0
0
0
0
0
0
2
0
0
0
0
0
0
0
2
⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝
⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠
=
los elementos de la diagonal principal soniguales al coeficiente "m", que depende dequé ecuación para la pérdida de carga seesté utilizando, en este caso utilizaré la deDarcy-Weisbach, para lo cual m=2
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3.1.6 Ordenando el coeficiente de las ecuaciones para cada tubería
BOMB f x y, ( ) 0←
BOMB matrix NT 3, f, ( )←
t BMBi 1, ←
BOMBt 1, BMBi 2, ←
BOMBt 2, BMBi 3, ←
BOMBt 3, BMBi 4, ←
i 1 rows BMB( )..∈for
BOMB
:=
BOMB
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝
⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠
=
3.2 Valores iniciales para las iteraciones.
3.2.1 Caudales que circulan en cada tubería
f x y, ( ) 0.2:=
Q matrix rows RED( ) 1, f, ( ):=
QT 0.2 0.2 0.2 0.2 0.2 0.2 0.2( )=
3.2.2 Diámetro de la tuberías [m]
DRED 4⟨ ⟩
1000:=
DT 0.254 0.254 0.254 0.254 0.254 0.254 0.254( )=
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4. Proceso Iterativo: El caudal inicial es Q, luego se toma el caudal resultante Qnextpara cada nueva iteración cambiando de signo si algunoresultase negativo4.1 Iteración #1
El caudal para la iteración actual es: Qac Q:=
Qac
0.2
0.2
0.2
0.2
0.2
0.2
0.2
⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝
⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠
=
1. Obteniendo la matriz A11
Esta matriz contiene en su diagonal principal el siguiente valor:
αi Qimi 1−
⋅ βi+γiQi
+
1.1 Obteniendo el coeficiente α
α
Re4 Qaci 1,
π Di 1, ⋅ ν⋅←
fa 0.01←
fa root1
fa2 log
ks3.7 Di 1, ⋅
2.51
Re fa⋅+
⎛⎜⎜⎝
⎞⎟⎟⎠
⋅+ fa, ⎛⎜⎜⎝
⎞⎟⎟⎠
←
αi 1,
0.08262686 fa⋅ REDi 3, ⋅
Di 1, ( )5←
i 1 NT..∈for
α
:=
α
355.534
355.534
474.046
592.557
474.046
355.534
414.79
⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝
⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠
=
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1.2 Pérdida de carga localizadas
β
βi 1,
8 Qaci 1, ⋅
9.807 π
2⋅ Di 1, ( )4
⋅REDi 5, ⋅←
i 1 NT..∈for
β
:=
βT 0 0 0 0 0 0 0( )=
1.3 Cuando existe bombas en la red γ
γi BOMBi 1, Qaci 1, ( )2⋅ BOMBi 2, Qaci 1, ⋅+ BOMBi 3, +←
i 1 NT..∈for
γ
:=
γT 0 0 0 0 0 0 0( )=
La matriz A11 resulta:
A11
A11i i, αi 1, Qaci 1, ( )2 1−⋅ βi 1, +
γi 1,
Qaci 1, +←
i 1 NT..∈for
A11
:=
A11
71.107
0
0
0
0
0
0
0
71.107
0
0
0
0
0
0
0
94.809
0
0
0
0
0
0
0
118.511
0
0
0
0
0
0
0
94.809
0
0
0
0
0
0
0
71.107
0
0
0
0
0
0
0
82.958
⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝
⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠
=
Vector de cargas piezométricas•
Hnext A21 Ndw1−
⋅ A11 1−⋅ A12⋅⎛
⎝⎞⎠
1−⎡⎢⎣
⎤⎥⎦− A21 Ndw
1−⋅ Qac A11 1− A10⋅ Ho⋅+( )⋅ q+ A21 Qac⋅−⎡
⎣⎤⎦⋅:=
HnextT 493.6 496.899 507.216 513.917 524.701( )=
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Vector de caudales en las tuberías•
Qnext I Ndw1−
−⎛⎝
⎞⎠ Qac⋅ Ndw
1− A11 1−⋅ A12 Hnext⋅ A10 Ho⋅+( )⋅−:=
Qnext
0.145
0.077
0.028
0.056
0.065
0.02−
0.035
⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝
⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠
=
Comparando los caudales(en listros):• la norma del vector es:•
Error Qnext Qac−( )→⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯
:=
Error 0.383=
Qnext Qac−( )→⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯
1000⋅
55−
123.193−
171.807−
143.529−
135.336−
180.336−
165−
⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝
⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠
=
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Método del Gradiente Hidráulico - Iteraciones
4. Proceso Iterativo: El caudal inicial es Q, luego se toma el caudal resultante Qnextpara cada nueva iteración cambiando de signo si algunoresultase negativo4.1 Iteración #2
El caudal para la iteración actual es:
Qac
0.145
0.077
0.028
0.056
0.065
0.02
0.035
⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝
⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠
:=
1. Obteniendo la matriz A11
Esta matriz contiene en su diagonal principal el siguiente valor:
αi Qimi 1−
⋅ βi+γiQi
+
1.1 Obteniendo el coeficiente α
α
Re4 Qaci 1,
π Di 1, ⋅ ν⋅←
fa 0.01←
fa root1
fa2 log
ks3.7 Di 1, ⋅
2.51
Re fa⋅+
⎛⎜⎜⎝
⎞⎟⎟⎠
⋅+ fa, ⎛⎜⎜⎝
⎞⎟⎟⎠
←
αi 1,
0.08262686 fa⋅ REDi 3, ⋅
Di 1, ( )5←
i 1 NT..∈for
α
:=
α
362.708
382.608
580.07
660.15
519.283
459.333
491.123
⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝
⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠
=
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1.2 Pérdida de carga localizadas
β
βi 1,
8 Qaci 1, ⋅
9.807 π
2⋅ Di 1, ( )4
⋅REDi 5, ⋅←
i 1 NT..∈for
β
:=
βT 0 0 0 0 0 0 0( )=
1.3 Cuando existe bombas en la red γ
γi BOMBi 1, Qaci 1, ( )2⋅ BOMBi 2, Qaci 1, ⋅+ BOMBi 3, +←
i 1 NT..∈for
γ
:=
γT 0 0 0 0 0 0 0( )=
La matriz A11 resulta:
A11
A11i i, αi 1, Qaci 1, ( )2 1−⋅ βi 1, +
γi 1,
Qaci 1, +←
i 1 NT..∈for
A11
:=
A11
52.593
0
0
0
0
0
0
0
29.461
0
0
0
0
0
0
0
16.242
0
0
0
0
0
0
0
36.968
0
0
0
0
0
0
0
33.753
0
0
0
0
0
0
0
9.187
0
0
0
0
0
0
0
17.189
⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝
⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠
=
Vector de cargas piezométricas•
Hnext A21 Ndw1−
⋅ A11 1−⋅ A12⋅⎛
⎝⎞⎠
1−⎡⎢⎣
⎤⎥⎦− A21 Ndw
1−⋅ Qac A11 1− A10⋅ Ho⋅+( )⋅ q+ A21 Qac⋅−⎡
⎣⎤⎦⋅:=
HnextT 492.374 490.868 491.499 490.967 490.365( )=
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Vector de caudales en las tuberías•
Qnext I Ndw1−
−⎛⎝
⎞⎠ Qac⋅ Ndw
1− A11 1−⋅ A12 Hnext⋅ A10 Ho⋅+( )⋅−:=
Qnext
0.145
0.064
0.041
0.019
0.04
4.61 10 3−×
0.035
⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝
⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠
=
Comparando los caudales(en listros):• la norma del vector es:•
Error Qnext Qac−( )→⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯
:=
Error 0.05=
Qnext Qac−( )→⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯
1000⋅
6.134− 10 12−×
12.932−
12.932
36.543−
24.61−
15.39−
2.699 10 12−×
⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝
⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠
=
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4. Proceso Iterativo: El caudal inicial es Q, luego se toma el caudal resultante Qnextpara cada nueva iteración cambiando de signo si algunoresultase negativo4.1 Iteración #3
El caudal para la iteración actual es:
Qac
0.145
0.064
0.041
0.019
0.04
4.61 10 3−×
0.035
⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝
⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠
:=
1. Obteniendo la matriz A11
Esta matriz contiene en su diagonal principal el siguiente valor:
αi Qimi 1−
⋅ βi+γiQi
+
1.1 Obteniendo el coeficiente α
α
Re4 Qaci 1,
π Di 1, ⋅ ν⋅←
fa 0.01←
fa root1
fa2 log
ks3.7 Di 1, ⋅
2.51
Re fa⋅+
⎛⎜⎜⎝
⎞⎟⎟⎠
⋅+ fa, ⎛⎜⎜⎝
⎞⎟⎟⎠
←
αi 1,
0.08262686 fa⋅ REDi 3, ⋅
Di 1, ( )5←
i 1 NT..∈for
α
:=
α
362.708
390.125
549.181
772.287
551.006
616.931
491.123
⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝
⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠
=
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1.2 Pérdida de carga localizadas
β
βi 1,
8 Qaci 1, ⋅
9.807 π
2⋅ Di 1, ( )4
⋅REDi 5, ⋅←
i 1 NT..∈for
β
:=
βT 0 0 0 0 0 0 0( )=
1.3 Cuando existe bombas en la red γ
γi BOMBi 1, Qaci 1, ( )2⋅ BOMBi 2, Qaci 1, ⋅+ BOMBi 3, +←
i 1 NT..∈for
γ
:=
γT 0 0 0 0 0 0 0( )=
La matriz A11 resulta:
A11
A11i i, αi 1, Qaci 1, ( )2 1−⋅ βi 1, +
γi 1,
Qaci 1, +←
i 1 NT..∈for
A11
:=
A11
52.593
0
0
0
0
0
0
0
24.968
0
0
0
0
0
0
0
22.516
0
0
0
0
0
0
0
14.673
0
0
0
0
0
0
0
22.04
0
0
0
0
0
0
0
2.844
0
0
0
0
0
0
0
17.189
⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝
⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠
=
Vector de cargas piezométricas•
Hnext A21 Ndw1−
⋅ A11 1−⋅ A12⋅⎛
⎝⎞⎠
1−⎡⎢⎣
⎤⎥⎦− A21 Ndw
1−⋅ Qac A11 1− A10⋅ Ho⋅+( )⋅ q+ A21 Qac⋅−⎡
⎣⎤⎦⋅:=
HnextT 492.374 491.009 491.241 490.921 490.319( )=
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Vector de caudales en las tuberías•
Qnext I Ndw1−
−⎛⎝
⎞⎠ Qac⋅ Ndw
1− A11 1−⋅ A12 Hnext⋅ A10 Ho⋅+( )⋅−:=
Qnext
0.145
0.059
0.046
1.594 10 3−×
0.027
0.018
0.035
⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝
⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠
=
Comparando los caudales(en listros):• la norma del vector es:•
Error Qnext Qac−( )→⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯
:=
Error 0.026=
Qnext Qac−( )→⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯
1000⋅
1.207− 10 11−×
4.662−
4.662
17.406−
12.744−
13.134
6.106− 10 13−×
⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝
⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠
=
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Método del Gradiente Hidráulico - Resultados
