RESISTENCIA DE MATERIALES - CARLOS JOO - 2014.docx

SEPARATA DE FISICA

INGENIER

IA DE

MINAS

RESISTENCIA

DE MATERIALE

S

UNIVERSIDAD NACIONAL DE MOQUEGUA FACULTAD DE INGENIERIA

Escuela de Ingeniería de MinasCARLOS E. JOO - LIC. FÍSICA APLICADA

[email protected]

Física III

TABLA DE CONTENIDOS

PROPIEDADES MECANICAS DE LOS MATERIALES (Esfuerzo y deformación).............5

1.1. INTRODUCCIÓN A LA RESISTENCIA DE MATERIALES O MECÁNICA DE MATERIALES...................51.1.1. MAPA DE ANALISIS GENERAL DEL CURSO..................................................................................................51.1.2. ANÁLISIS DE CARGAS.................................................................................................................................61.1.3. CARGAS FUNDAMENTALES........................................................................................................................71.1.4. ASPECTOS Y COMPETENCIAS DEL CURSO..................................................................................................71.1.5. MECÁNICA DE LOS CUERPOS DEFORMABLES............................................................................................81.1.6. DEFINICIÓN DE RESISTENCIA DE MATERIALES...........................................................................................8

1.2. EQUILIBRIO DE UN CUERPO DEFORMABLE – REPASO DE LOS MÉTODOS DE LA ESTATICA..........9

PRACTICA N°1:....................................................................................................................................10

1.3. ESFUERZO...............................................................................................................................111.3.1. CONCEPTO DE ESFUERZO........................................................................................................................111.3.2. Unidades de esfuerzo..............................................................................................................................121.3.3. TIPOS DE ESFUERZO.................................................................................................................................121.3.4. ESFUERZOS UNIFORMEMENTE DISTRIBUIDOS.........................................................................................141.3.5. ESFUERZO NORMAL DIRECTO..................................................................................................................151.3.6. ESFUERZO CORTANTE DIRECTO...............................................................................................................171.3.7. Esfuerzos en elementos de unión pasantes.............................................................................................201.3.8. APLICACIÓN AL ANALISIS Y DISEÑO DE ESTRUCTURAS SENCILLAS...........................................................22

1.4. PRACTICA N°1:........................................................................................................................261.4.1. DEFORMACIÓN........................................................................................................................................321.4.2. DEFORMACIÓN UNITARIA........................................................................................................................341.4.3. .................................................................................................................................................................34

2.1. PRACTICA N°2:........................................................................................................................35

2.2. ESFUERZO PERMISIBLE...........................................................................................................41



PRACTICA N°3:....................................................................................................................................43

2.5. ESFUERZO DE DISEÑO.............................................................................................................50

PRACTICA N°4.....................................................................................................................................51

2.6. SISTEMAS ESTATICAMENTE INDETERMINADOS.......................................................................56

2.7. PROBLEMAS QUE INVOLUCRAN CAMBIOS DE TEMPERATURA.................................................56

PRACTICA N°5.....................................................................................................................................57

3. TORSION.....................................................................................................................................61

3.1. INTRODUCCIÓN......................................................................................................................61

3.2. ANALISIS DE LA TORSION........................................................................................................61

3.2.1. DEFORMACIONES EN EL EJE CIRCULAR..............................................................................61

3.2.2. ESFUERZOS EN EL RANGO ELÁSTICO..................................................................................64

3.2.3. LA FÓRMULA DE LA TORSIÓN..................................................................................................67

3.2.4. ÁNGULO DE TORSIÓN.............................................................................................................68

3.2.5. Tubos circulares......................................................................................................................68

Lic. Carlos E. Joo G.

2

Esfuerzo y deformacion

PRACTICA N°6.....................................................................................................................................70

3.3. TORSIÓN NO UNIFORME........................................................................................................75

....................84

...........................................................................................................................................................85

3.4. EJES ESTÁTICAMENTE INDETERMINADOS...............................................................................85

Facultad De Ingeniería – Escuela Profesional de Ingeniería de Minas.

3

Física III

...........................................................................................................................................................85

...........................................................................................................................................................86

3.5. PRACTICA N°7.........................................................................................................................93


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PROPIEDADES MECANICAS DE LOS

MATERIALES (Esfuerzo y deformación)

Al terminar esta sección usted deberá ser capaz de: Distinguir entre fuerza externa y esfuerzo. Definir esfuerzo normal y esfuerzo cortante Analizar sistemas sencillos, calculando los esfuerzos

que se inducen en sus diferentes componentes como efecto de la acción de cargas externas, usando tanto el sistema métrico como el sistema inglés.

1.1. INTRODUCCIÓN A LA RESISTENCIA DE MATERIALES O MECÁNICA DE MATERIALES

1.1.1. MAPA DE ANALISIS GENERAL DEL CURSO

1.1.2. ANÁLISIS DE CARGAS


Los productos, máquinas y estructuras

deberán diseñarse para

que sean seguros y funcionen

satisfactoriamente durante su uso

pretendido.

La seguridad es primordial. Los componentes que soportan

carga no deben romperse

durante su uso.

La deformación excesiva es otra forma de falla.

El pandeo, que ocurre cuando el perfil de un elemento de

carga se vuelve inestable, se debe evitar.

Capítulo

15

Física III

• La bicicleta tiene un cuadro donde van montadas: la tijeras, palancas de pedales y ruedas.• El asiento y manubrio también están conectados al

cuadro. • Los pedales absorben las fuerzas ejercidas por sus

pies y producen un momento de torsión a la palanca, la que impulsa la cadena a través de las ruedas dentadas, que a su vez impulsan la rueda trasera. • Los varillajes que accionan el cambio de

velocidades y los frenos disponen de numerosas palancas, eslabones y pernos que transmiten las fuerzas ejercidas por sus manos para realizar tareas importantes. • Las ruedas y sus ejes deben diseñarse a ser fuertes y rígidos, capaces de resistir repetidas aplicaciones de

fuerzas.

Eche un vistazo a un sitio en construcción. Un bulldozer está nivelando el terreno y requiere que se transmitan grandes fuerzas a través de sus varillajes y actuadores hidráulicos. Las grúas izan vigas, columnas, armaduras de techo y otros materiales de construcción hasta pisos elevados. Observe el diseño de los elementos de construcción. Las retroexcavadoras y los cargadores frontales cavan zanjas y vierten la tierra en camiones de volteo. Observe sus mecanismos. El camión de volteo cuenta con un cilindro hidráulico para trabajo pesado con el proposito de alzar su caja y descargar el material de construcción.

La aeronave y el transbordador espacial cuentan con estructuras eficientes conocidas como diseños de revestimientos esforzados o monocoque. Muchas de las cargas son soportadas por el revestimiento de la nave, a su vez soportado por marcos situados dentro de fuselaje y alas. El control de la nave depende de los alerones y timones, que son accionados por sistemas hidráulicos y varillajes. El tren de aterrizaje debe soportar una carga grande durante el despegue y el aterrizaje al mismo tiempo que es capaz de ser guardado suavemente en el interior del cuerpo de la nave. En el compartimiento de los pasajeros, los pisos, los asientos, los anclajes de los cinturones de seguridad, los mecanismos de las puertas, los compartimientos de equipaje y las charolas de servicio deben ser diseñados para que sean fuertes, seguros y ligeros.


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Éstos son sólo algunos de los muchos ejemplos de situaciones en las que puede utilizar sus conocimientos de resistencia de materiales en su carrera.

1.1.3. CARGAS FUNDAMENTALES

Tensión, compresión, momento flector y par torsional, son los cuatro tipos básicos de carga a los que usualmente se encuentran tanto los elementos estructurales como las piezas de maquinaria. Estas cargas pueden actuar de forma individual o conjunta sobre una pieza y sus efectos sobre los diferentes materiales son de gran importancia en el diseño ingenieril.

TRABAJO DE INVESTIGACIÓN N°1Piense en productos, máquinas y estructuras que le sean familiares y que contengan componentes que deben soportar cargas con seguridad. Para cada dispositivo que se le ocurra, escriba la siguiente información:• La función básica o propósito del dispositivo.• La descripción y bosquejos de sus componentes principales, en particular

aquellos que se verán sometidos a fuerzas significativas.• El material del cual está hecho cada componente, ¿es un metal o un

plástico? ¿Qué clase de metal? ¿Qué clase de plástico? ¿Es algún otro material? ¿Cómo está soportado cada componente dentro del producto, máquina o estructura? ¿Cómo se aplican las fuerzas al componente? ¿Cuál sería la consecuencia si el componente se rompe? ¿Cuánta deformación haría que el componente sea incapaz de realizar su función deseada?

• Considere productos en torno a su casa, partes de su bicicleta, carro o motocicleta; edificios; juguetes; juegos mecánicos de parque de diversión; aviones y vehículos espaciales; buques; máquina de manufactura; equipo de construcción; maquinaria agrícola y otros.

• Trabaje con su grupo (no mayor de cinco y al menos debe escribir el análisis de un elemento por cada integrante.

• Expondrá brevemente y discutirá estos productos y sistemas con sus compañeros y con el Profesor o facilitador del curso.

1.1.4. ASPECTOS Y COMPETENCIAS DEL CURSO

• Aprenderá sobre la naturaleza básica de los esfuerzos y deformaciones en este curso.• Será capaz de reconocer varios tipos de esfuerzos y deformaciones creados por diferentes situaciones de

carga y apoyo o soporte.• Analizará situaciones en las que más de una clase de esfuerzo es experimentado por un elemento de carga

al mismo tiempo.• El diseño requiere que usted determine el perfil y tamaño de un elemento de carga y que especifique el

material del cual se tiene que hacer.• Aprenderá cómo diseñar componentes de carga seguros de máquinas y estructuras.

1.1.5. MECÁNICA DE LOS CUERPOS DEFORMABLES

Como se mencionó al comienzo, los cuerpos rígidos no existen; el concepto de cuerpo rígido es puramente ideal ya que todos los cuerpos se deforman cuando están sometidos a fuerzas. Muchas veces estas deformaciones son imperceptibles y para poderlas determinar se requiere de aparatos de medición más o menos sofisticados. Que un material se deforme más o menos, depende de varios factores


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Física III

entre los cuales se pueden citar las cargas a que está sometido, la forma y dimensiones y sus propiedades mecánicas; resistencia, ductilidad, etc.1

1.1.6. DEFINICIÓN DE RESISTENCIA DE MATERIALES

La resistencia de materiales clásica es una disciplina de la ingeniería mecánica y la ingeniería estructural que estudia los sólidos deformables mediante modelos simplificados. La resistencia de un elemento se define como su capacidad para resistir esfuerzos y fuerzas aplicadas sin romperse, adquirir deformaciones permanentes o deteriorarse de algún modo.

Un modelo de resistencia de materiales establece una relación entre las fuerzas aplicadas, también llamadas cargas o acciones, y los esfuerzos y desplazamientos inducidos por ellas. Generalmente las simplificaciones geométricas y las restricciones impuestas sobre el modo de aplicación de las cargas hacen que el campo de deformaciones y tensiones sean sencillos de calcular2.

La Resistencia de Materiales, es una ciencia sobre los métodos de cálculo a la resistencia, la rigidez y la estabilidad de los elementos estructurales. Se entiende por resistencia a la capacidad de oponerse a la rotura, rigidez a la capacidad de oponerse a la deformación y estabilidad a la capacidad de mantener su condición original de equilibrio. (G. Villarreal C.)

La mecánica de materiales es una rama de la mecánica aplicada que trata del comportamiento de los cuerpos sólidos sometidos a diversas cargas. Otros nombres para este campo de estudio son resistencia de materiales y mecánica de los cuerpos deformables. Los cuerpos sólidos considerados en este libro incluyen barras sometidas a cargas axiales, ejes en torsión, vigas en flexión y columnas en compresión. (James M. Gere • Barry J. Goodno)

El objetivo principal del estudio de la mecánica de materiales es suministrar al futuro ingeniero los conocimientos para analizar y diseñar las diversas máquinas y estructuras portadoras de carga. (Beer & Johnston)

1.2. EQUILIBRIO DE UN CUERPO DEFORMABLE – REPASO DE LOS

1 http://www.virtual.unal.edu.co/cursos/ingenieria/2001734/lecciones/tem03/lec02_0.htm 2 http://es.wikipedia.org/wiki/Resistencia_de_materiales


MEC

ÁN

ICA MECÁNICA

DE CUERPOS RÍGIDOS

ESTÁTICA

DINÁMICA

CINEMÁTICA

CINÉTICA

MECÁNICA DE CUERPOS

DEFORMABLES

RESISTENCIA I

RESISTENCIA II

MECÁNICA DE

FLUIDOS

8

http://es.wikipedia.org/wiki/Resistencia_de_materiales

http://es.wikipedia.org/wiki/Esfuerzo_interno

http://es.wikipedia.org/wiki/Fuerza

http://es.wikipedia.org/wiki/Mec%C3%A1nica_de_s%C3%B3lidos_deformables

http://es.wikipedia.org/wiki/Ingenier%C3%ADa_estructural

http://es.wikipedia.org/wiki/Ingenier%C3%ADa_estructural

http://es.wikipedia.org/wiki/Ingenier%C3%ADa_mec%C3%A1nica

http://www.virtual.unal.edu.co/cursos/ingenieria/2001734/lecciones/tem03/lec02_0.htm


MÉTODOS DE LA ESTATICA

Considere la estructura mostrada para soportar una carga de 30kN.

Aguilón3 AB, de sección angular transversal de 30x50mm. Varilla BC, de 20 mm de diámetro.

El aguilón y l varilla están conectados por un perno B y los soportan pernos y ménsulas en A y C, respectivamente.

PASO 1: DIAGRAMA DE CUERPO LIBRE

En A y C van reacciones, a través de sus componentes horizontal y vertical, normalmente se selecciona la dirección al azar.

PASO 2: ECUACIONE DE EQUILIBRIO

Luego se escriben las tres ecuaciones de equilibrio:

Solo se pudieron encontrar dos de las cuatro incógnitas con estas ecuaciones.

PASO 3:

3 Madero que en las armaduras con faldón está puesto diagonalmente desde el ángulo del edificio hasta el cuadral.


9

http://arte-y-arquitectura.glosario.net/construccion-y-arquitectura/edificio-6928.html

http://lengua-y-literatura.glosario.net/terminos-y-acepciones-usadas-en-argentina/puesto-4503.html

http://arte-y-arquitectura.glosario.net/construccion-y-arquitectura/fald%F3n-7060.html

Física III

Ahora debe desmembrarse la estructura y determinar las fuerzas internas en cada miembro:

AGUILÓN AB

PRIMERA FORMA

(1.4)

Remplazando en (1.3) Cy=+30kN. Luego obtenemos ls reacciones:

Aquí es el momento para corregir el DLC supuesto inicialmente.

SEGUNDA FORMA

También pudimos analizar por el método de nodos al nodo B y reconociendo que AB y BC son elementos sometidos a dos fuerzas, es decir, que sus fuerzas son de tipo axial (de tracción o compresión).

FAB=40kN y FBC=50kN

PASO 4: DETERMINANCIÓN DEL TIPO DE FUERZA INTERNA:

El aguilón AB está sometido a compresión y BC está a tracción.

2. PRACTICA N°1:

Contendrá ejercicios de determinación de fuerzas axiales en las barras, por el métodos de nodo (o juntas) y el de secciones.

Contendrá además problemas de determinación de las cargas internas ; normal, cortantes y flexionante (o flector).

Además, revisaremos las gráficas de fuerza cortante y de momento flector sobre una viga.

3.4.5.6.

1.3. ESFUERZO

Si bien los resultados obtenidos en la sección precedente representan un primer paso necesario en el análisis de la estructura dada, ellos son insuficientes para determinar si la carga puede ser soportada con seguridad. Por ejemplo, el que la varilla BC pueda romperse o no hacerlo bajo esta carga depende no sólo del valor encontrado


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para la fuerza interna FBC, sino también del área transversal de la varilla y del material con que ésta haya sido elaborada. De hecho, la fuerza interna FBC en realidad representa la resultante de las fuerzas elementales distribuidas a lo largo de toda el área A de la sección transversal (figura 1.7), y la intensidad promedio de estas fuerzas distribuidas es igual a la fuerza por unidad de área, FBC/A, en la sección. El hecho de que la varilla se rompa o no bajo la carga dada, depende claramente de la capacidad que tenga el material de soportar el valor correspondiente FBC/A de la intensidad de las fuerzas internas distribuidas. Por lo tanto, la resistencia a la fractura depende de la fuerza FBC, del área transversal A y del material de la varilla.

Los sólidos en equilibrio tienen un determinada forma estable. Sabemos que los líquidos y los gases no, pues adoptan la forma del recipiente que los contiene.

Cuando se ejercen fuerzas deformadoras, los sólidos en equilibrio se oponen a estas deformaciones mediante unas fuerzas de oposición a la deformación denominadas fuerzas elásticas. Es decir que las fuerzas elásticas son aquellas que intentan mantener la forma estable del sólidos, algo parecido a la inercia.

Cuando cesa la deformación a la que ha sido sometido un sólido, si este recupera su forma inicial (la que tenía antes de que se ejercieran sobre el las fuerzas de deformación) este se denomina ELÁSTICO. Un muelle es un típico sólido en el que la elasticidad es una de sus características. Si un sólido no recupera su forma inicial se le llama INELÁSTICO O PLÁSTICO, tales como la arcilla o el plomo. Asi, la elasticidad equivale a estabilidad de forma.

Esta división hecha entre sólidos elásticos y plásticos es aún muy rudimentaria, porque realmente depende de la deformación, si esta es suficientemente intensa habrá pocos cuerpos sólidos que sean perfectamente elásticos.

EJEMPLO ILUSTRATIVO:

Supongamos que se nos pregunta si un varilla de cobre puede soportar una carga de 1000kg. ¿cuál sería nuestra respuesta?.

Si la varilla tiene 10 centímetros cuadrados, es casi evidente que podrá resistir esta carga. Ahora pongamos el caso que la sección transversal sea de 1 centímetro cuadrado, ¿será capaz de resistirla?, lo más probable es que no. Es por esto que el estudio de la mecánica de los materiales, no podemos hablar de fuerzas sin referirnos al tamaño de la sección que las soportará, razón por la cual usaremos el concepto de esfuerzo.

1.3.1. CONCEPTO DE ESFUERZO

Consideremos un cuerpo sometido a un sistema de fuerzas como se presenta en la figura 1a. Si se secciona arbitrariamente el cuerpo y se toma la parte izquierda de éste, el sistema de fuerzas será el representado en la figura 1b que comprende las fuerzas externas en la porción considerada y las fuerzas internas, fuerzas que la otra porción ejerce sobre ella.


