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RESPUESTA EN EL TIEMPO Es de interés analizar las dos partes en que puede dividirse normalmente la respuesta en el tiempo de un sistema físico: • Respuesta transitoria. • Respuesta en estado estable. En general, puede decirse que: ) ( ) ( ) ( t y t y t y ss t
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RESPUESTA EN EL TIEMPO
Es de interés analizar las dos partes en que puede dividirse normalmente la respuesta en el tiempo de un sistema físico:
•Respuesta transitoria.
•Respuesta en estado estable.
En general, puede decirse que:
)()()( tytyty sst
La respuesta transitoria se define como la parte de la respuesta que tiende a cero cuando el tiempo se hace muy grande.
Permite analizar el comportamiento dinámico del sistema.
0)(
tyLim tt
RESPUESTA EN EL TIEMPO
La respuesta de estado estable o estacionaria es la parte de la respuesta que queda cuando la transitoria ha desaparecido.
Desde el punto de vista del análisis de los sistemas, el interés de esta respuesta reside en que permite establecer el valor del error de estado estable.
RESPUESTA EN EL TIEMPO
SEÑALES DE PRUEBA
Son señales utilizadas para diagnosticar el comportamiento de los sistemas físicos con propósitos de análisis y modelación.
•Escalón
•Rampa
•Parábola
•Tirón
ESPECIFICACIONES DE LA RESPUESTA TRANSITORIA SISTEMA SEGUNDO ORDEN
La respuesta transitoria al paso de un sistema de control puede tener comportamiento oscilatorio u amortiguado.
En cualquiera de los casos, es útil asimilarla a las características de la respuesta al paso de un sistema de segundo orden.
La función de transferencia de un sistema de segundo orden se puede escribir así:
22
2
2)(
nn
n
sssH
ESPECIFICACIONES DE LA RESPUESTA TRANSITORIA SISTEMA SEGUNDO ORDEN
Con lo que los polos de este sistema se pueden expresar como:
jjs nn 22,1 1
controla la velocidad de decaimiento de la controla la velocidad de decaimiento de la respuesta al paso. Se llama respuesta al paso. Se llama Amortiguamiento del Sistema.Amortiguamiento del Sistema.
ESPECIFICACIONES DE LA RESPUESTA TRANSITORIA SISTEMA SEGUNDO ORDEN
Determina la frecuencia de oscilación de Determina la frecuencia de oscilación de la respuesta del sistema.la respuesta del sistema.
n Es el amortiguamiento relativo del Es el amortiguamiento relativo del
sistemasistema
ESPECIFICACIONES DE LA RESPUESTA TRANSITORIA SISTEMA SEGUNDO ORDEN
ESPECIFICACIONES DE LA RESPUESTA TRANSITORIA –
EFECTOS DE
Si es cero, la respuesta del sistema queda de la forma:
21)(
tSenty n
Si es uno, la respuesta del sistema queda de la forma críticamente amortiguada:
tety ntn 11)(
Cuando este término está entre 0 y 1, la Cuando este término está entre 0 y 1, la respuesta es de la forma senoidal respuesta es de la forma senoidal amortiguada ya definida que se conoce como amortiguada ya definida que se conoce como respuesta subamortiguada.respuesta subamortiguada.
ESPECIFICACIONES DE LA RESPUESTA TRANSITORIA –
EFECTOS DE
Si es mayor que uno, la respuesta del sistema queda sobreamortiguada:
tt nn
eeeety
11
2
22
12
11)(
ESPECIFICACIONES DE LA RESPUESTA TRANSITORIA –
EFECTOS DE
ESPECIFICACIONES DE LA RESPUESTA ESTACIONARIA – ERROR DE ESTADO ESTABLE
El error de estado estable en un sistema realimentado, se define como la diferencia entre el valor de la señal referencial y el de la señal de salida en t∞.
El error de estado estable puede estar originado en no linealidades tipo offset, zonas muertas o fricción.
Aunque un sistema sea suficientemente lineal, puede presentarse error en él debido a limitaciones dinámicas del sistema frente a una entrada específica, que no le permiten corregirlo adecuadamente.
Si la señal de salida y la señal de entrada al sistema realimentado tienen las mismas unidades físicas o son directamente comparables en su forma, la señal de entrada se considera la señal referencial y se puede escribir para el error en el tiempo:
)()()( tytrte
ESPECIFICACIONES DE LA RESPUESTA ESTACIONARIA – ERROR DE ESTADO ESTABLE
En general, la señal de error de un sistema realimentado se define como:
En donde la señal referencial es la señal que se busca que y(t) siga. Entonces
)()( tylreferenciaseñalte
)(teLimet
ss
ESPECIFICACIONES DE LA RESPUESTA ESTACIONARIA – ERROR DE ESTADO ESTABLE
Dependiendo de la estructura de la función de transferencia del lazo de realimentación, es posible establecer definiciones para la función de error en cada uno de los siguientes casos:
•Sistemas con realimentación unitaria: H(s)=1.