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4. Proceso Iterativo: El caudal inicial es Q, luego se toma el caudal resultante Qnextpara cada nueva iteración cambiando de signo si algunoresultase negativo4.1 Iteración #4
El caudal para la iteración actual es:
Qac
0.145
0.059
0.046
1.594 10 3−×
0.027
0.018
0.035
⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝
⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠
:=
1. Obteniendo la matriz A11
Esta matriz contiene en su diagonal principal el siguiente valor:
αi Qimi 1−
⋅ βi+γiQi
+
1.1 Obteniendo el coeficiente α
α
Re4 Qaci 1,
π Di 1, ⋅ ν⋅←
fa 0.01←
fa root1
fa2 log
ks3.7 Di 1, ⋅
2.51
Re fa⋅+
⎛⎜⎜⎝
⎞⎟⎟⎠
⋅+ fa, ⎛⎜⎜⎝
⎞⎟⎟⎠
←
αi 1,
0.08262686 fa⋅ REDi 3, ⋅
Di 1, ( )5←
i 1 NT..∈for
α
:=
α
362.708
393.704
540.989
1.341 103×
583.33
467.73
491.123
⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝
⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠
=
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1.2 Pérdida de carga localizadas
β
βi 1,
8 Qaci 1, ⋅
9.807 π
2⋅ Di 1, ( )4
⋅REDi 5, ⋅←
i 1 NT..∈for
β
:=
βT 0 0 0 0 0 0 0( )=
1.3 Cuando existe bombas en la red γ
γi BOMBi 1, Qaci 1, ( )2⋅ BOMBi 2, Qaci 1, ⋅+ BOMBi 3, +←
i 1 NT..∈for
γ
:=
γT 0 0 0 0 0 0 0( )=
La matriz A11 resulta:
A11
A11i i, αi 1, Qaci 1, ( )2 1−⋅ βi 1, +
γi 1,
Qaci 1, +←
i 1 NT..∈for
A11
:=
A11
52.593
0
0
0
0
0
0
0
23.229
0
0
0
0
0
0
0
24.885
0
0
0
0
0
0
0
2.137
0
0
0
0
0
0
0
15.75
0
0
0
0
0
0
0
8.419
0
0
0
0
0
0
0
17.189
⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝
⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠
=
Vector de cargas piezométricas•
Hnext A21 Ndw1−
⋅ A11 1−⋅ A12⋅⎛
⎝⎞⎠
1−⎡⎢⎣
⎤⎥⎦− A21 Ndw
1−⋅ Qac A11 1− A10⋅ Ho⋅+( )⋅ q+ A21 Qac⋅−⎡
⎣⎤⎦⋅:=
HnextT 492.374 491.098 491.128 490.862 490.26( )=
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Vector de caudales en las tuberías•
Qnext I Ndw1−
−⎛⎝
⎞⎠ Qac⋅ Ndw
1− A11 1−⋅ A12 Hnext⋅ A10 Ho⋅+( )⋅−:=
Qnext
0.145
0.057
0.048
6.093− 10 3−×
0.022
0.023
0.035
⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝
⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠
=
Comparando los caudales(en listros):• la norma del vector es:•
Error Qnext Qac−( )→⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯
:=
Error 8.924 10 3−×=
Qnext Qac−( )→⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯
1000⋅
3.053 10 12−×
2.04−
2.04
4.499
5.053−
5.053
6.106− 10 13−×
⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝
⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠
=
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5. Ordenado Resultados Programa que Corrige H y Q con los argumentos establecidos en elcapítulo 3, culmina cuando la norma del vector es menor a 0.0001
H
Q⎛⎜⎝
⎞⎟⎠
f x y, ( ) 0.2←
Qan matrix NT 1, f, ( )←
DQ Qan←
H Qan←
Q Qan←
Re4 Qani 1, ⋅
π Di 1, ⋅ ν⋅←
fa 0.01←
fa root1
fa2 log
ks3.7 Di 1, ⋅
2.51
Re fa⋅+
⎛⎜⎜⎝
⎞⎟⎟⎠
⋅+ fa, ⎛⎜⎜⎝
⎞⎟⎟⎠
←
α
0.08262686 fa⋅ REDi 3, ⋅
Di 1, ( )5←
β
8 Qani 1, ⋅
9.807 π
2⋅ Di 1, ( )4
⋅REDi 5, ( )⋅←
γ BOMBi 1, Qani 1, ( )2⋅ BOMBi 2, Qani 1, ⋅+ BOMBi 3, +←
A11i i, α Qani 1, ( )2 1−⋅ β+
γ
Qani 1, +←
i 1 NT..∈for
H A21 Ndw1−
⋅ A11 1−⋅ A12⋅⎛
⎝⎞⎠
1−⎡⎢⎣
⎤⎥⎦− A21 Ndw
1−⋅ Qan A11 1− A10⋅ Ho⋅+( )⋅ q+ A21 Qan⋅−⎡
⎣⎤⎦⋅←
Q I Ndw1−
−⎛⎝
⎞⎠ Qan⋅ Ndw
1− A11 1−⋅ A12 H⋅ A10 Ho⋅+( )⋅−←
DQ Q Qan−( )→⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎡⎣ ⎤⎦←
Qan Q→⎯
←
DQ 0.001>while
H
Q⎛⎜⎝
⎞⎟⎠
:=
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Los caudales resultantes(que circulan) en cada tubería son(en litros/s):
El signo negativo indica el flujo del caudalen sentido contrario al supuestoinicialmente.
1000 QT⋅ 145 57.335 47.665 5.184− 22.481 22.519 35( )=
Las cotas piezométricas en cada nudo son(en metros):
Hf augment Ho HT, ( ):=
Hf 500 492.374 491.076 491.15 490.847 490.246( )=
Las presiones en los puntos son(en metros):
P Hf CTT−:=
P 0 22.374 21.076 21.15 20.847 39.754−( )=
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la presión en el nudo "#6" es de -39.754m. Entonces para lograr elevar esta altura de agua serequiere de una bomba que proporcione una altura de agua de 40m cmo máximo. Para lo cual elijoel modelo 7AI/BF y la ecuación característica es la siguiente:
Q(m3/h) Q(m3/s) H(m)0 0 34
10 0.002777778 33.520 0.005555556 3330 0.008333333 32.540 0.011111111 31.550 0.013888889 29.560 0.016666667 2770 0.019444444 21
Se vuelve a realizar los cálculos de presiones y caudales, esta vez considerando el aporte de de la bomba en el sistema.