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Física III

Figura 1

Esfuerzo es la resistencia interna que ofrece un área unitaria de material del que está fabricado un elemento, para una carga aplicada externa.

Esfuerzo es la resistencia que ofrece un área unitaria (A) del material del que está hecho un miembro para una carga aplicada externa (fuerza, F):

S= lim∆ A→ 0

∆ F∆ A

=d FdA

(1)

1.3.2. Unidades de esfuerzo

Siendo esfuerzo la relación entre fuerza y área, sus unidades están dadas por una unidad de fuerza divida por una unidad de área (igual que para ‘presión’). En el Sistema Internacional de Unidades (SI) se utiliza el pascal (Pa), igual a un newton sobre metro cuadrado:

1 Pa = 1 N/m2

Como los esfuerzos en elementos de máquinas usualmente son miles o millones de pascales, normalmente se utilizan el mega pascal (MPa) y el kilo pascal (kPa):

1 MPa = 106 Pa

1 kPa = 103 Pa

En el sistema inglés se utiliza la libra fuerza por pulgada cuadrada (psi):

1 psi = 1 lbf/in2

Como el psi es también una unidad relativamente pequeña, se suele utilizar el ksi (kpsi en algunos textos)

1 ksi = 103 psi = 1000 lbf/in2 = 1 kip/in2

Otra unidad utilizada algunas veces es el kilogramo fuerza por centímetro cuadrado, kgf/cm2.

El esfuerzo y la presión son dos conceptos diferentes:

El esfuerzo es un vector y la presión es un escalar.

El esfuerzo es interno y la presión es externa.

El esfuerzo puede tener cualquier dirección y la presión es siempre perpendicular (su fuerza) al plano donde actúa.

1.3.3. TIPOS DE ESFUERZO

Los esfuerzos pueden ser agrupados en dos familias, los esfuerzos normales y los esfuerzos cortantes.

Esfuerzos Normales…. { TracciónCompresión

Flexión (modelo de Navier )Pandeo

EsfuerzosCortantes…{ corte directoTorsión

Flexión (modelodeYourasky )


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Para brindar una definicion matematica a este concepto, tomaremos un cuerpo cargado representando las fuerzas internas que en el aparecen.

Elegiremos un diferencial de area de la sección transversal, en la que actua una fuerza interna finita como se muestra.

Definiremos entonces como Esfuerzo Normal (σ) a la cantidad de fuerza por unidad de área actuando en dirección normal a ‘ΔA’.

Matematicamente, puede expresarse de la siguiente forma:

σ= lim∆ A→0

∆ Fn

∆ A=d Fn

dA (2)

Si ‘ΔFn’ “sale” de la seccion transversal, el esfuerzo normal es de traccion y se denota con signo positivo. De lo contrario, el esfuerzo normal es de compresion y se escribe con signo negativo.

El Esfuerzo Tangencial ó Cortante () es la cantidad de fuerza por unidad de area actuando en direccion tangencial a ‘ΔA’. Matematicamente, puede expresarse de la siguiente forma:

τ= lim∆ A→0

∆ F t

∆ A=d F t

dA (3)

A diferencia de ‘ΔFn’ , cuya direccion puede ser una sola, ΔFt’ puede tener cualquier direccion en el plano.

El esfuerzo cortante tendra la misma direccion y sentido de ‘ΔFt’.

ADEMAS

Dependiendo de la forma cómo actúen las fuerzas externas, los esfuerzos y deformaciones producidos pueden ser axiales, biaxiales, triaxiales, por flexión, por torsión, o combinados, como se muestra en las figuras 2, 3, 4, 5, 6 y 7 (SALAZAR, 2001).4

4 http://www.virtual.unal.edu.co/cursos/sedes/palmira/5000155/lecciones/lec1/1_2.htm


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http://www.virtual.unal.edu.co/cursos/sedes/palmira/5000155/lecciones/lec1/1_2.htm

Física III

Figura 2: Esfuerzo y deformación uniaxial.

Figura 5: Esfuerzo y deformación por flexión.

Figura 3: Esfuerzo y deformación biaxial. Figura 6: Esfuerzo y deformación por torsión.

Figura 4: Esfuerzo y deformación triaxial.Figura 7: Esfuerzo y deformación

combinados.

Dependiendo de que la fuerza interna actúe perpendicularmente o paralelamente al área del elemento considerado los esfuerzos pueden ser normales (fuerza perpendicular al área), cortantes (tangenciales o de cizalladura, debido a una fuerza paralela al área), como se muestra en las figuras 8 y 9 (SALAZAR, 2001).

Figura 8: Esfuerzo normal.

Figura 9: Esfuerzo cortante.

1.3.4. ESFUERZOS UNIFORMEMENTE DISTRIBUIDOS

Consideremos una barra de sección circular sometida a una fuerza axial en cada extremo, [Fig. 2-2a].

Obviamente la barra está en equilibrio. Si hacemos un corte transversal de la barra, como se explicó en el párrafo anterior, en la sección de la derecha actuarán las fuerzas que se presentan en la figura 2-2b. Si suponemos que las fuerzas internas están distribuidas uniformemente se puede utilizar la definición de su valor medio.


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1.3.5. ESFUERZO NORMAL DIRECTO

Uno de los tipos fundamentales de esfuerzo es el esfuerzo normal, indicado por la letra griega minúscula (sigma), donde el esfuerzo actúa perpendicular o normal a la sección transversal del miembro de carga. Si el esfuerzo también es uniforme a través del área resistente, el esfuerzo se llama esfuerzo normal directo. Los esfuerzos normales pueden ser de compresión o de tensión.

Un esfuerzo de compresión es uno que tiende a aplastar el material del miembro de carga y a acortarlo.

Un esfuerzo de tensión es uno que tiende a alargar el miembro y a separar el material.

La ecuación para esfuerzo normal directo se deriva de la definición básica de esfuerzo porque la fuerza aplicada es compartida por igual a través de toda la sección transversal del miembro que soporta la fuerza. Esto es,

σ= fuerzaárea desección transversal

= FA

(4)

Son aquellos debidos a fuerzas perpendiculares a la sección transversal.

Esfuerzos axiales, son aquellos debidos a fuerzas que actúan a lo largo del eje del elemento.

EJEMPLO 1. Si la barra de la figura 3 está sometida a una carga de 5kN y su sección transversal es de 200 mm2 . ¿Cuál es su esfuerzo y que significa?.

SOLUCIÓN:

σ= 5000N200mm2 ( 1mm

10−3m )2

=25 000 000 Pa=25MPa

Es decir que 1N/mm2=1MPa y Significa que: En cada mm2 actúa una fuerza de 25 N

EJEMPLO 2. La carga axial en la columna que soporta la viga de madera es de 25 kips. Halle la longitud l de la platina de unión para la cual es esfuerzo medio de compresión sobre la madera es de 400 psi.5

SOLUCIÓN

A=l×5 pulg= Fσ= 25kips

400 psi= 25000 lbf

400 lbf / pul g2=62,5 pul g2

l=62,5 pul g2

5 pulg=12,5 pulg

5 KIPs=Kilo libras=1000 lb; Ksi=Kilo libras/pulgada Cuadrada=1000 Lb/ in2; Psi = Libra/pulgada cuadrada=Lb/in2


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Física III

EJEMPLO 3. La estructura mostrada en la figura soporta una carga de 50 000kg en el nodo E. calcule los esfuerzos normales inducidos en sus miembros AB y BD si estos tienen una sección transversal de 10cm2.

Solución:

Debemos conocer las fuerzas internas en las barras:


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EJEMPLO 4. La barra en la figura l-16a tiene un ancho constante de 35 mm y un espesor de 10 mm. Determine el esfuerzo normal promedio maximo en la barra cuando ella esta sometida a las cargas mostradas.

1.3.6. ESFUERZO CORTANTE DIRECTO

Ocurre cuando se aplica una acción de corte, como cuando se utilizan tijeras comunes, tijeras de hojalatero o punzones.

■ Un ejemplo simple es una perforación en una hoja de papel de oficina [figura 1—6(d)].

• Cuando presiona una palanca, el punzón perfora el papel conforme éste pasa por un dado situado por debajo.

• El papel es cizallado a lo largo de la circunferencia del agujero y el espesor del papel es traspasado.

■ Puede ser más difícil demostrar este fenómeno en el caso de un material más grueso o más resistente que una simple hoja de papel.

■ Trate de encontrar componentes con agujeros o perforaciones de otra forma para que visualice dónde se utiliza cortante directo en productos conocidos. Hay más ejemplos en la figura l- 6(e):

• Algunos tipos de ménsulas, abrazaderas o flejes hechos de lámina.

• Gabinetes metálicos, con agujeros redondos perforados, para sujetadores u otros elementos que permitan montar instrumentos u otros dispositivos.

• Cajas de contactos eléctricos con “lugares donde puede botarse el metal” para insertar alambres en la caja.

• “Hembras” de cerradura de puerta.

• Lámina perforada utilizada a menudo para propósitos decorativos.


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Física III

■ Otro tipo de cortante directo ocurre en un tipo de bisagra llamada horquilla [figura l - 6(f)]. Un pasador cilindrico atraviesa los extremos conectados a un componente, a través de un agujero en otro componente.

• Conforme se aplica una fuerza a uno de los componentes en movimiento, el pasador se somete a un esfuerzo cortante directo que tiende a cizallarlo a través de su sección transversal.

Las fuerzas aplicadas a un elemento estructural pueden inducir un efecto de deslizamiento de una parte del mismo con respecto a otra. En este caso, sobre el área de deslizamiento se produce un esfuerzo cortante, o tangencial, o de cizalladura (figura 13). Análogamente a lo que sucede con el esfuerzo normal, el esfuerzo cortante se define como la relación entre la fuerza y el área a través de la cual se produce el deslizamiento, donde la fuerza es paralela al área. El esfuerzo cortante (t) ser calcula como (figura 14) (SALAZAR, 2001):

Esfuerzocortante= fuerzaárea donde se produce el deslizamiento

(5)

τ=F t

A (6)

Figura 13: Esfuerzos cortantes.


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La fuerza P debe ser paralela al área A

Figura 14: Cálculo de los esfuerzos cortantes.

EJEMPLO 5. muestra una operación de punzonado donde el objetivo es cortar una parte del material de la otra. La acción de punzonado produce una ranura en la lámina de metal; la parte separada en la operación se conoce como viruta (o slug en inglés). Mediante punzonado es posible producir muchas formas tanto con las piezas como con las láminas perforadas. Normalmente, el punzonado se diseña de modo que la forma completa se entresaque al mismo tiempo. Por consiguiente, la acción de corte ocurre a lo largo de los costados de la pieza.

Calcule el esfuerzo cortante en el material si la fuerza de 1250 Ib se aplica con el punzón.

SOLUCIÓN

El espesor del material es de 0.040 in.

El área sometida a cortante en este caso se calcula multiplicando la longitud el perímetro de la forma recortada por el espesor de la lámina.

Es decir, para una operación de punzonado,

As = perímetro X espesor = p X t

El perímetro, p y es p = 2(0.75 in) + 77(0.50 in) = 3.07 in

El área sometida a cortante, As = p X t = (3.07 in)(0.040 in) = 0.1228 in

Por consiguiente, el esfuerzo cortante es τ=FA= 1250 lb

0,1228 i n2=10 176 psi


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Física III

Comentario: En este punto no sabemos si este nivel de esfuerzo hará que se entresaque la pieza; depende de la resistencia al cortante del material, la cual se analizará mas adelante.

1.3.7. Esfuerzos en elementos de unión pasantes

Observemos la figura que se muestra. Sea una carga axial P a la barra, se pueden identificar dos tipos de esfuerzos:

A. En las superficies de contacto entre el remache y las placas (donde se transmiten fuerzas entre ellos), se generan esfuerzos de aplastamiento. Estos aparecen en todas las situaciones similares a la ilustrada (con pernos, pasadores, entre cojinetes y ejes…).

En principio, este esfuerzo puede parecer difícil de identificar pues a primera vista puede observarse que el área de contacto (Acontacto = 2πrL) no es siempre perpendicular a la fuerza que se ejerce sobre la misma.

Para calcular este esfuerzo, proyectamos el área de contacto sobre un plano normal a la fuerza y tomamos el valor del área proyectada, que ahora sería ‘Aproyectada = 2rL’.

Finalmente, el esfuerzo de aplastamiento vendría dado por la expresión:

σAPLASTAMIENTO

= PA

PROYECTADA (7)

B. Considerando el mismo caso que se nos presentaba en el apartado anterior, se generan también esfuerzos cortantes en la sección transversal del elemento de unión. Esto se debe a la acción de una fuerza cortante que intenta “cizallar” el elemento, tal como se observa en la figura c.

El esfuerzo cortante promedio vendría dado por la expresión:

τPROMEDIO

=P cor tan te

A (8)

EJEMPLO 6. Los ejes 1 y 2 se unen mediante un acoplamiento circular mostrado, con la finalidad de transmitir un par torsional (T) de 100 000kg.cm. calcular el esfuerzo cortante inducido en los pernos.

Solución:

Para evaluar el esfuerzo cortante, es necesario conocer la fuerza interna mediante un análisis estático de equilibrio.

Cada fuerza tangencial ejercida sobre cada perno, es producida por un momento M=rFt, donde r es la distancia del centro del acoplamiento hacia el centro del perno. Así el momento total será:


20


T=4(M)=4(rFt)

El área de contacto de cada perno es la sección circular de 2cm de diámetro:

Ac=pi*(d2/4)=pi

Luego:

τ=F t

Ac

=

T4 rπ

=T

4 rπ=

100 000 kg

4 (8 )πcm2 =994,72 kg /cm2

EJEMPLO 7. El perno mostrado en la figura se usará para soportar una carga de 1000kg. Evalúe los esfuerzos normales y cortantes en las partes que puedan presentar peligro de falla.


21

Física III

Dependiendo la forma en que el esfuerzo cortante se distribuya, se pueden identificar el esfuerzo

cortante en función de las áreas resistentes al corte, como se detalla a continuación:

τ simple=F t

A

τ doble=

Ft

2A=

F t

2 A (9)

1.3.8. APLICACIÓN AL ANALISIS Y DISEÑO DE ESTRUCTURAS SENCILLAS

Después de revisar los temas anteriores ahora ya se está en posibilidad de determinar los esfuerzos en los elementos y conexiones de varias estructuras bidimensionales sencillas y, por lo tanto, de diseñar tales estructuras.


22


A. DETERMINACIÓN DEL ESFUERZO NORMAL EN EL AGUILÓ AB Y EN LA VARILLA BC

Esfuerzos en elementos de unión pasantes

EJEMPLO 8. .


23

Física III


24


1.4. PRACTICA N°1:


25

Física III

01. Determine el máximo peso W que pueden soportar los cables mostrados en la figura 1. Los esfuerzos en los cables AB y AC no deben exceder 100MPa y 50MPa respectivamente. Las áreas transversales de ambos son 400mm2

para el cable AB y 200mm2 para AC. .(Zinger 4ed) (R:54,64kN).

02. Se quiere punzonar una placa como se muestra en la figura, que tiene un esfuerzo cortante último de 300MPa (a) Si el esfuerzo de compresión admisible en el punzón es de 400MPa, determine el máximo espesor de la placa para poder punzonar un orificio de 100mm de diámetro. (b) Si la placa tiene un espesor de 10mm, calcule el máximo diámetro que puede punzonarse.(Zinger 4ed) (R:t=33,3mm; d=30mm).

03. La columna esta sometida a una fuerza axial de 8 kN en su parte superior. Si el area de su seccion transversal tiene las dimensiones mostradas en la figura, determine el esfuerzo normal promedio que actua en la sección a-a. Muestre esta distribucion del esfuerzo actuando sobre la seccion transversal de la columna.(Hibbeler 6ed) (=1,82MPa)

04. Un corto miembro sometido a compresión tiene la sección transversal mostrada en la figura. Calcule el esfuerzo en el miembro si se aplica una fuerza de compresión de 52 000 Ib en línea con su eje centroidal. .(Mott 5ed) (=11791psi)

05. Un corto miembro sometido a compresión tiene la sección transversal mostrada en la figura. Calcule el esfuerzo en el miembro si se aplica una fuerza de compresión de 640 kN en línea con su eje centroidal.(=180MPa)

06. La figura muestra el perfil de un trozo de metal que se va a entresacar de una lámina de aluminio de 5.0 mm de espesor. Calcule el esfueizo cortante en el aluminio si se aplica una fuerza de punzonado de 38.6 kN.(=81,1MPa)

07. La figura muestra un perno sometido a una carga de tensión. Un modo de falla sería si el vástago circular del perno se desprende de la cabeza, en una acción de corte. Calcule el esfuerzo cortante en la cabeza para este modo de falla si se aplica


26


una fuerza de 22.3 kN. (=73.9MPa)

08. La figura muestra una junta traslapada remachada que conecta dos placas de acero. Calcule el esfuerzo cortante en los remaches producido por una fuerza de 10,2kN aplicada a las placas.(45,1MPa)

09. La figura muestra una junta a tope remachada con cubreplacas que conectan dos placas de acero. Calcule el esfuerzo cortante en los remaches producido por una fuerza de 10.2 kN aplicada a las placas.(22,55MPa)

10. Una conexión de pasador como la mostrada en la figura se somete a una fuerza de 16.5 kN. Determine el esfuerzo cortante en el pasador de 12.0 mm de diámetro.(=146MPa)

11. El grillete de anclaje soporta la fuerza del cable de 600 Ib. Si el pasador tiene un diametro de 0.25 pulg, determine el esfuerzo cortante promedio en el pasador. (Hibbeler 6ed) (=6,11ksi)


27

Física III

12. El pequeño bloque tiene un espesor de 0.5 pulg. Si la distribución de esfuerzo en el soporte desarrollado por la carga varia como se muestra, determine la fuerza F aplicada al bloque y la distancia d a la que esta aplicada. (Hibbeler 6ed) (F=22,5kip;d=0,833in)

13. El pequeño bloque tiene un espesor de 5 mm. Si la distribución de esfuerzo en el soporte desarrollado por la carga varia como se muestra, determine la fuerza F aplicada al bloque y la distancia d a la que esta aplicada. (Hibbeler 6ed) (F=36kN; d=110mm)

14. La palanca está unida a la flecha empotrada por medio de un pasador cónico que tiene un diámetro medio de 6 mm. Si se aplica un par a la palanca, determine el esfuerzo cortante promedio en el pasador, entre el pasador y la palanca. (Hibbeler 6ed) (=29,5MPa)

15. La rueda de soporte se mantiene en su lugar bajo la pata de un andamio por medio de un pasador de 4 mm de diametro como se muestra en la figura. Si la rueda esta sometida a una fuerza normal de 3 kN, determine el esfuerzo cortante promedio generado en el pasador. Desprecie la friccion entre

la pata del andamio y el tubo sobre la rueda. (Hibbeler 6ed) (=119MPa)

16. La lampara con un peso de 50 Ib esta soportada por tres barras de acero conectadas por un anillo en A. Determine cual barra esta sometida al mayor esfuerzo normal promedio y calcule su valor. Considere = 30°. El diametro de cada barra se da en la figura. (Hibbeler 6ed) (AB=520psi; AD=634psi; AC=746psi)

17. Resuelva el problema anterior para =45°. (Hibbeler 6ed) (AB=520psi; AD=720psi; AC=500psi)

18. La lampara con un peso de 50 Ib esta soportada por tres barras de acero conectadas por un anillo en A. Determine el angulo de orientacion de AC tal que el esfuerzo normal producido en la barra AC sea el doble del esfuerzo normal promedio en la barra AD. .Cual es la magnitud del esfuerzo en cada barra? El diametro de cada barra se da en la figura. (Hibbeler 6ed)(=59,4°;AD=372psi; AC=744psi; AB=520psi).