•Sistemas con realimentación constante: H(s)=KH.
•Sistemas con función de realimentación con N polos en s=0.
ESPECIFICACIONES DE LA RESPUESTA ESTACIONARIA – ERROR DE ESTADO ESTABLE
• Sistemas con realimentación unitaria: H(s)=1.
G(s)∑
-
R(s) E(s) Y(s)
)(1
)()()(
00 sG
ssRLimssELimteLimesst
ss
ESPECIFICACIONES DE LA RESPUESTA ESTACIONARIA – ERROR DE ESTADO ESTABLE
Función de entrada escalón:
Obsérvese que para que ess sea cero, Kp debe ser infinita. Para que esto ocurra, G(s) debe tener al menos un polo en s=0.
pS
sss
ss
KsGLim
sGLim
R
sG
RLim
sG
ssRLime
)(
)(1)(1)(1
)(
0
000
ESPECIFICACIONES DE LA RESPUESTA ESTACIONARIA – ERROR DE ESTADO ESTABLE
El número de polos en s=0 que tiene un sistema
se llama Tipo del sistema.
Estos polos (operacionalmente, integradores) contribuyen a eliminar el error de estado estable del sistema pero desmejoran en general la estabilidad del sistema.
ESPECIFICACIONES DE LA RESPUESTA ESTACIONARIA – ERROR DE ESTADO ESTABLE
Función de entrada rampa:
Obsérvese que el error será infinito para G(s) de tipo 0, constante para tipo 1 y cero sólo si el sistema es de tipo 2 en adelante.
vS
sss
ss
KssGLim
ssGLim
R
sGs
RLim
sG
ssRLime
)(
)())(1()(1
)(
0
000
ESPECIFICACIONES DE LA RESPUESTA ESTACIONARIA – ERROR DE ESTADO ESTABLE
RESPUESTA EN LA FRECUENCIA
Se define como la gráfica de la función de transferencia del sistema, regularmente en la forma del diagrama de Bode.
Este diagrama consta de trazas en magnitud y en fase contra frecuencia en escalas logarítmicas.
Para el gráfico de magnitud:
Para el gráfico de fase:
)(Re
)(Im)( 1
jG
jGTanjG
)(Im)(Re20)(20)( 221010 jGjGLogjGLogjG
db
RESPUESTA EN LA FRECUENCIA
Si el gráfico de magnitud tiene un valor pico en alguna frecuencia, ésta se llama frecuencia de resonancia. El valor pico en decibeles se llama pico de resonancia.
Otra característica de interés de la traza de ganancia es el ancho de banda, que se define como el rango de frecuencias para las cuales la ganancia decrece hasta 3 db por debajo de su valor de directa.
RESPUESTA EN LA FRECUENCIA
La Razón de Cambio es la pendiente de la traza de magnitud
RESPUESTA EN LA FRECUENCIA
Las características de la respuesta en frecuencia dan indicaciones cualitativas de su comportamiento.
Mr indica la estabilidad relativa de un sistema estable en lazo cerrado. Un valor grande de Mr corresponde a un sobrepaso máximo grande. Valores adecuados de Mr se estiman entre 1.1 y 1.5.
RESPUESTA EN LA FRECUENCIA
El ancho de banda indica el comportamiento de la respuesta transitoria del sistema. Un ancho de banda grande implica tiempos transitorios cortos, y viceversa.
La razón de cambio puede determinar diferencias de comportamiento entre dos sistemas que tienen mismo ancho de banda y pico de resonancia.
RESPUESTA EN LA FRECUENCIA
RESPUESTA EN LA FRECUENCIA SISTEMA DE
SEGUNDO ORDEN
Por la importancia que tiene el sistema prototipo de segundo orden, es interesante conocer las relaciones entre las características de su respuesta al paso y su respuesta en frecuencia.
La función de transferencia de un sistema de segundo orden, en términos de jω es:
22
2
)(2)()(
)()(
nn
n
jjjR
jYjM
Reorganizando, y haciendo u=ω/ωn se puede escribir:
Y entonces se puede obtener la magnitud y la fase de M(jω) quedando:
221
1)(
uujjuM
RESPUESTA EN LA FRECUENCIA SISTEMA DE
SEGUNDO ORDEN
2/1222 21
1)(
uujuM
21
1
2)(
u
uTanjuM
RESPUESTA EN LA FRECUENCIA SISTEMA DE
SEGUNDO ORDEN
La frecuencia y el pico de resonancia pueden encontrarse maximizando la expresión para la traza de ganancia:
Las raíces de esta ecuación son:
232/3222 844)2()1(2
1)( uuuuu
du
juMd
221
0
r
r
u
u
RESPUESTA EN LA FRECUENCIA SISTEMA DE
SEGUNDO ORDEN