H&Q
y = -47829x2 + 351.43x + 33.292R2 = 0.9695
1517192123252729313335
0 0.005 0.01 0.015 0.02 0.025
Q(m3/s)
H(m
)
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2.0 Argumentos
2.1 Definiendo la Red (RED)
Cada fila representa la conectividad de la tubería en la red.
Donde:
Columna #1: Número del nudo inicial
Columna #2: Número del nudo final
Columna #3: Longitud de la tubería en metros [m]
Columna #4: Diámetro de la tubería en milímetros [mm]
Columna #5: Sumatoria de los coeficientes de pérdidas locales
RED1 2 3 4 5
12
3
4
5
6
7
1 2 300 254 02 3 300 254 0
2 4 400 254 0
3 4 500 254 0
4 5 400 254 0
3 5 300 254 0
5 6 350 254 0
:=
2.2 Cota Topográfica del terreno (CT) [msnm]
2.3 Demanda en nudos(Qd) [lt/s]
2.4 Rugosidad absoluta de latubería [m]
CT1
12
3
4
5
6
500470
470
470
470
530
:= Qd1
12
3
4
5
6
040
40
20
10
45
:=ks 0.06 10 3−
⋅:=
2.5 Viscocidad cinemática [m2/s]
ν 1.14 10 6−⋅:=
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2.6 Reservorios que abastecen a la red (RSV)
Son los nudos de cota piezométrica conocida y los argumentos son:
Donde:
Columna #1: Número de nudo de cota piezométrica conocida
Columna #2: Cota piezométrica [m]
RSV1 2
1 1 500
:=
2.7 Definiendo bombas en la red (BMB)
Se debe definir el número de la tubería y la altura de agua(presión de agua) adicional con la cualcolabora la bomba a la red
Donde:
Columna #1: Número de tubería
La ecuación de la bomba es de la forma: γ = a(Qac^2) + b(Qac) + c, se debe ingresar:
Columna #2: Coeficiente "a" de la ecuación siempre negativo
Columna #3: Coeficneinte "b" de la ecuación de la bomba
Columna #4: Coeficiente "c" de la ecuación de la bomba
BMB1 2 3 4
1 7 4-4.783·10 351.43 33.292
:=
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Método del Gradiente Hidráulico - Resultados Generales
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3. Proceso de cálculo
Para realizar el cálculo de presiones y caudales en la red, es necesario el siguiente planteamiento dematrices y vectores teniendo en ceunta que:
Número de nudos de cota piezométrica desconocida:NN rows CT( ) rows RSV( )−:= NN 5=
Número de tuberías (tramos)NT rows RED( ):= NT 7=
Número de nudos de cota piezométrica conocidaNS rows RSV( ):= NS 1=
3.1 Resultados generales
Todas las matrices obtenidas en esta sección se mantienen constante en todo el procedimeinto dediseño.
3.1.1 Obteniendo la matriz de conectividad total (At), su dimensión es NT*(NN+NS) asociada a cauno de los nudos de la red, con solo dos elementos diferentes de cero en la i-ésima fila
"-1" en la columna correspondiente al nodo inicial del tramo i •
"1" en la columna correspondiente al nodo final del tramo i•
At
ni REDi 1, ←
nf REDi 2, ←
Ati ni, 1−←
Ati nf, 1←
i 1 NT..∈for
At
:=
At
1−
0
0
0
0
0
0
1
1−
1−
0
0
0
0
0
1
0
1−
0
1−
0
0
0
1
1
1−
0
0
0
0
0
0
1
1
1−
0
0
0
0
0
0
1
⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝
⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠
=
de la matriz At se obtiene las matrices A12 y A10.
3.1.2 Matriz de conectividad A12 asociada a cada uno de los nudos de la red de cota piezométricadesconocida, de dimensión NT*NN
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Los nudos de cota piezométrica desconocida son(NCPD):
NCPD submatrix NODE rows RSV( ) 1+, rows NODE( ), 1, 1, ( ):=
NCPD
2
3
4
5
6
⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎝
⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎠
=
y la matriz A12 resulta:
A12 A12 AtNCPD1 1, ( )⟨ ⟩
←
i NCPDn 1, ←
A12 augment A12 At i⟨ ⟩, ( )←
n 2 rows NCPD( )..∈for
A12
:=
A12
1
1−
1−
0
0
0
0
0
1
0
1−
0
1−
0
0
0
1
1
1−
0
0
0
0
0
0
1
1
1−
0
0
0
0
0
0
1
⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝
⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠
=
su traspuesta es A21: A21 A12T:=
A21
1
0
0
0
0
1−
1
0
0
0
1−
0
1
0
0
0
1−
1
0
0
0
0
1−
1
0
0
1−
0
1
0
0
0
0
1−
1
⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎝
⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎠
=
3.1.3 Matriz topológica tramo a nodo, que asocia a las tuberías con los nodos de cota piezométricaconocida(Los reservorios) de dimensión NT*NS
Los nudos de cota piezométrica conocida son(NCPC):
NCPC RSV 1⟨ ⟩:=
NCPC 1( )=
la matriz A10 resulta:
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A10 A10 AtNCPC1 1, ( )⟨ ⟩
←
i NCPCn 1, ←
A10 augment A10 At i⟨ ⟩, ( )←
n 2 rows NCPC( )..∈for
A10
rows NCPC( ) 2≥if
A10
:=
A10
1−
0
0
0
0
0
0
⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝
⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠
=
A10 es la matriz topológica tramo a nodo, para los NS nodos de cota piezométrica conocida, sudimensión es NT*NS con un valor igual a -1 en las filas correspondientes a los tramos conectados alos reservorios(Nudos de cota piezométrica conocida)
3.1.4 Vector de Cotas piezométricas fijas, cuya dimensión es NS*1
Ho RSV 2⟨ ⟩:=
Ho 500( )=
3.1.5 Vector de consumo, de dimensión NN*1
En este vector no interviene los nudos de cota piezométrica conocida.