19. El pedestal tiene una seccion transversal triangular como se muestra. Si esta sometido a una fuerza compresiva de 500 Ib, especifique las coordenadas x y y del punto P(x, y ) en que debe aplicarse la carga sobre la sección transversal para que el esfuerzo normal sea uniforme. Calcule el esfuerzo y esboce su distribución sobre una sección transversal en una seccion alejada del punto de aplicación de la caiga. (Hibbeler 6ed) (x=4in;y=4in;=9,26psi)


28


`

20. Los dos miembros de acero estan unidos entre si por medio de una soldadura a tope a 60°. Determine los esfuerzos normal y cortante promedio resistidos en el plano de la soldadura. (Hibbeler 6ed) (=8MPa; =4,62MPa).

21. La flecha compuesta consiste en un tubo A B y en una barra solida BC. El tubo tiene un diametro interior de 20 mm y un diametro exterior de 28 mm. La barra tiene un diametro de 12 mm. Determine el esfuerzo normal promedio en los puntos D y E y represente el esfuerzo sobre un elemento de volumen localizado en cada uno de esos puntos. (D=13,3MPa; E=70,7MPa)

22. La pieza de madera esta sometida a una fuerza de tension de 85 Ib. Determine los esfuerzos normal y cortante promedio desarrollados en las fibras de la madera orientadas a lo largo de la seccion a-a a 15° con respecto el eje de la pieza. (=1,90psi; =7,08psi).

23. Se está diseñando una repisa para contener embalajes que tienen una masa total de 1840 kg. Dos varillas de soporte como las mostradas en la figura sujetan la repisa. Cada varilla tiene un diámetro de 12.0 mm. Suponga que d centro de

gravedad de los embalajes está a la mitad de la repisa. Calcule el esfuerzo en la parte media de las varillas.( 79.8 MPa)

24. Tres varillas de acero dispuestas como se muestra en la figura soportan una máquina de 4200 kg de masa. El diámetro de cada varilla es de 20 mm. Calcule el esfuerzo en cada varilla.(AB= 107.4 MPa; BC = 75.2 MPa; BD = 131.1 MPa)

25. La junta esta sometida a la fuerza axial de miembro de 5 kN. Determine el esfuerzo normal promedio que actua en las secciones A B y BC. Suponga que el miembro es liso y que tiene 50


29

Física III

mm de espesor. . (BA=2,04MPa; BC=0,598Pa)

26. La junta esta sometida a la fuerza axial de miembro de 6 klb. Determine el esfuerzo normal promedio que actua sobre las secciones AB y BC. Suponga que el miembro es liso y que tiene 1.5 pulg de espesor. (AB=1,63ksi; BC=0,819ksi)

27. Se utiliza un centrifugador para separar líquidos de acuerdo con sus densidades por medio de fuerza centrífuga. La figura ilustra un brazo del centrifugador que tiene un balde en su extremo para contener el líquido. En operación, el balde y el líquido tienen una masa de 0.40 kg. La magnitud de la fuerza centrífuga en newtons es de

Calcule el esfuerzo en la barra redonda. Considere

sólo la fuerza ejercida por el recipiente.

(=118MPa)

28. Una barra cuadrada soporta una serie de cargas como se muestra en la figura. Calcule el esfuerzo en cada segmento de la barra. Todas las cargas actúan a lo largo del eje central de la barra. (AB=166,7MPa; BC=77,8MPa; CD=122MPa;)

29. Repita el problema anterior con la barra circular de la figura. (AB=-35,1MPa; BC=-44,1MPa; CD=-9,65MPa;)

30. Repita el problema anterior con el tubo de la figura. El tubo es un tubo de acero cédula 40 de 1 ½ in.(BC=3129 psi; y AB=20471psi en tensión)


30


31. Calcule el esfuerzo en el miembro BD mostrado en la figura si la fuerza aplicada F es de 2800 Ib.(BD=3231psi)

32. Calcule las fuerzas en todos los miembros y los esfuerzos en la sección media, alejándose de cualquier junta. Referirse al apéndice para el área de sección transversal de los miembros indicados en las figuras. Considere que todas las juntas son de pasador.(AB=BC=25,3 MPa; BD=17,5 MPa; AD=CD=-21MPa)

33. Determine el esfuerzo de tensión en el miembro AB mostrado en la figura P .(AB=50 MPa).

34. Una pequeña grúa hidráulica, como la mostrada en la figura, soporta una caiga de 800 Ib. Determine el esfuerzo cortante que ocurre en el pasador en B, el cual se encuentra sometido a cortante doble. El diámetro del pasador es de 3/8 in.(38540psi)

GRUPO E1 E2 E3 E4 E5 OPC

1 1 10 20 26 29 132 2 8 28 23 30 123 3 14 18 21 31 194 4 7 17 22 32 275 5 9 16 24 34 136 6 11 15 25 33 12

1.4.1. DEFORMACIÓN


31

Física III

Los cuerpos completamente rígidos no existen. Todo elemento se deforma ante la presencia de cargas sobre el, aunque sea en una proporción muy pequeña.

Si aplicamos una carga axial de tracción a un cuerpo, observaremos que este tendera a alargarse en el sentido de dicha carga.

Figura 3: Deformación debida a esfuerzos de tensión y de compresión, respectivamente.

Los esfuerzos normales axiales por lo general ocurren en elementos como cables, barras o columnas sometidos a fuerzas axiales (que actúan a lo largo de su propio eje), las cuales pueden ser de tensión o de compresión. Además de tener resistencia, los materiales deben tener rigidez, es decir tener capacidad de oponerse a las deformaciones () puesto que una estructura demasiado deformable puede llegar a ver comprometida su funciona1idad y obviamente su estética. En el caso de fuerzas axiales (de tensión o compresión), se producirán en el elemento alargamientos o acortamientos, respectivamente, como se muestra en la figura 10 (SALAZAR, 2001).

Una forma de comparar la deformación entre dos elementos, es expresarla como una deformación porcentual, o en otras palabras, calcular la deformación que sufrirá una longitud unitaria del material, la cual se denomina deformación unitaria e. La deformación unitaria se calculará como (SALAZAR, 2001):

∈= δL0

(5)

donde,

: deformación unitaria,

: deformación total.

Lo: longitud inicial del elemento deformado.

Algunas características mecánicas de los materiales como su resistencia (capacidad de oponerse a la rotura), su rigidez (capacidad de oponerse a las deformaciones) y su ductilidad (capacidad de deformarse antes de romperse), por lo general se obtienen mediante ensayos en laboratorio (resistencia de materiales experimental), sometiendo a pruebas determinadas porciones del material (probetas normalizadas) para obtener esta información. Parece que el primero que realizó ensayos para conocer la resistencia de alambres fue Leonardo Da Vinci, pero probablemente el primero en sistematizar la realización de ensayos y en publicar sus resultados en forma de una ley fue Robert Hooke, sometiendo alambres enrollados (resortes), a la


32


acción de diferentes cargas y midiendo las deformaciones producidas, lo que le permitió enunciar los resultados obtenidos en forma de ley (“como la tensión así es la fuerza”), en su tratado publicado en 1678; esto es lo que se conoce en su forma moderna como la LEY DE HOOKE (SALAZAR, 2001).

La mejor manera de entender el comportamiento mecánico de un material es someterlo a una determinada acción (una fuerza) y medir su respuesta (la deformación que se produzca). De este procedimiento se deducen las características acción – respuesta del material. Debido a que la fuerza y la deformación absolutas no definen adecuadamente para efectos comparativos las características de un material, es necesario establecer la relación entre el esfuerzo (s) y la deformación unitaria (e). La figura 11 muestra una relación directa entre el esfuerzo aplicado y la deformación producida: a mayor esfuerzo, mayor deformación (SALAZAR, 2001).

Figura 11: Relación directa entre el esfuerzo aplicado y la deformación producida (Ley de Hooke).

La ecuación de la recta, en la figura 11, está dada por:

= m (6)

donde,

m = tan = E

La pendiente de la recta, se conoce como el módulo de elasticidad, y en los ensayos con fuerzas tensoras, se conoce como Módulo de Young, en honor de Thomas Young. Entonces, la ecuación (6) se convierte en la expresión de la Ley de Hooke, como:

= E (7)

En el comportamiento mecánico de los materiales es importante conocer la capacidad que estos tengan de recuperar su forma cuando se retira la carga que actúa sobre ellos. La mayoría de los materiales tienen una respuesta elástica hasta cierto nivel de la carga aplicada y a partir de ella ya no tendrán la capacidad de recuperar totalmente su forma original una vez retirada la carga, porque se comportan plásticamente. Lo anterior se conoce como comportamiento elasto – plástico y se muestra en la figura 12 (SALAZAR, 2001).

Figura 12: Comportamiento elasto – plástico de los materiales.

El esfuerzo es aquel concepto que permite medir la dirección, sentido e intensidad de la fuerza interna por unidad de área que sufre un punto dado de un cuerpo que está sometido a cargas externas.

En general, los esfuerzos que actuan sobre una superficie plana pueden ser uniformes en toda el área o bien variar en intensidad de un punto a otro.

Supongamos que los esfuerzos que actuan sobre la seccion transversal mn (fi gura 1.2d) estan distribuidos uniformemente sobre el area. Entonces la resultante de estos esfuerzos debe ser igual a la magnitud del esfuerzo por el area de la seccion transversal A de la barra, es decir, F = sA. Por tanto, obtenemos la expresion siguiente para la magnitud de los esfuerzos:


33

http://www.virtual.unal.edu.co/cursos/sedes/palmira/5000155/lecciones/lec1/1_7.htm#ELASTO

http://www.virtual.unal.edu.co/cursos/sedes/palmira/5000155/lecciones/lec1/1_7.htm#ESFUERZO

Física III

σ= FA

Cuando la barra es estirada por las fuerzas F, los esfuerzos son esfuerzos de tensión; si se invierte la direccion de las fuerzas, la barra se comprime y tenemos esfuerzos de compresión.

Puesto que los esfuerzos actúan en una dirección perpendicular a la superficie cortada, se denominan esfuerzos normales. Y, por tanto, los esfuerzos normales pueden ser de tension o de compresion. Mas adelante, en la seccion 1.6, analizaremos otro tipo de esfuerzo, denominado esfuerzo cortante, que actua paralelo a la superficie.

EJEMPLO 9. AAA

1.4.2. DEFORMACIÓN UNITARIA

Es una deformación relativa, tanto por uno de deformación, o es la variación relativa de la magnitud física que determina la deformación.

Todos los cuerpos tienen tres dimensiones, esto implica que la magnitud que determina la deformación tendrá 3d que implica un volumen. De modo que:

deformación (unitaria )=∆VV

, donde V es el volumen inicial, previo a la deformación, y es adimensional.

Cuando trabajemos con hilos o varillas podemos considerar que lo importante es la variación de longitud, asi si, por ejemplo, la varilla es estirada se tendrá una variación de longitud que conllevara a una variación de su volumen. Normalmente cuando tenemos un hilo al que le aplicamos una tracción, su longitud aumenta, pero el área disminuye, sin embargo el aumento de la longitud es mucho mayor que la disminución del área. Es decir se alarga más de lo que se estrecha (A0) despreciando esta variación de área. Podemos decir entonces que una variación de volumen equivale a una variación de longitud. Estudiaremos de la longitud, similarmente para los casos:

deformación (unidimensional )=∆ LL

deformación ( superficial )=∆ AA

deformación (volumétrica )= ∆VV

1.4.3. .

una propiedad o estado de la materia que se manifiesta por las acciones de atracción o repulsión sobre otros cuerpos. Estas acciones son mucho mas fuertes que las fuerzas gravitacionales.

La fuerza de atracción o repulsión entre dos cuerpos se origina por la existencia de dos tipos de carga: positiva y negativa. Cuerpos con carga del mismo signo se repelen y de signos contrarios se atraen.

2.1. PRACTICA N°2:

01. Un ciclista aplica una fuerza P de 70 N al freno de mano frontal de una bicicleta (P es la resultante de una presion distribuida uniformemente). Conforme el freno de mano gira en A, se desarrolla una tension T

en el cable con longitud de 460 mm (Ae = 1.075 mm2) que se estira en d = 0.214 mm. Determine el esfuerzo normal y la deformacion unitaria en el cable del freno.


34


02. Un tubo circular de aluminio con longitud L = 400 mm esta cargado en compresion por fuerzas P (consulte la fi gura). Los diametros interior y exterior son 60 mm y 50 mm, respectivamente. Se coloca un deformimetro en el exterior de la barra para medir las deformaciones unitarias normales en la di reccion longitudinal. (a) Si la deformacion unitaria es 550×10–6, .cual es el acortamiento d de la barra? (b) Si el esfuerzo de compresion en la barra se propone sea de 40 MPa, .cual debe ser la carga P?

03. Una puerta trasera de una camioneta soporta una caja (WC = 150 lb), como se muestra en la fi gura siguiente. La puerta pesa WT = 60 lb y está soportada por dos cables (sólo se muestra uno en la fi gura). Cada cable tiene un área transversal efectiva Ae = 0.017 in2).

(a) Encuentre la fuerza de tensión T y el esfuerzo normal s en cada cable.

(b) Si cada cable se estira d = 0.01 in debido al peso tanto de la caja como de la puerta, ¿cuál es la deformación unitaria promedio en el cable?

04. Resuelva el problema anterior si la masa de la puerta trasera es MT = 27 kg y la de la caja es MC = 68 kg. Utilice las dimensiones H = 305 mm, L = 406 mm, dC

= 460 mm y dT = 350 mm. El area transversal del cable es Ae = 11.0 mm2. (a) Encuentre la fuerza de tension T y el esfuerzo normal s en cada cable. (b) Si cada cable se estira d = 0.25 mm debido al peso tanto de la caja como de la puerta, .cual es la deformacion unitaria promedio en el cable?

05. Se prueban tres materiales diferentes, designados A, B y C, se ensayan en tension empleando muestras de ensayo que tienen


35

Física III

diametros de 0.505 in y longitudes calibradas de 2.0 in (consulte la fi gura). En la falla, se ve que las distancias entre las marcas de calibracion son 2.13, 2.48 y 2.78 in, respectivamente. Tambien, se observa que en la falla las secciones transversales de los diametros tienen 0.484, 0.398 y 0.253 in, respectivamente. Determine la elongacion porcentual y el porcentaje de reduccion en el area de cada muestra y luego, utilice su propio juicio e indique si cada material es fragil o ductil.

06. Una pelota de hule llena de aire tiene un diametro de 6 pulg. Si la presion del aire dentro de ella se aumenta hasta que el diametro de la pelota sea de 7 pulg, determine la deformacion unitaria normal promedio en el hule. (0.167in/in)

07. Se llevo a cabo una prueba de tension en una probeta de ensayo de acero que tenia un diametro original de 0.503 pulg y una longitud calibrada de 2.00 pulg. Los datos se muestran en la tabla. Trace el diagrama de esfuerzo-deformacion unitaria y determine aproximadamente el modulo de elasticidad, el esfuerzo ultimo y el esfuerzo de ruptura. Use una escala de 1 pulg = 15 klb/pulg2 y 1 pulg = 0.05 pulg/pulg. Dibuje de nuevo la region elástica lineal, usando la misma escala de esfuerzos, pero una escala de deformaciones unitarias de 1 pulg = 0.001 pulg. (Tabla 1) (Eaprox=26,2(103)ksi;u=73,00ksi; r=66,40ksi)

08. Se llevo a cabo una prueba de tension en una probeta de ensayo de acero que tenia un diametro original de 0.503 pulg y una longitud calibrada de 2.00 pulg. Con los datos proporcionados en la tabla, trace el diagrama de esfuerzo-deformacion unitaria y determine aproximadamente el modulo de tenacidad. (Tabla 1)

09. Se dan en la tabla los datos de un ensayo de esfuerzo-deformacion unitaria de un material ceramico. La curva es lineal entre el origen y el primer punto. Trace la curva y determine el modulo de elasticidad y el modulo de resiliencia. (Tabla 2)

10. Se llevo a cabo una prueba de tension en una probeta de ensayo de acero que tenia un diametro original de 0.503 pulg y una longitud calibrada de 2.00 pulg. Los datos se muestran en la tabla. Trace el diagrama de esfuerzo-deformacion unitaria y determine aproximadamente el modulo de elasticidad, el esfuerzo de fluencia, el esfuerzo ultimo y el esfuerzo de ruptura. Use una escala de 1 pulg = 20 klb/pulg2 y 1 pulg = 0.05 pulg/pulg. Dibuje de nuevo la region elastica, usando la misma escala de esfuerzos pero una escala de deformaciones unitarias de 1 pulg = 0.001 pulg/pulg.

11. Se da en la figura 1 el diagrama de esfuerzo-deformacion unitaria de una aleacion de acero con un diámetro original de 0.5 pulg y una longitud calibrada de 2 pulg. Determine aproximadamente el modulo de elasticidad del


36


material, la carga sobre el especimen que genera la fluencia y la carga ultima que el especimen soportara.

12. Se da en la figura 1 el diagrama de esfuerzo-deformacion unitaria de una aleacion de acero con un diámetro original de 0.5 pulg y una longitud calibrada de 2 pulg. Si el especimen se carga hasta que se alcanza en el un esfuerzo de 70 klb/pulg2, determine la cantidad aproximada de recuperacion elastica y el incremento en la longitud calibrada despues de que se descarga.