qsubmatrix Qd rows RSV( ) 1+, rows Qd( ), 1, 1, ( )
1000:=
q
0.04
0.04
0.02
0.01
0.045
⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎝
⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎠
= en m3/s
3.1.6 matriz identidad, de dimensión NT*NT 3.1.7 matriz diagonal M, de dimensión NT*NTI identity NT( ):=
Ndw 2 I⋅:=
I
1
0
0
0
0
0
0
0
1
0
0
0
0
0
0
0
1
0
0
0
0
0
0
0
1
0
0
0
0
0
0
0
1
0
0
0
0
0
0
0
1
0
0
0
0
0
0
0
1
⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝
⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠
= Ndw
2
0
0
0
0
0
0
0
2
0
0
0
0
0
0
0
2
0
0
0
0
0
0
0
2
0
0
0
0
0
0
0
2
0
0
0
0
0
0
0
2
0
0
0
0
0
0
0
2
⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝
⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠
=
los elementos de la diagonal principal soniguales al coeficiente "m", que depende dequé ecuación para la pérdida de carga seesté utilizando, en este caso utilizaré la deDarcy-Weisbach, para lo cual m=2
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3.1.6 Ordenando el coeficiente de las ecuaciones para cada tubería
BOMB f x y, ( ) 0←
BOMB matrix NT 3, f, ( )←
t BMBi 1, ←
BOMBt 1, BMBi 2, ←
BOMBt 2, BMBi 3, ←
BOMBt 3, BMBi 4, ←
i 1 rows BMB( )..∈for
BOMB
:=
BOMB
0
0
0
0
0
0
4.783− 104×
0
0
0
0
0
0
351.43
0
0
0
0
0
0
33.292
⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝
⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠
=
3.2 Valores iniciales para las iteraciones.
3.2.1 Caudales que circulan en cada tubería
f x y, ( ) 0.2:=
Q matrix rows RED( ) 1, f, ( ):=
QT 0.2 0.2 0.2 0.2 0.2 0.2 0.2( )=
3.2.2 Diámetro de la tuberías [m]
DRED 4⟨ ⟩
1000:=
DT 0.254 0.254 0.254 0.254 0.254 0.254 0.254( )=
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4. Proceso Iterativo: El caudal inicial es Q, luego se toma el caudal resultante Qnextpara cada nueva iteración cambiando de signo si algunoresultase negativo4.1 Iteración #1
El caudal para la iteración actual es: Qac Q:=
Qac
0.2
0.2
0.2
0.2
0.2
0.2
0.2
⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝
⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠
=
1. Obteniendo la matriz A11
Esta matriz contiene en su diagonal principal el siguiente valor:
αi Qimi 1−
⋅ βi+γiQi
+
1.1 Obteniendo el coeficiente α
α
Re4 Qaci 1,
π Di 1, ⋅ ν⋅←
fa 0.01←
fa root1
fa2 log
ks3.7 Di 1, ⋅
2.51
Re fa⋅+
⎛⎜⎜⎝
⎞⎟⎟⎠
⋅+ fa, ⎛⎜⎜⎝
⎞⎟⎟⎠
←
αi 1,
0.08262686 fa⋅ REDi 3, ⋅
Di 1, ( )5←
i 1 NT..∈for
α
:=
α
355.534
355.534
474.046
592.557
474.046
355.534
414.79
⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝
⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠
=
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1.2 Pérdida de carga localizadas
β
βi 1,
8 Qaci 1, ⋅
9.807 π
2⋅ Di 1, ( )4
⋅REDi 5, ⋅←
i 1 NT..∈for
β
:=
βT 0 0 0 0 0 0 0( )=
1.3 Cuando existe bombas en la red γ
γi BOMBi 1, Qaci 1, ( )2⋅ BOMBi 2, Qaci 1, ⋅+ BOMBi 3, +←
i 1 NT..∈for
γ
:=
γT 0 0 0 0 0 0 1.81− 103
×( )=
La matriz A11 resulta:
A11
A11i i, αi 1, Qaci 1, ( )2 1−⋅ βi 1, +
γi 1,
Qaci 1, +←
i 1 NT..∈for
A11
:=
A11
71.107
0
0
0
0
0
0
0
71.107
0
0
0
0
0
0
0
94.809
0
0
0
0
0
0
0
118.511
0
0
0
0
0
0
0
94.809
0
0
0
0
0
0
0
71.107
0
0
0
0
0
0
0
8.965− 103×
⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝
⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠
=
Vector de cargas piezométricas•
Hnext A21 Ndw1−
⋅ A11 1−⋅ A12⋅⎛
⎝⎞⎠
1−⎡⎢⎣
⎤⎥⎦− A21 Ndw
1−⋅ Qac A11 1− A10⋅ Ho⋅+( )⋅ q+ A21 Qac⋅−⎡
⎣⎤⎦⋅:=
HnextT 492.178 494.664 504.981 510.869 475.276−( )=
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Vector de caudales en las tuberías•
Qnext I Ndw1−
−⎛⎝
⎞⎠ Qac⋅ Ndw
1− A11 1−⋅ A12 Hnext⋅ A10 Ho⋅+( )⋅−:=
Qnext
0.155
0.083
0.032
0.056
0.069
0.014−
0.045
⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝
⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠
=
Comparando los caudales(en listros):• la norma del vector es:•
Error Qnext Qac−( )→⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯
:=
Error 0.375=
Qnext Qac−( )→⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯
1000⋅
45−
117.479−
167.521−
143.529−
131.05−
186.05−
155−
⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝
⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠
=
Método del Gradiente Hidráulico - Iteraciones