13. Se da en la figura 1 el diagrama de esfuerzo-deformacion unitaria de una aleacion de acero con un diámetro original de 0.5 pulg y una longitud calibrada de 2 pulg. Determine aproximadamente el modulo de resiliencia y el modulo de tenacidad para el material.

14. En la figura 2 se muestra el diagrama de esfuerzo deformación unitaria para una barra de acero. Determine aproximadamente el modulo de elasticidad, el limite de proporcionalidad, el esfuerzo ultimo y el modulo de resiliencia. Si la barra se carga hasta un esfuerzo de 450 MPa, determine la cantidad de deformacion unitaria elástica recuperable y la deformacion unitaria permanente en la barra cuando esta se descarga. (0,0735m permanente)

15. Se muestra en la figura el diagrama - para las fibras elásticas que forman la piel y musculos humanos. Determine el modulo de elasticidad de las fibras y estime sus modulos de tenacidad y de resiliencia.(19.25;11; E=5.5psi))

16. La fibra de vidrio tiene un diagrama de esfuerzo-deformacion unitaria como el mostrado. Si una barra de 50 mm de diametro y 2 m de longitud hecha de este material esta sometida a una carga axial de tension de 60 kN, determine su alargamiento.

17. El plástico acetal tiene un diagrama de esfuerzo-deformación unitaria como el mostrado. Si una


37

Física III

barra de este material tiene una longitud de 3 pies y un área transversal de 0.875 pulg2 y está sometido a una carga axial de 2.5 klb, determine su alargamiento.

18. Un especimen tiene originalmente 1 pie de longitud, un diametro de 0.5 pulg y esta sometido a una fuerza de 500 Ib. Cuando la fuerza se incrementa a 1800 Ib, el especimen se alarga 0.9 pulg. Determine el modulo de elasticidad del material si este permanece elastico. (88,3ksi)

19. Un miembro estructural de un reactor nuclear esta hecho de una aleacion de zirconio. Si debe soportar una carga axial de 4 klb, determine su area transversal requerida. Use un factor de seguridad de 3 con respecto a la fluencia. Cual es la carga sobre el miembro si este tiene 3 pies de longitud y su alargamiento es de 0.02 pulg? EZr = 14(103) klb/pulg2, y = 57.5 klb/pulg2. El material tiene comportamiento elastico.

20. El poste esta soportado por un pasador en C y por un alambre AB de acero A-36. Si el alambre tiene un diametro de 0.2 pulg, determine cuanto se alarga este cuando una fuerza horizontal de 2.5 klb actua sobre el poste.(0.014pies)

21. La barra DA es rigida y se mantiene originalmente en posicion horizontal cuando el peso W esta soportado en C. Si el peso ocasiona que B se desplace hacia abajo 0.025 pulg, determine la deformación unitaria en los

alambres DE y BC. Además, si los alambres estan hechos de acero A-36 y tienen un area transversal de 0.002 pulg2, determine el peso W.

22. Las dos barras estan hechas de poliestireno, que tiene el diagrama de esfuerzo-deformacion unitaria mostrado. Si el area transversal de la barra AB es de 1.5 pulg2 y el de la BC es de 4 pulg2, determine la fuerza P máxima que puede soportarse antes de que uno de los miembros se rompa. Suponga que no ocurre ningun pandeo.


38


23. Las dos barras estan hechas de poliestireno, que tiene el diagrama de esfuerzo-deformacion unitaria mostrado. Determine el area transversal de cada barra de manera que las barras se rompen simultaneamente cuando la carga P = 3 klb. Suponga que no se presenta ningún pandeo.

(0.8;0.2 in2)

24. El diagrama de esfuerzo-deformacion unitaria para una resina de poliestireno esta dado en la figura. Si la viga rigida esta soportada por un puntal AB y un poste CD, ambos hechos de este material, y sometida a una carga de P - 80 kN, determine el angulo de inclinacion de la viga cuando se aplica la carga. El diametro del puntal es de 40 mm y el diametro del poste es de 80 mm.

(25grados)

25. El diagrama de esfuerzo-deformacion unitaria para una resina poliesterica esta dado en la figura del problema anterior. Si la viga rigida esta soportada por un puntal AB y un poste CD, ambos hechos de este material, determine la carga P máxima que puede aplicarse a la viga antes de que falle. El diametro del puntal es de 12 mm y el diametro del poste es de 40 mm.

26. El tubo esta soportado por un pasador en C y un alambre AB de acero A-36. Si el alambre tiene un diámetro de 0.2 pulg. determine su alargamiento cuando una carga distribuida ce w = 100 lb/pie actua sobre la viga. El material permanece elastico.(0.7316pies)

27. En la fig. del problema anterior. El tubo está soportado por un pasador en C y un alambre AB de acero A-36. Si el alambre tiene un diámetro de 0.2 p.ulg, determine la carga w distribuida si el extremo B se desplaza 0.75 pulg hacia abajo.

28. Dos marcas de calibracion se colocan a una separacion exacta de 250 mm en una varilla de aluminio que tiene un diametro de 12 mm. Si se sabe que al aplicar una carga axial de 6 000 N


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Física III

sobre la varilla, la distancia entre las marcas de calibración es de 250.18 mm, determine el modulo de elasticidad del aluminio usado en la varilla.(73,682GPa)

29. Una varilla de poliestireno de 12 in. de longitud y 0.5 in. de diametro se somete a una carga de tension de 800 Ib. Si se sabe que E = 0.45 X 106

psi, determine a) la elongacion de la varilla, b) el esfuerzo normal en la varilla.(0.1088in;4081,63psi)y

30. Un alambre de acero de 60 m de largo se sujeta a una carga de tension de 6 kN. Si se sabe que E = 200 GPa y que la longitud del alambre aumenta 48 mm, determine a) el diametro minimo que puede seleccionarse para el alambre, b) el esfuerzo normal correspondiente.

31. Un alambre de acero de 28 ft de longitud y 0.25 in. de diametro sera empleado en un gancho. Se observa que el alambre se estira 0.45 in. cuando se le aplica una fuerza P de tension. Si se sabe que E =29 X 106 psi, determine a) la magnitud de la fuerza P, b) el esfuerzo normal correspondiente en el alambre.

32. Una varilla de poliestireno de 12 in. de longitud y 0.5 in. de diametro se somete a una carga de tension de 800 Ib. Si se sabe que E = 0.45 X 106

psi, determine a) la elongacion de la varilla, b) el esfuerzo normal en la varilla.(0.1086;4075psi)

33. Un alambre de acero de 60 m de largo se sujeta a una carga de tension de 6 kN. Si se sabe que E = 200 GPa y que la longitud del alambre aumenta 48 mm, determine a) el diametro minimo que puede seleccionarse para el alambre, b) el esfuerzo normal correspondiente.

34. Un alambre de acero de 28 ft de longitud y 0.25 in. de diametro sera empleado en un gancho. Se observa que el alambre se estira 0.45 in. cuando se le aplica una fuerza P de tension. Si se sabe que E = 29 X 106 psi, determine a) la magnitud de la fuerza P, b) el esfuerzo normal correspondiente en el alambre.(1903,125lb;38,839ksi)

35. Un tubo de hierro fundido se usa para soportar una carga de compresion. Si se sabe que E = 69 GPa y que el cambio permisible maximo en longitud es de 0.025%, determine a) el esfuerzo normal maximo en el tubo, b) el grosor de pared minimo para una carga de 7.2 kN si el diametro exterior del tubo es de 50 mm.

36. Una varilla de control de laton amarillo no debe estirarse mas de 3 mm cuando la tension en el alambre es de 4 kN. Si se sabe que E = 105 GPa y que el maximo esfuerzo normal permisible es de 180 MPa, determine a) el diametro minimo que puede seleccionarse para la varilla, b) la longitud maxima correspondiente para la varilla.

(1,74825m;5,32x10-3)


1 1 12 15 24 30 362 2 10 14 23 29 353 3 8 13 22 28 344 4 7 18 21 25 335 5 9 17 20 26 326 6 11 16 19 27 31


40


2.2. ESFUERZO PERMISIBLE

Un ingeniero a cargo del diseño de un miembro estructural o elemento mecánico debe restringir el esfuerzo en el material a un nivel que sea seguro.

Además, una estructura o maquina corrientemente en uso puede en ocasiones tener que ser analizada para ver que carga adicional pueden soportar sus miembros o partes. Así que nuevamente es necesario efectuar los cálculos usando un esfuerzo permisible o seguro.

Por ejemplo:

- La carga para la cual el miembro se diseña puede ser diferente de la carga real aplicada sobre el. Las medidas previstas para una estructura o maquina pueden no ser exactas debido a errores en la fabricación o en el montaje de las partes componentes.

- Pueden ocurrir vibraciones desconocidas, impacto o cargas accidentales que no se hayan tomado en cuenta durante el diseño.

- La corrosión atmosférica, el decaimiento o las condiciones ambientales tienden a que los materiales se deterioren durante el servicio.

- Finalmente, algunos materiales, como la madera, el concreto o los compuestos reforzados con fibras, pueden mostrar alta variabilidad en sus propiedades mecánicas.

Una manera de especificar la carga permisible para el diseño o análisis de un miembro es usar un número llamado factor de seguridad.


41

Física III

El factor de seguridad (FS) es la razón de la carga de falla, F falla, dividida entre la carga permisible, Fperm La Falla se determina por medio de ensayos experimentales del material y el factor de seguridad se selecciona con base en la experiencia, de manera que las incertidumbres mencionadas antes sean tomadas en cuenta cuando el miembro se use en condiciones similares de carga y simetría. Expresado matemáticamente,

FS=F falla

F permisible

Si la carga aplicada al miembro esta linealmente relacionada al esfuerzo desarrollado dentro del miembro, como en el caso de usar = P/A y prom = V/A, entonces podemos expresar el factor de seguridad como6,

FS=❑falla

❑permisible o FS=

❑falla

❑permisible o

Naturalmente, el factor de seguridad debe ser mayor que 1.0 para evitar falla. Dependiendo de las circunstancias, los factores de seguridad varian desde un poco mas que 1.0 hasta 10.

2.3. ESFUERZO PERMISIBLE7.8.9.

2.4. ESFUERZO PERMISIBLE

10. PRACTICA N°3:

6 En algunas capas, como en las columnas, la carga aplicada no esta relacionada linealmente a la tensión y por lo tanto solo la ecuacion original puede usarse para determinar el factor de seguridad.


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01. Una barra de acero de alta resistencia que se usa en una grua grande tiene un diametro d = 2.00 in (consulte la fi gura). El acero tiene un modulo de elasticidad E = 29 × 106 psi y una relacion de Poisson n = 0.29. Debido a requisitos de holgura, el diametro de la barra esta limitado a 2.001 in, cuando se comprime por fuerzas axiales. .Cual es la carga maxima de compresion Pmax permitida?

02. Una barra redonda de 10 mm de diametro esta hecha de una aleacion de aluminio 7075-T6 (consulte la fi gura). Cuando la barra se estira por fuerzas axiales P, su diámetro disminuye 0.016 mm. Determine la magnitud de la carga P. (Obtenga las propiedades del material del apéndice H.;E=10 400ksi;G=3900;v=0,33)

03. Una barra de polietileno tiene un diametro d1 = 4.0 in, y se coloca dentro de un tubo de acero que tiene un diámetro interior d2 = 4.01 in (consulte la fi gura). Luego la barra de polietileno se comprime por una fuerza axial P. .Cual es el valor de la fuerza P que hara que se cierre el espacio entre la barra de polietileno y el tubo de acero? (Para el polietileno suponga E = 200 ksi y = 0.4.)

04. Una barra prismatica con una seccion transversal circular se somete a fuerzas de tension P = 65 kN (consulte la fi gura). La barra tiene una longitud L = 1.75 m, un diámetro d = 32 mm y esta hecha de una aleacion de aluminio con un modulo de elasticidad E = 75 GPa y una relacion de Poisson = 1/3. Determine el incremento en la longitud de la barra y el decremento porcentual en el area de su seccion transversal.

05. Una barra de metal monel tiene una longitud L =9 in, un diametro d = 0.225 in, como se muestra en la fi gura anterior. La barra se somete a una carga axial mediante una fuerza de tension P. Si la barra se alarga en 0.0195 in, .cual es el decremento en su

diametro d? .Cual es la magnitud de la carga P? utilice los datos de la tabla H.2 del apendice H.

06. Se lleva a cabo un ensayo de tension en una probeta de bronce que tiene un diametro de 10 mm utilizando una longitud calibrada de 50 mm (consulte la fi gura). Cuando una carga de tension P alcanza un valor de 20 kN, la distancia entre las marcas de calibracion aumenta 0.122 mm. (a) .Cual es el modulo de elasticidad E del bronce? (b) Si el diametro disminuye 0.00830 mm, .cual es la relacion de Poisson?

07. Un tubo circular hueco de bronce ABC (consulte la figura) soporta una carga P1 = 26.5 kips que actua en su parte superior. Una segunda carga P2 = 22.0 kpis esta distribuida uniformemente alrededor de la placa de soporte en B. Los diámetros y espesores de las partes superior e inferior del tubo son dAB = 1.25 in, tAB = 0.5 in, dBC = 2.25 in y tBC = 0.375 in, respectivamente. El modulo de elasticidad es 14 000 ksi. Cuando se aplican las dos cargas, el espesor del tubo BC aumenta en 200 × 10 –6 in. (a) Determine el aumento en el diametro interior del segmento BC del tubo. (b) Determine la relacion de Poisson para el bronce. (c) Determine el aumento en el espesor de la pared del segmento AB del tubo y el aumento en el diametro interior del segmento AB.

08. En un ensayo estándar a tensión se somete una varilla de aluminio de 20mm de diámetro a una fuerza de tensión de P = 30 kN. Si = 0.35 y E = 70 GPa, determine a) la elongación de la varilla en una longitud calibrada de 150 mm, b) el cambio en el diametro de la varilla.


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Física III

(0,205; -0,00955m)09. Una varilla con 20 mm de diámetro, hecha de un

plástico experimental, se somete a una fuerza de tensión con una magnitud P = 6 kN. Puesto que se observa un alargamiento de 14 mm y una disminución en diámetro de 0.85 mm en una longitud calibrada de 150 mm, determine el módulo de elasticidad, el módulo de rigidez y la relación de Poisson para el material.(E=205MPa;G=70,3MPa)

10. Una carga de tensión de 600 Ib se aplica a una probeta elaborada con una placa plana de acero con 1/16 in. de grosor (E=29X106 psi y = 0.30). Determine el cambio resultante a) en la longitud calibrada de 2 in., b) en el ancho de la porción AB de la probeta, c) en el grosor de la porción AB, d) en el área de la sección transversal de la porción AB.

11. Un tramo de 6 ft de tubería de acero de 12 in. de diámetro exterior y ½ in. de espesor de pared se emplea como columna corta y lleva una carga axial céntrica de 300 kips. Si se sabe que E = 29 X 106 psi y v = 0.30, determine a) el cambio de longitud de la tuberia, b) el cambio en su diametro exterior, c) el cambio en su espesor de pared.

12. El cambio de diametro de un perno grande de acero se mide cuidadosamente mientras se aprieta la tuerca. Si se sabe que E = 200 GPa y v = 0.29, determine la fuerza interna en el perno, si se observa que el diametro disminuye en 13 um.

(422kN)13. A la varilla de aluminio AD se le ajusta una coraza

que se emplea para aplicar una presión hidrostática de 6 000 psi a la porción BC de 12 in. de la varilla. Si se sabe que E =10.1x106 psi y que =0.36, determine a) el cambio en la longitud total AD, b) el cambio en el diámetro del punto medio de la varilla.

(a) 5.13x10-3 in. b)-0.570x 10-3

in.)Esfuerzos cortantes y coeficiente de

poisson14. Un soporte elastomérico (G=0.9 MPa) se emplea para

apoyar una viga de un puente, como se muestra en la figura, para suministrar flexibilidad durante terremotos. La viga no debe desplazarse más de 10 mm cuando una carga lateral de 22 kN sea aplicada como se muestra en la figura. Si se sabe que el máximo esfuerzo cortante permisible es de 420 kPa, determine a) la dimensión b mínima permisible, b) el mínimo grosor a requerido.

a)262 mmb)21.4mm.

15. Para el apoyo elastomérico del problema anterior con b=220 mm y a =30 mm, determine el módulo de cortante G y el esfuerzo cortante para una carga lateral máxima P=19 kN y un desplazamiento máximo = 12 mm.(G= 1.080 MPa; =431 kPa.)

16. El diagrama esfuerzo de corte-deformacion para una aleación de acero se muestra en la figura. Si un perno que tiene un diámetro de 0.75 in está hecho de este material y usado en la junta de solapa doble,


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determine el módulo de elasticidad E y la fuerza P requerida para que el material se doble. Tome = 0.3.

P = 53.01 kip = 53.0 kip; E = 28.6(103) ksi17. La porción elástica del esfuerzo-

deformación unitaria para una aleación de aluminio se muestra en la figura. El espécimen destinado para la prueba tiene una longitud de calibre de 2 in y un diámetro de 0.5 in. Cuando la carga aplicada es 9 kip, el diámetro nuevo del espécimen es 0.49935 in. Compute el modulo de corte Gal para el aluminio.

4.31(103) ksi18. La porción elástica del esfuerzo-

deformación unitaria para una aleación de aluminio se muestra en la figura anterior. El espécimen destinado para la prueba tiene una longitud de calibre de 2 in y un diámetro de 0.5 in. Si se aplica una carga de 10 kip, determine en nuevo diámetro del espécimen. El modulo de corte Gal=3,8(103)ksi para el aluminio.

0.4989 in.19. Un pequeño bloque cilindrico de ALUMINIO

6061-T6, tiene un diámetro original de 20mm y longitud de 75mm , es ubicado en una máquina de compresión y estrujado hasta que la carga axial aplicada es de 5kN. Determine (a) el decrecimiento en su longitud y (b) su nuevo diámetro.

(- 0.0173 mm; 20.0016 mm)

20. La viga rígida descansa en posición horizontal sobre dos cilindros de aluminio 2014-T6 teniendo las longitudes mostradas cuando están sin carga. ¿Si cada cilindro tiene un diámetro de 30 mm, determina la colocación x de la carga aplicada de 80-kN a fin de que la viga permanezca horizontal. Cuált es el diámetro nuevo del cilindro A después de que la carga es aplicada?

(x = 1.53 m;d’Á= 30.008 mm)21. Un cilindro macizo de diámetro d soporta una carga

axial P. de mostrar que la variación en su diámetro es

4PυπEd

.