Método del Gradiente Hidráulico - Resultados
Universidad Nacional San Cristóbal de HuamangaEscuela Profesional de Ingeniería Civil
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Abastecimiento de Agua Potable Y AlcantarilladoAnálisis y Diseño de Redes de Agua PotableMétodo del Gradiente Hidráulico
Método del Gradiente Hidráulico - Argumentos
Método del Gradiente Hidráulico - Resultados Generales
Método del Gradiente Hidráulico - Iteraciones
4. Proceso Iterativo: El caudal inicial es Q, luego se toma el caudal resultante Qnextpara cada nueva iteración cambiando de signo si algunoresultase negativo4.1 Iteración #2
El caudal para la iteración actual es:
Qac
0.155
0.083
0.032
0.056
0.069
0.014
0.045
⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝
⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠
:=
1. Obteniendo la matriz A11
Esta matriz contiene en su diagonal principal el siguiente valor:
αi Qimi 1−
⋅ βi+γiQi
+
1.1 Obteniendo el coeficiente α
α
Re4 Qaci 1,
π Di 1, ⋅ ν⋅←
fa 0.01←
fa root1
fa2 log
ks3.7 Di 1, ⋅
2.51
Re fa⋅+
⎛⎜⎜⎝
⎞⎟⎟⎠
⋅+ fa, ⎛⎜⎜⎝
⎞⎟⎟⎠
←
αi 1,
0.08262686 fa⋅ REDi 3, ⋅
Di 1, ( )5←
i 1 NT..∈for
α
:=
α
361.076
379.793
568.581
660.15
515.954
489.384
474.701
⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝
⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠
=
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1.2 Pérdida de carga localizadas
β
βi 1,
8 Qaci 1, ⋅
9.807 π
2⋅ Di 1, ( )4
⋅REDi 5, ⋅←
i 1 NT..∈for
β
:=
βT 0 0 0 0 0 0 0( )=
1.3 Cuando existe bombas en la red γ
γi BOMBi 1, Qaci 1, ( )2⋅ BOMBi 2, Qaci 1, ⋅+ BOMBi 3, +←
i 1 NT..∈for
γ
:=
γT 0 0 0 0 0 0 47.747−( )=
La matriz A11 resulta:
A11
A11i i, αi 1, Qaci 1, ( )2 1−⋅ βi 1, +
γi 1,
Qaci 1, +←
i 1 NT..∈for
A11
:=
A11
55.967
0
0
0
0
0
0
0
31.523
0
0
0
0
0
0
0
18.195
0
0
0
0
0
0
0
36.968
0
0
0
0
0
0
0
35.601
0
0
0
0
0
0
0
6.851
0
0
0
0
0
0
0
1.04− 103×
⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝
⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠
=
Vector de cargas piezométricas•
Hnext A21 Ndw1−
⋅ A11 1−⋅ A12⋅⎛
⎝⎞⎠
1−⎡⎢⎣
⎤⎥⎦− A21 Ndw
1−⋅ Qac A11 1− A10⋅ Ho⋅+( )⋅ q+ A21 Qac⋅−⎡
⎣⎤⎦⋅:=
HnextT 491.325 489.572 490.245 489.526 536.312( )=
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Vector de caudales en las tuberías•
Qnext I Ndw1−
−⎛⎝
⎞⎠ Qac⋅ Ndw
1− A11 1−⋅ A12 Hnext⋅ A10 Ho⋅+( )⋅−:=
Qnext
0.155
0.069
0.046
0.019
0.045
0.01
0.045
⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝
⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠
=
Comparando los caudales(en listros):• la norma del vector es:•
Error Qnext Qac−( )→⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯
:=
Error 0.049=
Qnext Qac−( )→⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯
1000⋅
3.331 10 13−×
13.694−
13.694
37.095−
24.401−
3.599−
0
⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝
⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠
=
Método del Gradiente Hidráulico - Iteraciones
Método del Gradiente Hidráulico - Resultados
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Abastecimiento de Agua Potable Y AlcantarilladoAnálisis y Diseño de Redes de Agua PotableMétodo del Gradiente Hidráulico
Método del Gradiente Hidráulico - Argumentos
Método del Gradiente Hidráulico - Resultados Generales
Método del Gradiente Hidráulico - Iteraciones
4. Proceso Iterativo: El caudal inicial es Q, luego se toma el caudal resultante Qnextpara cada nueva iteración cambiando de signo si algunoresultase negativo4.1 Iteración #3
El caudal para la iteración actual es:
Qac
0.155
0.069
0.046
0.019
0.045
0.01
0.045
⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝
⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠
:=
1. Obteniendo la matriz A11
Esta matriz contiene en su diagonal principal el siguiente valor:
αi Qimi 1−
⋅ βi+γiQi
+
1.1 Obteniendo el coeficiente α
α
Re4 Qaci 1,
π Di 1, ⋅ ν⋅←
fa 0.01←
fa root1
fa2 log
ks3.7 Di 1, ⋅
2.51
Re fa⋅+
⎛⎜⎜⎝
⎞⎟⎟⎠
⋅+ fa, ⎛⎜⎜⎝
⎞⎟⎟⎠
←
αi 1,
0.08262686 fa⋅ REDi 3, ⋅
Di 1, ( )5←
i 1 NT..∈for
α
:=
α
361.076
386.966
540.989
772.287
542.515
522.199
474.701
⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝
⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠
=