22. Un bloque rectangular de aluminio tiene 100mm de longitud según la dirección x, 75mm de ancho según la dirección y, y 50mm de grueso según la dirección z. está sometido a tres furzas según tres direcciones. Una fuerza de tensión uniformemente distribuida de 200Kn en la dirección x y fuerzas de compresión uniformmmente distribuidas de 160 y 220 kN según las direcciones y y z respectivamente. Si =1/3 y E=70GPa , determinar qué carga total uniformemente distribuida en la dirección produciría la misma deformación transversal en la dirección z que en las cargas dadas.

(Px=409,973kN)23. Un tambor cilíndrico de acero construido de placa

soldada de 10mm, tiene un diámetro interior de 1,20 m. calcular el aumento de diámetro bajo la acción de una presión interior de 1,5MPa. Suponga que la relación de poisson es de 1,30 y E=200GPa.

(0,003mm)24. Un tubo de acero de 50mm de diámetro y 2mm de

espesor encaja perfectamente y sin holgura en un orificio perfectamente rígido e indeformable. Determinar el esfuerzo circunferencial en el tubo cuando se la aplica una fuerza axial de compresión de 10kN. El coeficiente =0,30 y E=200 GN/m2. Despreciar las posibilidades de pandeo en las paredes del tubo. (1909,859kPa)

25. Un tubo de bronce de 150mm de longitud, cerrado en sus extremos, tiene 80mm de diámetro y 3mm de espesor. Se introduce sin holgura en un edificio de 80mm de diámetro realizado en un bloque absolutamente rígido e indeformable y se somete a una presión interior de 4 MN/m2. Con los valores de =1/3 y E=83000 MN/m2. Determinar el esfuerzo

circunferencial en el tubo. (24, 093Pa)

26. Un tubo de aluminio de 200mm de largo cerrado en sus extremos, tiene 100mm de diámetro y una pared de 2mm de espesor. Si el tubo cabe justamente entre dos paredes rígidas con presión interna nula, determine los esfuerzos longitudinal y tangencial para una presión interna de 4,00 MN/m2. Suponga que =1/3 y E=70(109)N/m2. (1,05 MN/m2.)

27. El cojincillo es fijado a la tierra y centro de gravedad G. Descansa sobre un cojincillo en A y un rodillo en B. El cojincillo es fijado a la tierra y tiene una altura comprimida de


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Física III

30 mm, una anchura de 140 mm, y una longitud de 150 mm. Si el coeficiente de fricción estática entre el cojincillo y la piedra es 0,8 determina el desplazamiento horizontal aproximado de la piedra, causada por las tensiones de esfuerzo al corte en el cojincillo, antes de que la piedra comience a resbalarse. Asuma la fuerza normal en A actúa 1.5 m de G como se muestra.E = 4 MPa and n = 0.35.

h = 3.02 mm28. Una almohadilla de soporte elastomerico que consiste

de dos placas de acero unidas a un elastomero cloropreno (un caucho artificial) se somete a una fuerza cortante V durante una prueba de carga estatica (consulte la figura). Las dimensiones de la almohadilla son a = 125 mm y b = 240 mm y el elastomero tiene un espesor t = 50 mm. Cuando la fuerza V es igual a 12 kN, la placa superior se desplaza lateralmente 8.0 mm con respecto a la placa inferior. .Cual es el modulo de elasticidad G en cortante del cloropreno? (G=2.5 MPa)

G=2.5 MPa29. Una junta entre dos losas de concreto A y B se rellena

con un epoxico fl exible que se une con fi rmeza al concreto (consulte la fi gura). La altura de la junta es h=4.0 in, su longitud es L = 40 in y su espesor es t = 0.5 in. Ante la accion de fuerzas cortantes V, las losas se desplazan verticalmente una distancia d = 0.002 in una respecto de la otra. (a) .Cual es la deformacion unitaria promedio gprom en el epoxico? (b) .Cual es la magnitud de las fuerzas V si el modulo de elasticidad G en cortante para el epoxico es 140 ksi? ((a) prom=0.004; (b) V=89.6 k)

30. Una conexión flexible que consiste de placas de caucho (espesor t = 9 mm) unidas a las placas de acero se muestra en la fi gura. Las placas tienen 160 mm de largo y 80 mm de ancho. (a) Encuentre la deformación unitaria normal prom en el caucho si la fuerza P = 16 kN y el módulo en cortante para el caucho es G = 1250 kPa. (b) Encuentre el desplazamiento horizontal relativo d entre la placa interior y las placas exteriores.( (a) prom 0.50; (b) 4.50 mm)


1 1 9 15 18 23 302 2 7 13 16 24 283 3 6 12 20 22 274 4 8 11 17 25 295 5 10 14 19 21 266 2 6 11 19 25 27


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Física III


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31. Una barra solida con sección transversal circular esta cargada en tensión por fuerzas P (consulte la fi gura). La barra tiene una longitud L = 16.0 in y un diámetro d=0.50 in. El material es una aleación de magnesio que tiene un módulo de elasticidad E = 6.4 × 106 psi. El esfuerzo permisible en tensión es sperm = 17,000 psi y la elongacion de la barra no debe rebasar 0.04 in. .Cual es el valor permisible de las fuerzas P?

Esfuerzos permisibles

01.


1 1 12 15 24 30 362 2 10 14 23 29 353 3 8 13 22 28 344 4 7 18 21 25 335 5 9 17 20 26 326 6 11 16 19 27 31


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Física III

2.5. ESFUERZO DE DISEÑO

Un ingeniero a cargo del diseño de un miembro estructural o elemento mecánico debe restringir el esfuerzo en el material a un nivel que sea seguro.

Además, una estructura o maquina corrientemente en uso puede en ocasiones tener que ser analizada para ver que carga adicional pueden soportar sus miembros o partes. Así que nuevamente es necesario efectuar los cálculos usando un esfuerzo permisible o seguro.

Por ejemplo:

- La carga para la cual el miembro se diseña puede ser diferente de la carga real aplicada sobre el. Las medidas previstas para una estructura o maquina pueden no ser exactas debido a errores en la fabricación o en el montaje de las partes componentes.

- Pueden ocurrir vibraciones desconocidas, impacto o cargas accidentales que no se hayan tomado en cuenta durante el diseño.

- La corrosión atmosférica, el decaimiento o las condiciones ambientales tienden a que los materiales se deterioren durante el servicio.

- Finalmente, algunos materiales, como la madera, el concreto o los compuestos reforzados con fibras, pueden mostrar alta variabilidad en sus propiedades mecánicas.

Una manera de especificar la carga permisible para el diseño o análisis de un miembro es usar un número llamado factor de seguridad.

El factor de seguridad (FS) es la razón de la carga de falla, F falla, dividida entre la carga permisible, Fperm La Falla se determina por medio de ensayos experimentales del material y el factor de seguridad se selecciona con base en la experiencia, de manera que las incertidumbres mencionadas antes sean tomadas en cuenta cuando el miembro se use en condiciones similares de carga y simetría. Expresado matemáticamente,

FS=F falla

F permi sible

Si la carga aplicada al miembro esta linealmente relacionada al esfuerzo desarrollado dentro del miembro, como en el caso de usar = P/A y prom = V/A, entonces podemos expresar el factor de seguridad como7,

FS=❑falla

❑permi sible o FS=

❑falla

❑permisible o

Naturalmente, el factor de seguridad debe ser mayor que 1.0 para evitar falla. Dependiendo de las circunstancias, los factores de seguridad varian desde un poco mas que 1.0 hasta 10.

11. PRACTICA N°4

1. Un aro de acero ABCD de 1.2 m de largo y 10 mm de diámetro se coloca alrededor de una varilla de aluminio AC de

24 mm de diámetro como se muestra en la figura. Los cables BE y DF, cada uno de 12 mm de diámetro, se utilizan para

7 En algunas capas, como en las columnas, la carga aplicada no esta relacionada linealmente a la tensión y por lo tanto solo la ecuacion original puede usarse para determinaXr el factor de seguridad.


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aplicar la carga Q. Si se sabe que la resistencia última del acero empleado para el aro y los cables es de 480 MPa, y que la resistencia última del aluminio usado para la varilla es de 260 MPa, determine la máxima carga Q que puede aplicarse si se desea obtener un factor de seguridad global de 3. (Rpta:15,08kN)

2. El elemento ABC, soportado por un pasador y una ménsula en C y un cable BD, se diseñó para soportar una carga P de 16 kN como se muestra en la figura. Si se sabe que la carga última para el cable BD es de 100 kN, determine el factor de seguridad respecto a la falla del cable. (Rpta:3,45)

3. De la figura anterior. Si se sabe que la carga última para el cable BD es de 100 kN y que se requiere un factor de seguridad de 3.2 respecto a la falla del cable, determine la magnitud de la máxima fuerza P que puede aplicarse con seguridad al elemento ABC que se muestra en la figura. (Rpta:1,732kN)

4. El eslabón horizontal BC tiene ¼ in. de grosor y un ancho w=1.25 in., está fabricado de acero con una resistencia última a la tensión de 65 ksi. ¿Cuál es el factor de seguridad si la estructura mostrada se diseñó para soportar una carga P=10 kips? (Rpta:2,34)

5. En la figura anterior. El eslabón horizontal BC tiene ¼ in. de grosor y es de un acero con una resistencia última a la tensión de 65 ksi. ¿Cuál debe ser su ancho w si la estructura mostrada se diseñó para soportar una carga P=8 kips con un factor de seguridad igual a 3? (Rpta:30,8mm)

6. El eslabón AB debe fabricarse con un acero cuya resistencia última a la tensión sea de 450 MPa. Determine el área de la sección transversal de AB para la cual el factor de seguridad es de 3.50. Suponga que el eslabón se reforzará de manera adecuada alrededor de los pasadores en A y B. (Rpta:168,1mm2).

7. Dos duelas de madera, cada una de 22 mm de grosor y 160 mm de ancho, están unidas por el ensamble pegado de mortaja que se muestra en la figura. Si se sabe que la junta fallará cuando el esfuerzo cortante promedio en el pegamento alcance los 820 kPa, determine la longitud mínima permisible d de los cortes si la junta debe soportar una carga axial con P= 7.6 kN de magnitud. (Rpta:60,2mm).

8. Tres pernos de acero de 18 mm de diámetro se utilizarán para unir la placa de acero a una viga de madera, como se muestra en la figura. Si se sabe que la placa puede soportar una carga de 110 kN y que el esfuerzo cortante último para el acero utilizado es de 360 MPa, determine el factor de seguridad para este diseño (Rpta:2,50).


51

Física III

9. En la figura anterior. Tres pernos de acero serán utilizados para unir la placa de acero con una viga de madera, como se muestra en la figura. Si se sabe que la placa puede soportar una carga de 110 kN, que el esfuerzo cortante último para el acero utilizado es de 360 MPa y que se desea un factor de seguridad de 3.35, determine el diámetro requerido para los pernos.(Rpta:20.8mm)

10. Un amarre en la cubierta de un bote de vela consiste de una barra doblada conectada por pernos en sus dos extremos, como se muestra en la fi gura. El diametro dB de la barra es ¼ in, el diametro dW de las arandelas es 7/8 in y el espesor t de la cubierta de fi bra de vidrio es 3/8 in. Si el esfuerzo cortante permisible en la fi bra de vidrio es 300 psi y la presion de soporte permisible entre la arandela y la fibra de vidrio es 550 psi, .cual es la carga permisible P perm en el amarre?

Pperm 607 lb

11. Dos tubos de acero unidos en B mediante cuatro pasadores (dp = 11 mm), como se muestra en la seccion transversal a-a en la fi gura. Los diametros exteriores de los tubos son dAB = 40 mm y dBC = 28 mm. Los espesores de las paredes son tAB = 6 mm y tBC = 7 mm. El esfuerzo de esfuerzo de fl uencia en tension para el acero es Y = 200 MPa y el esfuerzo ultimo en tension es U = 340 MPa. Los valores correspondientes de esfuerzo de fluencia y ultimo en cortante para el pasador son 80 MPa y 140 MPa, respectivamente. Por ultimo, los valores de esfuerzo de fl uencia y ultimo en soporte entre los pasadores y los tubos son 260 MPa y 450 MPa, respectivamente. Suponga que los factores de seguridad con respecto al esfuerzo de fluencia y al esfuerzo ultimo son 4 y 5, respectivamente. (a) Calcule la fuerza de tension permisible Pperm considerando la tension en los tubos. (b) Vuelva a calcular Pperm

para cortante en los pasadores. (c) Por ultimo, vuelva a calcular Pperm para soporte entre los

pasadores y los tubos. .Cual es el valor de control de P?

(a)Tubo BC (_uencia) Pa =11 kN(b)Pa

(_uencia)=7.6kN (c) Tubo AB (_uencia): Pa=17.2 kN

12. Una plataforma de acero que soporta maquinaria pesada se apoya sobre cuatro tubos cortos, huecos, de fundición gris (consulte la fi gura). La resistencia ultima del hierro colado en compresion es 50 ksi. El diametro exterior de los tubos es d = 4.5 in y su espesor de pared es t = 0.40 in. Utilice un factor de seguridad de 3.5 con respecto a la resistencia ultima, para determinar la carga total P que puede soportar la plataforma.(Rpta: 294 k)

13. La berlinga de un barco esta conectada a la base de un mastil mediante una conexion con pasador (consulte la fi gura). La berlinga es un tubo de acero con un diametro exterior d2 = 3.5 in y un diametro interior d1 = 2.8 in. El pasador de acero tiene un diametro d = 1 in y las dos placas que conectan a la berlinga al pasador tienen un espesor t = 0.5 in. Los esfuerzos permisibles son los siguientes: esfuerzo de compresión en la berlinga, 10 ksi; esfuerzo cortante en el pasador, 6.5 ksi y esfuerzo de soporte entre el pasador y las placas de conexion, 16 ksi. Determine la fuerza de compresion permisible Pperm en la berlinga.( Pa 10.21 kips)


52


14. .Cual es el valor maximo posible de la fuerza de sujeción C en las quijadas de las pinzas que se muestran en la figura si el esfuerzo cortante ultimo en el pasador con diámetro de 5 mm es 340 MPa? .Cual es el valor maximo permisible de la carga aplicada P si se debe mantener un factor de seguridad de 3.0 con respecto a la falla del pasador?(Cúlt =5739 N; Pmáx= 445 N)

15. Una viga horizontal AB con dimensiones de su sección transversal [b = 0.75 in] × (h = 8.0 in) esta soportada por un puntal inclinado CD y soporta una carga P = 2700 lb en B [consulte la parte (a) de la fi gura]. El puntal, que consiste de dos barras cada una con un espesor 5b/8, esta conectado a la viga por un perno que pasa por las tres barras que se unen en C [consulte la parte (b) de la fi gura]. (a) Si el esfuerzo cortante permisible en el perno es 13,000 psi, .cual es el diametro minimo necesario dmin del perno en C? (b) Si el esfuerzo de soporte permisible en el perno es 19,000 psi, .cual es el diametro minimo necesario dmin

del perno en C?

(a) dmín 0.704 in; (b) dmín 0.568 in16. Las fuerzas P1 = 1500 lb y P2 = 2500 lb se

aplican en el nodo C de la armadura plana ABC que se muestra en la parte (a) de la fi gura. El elemento AC tiene un espesor tAC = 5/16 in y el elemento AB esta compuesto de dos barras, cada una con espesor tAB/2 = 3/16 in [consulte la parte (b) de la fi gura]. No tome en cuenta el efecto de las dos placas que forman el soporte del pasador en A. Si el esfuerzo cortante permisible en el pasador es 12,000 psi y el esfuerzo de soporte permisible en el pasador es 20,000 psi, .cual es el diametro minimo necesario dmin del pasador?(0,651in)

17. Un sistema de cable y polea en D se utiliza para poner en posicion vertical un poste (ACB) de 230 kg, como se muestra en la parte (a) de la fi gura. El cable tiene una fuerza de tension T y esta conectado en C. La longitud L del poste es 6.0 m, su diametro exterior es d = 140 mm y el espesor de su pared es t = 12 mm. El poste gira con respecto a un pasador en A como se muestra en la parte (b) de la fi gura. El esfuerzo cortante permisible en el pasador es 60 MPa y el esfuerzo de soporte permisible es 90 MPa. Encuentre el diametro minimo del pasador en A para soportar el peso del poste en la posicion que se muestra en la parte (a) de la fi gura. (R:dmin=5,59mm)


53

Física III

18. En la parte (a) de la fi gura se muestra el arriostramiento lateral para un corredor peatonal. El espesor de la placa de la horquilla es tc = 16 mm y el espesor de la placa de unión es tg = 20 mm [consulte la parte (b) de la fi gura]. La fuerza maxima en el arriostramiento diagonal se espera que sea F = 190 kN. Si el esfuerzo cortante permisible en el pasador es de 90 MPa y el esfuerzo de soporte permisible entre el pasador y las placas de la horquilla y de union es 150 MPa, .cual es el diametro minimo necesario dmin del pasador?(R:dmín= 63.3 mm)

19. Un tubo cuadrado de acero con longitud L = 20 ft y ancho b2 = 10.0 in se eleva por una grua (consulte la fi gura). El tubo cuelga de un pasador con diametro d que esta sostenido por los cables en los puntos A y B. La seccion transversal es un cuadrado hueco con dimension interna b1 = 8.5 in y dimensión externa b2 = 10.0 in. El esfuerzo cortante permisible en el pasador es 8700 psi y el esfuerzo de soporte permisible entre el pasador y el tubo es 13,000 psi. Determine el diametro minimo del pasador a fin de soportar el peso del tubo. (Nota: no tenga en cuenta las esquinas redondeadas del tubo cuando calcule su peso).

(dmín 0.372 in)

20. Un cilindro circular presurizado tiene una placa de cubierta sujetada con pernos de acero (consulte la fi gura). La presion p del gas en el cilindro es 290 psi, el diametro interior D del cilindro es 10.0 in y el diametro dB del perno es 0.50 in. Si el esfuerzo de tension permisible en los pernos es 10,000 psi, encuentre el numero n de pernos necesarios para sujetar la cubierta.

(12pernos)

21. Un poste tubular con diametro exterior d2 esta sujeto mediante dos cables dispuestos con tensores de tornillo (consulte la fi gura). Los cables se estiran girando los tensores de tornillo, produciendo asi tension en los cables y compresión en el poste. Los dos cables se tensan con una fuerza de 110 kN. El angulo entre los cables y el suelo es 60° y el esfuerzo de compresion permisible en el poste es sc = 35 MPa. Si el espesor de la pared del poste es 15 mm, .cual es el valor minimo permisible del diametro exterior d2?


54


(d2)mín 131 mm

22. Una columna de acero de sección circular hueca se soporta sobre una placa de base circular y un pedestal de concreto (consulte la fi gura). La columna tiene un diámetro exterior d = 250 mm y soporta una carga P = 750 kN. (a) Si el esfuerzo permisible en la columna es 55 MPa, .cual es el espesor minimo necesario t? Con base en su resultado, seleccione un espesor para la columna. (Elija un espesor que sea un entero par, tal como 10, 12, 14,..., en unidades de milimetros). (b) Si el esfuerzo de soporte permisible sobre el pedestal de concreto es 11.5 MPa, .cual es el diametro

minimo necesario D de la placa de base si se diseña para la carga permisible Pperm que la columna con el espesor seleccionado puede soportar?

(a) tmín 18.8 mm, utilice t 20 mm; (b) Dmín 297 mm

GRUPO E1 E2 E3 E4 E5 OPC123456

12.13.14.15.16.17.18.19.20.21.22.23.24.25.26.27.28.29.


55

Física III

30.31.

2.6. SISTEMAS ESTATICAMENTE INDETERMINADOS32.

2.7. PROBLEMAS QUE INVOLUCRAN CAMBIOS DE TEMPERATURA33.34.35.36.37.38.39.40.41.42.43.44.45.46.47.48.49.50.51.52.53.54.55.56.57.58.59.60.61.62.63.64.65.


56


66.67. PRACTICA N°5

1. En el ensamble que se muestra en la figura se aplican por medio de placas rígidas fuerzas céntricas de compresión de 40 kips en ambos extremos. Si se sabe que Eac = 29 X 106 psi y Eal = 10.1 x 106 psi, determine a) los esfuerzos normales en el núcleo de acero y en la coraza de aluminio, b) la deformación del ensamble.

ac=-116.3 MPa; aL=-40.7 MPa.2. El poste de concreto de 1.5 m esta reforzado con seis barras

de acero, una con un diametro de 28 mm. Si se sabe que Ea= 200 GPa y Ec=25GPa. Determine los esfuerzos normales en el acero y en el concreto cuando se aplica al Poste una carga centrica axial P de 1550 kN.

67,1MPa; 8,38MPa3. Para el poste del problema anterior, determine la carga

céntrica máxima que puede aplicarse si el esfuerzo normal permisible es de 160 MPa en el acero y 18 MPa en el concreto. (P=3330 kN)

4. Tres varillas de acero (E=200 GPa) soportan una carga P de 36 kN. Cada una de las varillas AB y CD tiene un área de sección transversal de 200 mm2 y la varilla EF tiene un área de sección transversal de 625 mm2. Despreciando la deformación de la varilla BED determine a) el cambio de longitud en la varilla EF y b) el esfuerzo en cada varilla.

0.0762mm;38.1MPa5. Se emplean tres alambres para suspender la placa que se

muestra en la figura. Se utilizan alambres de aluminio en A y en B con un diámetro de 1/8 in. y se usa alambre de acero en

C con un diámetro de 1/12 in. Si se sabe que el esfuerzo permisible para el aluminio (E=10.4x106 psi) es de 14 ksi y que el esfuerzo permisible para el acero (E=29x106 psi) es de 18 ksi, determine la máxima carga P que puede aplicarse.

707,6N6. Dos varillas cilíndricas, una de acero y la otra de latón se

unen en C y están restringidas por soportes rígidos en A y en E. Para la carga mostrada y sabiendo que Ea = 200 GPa y EL=105 GPa, determine a) las reacciones en A y en E, b) la deflexión del punto C.

RA=62.8kN;RE=37.2kN;C=46.3um7. Retome el problema anterior, y ahora suponga que la varilla

AC está hecha de latón y que la varilla CE está hecha de acero.RA=45.5kN;RE=54.5kN;C=48.8um

8. Un tubo de acero (E= 29x106 psi) con diámetro exterior de 1¼in. Y un espesor de pared de 1/8 in. se coloca en una prensa que se ajusta de tal manera que sus quijadas apenas toquen los extremos del tubo sin ejercer presión sobre ellos. Luego, las dos fuerzas mostradas se aplican sobre el tubo. Después de la aplicación de estas fuerzas, la prensa se ajusta para disminuir la distancia entre sus quijadas en 0.008 in. Determine a) las fuerzas ejercidas por la prensa sobre el tubo en A y en D, b) el cambio de longitud en la porción BC del tubo.

RA=58.6kN;RD=50.6kN;BC=39.2x10-3 mm9. La columna de acero A-36, que tiene un área transversal de

18 pulg2, esta embebida en concreto de alta resistencia como se muestra. Si se aplica una carga axial de 60 klb a la columna, determine el esfuerzo de compresion promedio en el concreto y en el acero. .Cuanto se acorta la columna? La columna tiene una altura original de 8 pies.


57

Física III

10. La columna de acero A-36 esta embebida en concreto de alta resistencia como se muestra en la figura de arriba. Si se aplica una carga axial de 60 klb a la columna. determine el area requerida de acero de manera que la fuerza sea compartida igualmente entre el acero y el concreto. .Cuanto se acorta la columna? La columna tiene una altura original de 8 pies.(18.2in2;0.00545in).

11. Un tubo de acero esta lleno de concreto y sometido a una fuerza de compresion de 80 kN. Determine el esfuerzo en el concreto y en el acero debido a esta carga. El tubo tiene un diametro exterior de 80 mm y un diámetro interior de 70 mm. Eac = 200 GPa. Ec = 24 GPa.

48,8MPa;5.85 MPa12. Una columna de concreto esta reforzada por medio de cuatro

varillas de acero de refuerzo, cada una de 18 mm de diametro. Determine el esfuerzo en el concreto y en el acero si la columna esta sometida a una carga axial de 800 kN. Eac = 200 GPa, Ec = 25 GPa. (R:65.9MPa; 8.24MPa)

13. La columna esta construida con concreto de alta resistencia y cuatro varillas de refuerzo de acero A-36. Si esta sometida a una fuerza axial de 800 kN. determine el diametro requerido de cada varilla para que una cuarta parte de la carga sea soportada por el acero y tres cuartas partes por el concreto. Eac = 200 GPa, Ec = 25 GPa. (R:33.9mm)

14. El tubo de acero A-36 tiene un radio exterior de 20 mm y un radio interior de 15 mm. Si entra justamente entre las paredes fijas antes de ser cargado, determine la reaccion en las paredes cuando se somete a la carga mostrada.

Fc=4.80kN;FA=11.2kN

15. La barra compuesta consiste en un segmento AB de acero A-36 de 20 mm de diametro y de segmentos extremos DA y CB de bronce C83400 de 50 mm de diametro. Determine el esfuerzo normal promedio en cada segmento debido a la carga aplicada. AD=55 MPa; AB=134 MPa. BC=80.4 MPa.

16. La barra compuesta consiste en un segmento AB de acero A-36 de 20 mm de diametro y de segmentos extremos DA y CB de bronce C83400 de 50 mm de diametro. Determine el desplazamiento de A respecto a B debido a la carga aplicada.

A/B=0.335mm

EFECTOS TERMICOS17. Una varilla que consiste en dos porciones cilíndricas AB y BC

está restringida en ambos extremos. La porción AB es de acero (Ea=200 GPa, αa= 11.7X10-6/°C), y la porción BC está hecha de latón (EL=105 GPa, αL=20.9X10-6/°C). Si se sabe que la varilla se encuentra inicialmente sin esfuerzos, determine la fuerza de compresión inducida en ABC cuando la temperatura se eleva 50°C.

142,6kN18. Una vía de acero para ferrocarril (Ea=29x106 psi,αa=6.5x10-

6/°F) fue tendida a una temperatura de 30°F. Determine el esfuerzo normal en los rieles cuando la temperatura alcance 125°F, si los rieles a) están soldados para formar una vía continua, b) tienen 39 ft de longitud con separaciones de 1/4in. entre ellos. (-124MPa;-24MPa)

19. Una varilla de dos porciones cilíndricas AB y BC está restringida en ambos extremos. La porción AB es de latón (EL=15x106 psi, αL=11.6x10-6/°F) y la porción BC es de acero (Ea=29x106 psi, αa=6.5x10-6/°F). Si se sabe que la varilla está inicialmente sin esfuerzos, determine a) los esfuerzos normales inducidos en las porciones AB y BC por una elevación de temperatura de 90°F, b) la deflexión correspondiente del punto B.


58


20. Retome el problema anterior, y ahora suponga que la porción AB de la varilla compuesta está hecha de acero y que la porción BC es de latón.

21. Dos barras de acero (Ea=200 GPa, αa=11.7x10-6/°C) se emplean para reforzar una barra de latón (EL=105 GPa, αL=20.9x10-6/°C) que está sujeta a una carga P=25 kN. Cuando se fabricaron las barras de acero, la distancia entre los centros de los agujeros que debían ajustarse a los pasadores se redujo 0.5 mm en relación con los 2 m que se necesitaban. Por ello las barras de acero se colocaron en un horno para aumentar su longitud, con el fin de que se ajustaran a los pasadores. Después de este proceso, la temperatura de las barras de acero se redujo a la temperatura ambiente. Determine a) el incremento en la temperatura que hizo posible que la barra de acero se ajustara a los pasadores, b) el esfuerzo en la barra de latón después de aplicar la carga sobre ella.

21.4°C;3.68MPa22. Determine la carga máxima P que puede aplicarse a la barra

del problema anterior2.55, si el esfuerzo permisible en las barras de acero es de 30 MPa y el esfuerzo permisible en la barra de latón es de 25 MPa. (5.70MPa).

23. Tres barras hechas cada una de material diferente estan conectadas entre si y situadas entre dos muros cuando la temperatura es T1 = 12 °C. Determine la fuerza ejercida sobre los soportes (rigidos) cuando la temperatura es T2 = 18 °C. Las propiedades del material y el area de la seccion transversal de cada barra estan dadas en la figura.

4.20kN24. La barra compuesta tiene los diametros y materiales

indicados. Esta sostenida entre los soportes fijos cuando la temperatura es T1 = 70 °F. Determine el esfuerzo normal promedio en cada material cuando la temperatura es de T2 = 110 °F.

2,46ksi;5,52ksi;22,1ksi.25. El cilindro de 50 mm de diametro esta hecho de magnesio Am

1004-T61 y se coloca en la prensa cuando la temperatura es T1 = 2 0 °C. Si los pernos de acero inoxidable 304 de la prensa tienen cada uno un diametro de 10 mm y apenas aprietan al cilindro con fuerza despreciable contra los cabezales rigidos, determine la fuerza en el cilindro cuando la temperatura se eleva a T2 = 130 °C. (904N)

26. El cilindro de diametro de 50 mm de diametro esta hecho de magnesio Am 1004-T61 y se coloca en la prensa cuando la temperatura es T1 = 15 °C. Si los pernos de acero inoxidable 304 de !a prensa tienen cada uno un diámetro de 10 mm y apenas aprietan al cilindro con fuerza despreciable contra los cabezales rigidos, determine la temperatura a la que el esfuerzo normal promedio en el aluminio o en el acero resulta ser de 12 MPa.(244 °C)

27. El conjunto consiste en un cilindro de aluminio 2014-T6 con diametro exterior de 200 mm y diametro interior de 150 mm junto con un cilindro concentrico solido interior de magnesio Am 1004-T61 con diametro de 125 mm. Si la fuerza de agarre en los pernos AB y CD es de 4 kN cuando la temperatura es T1 = 16 °C, determine la fuerza en los pernos cuando la temperatura sube a T2 = 48 °C. Suponga que los pernos y los cabezales son rigidos. (598kN)

28. Una barra rigida con peso W = 750 lb cuelga de tres alambres igualmente espaciados, dos de acero y uno de aluminio (consulte la figura). El diametro de los alambres es 1/8 in. Antes de aplicar la carga los tres alambres tenian la misma longitud. Que aumento de temperatura ΔT en los tres alambres dara como resultado que toda la carga la soporten los alambres de acero? (Suponga Es = 30 × 106 psi, s = 6.5×10–6/°F y a = 12× 10–6/°F.) (R:185°F)


59

Física III

29. Una barra de acero de 15 mm de diametro se sostiene firmemente (pero sin esfuerzos iniciales) entre dos muros rigidos por la configuracion que se muestra en la figura. (Para la barra de acero utilice = 12 × 10–6/°C y E = 200 GPa.) (a) Calcule la caida de temperatura ΔT (grados Celsius) a la cual el esfuerzo cortante promedio en el perno de 12 mm de diametro es 45 MPa. (b) .Cuales son los esfuerzos de soporte promedio en el perno y la horquilla en A y la arandela (dw = 20 mm) y el muro (t = 18 mm) en B?

30. Barras rectangulares de cobre y aluminio se sostienen por pasadores en sus extremos, como se muestra en la figura. Espaciadores delgados proporcionan una separacion entre las barras. Las barras de cobre tienen dimensiones transversales 0.5 in × 2.0 in y la barra de aluminio tiene dimensiones 1.0 in × 2.0 in. Determine el esfuerzo cortante en los pasadores de 7/16 in de diametro si la temperatura se aumenta en 100°F. (Para el cobre, Ec = 18 000 ksi y c = 9.5×10–6/°F; para el aluminio, Ea = 10 000 ksi y a = 13 × 106/°F).

(=15.0 ksi)31. Una barra rigida ABCD esta articulada en el extremo A y

soportada por dos cables en los puntos B y C (consulte la figura). El cable en B tiene un diametro nominal dB = 12 mm y el cable en C tiene un diametro nominal dC = 20 mm. Una carga P actua en el extremo D de la barra. .Cual es la carga permisible P si la temperatura aumenta en 60°C y se requiere que cada cable tenga un factor de seguridad de al menos 5 contra su carga ultima? (Nota: los cables tienen modulos de elasticidad efectivos E = 140 GPa y el coeficiente de dilatacion termica = 12×10–6/°C. Otras propiedades de los cables se encuentran en la tabla 2.1 de la seccion 2.2.)

Pperm =39.5 kN

32. Un marco triangular rígido está articulado en C y se sostiene por dos alambres idénticos en los puntos A y B (consulte la figura). Cada alambre tiene una rigidez axial EA = 120 k y un coeficiente de dilatación térmica = 12.5 × 10–6/°F. (a) Si una carga vertical P = 500 lb actúa en el punto D, ¿cuáles son las fuerzas de tensión TA y TB en los alambres A y B, respectivamente? (b) Si mientras actúa la carga P se aumenta la temperatura de los dos alambres en 180°F, ¿cuáles son las fuerzas TA y TB? (c) ¿Qué aumento adicional en la temperatura ocasionará que el alambre B se afloje?


60


GRUPO E1 E2 E3 E4 E5 OPC1 1 27 302 3 25 283 5 23 324 7 21 305 9 19 316 11 17 267 12 15 228 10 14 299 8 13 3110 6 16 3211 4 18 2212 2 20 29


61

Física III

3. TORSION68.

3.1. INTRODUCCIÓN

Torsión se refiere a la carga de un miembro que tiende a hacerlo girar o torcerlo. Semejante carga se llama par de torsión, momento torsional, par de torsión o par. Cuando se aplica un par de torsión a un miembro se desarrolla un esfuerzo cortante en su interior y se crea una deformación torsional; el resultado es un ángulo de torsión de un extremo del miembro con respecto al otro.

Torsion se refiere al torcimiento de una barra recta al ser cargada por momentos (o pares de torsion) que tienden a producir rotacion con respecto al eje longitudinal de la barra. Por ejemplo, cuando usted gira un destornillador (figura 3.1a), su mano aplica un par de torsion T al mango (figura 3.1b) y tuerce el vastago del destornillador. Otros ejemplos de barras en torsion son los ejes de impulsion en automoviles, ejes de transmision, ejes de helices, barras de direccion y brocas de taladros.

3.2. ANALISIS DE LA TORSION

Vamos a suponer una barra prismática sólida de sección circular con su eje que pasa por el eje x y que es sometida a torsión.

Convensiones de signos: consideramos positivos los momentos torsores que salen de la sección transversal, según la regla de l mano derecha, y negativos a dichos vectores que ingresan a la sección transversal de la pieza.

Además tomaremos como referencia las hipótesis de coulomb:

1) "las secciones transversales circulares de una pieza permanecen planas durante la torsión, girando como un todo rígido alrededor del eje normal a la sección circular".

Matemáticamente dθdx

=θ=constante donde dθdx

representa el angulo girado por unidad de

longitud, es decir el angulo que tendría una sección circular de la barra a una distancia dx. Es decir que una sección circular experimenta un giro constante por la longitud.Como consecuencia los radios de las secciones transversales giran ,permaneciendo rectos, mientras que las generatrices de la superficie lateral (1-2) se transforma en hélices (1-2’).

2) Se demuestra a continuación que en la torsión de piezas de sección circular no se producen tensiones normales, es decir que σ x=0. O lo que es lo mismo “la torsión en secciones circulares solo produce tensiones cortantes, . No hay deformación de la sección circular.

3.2.1. DEFORMACIONES EN EL EJE CIRCULAR


62


Ahora consideramos la vista tridimensional de la barra sometida a torsión positiva M1 por encima de la superficie (pues sale de esta) y otra positiva M2 por debajo (pues también sale de la sección de abajo)

Como se aprecia, la barra se torcion y se deforma, permaneciendo su sección circular constante. El angulo girado es constante para cada longitud x. los ejes y y z son paralelos a la sección ciscular.

En la vista de planta, el plano YZ analizamos el desplazamiento de un punto P sobre una sección circular cualquiera de radio cuando sometemos a la barra a torsión. Este punto tiene coordenadas P=(y,z)=(,) rectangulares o polares.

Para pequeños deplazamientos ubicamos liealmente el vector desplazamiento hacia el vector P’, este vector desplzamiento es perpendicular al radio en P.

Al desplazarse hacia el punto P’ el ángulo girado es ¿) ya que a una posición x se tendrá un ángulo d=θ ' x, donde θ 'es una constante de proporcionalidad.


z

z y y

P'

S δ

(θ ' x ) ρ

x

x

z

y

z

63

Física III

Por otro lado el vector desplazamiento será δ i , j ,k donde i , j , k son los vectores unitarios. Vamos a escribir estos vectores unitarios en función de los datos de la sección circular de la figura:

Primero sabemos que i=0 por la hipótesis de coulomb, de modo que el desplazamiento se da en el plano yz. Luego δ i , j ,k=δ0 , j , k=δ j , k.

Del vector desplazamiento ver que sus componentes son


(θ' x ) ρ

P'

S α δ

z

x

dθ=θ ' x x γ

z

y

64


δ=δ y j+δ z k=−δ senα j+δ cos α k .

Además en el triángulo que se forma por la posición del punto P se tiene que

senα= zρ

y cos α= yρ

.