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1.2 Pérdida de carga localizadas
β
βi 1,
8 Qaci 1, ⋅
9.807 π
2⋅ Di 1, ( )4
⋅REDi 5, ⋅←
i 1 NT..∈for
β
:=
βT 0 0 0 0 0 0 0( )=
1.3 Cuando existe bombas en la red γ
γi BOMBi 1, Qaci 1, ( )2⋅ BOMBi 2, Qaci 1, ⋅+ BOMBi 3, +←
i 1 NT..∈for
γ
:=
γT 0 0 0 0 0 0 47.747−( )=
La matriz A11 resulta:
A11
A11i i, αi 1, Qaci 1, ( )2 1−⋅ βi 1, +
γi 1,
Qaci 1, +←
i 1 NT..∈for
A11
:=
A11
55.967
0
0
0
0
0
0
0
26.701
0
0
0
0
0
0
0
24.885
0
0
0
0
0
0
0
14.673
0
0
0
0
0
0
0
24.413
0
0
0
0
0
0
0
5.222
0
0
0
0
0
0
0
1.04− 103×
⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝
⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠
=
Vector de cargas piezométricas•
Hnext A21 Ndw1−
⋅ A11 1−⋅ A12⋅⎛
⎝⎞⎠
1−⎡⎢⎣
⎤⎥⎦− A21 Ndw
1−⋅ Qac A11 1− A10⋅ Ho⋅+( )⋅ q+ A21 Qac⋅−⎡
⎣⎤⎦⋅:=
HnextT 491.325 489.717 489.963 489.523 536.309( )=
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Vector de caudales en las tuberías•
Qnext I Ndw1−
−⎛⎝
⎞⎠ Qac⋅ Ndw
1− A11 1−⋅ A12 Hnext⋅ A10 Ho⋅+( )⋅−:=
Qnext
0.155
0.065
0.05
1.118 10 3−×
0.031
0.024
0.045
⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝
⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠
=
Comparando los caudales(en listros):• la norma del vector es:•
Error Qnext Qac−( )→⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯
:=
Error 0.027=
Qnext Qac−( )→⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯
1000⋅
1.391− 10 11−×
4.377−
4.377
17.882−
13.504−
13.504
0
⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝
⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠
=
Método del Gradiente Hidráulico - Iteraciones
Método del Gradiente Hidráulico - Resultados
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Método del Gradiente Hidráulico - Iteraciones
4. Proceso Iterativo: El caudal inicial es Q, luego se toma el caudal resultante Qnextpara cada nueva iteración cambiando de signo si algunoresultase negativo4.1 Iteración #4
El caudal para la iteración actual es:
Qac
0.155
0.065
0.05
1.118 10 3−×
0.031
0.024
0.045
⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝
⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠
:=
1. Obteniendo la matriz A11
Esta matriz contiene en su diagonal principal el siguiente valor:
αi Qimi 1−
⋅ βi+γiQi
+
1.1 Obteniendo el coeficiente α
α
Re4 Qaci 1,
π Di 1, ⋅ ν⋅←
fa 0.01←
fa root1
fa2 log
ks3.7 Di 1, ⋅
2.51
Re fa⋅+
⎛⎜⎜⎝
⎞⎟⎟⎠
⋅+ fa, ⎛⎜⎜⎝
⎞⎟⎟⎠
←
αi 1,
0.08262686 fa⋅ REDi 3, ⋅
Di 1, ( )5←
i 1 NT..∈for
α
:=
α
361.076
389.463
535.362
1.479 103×
571.245
445.709
474.701
⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝
⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠
=
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1.2 Pérdida de carga localizadas
β
βi 1,
8 Qaci 1, ⋅
9.807 π
2⋅ Di 1, ( )4
⋅REDi 5, ⋅←
i 1 NT..∈for
β
:=
βT 0 0 0 0 0 0 0( )=
1.3 Cuando existe bombas en la red γ
γi BOMBi 1, Qaci 1, ( )2⋅ BOMBi 2, Qaci 1, ⋅+ BOMBi 3, +←
i 1 NT..∈for
γ
:=
γT 0 0 0 0 0 0 47.747−( )=
La matriz A11 resulta:
A11
A11i i, αi 1, Qaci 1, ( )2 1−⋅ βi 1, +
γi 1,
Qaci 1, +←
i 1 NT..∈for
A11
:=
A11
55.967
0
0
0
0
0
0
0
25.315
0
0
0
0
0
0
0
26.768
0
0
0
0
0
0
0
1.653
0
0
0
0
0
0
0
17.709
0
0
0
0
0
0
0
10.697
0
0
0
0
0
0
0
1.04− 103×
⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝
⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠
=
Vector de cargas piezométricas•
Hnext A21 Ndw1−
⋅ A11 1−⋅ A12⋅⎛
⎝⎞⎠
1−⎡⎢⎣
⎤⎥⎦− A21 Ndw
1−⋅ Qac A11 1− A10⋅ Ho⋅+( )⋅ q+ A21 Qac⋅−⎡
⎣⎤⎦⋅:=
HnextT 491.325 489.818 489.841 489.46 536.246( )=
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Vector de caudales en las tuberías•
Qnext I Ndw1−
−⎛⎝
⎞⎠ Qac⋅ Ndw
1− A11 1−⋅ A12 Hnext⋅ A10 Ho⋅+( )⋅−:=
Qnext
0.155
0.062
0.053
6.461− 10 3−×
0.026
0.029
0.045
⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝
⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠
=
Comparando los caudales(en listros):• la norma del vector es:•
Error Qnext Qac−( )→⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯
:=
Error 9.394 10 3−×=
Qnext Qac−( )→⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯
1000⋅
4.913 10 12−×
2.725−
2.725
5.343
4.736−
4.736
0
⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝
⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠
=
Método del Gradiente Hidráulico - Iteraciones
Método del Gradiente Hidráulico - Resultados
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4. Proceso Iterativo: El caudal inicial es Q, luego se toma el caudal resultante Qnextpara cada nueva iteración cambiando de signo si algunoresultase negativo4.1 Iteración #5
El caudal para la iteración actual es:
Qac
0.155
0.062
0.053
6.461 10 3−×
0.026
0.029
0.045
⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝
⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠
:=
1. Obteniendo la matriz A11
Esta matriz contiene en su diagonal principal el siguiente valor:
αi Qimi 1−
⋅ βi+γiQi
+
1.1 Obteniendo el coeficiente α
α
Re4 Qaci 1,
π Di 1, ⋅ ν⋅←
fa 0.01←
fa root1
fa2 log
ks3.7 Di 1, ⋅
2.51
Re fa⋅+
⎛⎜⎜⎝
⎞⎟⎟⎠
⋅+ fa, ⎛⎜⎜⎝
⎞⎟⎟⎠
←
αi 1,
0.08262686 fa⋅ REDi 3, ⋅
Di 1, ( )5←
i 1 NT..∈for
α
:=
α
361.076
391.502
531.581
953.417
586.772
432.734
474.701
⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝
⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠
=
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1.2 Pérdida de carga localizadas
β
βi 1,
8 Qaci 1, ⋅
9.807 π
2⋅ Di 1, ( )4
⋅REDi 5, ⋅←
i 1 NT..∈for
β
:=
βT 0 0 0 0 0 0 0( )=
1.3 Cuando existe bombas en la red γ
γi BOMBi 1, Qaci 1, ( )2⋅ BOMBi 2, Qaci 1, ⋅+ BOMBi 3, +←
i 1 NT..∈for
γ
:=
γT 0 0 0 0 0 0 47.747−( )=
La matriz A11 resulta:
A11
A11i i, αi 1, Qaci 1, ( )2 1−⋅ βi 1, +
γi 1,
Qaci 1, +←
i 1 NT..∈for
A11
:=
A11
55.967
0
0
0
0
0
0
0
24.273
0
0
0
0
0
0
0
28.174
0
0
0
0
0
0
0
6.16
0
0
0
0
0
0
0
15.256
0
0
0
0
0
0
0
12.549
0
0
0
0
0
0
0
1.04− 103×
⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝
⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠
=
Vector de cargas piezométricas•
Hnext A21 Ndw1−
⋅ A11 1−⋅ A12⋅⎛
⎝⎞⎠
1−⎡⎢⎣
⎤⎥⎦− A21 Ndw
1−⋅ Qac A11 1− A10⋅ Ho⋅+( )⋅ q+ A21 Qac⋅−⎡
⎣⎤⎦⋅:=
HnextT 491.325 489.779 489.88 489.446 536.232( )=
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Vector de caudales en las tuberías•
Qnext I Ndw1−
−⎛⎝
⎞⎠ Qac⋅ Ndw
1− A11 1−⋅ A12 Hnext⋅ A10 Ho⋅+( )⋅−:=
Qnext
0.155
0.063
0.052
4.933− 10 3−×
0.027
0.028
0.045
⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝
⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠
=
Comparando los caudales(en listros):• la norma del vector es:•
Error Qnext Qac−( )→⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯
:=
Error 2.597 10 3−×=
Qnext Qac−( )→⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯
1000⋅
1.86 10 12−×
0.847
0.847−
1.528−
1.22
1.22−
0
⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝
⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠
=
Método del Gradiente Hidráulico - Iteraciones
Método del Gradiente Hidráulico - Resultados
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Método del Gradiente Hidráulico - Resultados
5. Ordenado Resultados Programa que Corrige H y Q con los argumentos establecidos en elcapítulo 3, culmina cuando la norma del vector es menor a 0.0001
H
Q⎛⎜⎝
⎞⎟⎠
f x y, ( ) 0.2←
Qan matrix NT 1, f, ( )←
DQ Qan←
H Qan←
Q Qan←
Re4 Qani 1, ⋅
π Di 1, ⋅ ν⋅←
fa 0.01←
fa root1
fa2 log
ks3.7 Di 1, ⋅
2.51
Re fa⋅+
⎛⎜⎜⎝
⎞⎟⎟⎠
⋅+ fa, ⎛⎜⎜⎝
⎞⎟⎟⎠
←
α
0.08262686 fa⋅ REDi 3, ⋅
Di 1, ( )5←
β
8 Qani 1, ⋅
9.807 π
2⋅ Di 1, ( )4
⋅REDi 5, ( )⋅←
γ BOMBi 1, Qani 1, ( )2⋅ BOMBi 2, Qani 1, ⋅+ BOMBi 3, +←
A11i i, α Qani 1, ( )2 1−⋅ β+
γ
Qani 1, +←
i 1 NT..∈for
H A21 Ndw1−
⋅ A11 1−⋅ A12⋅⎛
⎝⎞⎠
1−⎡⎢⎣
⎤⎥⎦− A21 Ndw
1−⋅ Qan A11 1− A10⋅ Ho⋅+( )⋅ q+ A21 Qan⋅−⎡
⎣⎤⎦⋅←
Q I Ndw1−
−⎛⎝
⎞⎠ Qan⋅ Ndw
1− A11 1−⋅ A12 H⋅ A10 Ho⋅+( )⋅−←
DQ Q Qan−( )→⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎡⎣ ⎤⎦←
Qan Q→⎯
←
DQ 0.0001>while
H
Q⎛⎜⎝
⎞⎟⎠
:=
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Los caudales resultantes(que circulan) en cada tubería son(en litros/s):
El signo negativo indica el flujo del caudalen sentido contrario al supuestoinicialmente.
1000 QT⋅ 155 62.723 52.277 5.297− 26.98 28.02 45( )=
Las cotas piezométricas en cada nudo son(en metros):
Hf augment Ho HT, ( ):=
Hf 500 491.325 489.787 489.87 489.445 536.231( )=
Las presiones en los puntos son(en metros):
P Hf CTT−:=
P 0 21.325 19.787 19.87 19.445 6.231( )=
Método del Gradiente Hidráulico - Resultados
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