Por otro lado el vector desplazamiento equivale a la longitud del arco formado, considerando desplazamientos unitarios así se tiene que arco=δ=ρ ¿), y luego reemlazando en las relaciones anteriores se tiene:

δ y=−δ j , k sen α=− ρ(θ' x )( zρ )=−(θ' xz) y

δ z=δ j , kcos α=ρ(θ' x)( yρ )=(θ' xy)

Se tiene δ=−(θ' xz ) j+(θ ' xy )k .

Y su módulo δ=√ (−θ' xz )2+ (θ' xy )2=θ' x √ ( z)2+( y )2=θ ' x ρ

Recordando la deformación angular (transversal) en se tiene que :

γ=tan−1( δx )≈( δx )=(θ ' x ρx )=(θ ' ρ )

γ=( dθdx ρ)=θLρ (1)

Donde el máximo valor de la deformación cortante se dá en la superficie del eje, donde =R el radio

de la barra, y donde dθdx

= θL=θ '=constante con L como la longitud de la barra

γmáx=( θL )R(2) Podemos decir que

γ=( ρR )γmáx(3)

3.2.2. ESFUERZOS EN EL RANGO ELÁSTICO

De la ley de Hooke para la deformación transversal τ=Gγ , de modo que:

τ=Gγ=Gθ' ρ=Gρ dθdx

(4)

Que denota el esfuerzo cortante en un punto P (elemento infinitesimalmente pequeño) sobre la sección transversal. Esta ecuación indica que en una sección circular, las tensiones cortantes (esfuerzos cortantes) producidas por el momento torsor MT son proporcionales a la distancia al centro de la misma y perpendiculares al vector posición ρ”.

El esfuerzo cortante máximo se dará cuando =R el radio de la barra


65

Física III

τ máx=Gθ' R=GR dθdx

=GR θL(5)

Y también, de

γ=( ρR )γmáxGγ=( ρR )Gγmáxτ=( ρR ) τmáx(6)

En donde τ máx es el esfuerzo cortante en la superficie exterior de la barra (radio R), es el esfuerzo cortante en un punto interior (radio ) y ’ es la razon de torsion. (En estas ecuaciones, ’ tiene unidades de radianes por unidad de longitud).

Las ecuaciones ultimas muestran que los esfuerzos cortantes varian linealmente con la distancia desde el centro de la barra, como se ilustra por el diagrama triangular en la figura. Esta variacion lineal del esfuerzo es una consecuencia de la ley de Hooke. Si la relacion esfuerzo deformación unitaria no es lineal, los esfuerzos no variaran linealmente y se necesitaran otros metodos de analisis.

A fin de que el elemento este en equilibrio en la direccion y, la fuerza cortante total t1 que actua sobre la cara derecha se debe equilibrar por una fuerza cortante igual pero en direccion opuesta en la cara izquierda. Como las areas de estas dos caras son iguales, se deduce que los esfuerzos cortantes sobre las dos caras deben ser iguales. Como ahora estas fuerzas forman un momento par, Para el equilibrio de los elementos se requiere que este momento este equilibrado por un momento igual y opuesto resultante de los esfuerzos cortantes actuando sobre las caras superior e inferior del elemento.

Así, los esfuerzos cortantes que actuan sobre un plano transversal van acompañados de esfuerzos cortantes con la misma magnitud que las que actuan sobre planos longitudinales (figura 3.7). Esta conclusion se deriva del hecho que en planos mutuamente perpendiculares siempre existen esfuerzos cortantes iguales, como se explico en la seccion 1.6.


66


Si el material de la barra es mas debil en cortante en planos longitudinales que en planos transversales, como es comun en la madera cuando el grano corre paralelo al eje de la barra, la primera grieta debida a la torsion aparecera en la superficie en la direccion longitudinal.

El estado de cortante puro en la superficie de la barra (figura 3.6b) equivale a esfuerzos iguales de tension y compresion que actuan en un elemento orientado a un angulo de 45°.

Por tanto, un elemento rectangular con lados a 45° con respecto al eje de la barra estara sometido a esfuerzos de tension y compresion, como se muestra en la figura 3.8. Si una barra en torsion esta hecha de un material que es mas debil en tension que en cortante, la falla ocurrira en tension a lo largo de una helice inclinada a 45° con respecto al eje, como usted lo puede demostrar torciendo una pieza de gis para pizarron.

Esfuerzos de tension y compresion que actuan sobre un elemento orientado a 45° con respecto al eje longitudinal.

3.2.3. LA FÓRMULA DE LA TORSIÓN


67

Física III

Para determinar esta resultante consideramos un elemento de area dA ubicado a una distancia radial r desde el eje de la barra (figura 3.9). La fuerza cortante que actua sobre este elemento es igual a dA, donde es el esfuerzo cortante a un radio r.

El momento de esta fuerza con respecto al eje de la barra es igual a la fuerza multiplicada por su distancia desde el centro, o dA.

Sustituyendo el valor del esfuerzo cortante dado por la ecuacion (6), podemos expresar este momento elemental como

dM=τρdA=τ máxR

ρ2dA (7)

El momento resultante (igual al par de torsion T) es la suma a lo largo de toda el area de la seccion transversal de todos los momentos elementales:

T=∫A

❑

dM=τmáxR∫A

❑

ρ2dA=τmáxR

IP(8)

En donde

(9)

Es el momento polar de inercia de la sección transversal circular. Para un círculo con radio r y diámetro d, el momento polar de inercia es:

(10)

como se indica en el apendice D, caso 9.

Observe que los momentos de inercia tienen unidades de longitud a la cuarta potencia.* Es posible obtener una expresion para el esfuerzo cortante maximo reacomodando la ecuacion (8), como sigue:

τ máx=TRI P

(11)

Esta ecuacion, conocida como la fórmula de la torsión, muestra que el esfuerzo cortante maximo es proporcional al par de torsion aplicado T e inversamente proporcional al momento de inercia polar IP.

Para las barras sólidas de sección circular:


68


τ máx=TRI P

= TR

π d4

32

=32TR

π d4=16T

π d3(barra solida)(11 a)

τ máx=2TR

π R4= 2T

π R3(11b)

Para una distancia desde el centro de la barra:

τ=ρRτmáx=

TIP=ρR ( 2T

π R3 )=( 2Tρ

π R4 )=(16TD

π d4 )(barra solida)(12)

Donde D es el diámetro a un punto (D/2=).

3.2.4. ÁNGULO DE TORSIÓN

De las ecuaciones 5 y 11 tenemos el ángulo girado por unidad de longitud:

θ'=dθdx

= TGI P

(13)

Para la barra solida:

θ'=dθdx

= 2T

π r4G= 32T

π d4G(barra sólida)(13a)

Para una barra en torsión pura, el angulo de torsion total:

¿ ¿GIP

(14)

Y para la barra solida:

θ= 2TL

π r4G= 32TL

π d 4G(barra sólida)(14 a)

La cantidad GIP/L, llamada rigidez torsional de la barra, es el par de torsion necesario para producir una rotacion de un angulo unitario. La flexibilidad torsional es el reciproco de la rigidez, o L/GIP, y se define como el angulo de rotacion producido por un par de torsion unitario. Por tanto, tenemos las expresiones siguientes:

(15)

3.2.5. Tubos circulares

Los tubos circulares resisten con mas eficiencia las cargas torsionales que las barras solidas. Como sabemos, los esfuerzos cortantes en una barra circular solida son maximos en el borde exterior de la seccion transversal y cero en el centro. Por tanto, la mayor parte del material en un eje solido se somete a un esfuerzo significativamente menor que el esfuerzo cortante maximo. Ademas, los esfuerzos cerca del centro de la seccion transversal tiene un brazo de momento menor a tomar en cuenta en la determinación del par de torsion.

En contraste, en un tubo hueco comun la mayor parte del material esta cerca del borde exterior de la seccion transversal donde los esfuerzos cortantes y los brazos de momento son mayores (figura 3.10). Por tanto si en una


69

Física III

aplicacion es importante reducir peso y ahorrar material, se aconseja emplear un tubo circular. Por ejemplo, los ejes de impulsion largos, los ejes de helices y los ejes de generadores usualmente tienen secciones transversales huecas.

Por tanto, el momento polar de inercia del area de la seccion transversal de un tubo es:

(16a)

Las expresiones anteriores tambien se pueden escribir en las siguientes formas:

(16b)

en donde r es el radio promedio del tubo, igual a (r1 + r2)/2; d es el diametro promedio, igual a (d1 + d2)/2 y t es el espesor de la pared (figura 3.10), igual a r2 – r1. Por supuesto, las ecuaciones (3.16) y (3.17) dan los mismos resultados, pero en ocasiones la ultima es mas conveniente.

Si el tubo es relativamente delgado, de tal modo que el espesor de la pared t es pequeno en comparacion con el radio promedio r, podemos ignorar los terminos t2 en la ecuacion (3.17). Con esta simplificacion obtenemos las formulas aproximadas siguientes para el momento polar de inercia:

(16 c )

EJEMPLO 1. Una barra solida de acero con sección transversal circular (figura 3.11) tiene un diámetro d = 1.5 in, longitud L = 54 in y módulo de elasticidad en cortante G = 11.5 × 106 psi. La barra está sometida a pares de torsión T que actúan en sus extremos. (a) Si los pares de torsion tienen una magnitud T = 250 lb-ft, ¿cual es el esfuerzo cortante máximo en la barra? ¿Cual es el angulo de torsion entre los extremos? (b) Si el esfuerzo cortante permisible es 6000 psi y el angulo de torsion permisible es 2.5°, .cual es el par de torsion maximo permisible?

69. PRACTICA N°6


70


Deformaciones por torsión

1. Una barra de cobre con longitud L = 18.0 in se torcera mediante pares de torsion T (consulte la figura) hasta que el angulo de rotacion entre los extremos de la barra sea 3.0° Si la deformacion unitaria por cortante permisible en el cobre es 0.0006 rad, .cual es el diametro maximo permisible de la barra?dmáx =0.413 in

2. En el ejemplo anterior. Una barra de plastico con diametro d=56 mm se torcera por pares de torsion T (consulte la figura) hasta que el angulo de rotacion entre los extremos sea 4.0°. Si la deformacion unitaria por cortante permisible en el plastico es 0.012 rad, .cual es la longitud minima permisible de la barra?Lmín =162.9 mm

3. Un tubo circular de aluminio sometido a torsion pura mediante pares de torsion T (consulte la figura) tiene un diámetro exterior r2 igual a 1.5 multiplicado por el radio interior r1. (a) Si la deformacion unitaria por cortante maxima en el tubo es 400 × 10–6

rad, .cual es la deformacion unitaria por cortante 1 en la superficie interior? (b) Si la razon de torsion maxima permisible es 0.125 grados por pie y la deformacion unitaria por cortante máxima se debe mantener en 400 × 10–6 rad ajustando el par de torsión T, .cual es el radio exterior minimo requerido (r2)min?

4. De la fig. 3.Un tubo circular de acero con longitud L = 1.0 m esta cargado en torsion por pares de torsion T (consulte la figura). (a) Si el radio interior del tubo es r1 = 45 mm y el angulo de torsion medido entre los extremos es 0.5°, .cual es la deformación unitaria por cortante 1 (en radianes) en la superficie interior? (b) Si la deformacion unitaria por cortante maxima permisible es 0.0004 rad y el angulo de torsion se debe mantener en 0.45° ajustando el par de torsion T, .cual es radio exterior maximo permisible (r2)max?

5. De la fig. Resuelva el problema anterior si la longitud L = 56 in, el radio interior r1 = 1.25 in,

el angulo de torsion es 0.5° y la deformacion unitaria por cortante permisible es 0.0004 rad.

Barras y tubos circulares

6. Un minero utiliza un malacate de operacion manual (consulte la figura) para izar un cubo de mineral en el tiro de su mina. El eje del malacate es una barra de acero con diámetro d = 0.625 in. Además, la distancia desde el centro del eje hasta el centro de la cuerda de izado es b = 4.0 in. Si el peso del cubo cargado es W = 100 lb, .cual es el esfuerzo cortante máximo en el eje debido a la torsión?. máx =8340 psi

7. Al taladrar un agujero en una pata de una mesa, un carpintero utiliza un taladro de operacion manual consulte la figura) con una broca con diametro d = 4.0 mm. (a) Si el par de torsion resistente suministrado por la pata de la mesa es igual a 0.3 N∙m, .cual es el esfuerzo cortante maximo en la broca del taladro? (b) Si el modulo de elasticidad cortante del acero es G = 75 GPa, .cual es la razon de torsion de la broca del taladro (grados por metro)?

8. Al desmontar una rueda para cambiar un neumatico, un conductor aplica fuerzas P = 25 lb en los extremos de dos de los brazos de una llave de cruz (consulte la figura). La llave esta hecha de acero con modulo de elasticidad en cortante G = 11.4 × 106

psi. Cada brazo de la


71

Física III

llave tiene una longitud de 9.0 in y tiene una seccion transversal circular solida con diametro d = 0.5 in.(a) Determine el esfuerzo cortante maximo en el brazo que gira la tuerca del birlo (brazo A).(b) Determine el angulo de torsion (en grados) de este mismo brazo.

9. Una barra de aluminio con sección transversal solida se tuerce por pares de torsión T que actúan en los extremos (consulte la figura). Las dimensiones y el modulo de elasticidad en cortante son las siguientes: L = 1.4 m, d = 32 mm y G = 28 GPa. (a) Determine la rigidez torsional de la barra. (b) Si el angulo de torsion de la barra es 5°, .cual es el esfuerzo cortante maximo? .Cual es la deformacion unitaria por cortante maxima (en radianes)?

10. Una barra de perforacion de acero de alta resistencia utilizada para taladrar un agujero en el suelo tiene un diámetro de 0.5 in (consulte la figura). El esfuerzo cortante permisible en el acero es 40 ksi y el modulo de elasticidad en cortante es 11,600 ksi.Cual es la longitud minima requerida de la barra de manera que uno de sus extremos se pueda torcer 30° con respecto al otro sin sobrepasar el esfuerzo permisible? . Lmín =38.0 in

11. El eje de acero de una llave de cubo tiene un diámetro de 8.0 mm y una longitud de 200 mm (consulte la figura). Si el esfuerzo permisible en la barra es 60 MPa, .cual es el par de torsion maximo permisible Tmax que se puede ejercer con la llave? .Que angulo (en grados) girara el eje ante la accion del par de torsion maximo? (Suponga G = 78 GPa y no tome en cuenta ninguna flexion del eje).

12. Un tubo circular de aluminio se somete a torsion por pares de torsion T aplicados en los extremos (consulte la figura). La barra tiene una longitud de 24 in y los diametros interior y exterior son 1.25 in y 1.75 in, respectivamente. Mediante una medicion se ha determinado que el angulo de torsion es 4° cuando el par de torsion es 6200 lb-in. Calcule el esfuerzo cortante maximo max en el tubo, el modulo de elasticidad en cortante G y la deformacion unitaria por cortante maxima max (en radianes).

13. Un eje de helice para un yate pequeno esta hecho de una barra solida de acero con diametro de 104 mm. El esfuerzo permisible en cortante es 48 MPa y la razon de torsión permisible es 2.0° en 3.5 metros. Suponiendo que el modulo de elasticidad en cortante es G = 80 GPa, determine el par de torsion maximo Tmax que se pueda aplicar al eje.


72


Tmáx 9164 N m14. Tres discos circulares identicos A, B y C estan

soldados a los extremos de tres barras circulares identicas (consulte la figura). Las barras se encuentran en un plano comun y los discos estan en planos perpendiculares a los ejes de las barras. Las barras estan soldadas en su interseccion D para formar una conexion rigida. Cada barra tiene un diametro d1 = 0.5 in y cada disco tiene un diametro d2 = 3.0 in. Las fuerzas P1, P2 y P3 actuan sobre los discos A, B y C, respectivamente, sometiendo de esta manera las barras a torsion. Si P1 = 28 lb, .cual es el esfuerzo cortante maximo max en cualquiera de las tres barras?

máx =4840 psi15. El eje de acero de un malacate grande en un

trans- atlantico esta sometido a un par de torsion de 1.65 kN∙m (consulte la figura). .Cual es el diametro minimo requerido dmin si el esfuerzo cortante permisible es 48 MPa y la razon de torsión permisible es 0.75°/m? (Suponga que el modulo de elasticidad en

cortante es 80 GPa.). dmín =63.3 mm

16. Un eje hueco de acero empleado en una barrena de construccion tiene un diametro exterior d2 = 6.0 in y un diámetro interior d1 = 4.5 in (consulte la figura). El acero tiene un modulo de elasticidad G = 11.0 × 106

psi. Para un par de torsion aplicado de 150 k-in, determine las cantidades siguientes: (a) El esfuerzo cortante t2 en la superficie exterior del eje. (b) El esfuerzo cortante t1 en la superficie

interior y (c) La razon de torsion u (grados por unidad de longitud). Tambien, trace un diagrama mostrando como varia la magnitud de los esfuerzos cortantes a lo largo de la linea radial en la seccion transversal.

17. Resuelva el problema anterior si el eje tiene

diámetro exterior d2 = 150 mm y diametro interior d1 = 100 mm. Ademas, el acero tiene un modulo de elasticidad en cortante G = 75 GPa y el par de torsion aplicado es 16 kN∙m.

18. Un poste vertical con seccion transversal circular se tuerce por fuerzas horizontales P = 1100 lb que actuan en los extremos de un brazo horizontal AB (consulte la figura). La distancia desde el exterior del poste hasta la linea de accion de cada fuerza es c = 5.0 in. Si el esfuerzo cortante permisible en el poste es 4500 psi, .cual es el diametro minimo requerido dmin del poste?.


73

Física III

dmín =2.50 in19. Resuelva el problema anterior si las fuerzas

horizontales tienen una magnitud P = 5.0 kN, la distancia c = 125 mm y el esfuerzo cortante permisible es 30 MPa.

dmín =64.4 mm

20. Una barra solida de laton con diametro d = 1.25 in se somete a pares de torsion T1, como se muestra en la parte (a) de la figura. El esfuerzo cortante permisible en el laton es 12 ksi. (a) .Cual es el valor maximo permisible de los pares de torsion T1? (b) Si se taladra un agujero con diametro de 0.625 in longitudinalmente por la barra, como se muestra en la parte (b) de la figura, .cual es el valor maximo permisible de los pares de torsion T2? (c) .Cual es el decremento porcentual en el par de torsión y el decremento porcentual en el peso debidos al agujero?

21. Un tubo hueco de aluminio utilizado en una techumbre tiene un diametro exterior d2 = 104 mm y un diámetro interior d1 = 82 mm (consulte la figura). El tubo tiene una longitud de 2.75 m y el modulo de elasticidad en cortante del aluminio es G = 28 GPa. (a) Si el tubo se tuerce en torsion pura mediante pares de torsion en los extremos, .cual es el angulo de torsion (en grados) cuando el esfuerzo cortante maximo es 48 MPa? (b) .Que diametro d se requiere para un eje solido (consulte la figura) para resistir el mismo par de torsion con

el mismo esfuerzo maximo? (c) .Cual es la razon entre el peso del tubo hueco y el peso del eje solido?

22. *Un tubo circular con diametro interior r1 y diámetro exterior r2 se somete a un par de torsion producido por fuerzas P = 900 lb (consulte la figura). Las fuerzas tienen suslineas de accion a una distancia b = 5.5 in desde el exterior del tubo. Si el esfuerzo cortante permisible en el tubo es 6300 psi y el radio interior r1 = 1.2 in, .cual es el radio exterior minimo permisible r2?

r2 =1.40 in

23. Para el eje cilíndrico que se muestra en la figura, determine el máximo esfuerzo cortante causado por un par de torsión con magnitud T = 1.5 kN .m.

87.7 MPa.

24. Determine el par de torsión T que causa un esfuerzo cortante máximo de 80 MPa en el eje cilíndrico de acero que se muestra en la figura

anterior.


74


25. Si se sabe que el diámetro interior del eje hueco mostrado es d = 0.9 in., determine el esfuerzo cortante máximo causado por un par de torsión de magnitud T= 9 kip. in.

12.44 ksi.26. Si se sabe que d=1.2 in. En la fig. anterior,

determine el par de torsión T que causa un esfuerzo cortante máximo de 7.5 ksi en el eje hueco que se muestra en la figura anterior.

27. a) Determine el par de torsión que puede aplicarse a un eje sólido de 20 mm de diámetro sin exceder un esfuerzo cortante permisible de 80 MPa. b) Resuelva el inciso a) con el supuesto de que al eje sólido se le reemplaza con un eje hueco con la misma área de sección transversal y con un diámetro interior igual a la mitad de su propio diámetro exterior. a) 125.7 N _ m. b) 181.4 N _ m.

28. Un par de torsión T=3 kN. m se aplica al cilindro de bronce sólido mostrado en la figura. Determine a) el máximo esfuerzo cortante, b) el esfuerzo cortante en el punto D que yace sobre un círculo de 15 mm de radio dibujado en el extremo del cilindro, c) el porcentaje del par de torsión soportado por la porción del cilindro dentro del radio de 15 mm.

a) 70.7 MPa. b) 35.4 MPa. c) 6.25%29. El vástago sólido AB está hecho de un acero con un

esfuerzo cortante permisible de 12 ksi, mientras que la manga CD está hecha de latón y tiene un esfuerzo cortante permisible de 7 ksi. Determine a) el par de torsión T máximo que puede aplicarse en A si no debe excederse el esfuerzo cortante permisible en la manga CD, b) el valor requerido correspondiente del diámetro ds en el vástago AB.

30. El vástago sólido AB del ejemplo anterior tiene un

diámetro ds =1.5 in. y está hecho de un acero con un esfuerzo cortante permisible de 12 ksi, mientras que la manga CD está hecha de latón y tiene un esfuerzo cortante permisible de 7 ksi. Determine el par de torsión T máximo

que puede aplicarse en A.

GRUPO E1 E2 E3 E4 E5 OPC1 1 9 15 18 23 302 2 7 13 16 24 283 3 6 12 20 22 394 4 8 11 17 25 275 5 10 14 19 21 306 4 8 12 17 26 27


75

Física III

3.3. TORSIÓN NO UNIFORME

Torsión no uniforme difiere de la torsión pura en que no se requiere que la barra sea prismatica y los pares de torsión aplicados pueden actuar en cualquier parte a lo largo del eje de la barra. Las barras en torsion no uniforme se pueden analizar aplicando las formulas de torsion pura a segmentos finitos de la barra y luego se suman los resultados, o se aplican las formulas a elementos diferenciales de la barra y luego se integran.

Para ilustrar estos procedimientos, consideraremos tres casos de torsión no uniforme. Otros casos se pueden manejar mediante tecnicas similares a las que aqui se describiran.

Caso 1. Barra constituida de segmentos prismaticos con par de torsión constante en cada segmento (figura 3.14).

(MOTT-220)


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(HIBELER- 208)

(MOTT- 221)


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Física III


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81

Física III


82



83

Física III

τ máx=TRI P


84


TORSIÓN NO UNIFORMECaso 2. Barra con secciones transversales que varian continuamente y par de torsion constante

70.

71.

72.

3.4. EJES ESTÁTICAMENTE INDETERMINADOS73.

74.

Sustituyendo esta expresión en la ecuación de equilibrio original, se tiene que1.740 TA =90 lb. Ft

TA = 51.7 lb .ft TB = 38.3 lb= ft


85

Física III


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87

Física III


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EJEMPLO


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Física III


90



91

Física III


92


3.5. PRACTICA N°7

Deformaciones por torsión

1. El tubo de cobre tiene un diametro exterior de 40 mm y un diametro interior de 37 mm. Si esta firmemente afianzado a la pared en A y se le aplican tres pares de torsion como se muestra en la figura, determine el esfuerzo cortante maximo desarrollado en el tubo. (R=26.7MPa)

2. Un tubo de cobre tiene un diametro exterior de 2.50 pulg y un diametro interior de 2.30 pulg. Si esta firmemente afianzado a la pared en C y se le aplican tres pares de torsion como se muestra en la figura, determine el esfuerzo cortante desarrollado en los puntos A y B. Estos puntos estan situados sobre los elementos de volumen localizados en A y en B.(A=3,45ksi;B=2,76ksi)

3. Una flecha solida de 1.25 pulg de diametro se usa para transmitir los pares de torsion aplicados a los engranes como se muestra en la figura. Si esta soportada por cojinetes lisos en A y B, los cuales no resisten ningun par, determine el esfuerzo cortante desarrollado en los puntos C y D de la

flecha. Indique el esfuerzo cortante sobre los elementos de volumen localizados en estos puntos. (C=3,91ksi;D=1,56ksi)

4. La flecha del ejemplo anterior tiene un diámetro exterior de 1.25 pulg y un diámetro interior de 1 pulg. Si se somete a los pares aplicados como se muestra, determine el esfuerzo cortante máximo absoluto desarrollado en la flecha. Los cojinetes lisos en A y B no resisten pares. (max=79.50ksi)

5. Un eje escalonado ABC que consiste de dos segmentos circulares sólidos se somete a pares de torsión T1 y T2 que actúan en sentidos opuestos, como se muestra en la figura. El segmento mas largo del eje tiene un diametro d1 = 2.25 in y una longitud L1=30 in; el segmento mas corto tiene un diametro d2 = 1.75 in y una longitud L2 = 20 in. El material es acero con modulo de cortante G = 11 × 106 psi y los pares de torsion son T1 = 20,000 lb-in y T2 = 8000 lb-in. Calcule las cantidades siguientes: (a) el esfuerzo cortante maximo tmax en el eje y (b) el angulo de torsion C (en grados) en el extremo C. ((a) tmáx 7600 psi;(b) C 0.16°)


93

Física III

6. Un eje escalonado ABCD que consiste en segmentos circulares solidos se somete a tres pares de torsion, como se muestra en la figura. Los pares de torsion tienen magnitudes de 12.5 k-in, 9.8 k-in y 9.2 k-in. La longitud de cada segmento es 25 in y los diametros de los segmentos son 3.5 in, 2.75 in y 2.5 in. El material es acero con modulo de elasticidad en cortante G = 11.6 × 103

ksi. (a) Calcule el esfuerzo cortante maximo max en el eje. (b) Calcule el angulo de torsion D (en grados) en el extremo D.((a) tmáx 4.653 ksi; (b) D 0.98°)

7. Una barra circular solida ABC consiste de dos segmentos, como se muestra en la figura. Un segmento tiene un diametro d1=56 mm y una longitud L1= 1.45 m; el otro segmento tiene un diametro d2=48 mm y una longitud L2=1.2 m..Cual es el par de torsion permisible Tperm si el esfuerzo cortante no debe sobrepasar 30 MPa y el angulo de torsion entre los extremos de la barra no debe exceder 1.25°? (Suponga G = 80 GPa). (Tperm 459 N m)

8. Un tubo hueco ABCDE construido de metal monel esta sometido a cinco pares de torsion que actuan en los sentidos que se muestran en la figura. Las magnitudes de los pares de torsion son T1=1000 lb-in, T2=T4=500 lb-in y T3=T5=800 lb-in. El tubo tiene un diametro exterior d2=1.0in. El esfuerzo cortante permisible es 12 000 psi y la razon de torsion permisible es 2.0°/ft. Determine el diametro interior maximo permisible d1 del tubo. (d1=0.818 in).

9. 346.Un eje con seccion transversal solida que consiste de dos segmentos se muestra en la primera parte de la figura. El segmento izquierdo tiene un diametro de 80 mm y una longitud de 1.2 m; el segmento derecho tiene un diametro de 60 mm y una longitud de 0.9 m. En la segunda parte de la figura se muestra un eje hueco hecho con el mismo material y con la misma longitud. El espesor t del eje hueco es d/10, donde d es el diametro exterior. Los dos ejes se someten al mismo par de torsion. Si el eje hueco debe tener la misma rigidez torsional que el eje solido, .cual debera ser su diametro exterior d? (d=77.5 mm)

10. Un par de torsión de magnitud T=8 kip.in. se aplica en D como se muestra en la figura. Si se sabe que el esfuerzo cortante permisible es de 7.5 ksi en cada eje, determine el diámetro requerido a) del eje AB, b) del eje CD.( a) 2.39 in. b) 1.758 in.)


94


11. Un par de torsión de magnitud T=8 kip.in. se aplica en D como se muestra en la figura anterior. Si se sabe que el diámetro del eje AB es de 2.25 in. y que el diámetro del eje CD es de 1.75 in., determine el esfuerzo cortante máximo a) en el eje AB, b) en el eje CD.

12. Dos ejes sólidos de acero están conectados por los engranes que se muestran en la figura. Se aplica un par de torsión de magnitud T=900 N.m al eje AB. Si se sabe que el esfuerzo cortante permisible es de 50 MPa y se consideran sólo los esfuerzos debidos al giro, determine el diámetro requerido para a) el eje AB, b) el eje CD.( a) 45.1 mm. b) 65.0 mm.)

13. El eje CD consiste en una varilla de 66 mm de diámetro y está conectado al eje AB de 48 mm de diámetro como se muestra en la figura anterior. Si se consideran sólo los esfuerzos debidos al giro y se sabe que el esfuerzo cortante permisible es de 60 MPa para cada eje, determine el máximo par de torsión T que puede aplicarse. (1.129 kN .m.)

14. Los dos ejes sólidos están conectados por engranes, como se muestra en la figura, y están hechos de un acero para el que el esfuerzo cortante permisible es de 7 000 psi. Si se sabe que los diámetros de los dos ejes son, respectivamente, dBC=1.6 in. y dEF=1.25 in. determine el máximo par de torsión TC que puede aplicarse en C.

15. Los dos ejes sólidos están conectados por engranes, como se muestra en la figura anterior, y están hechos de un acero para el que el esfuerzo cortante permisible es de 8 500 psi. Si se sabe que en C se aplica un par de torsión de magnitud TC=5 kip.in. y que el ensamble está en equilibrio, calcule el diámetro requerido de a) el eje BC, b) el eje EF. (a) 1.442 in. b) 1.233 in.)

TRANSMISION DE POTENCIA

16. La flecha impulsora AB de un automovil esta hecha con un acero que tiene un esfuerzo cortante permisible de perm = 8 klb/pulg2. Si el diametro exterior es de 2.5 pulg y el motor desarrolla 200 hp cuando la flecha gira a 1 140 rpm. determine el espesor minimo requerido para la pared de la flecha. (R=0,174in)

17. En la figura del ejemplo anterior. La flecha impulsora AB de un automovil va a ser


95

Física III

diseñada como un tubo de pared delgada. El motor desarrolla 150 hp cuando la flecha gira a 1500 rpm. Determine el espesor mínimo de la pared de la flecha si su diámetro exterior es de 2.5 pulg. El material tiene un esfuerzo cortante permisible de perm = 7 klb/pulg2. (R=0,104in).

18. Un eje de un generador en una planta hidroelectrica pequeña gira a 120 rpm y suministra 50 hp (consulte la figura). (a) Si el diametro del eje es d = 3.0 in, .cual es el esfuerzo cortante maximo max en el eje? (b) Si el esfuerzo cortante esta limitado a 4000 psi, .cual es el diametro minimo permisible dmin del eje?

3.71.((a) tmáx =4950 psi; (b) dmín =3.22 in)

19. Un motor impulsa un eje a 12 Hz y suministra 20 kW de potencia (consulte la figura). (a) Si el eje tiene un diametro de 30 mm, .cual es el esfuerzo cortante maximo max en el eje? (b) Si el esfuerzo cortante maximo permisible es 40 MPa, .cual es el diametro minimo permisible dmin del eje?

((a) tmáx 50.0 MPa; (b) dmín 32.3 mm

20. 3.7.3 El eje de la helice de un barco grande tiene un diametro exterior de 18 in y un diametro interior de 12 in, como se muestra en la figura. El eje esta clasificado para un esfuerzo cortante maximo de 4500 psi. (a) Si el eje gira a 100 rpm, .cual es la potencia maxima, en caballos de potencia, que se puede transmitir sin sobrepasar el esfuerzo permisible? (b) Si la velocidad rotacional del eje se duplica pero los requerimientos de potencia permanecen iguales, .que pasa con el esfuerzo cortante en el eje?.

21. 3.7.4 El eje motriz de un camion (diametro exterior de 60 mm y diametro interior de 40 mm) esta girando a 2500 rpm (consulte la figura). (a) Si el eje transmite 150 kW, .cual es el esfuerzo cortante maximo en el eje? (b) Si el esfuerzo cortante permisible es 30 MPa, .cual es la potencia maxima que se puede transmitir?

22. 3.7.5 Un eje circular hueco que va a usarse en una estación de bombeo se esta disenando con un diametro interior igual a 0.75 veces el diametro exterior. El eje debe transmitir 400 hp a 400 rpm sin exceder el esfuerzo cortante maximo permisible de 6000 psi. Determine el diametro exterior d minimo requerido.

23. 3.7.6 Un eje tubular disenado para utilizarse en un sitio de construccion debe transmitir 120 kW a 1.75 Hz. El diametro interior del eje tendra la mitad del diametro exterior. Si el esfuerzo cortante permisible en el eje es 45 MPa, .cual es el diametro exterior d minimo requerido?

24. 3.7.7 Un eje de helice con seccion transversal circular y diametro d esta empalmado mediante un collarin del mismo material (consulte la figura). El collarin esta firmemente unido a las dos partes del eje. .Cual debe ser el diametro exterior minimo d1 del collarin a fin de que el empalme pueda transmitir la misma potencia que el eje solido?


96


25. 3.7.8 .Cual es la potencia máxima que puede suministrar un eje hueco de hélice (diámetro exterior de 50 mm, diámetro interior de 40 mm y módulo de elasticidad en cortante de 80 GPa) que gira a 600 rpm si el esfuerzo cortante permisible es 100 MPa y la razón de torsión permisible es 3.0°/m?

26. 3.7.9 Un motor suministra 275 hp a 1000 rpm al extremo de un eje (consulte la figura). Los engranes en B y C toman 125 y 150 hp, respectivamente. Determine el diámetro d requerido del eje si el esfuerzo cortante permisible es 7500 psi y el ángulo de torsión entre el motor y el engrane C está limitado a 1.5°. (Suponga G = 11.5X106 psi, L1 = 6 ft y L2 = 4 ft).

27. 3.7.10 El eje ABC que se muestra en la figura anterior está impulsado por un motor que suministra 300 kW a una velocidad rotacional de 32 Hz. Los engranes en B y C toman 120 y 180 kW, respectivamente. Las longitudes de las dos partes del eje son L1=1.5 m y L2=0.9 m. Determine el diámetro d requerido del eje si el esfuerzo cortante permisible es 50 MPa, el ángulo de torsión permisible entre los puntos A y C es 4.0° y G = 75 GPa.

Elementos torsionales estáticamente indeterminados

28. Una barra circular solida ABCD con soportes fijos esta sometida a los pares de torsion T0 y 2T0 en las ubicaciones que se muestran en la figura. Obtenga una formula para el angulo de torsion maximo max de la barra.

29. Una barra solida circular ABCD con soportes fijos en los extremos A y D esta sometida a dos pares de torsion iguales y con sentidos opuestos T0 como se muestra en la figura. Los pares de torsion se aplican en los puntos B y C, cada uno de ellos se ubica a una distancia x desde un extremo de la barra. (La distancia x puede variar de cero a L/2 . (a) .Para que distancia x el angulo de torsion en los puntos B y C sera un maximo? (b) .Cual es el angulo de torsion max correspondiente?

30. 3.8.4 Un eje hueco de acero ACB con diámetro exterior de 50 mm y diámetro interior de 40 mm esta fijo en los extremos A y B (consulte la figura) a fin de evitar su rotación. Las fuerzas horizontales P se aplican en los extremos de un brazo vertical que esta soldado al eje en el punto C. Determine el valor permisible de las fuerzas P si el esfuerzo cortante máximo permisible en el eje es 45 MPa.


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Física III

31. 3.8.6. Un eje escalonado ACB que tiene secciones transversales circulares solidas con dos diametros diferentes se mantiene fijo contra la rotacion en los extremos (consulte la figura). Si el esfuerzo cortante permisible en el eje es 6000 psi, .cual es el par de torsion maximo (T0)max que se puede aplicar en la seccion C?

32. P3.39Tres ejes sólidos, cada uno con ¾ in. de diámetro, se conectan mediante los engranes que se muestran en la figura. Si se sabe que G=11.2x106 psi, determine a) el ángulo a través del cual gira el extremo A del eje AB, b) el ángulo que gira el extremo E del eje EF.

GRUPO E1 E2 E3 E4 E5 OPC1 1 9 15 18 27 302 2 7 13 22 24 293 3 11 12 20 18 354 4 8 11 17 25 345 5 10 14 19 2 336 4 8 16 21 26 327 6 12 17 23 16 28

33. 3.51 Los cilindros sólidos AB y BC están unidos en B y se encuentran adheridos a soportes fijos en A y C. Si se sabe que el módulo de rigidez es 3.7x106 psi para el aluminio y 5.6=106 psi para el latón, determine el esfuerzo cortante máximo a) en el cilindro AB, b) en el cilindro BC.

34. 3.52 Retome el problema anterior, y ahora suponga que el cilindro AB está hecho de acero, para el cual G = 11.2x106 psi.


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Física III


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